数学归纳法、同一法、整体代换法
数学中常用的解题方法知乎
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在数学中，我们经常会遇到各种各样的问题和难题。
为了解决这些问题，数学家们创造了各种不同的解题方法。
在本文中，我们将介绍一些常用的解题方法。
1. 代数法
代数法是最基本的解题方法之一。
它通常用于解决方程、不等式和函数等问题。
这种方法的基本思路是把问题转化为代数式，然后运用代数运算来解决问题。
2. 几何法
几何法是解决几何问题的常用方法。
它通常用于计算几何、解决三角形、四边形和圆等图形的问题。
这种方法的基本思路是利用几何图形的性质和定理来解决问题。
3. 统计法
统计法是解决概率和统计问题的常用方法。
它通常用于分析数据、计算概率和研究随机变量等。
这种方法的基本思路是通过收集和分析数据来推断问题的答案。
4. 数学归纳法
数学归纳法是解决递推问题的常用方法。
它通常用于证明某个命题对所有自然数都成立。
这种方法的基本思路是证明当n取任意自然数时，命题都成立，然后证明当n+1时，命题也成立。
5. 反证法
反证法是解决证明问题的常用方法。
它通常用于证明某个命题是错的。
这种方法的基本思路是假设命题成立，然后找出一个矛盾的例子来证明命题是错的。
除了上述常用的解题方法，还有很多其他的方法，如数学归纳法、递推法、分析法等。
在解决数学问题时，我们可以根据问题的性质和特点选择不同的方法。
通过不断学习和实践，我们可以掌握更多的解题方法，提高自己的数学水平。
高一函数解析式的求解及其常用方法知识点总结
函数解析式的常用求解方法：（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。
待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。
求函数解析式是中学数学的重要内容，是高考的重要考点之一。
本文给出求函数解析式的基本方法，供广大师生参考。
一、定义法根据函数的定义求其解析式的方法。
例1. 已知，求。
解：因为二、换元法已知看成一个整体t，进行换元，从而求出的方法。
例2. 同例1。
解：令，所以，所以。
评注：利用换元法求函数解析式必须考虑“元”的取值范围，即的定义域。
三、方程组法根据题意，通过建立方程组求函数解析式的方法。
例3. 已知定义在R上的函数满足，求的解析式。
解：，①②得，所以。
评注：方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程。
四、特殊化法通过对某变量取特殊值求函数解析式的方法。
例4. 已知函数的定义域为R，并对一切实数x，y都有，求的解析式。
数学中的数学归纳法
数学中的数学归纳法数学归纳法是数学中一种常用的证明方法，它通过已知某个命题成立和成立条件，则可以推导出该命题对所有符合条件的情况都成立。
数学归纳法在数学领域中发挥着重要的作用，本文将介绍数学归纳法的基本原理和应用。
一、数学归纳法的基本原理数学归纳法的基本原理可以归纳为三个步骤：基础步骤、归纳步骤和归纳假设。
1. 基础步骤：首先要证明当n取某个特定值时，命题成立。
这是数学归纳法的起点，称为基础步骤。
通常情况下，我们会取n=1或n=0作为基础步骤。
2. 归纳步骤：接下来，假设当n=k时，命题成立，即我们假设命题对于某个值k成立。
然后，使用这个假设来证明当n=k+1时，命题也成立。
这一步骤称为归纳步骤。
3. 归纳假设：在归纳步骤中，我们假设命题对于n=k成立，这被称为归纳假设。
通过归纳假设，我们可以推导出命题对于n=k+1的情况也成立。
归纳法的基本原理就是通过基础步骤、归纳步骤和归纳假设，逐步推导出命题的成立。
二、数学归纳法的应用数学归纳法不仅仅是一种证明方法，它也被广泛应用于其他数学问题的解决中。
以下是数学归纳法的一些典型应用。
1. 证明整数性质：数学归纳法常被用来证明某个整数性质对于所有正整数成立。
例如，我们可以利用数学归纳法证明所有正整数的和公式：1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1) / 2。
2. 证明不等式：数学归纳法还可以应用于证明不等式的成立。
例如，我们可以利用数学归纳法证明对于所有正整数n，2^n > n^2。
3. 证明命题等式：除了整数性质和不等式，数学归纳法也可以应用于证明命题等式的成立。
例如，我们可以利用数学归纳法证明斐波那契数列的通项公式：F(n) = (φ^n - （1-φ）^n) / √5，其中φ为黄金分割率。
数学归纳法作为一种重要的证明方法，广泛应用于数学的各个领域。
它能够简化证明过程，使得证明更加直观和清晰。
总结：数学归纳法是一种重要的证明方法，它通过基础步骤、归纳步骤和归纳假设，逐步推导出命题的成立。
高中数学中的数学归纳法解题技巧
高中数学中的数学归纳法解题技巧数学归纳法是一种常用的解题思路，特别适用于高中数学中的证明、递推问题以及数列等内容。
通过观察题目的特点，我们可以灵活运用数学归纳法的解题技巧，快速解决问题。
本文将从数学归纳法的基本概念、应用场景以及解题策略三个方面，介绍高中数学中的数学归纳法解题技巧。
一、数学归纳法的基本概念数学归纳法是一种数学推理方法，常用于证明命题对于所有自然数都成立。
其基本思想是：先证明当n为某个自然数时命题成立，然后证明如果n为某个自然数时，命题对于n+1也成立。
根据这个思路，如果命题对于n=1成立，并且对于n=k成立时，可以推出对于n=k+1也成立，那么我们可以断定命题对于所有自然数都成立。
二、数学归纳法的应用场景数学归纳法的应用场景广泛，特别适用于证明与递推问题。
在高中数学中，常见的应用场景包括：1. 证明等式和不等式成立。
2. 证明数列的通项公式。
3. 证明递推关系式成立。
4. 证明集合中的元素具有某种性质。
三、数学归纳法解题策略在应用数学归纳法解题时，我们可以按照以下策略进行操作：1. 确定基本情况：首先证明当n为某个具体的数时命题成立。
通常选择n=1或n=0作为基本情况。
2. 假设归纳成立：假设命题对于n=k成立，即假设命题在n=k时是成立的。
3. 证明归纳成立：利用假设的前提，证明对于n=k+1时命题也成立。
可以通过计算、推导、代入等方法进行证明。
4. 总结归纳：由于基本情况成立并且归纳步骤推导成立，我们可以得出结论，命题对于所有的自然数n成立。
通过上述解题策略，我们可以快速有效地运用数学归纳法解决涉及证明、递推、数列等问题。
需要注意的是，在解题过程中，我们要保证每一步的推导都是准确无误的，以确保最终结论的可靠性。
总结数学归纳法是高中数学中常用的解题思路，它能够帮助我们理清问题的思路，快速解决证明、递推、数列等类型的问题。
在运用数学归纳法时，我们要注意确定基本情况，假设归纳成立，证明归纳成立以及总结归纳的步骤。
高中数学中的数学归纳法知识点总结
高中数学中的数学归纳法知识点总结数学归纳法是数学中常用的一种证明方法，在高中数学课程中占有重要的地位。
它是通过对特定命题的逐一验证来证明一般性结论的方法。
本文将对高中数学中的数学归纳法的相关知识点进行总结。
一、数学归纳法的基本思想数学归纳法是一种以自然数为基础的证明方法。
其基本思想是：假设某个命题对自然数1成立，然后假设对于任意的自然数k成立，可以证明对于自然数k+1也成立，最后通过数学归纳法原理得出该命题对所有自然数成立。
二、数学归纳法的基本步骤使用数学归纳法证明一个命题通常包括以下几个步骤：1. 基础步骤：证明该命题在自然数1上成立；2. 归纳假设：假设对于任意的自然数k，命题成立；3. 归纳证明：证明对于自然数k+1，命题也成立；4. 数学归纳法原理：根据数学归纳法原理，可以得出该命题对于所有自然数成立。
三、数学归纳法的示例下面通过几个具体的数学归纳法示例来说明其应用：1. 数列的性质证明：证明斐波那契数列的性质，即F(1)=1，F(2)=1，并且对于自然数n≥3，F(n)=F(n-1)+F(n-2)。
（1）基础步骤：当n=1或2时，斐波那契数列成立；（2）归纳假设：假设对于任意的自然数k，斐波那契数列成立；（3）归纳证明：考虑n=k+1的情况，有F(k+1)=F(k)+F(k-1)，根据归纳假设，F(k)和F(k-1)都成立，因此F(k+1)也成立；（4）根据数学归纳法原理，得出斐波那契数列对所有自然数成立。
2. 数学命题的证明：证明1+2+3+...+n=n(n+1)/2。
（1）基础步骤：当n=1时，等式成立；（2）归纳假设：假设对于任意的自然数k，等式成立；（3）归纳证明：考虑n=k+1的情况，有1+2+3+...+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)=[(k+1)(k+2)]/2，根据归纳假设，等式成立；（4）根据数学归纳法原理，得出等式对所有自然数成立。
3. 方程求解：证明n^2-n+41是素数的情况。
数学归纳法、同一法、整体代换法
数学归纳法、同一法、整体代换法数学归纳法、同一法、整体代换法一、函数方程思想从而解决问题的一种思维方式，函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处置变量或未知数之间的关系。
很重要的数学思想。
并研究这些量间的相互制约关系，1.函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达进去。
最后解决问题，这就是函数思想；确立变量之间的函数关系是一关键步骤，2.应用函数思想解题。
大体可分为下面两个步骤：1根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；2根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题；3方程思想：如何学好高中数学某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时经常列出这些变量的方程或（方程组）通过解方程（或方程组）求出它这就是方程思想；之间相互渗透，3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念。
很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法的支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想。
二、数形结合思想对于所研究的代数问题，数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一。
有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决（以形助数）或者对于所研究的几何问题，可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决（以数助形）这种解决问题的方法称之为数形结合。
发挥数的思路的规范性与严密性，1.数形结合与数形转化的目的为了发挥形的生动性和直观性。
两者相辅相成，扬长避短。
宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一。
因此，2.恩格斯是这样来定义数学数学研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”这就是说：数形结合是数学实质特征。
数学学习中突出数形结合思想正是充分掌握住了数学精髓和灵魂。
数量关系决定了几何图形的性质。
3.数形结合的实质是几何图形的性质反映了数量关系。
形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非。
数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形：或借助于数的精确性来阐明形的某些属性,4.华罗庚先生曾指出：数缺性时少直观。
数学归纳法要点讲解
《数学归纳法》要点讲解数学归纳法是用于证明与正整数有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数学竞赛中占有很重要的地位．1．数学归纳法的基本形式（1）第一数学归纳法设是一个与正整数有关的命题，如果①当0n n =（N n ∈0）时，成立；②假设),(0N k n k k n ∈≥=成立，由此推得1+=k n 时，也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，成立．（2）第二数学归纳法设是一个与正整数有关的命题，如果①当0n n =（N n ∈0）时，成立；②假设),(0N k n k k n ∈≥≤成立，由此推得1+=k n 时，也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，成立．2．数学归纳法的其他形式（1）跳跃数学归纳法①当l n ,,3,2,1 =时，)(,),3(),2(),1(l P P P P 成立，②假设k n =时成立，由此推得l k n +=时，也成立，那么，根据①②对一切正整数时，成立．（2）反向数学归纳法设是一个与正整数有关的命题，如果①对无限多个正整数成立；②假设k n =时，命题成立，则当1-=k n 时命题)1(-k P 也成立，那么根据①②对一切正整数时，成立．3．应用数学归纳法的技巧（1）起点前移或后移：有些命题对一切大于等于1的正整数都成立，但命题本身对也成立，而且验证起来比验证时容易，因此用验证成立代替验证，同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以．因而为了便于起步，有意前移起点．而有些命题在第一步证明中，不仅要证明时原不等式成立，还要证明当时，原不等式也成立．例1 已知n *∈N ，求证：2111(123)123n n n ⎛⎫++++++++ ⎪⎝⎭≥． 分析：可结合不等式关系：111111(1)232n n +++++>≥来证明，但注意要将奠基的起点后移，即在第一步证明中，不仅要证明时原不等式成立，还要证明当时，原不等式也成立． 证明：（1）当时，原不等式显然成立，当时，不等式左边191(12)14222⎛⎫=+⨯+== ⎪⎝⎭， 右边224==，则左边＞右边，∴当时，原不等式成立．（2）假设当()n k k *=∈N 时，2111(123)123k k k ⎛⎫++++++++ ⎪⎝⎭≥成立， 则1n k =+时，1111[123(1)]1231k k k k ⎡⎤⎛⎫+++++++++++ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦ 111123111(123)11(1)123123k k k k k k ++++⎛⎫⎛⎫=++++++++++++++++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭2(1)11(1)12(1)2k k k k k +⎛⎫+++++ ⎪+⎝⎭≥ 2231(1)22k k k k >+++=+． 所以当1n k =+时原不等式也成立．由（1）和（2），可知原不等式对任何n *∈N 都成立．（2）起点增多：有些命题在由k n =向1+=k n 跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点．（3）加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多．例2 试证：任何一个正方形都可以分割成5个以上的任意多个正方形． 分析：一个正方形分割成4个正方形是很容易的．由此猜想：若能把一个正方形分割成k 个正方形，则必能分割成(4)13k k +-=+个正方形．故第一步应对678n =，，的情形加以验证．第二步，则只需从k 递推到k +3．证明：（1）当678n =，，时，由以下各图所示的分割方法知，命题成立．（2）假设当(6)n k k k *=∈N ，且≥时命题成立，即一个正方形必能分割成k 个正方形．那么，只要把其中任意一个正方形两组对边的中点分别连结起来，即把该正方形再分割成4个小正方形，则正方形的个数就增加了3个．因而原正方形就分割成了个正方形，即当3n k =+时命题也成立．因为任何一个大于5的自然数n 都可以表示成637383()p p p p +++∈N ，，中的一种形式，所以根据（1）和（2），可知命题对任何大于5的自然数n 都成立．（4）选择合适的假设方式：归纳假设为一定要拘泥于“假设k n =时命题成立”不可，需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用．（5）变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明．例3 已知01p <<，定义11a p =+，且11n na p a +=+．试证明：对一切n *∈N ，都有1n a >．分析：显然有11a >，但若假设1k a >，则很难由递推公式11k ka p a +=+推得11k a +>．为此，必须知道小于什么数值才行． 其实，要使111k k a p a +=+>，即11k p a >-，只须11k a p<-．所以本题可转化为证明如下更强的不等式：111n a p<<-．① 证明：（1）当时，显然有11a >． 又因为211111p a p p-=<--， 所以1111a p<<-． （2）假设当()n k k *=∈N 时，111k a p <<-成立，则有 11(1)1k k a p p p a +=+>-+=， 21111111k k p a p p a p p+-=+<+=<--， 所以1111k a p+<<-，即当1n k =+时不等式①也成立． 由（1）和（2），可知对任何n *∈N ，不等式①都成立，从而原命题获证．4．归纳、猜想和证明在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种不严格的推理方法称为不完全归纳法．不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必须进一步检验或证明，经常采用数学归纳法证明．不完全归纳法是发现规律、解决问题极好的方法．。
数学归纳法相关知识点总结
数学归纳法相关知识点总结一、数学归纳法的基本概念数学归纳法的基本思想是：如果我们能够证明一个结论对于第一个自然数成立（通常是对于n=1），并且能够证明结论对于某一个自然数成立时，它也对于下一个自然数成立，那么我们就可以得出结论对于所有自然数都成立的结论。
因此，数学归纳法通常包括两个步骤：基础步骤（base case）和归纳步骤（inductive step）。
基础步骤是证明一个结论对于第一个自然数成立，通常是证明结论对于n=1时成立。
这个步骤通常是比较直接的，可以通过代入数值或者简单的推理来进行证明。
归纳步骤是假定结论对于某一个自然数n成立，然后证明结论对于下一个自然数n+1也成立。
这个步骤通常是通过数学推理和逻辑推导来进行证明，因此需要一定的数学技巧和思维能力。
通过基础步骤和归纳步骤，我们就可以得出结论对于所有自然数都成立的结论。
这就是数学归纳法的基本思想和步骤。
二、数学归纳法的原理数学归纳法的原理是非常简单的，可以用如下的语言来描述：如果一个结论对于第一个自然数成立，并且对于某一个自然数n成立时，它也对于下一个自然数n+1成立，那么这个结论对于所有自然数都成立。
这个原理也可以用数学符号来表达。
假设P(n)是关于自然数n的一个命题，那么数学归纳法的原理可以用如下的数学表达来描述：(1) 基础步骤：证明P(1)成立；(2) 归纳步骤：假设对于某一个自然数n，命题P(n)成立，证明P(n+1)也成立。
通过基础步骤和归纳步骤，我们就可以得出结论对于所有自然数都成立的结论。
这就是数学归纳法的原理。
三、数学归纳法的应用数学归纳法是数学中非常重要的一种证明方法，它被广泛应用于代数、数论、组合数学、离散数学等多个数学领域中。
下面我们将介绍数学归纳法在不同数学领域中的具体应用。
1. 代数在代数中，数学归纳法常常被用来证明各种恒等式和不等式的成立。
例如，我们可以用数学归纳法来证明各种整式的恒等式、不等式和递推关系式。
【高考 学法】高中数学解题方法归纳
【高考学法】高中数学解题方法归纳
第一章集合
1．列举法2．文氏图法3．语言换法4．命题换法
第二章不等式
1．比较法2．综合法3．分析法4．反证法5．函数法6．代换法7．同解变形法8．基本不等式法
第三章函数与微积分
1．基本函数法2．基本图像法3．图像变换法4．定义法5．赋值法6．配方法7．换元法
第四章三角函数
1．坐标定义法2．三角比换法3．角度变换法4．万能置换法5．辅助角法6．五点法7．三角图像变换法8．三角形边角换法9．三角方程公式法
第五章复数
1．化虚为实法2．整体运算法3．几何法4．分类讨论法
第六章数列
1.基本量法
2.知三求二法
3.递推法
4.归纳猜想证明法
5.倒序相加法
6.错位相减法
7.裂项求和法
8.函数法
第七章平面向量
1.概念法
2.基本定理法
3.坐标法
4.语言化法
第八章解析几何
1.坐标法
2.曲线定义法
3.待定系数法
4.曲线变换法
5.参数法
6.几何法
第九章立体几何
1.线面关系化法
2.基本面法
3.反证法
4.折展法
5.割补法
6.等积法
7.函数程法
8.向量法
9.空间坐标法
第十章排列、组合和概率
1.树图法
2.枚举法
3.定义法
4.基本原理法
5.优限法
6.捆绑法
7.间接法
8正难则反法
第十一章二项式定理
1.通项分析法
2.组合定义法
3.赋值法。
如何利用高一数学中的数学归纳法解题
如何利用高一数学中的数学归纳法解题在高一数学的学习中，数学归纳法是一种非常重要的解题方法。
它不仅在数学领域有着广泛的应用，对于培养我们的逻辑思维和推理能力也具有重要意义。
那么，究竟如何利用数学归纳法来解题呢？下面就让我们一起来探讨一下。
首先，我们来了解一下数学归纳法的基本概念。
数学归纳法是一种用于证明与自然数有关的命题的方法。
它的基本步骤分为两步：第一步是基础步骤，也就是证明当 n 取第一个值（通常是 1）时命题成立；第二步是归纳步骤，假设当 n ＝ k（k 是自然数，且k ≥ 第一个值）时命题成立，然后证明当 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立。
接下来，我们通过一些具体的例子来看看如何运用这两步来解题。
例 1：证明 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋… ＋（2n 1) ＝ n²第一步（基础步骤）：当 n ＝ 1 时，左边＝ 1，右边＝ 1²＝ 1，左边等于右边，命题成立。
第二步（归纳步骤）：假设当 n ＝ k 时命题成立，即 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋… ＋（2k 1) ＝ k²。
那么当 n ＝ k ＋ 1 时，左边＝ 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋… ＋（2k 1) ＋（2(k ＋ 1) 1)＝ k²＋（2k ＋ 1)＝（k ＋ 1)²右边＝（k ＋ 1)²左边等于右边，所以当 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立。
通过以上两步，就证明了这个命题对于所有的自然数 n 都成立。
再来看一个例子：例 2：证明 1²＋ 2²＋ 3²＋… ＋ n²＝ n(n ＋ 1)（2n ＋ 1)／6基础步骤：当 n ＝ 1 时，左边＝ 1²＝ 1，右边＝ 1×（1 ＋ 1)×（2×1 ＋ 1)／6 ＝ 1，左边等于右边，命题成立。
归纳步骤：假设当 n ＝ k 时命题成立，即 1²＋ 2²＋ 3²＋… ＋ k²＝ k(k ＋ 1)（2k ＋ 1)／6当 n ＝ k ＋ 1 时，左边＝ 1²＋ 2²＋ 3²＋… ＋ k²＋（k ＋ 1)²＝ k(k ＋ 1)（2k ＋ 1)／6 ＋（k ＋ 1)²＝（k ＋ 1)k(2k ＋ 1)／6 ＋（k ＋ 1)＝（k ＋ 1)（2k²＋ k ＋ 6k ＋ 6)／6＝（k ＋ 1)（2k²＋ 7k ＋ 6)／6＝（k ＋ 1)（k ＋ 2)（2k ＋ 3)／6右边＝（k ＋ 1)（k ＋ 2)（2k ＋ 3)／6左边等于右边，所以当 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立。
数学应用中的归纳法
数学应用中的归纳法一、什么是归纳法归纳法是一种从个别性案例推出一般性结论的思维方法，它通过对具体事物的观察、分析和总结，找出其共同的规律和特性，从而得出一般性的结论。
二、归纳法的基本形式1.完全归纳法：通过对某一类事物的每一个个体进行观察、分析和总结，得出一般性的结论。
2.不完全归纳法：通过对某一类事物的部分个体进行观察、分析和总结，得出一般性的结论。
三、归纳法在数学中的应用1.数列的归纳法：通过观察数列的前几项，找出其规律，从而得出数列的通项公式。
2.函数的归纳法：通过观察函数在不同区间上的变化情况，找出其规律，从而得出函数的性质和特点。
3.几何图形的归纳法：通过对几何图形的性质、特征和变换方法进行观察、分析和总结，找出其共同的规律，从而得出几何图形的性质和定理。
4.数学定理和公式的归纳法：通过对数学定理和公式的证明过程进行观察、分析和总结，找出其共同的规律，从而得出数学定理和公式的应用方法和范围。
四、归纳法的步骤1.观察：观察所要研究的事物，找出其共同的规律和特性。
2.分析：分析观察到的规律和特性，找出其内在的联系和关系。
3.总结：总结观察和分析的结果，得出一般性的结论。
4.验证：通过实际的例子或实验来验证得出的结论是否正确。
五、归纳法的注意事项1.归纳法需要有充分的观察和分析，不能凭空臆测或主观臆断。
2.归纳法得出的结论需要经过验证，以确保其正确性。
3.归纳法不是万能的，对于一些复杂的问题，需要结合其他的方法来进行研究和解决。
六、归纳法在数学教学中的应用1.引导学生通过观察和分析来发现数学规律和性质。
2.培养学生通过归纳法来解决问题和验证结论的能力。
3.帮助学生理解和掌握数学定理和公式的应用方法和范围。
4.培养学生的逻辑思维和推理能力。
习题及方法：1.习题一：观察下列数列的前几项，找出其规律，从而得出数列的通项公式。
1, 4, 9, 16, 25答案：这是一个平方数列，第n项的通项公式为n^2。
专题04 整体代换法-高考数学解题方法和数学思想专练
专题04 整体代换法【方法指导】整体代换思想就是在研究和解决数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法。
从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简，同时又能培养学生思维的灵活性。
所谓整体化策略，就是当我们面临的是一道按常规思路进行局部处理难以奏效或计算冗繁的题目时，要适时调整视角，把问题作为一个有机整体，从整体入手，对整体结构进行全面、深刻的分析和改造，以便从整体特性的研究中，找到解决问题的途径和办法。
【例题解读】【典例1】 （2021·辽宁铁岭市·高三一模）已知()112g x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，()()1101n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，n *∈N ，则数列{}n a 的一个通项公式为（ ）． A ．1n a n =+B ．31n a n =+C ．33n a n =+D ．223n a n n =-+【典例2】（2021·陕西宝鸡市·高三二模（文））已知函数())222sin cos sin cos f x x x x x =-，判断下列给出的四个命题，其中错误的命题有（ ）个.①对任意的x ∈R ，都有()23f x f x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭； ②将函数()y f x =的图象向右平移12π个单位，得到偶函数()g x ；③函数()y f x =在区间7,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数； ④“函数()y f x =取得最大值”的一个充分条件是“12x π=” A ．0B ．1C ．2D ．3【典例3】（2021·陕西宝鸡市·高三二模（文））已知{}n a 是等差数列，满足()()153693218a a a a a ++++=，则该数列前8项和为（ ）A ．36B ．24C ．16D ．12【典例4】（2021·内蒙古呼和浩特市·高三一模（理））在平面直角坐标系xOy 中，直线()0y kx k =≠与双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)交于A ，B 两点，F 是该双曲线的焦点，且满足2AB OF =，若ABF 的面积为24a ，则双曲线的离心率为（ ） A ．3B ．5C ．22D ．3【专题训练】一、单选题1．（2021·江西高三月考（理））已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值为3ω，则实数ω的取值个数最多为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．（2021·全国高三专题练习）设k 、b R ∈，若关于x 的不等式()ln 1x x k x b +≤++在()0,∞+上恒成立，则221k b k +--的最小值是（ ）A ．2e -B ．11e -+ C ．1e -+ D ．1e --3．（2021·天津和平区·高三一模）设函数()sin 2cos2f x x x =+，给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为π； ②()f x 在区间,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内单调递增； ③将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位长度，可得到函数cos 2y x =的图象.其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．（2021·全国高三其他模拟）已知sin 2cos 0αα+=，则2cos2sin 2cos ααα=-（ ）A ．1-B ．2C ．23D ．355．（2021·全国高三专题练习）若数列{}n a 满足1120n na a +-=，则称{}n a 为“梦想数列”，已知正项数列1nb ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“梦想数列”，且1231b b b ++=，则678b b b ++=（ ） A ．4B ．8C ．16D ．326．（2021·全国高三专题练习）n S 为正项等差数列{}n a 的前n 项和，3579a a a tS ++=，则t =（ ） A ．3B ．13C ．2D ．237．（2021·广东肇庆市·高三二模）已知1F ，2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，O 为坐标原点，在双曲线C 存在点M ，使得122OM F F =，设12F MF ∆的面积为S .若()21216MF S MF +=，则该双曲线的离心率为（ ）ABC ．32D8．（2021·广东湛江市·高三一模）已知椭圆2222x y a b+＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若2BA BF ⋅=0，且｜BF 2|，|AB |，|AF 2|成等差数列，则C 的离心率为（ ） A．2B．2C．3D ．129.（2021·全国高三专题练习）已知函数3()log (91)xf x x =-++，则使得()2311log 10f x x -++<成立的x 的取值范围是（ ）A．⎛ ⎝⎭B ．()(),01,-∞⋃+∞C ．0,1D ．(),1-∞二、多选题10.（2021·山东烟台市·高三一模）已知双曲线()22:17x y C m R m m -=∈+的一条渐近线方程为430x y -=，则（ ） A．为C 的一个焦点 B ．双曲线C 的离心率为53C ．过点()5,0作直线与C 交于,A B 两点，则满足15AB =的直线有且只有两条D ．设,,A B M 为C 上三点且,A B 关于原点对称，则,MA MB 斜率存在时其乘积为16911．（2021·山东青岛市·高三一模）若实数a b <，则下列不等关系正确的是（ ）A ．223555b a a⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．若1a >，则log 2a ab >C ．若0a >，则2211b a a b>++ D ．若53m >，a ，()1,3b ∈，则()()3322103a b m a b a b ---+-> 三、填空题12．（2021·天津南开区·高三一模）已知0a >，0b >，1a b c ++=，则2221a b c ++-的最大值是______．13．（2021·全国高三专题练习（文））已知311()(1)22x x f x x x e e --=--++-，其中e 是自然对数的底数，若(ln )(1)0f a f a ++<，则实数a 的取值范围是_________．整体代换法解析【典例1】 （2021·辽宁铁岭市·高三一模）已知()112g x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，()()1101n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，n *∈N ，则数列{}n a 的一个通项公式为（ ）．A ．1n a n =+B ．31n a n =+C ．33n a n =+D ．223n a n n =-+【答案】A 【分析】 由()112F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在R 上为奇函数，知11222f x f x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令12t x =-，则112x t +=-，得到()()12f t f t +-=．由此能够求出数列{}n a 的通项公式． 【详解】由题已知()112g x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数， 故()()g x g x -=-， 代入得：11222f x f x ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴函数()f x 关于点112⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称， 令12t x =-， 则112x t +=-， 得到()()12f t f t +-=， ∵()()1101n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1110n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，倒序相加可得()221n a n =+， 即()1=+n a n ， 故选：A ． 【点睛】思路点睛：利用函数的性质以及倒序相加法求数列的通项公式问题.先利用函数的奇偶性得到函数的对称中心，再用换元法得到()()12f t f t +-=，最后利用倒序相加法求解数列的通项公式．【典例2】（2021·陕西宝鸡市·高三二模（文））已知函数())222sin cos sin cos f x x x x x =-，判断下列给出的四个命题，其中错误的命题有（ ）个.①对任意的x ∈R ，都有()23f x f x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭； ②将函数()y f x =的图象向右平移12π个单位，得到偶函数()g x ；③函数()y f x =在区间7,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数； ④“函数()y f x =取得最大值”的一个充分条件是“12x π=” A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B 【分析】根据题意，求得()f x 的解析式，根据正弦型函数的性质，逐一分析①②③④，即可求得答案. 【详解】由题意得())222sin cos sin cos sin 222sin 23f x x x x x x x x π⎛⎫=-=+=+⎪⎝⎭对于①：对任意的x ∈R ，225sin 2sin 23333f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ sin 22sin 2()33x x f x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故①正确；对于②：将函数()y f x =的图象向右平移12π个单位，可得()sin 2sin 21236g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，不是偶函数，故②错误；对于③：因为7,1212x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以32,232x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，因为sin y x =在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间7,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，故③正确 对于④：当12x π=时，232x ππ+=， 所以2sin 2122f ππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即函数()y f x =在12x π=处取得最大值，充分性成立， 所以函数()y f x =取得最大值的一个充分条件是12x π=，故④正确. 所以错误的命题为②，共1个. 故选：B 【点睛】解题的关键是熟练掌握正弦型函数的图象与性质、二倍角公式、辅助角公式，并灵活应用，考查分析理解，计算求值的能力，整体性的思想，属中档题.【典例3】（2021·陕西宝鸡市·高三二模（文））已知{}n a 是等差数列，满足()()153693218a a a a a ++++=，则该数列前8项和为（ ）A ．36B ．24C ．16D ．12【答案】D 【分析】根据等差数列的性质，可得369615332,a a a a a a a ++==+，化简整理，结合等差数列前n 项和公式，即可求得答案. 【详解】由等差数列性质可得369615332,a a a a a a a ++==+， 所以36331822a a +⨯⨯=，即363a a +=， 所以886138()8()1222a a a a S ===++. 故选：D【典例4】（2021·内蒙古呼和浩特市·高三一模（理））在平面直角坐标系xOy 中，直线()0y kx k =≠与双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)交于A ，B 两点，F 是该双曲线的焦点，且满足2AB OF =，若ABF 的面积为24a ，则双曲线的离心率为（ ） A ．3 B ．5C ．22D ．3【答案】B 【分析】设双曲线的左焦点为1F ，则可得四边形1AF BF 为矩形，由双曲线的定义和勾股定理结合三角形面积可得222(2)(2)16a c a =-，即可求出离心率. 【详解】不妨设F 是该双曲线的右焦点，设左焦点为1F ，则F ，1F 在以AB 为直径的圆上，根据双曲线和圆的对称性，圆过双曲线的左右焦点，如图，连接11,AF BF ，则四边形1AF BF 为矩形，则可得12AF AF a -=，()2222112AF AF F F c +==，所以()222211111||22AF AF AF AF AF AF F F AF AF -=-⋅+=-⋅， 又因为121142ABFAF FSSAF AF a ==⋅=， 所以222(2)(2)16a c a =-，得5c a =， 所以5ce a==故选：B.【专题训练】一、单选题1．（2021·江西高三月考（理））已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值为3ω，则实数ω的取值个数最多为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】 根据0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到6646x ππππωω-≤-≤-，再由03ω<≤，分462πππω-≤， 462πππω->，由最大值为3ω求解.【详解】因为函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值为3ω，所以013ω<≤，解得03ω<≤，因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以6646x ππππωω-≤-≤-，当462πππω-≤，即803ω<≤时，()max sin 463f x ππωω⎛⎫=-=⎪⎝⎭，令()()sin ,463g h ππωωωω⎛⎫=-=⎪⎝⎭，在同一坐标系中作出图象：令()sin 463F ππωωω⎛⎫=--⎪⎝⎭，因为()188100,102399F F ⎛⎫=-<=-=> ⎪⎝⎭， 所以存在唯一ω，使得sin 463ππωω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，当462πππω->，即833ω<≤时，()max 1f x =，即13ω=， 解得 3ω=，所以实数ω的取值个数最多为2. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是根据()f x 的最大值为3ω，由013ω<≤，得到03ω<≤，从而7(,]46612ππππω-∈-，才能分462πππω-≤，462πππω->讨论求解.2．（2021·全国高三专题练习）设k 、b R ∈，若关于x 的不等式()ln 1x x k x b +≤++在()0,∞+上恒成立，则221k b k +--的最小值是（ ）A ．2e -B ．11e -+ C ．1e -+ D ．1e --【答案】C 【分析】令()()ln 1f x x x k x =+-+，分析得出()max b f x ≥，分1k ≤、1k >两种情况讨论，可得出()()max ln 11f x k k =----，进而可得出()ln 1222111k k b k k -++-≥---，令10t k =->，利用导数求出函数()ln 21t g t t+=-的最小值，即可得解. 【详解】令()()ln 1f x x x k x =+-+，则()f x b ≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，所以，()max b f x ≥.①当1k ≤时，()110f x k x'=+->，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，函数()f x 无最大值，不合乎题意；②当1k >时，令()0f x '=，可得11x k =-. 当101x k <<-时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增， 当11x k >-时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减， 所以，()()max 1111ln 1ln 111111f x f k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫==+-+=----⎪⎪----⎝⎭⎝⎭， 即()ln 11b k k ≥----，()()ln 11ln 12222211111k k k k b bk k k k -++-++-∴=+≥-=-----， 设10t k =->，令()ln 21t g t t +=-，则()2ln 1t g t t+'=， 当10<<t e时，()0g t '<，此时函数()g t 单调递减， 当1t e>时，()0g t '>，此时函数()g t 单调递增. 所以，()min 11g t g e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因此，221k b k +--的最小值是1e -.故选：C. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.3．（2021·天津和平区·高三一模）设函数()sin 2cos2f x x x =+，给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为π； ②()f x 在区间,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内单调递增； ③将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位长度，可得到函数cos 2y x =的图象. 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】A 【分析】先将()sin 2cos2f x x x =+，变形为())4f x x π=+，再根据函数的性质，三角函数的周期性，单调性，诱导公式可以直接判断． 【详解】由()sin 2cos 2)4f x x x x π=+=+，所以()f x 的最小正周期为22ππ=，故①正确；要求()f x 的单调增区间，即3222()42288k x k k x k k Z πππππππππ-+≤+≤+⇒-+≤≤+∈，而3,[,]()8888k k k Z ππππππ⎛⎫-⊆-++∈ ⎪⎝⎭故②正确；将()sin 2cos2))]48y f x x x x x ππ==+=++的图象向左平移4π个单位长度，得到)]))84cos 4422y x x x x πππππ=++=++=+≠，故③错误．故选：A ．4．（2021·全国高三其他模拟）已知sin 2cos 0αα+=，则2cos2sin 2cos ααα=-（ ）A ．1-B ．2C ．23D ．35【答案】D 【分析】根据三角函数的基本关系式，求得tan 2α，再结合余弦的倍角公式和基本关系式，化简为“齐次式”，即可求解. 【详解】由题意值sin 2cos 0αα+=，即sin 2cos αα=-，可得tan 2α，又由22222cos2cos sin 1tan 3sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15αααααααααα--===---. 故选：D.5．（2021·全国高三专题练习）若数列{}n a 满足1120n na a +-=，则称{}n a 为“梦想数列”，已知正项数列1nb ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“梦想数列”，且1231b b b ++=，则678b b b ++=（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】D 【分析】利用等比数列的定义可推导出“梦想数列”{}n a 是公比为12的等比数列，进而结合题意可知数列{}n b 是公比为2的等比数列，由此可得()56781232b b b b b b ++=++，即可得解. 【详解】由题意可知，若数列{}n a 为“梦想数列”，则1120n n a a +-=，可得112n n a a +=， 所以，“梦想数列”{}n a 是公比为12的等比数列， 若正项数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“梦想数列”，则1112n nb b +=，所以，12n n b b +=， 即正项数列{}n b 是公比为2的等比数列，因为1231b b b ++=，因此，()5678123232b b b b b b ++=++=.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义“梦想数列”，解题的关键就是紧扣新定义，本题中，“梦想数列”就是公比为12的等比数列，解题要将这种定义应用到数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，推导出数列{}n b 为等比数列，然后利用等比数列基本量法求解.6．（2021·全国高三专题练习）n S 为正项等差数列{}n a 的前n 项和，3579a a a tS ++=，则t =（ ） A ．3 B ．13C ．2D ．23【答案】B 【分析】根据数列{}n a 为正项等差数列，且3579a a a tS ++=，利用等差数列的性质求解. 【详解】因为数列{}n a 为正项等差数列，且3579a a a tS ++=， 所以()19553992a a a t ta +==， 解得13t =， 故选：B7．（2021·广东肇庆市·高三二模）已知1F ，2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，O 为坐标原点，在双曲线C 存在点M ，使得122OM F F =，设12F MF ∆的面积为S .若()21216MF S MF +=，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．32D 【答案】A 【分析】由122OM F F =，得122F MF π∠=，再利用勾股定理和结合已知条件及双曲线的定义可得222424a a c +=，从而可求出双曲线的离心率 【详解】由122OM F F =，得122F MF π∠=.设1MF m =，2MF n =. 由()21216MF S MF +=，得()()2228444mn m n m n mn a mn =+=-+=+，即2mn a =.又2224m n c +=，即()2224m n mn c -+=，所以222424a a c +=，所以6ce a ， 故选：A.8．（2021·广东湛江市·高三一模）已知椭圆2222x y a b+＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若2BA BF ⋅=0，且｜BF 2|，|AB |，|AF 2|成等差数列，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．2C ．3D ．12【答案】A 【分析】由向量知识得出290ABF ∠=︒，再由等差数列的性质、勾股定理、椭圆的定义得出a =，最后由离心率公式得出答案. 【详解】因为2BA BF ⋅，所以290ABF ∠=︒由｜BF 2|，|AB |，|AF 2|成等差数列，设22,||,2BF x AB x d AF x d ==+=+ 在2Rt ABF 中，222()(2)x x d x d ++=+，解得3x d =即223,||4,5BF d AB d AF d ===由椭圆的定义得2ABF 的周长为1212224BF BF AF AF a a a +++=+= 即3454,3d d d a a d ++==在直角三角形12BF F 中，21BF a BF ==，122FF c =，则222(2)a a c +=，故2a c =即22c e a ==故选：A【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用勾股定理、等差中项的性质、椭圆的定义得出,a c 的齐次方程，进而得出离心率.9.（2021·全国高三专题练习）已知函数3()log (91)xf x x =-++，则使得()2311log 10f x x -++<成立的x 的取值范围是（ ）A ．22⎛ ⎝⎭B ．()(),01,-∞⋃+∞C ．0,1D ．(),1-∞【答案】C 【分析】令21t x x =-+，则3()1log 10f t +<，从而33log (91)1log 10tt -+++<，即可133log (91)log (91)1t t +-<+-，然后构造函数3()log (91)t g t t =+-，利用导数判断其单调性，进而可得23114x x ≤-+<，解不等式可得答案 【详解】解：令21t x x =-+，则221331()244t x x x =-+=-+≥， 3()1log 10f t +<，所以33log (91)1log 10tt -+++<， 所以133log (91)log (91)1tt +-<+-，令3()log (91)tg t t =+-，则'9ln92991()11(91)ln39191t t t t t t g t ⨯-=-+=-+=+++，因为34t ≥，所以910t ->，所以'()0g t >， 所以()g t 在3[,)4+∞单调递增，所以由()(1)g t g <，得314t ≤<，所以23114x x ≤-+<，解得01x <<，故选：C 【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查函数单调性的应用，解题的关键是换元后对不等式变形得133log (91)log (91)1t t +-<+-，再构造函数3()log (91)tg t t =+-，利用函数的单调性解不等式二、多选题10.（2021·山东烟台市·高三一模）已知双曲线()22:17x y C m R m m -=∈+的一条渐近线方程为430x y -=，则（ ）A ．为C 的一个焦点B ．双曲线C 的离心率为53C ．过点()5,0作直线与C 交于,A B 两点，则满足15AB =的直线有且只有两条D ．设,,A B M 为C 上三点且,A B 关于原点对称，则,MA MB 斜率存在时其乘积为169【答案】BD 【分析】依题意求出双曲线方程，即可判断AB ；再由双曲线的对称性判断C ；设()11,A x y ，()11,B x y --，()00,M x y 利用点差法求出MA MB k k ⋅；【详解】解：因为双曲线()22:17x y C m R m m -=∈+的一条渐近线方程为430x y -=，所以2743m m +⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得9m =，所以双曲线22:1916x y C -=，所以3a =，4b =，5c ==，所以则其焦点为()5,0-、()5,0，离心率53c e a ==，故A 错误，B 正确；过点()5,0作直线与C 交于,A B 两点，因为()5,0为双曲线的焦点坐标，当直线的斜率不存在时2232153b AB a ==<，当直线的斜率为0时，2615AB a ==<，所以由双曲线的对称性得，满足15AB =的直线有4条，故C 错误； 设()11,A x y ，()11,B x y --，()00,M x y ，所以1010MA y y k x x -=-，10101010MB y y y y k x x x x --+==--+，因为,,A B M 在双曲线上，所以22111916x y -=，22001916x y -=，两式相减得222210100916x x y y ---=，所以()()()()2210101022101010169MA MB y y y y y y k k x x x x x x -+-===⋅--+，故D 正确； 故选：BD11．（2021·山东青岛市·高三一模）若实数a b <，则下列不等关系正确的是（ ）A ．223555b a a⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．若1a >，则log 2a ab >C ．若0a >，则2211b a a b>++ D ．若53m >，a ，()1,3b ∈，则()()3322103a b m a b a b ---+-> 【答案】BCD 【分析】对A ，由指数函数以及幂函数的单调性即可判断；对B ，由对数的运算以及对数函数的单调性即可判断；对C ，利用做差法即可比较大小；对D ，利用分析法即可证明. 【详解】解：对A ，25xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减， 又a b <，2255ab⎛⎫⎛⎫∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， y x α=，当0α>时，y x α=在()0,∞+上单调递增； 当0α<时，y x α=在()0,∞+单调递减；故无法判断25a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与35a⎛⎫ ⎪⎝⎭大小，故A 错误； 对B ，当1a >时，1a b <<，log log 1a a b a ∴>=，log log log 2a a a ab a b =+>，故B 正确；对C ，当0a >时，0a b <<，()()()()()()33222232320111111b a b a b a b b a b a b a b a b -+-+---==>++++++ 2211b a a b∴>++，故C 正确； 对D ，要证()()3322103a b m a b a b ---+->， 即证()()()3322330a b m a b a b ---+->，即证()()()()()2233a ab ba b a b m a b a b ++-+->+-，a b <，即证2233a ab b m a b+++<+，a ，()1,3b ∈，令()2,6t a b =+∈，223a ab b a b++++()()223a a t a t a t+-+-+=223a at t t-++=232331136662a a t a a a a t ++=+-<+-=-+11396562<⨯-+=，又53m >， ()2233a ab b m a b ∴+++<+，即2233a ab b m a b+++<+，即原式得证，故D 正确. 故选：BCD ． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用函数的单调性比较大小，对于D 项可以利用分析法找出突破点. 三、填空题12．（2021·天津南开区·高三一模）已知0a >，0b >，1a b c ++=，则2221a b c ++-的最大值是______． 【答案】2- 【分析】根据已知的等式得出1()c a b -=-+代入等式2221a b c ++-中，运用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为1a b c ++=，所以1()c a b -=-+，代入2221a b c ++-中，得222222()a b a b a b a b++++=--++， 由22222222212222()2a b ab a b ab a b a b a b +≥⇒+≥++⇒+≥+（当且仅当a b =时取等号）， 于是有22212()22a b a b ++≥++（当且仅当a b =时取等号）， 因为0a >，0b >，所以0a b +>， 因此有2221()222a b a b a b a b++++≥++（当且仅当a b =时取等号），21()2122()22a b a b a b a b ++=++≥=++，（当12()2a b a b +=+时取等号，即2a b +=时，取等号）， 所以有2221()2222a b a b a b a b ++++≥≥++（当且仅当1a b ==时取等号）， 即2222a b a b ++≥+（当且仅当1a b ==时取等号），因此有2222a b a b++-≤-+（当且仅当1a b ==时取等号），所以2221a b c ++-的最大值是2-. 故答案为：2-【点睛】 关键点睛：本题的关键一是通过已知等式对代数式2221a b c ++-进行消元变形；二是通过重要不等式222a b ab +≥，得到2221()2a b a b +≥+，进而应用基本不等式进行解题. 13．（2021·全国高三专题练习（文））已知311()(1)22x x f x x x e e --=--++-，其中e 是自然对数的底数，若(ln )(1)0f a f a ++<，则实数a 的取值范围是_________．【答案】(0,1)【分析】由已知可得()f x 关于点()1,0对称，即(ln )(2ln )f a f a =--，由导数可得()f x 为增函数，利用单调性可得答案.【详解】1111222()3(1)23(1)223(1)x x x x f x x e e x e e x ----'=--++--+-≥⨯=，当且仅当11x x e e --=，即1x =时等号成立，此时23(1)0x -=，所以()0f x '≥， 所以()f x 是单调递增函数，令()1t x t R =-∈，则3()2t t g t t t e e -=-+-，3()2()t t g e g t t t e t --=-++=--，所以()g t 是R 上的奇函数，所以()f x 的图象关于点()1,0对称，得()()2f x f x =--，由(ln )(1)0f a f a ++<得(ln )(1)f a f a <-+，又(ln )(2ln )f a f a =--，所以(2ln )(1)f a f a --<-+，即(2ln )(1)f a f a ->+，所以02ln 1a a a >⎧⎨->+⎩即01ln a a a >⎧⎨->⎩， 由图得01a <<.故答案为：()0,1.【点睛】本题考查了函数的奇偶性及单调性，关键点是利用函数的性质解不等式，属中档题.。
高中数学讲义：数学归纳法
数学归纳法一、基础知识：1、数学归纳法适用的范围：关于正整数n 的命题（例如数列，不等式，整除问题等），则可以考虑使用数学归纳法进行证明2、第一数学归纳法：通过假设n k =成立，再结合其它条件去证1n k =+成立即可。
证明的步骤如下：（1）归纳验证：验证0n n =（0n 是满足条件的最小整数）时，命题成立（2）归纳假设：假设()0,n k k n n N =³Î成立，证明当1n k =+时，命题也成立（3）归纳结论：得到结论：0,n n n N ³Î时，命题均成立3、第一归纳法要注意的地方：（1）数学归纳法所证命题不一定从1n =开始成立，可从任意一个正整数0n 开始，此时归纳验证从0n n =开始（2）归纳假设中，要注意0k n ³，保证递推的连续性（3）归纳假设中的n k =，命题成立，是证明1n k =+命题成立的重要条件。
在证明的过程中要注意寻找1n k =+与n k =的联系4、第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设n k =命题成立时，可用的条件只有n k =，而不能默认其它n k £的时依然成立。
第二数学归纳法是对第一归纳法的补充，将归纳假设扩充为假设n k £，命题均成立，然后证明1n k =+命题成立。
可使用的条件要比第一归纳法多，证明的步骤如下：（1）归纳验证：验证0n n =（0n 是满足条件的最小整数）时，命题成立（2）归纳假设：假设()0,n k k n n N £³Î成立，证明当1n k =+时，命题也成立（3）归纳结论：得到结论：0,n n n N ³Î时，命题均成立二、典型例题例1：已知等比数列{}n a 的首项12a =，公比3q =，设n S 是它的前n 项和，求证：131n n S n S n++£思路：根据等比数列求和公式可化简所证不等式：321n n ³+，n k =时，不等式为321k k ³+；当1n k =+时，所证不等式为1323k k +³+，可明显看到n k =与1n k =+中，两个不等式的联系，从而想到利用数学归纳法进行证明证明：()11311n nn a q S q -==--，所证不等式为：1313131n n n n+-+£-()()()1313131n n n n +\-£+-1133331n n n n n n n ++Û×-£×+--321n n Û³+，下面用数学归纳法证明：（1）验证：1n =时，左边=右边，不等式成立（2）假设()1,n k k k N =³Î时，不等式成立，则1n k =+时，()()133332163211k k k k k +=׳+=+>++所以1n k =+时，不等式成立n N *\"Î，均有131n n S n S n++£小炼有话说：数学归纳法的证明过程，关键的地方在于寻找所证1n k =+与条件n k =之间的联系，一旦找到联系，则数学归纳法即可使用例2（2015，和平模拟）：已知数列{}n a 满足0n a >，其前n 项和1n S >，且()()112,6n n n S a a n N *=++Î（1）求数列{}n a 的通项公式（2）设21log 1n n b a æö=+ç÷èø，并记n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：233log ,2n n a T n N *+æö>Îç÷èø解：（1）2632n n n S a a =++①()21116322,n n n S a a n n N *---=++³Î②①-②可得：()222211116333n n n n n n n n n a a a a a a a a a ----=-+-Þ+=-0n a >Q 所以两边同除以1n n a a -+可得：13n n a a --={}n a \是公差为3的等差数列()131n a a n \=+-，在2632n n n S a a =++中令1n =可得：211116321S a a a =++Þ=（舍）或12a =31n a n \=-（2）思路：利用（1）可求出n b 和n T ，从而简化不等式可得：33633225312n n n +æö×××>ç÷-èøL ，若直接证明则需要进行放缩，难度较大。
2024高考数学数学归纳法知识点整理
2024高考数学数学归纳法知识点整理数学归纳法是高中数学中的重要概念和解题方法之一。
它是一种推理方法，用于证明一些关于整数或正整数的性质。
在高考数学中，对于数学归纳法的理解和运用都是必备的知识点。
本文将整理归纳了2024年高考数学数学归纳法的知识点，以帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
1. 数学归纳法的基本思想数学归纳法是一种证明方法，基本思想是：首先证明当n=1时命题成立，然后假设当n=k时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立。
这样，就可以通过递推的方式证明命题对于所有正整数都成立。
2. 数学归纳法的三个步骤数学归纳法主要包含三个步骤：2.1 基础步骤（或称初始步骤）首先，我们需要证明当n=1时命题成立。
这是数学归纳法的基础，也是推理的起点。
2.2 归纳步骤（或称归纳假设）假设当n=k时命题成立，我们需要证明当n=k+1时命题也成立。
这是数学归纳法的关键，通过这一步骤我们可以建立起命题成立的递推关系。
2.3 归纳结论在经过归纳步骤后，我们可以得出结论：对于所有大于等于1的正整数n，命题都成立。
这是数学归纳法的最终目标，通过这一步骤我们将命题的正确性扩展到了所有正整数上。
3. 数学归纳法的应用数学归纳法在高考数学中有广泛的应用。
下面列举几个常见的应用场景：3.1 证明数列的性质我们可以使用数学归纳法证明某个数列的性质。
以等差数列为例，假设我们已知当n=k时等差数列的某个性质成立，通过归纳步骤可以推导出当n=k+1时该性质也成立。
3.2 证明数学等式数学归纳法也可以用来证明某些数学等式的成立。
例如，我们可以使用数学归纳法证明等式1+2+...+n=n(n+1)/2。
3.3 证明不等式的性质对于一些数学不等式，我们也常常使用数学归纳法进行证明。
例如，证明2^n > n^2对于所有大于等于5的正整数n成立。
4. 数学归纳法的注意事项在使用数学归纳法时，需要注意以下几个方面：4.1 对于基础步骤的证明要充分，不能遗漏。
公事员考试行测数学运算题型总
数学运算题型总汇经分析历年公事员考试行政职业能力考试试卷，发觉数学运算部份题型众多，且每一年都在推陈出新。
依照题目的特点，可将貝分为五大类三十二个题型。
计算方式一.尾数计算法1! +2! +3! +4! +5! +……1000!尾数是几？解析：5!为0, 5以后的数的！都为0,因此咱们要算那个数的尾数，只算1!, 2!, 3!, 4!就能够够了，1!的尾数为1,2!的尾数为2,3!的尾数为6,4!的尾数为4,因此该式的尾数为(1+2+6+4=13) 3o 注：！为阶乘，那么〃！所表达的意思确实是小于和等于"的自然数的乘积，比如说5! =1X2X3X4X5O二.提取公因式法_1912 + 12x2 + —X3 + ...+ — X1O注意到相同部份99提取99 99 99 9919 八° °19 10(1 + 10) 95—x(l + 2 + 3・・・+10)——x --------- -------- —原式=99 二99 2 二9三•重复数字的因式分解■•=(3737X10000+3737)十(8181X10000+8181)=(37X1010000+37X101) F (81X1010000+81X101) = (37X1010101)宁(81X1010101) =37/81四.整体代换法(1 + l + l)x(i + l + l).(l + i + l + l)x(l + l)2 3 2 3 4 2 3 4 2 3解析：这道题，若是咱们直接算的话会很烦琐, 展开式的项数太多，增加计算量，先观看没项1 1 1 1--- 1 - ------------- ! --的相同部份，可知为2 3 ,令2 3二°£把分式7令为〃，如此原式就简化为为多少?(1 + a) x (a + b) —(1 + ° + b) x a ,如此来计算就简便多了。
数学中的同一法
数学中的同一法
数学中的同一法是指在不同的数学领域中采用相同的方法或思想来解决问题。
这种方法可以大大简化问题的处理和解决过程，提高数学的应用效率。
比如，在代数和几何中常常都会用到变形、化简和推导等方法，这些方法在不同的领域中可以互相应用。
另外，矩阵、向量、微积分等数学工具也在不同的领域中都有广泛应用，它们的运算规律和性质都是相同的，因此也可以被视为同一方法。
同时，数学中的同一法也体现了数学的内在统一性和整体性。
不同的数学领域和分支都是相互联系和依存的，它们之间的交叉和融合可以促进数学的发展和应用。
因此，对于学习数学的人来说，了解和掌握数学中的同一法是非常重要的，它可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，提高数学学习的效率和质量。
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如何使用数学归纳法
如何使用数学归纳法《嘿，数学归纳法咋用？我来告诉你！》咱今儿来说说数学归纳法这玩意儿，可别被它吓着，其实还挺好玩的呢！就说我有一次帮我表弟辅导作业，那题啊，是要证明一个关于自然数的式子。
我就想起来数学归纳法啦。
数学归纳法呢，就像爬楼梯。
第一步，咱得先看看这楼梯的第一阶咱能不能上去，这就是奠基。
比如说要证明一个式子对于所有自然数都成立，咱先得看看当n = 1的时候，这个式子对不对。
就像我表弟那题，把n = 1代进去，一算，嘿，式子成立，这就像咱稳稳地站在了楼梯的第一阶上啦。
然后呢，第二步可关键啦，这是假设。
咱就假设啊，这个式子对于第k 个自然数是成立的，这里的k 啊，就像是楼梯中间的某一阶，咱先假设自己已经站在这一阶上了。
不过这只是假设哦，就像你想象自己站在半空的某一阶楼梯上，但是还得确定这事儿靠谱。
最后一步，就是递推啦，这是要证明当n = k + 1的时候式子也成立。
这就好比你从假设站着的第k 阶，得能跨到第k + 1阶。
要是能跨过去，那就不得了啦，这意味着你能从第一阶，顺着这个方法一直爬到顶楼，也就是这个式子对于所有自然数都成立。
我和表弟一起做那道题的时候，先验证了n = 1，然后假设n = k 时式子成立，接着就开始摆弄那些式子，想办法把n = k + 1的情况和n = k 的情况联系起来。
就像搭积木一样，把已知的和要证明的一点点拼起来。
我们又是算啊，又是变形啊，那过程就像在迷宫里找出口，可刺激了。
最后，嘿，终于把n = k + 1的式子也弄对啦，就像找到了迷宫出口一样，高兴得我们呀。
你看，数学归纳法就是这么个事儿。
先看看起始点行不行，再假设中间某个点行，最后证明从这个点能走到下一个点。
这就像连锁反应，一个连着一个，最后把所有自然数都给“征服”啦。
以后再遇到那种要证明关于自然数的式子，就别慌，拿出数学归纳法这个法宝，一步一步来，就像爬楼梯一样，稳稳当当的，保管能把题做出来。
【中考复习】中考数学重点难点七大解题法
【中考复习】中考数学重点难点七大解题法1、归纳法通过归纳或分析证明平面几何问题的困难在于增加了辅助线。
面积法的特点是将已知量和未知量通过面积公式连接起来，通过运算得到验证结果。
因此，在用面积法求解几何问题时，几何元素之间的关系变成了量与量之间的关系，只需要计算。
有时不需要添加辅助线。
即使需要增加辅助线，也很容易考虑。
2、几何变换法在数学问题的研究中，通常采用变换法将复杂问题转化为简单问题。
所谓的转换是从集合的任何元素到同一集合的元素的一对一映射。
中学数学中涉及的变换主要是初等变换。
有些练习似乎很难甚至不可能开始。
借助于几何变换方法，我们可以把复杂变成简单，把困难变成轻松。
另一方面，转化观也可以渗透到中学数学教学中。
将等静态条件下的图形研究与运动条件下的图形研究相结合，有利于理解图形的本质。
几何变换包括：(1)平移；(2)旋转；(3)对称。
3.替代法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4.判别法和威达定理一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c属于r，a≠0)根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
除了知道一个变量的二次方程的一个根外，威达定理还发现了另一个根；除了知道两个数的和与积并求这两个数的简单应用外，它还可以求根的对称函数，计算二次方程根的符号，求解对称方程组，以及解决一些与二次曲线有关的问题。
5、待定系数法在解决数学问题时，如果我们首先判断结果有某种形式，其中包含一些待定系数，然后根据问题设置条件列出关于待定系数的方程式，最后求出这些待定系数的值或找出这些待定系数之间的某种关系，从而解决数学问题，这种解决问题的方法称为待定系数法。
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数学归纳法、同一法、整体代换法
一、函数方程思想
从而解决问题的一种思维方式，函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处置变量或未知数之间的关系。
很重要的数学思想。
并研究这些量间的相互制约关系，1.函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达进去。
最后解决问题，这就是函数思想；
确立变量之间的函数关系是一关键步骤，2.应用函数思想解题。
大体可分为下面两个步骤：1根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；2根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题；3方程思想：如何学好高中数学某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时经常列出这些变量的方程或（方程组）通过解方程（或方程组）求出它这就是方程思想；
之间相互渗透，3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念。
很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法的支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想。
二、数形结合思想
对于所研究的代数问题，数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一。
有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决（以形助数）或者对于所研究的几何问题，可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决（以数助形）这种解决问题的方法称之为数形结合。
发挥数的思路的规范性与严密性，1.数形结合与数形转化的目的为了发挥形的生动性和直观性。
两者相辅相成，扬长避短。
宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一。
因此，2.恩格斯是这样来定义数学数学研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”这就是说：数形结合是数学实质特征。
数学学习中突出数形结合思想正是充分掌握住了数学精髓和灵魂。
数量关系决定了几何图形的性质。
3.数形结合的实质是几何图形的性质反映了数量关系。
形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非。
数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形：或借助于数的精确性来阐明形的某些属性,4.华罗庚先生曾指出：数缺性时少直观。
或者借助于形的几何直观性来说明数之间的某种关系.
历年高考解答题都有关于这个方面的考查（即用代数方法研究几何问题）而以形为手段的数形结合在高考客观题中体现。
5.把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中。
6.要抓住以下几点数形结合的解题要领：
可直接从几何图形入手进行求解即可； 1对于研究距离、角或面积的问题。
可通过函数的图象求解（函数的零点，2对于研究函数、方程或不等式（最值）问题。
顶点是关键点）作好知识的迁移与综合运用；
3对于以下类型的问题需要注意：可分别通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x2+y2=1上的点及余弦定理进行转化达到解题目的
三、分类讨论的数学思想
当问题的对象不能进行统一研究时，分类讨论是一种重要的数学思想方法。
就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。
引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种： 1.有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决。
1涉及的数学概念是分类讨论的
2运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的
3求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；
这些参变量的不同取值导致不同的结果的 4数学问题中含有参变量。
需要采取分类讨论的解题战略来解决的 5较复杂或非常规的数学问题。
中学数学中有极广泛的应用。
根据不同规范可以有不同的分类方法，2.分类讨论是一种逻辑方法。
但分类必需从同一规范动身，做到不重复，不遗漏，包括各种情况，同时要有利于问题研究。
四、化归与转化思想
就是研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，所谓化归思想方法。
进而达到解决的一种方法。
一般总是将复杂的问题通过变化转化为简单的问题，将难解问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题。
立体几何中常用的转化手段有
把已知元素和未知元素聚集在一个平面内，1.通过辅助平面转化为平面问题。
实现点线、线线、线面、面面位置关系的转化；
通过平移或射影达到将立体几何问题转化为平面问题，2.平移和射影。
化未知为已知的目的
3.等积与割补；
4.类比和联想；
5.曲与直的转化；
面积比，6.体积比。
长度比的转化；
把代数与几何融合为一体。
7.解析几何自身的创建过程就是数”与“形”之间互相转化的过程。
解析几何把数学主要研究对象数量关系与几何图形联系起来。
二、中学数学常用解题方法
1.配方法
其基本形式是ax2+bx+c=.高考中常见的基本配方形式有：配方法是指将一代数形式变形成一个或几个代数式平方的形式。
1a2+b2=a+b2-2ab=a-b2+2ab;
22a2+b2+ab=;
33a2+b2+c2=a＋b+c2-2ab– 2ac– 2bc;
44a2+b2+c2-ab– bc– ac=[a-b2+b-c2+a-c2];
5;
求解与证明及二次曲线的讨论。
配方法主要适用于与二次项有关的函数、方程、等式、不等式的讨论。
2.待定系数法
通过引入一些待定的系数，㈠待定系数法是把具有某种确定性时的数学问题。
转化为方程组来解决。
待定系数法的主要理论依据是
1多项式fx=gx充要条件是对于任意一个值a都有fa＝ga;
2多项式fx≡gx充要条件是两个多项式各同类项的系数对应相等；
㈡运用待定系数法的方法是
1确定所给问题含待定系数的解析式（或曲线方程等）
列出一组含待定系数的方程； 2根据恒等条件。
从而使问题得到解决； 3解方程或消去待定系数。
求曲线的方程，㈢待定系数法主要适用于：求函数的解析式。
因式分解等。
3.换元法
返回去求原变量的结果。
换元法通过引入新的元素将分散的条件联系起来，换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量（或代数式）对新的变量求出结果之后。
或者把隐含的条件显示进去，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的问题。
其理论根据是等量
代换。
高中数学中换元法主要有以下两类：
以“式”换“元” 1整体换元：以“元”换“式”2三角换元。
还有对称换元、均值换元、万能换元等；换元法应用比较广泛。
如解方程，3此外。
解不等式，证明不等式，求函数的值域，求数列的通项与和等，另外在解析几何中也有广泛的应用。
运用换元法解题时要注意新元的约束条件和整体置换的战略。
4.向量法
解题常用下列知识：向量法是运用向量知识解决问题的一种方法。
两个向量共线的充要条件；2平面向量基本定理及其理论； 1向量的几何表示。
3利用向量的数量积处置有关长度、角度和垂直的问题；
4两点间距离公式、线段的定比分点公式、平移公式；
5.分析法、综合法
逐步推出能使它成立的条件，1分析法是从所求证的结果动身。
直至已知的事实为止；分析法是一种“执果索因”直接证法。
逐步推出所要求证的结论。
综合法是一种“由因导果”叙述流畅的直接证法。
2综合法是从已经证明的结论、公式动身。
思路清晰，3分析法、综合法是证明数学问题的两大最基本的方法。
分析法“执果索因”分析方法。
容易找到解题路子，但书写格式要求较高，不容易叙述清楚，所以分析法、综合法经常交替使用。
分析法、综合法应用很广，几乎所有题都可以用这两个方法来解。
6.反证法
因为命题p与它否定非p真假相反，反证法是数学证明的一种重要方法。
如何学好高中数学所以要证一个命题为真，只要证它否定为假即可。
这种从证明矛盾命题（即命题的否定）为假进而证明命题为真的证明方法叫做反证法。
㈠反证法证明的一般方法是
即假设结论的反面成立； 1反设：假设命题的结论不成立。
经过正确的推理论证,2归谬：从命题的条件和所作的结论动身.得出矛盾的结果；
从而肯定的结论正确； 3结论：有矛盾判定假设不正确。
㈡反证法的适用范围：1已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少时的命题；
特别是结论是否定形式（不是不可能”不可得”等的命题；3涉及各种无限结论的命题；4以“最多（少）若干个”为结论的命题；5存在性命题；6唯一性命题；7某些定理的逆定理；2结论的反面是比原结论更具体、更简单的命题。
8一般关系不明确或难于直接证明的不等式等。
㈢反证法的逻辑依据是矛盾律”和“排中律”。