北京市崇文区达标名校2019年高考三月调研数学试卷含解析

北京市崇文区达标名校2019年高考三月调研数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数24y x =-的定义域为A ，集合(){}

2log 11B x x =+>，则A B =（ ） A ．{}12x x <≤ B ．{}22x x -≤≤ C ．{}23x x -<< D ．{}

13x x << 2．函数()2x

x e f x x =的图像大致为（ ） A ． B ．

C ．

D ．

3．若函数32()3f x ax x b =++在1x =处取得极值2，则a b -=（ ）

A ．-3

B ．3

C ．-2

D ．2

4．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ）

A ．35

B ．710

C ．45

D ．910

5．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 、Q 分别为AB 、AD 的中点，过点D 作平面α使1//B P 平面α，1//A Q 平面α若直线11B D ⋂平面M α=，则

11MD MB 的值为（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．23

6．运行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为99，则判断框中可以填（ ）

A ．1S ≥

B ．2S >

C ．lg99S >

D ．lg98S ≥

7．若直线2y x =-的倾斜角为α，则sin 2α的值为（ ）

A ．45

B ．45-

C ．45±

D ．35 8．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝( )． A ．12 B ．5 C ．5 D ．5

9．复数()1z i i -=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

10．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为2，则输出的v 值为( )

A ．10922⨯-

B ．10922⨯+

C ．11922⨯+

D ．11922⨯- 11．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )

A ．

B ．2

C ．3

D ．6

12．给出以下四个命题：

①依次首尾相接的四条线段必共面；

②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；

③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；

④垂直于同一直线的两条直线必平行.

其中正确命题的个数是（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知2

30x dx n =⎰，则(1)n x y ++展开式中2x y 的系数为__ 14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左、右焦点和点()2,P a b 为某个等腰三角形的三个顶点，则双曲线C 的离心率为________.

15．已知函数()()2cos 10,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=++>>0,0<< ⎪⎝⎭

的最大值为3，()f x 的图象与y 轴的交点坐标为()0,2，其相邻两条对称轴间的距离为2，则()()()122015f f f ++⋅⋅⋅+=

16．已知实数0a ≠，对任意x ∈R ，有()5

2501251ax a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，且1240a a +=，则0125a a a a +++⋅⋅⋅+=______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是边长为2的等边三角形，1BC BB ⊥，12CC =，16AC =.

（1）证明：平面ABC ⊥平面11BB C C ；

（2）M ，N 分别是BC ，11B C 的中点，P 是线段1AC 上的动点，若二面角P MN C --的平面角的大小为30，试确定点P 的位置.

18．如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ，1SD =，5cos 5

ASD ∠=，底面ABCD 是边长为2的菱形，点E ，F 分别为棱DC ，BC 的中点，点G 是棱SC 靠近点C 的四等分点.

求证：（1）直线SA 平面EFG ；

（2）直线AC ⊥平面SDB.

19．（6分）已知函数

(R)a ∈. (Ⅰ) 求函数()f x 的单调区间；

(Ⅱ) 当0a >时，求函数()f x 在[1,2]上最小值.

20．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心为坐标原点,O 焦点在x 轴上，右顶点()2,0A 到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为

12

． （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若,M N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两点，设()4,0P -，连接PM 交椭圆C 于另一点E ．求证：直线NE 过定点,B 并求出点B 的坐标；

（3）在（2）的条件下，过点B 的直线交椭圆C 于,S T 两点，求OS OT ⋅的取值范围． 21．（6分）已知椭圆C ：()22

2210x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2，且经过点31,2T ⎛⎫-- ⎪⎝

⎭，斜率为()0k k >的直线1l 经过点()0,2M ，与椭圆C 交于G ，H 两点. （1）求椭圆C 的方程；

（2）在x 轴上是否存在点(),0P m ，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由.

22．（8分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos ,1sin x t y t =+⎧⎨=+⎩

（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为02πθαα⎛

⎫=<< ⎪⎝⎭

，直线l 交曲线C 于,A B 两点，P 为AB 中点.