群论-群论基础
群论基本概念
群论基本概念
群论是数学中的一个分支，主要研究群及其性质。
群是一个集合，它满足以下四个基本性质：
1. 封闭性：群中的任意两个元素进行运算后得到的结果仍然属于群中。
2. 结合律：群中任意三个元素a、b、c进行运算时，括号的不同组合得到的结果是相同的，即：(a·b)·c=a·(b·c)。
3. 单位元：存在一个元素e，满足对于群中的任意元素a，e·a=a·e=a。
4. 逆元：群中任意元素a都存在一个元素a’，使得a·a’=a’·a=e。
此外，群还满足以下性质：
5. 唯一性：群中的单位元和逆元各自唯一。
6. 可逆性：群中任意两个元素的运算结果也属于群，且任意元素在群中都存在逆元。
7. 交换律：对于群中任意两个元素a和b，满足a·b=b·a，则称该群为交换群或阿贝尔群。
8. 子群：若群G中的一个非空子集H也满足对于群的四个基本性质，则称H为群G的子群。
9. 同态：若两个群之间存在一个映射，满足相应元素的运算关系保持不变，则称这两个群是同态的。
10. 同构：若两个群之间存在一个双射的同态映射，则称这两个群是同构的，即它们的结构完全相同。
群论群论基础课件
式中 y 称为 x 在B 上的象，而 x 称为 y 在 A 上的原象。
对应规则：与函数的比较
群论-群论基础-集合与运算
满射 单射 一一映射 逆映射： f -1 恒等映射：e
变换： 体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换 若f 是一一映射，则称为对称变换 一一变换有性质：
物理学中的群论
—— 群论基础
主讲 翦知渐
群论
教材与参考书
教材： 自编
参考书：群论及其在固体物理中的应用 （徐婉棠）
物理学中的群论 （马中骐）
物理学中的群论基础 （约什）
群论
物理学中的群论
第一章 群论基础 第二章 晶体对称群 第三章 群表示理论 第四章 三维转动群 第五章 群论在量子力学中的应用
群论-群论基础
二元运算一般也称为“乘法”—— 数值加法 数值乘法 对称操作……
集合的所有代数性质都由其乘法结果决定
群论-群论基础-集合与运算
乘法表：有限集
A
l
m
O
D3
e
a
b
B
k
l
k
m
C
ee
a
b
k
l
m
aa
b
e
m
k
l
bb
e
a
l
m
k
kk
l
m
e
a
b
ll
m
k
b
e
a
mm
k
l
a
b
e
4 同态与同构
群论-群论基础-集合与运算
设 A 和 B 是两个不同集合，其中分别定义了乘法 ·和 ×； 若有满射 f ，使得对于 yi = f ( xi ), yj = f ( xj )来说有
群论基本知识及一些重要定理
群论基本知识及⼀些重要定理群论⼀.基本定义群：给定⼀个集合G={a,b,c...}和集合上的⼆元运算"·"，要求满⾜下⾯四个条件①.封闭性：对于任意a,b\in G，⼀定存在c\in G，使得a·b=c②.结合律：对于任意a,b,c\in G,有(a·b)·c=a·(b·c)③.单位元：存在e\in G，使得对任意a\in G,有a·e=e·a=a④.逆元：对任意a\in G，均存在b\in G,使得a·b=e，其中b称作a的逆元，记作a^{-1}=b如果⼀个集合满⾜这个条件，那么就称这个集合是在运算·下的⼀个群⼦群：设G是⼀个群，H是G的⼀个⼦集，且H在相同意义下仍然构成⼀个群，那么称H是G的⼀个⼦群接下来将运算a·b简记为ab⼆.基本性质：①.⼀个群的单位元是唯⼀的②.群中任意元素的逆元是唯⼀的③.对a,b,c\in G，若ab=ac，则b=c④.(abcd...m)^{-1}=m^{-1}l^{-1}...a^{-1}（这⾥做⼀个说明：群的定义及性质中均没有要求交换律，因此不要想当然地在群运算中进⾏交换操作！）三.置换群：（接下来的内容有个⼈理解成分在内，如果有不准确的部分请及时指出，谢谢！）1.置换的定义：记⼀个序列{a_{n}}={a_{1},a_{2}...a_{n}}是1~n的⼀个排列定义⼀个置换p=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}其含义是⽤a_{1}取代原来的元素1，⽤a_{2}取代原来的元素2...⽤a_{n}取代原来的元素n置换的运算定义如下：设两个元素p_{1}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix},p_{2}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\b_{1}&b_{2}&...&b_{n} \end{pmatrix}，则运算p_{1}p_{2}过程如下：p_{1}p_{2}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\b_{1}&b_{2}&...&b_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&...&a_{n}\\b_{a_{1}}&b_{a_{2}}&...&b_{a_{n}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\b_{a_{1}}&b_{a_{2}}&...&b_{a_{n}}\end{pmatrix}同理可以看出：如果我们计算p_{2}p_{1}，则得到的结果应当是\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{b_{1}}&a_{b_{2}}&...&a_{b_{n}} \end{pmatrix} 2.置换群的定义：那么定义置换群G={p_{1},p_{2}...p_{m}}不难发现，n个元素的⼀个置换与1~n的⼀个排列相对应，因此由1~n的全排列所对应的n!个置换可以构成⼀个群，记作S_{n}，称S_{n}为n 个⽂字的对称群（|S_{n}|=n!）3.循环的定义：但是我们发现，每次写⼀个置换太复杂了，因此我们给出⼀个简单记法：记(a_{1},a_{2}...a_{m})=\begin{pmatrix} a_{1}&a_{2}&...&a_{m}\\a_{2}&a_{3}&...&a_{1} \end{pmatrix}稍微解释⼀下：原本的⼀个置换可以写作\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}，那么我们可以把这个置换群写成这个形式：\begin{pmatrix} 1&a_{1}&...&n\\a_{1}&a_{p}&...&a_{q} \end{pmatrix}也就是说我们直接把⼀个置换连续相接，就能得出⼀个循环，这样得出的循环就是上⾯那个形式但是，⼀个循环中不⼀定会出现所有n个元素，⽽且⼀个置换可能需要由⼤量这种循环来构成举个例⼦：S_{3}={(1)(2)(3),(2 3),(1 2),(1 3),(1 2 3),(1 3 2)}可以发现，每个元素不⼀定会出现在每个循环之中，原因是如果⼀个元素i满⾜i=a_{i}，那么这个元素就不必（也⽆法）写⼊循环了⽽且，如果对于每个i都有a_{i}=i，那么肯定不能全都省略，因此对于这种由多个循环组成的置换我们⼀般把它写成⼀个循环乘积的形式。
第七章 群论基础 - ===欢迎访问结构化学精品课程网站===
⎡ −1 ⎢ 2 ⎢ 2 ˆ C3 = ⎢ − 3 2 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 3 2 2 0⎤ ⎥ ⎥ ˆ (240) 0⎥ = C 3 ⎥ 1⎥ ⎥ ⎦
ˆ φ = 1200 C 3,
n
y ' = x sin φ + y cos φ
(x, y)
φ
α
z' = z
⎡ x' ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡cos φ ⎢ '⎥ ˆ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ y ⎥ = C (φ ) ⎢ y ⎥ = ⎢ sin φ ⎢ z' ⎥ ⎢ ⎣z⎥ ⎦ ⎢ ⎣ 0 ⎣ ⎦ − sin φ cos φ 0 0⎤ ⎡ x ⎤ ⎢ y⎥ 0⎥ ⎥⎢ ⎥ 1⎥ ⎦⎢ ⎣z⎥ ⎦
理论与计算化学实验室
第七章 群论基础
量子化学与群论
Ĉ3
Ĉ
Ĉ3
3
3
Ĉ
3=
Ĉ
3
2
Ĉ3
=Ê
Ĉ3
旋转轴次 n =
2π
α
； α 为基转角 （规定为逆时针旋转）
理论与计算化学实验室
第七章 群论基础
量子化学与群论
7.2.2 分子点群
分子中或多或少地存在一些对称元素, 这些对称元 素对应的对称操作的组合满足群的定义, 构成群, 称为对 称操作群. 因为分子中的对称元素至少通过一点公共点, 故称为点群. 对称操作构成群的命题可以用通过乘法表示验证：
量子化学与群论
对称操作的表示矩阵为：
⎡ a11 ⎢a ⎢ 21 ⎢ ⎣ a31
a12 a22 a32
a13 ⎤ ⎥ a23 ⎥ a33 ⎥ ⎦
物理学中的群论基础第一章
平面上所有平移的集合 平面上所有平移的集合 √ 平面上以一个定点为中心的所有旋转的集合 平面上以一个定点为中心的所有旋转的集合 平面上所有轴反射的集合 平面上所有轴反射的集合
√
a1 a2
×
1.1.2正方形的对称性群 正方形的对称性群 (1)平面上正方形 )平面上正方形ABCD的对称变换群 的对称变换群
B
A
A
B
6 :
C B D A D D C A
7:
C B D A C B B C
8 :
C D A D
(2)S(K)中的运算举例 ) 中的运算举例
2 1 = 2
B A B A A D
2π π
C D
1
C
2π π
D
2
B
——
π 2
C
2 5 = 7
B A C D D A
5
C D B A
2
C
B
(3)S(K)中的幺元 ) 中的幺元
生成一个群, 例:由元素A生成一个群,只要求 n=E,n是满足此关系式的最 由元素 生成一个群 只要求A , 是满足此关系式的最 小正整数. 小正整数. 由于A是群中的一个元素,所有它的整数幂必定也在这个群中. 由于 是群中的一个元素,所有它的整数幂必定也在这个群中. 是群中的一个元素 故可以生成群的新元素, , 故可以生成群的新元素,A2,A3,…,直到 n=E,更高次幂不能 ,直到A , 给出新元素,因为A 所求得群, 给出新元素,因为 n+k= Ak.所求得群,故所求得群阶为 所求得群 故所求得群阶为n. 生成一个群, 例:由两元素A和B生成一个群,只要求 2=B3=(AB)2=E. 由两元素 和 生成一个群 只要求A 由于A 由于 2=E和B3=E,此群必包含元素 ,A,B,B2. 它一定也包 和 ,此群必包含元素E, , , 含所有A,B和B2的乘积. 因此得到两个新元素AB和BA. A和B不 含所有 , 和 的乘积 因此得到两个新元素 和 和 不 对易,否则由(AB)2=E将得到 对易,否则由 将得到 E=ABAB=A2B2=B2. ABAB= AB 和BA是不同的元素. 由此生成6个元素E, A, B, B2, AB, BA. BA是不同的元素 由此生成6个元素E 是不同的元素. AB, 可以证明,这个集合是一个群,即它对乘法是封闭的. 可以证明,这个集合是一个群,即它对乘法是封闭的.
群论基础
第七章 群论基础学习指导 7.1 群的定义及性质群 如果一个含幺半群中每个元素都有逆元，即：),(⊗G G g ∈∀都有逆元，则称为一个群，称二元运算“G g∈−1),(⊗G ⊗”为乘，一般将),(⊗G 的单位元记为e 。
为简便起见，在不致混淆的情况下，将群),(⊗G 简记为，a G b ⊗简记为。
类似于半群，我们可以将群分为交换群与非交换群，有限群与无穷群等等；集合中元素的个数称为有限群G 的阶，记为。
ab G ||G 群是一种特殊的含幺半群。
因而群具有半群（或含幺半群）所有的性质。
下面是群独有的性质：定理（无零元性质） 设G 是群并且，则群无零元。
1||>G G 定理（满足消去律） 群G 满足消去律，即对,,,G c b a ∈（1）由可以推出；（2）由ba ab ac =b c =ca =可以推出b c =。
定理（单位元是幂等元） 群G 中只有单位元e 是幂等元。
定理（方程唯一解性质） 设是群，则对于G G b a ∈∀,，方程ax b =和在中均有唯一的解。
ya b =G 定理（逆元性质） 设G 是群，则（1）对于G b a ∈∀,，有11()ab b a 1−−−=。
（2）对于，有。
G a ∈∀a a =−−11)(定理（交换群判别） 群G 是交换群的充分必要条件是对G b a ∈∀,，有。
222()a b ab =元素的阶 对于群G 的元素a ，如果存在正整数使得，则的阶定义为使得上式成立的最小正整数；如果对于任何正整数n 都不成立，则定义的阶为；a 的阶记为|。
任何群的单位元的阶都是1，而且只有单位元的阶才会是1。
n e a n =a n e a n =a ∞|a 定理（元素与其逆元有相同阶） 对群中的任何元素 G G a ∈，与均有相同的阶。
a 1−a定理（元素阶的性质） 设群G 中元素 G a ∈的阶是。
则对正整数，的充分必要条件是整除。
所以，如果存在正整数使得，则a 的阶是的因子。
群论-群论基础
群论-群论基础物理学中的群论——群论基础主讲翦知渐群论教材教材与参考书教材：⾃编参考书群论及其在固体物理中的应⽤参考书：群论及其在固体物理中的应⽤（徐婉棠）物理学中的群论（马中骐）物理学中的群论基础（约什）群论-群论基础第章群论基础第⼀章群的基本概念和基本性质§1.1 集合与运算§1.2群的定义和基本性质§1.3 ⼦群及其陪集13§1.4 群的共轭元素类§1.5 正规⼦群和商群§1.6 直积和半直积16§1.7 对称群§1.8 置换群§1.1集合与运算抽象代数的基本概念1集合抽象代数研究的对象什么都不是，所以什么都是集合的直乘：C=A×B，表⽰“C的元素是由A和B两个集合的元素构成的⼀对有序元”，也称为A和B的直乘，⽤符号表⽰即：, a2,…, a i,…}，B={b1, b2,…, b j,…}，则集合设A={aA}B b b}则集合1C=A×B={(a i,b j)| a i∈A, b j∈B}是A与B的直乘。
定义设是两个集合若有种规则使得2映射定义：设A 与B 是两个集合，若有⼀种规则f ，使得A 的每⼀个元素在B 上都有唯⼀的元素与之对应，这种对应规则f 的⼀个映射记为就称为A 到B 的个映射，记为f ：A → Bf ：x → y = f ( x ) ,或写为f y f (),式中y 称为x 在B 上的象，⽽x 称为y 在A 上的原象。
对应规则函数对应规则：函数满射单射⼀⼀映射逆映射：f -1恒等映射：e变换恒等映射：体系A 的⼀个⾃⾝映射f 称为A 的⼀个变换，若f 是⼀⼀映射则称为对称变换⼀⼀变换有性质：射，则称为对称变换。
变换有性质：f f -1= f -1f = e3⼆元运算定义：若对A 上的每对有序元(a, b ) ，在A 上有唯确定的A每⼀对a,b)A上有唯⼀确定的c与之对应，即有⼀规则R 使得A×A → A，则R 称为A上的⼀个⼆元运算，记为()()R：A×A → A，或R：a, b ) →c= R(a, b)⼀般记为c = a·b，或c = ab。
群论的基本概念和运算
群论的基本概念和运算群论是数学中的一个重要分支，研究的是集合上的一种代数结构，称为群。
群具有丰富的数学性质和广泛的应用，是现代数学中不可或缺的基础工具。
本文将介绍群论的基本概念和运算。
一、群的定义和基本性质群是一个非空集合G，配上一种二元运算"·"，如果满足下列四个条件：1.封闭性：对于任意的a，b∈G，a·b也属于G。
2.结合律：对于任意的a，b，c∈G，有(a·b)·c = a·(b·c)。
3.单位元：存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，有a·e = e·a = a。
4.逆元：对于任意的a∈G，存在一个元素a'∈G，使得a·a' = a'·a = e。
群的基本性质如下：1.单位元唯一性：群中的单位元只有一个。
2.逆元唯一性：群中的元素的逆元唯一。
3.消去律：若a·b = a·c，则b = c；若b·a = c·a，则b = c。
二、群的示例下面以一些常见的群为例介绍群的概念。
1.整数加法群（Z，+）：整数集合配上加法运算构成一个群。
单位元为0，每个元素的逆元为其相反数。
2.整数乘法群（Z*，×）：整数集合去掉0后，配上乘法运算构成一个群。
单位元为1，每个非零整数的逆元为其倒数。
3.矩阵群（GL(n，R)）：n阶实数矩阵集合中，可逆矩阵配上矩阵乘法运算构成一个群。
单位元为单位矩阵，每个可逆矩阵的逆矩阵存在且唯一。
4.置换群（Sn）：由n个元素的全排列组成的集合，配上排列的乘法运算构成一个群。
单位元为恒等排列，每个排列的逆排列存在且唯一。
三、群的运算群的运算包括闭包性、结合律、单位元和逆元。
群运算的一些性质如下：1.闭包性：群的运算必须满足封闭性，即群中的任意两个元素的运算结果仍然属于群。
2.结合律：群的运算必须满足结合律，即对于群中的任意三个元素a，b，c，有(a·b)·c = a·(b·c)。
群论的基本理论及其应用
群论的基本理论及其应用群论是现代数学中的一个重要分支，它研究的对象和思想对现代科学和技术的发展具有深远影响。
本文将简要介绍群论的基本理论，包括群的定义和基本性质、同构与同态、正则表示等，以及群论在物理、化学、密码学等领域的应用。
一、群的定义和基本性质群是指一个集合G，和一个二元运算“·”，满足以下四个条件：1. 封闭性：对于任意的a，b∈G，a·b∈G。
2. 结合律：对于任意的a，b，c∈G，(a·b)·c=a·(b·c)。
3. 单位元：存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，有a·e=e·a=a。
4. 逆元：对于任意的a∈G，存在一个元素a^-1∈G，使得a·a^-1=a^-1·a=e。
以上四个条件被称作群的基本公理，满足这些公理的集合和运算就构成了一个群。
除了以上四个基本性质，群还具有一些重要的衍生性质，如：1. 唯一性：群的单位元和逆元是唯一的。
2. 闭合性：群的任意子集在运算下仍构成一个群。
3. 基本定理：任意群都同构于一个置换群。
二、同构与同态同构和同态是群论中最重要的概念之一。
同构指两个群之间存在一个双射函数，满足这个函数保持乘法运算，即对于任意的群元素a，b∈G，有f(a·b)=f(a)·f(b)。
同构很像一种数学上的等价关系，它说明两个群结构上是相同的。
同态指两个群之间存在一个映射，满足这个映射保持群的乘法和单位元素，即对于任意的群元素a，b∈G，有f(a·b)=f(a)·f(b)且f(e)=e'，其中e和e'分别是两个群的单位元素。
同态具有保持群结构的性质，它将一个群映射到另一个群上，并保留了群的结构特征。
三、正则表示群的正则表示是指把一个任意群转化成可逆矩阵群的一种数学方法。
这种转化方法常用于群论与物理学、化学等学科的交叉研究领域。
群论
E
不动
C
绕C轴转180o
A
绕A轴转180o D
顺时针转120o
B
绕B轴转180o F
逆时针转120o
一般的对称操作群: 分子点群,晶体点群,旋转群,置换群
2. 群论中的基本概念
(1). 群的阶: 指一个群中元素的个数; (2). 有限群与无限群: 指阶为有限及无限的群； (3). 离散群: 群的元素个数是可数有限的群; (4). 连续群: 群的元素的个数是不可数无限的群; (5). 阿贝尔群:群中任意两元素对乘法对易,即满足
┌1 2 3┐
e=∣
∣
└1 2 3┘
┌1 2 3┐
a=∣
∣
└2 1 3┘
┌1 2 3┐
b=∣
∣
└1 3 2┘
┌1 2 3┐
┌1 2 3┐
c=∣
∣
d=∣
∣
└3 2 1┘
└2 3 1┘
可以证明它们符合群的四个基本条件.
┌1 2 3┐
f=∣
∣
└3 1 2┘
例3.矩阵群:
以矩阵为群元，以矩阵乘法为群乘，构成矩阵群
A
B
D
C
D
A
C
B
B
C
A
D
（2）运算举例
B
A
2
C
D
B
A
2 1 2
B
A
1
2
C
D
2 5 7
C
D
5
A
D
2
——
2
B
C
D
A
2
C
D
B
A
C
B
（3）单位元 1
群论 第1章 群论基础(1)
在不引起歧义的情况下, 我们会省略乘法符号. 群G的元素个数称为群的阶(order), 记为|G|. 根据群的元素个数, 可以将群分为有限 群(元素的数目有限)和无限群(元素的数目无限). 在无限群中, 连续群可以用一个或多个 实参数来标记群的元素. 另一种对群的分类方式, 是按照群的乘法是否可以交换位置. 定义 2 (Abel群) G是群, 并且满足 ∀a, b ∈ G, ab = ba, 则称群G是Abel群. Abel群的乘法一般又称为加法. 例1 例2 例3 实数的集合按数值加法运算(R, +)构成Abel群. 非零实数的数值乘法(R\{0}, *)构成Abel群. n-维非奇异复矩阵按矩阵乘法构成非Abel群GL(n, C). (1.1.1)
e e a b c d f a a e d f b c b b f e d c a c c d f e a b d d c a b f e f f b c a e d 表 1.4: D3 群的乘法表
∀g ∈ G, ∃n, m ∈ N, n > m, g n = g m . 记k = n − m ∈ N, 那么 g k = e, 称使上式满足的最小自然数k 为元素g 的阶. 有限群的生成元的数目是有限的, 其中最小的数目称为有限群的秩(rank).
于是, 生成元的任意乘积可以写成标准的形式q m pn , 从而|G| = 6. 群的乘法见表 1.3. p2 p2 qp2 qp2 qp q p2 p e
e
p
q
qp
e
a
b
c
d f
e e p q qp 2 2 p p p e qp q 2 2 p p e p qp qp2 q q qp qp2 e p qp qp qp2 q p2 e 2 2 qp qp q qp p p2 表 1.3: ⟨p, q ⟩群的乘法表 对有限群, 必有
群论61群论基础
3 子群 在 G4(2)中，子集：{E, A}; {E, B}; {E, C} 构成较小的群——子
群。 定理： g 阶群 G 的任意子群 H, 它的阶 h 必为 g 的除数。即， g =hn, n 为整数。 如：G6 的子群的阶是：6 和 1，2，3。 4类 若 A = X-1BX, 称 A 和 B 共轭。若 A 和 B 及 C 共轭，则 B 与 C
共轭。相互共轭的元素完整集合称为群的类。 所有类的阶必定是群阶的整数因子。
Ex 2 把 G3, G4(1), G4(2), G5 群的元素整理成类。
6.2 对称点群
1 对称元素与对称操作
C3
σv C2
σv C2
σh C2 σv
AB3
对称元素
对称操作
——————————————————————————
A2
A2 E A
— 循环群
G = { X, X2, X3, …, Xn = E}
— Abel 群 AB = BA.
四阶群 (i) 四阶循环群
X = A X2 = B X3 = C X4 = E
G4(1) E A B C E E A BC A ABCE B B CE A C C EAB
(ii)
G4(2) E A B C E E A BC A AECB B B CE A C C BAE
E AB
E
EAB
A
ABE
B
BE A
(i) 若 AA = A2 = E -> BB = B2 = E; -> AB = B -> A = E（不合理）
(ii) 若 AA = A2 = B, AB = AA2 = A3 = E; BA = E, BB = A.
群论基础-第1章 群的基本知识
其中的元素左乘或右乘仍为该群 G. ( 群中群论无顺序 )
Ak G = G Ak = G
*
五 子群和陪集
P.12
1 子群 (subgroup)
(1) 定义：群 G 中集合 S 在相同的群乘下构成的群，为 G
的子群
( 2) 显然子群：（1）E， （2）G
(3) 子群 S 的条件和检验: （1）不变元素；
σˆv σˆv σˆv σˆ v Ĉ32 Ê Ĉ31 σˆv σˆv σˆ v σˆv Ĉ31 Ĉ32 Ê
P.8 5 列表
群的名称 数群 置换群 矩阵群 对称群
群元
群乘
数 运算(加、乘等)
置换
相继置换
矩阵
矩阵乘法
对称操作 相继操作
举例 例(1) Z3群 d3群 D3群
*
七 不变子群
P.19
1 定义：有子群 N G
若 XNX- 1 = N 或 XN = NX （X 为 G 中的任一元素）
则 N为不变子群
2 性质
(1)不变子群必包括一个或几个完整的类
（即不变子群由完整的类构成）
证明：若 群元 C N ( 注意 群元 C 与类 C 不同)
则 X C X- 1 N （∵ XNX- 1 = N, C N ）
= (YX)A(YX)-1 = ZAZ-1 ( Z = YX G )
故 C 与 A 共轭
(3) 相似矩阵
矩阵群中彼此共轭的元为彼此相似的矩阵
*
2 类: 群 G 中彼此共轭的群元构成类
P.17
对于类 C, 自然有 XCX-1 = C ( X为群 G 中任一群元)
[提问: 为什么?]
3 类的性质
(1) 单位元自成一类 （XEX-1= E）
群论-1 群论基础
一般记为c = a· b，或c = ab 。
二元运算一般也称为“乘法”—— 数值加法 数值乘法 对称操作…… 集合的所有代数性质都由其乘法结果决定
群论-群论基础-集合与运算
A
乘法表：有限集
l m O
D3 e a b k
B
k
C
e
e a b k
a
a b e l
b
b e a m
k
k m l e
l
l k m a
群论-群论基础-集合与运算
3 一些基本概念
1) 阿贝尔群：交换群
2) 有限群：可给出群表
3) 无限群：离散群，连续群
4) 群元素的阶： gn = e 群阶：|G| 5) 生成元：通过乘法产生群G的最小子集
6) 循环群：一个生成元
群论-群论基础-集合与运算
4 一些基本性质 设G = {gi } 是一个群 ∀ gi , gj ∈ G, 方程 gi x = gj ， x gi = gj 有唯一解 ( gi -1 ) -1 = gi ( gi gj ) -1 = gj -1 gi -1
群论-群论基础
第一章 群论基础
群的基本概念和基本性质
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 集合与运算 群的定义和基本性质 子群及其陪集 群的共轭元素类
§1.5
§1.6 §1.7 §1.8
正规子群和商群
直积和半直积 对称群 置换群
群论-群论基础-集合与运算
§0 绪论
群论的发展历史
群论在数学中的作用
物理学中的群论
—— 群论基础
主讲 翦知渐
群论
教材与参考书
教材： 自编 参考书：群论及其在固体物理中的应用 （徐婉棠） 物理学中的群论 （马中骐） 物理学中的群论基础 （约什）
群论基础-第2章 群表示论(3)
( U, V ) = R UR* VR
*
二, 表示矢量
12
由公式(8)的表示矩阵元的正交性定理知
R Dr i * ( R ) D j ( R ) = ij r f ------------- (8) 定义群元空间中的一组正交归一化矢量 { ( V ( i, , ) }
由群元作基矢, 按下述表式定义加, 数乘和内积, 得一矢量
空间, 为群元空间. 群元空间的维数为群的阶 h.
(1) 加: R + S
(2) 数乘: R ( 可为复数 )
(3) 内积: ( R, S ) = RS 由此可得群元空间中任意二矢量的内积为
( U, V ) = ( S S US , R R VR ) = R S ( S, R ) US* VR )
-K
-K
-K
-K )
V (312) 3-1/2 ( 0
0
L -L
L
-L )
V (321) 3-1/2 ( 0
0
L -L
-L
L)
V (322) 3-1/2 ( 1 -1
K
K
-K
-K ) *
(十一) 表示矢量的完全性关系
15
一, 表示矢量的完全性定理
i r ( ni / h ) Dr i* ( R )Dr i ( S ) = RS ----------- (11) 二, 定理含义的说明
第一部分 群论基础
第二章 群表示论 (3)
(八) 不可约表示基矢的正交性定理
2
一, 定理的内容: 若有群 G 的两个不等价, 不可约的幺正表示
其表示矩阵 维数 基函数
Di ,
ni , i( r )
群论基础-第3章 特征标理论(2)
可知
Di Dj = k Cijk Dk --------------------- (8)
由(4)式
Di = i I
--------------------- (4)
得
i j I I = k Cijk k I
[ 提问: I I = ? ]
i j = k Cijk k
[ 提问: I I = I ]
由第二步的证明结果可知, Ci Cj 必然只包含完整的类
即
Ci Cj = k Cijk Ck
因此, (1)式得证
2, 证明 (2) 式: 令 Di p 为 Ci 中诸群元第 p 个不可约表示 Dp ( np 维)
矩阵的矩阵和 ( 不是直和 ), Di p 亦为 np 维.
Di p = R Dp ( R )
( hi = hj = h3 = 2, h1 = 1, h2 = 3, E = 1 = 1 ) 4 3 2 = 2 + 2 3 2 3 2 - 3 - 1 = 0 3 = - 1/2 或 + 1
[ 提问: 哪个该舍去? 为什么? ]
[ 答案: - 1/2 该舍去, 因为模小于1 ]
*
为求2 , 再取
从而可得不可约表示特征标表的第一行和第一列 *
D3 E 3C2 2C3
3
D1 1 1
1
D2 1 a
b
D3 2 c
d
(3) 由不可约表示特征标正交性和完全性定理求其它各未知数
正交性定理: C ( hC / h ) i * ( C ) j ( C ) = ij ( 行间正交 ) 完全性定理: j ( h m / h ) i* ( Cm ) i ( Cn ) = mn ( 列间正交 ) 1, 利用正交性定理确定一维表示D2 的 a 和 b, 有
第1章 群论基础
第1章群论基础11.1基本概念..........................................11.1.1群的定义......................................11.1.2群的乘法......................................11.1.3群的生成元....................................21.1.4更多例子......................................31.1.5半群,环和域*...................................41.2群的分拆..........................................41.2.1集合的分拆....................................51.2.2共轭类.......................................51.2.3子群和陪集....................................61.2.4Lagrange 定理...................................71.2.5不变子群和商群..................................71.2.6双陪集*......................................81.3群的分类..........................................81.3.1同态和同构....................................81.3.2同态基本定理...................................91.3.3其它的同态定理*.................................101.4群在集合上的作用.....................................111.4.1置换群.......................................111.4.2置换可表示为轮换的乘积............................131.4.3置换群的共轭类..................................141.4.4置换表示......................................141.4.5轨道........................................161.5群的直积..........................................171.5.1直积........................................171.5.2半直积.......................................171.6有限群的分类定理*....................................181.6.1Abel 群的分类...................................191.6.2非Abel 群的分类..................................191.6.3小阶群表.......... (19)文件生成时间:2007年10月3日试用讲义.请不要在网上传播.您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文§1.1基本概念§1.1.1群的定义定义1(群)设G 是一些元素的集合,G ={g ,h ,···}.在G 中已经定义了二元运算·,如果G 对这种运算满足一下四个条件,•封闭:∀f ,g ∈G ,f ·g ∈G ;•结合率:∀f ,g ,h ∈G ,(f ·g )·h =f ·(g ·h );•存在唯一的单位元素:∃e ∈G ,∀f ∈G ,e f =f e =f ;•有逆:∀f ∈G ,∃唯一的f −1∈G ,f ·f −1=f −1·f =e ,则称代数结构(G ,·)是一个群,二元运算“·”称为群的乘法.二元运算是一种映射,ϕ:G ×G →G ,ϕ(f ,g )=h⇐⇒f ·g =h .在不引起歧义的情况下,我们会省略乘法符号.群G 的元素个数称为群的阶,记为|G |.根据群的元素个数,可以将群分为有限群(元素的数目有限)和无限群(元素的数目无限).在无限群中,连续群可以用一个或多个实参数来标记群的元素.另一种对群的分类方式,是按照群的乘法是否可以交换位置.定义2(Abel 群)G 是群,并且满足∀a ,b ∈G ,ab =ba ,(1.1.1)则称群G 是Abel 群.Abel 群的乘法一般又称为加法.例1实数的集合按数值加法运算(R ,+)构成Abel 群.例2非零实数的数值乘法(R \{0},*)构成Abel 群.例3n -维非奇异复矩阵按矩阵乘法构成非Abel 群GL(n,C ).§1.1.2群的乘法有限群的乘法规则可以用乘法表来表示.一元群{e }的乘法规则为ee =e .对于二元群G ={e ,a },有ee =e ,ea =a ,ae =a .a 2def=aa 有两种可能,•a 2=e ;•a 2=a ,两边同时乘以a −1,得a =e .于是可得乘法表1.1.三元群G ={e ,a ,b }的乘法规则同样可以用定义群的四个条件确定.其中a 2有三种可能,您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文e e a aae表1.1:二元群的乘法表a ab e bbe a表1.2:三元群的乘法表–ab =e b =a −1=a , ;–ab =a b =e , ;–ab =b a =e , .•a 2=a a =e , .•a 2=b ,ab =e ,ba =e ,b 2=a . 所以三元群只有一种,其乘法表列于表1.2中.很明显,以这种方式来确定乘法表非常不方便.后面讲述的一系列定理将帮助我们有效地研究群的性质.从刚才的乘法表中可以看出,群的各个元素在每一行都出现了一次,在每一列中也出现了一次.这是一个普遍性质,定理1(重排定理)群G 的乘法表的每一行(或列)都含有所有元素,只是排列顺序改变了:a ∈G , aG =G ,Ga =G .(1.1.2)证明G 封闭⇐⇒∀g ∈G ,ag ∈G ⇐⇒aG ⊆G .同样可得a −1∈G ,a −1G ⊆G ,G ⊆aG .故aG =G .重排定理1.1.2对所有的群都成立,包括无限群.连续群的乘法无法列表,例如U (1)def= g (θ)|g (θ)def =e i θ,θ∈[0,2π](1.1.3)其乘法规则为g (θ3)=g (θ1)g (θ2),(1.1.4)θ3=θ1+θ2(1.1.5)其中ϕ(θ1,θ2)=θ1+θ2(1.1.6)称为连续群的结合函数,对应有限群的乘法表.§1.1.3群的生成元先来看一种特殊的有限群.定义3(循环群)C n def={e ,g ,g 2,···,g n −1|g n =1}.(1.1.7)您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文§1.1基本概念·3·其中g k 表示k 个g 相乘.循环群的所有元素都可以由g 自乘得到,所以我们把它称为循环群的生成元,并记成C n = g |g n =e .(1.1.8)一般的群可能有多个生成元,这些生成元的集合称为群的生成元组.例如G = p ,q |p 3=e ,q 2=e ,(qp )2=e(1.1.9)有2个生成元,生成元的乘法满足如下的“对易关系”,(qp )2=q (pq )p =e pq =q −1p −1=qp 2,(1.1.10)于是,生成元的任意乘积可以写成标准的形式q m p n ,从而|G |=6.群的乘法见表1.3.e p p 2q qp qp 2ee p p 2q qp qp 2p p p 2e qp 2q qp p 2p 2e p qp qp 2q q q qp qp 2e p p 2qp qp qp 2q p 2e p qp 2qp 2qqppp 2e表1.3: p ,q 群的乘法表e a b c df e e a b c d f a a e d f b c b b f e d c a c c d f e a b d d c a b f e ffbcaed表1.4:D 3群的乘法表对有限群,必有∀g ∈G ,∃n ,m ∈N ,n >m ,g n =g m .(1.1.11)记k def=n −m ∈N ,那么g k =e ,(1.1.12)称使上式满足的最小自然数k 为元素g 的阶.有限群的生成元的数目是有限的,其中最小的数目称为有限群的秩.§1.1.4更多例子例4(正三角形的对称群)D 3={e ,a ,b ,c ,d ,f },如图1.1所示,乘法规则列于表1.4中.例5(四元群)除了循环群C 4外,还有一个四元群–反演群(Klein 群)V 4,其乘法规则如表1.5所示.其中P 表示空间反射,T 表示时间反演,PT =T P .V 4是Lorentz 群的分立子群.1P T PT 11P T PT P P 1PT T T T PT 1P PTPT T P 1表1.5:反演群的乘法表例6(二维Euclid 群)二维空间的转动及平移变换g (θ,a ,b ) x 1x 2def =cos θsin θ−sin θcos θ x 1x 2 + ab (1.1.13)您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文·4·第1章群论基础e 不动,a 绕1轴转180◦,b 绕2轴转180◦,c 绕3轴转180◦,d 绕z 轴逆时针转120◦,f绕z 轴逆时针转240◦.x图1.1:例7(仿射群)群元素g (α,β)对实数的作用定义为x def=g (α,β)x ≡αx +β,(1.1.14)这是一个2参数的非Abel 群.例8(SL(2,C )){A 2×2|A jk ∈C ,det A =1}.在矩阵乘法下构成群.§1.1.5半群,环和域*定义4(半群)如果一个集合S 上定义了二元运算“·”,且二元运算满足封闭性和结合率,则称代数结构(S ,·)为半群.定义5(环)在集合R 上定义两个二元运算加法“+”和乘法“·”,并且满足•(R ,+)是Abel 群(其单位元记为0);•(R ,·)是半群;•满足分配率,∀a ,b ,c ∈R ,a (b +c )=ab +ac ,(b +c )a =ba +ca ,(1.1.15)则称代数结构(R ,+,·)为环.如果环的乘法满足交换率则称为交换环;如果环的乘法有单位元素则称为含幺环.例9(多项式环)自变量x 的实系数多项式在加法和乘法构成含幺交换环.定义6(体和域)如果含幺环的非零元素都有逆,则称为体.如果含幺交换环的非零元素都有逆,则称为域.例10(四元数体)实四元数a +b i +c j +d k 构成体.例11有理数域Q ,实数域R 和复数域C .§1.2群的分拆研究群的方法和高等数学中的方法不同.一个基本的方法是把群“切开”来研究.您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不文您可以阅读、打印，但不文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印但不可您可以阅读、打印，但不可您可以阅读、打印，但不可您可以阅读、打印，但不可您可以阅读、打印，但不可您可以阅读、打印，但不可您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文§1.2群的分拆·5·§1.2.1集合的分拆群是集合,所以我们回顾一下在集合论中怎样把集合分开.定义7(关系)集合A ×A 的一个子集又称为集合A 上的关系.设在集合A 上定义了关系R ,则a ,b ∈A 有R 关系⇐⇒(a ,b )∈R ⇐⇒a ∼b .(1.2.1)定义8(等价关系)集合A 上满足以下三个条件的关系称为等价关系:∀a ∈A ,a ∼a ;(自反)(1.2.2)a ∼b ⇒b ∼a ;(对称)(1.2.3)a ∼b ,b ∼c ⇒a ∼c .(传递)(1.2.4)例12在人际关系中,“认识”、“朋友”不是等价关系;“同学”、“同民族”是等价关系。
群论基础-第2章 群表示论(2)
(8)
3’() = 2-1/2 1() + 2-1/2 2() [= 2-1/2 (cos2 +sin2) = 2-1/2 ]
[ 答案: 1, 将原空间划分成一个一维和一个二维的不变子空间;
2, 其表示矩阵呈准对角形式 ]
*
(2) 新老基矢 (基函数) 之间的关系
15
( 1’, 2’, 3’ ) = ( 1, 2, 3 ) S
[ 提问: 上述D3 群的表示是否为 (准) 对角形式? 为什么? ]
[ 答案: 不是, 要所有群元的表示矩阵同样对角化 ]
[ 提问: 将上述函数空间三个基函数作如下重组, 结果将如何?]
例如: 1’() = 2-1 1() - 2-1 2() + 2-1/2 3()
2’() = -2-1 1() + 2-1 2() + 2-1/2 3()
则 PS PR ( r ) = ( r ) [ D ( S ) D ( R ) ]
又 PSR ( r ) = ( r ) D ( SR )
即 有对应关系:
PS PR
=
PSR
D ( S ) D ( R ) = D ( SR )
则 D(R)与PR同构, D(R) 可作为PR 的表示, 亦为R的表示. *
由(2)式知 Alm” = i j Uli + Aij’ Ujm
[ 提问: 为什么? ]
[ 答案: 1, U+ = U* ; 2, Aij’ = ( e i , A e j ) ]
即
A” = U-1A’ U
(5)
[ 提问: 为什么 U+ = U-1 ? ]
[ 答案: U为幺正矩阵 ]
群论基础-第3章 特征标理论(1)
D ( R ) = i D i ( R ) ai ( i = 1 ------ r ) ------ (3) *
(3) 例: D3 群表示的特征标和约化 ( D5 和 D6 前面给出过) 5
类 群元
D4
4
D5
5
D6
6
┌1 0 0┐
┌1 0 0┐
┌1 0 ┐
C1 E ∣ 0 1 0∣ 3 ∣0 1 0∣ 3 ∣
R Dr i * ( R ) D j ( R ) = ij r h / nj (1) 取对角元, 即 = , = [ 思考题: 为什么? ]
则有
R D i * ( R ) D j ( R ) = ij h / nj
(2) 对 求和
[ 思考题: 是何目的? ]
1
D3 1 1 1 -1 -1
D4 1 1 -1
1 -1
D5 2 -2 0
0
0
________________________________________________________
D6 6 2 2
2
0
*
(五) 不可约表示特征标完全性定理
14
一, 关系式 [ 对照(4)’式 C hC i * (C) j (C) = ij h --- (4)’ ] i ( h m / h ) i * ( Cm ) i ( Cn ) = mn ------------------- (8)
C hC i * ( C ) j ( C ) = 1•1•2 + 3•(-1)•0 + 2•1•(-1) = 2 – 2 = 0 若令 i = j = 3, 则有
C hC i * ( C ) j ( C ) = 1•2•2 + 3•0•0 + 2•(-1)•(-1) = 4 + 2 = 6 *
群论基础——精选推荐
群论基础群论基础符号：记|G|为G的阶 ,即元素个数若H≤G ,记G/H为G中所有H的左陪集若H≤G ,记[G:H]为H对G的指数 ,即H在G中的不同的左陪集的数量群定义：若集合G≠∅ ,在G上的⼆元运算 ⋅ ,其共同构成的代数结构(G,⋅) ,满 ⾜：1.封闭性：∀a,b∈G,a⋅b∈G2.结合律：∀a,b,c∈G,(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)3.单位元：∃e∈G,∀a∈G,e⋅a=a⋅e=a4.逆元 ：∀a∈G,∃I∈G,a⋅I=I⋅a=e则(G,⋅)称为⼀个群性质：1.单位元唯⼀:若∃e1,e2,e1≠e2 ,有e1=e1⋅e2=e2 ,⽭盾2.逆元唯⼀ ：若∃I1,I2,I1≠I2 ,有I1=I1⋅e=I1⋅a⋅I2=I2 ,⽭盾⼦群定义：若H为G的⾮空⼦集 ,且(H,⋅)构成群 ,则称H是G的⼦群 ,记为H⩽商集定义：集合A为集合B关于等价关系\sim的商集合 ,记为A=B/\sim陪集定义：若G是⼀个群 ,H是G的⼀个⼦群 ,g是G的⼀个元素 ,则：gH=\{g \cdot h|h \in H\} ,则称gH为H在G内关于g的左陪集Hg=\{h \cdot g|h \in H\} ,则称Hg为H在G内关于g的右陪集性质(以左陪集为例)：1.\forall g \in G,|H|=|gH|显然运算前后阶不变2.\forall g \in G,g\in gHH必然包含e ,故必然有g \in gH3.gH=H \Longleftrightarrow g \in H由封闭性可知4.aH=bH \Longleftrightarrow a \cdot b^{-1} \in H有a \cdot b^{-1} \in H ,故由(3)可知命题成⽴5.aH \cap bH \neq \varnothing \Longleftrightarrow aH=bH设c \in aH,c \in bH ,于是\exists p_1,p_2 \in H, 使得p_1 \cdot a=c,p_2 \cdot b=c ,故 a \cdot b^{-1}=p_1^{-1} \cdot p_2 \in H ,由(4)可得命题成⽴6.H全体左陪集的并为G因为e \in H ,故得证正规⼦群定义：对于\forall g \in G，\exists gH=Hg ,则称H是G的正规⼦群Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/SuppMathOperators.js商群定义：对于群G和G的⼀个正规⼦群N ,构筑G在N上的商群 ,记为G/N ,即N 在G中所有的左陪集的集合 ,G/N=\{gN,g \in G\}拉格朗⽇定理若H为有限群G的⼦群 ,则|H|整除|G| ,|G|=|H|[G:H]证明：因为H在G中的每⼀个左陪集都是⼀个等价类 ,把G做左陪集分解 ,由于 每⼀个左陪集的元素个数都为|H| ,故|H|整除|G| ,商为[G:H]置换定义：⼀个集合到⾃⾝的双射表⽰：\sigma=\begin{pmatrix}a_1,a_2,\cdots,a_n\\a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in}\end{pmatrix}轮换定义:\sigma是\Omega上⼀个置换 ,若\Omega中⼀些点a_1,a_2,\cdots,a_s , 使得a^\sigma_1=a_2,a^\sigma_2=a_3,\cdots,a^\sigma_{n-1}=a_n,a^\sigma_n=a_1 ,⽽\sigma保持\Omega中其余点保持不 动 ,那么\sigma称作⼀个轮换 ,记作(a_1,a_2,\cdots,a_n) ,若两个轮换没有公共的变 动点 ,则称两个轮换不相交 ,每⼀个置换都能表⽰为不相交轮换的乘积 ，且表⽰⽅法唯⼀ ,⼀个长度为n的置换的k次⽅可分解成的轮换数是 (n,k)置换群定义：⼀个n元集合的全体n元置换构成的群性质：1.封闭性：\begin{pmatrix}a_1,a_2,\cdots,a_n\\b_1,b_2,\cdots,b_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_1,b_2,\cdots,b_n\\c_1,c_2,\cdots,c_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_ 1,a_2,\cdots,a_n\\c_1,c_2,\cdots,c_n\end{pmatrix}2.结合性：(\begin{pmatrix}a_1,a_2,\cdots,a_n\\b_1,b_2,\cdots,b_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_1,b_2,\cdots,b_n\\c_1,c_2,\cdots,c_n\end{pmatrix})\begin{pmatrix}d_ 1,d_2,\cdots,d_n\\e_1,e_2,\cdots,e_n\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}a_1,a_2,\cdots,a_n\\b_1,b_2,\cdots,b_n\end{pmatrix}(\begin{pmatrix}b_1,b_2,\cdots,b_n\\c_1,c_2,\cdots,c_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d_1,d_2,\cdots,d_n\\e_1,e_2,\cdots,e_n\end{pmatrix})3.单位元：\begin{pmatrix}1,2,\cdots,n\\1,2,\cdots,n\end{pmatrix}4.逆元 ：\begin{pmatrix}a_1,a_2,\cdots,a_n\\b_1,b_2,\cdots,b_n\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}b_1,b_2,\cdots,b_n\\a_1,a_2,\cdots,a_n\end{pmatrix}作⽤：G是⼀个群 ,\Omega为⼀个⾮空集合 ,G中每⼀个元素g都对应\Omega的⼀个映射 ,x \rightarrow x_g,x \in \Omega ,若满⾜：1.x^{g_1g_2}=(x^{g_1})^{g_2}2.x^e=x则称G作⽤于\Omega上轨道-稳定⼦定理轨道：H=\{g \cdot x,x \in \Omega,g \in G\} ,则称H为\Omega在G作⽤下的⼀个轨道 ,代表元为 x ,记作G \cdot x稳定⼦：H=\{g \in G,g \cdot x=x\} ,则称H为\Omega的稳定⼦群 ,记作G_x有：|G|=|G \cdot x||G_x|证明：考虑⼀个映射f:G \rightarrow \Omega,\forall g \in G,f(g)=g \cdot x ,则可以在G_x的左陪集集合和 轨道G \cdot x间建⽴⼀个双射 ,gG_x唯⼀对应g \cdot x ,因为gG_x中的元素作⽤在x 上的结果均为g \cdot x ,根据拉格朗⽇定理 ,G_x在G中左陪集个数为[G:G_x] , 故|G \cdot x|=[G:G_x] \rightarrow |G|=|O_x||G_x|Burnside引理内容：G是⼀个有限群 ,G \rightarrow \Omega ,对每⼀个g \in G令\Omega^g表⽰\Omega在g作⽤下的不动 点 ,则有|\Omega/G|=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{g \inG}|\Omega^g|证明：对\sum\limits_{g \in G}|\Omega^g|改变求和⽅式 ,\sum\limits_{g \in G}|\Omega^g|=|\{(g,x) \in G \cdot \Omega|g \cdot x=x\}|=\sum\limits_{x \in \Omega}|G_x|根据轨道-稳定⼦定理\sum\limits_{x \in \Omega}|G_x|=\sum\limits_{x \in \Omega}\frac{|G|}{|G \cdot x|}=|G|\sum\limits_{x \in \Omega}\frac{1}{|G \cdot x|}将x按照等价类划分 ,G \cdot x就是x所在等价类\sum\limits_{x \in \Omega}\frac{1}{|G \cdot x|}=\sum\limits_{A \in \Omega/G}\sum\limits_{x \in A}\frac{1}{|A|}=\sum\limits_{A \in \Omega/G}1=|\Omega/G|故：|\Omega/G|=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{g \in G}|\Omega^g| ,得证Polya定理对于有m种颜⾊的染⾊问题 ,|\Omega^g|=m^{c(g)}考虑组合意义 ,|\Omega^g|表⽰在置换g作⽤下 ,保持不变的⽅案数 ,把g分解为不相 交的c(g)个轮换的乘积 ,若要其染⾊⽅案不变 ,则此染⾊⽅案中g分解成的每⼀ 个不相交轮换都要染相同的颜⾊ ,故|\Omega^g|=m^{c(g)}代⼊Burnside引理可得 ,|\Omega/G|=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{g \in G}m^{c(g)}。
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物理学中的群论——群论基础主讲翦知渐教材教材：自编参考书：群论及其在固体物理中的应用参考书群论及其在固体物理中的应用（徐婉棠）物理学中的群论（马中骐）物理学中的群论基础（约什）群的基本概念和基本性质1.11.21.3131.41.51.6161.71.81.1抽象代数的基本概念1抽象代数研究的对象什么都不是，所以什么都是集合的直乘：C=A×B，表示“C的元素是由A和B两个集合的元素构成的C A表示“一对有序元”，也称为A和B的直乘，用符号表示即：, a2,…, a i,…}，B={b1, b2,…, b j,…}，则集合设A={aA}B b b}则集合1C=A×B={(a i,b j)| a i∈A, b j∈B}是A与B的直乘。
定义设是两个集合若有种规则使得2定义：设A 与B 是两个集合，若有一种规则f ，使得A 的每一个元素在B 上都有唯一的元素与之对应，这种对应规则f 的一个映射记为就称为A 到B 的个映射，记为f ：A → Bf ：x → y = f ( x ) , 或写为f y f (),式中y 称为x 在B 上的象，而x 称为y 在A 上的原象。
对应规则函数对应规则：函数满射单射一一映射逆映射：f -1恒等映射：e 变换恒等映射：体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换，若f 是一一映射则称为对称变换一一变换有性质：射，则称为对称变换。
变换有性质：f f -1= f -1f = e3定义：若对A 上的每对有序元(a, b ) ，在A 上有唯确定的A每一对a,b)A上有唯一确定的c与之对应，即有一规则R 使得A×A → A，则R 称为A上的一个二元运算，记为()()R：A×A → A，或R：a, b ) →c= R(a, b)一般记为c = a·b，或c = ab。
二元运算般也称为乘法二元运算一般也称为“”——数值加法数值乘法对称操作……AmlOC kBe a b k l m D3e e a b k l ma ab e m k lb b e a l m k k k l m e a b l l m k b e a m m k l a b e4设A和B是两个不同集合，其中分别定义了乘法· 和×，若有满射f，使得对于y i f( x i ), y j f( x j)来说，=f(i)=f(f( x i · x j) = f( x i) ×f( x j)——即像的乘积=乘积的像则称f 为A到B的同态，记为A ~ B同态映射若是一一映射→同构同构：乘法表完全一样的结构，只是换了记录的符号数学上，同构即是同一数学上同构即是同→1:1= {e= a4, a, a2, a3} →G ={ 1, i, -1, -i}例如：C4物理上同构的集合有分别：物理上，同构的集合有分别：C 2= {e, c 2} 和C i = {e, c i }同态：A 到B 的等比例缩小保持了乘法结构3:1例如{{1→ 3:1例如：C 4= {e, a, a 2, a 3}→ G ' ={ 1, -1}二对一的同态二对的同态1.2什么是群？1G ={ e, g2, …, g i, …} 是一个集合，其中定义了乘法。
如果对于所定义的乘法，以下四个条件成立，则集合G称为群：1)闭合律：g i g j∈G, g i,g j∈G2)结合律：g i(g j g k)=(g i g j)g k, g i,g j, g k∈G3)存在单位元：g i e = e g i= g i, g i∈G4)存在逆元素：g i∈G ，g i-1∈G ，使得g i g i-1 = g i-1 g i= e广群，半群，幺半群广群半群幺半群21){ 1 }：只含一个元素的群, 1 即是单位元e 。
2){1，-1 }：这个集合对普通乘法构成一个群。
{e，I}：e为恒等操作，I为反演操作；乘法：变换合成。
3){1，i，-1，-i}：四个元素的集合对普通数值乘法构成群。
{e, a, b, c}：乘法定义为：a2= b2= c2= e,ab= c, bc= a, b乘法定义为b b bca = b ，其中乘法可交换次序。
4)全体实数对普通加法构成群。
除0 之外的所有实数对普通乘法构成群。
5)全体n 阶非奇异方矩阵的集合对矩阵的乘法构成群。
6)D3群。
3)1)阿贝尔群：可交换群2)有限群：可给出群表3)无限群：离散群，连续群4)群元素的阶：g n= e群阶：|G|5)生成元：通过乘法产生群G的最小子集6)循环群：一个生成元4设G {g i}是个群G=是一个群g i, g∈G, 方程g i x = g，x g i= g有唯一解j j j( g i-1)-1=g i( g i g j)-1= g j-1g i-1单位元唯一；唯一逆元素唯若群G= { e, g2, …, g i,…} 与群G'= { e', g'2, …, g'j,…} 同态或同构，则：态或构则G的单位元e的象是G'的单位元e'g∈G，设g的象是g，则g的逆元g1的象是g1设'则-'-设G 是个N 阶群则G 的每个元素在群表的每G 是一个N 阶群，则G 的每一个元素在群表的每一行以及每一列中出现且只出现一次。
若f 是群元的任意函数，则有N Nxg x G =∀∈∑()()11,i ii i f g f g ==∑1.3群的乘法联系起来的内部结构1设的个子集若它则称H 为G 的一个子集，若它对G 的乘法构成群，则称H 为G 的子群平凡子群，真子群判别方法 判别方法：符合以下两个条件的G 的子集H 是G 的子群：g H g 若g i , g j ∈H ，有g i g j ∈H若g i ∈H ，则g i -1∈H对于有限群，只要满足第一个条件，即乘法的封闭性，就可证明H 是G 的子群。
2设H = { e , h 2, …, h m } 是G 的一个子群，对于某个元素x ∈G ，={}的一个集合xH = { x , xh 2, …, xh m } 称为H 的个左陪集。
H 的所有左陪集都包含有相同数目的元素若x ∈H ，则xH = H若x בH ，则xH ∩ H = 若某个g ∈xH ，则有gH = xH ：陪集中任意元形成的陪集相同，或者说陪集中任意元可作为此陪集的“代表元” 右陪集：H 的右陪集和左陪集有同样的性质。
H H 不定相等左陪集xH 和右陪集Hx 不一定相等。
3根据陪集的性质，可以得到结论：任意两个左陪集xH 和yH ，要么完全相同，要么完全不同母群的每个元素都一定在子群的某个陪集中；每个陪集的元素个数相同；所有陪集要么没有公共元，要么全同——所以母群一定可以划分为子群的不同陪集的集合拉格朗日定理：的一个子群则所以母群定可以划分为子群的不同陪集的集合设H 是G 的一个子群，则G 的阶|G|一定是H 的阶|H|的整数倍，即|G| = k |H|。
其中k 是正整数，称为H 在G 中的指数，实际上也就是G 中含H 的陪集数。
推论 1.2 （定理.的推论）：若群G 的阶为素数时，G 没有真子群，而且G 必为循环群。
D 只有三阶子群和二阶子群，即C C C 3 = {e, a, b }例：3只有阶子群和阶子群，即3和2左陪集（两个）右陪集（两个）======eC 3aC 3bC 3{e ，a ，b }C 3e C 3a C 3b {e ，a ，b }kC 3=lC 3=mC 3={k ，l ，m }C 3k =C 3l =C 3m ={k ，l ，m }C 2 = {e, k }左陪集（三个）右陪集（三个）====eC 2kC 2{e ，k }C 2e C 2k {e ，k }aC 2=mC 2={a ，m }C 2a =C 2l ={a ，l }====bC 2lC 2{b ，l }C 2b C 2m {b ，m }1.4等价关系联系起来的内部结构1g是G的一个元素，h∈G，元素g'= hgh-1称为g的设的个元素元素共轭元素，而g和g'具有共轭关系。
如果G是矩阵群，则共轭关系就是相似变换，共轭元素就是相似矩阵。
自反性：即G的任一元素与自身共轭对称性：即g i是g j的共轭元素，则g j也是g i的共轭元素 传递性：若g i与g j共轭，而g j与g k共轭，则g i也是g k的共轭元素——共轭关系是种等价关系共轭关系是一种2G中所有相互共轭的元素构成的集合，称为共轭类设g'是gi 的共轭元素，即有x∈G，使得g'=x gix-1，当x走遍G的所有元素时，所有不同的'构成的G的一个子集称g为G中含gi 的共轭类，记为Ci= { g1, g2, …, g m}同类元素有相同的阶。
直接验证即可。
两个类不能有公共元素，否则它们是同一个类。
可知若两个类有公共元素则根据共轭关系的传递性可知，若两个类有公共元素，则这两个类的所有元素都是相互共轭的，自然组成一个类。
单位元自成一类单位元可与任何元素交换乘积次序阿贝尔群的所有元素各成一类；循环群等，群元乘积可交换次序矩阵群：共轭关系对于矩阵是相似变换，而矩阵的相似变换不改变矩阵的迹，所以迹相同的矩阵属于同一个类群G 中任何一个类C i 满足：x ∈G ，xC i x -1 = C i 。
-1因为所有形如xg i x 的元素都是共轭的，而且每个都互不相同，个数与C i 中一样，所以xC i x -1 = C i 。
逆类：若C i = {g 1, g 2, …, g m } 是群G 的一个共轭类，集合C i '= { g 1-1, g 2-1, …, g m -1 } 也是G 的一个共轭类，称为C i 的逆类逆类。
设,g ∈-1=g g i , g j C i ，有xg i x g j ，所以可以得到(xg i x -1) -1= (g j ) -1——也就是说xg i -1x -1= g j -1，可见g i -1和g j -1也属于一个类。
又因为xC i x -1 = C i ，所以有xC i ' x -1 = (xC i x -1 )-1= C i -1= C i ' ，成立所以'的一个类称为的逆类x ∈G 成立，所以C i 是G 的个类，称为C i 的逆类。
可以把群分解为不相交的共轭类的并集 可以把群分解为不相交的共轭类的并集：G = C 1∪C 2…∪C c 式中C i 为第i 个共轭类，G 按共轭关系分成c 个不同的类。
D 3群的共轭类D 3群有三个共轭类：C 1= { e }，C 2= { a , b }，C 3= { k , 因为）称之为绕l , m }。