排列组合知识点总结典型例题及答案解析

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排列组合知识点总结+典型例题及答案解析

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。

二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。

1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。

(完整版)经典排列组合问题100题配超详细解析

1．n N ∈且55n <，则乘积(55)(56)(69)n n n ---等于A ．5569nn A --B ．1555n A -C ．1569n A -D ．1469n A -【答案】C【解析】根据排列数的定义可知，(55)(56)(69)n n n ---中最大的数为69-n,最小的数为55—n ，那么可知下标的值为69—n ，共有69—n-（55—n ）+1=15个数，因此选择C2．某公司新招聘8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，则不同的分配方案共有（ ) A. 24种 B. 36种 C 。

38种 D 。

108种【答案】B【解析】因为平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，那么特殊元素优先考虑,分步来完成可知所有的分配方案有36种，选B3．n ∈N ＊，则（20-n ）(21—n ）……(100-n)等于（ )A ．80100n A - B ．nn A --20100 C ．81100n A -D ．8120n A -【答案】C【解析】因为根据排列数公式可知n ∈N ＊，则（20-n ）（21—n)……（100—n)等于81100n A -,选C4．从0,4,6中选两个数字，从3.5。

7中选两个数字,组成无重复数字的四位数。

其中偶数的个数为 ( ） A 。

56 B. 96 C. 36 D 。

360 【答案】B【解析】因为首先确定末尾数为偶数，那么要分为两种情况来解,第一种,末尾是0，那么其余的有A 35=60，第二种情况是末尾是4,或者6，首位从4个人选一个,其余的再选2个排列即可 433⨯⨯，共有96种5．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有 ( ）A. 280种B. 240种 C 。

高中排列组合知识点汇总及典型例题(全)

一．基来源根基理之蔡仲巾千创作时间：二O 二一年七月二十九日1．加法原理：做一件事有n 类法子,则完成这件事的方法数即是各类方法数相加.2．乘法原理：做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数即是各步方法数相乘.注：做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时经常使用基来源根基理求解.二．排列：从n 个分歧元素中,任取m （m≤n）个元素,依照一定的顺序排成一.m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=…… 2.规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+(2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-；(3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个分歧元素中任取m （m≤n）个元素并组成一组,叫做从n 个分歧的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn .1. 公式：()()()C A A n n n m m n m n m nm n m m m==--+=-11……!!!!10=n C 规定：①；②；③；④ 若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处置排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类.2．解排列、组合题的基本战略（1）两种思路：①直接法；②间接法：对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去失落.这是解决排列组合应用题时一种经常使用的解题方法.（2）分类处置：当问题总体欠好解决时,常分成若干类,再由分类计数原理得出结论.注意：分类不重复不遗漏.即：每两类的交集为空集,所有各类的并集为全集.（3）分步处置：与分类处置类似,某些问题总体欠好解决时,经常分成若干步,再由分步计数原理解决.在处置排列组合问题时,经常既要分类,又要分步.其原则是先分类,后分步.（4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法.3．排列应用题：（1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；（3）．相邻问题：捆邦法：对某些元素要求相邻的排列问题,先将相邻接的元素“捆绑”起来,看作一“年夜”元素与其余元素排列,然后再对相邻元素内部进行排列.（4）、全不相邻问题,插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采纳插空法.即先安插好没有限制条件的元素,然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两真个空隙之间拔出.（5）、顺序一定,除法处置.先排后除或先定后插解法一：对某几个元素按一定的顺序排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列,然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数.即先全排,再除以定序元素的全排列.解法二：在总位置中选出定序元素的位置不介入排列,先对其他元素进行排列,剩余的几个位置放定序的元素,若定序元素要求从左到右或从右到左排列,则只有1种排法；若不要求,则有2种排法；（6）“小团体”排列问题——采纳先整体后局部战略对某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时,可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列,最后再进行“小团体”内部的排列.（7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题,可归纳为一排考虑,再分段处置.（8）．数字问题（组成无重复数字的整数）① 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数.②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数；③能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数. ⑤能被5整除的数的特征：末位数是0或5.⑥能被25整除的数的特征：末两位数是25,50,75. ⑦能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数.4．组合应用题：（1）.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: （2）．“含”与“不含” 用间接排除法或分类法: 3．分组问题：均匀分组：分步取,得组合数相乘,再除以组数的阶乘.即除法处置.非均匀分组：分步取,得组合数相乘.即组合处置.混合分组：分步取,得组合数相乘,再除以均匀分组的组数的阶乘. 4．分配问题：定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数,分步取,得组合数相乘.随机分配：（不指定到具体位置）即不固定位置但固定人数,先分组再排列,先组合分堆后排,注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘.5．隔板法：不成份辨的球即相同元素分组问题例1.电视台连续播放6个广告,其中含4个分歧的商业广告和2个分歧的公益广告,要求首尾必需播放公益广告,则共有种分歧的播放方式（结果用数值暗示）.例3.6人排成一行,甲不排在最左端,乙不排在最右端,共有几多种排法？例.有4个男生,3个女生,高矮互不相等,现将他们排成一行,要求从左到右,女生从矮到高排列,有几多种排法？1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则分歧的取法共有2．从5名男生和4名女生中选出4人去介入辩说角逐（1）如果4人中男生和女生各选2人,有种选法；（2）如果男生中的甲与女生中的乙必需在内,有种选法；（3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内,有种选法；（4）如果4人中必需既有男生又有女生,有种选法1．6个人分乘两辆分歧的汽车,每辆车最多坐4人,则分歧的搭车方法数为( )A．40 B．50 C．60 D．702．有6个座位连成一排,现有3人就坐,则恰有两个空座位相邻的分歧坐法有( )A．36种B．48种 C．72种D．96种3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必需同时使用,且同一数字不能相邻呈现,这样的四位数有( )A．6个B．9个 C．18个D．36个4．男女学生共有8人,从男生中选取2人,从女生中选取1人,共有30种分歧的选法,其中女生有( )A．2人或3人 B．3人或4人 C．3人 D．4人5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从二楼到三楼用8步走完,则方法有( ) A．45种B．36种 C．28种D．25种6．某公司招聘来8名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部份,其中两名英语翻译人员不能分在同一个部份,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部份,则分歧的分配方案共有( ) A．24种B．36种 C．38种D．108种7．已知集合A＝{5},B＝{1,2},C＝{1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的分歧点的个数为( )8．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )A．72 B．96 C．108 D．1449．如果在一周内(周一至周日)安插三所学校的学生观赏某展览馆,每天最多只安插一所学校,要求甲学校连续观赏两天,其余学校均只观赏一天,那么分歧的安插方法有( )A．50种B．60种 C．120种D．210种10．安插7位工作人员在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安插在5月1日和2日,分歧的安插方法共有________种．(用数字作答)11．今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有________种分歧的排法．(用数字作答)12．将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴世博会的四个分歧场馆服务,分歧的分配方案有________种(用数字作答)．14. 将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个分歧的信封中．若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则分歧的方法共有（A）12种（B）18种（C）36种（D）54种15. 某单元安插7位员工在10月1日至7日值班,每天1人,每人值班1天,若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则分歧的安插方案共有A. 504种B. 960种C. 1008种D. 1108种解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号共有4414222A A A ⨯种方法甲乙排中间,丙排7号或不排7号,共有)(43313134422A A A A A +种方法故共有1008种分歧的排法排列组合二项式定理1,分类计数原理完成一件事有几类方法,各类法子相互自力每类法子又有多种分歧的法子（每一种都可以自力的完成这个事情）分步计数原理完成一件事,需要分几个步伐,每一步的完成有多种分歧的方法2,排列排列界说：从n 个分歧元素中,任取m （m≤n）个元素（被取出的元素各不相同）,依照一定的顺序排成一列,叫做从n 个分歧元3,组合组合界说从n 个分歧元素中,任取m （m≤n）个元素并成一组,叫做从n 个分歧元素中取出m 个元素的一个组合组合数从n 个分歧元素中,任取m （m≤n）个元素的所有组合个数 m nC m n C =!!()!n m n m - 性质 m nC =n m n C -11m m m n n n C C C -+=+ 排列组合题型总结一．直接法1 .特殊元素法例1用1,2,3,4,5,6这6个数字组成无重复的四位数,试求满足下列条件的四位数各有几多个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位,数字6不在千位.Eg 有五张卡片,它的正反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成几多个分歧的三位数？Eg 三个女生和五个男生排成一排（1）女生必需全排在一起有几多种排法（捆绑法）（2）女生必需全分开（插空法须排的元素必需相邻）（3）两端不能排女生（4）两端不能全排女生（5）如果三个女生占前排,五个男生站后排,有几多种分歧的排法二．插空法当需排元素中有不能相邻的元素时,宜用插空法. 例3 在一个含有8个节目的节目单中,临时拔出两个歌唱节目,且坚持原节目顺序,有几多中拔出方法？捆绑法当需排元素中有必需相邻的元素时,宜用捆绑法.1．四个分歧的小球全部放入三个分歧的盒子中,若使每个盒子不空,则分歧的放法有种,2,某市植物园要在30天内接待20所学校的学生观赏,但每天只能安插一所学校,其中有一所学校人数较多,要安插连续观赏2天,其余只观赏一天,则植物园30天内分歧的安插方法有（1928129A C ）（注意连续观赏2天,即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有129C 其余的就是19所学校选28天进行排列）三．阁板法名额分配或相同物品的分配问题,适宜采阁板用法例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队,这12个人由8个班的学生组成,每班至少一人,名额分配方案共种 .五平均分推问题eg 6天职歧的书按一下方式处置,各有几种分发？（1）平均分成三堆,（2）平均分给甲乙丙三人（3）一堆一本,一堆两本,一对三本（4）甲得一本,乙得两本,丙得三本（一种分组对应一种方案）（5）一人的一本,一人的两本,一人的三本。

排列组合训练知识点归纳、例题讲解、相应习题

一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。

二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一1.公式： 1.2. (1)(2)； (3)三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。

1.公式：①；②；③；④若四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。

2．解排列、组合题的基本策略（1）两种思路：①直接法；②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。

这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。

（2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。

注意：分类不重复不遗漏。

即：每两类的交集为空集，所有各（3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。

在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。

其原则是先分类，后分步。

.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从()()()()!!121m n n m n n n n A mn -=+---=……规定：0!1=!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!!10=n C 规定：组合数性质：.2nn n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，，11112111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++= 注：12m m 1212m =m m +m n nn C C ==则或排列组合训练【知识点归纳】（4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。

排列组合专项讲义(知识点+例题+练习含详解)

排列组合问题专项讲义知识点+例题+练习题+详细解析基本知识框架：加法原理排列数排列数公式综合应用乘法原理组合数组合数公式一、基本概念：乘法原理：一般地，如果完成一件事情需要n 步，其中，做第一步有a 种不同的方法，做第二步有b 种不同的方法，…，做第n 步有x 种不同的方法，那么，完成这件事一共有：N ＝a ×b ×…×x种不同的方法。

加法原理：一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有a 种不同的做法，第二类方法中有b 种不同的做法，…，第n 类有x 种不同的做法，那么，完成这件事一共有：N ＝a ＋b ＋…＋x种不同的方法。

排列、排列数一般地，从n 个不同的元素中任意取出m(n ≥m)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个排列。

从n 个不同的元素中取出m(n ≥m)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列数。

记做mn A 。

m n A ＝n(n －1)(n －2)(n －3)…(n －m ＋1)组合、组合数一般地，从n 个不同的元素中取出m(n ≥m)个元素组成一组，不计组内各元素的次序，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个组合。

从n 个不同的元素中取出m(n ≥m)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个不同元素的组合数。

记座mn C 。

m nC ＝m n m m A A ＝n(n －1)(n －2)(n －3)…(n －m ＋1)÷!m 二、常见的解题策略1、特殊元素优先排列2、合理分步与准确分类3、排列、组合混合问题先选后排4、正难则反，等价转化5、相邻问题捆绑法6、不相邻问题插空法7、定序问题除法处理8、分排问题直排处理 9、“小集团”问题先整体后局部10、构造模型 11、树形图三、排列组合例题1.有3封不同的信，投入4个邮筒，一共有多少种不同的投法？2.甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜头两局，则谁赢.如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止，问有多少种可能情况？3.在6名女同学，5名男同学中，选4名女同学，3名男同学，男女相间站成一排，问共有多少种排法？4.用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可组成多少个比300000大的无重复数字的六位偶数？5.如下图：在摆成棋盘眼形的20个点中，选不在同一直线上的三点作出以它们为顶点的三角形，问总共能作多少个三角形？6.小文和小静两位同学帮花店扎花，要从三只篮子中各取一只花扎在一起，已知每只篮子里都有3种不同的花，问她们可以扎成多少种不同式样的花束？7.某学校组织学生开展登山活动.在山的北坡有两条路直通山项；在山的南坡也有两条路，一条直通山顶，另一条通向山腰小亭，从小亭有两条路通向山顶；山的西坡有两条路通向山间寺庙，由寺庙有两条路通向山顶.要登上山顶共有多少种不同的道路？8.从5个声母，3个韵母中每次取出3个声母2个韵母的排列方法有多少种？9.4名男生5名女生站成一排，如果男生不分开，女生也不分开，有多少种不同的站法？10.五对孪生兄妹排成一排，每对兄妹不能分开，共有多少种排法？11.7人站成一排，其中4名男生，3名女生；如果限定女生不站两头，且女生站在一起，一共有多少种不同的站法？四、应用排列组合解决计数问题1、在一个半圆周上共有12个点，如右图，以这些点为顶点，可以画出多少个三角形？方法一解：三个顶点都在半圆弧上的三角形有37C ＝35（个）两个顶点在半圆弧上，一个顶点在线段上的三角形有27C ×15C ＝105（个）一个顶点在半圆弧上，两个顶点在线段上的三角形有17C ×25C ＝70（个）由加法原理得：35＋105＋70＝210（个）答：略方法二（排除法）解：312C －35C ＝220－10＝210（个）答：略2、如下图，问：①右图中，共有多少条线段？ A B C D E F G②下右图中，共有多少个角？解：①图中任何两点都可以得到一条线段，这是一个组合问题，图中共有7点，所以：27C ＝21共有21条线段。

排列组合经典题型及解析

排列组合经典题型及解析1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有（） A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（） A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.`例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法有（） A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B .4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B . 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种， … 选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（） A 、4441284C C C 种 B 、44412843C C C 种C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种，答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计. 例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（） A 、210种 B 、300种 C 、464种 D 、600种 ]解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有55A 个，1131131131343333323333,,,A A A A A A A A A A A 个，合并总计300个,选B. （2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100A =共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从A 中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种.（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

(完整版)排列组合知识点总结+典型例题及答案解析

g a o o 2. ! ①；②；③；④[解析]　因为10÷8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2 28步，那么共有C＝28种走法．6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有( )A．24种B．36种 C．38种D．108种[解析]　本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有213种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C种分法，然132后再分到两部门去共有C A种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组213人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C种13213方法，由分步乘法计数原理共有2C A C＝36(种)．7．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )A．33 B．34 C．35 D．36123[解析]　①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C·A＝12个；1233②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C·A＋A＝18个；13③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C＝3个．故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选A.8．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( ) A．72 B．96 C．108 D．144213223[解析]　分两类：若1与3相邻，有A·C A A＝72(个)，若1与3不相邻有forsos的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选。

高中排列组合知识点汇总及典型例题(全)

一．基来历根基理之袁州冬雪创作1．加法原理：做一件事有n 类法子，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加.2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘. 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常常使用基来历根基理求解.二．摆列：从n 个分歧元素中，任取m （m≤n）个元素，依照一定的顺序排成一.m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+(2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-；(3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个分歧元素中任取m （m≤n）个元素并组成一组，叫做从n 个分歧的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn .1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m mm ==--+=-11……!!!!10=n C 规定： ①；②；③；④若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理摆列组合应用题 1.①明白要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类.2．解摆列、组合题的基本战略（1）两种思路：①直接法；②间接法：对有限制条件的问题，先从总体思索，再把不符合条件的所有情况去掉.这是处理摆列组合应用题时一种常常使用的解题方法.（2）分类处理：当问题总体欠好处理时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论.注意：分类不重复不遗漏.即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集.（3）分步处理：与分类处理近似，某些问题总体欠好处理时，常常分成若干步，再由分步计数原理处理.在处理摆列组合问题时，常常既要分类，又要分步.其原则是先分类，后分步.（4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法.3．摆列应用题：（1）穷举法（罗列法）：将所有知足题设条件的摆列与组合逐一罗列出来； (2)、特殊元素优先思索、特殊位置优先思索；（3）．相邻问题：捆邦法：对于某些元素要求相邻的摆列问题，先将相邻接的元素“绑缚”起来，看做一“大”元素与其余元素摆列，然后再对相邻元素外部停止摆列.（4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不克不及相邻或某些元素要在某特殊位置时可采取插空法.即先安插好没有限制条件的元素，然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两头的空地之间拔出.（5）、顺序一定，除法处理.先排后除或先定后插解法一：对于某几个元素按一定的顺序摆列问题，可先把这几个元素与其他元素一同停止全摆列，然后用总的摆列数除于这几个元素的全摆列数.即先全排，再除以定序元素的全摆列.解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参与摆列，先对其他元素停止摆列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右到左摆列，则只有1种排法；若不要求，则有2种排法；（6）“小团体”摆列问题——采取先整体后部分战略对于某些摆列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看做一个元素与其余元素摆列，最后再停止“小团体”外部的摆列.（7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排思索，再分段处理.（8）．数字问题（组成无重复数字的整数）① 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不克不及被2整除的数的特征：末位数是奇数.②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数；③能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数. ⑤能被5整除的数的特征：末位数是0或5.⑥能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75. ⑦能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数.4．组合应用题：（1）.“至少”“至多”问题用间接解除法或分类法: （2）．“含”与“不含” 用间接解除法或分类法:3．分组问题：平均分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘.即除法处理.非平均分组：分步取，得组合数相乘.即组合处理.混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以平均分组的组数的阶乘.4．分配问题：定额分配：（指定到详细位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘.随机分配：（不指定到详细位置）即不固定位置但固定人数，先分组再摆列，先组合分堆后排，注意平均分堆除以平均分组组数的阶乘.5．隔板法：不成分辨的球即相同元素分组问题例1.电视台持续播放6个广告，其中含4个分歧的商业广告和2个分歧的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种分歧的播放方式（成果用数值暗示）.例3.6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？例.有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高摆列，有多少种排法？1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则分歧的取法共有2．从5名男生和4名女生中选出4人去参与辩论比赛（1）如果4人中男生和女生各选2人，有种选法；（2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有种选法；（3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有种选法；（4）如果4人中必须既有男生又有女生，有种选法1．6个人分乘两辆分歧的汽车，每辆车最多坐4人，则分歧的乘车方法数为( ) A．40 B．50 C．60 D．702．有6个座位连成一排，现有3人就座，则恰有两个空座位相邻的分歧坐法有( )A．36种B．48种 C．72种D．96种3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不克不及相邻出现，这样的四位数有( )A．6个B．9个 C．18个D．36个4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种分歧的选法，其中女生有( )A．2人或3人 B．3人或4人 C．3人 D．4人5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有( )A．45种B．36种 C．28种D．25种6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部分，其中两名英语翻译人员不克不及分在同一个部分，别的三名电脑编程人员也不克不及全分在同一个部分，则分歧的分配方案共有( )A．24种B．36种 C．38种D．108种7．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的分歧点的个数为( )8．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )A．72 B．96 C．108 D．1449．如果在一周内(周一至周日)安插三所学校的学生观赏某展览馆，天天最多只安插一所学校，要求甲学校持续观赏两天，其余学校均只观赏一天，那末分歧的安插方法有( )A．50种B．60种 C．120种D．210种10．安插7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不克不及安插在5月1日和2日，分歧的安插方法共有________种．(用数字作答)11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种分歧的排法．(用数字作答)12．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个分歧场馆服务，分歧的分配方案有________种(用数字作答)．14. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个分歧的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则分歧的方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）36种（D ）54种15. 某单位安插7位员工在10月1日至7日值班，天天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则分歧的安插方案共有A. 504种B. 960种C. 1008种D. 1108种解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号共有4414222A A A ⨯种方法甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有)(43313134422A A A A A +种方法故共有1008种分歧的排法摆列组合二项式定理1，分类计数原理完成一件事有几类方法，各类法子相互独立每类法子又有多种分歧的法子（每种都可以独立的完成这个事情）分步计数原理完成一件事，需要分几个步调，每步的完成有多种分歧的方法 2，摆列摆列定义：从n 个分歧元素中，任取m （m≤n）个元素（被取出的元素各不相同），依照一定的顺序排成一列，叫做从n 个分歧元素中取出m 个元素的一个摆3，组合组合定义从n 个分歧元素中，任取m （m≤n）个元素并成一组，叫做从n 个分歧元素中取出m 个元素的一个组合组合数从n 个分歧元素中，任取m （m≤n）个元素的所有组合个数 m n C m n C =!!()!n m n m - 性质 m nC =n m n C -11m m m n n n C C C -+=+ 摆列组合题型总结一．直接法1 .特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求知足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位.Eg 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个分歧的三位数？ Eg 三个女生和五个男生排成一排（1）女生必须全排在一起有多少种排法（绑缚法）（2）女生必须全分开（插空法须排的元素必须相邻）（3）两头不克不及排女生（4）两头不克不及全排女生（5）如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种分歧的排法二．插空法当需排元素中有不克不及相邻的元素时，宜用插空法.例3 在一个含有8个节目标节目单中，姑且拔出两个歌唱节目，且坚持原节目顺序，有多少中拔出方法？绑缚法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用绑缚法.1．四个分歧的小球全部放入三个分歧的盒子中，若使每个盒子不空，则分歧的放法有种,2，某市植物园要在30天内欢迎20所学校的学生观赏，但天天只能安插一所学校，其中有一所学校人数较多，要安插持续观赏2天，其余只观赏一天，则植物园30天内分歧的安插方法有（1928129A C ）（注意持续观赏2天，即需把30天种的持续两天绑缚当作一天作为一个整体来选有129C 其余的就是19所学校选28天停止摆列）三．阁板法名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共种 .五平均分推问题eg 6本分歧的书按一下方式处理，各有几种分发？（1）平均分成三堆，（2）平均分给甲乙丙三人（3）一堆一本，一堆两本，一对三本（4）甲得一本，乙得两本，丙得三本（一种分组对应一种方案）（5）一人的一本，一人的两本，一人的三本。

高考排列组合、概率知识点总结及典型例题(教师版)

高考排列组合、概率知识点总结及典型例题排列组合知识点总结：一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。

二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+(2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。

1. 公式：()()()C A A n n n m m n m n m n m nm mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，，①m m n c -=n n c ；②111-m n c --+=m n n n c c ；③11-k n kc -=k n nc ；11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：若12m m 1212m =m m +m n nn C C ==则或四、二项式定理.1. ⑴二项式定理：nn n r r n r n n n n nn b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- . 展开式具有以下特点：① 项数：共有1+n 项；② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开.⑵二项展开式的通项.n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b aC T rr n r n r ∈≤≤=-+.⑶二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；②二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大. I. 当n是偶数时，中间项是第12+n项，它的二项式系数2nn C 最大； II. 当n 是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数2121+-=n nn n C C最大.③系数和：1314201022-=++=+++=+++n n n n n n nn n n n C C C C C C C C概率知识点总结：一、基本知识在一定的条件下必然要发生的事件，叫做必然事件；在一定的条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件；在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随即事件。

排列组合典型题大全含答案

排列组合典型题大全一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）43（2）34（3）34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38B、83C、38A D、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。

所以选A1、4封信投到3个信箱当中，有多少种投法？2、4个人争夺3项冠军，要求冠军不能并列，每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还，问最后有多少种情况？3、4个同学参加3项不同的比赛（1）每位同学必须参加一项比赛，有多少种不同的结果？（2）每项竞赛只许一名同学参加，有多少种不同的结果？4、5名学生报名参加4项比赛，每人限报1项，报名方法的种数有多少？又他们争夺这4项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少？5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种？6、（全国II文）5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共(A)10种(B)20种(C)25种(D)32种7、5位同学报名参加并负责两个课外活动小组，每个兴趣小组只能有一个人来负责，负责人可以兼职，则不同的负责方法有多少种？8、4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，不同的分法有多少种？思考：4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，每班至少一个人的不同的分法有多少种？二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有【例1】,,,,A 种【解析】：把,A B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，4424例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

《排列组合》知识点总结+典型例题+练习(含答案)

排列组合考纲要求1.了解排列的意义，理解排列数公式，并能用它们解决一些简单的实际问题.2.了解组合的意义，理解组合数公式，并能用它们解决一些简单的实际问题.3. 了解组合数性质. 知识点一：排列1.排列的定义：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个不同的元素，按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.若m <n ，这样的排列叫选排列；若m ＝n ,这样的排列叫全排列.2.排列数公式：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个不同的元素的所有排列的个数，从n 个不同元素中取出m 元素的排列数，记作mn P .(1) P m n ＝n (n －1)(n －2) … (n －m ＋1)； (2) ==!P n n n n (n －1)(n －2) … 3×2×1； (3) P m n ＝()!!n n m -；规定：0！＝1.知识点二：解决排列问题的基本方法.1. 优限法：即先排特殊的元素，或者特殊的位置.2．捆绑法：相邻问题，把相邻的元素看成一个整体，然后再参与其他元素的排列. 3．插空法：对元素互不相邻的排列问题，常常采用插空法，首先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空位中.4. 排除法：即从正面难以考虑时可以考虑它的对立面，用全部结果数减去对立事件的方法数.5.枚举法：即将所有排列按照一定的规律，一一列举出来的方法. 知识点三：组合1.组合的定义：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个不同的元素，组成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.2.组合数公式：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个不同的元素的所有组合的个数，从n个不同元素中取出m 元素的组合数，记作mn C .(1)()()()121P C P !mm nnmn n n n n m m ---+==;(2)()!C !!mn n m n m =-(n ，*N ∈m ，且m ≤n ).3. 组合数性质：(1) C =C m n mn n-； (2) 111C +C C m m m n n n +++=.知识点四：解组合问题的方法1.分类讨论：即分析题中的限定条件将所给元素按性质适当分类，并侧重其中一类，相应各类分类讨论，分类时要做到不重不漏.2.等价转化：即把所求问题转化为与之等价的组合问题去解决.3.排除法.4.枚举法.知识点五：计数需注意问题1.排列为有序问题，组合为无序问题，两者都是不重复问题.2.排列包括两个要素，一个是不同的元素，另一个是确定的顺序. 即排列可分成两步，第一步取出元素，第二步排列顺序.3.组合只有一个要素，就是取出元素即可，与元素的排列顺序无关.4.要注意区分分类和分步计数原理，排列和组合，元素允许重复是直接用计数原理，而元素不允许重复的是排列和组合问题. 题型一排列定义例1 五个同学站一排照相，共多少种排法？分析：把5个元素放在5个位置上，相当于5的全排列，也共有120P 55=种排法. 解答：N =120P 55=种排法题型二排列数公式例2 设x N *∈，10x <，(20)(21)(30)().x x x --⋅⋅⋅-=A. 1020P x -B. 1120P x -C. 1030P x -D. 1130P x -分析：排列数公式 P m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)的特点: （1）等号右边最大的数是n ; （2）等号右边最小的数是n -m +1; （3）共有m 个连续自然数相乘. 解答：30n x =-,(30)(20)111m x x =---+=,∴ (20)(21)(30)x x x --⋅⋅⋅-=1130P x -题型三解决排列应用题例3 用1、2、3、4、5、6个数. （1）可以组成多少个五位数？（2）可以组成多少个没有重复数字的五位数？（3）可以组成多少个1和2相邻的六位数？（4）可以组成多少个1和2不相邻的六位数？分析：先考虑是用分类分步还是用排列组合，就是要观察一下数字是否允许重复，数字允许重复用分类分步计数原理，数字不允许重复用排列组合，数字相邻用捆绑法，数字不相邻用插空法.解答：（1）数字可以重复，所以用分步计数原理，每个数位上都有6个数字可选，因此共有5666666⨯⨯⨯⨯=个.（2）数字不可以重复，还有顺序，所以用排列,共720P 56==N 个.（3）1和2相邻，用捆绑法，先排1和2共22P 种，与余下的4个元素共有55P 种，则共有240P P 5522=个.（4）1和2不相邻，插空法，先排余下的4个元素44P 种，,再从5个空中挑选2个即25P 种，则共有480P P 2544=个.题型四组合定义及组合数公式例4 从8名男生2名女生中任选5人，（1）共有多少种不同的选法？（2）恰好有一名女生的不同选法？分析：选取元素干同一件事就组合问题.解答：（1）所有不同选法数就从10人中任选5人的组合数即252C 510=种.（2）从2名女生中任选1人的选法有12C 种，从8名男生中选出4人的选法有48C 种，由分步计数原理，恰有一名女生的选法有140C C 4812=种.题型五组合数公式例5 （1）已知321818C C -=x x 则x =____. （2）=+97999899C C _____.分析：灵活运用组合数性质.解答：（1）根据题意得 23x x =-或(23)18x x +-=则3x =或7x =.（2）4950299100C C C C 21009810097999899=⨯===+. 题型六解组合应用题例6 从8件不同的服装快递，2件不同的食品快递中任选5件. （1）至少有一件食品快递的不同选法总数？（2）最多有一件食品快递的不同选法总数？分析：解决带有限制条件的组合应用题要根据题意正确地分类或分步,巧妙运用直接法或间接法.解答：（1）法一（直接法）分两类情况求解，第一类恰有一件食品快递选法有4812C C 种，第二类恰有两件食品快递选法有3822C C 种，由分类计数原理得至少有一件食品快递的不同选法共有196C C C C 38224812=+种.法二（排除法）从10件快递中任选5件选法总数减去选出的5件全为服装快递的总数即至少有一件为食品快递的不同选法有55108196C C -=种.（2）最多有一件食品快递可分为以下两类，第一类选出的五件快递中恰有一件食品快递有1428C C 种选法，第二类选出的五件快递中恰有0件食品快递，有0528C C 种选法,由分类计数原理知最多有一件食品快递的选法有14052828196C C C C +=种.一、选择题1.设*x N ∈，10x <，则(10)(11)(17)x x x --⋅⋅⋅-用排列数符号表示为（）.A.x x --1017PB.817P x -C. 717P x -D. 810P x -2.从4人中任选2人担任正副班长，结果共有（）种.A. 4B. 6C. 12D. 243.将5本不同的笔记本分配给4个三好学生（每个学生只能拥有一本笔记本），则所有的分法种数为（）.A. 5！B. 20C. 54D. 454.5名学生报考4所不同的学校（每名学生只能报考一所学校），则所有的报考方法有（）种.A. 5！B. 20C. 54D. 455.将6名优秀教师分配到4个班级，要求每个班有1名教师，则不同的分法种数有（）种.A. 46PB. 46C. 46CD. 646.为抗击郑州水患，某医院派3名医生和6名护士支援郑州，他们被分配到郑州的三所医院，每个医院分配1名医生和2名护士，共有（）种不同的分配方法.A. 24122613P P P P +B. 221124122613P P P P P P ++ C. 121212362412C C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅ D. 121212362412C C C C C C ⋅+⋅+⋅7.从4名男生和5名女生中任取3人，其中男生至多有一人,则不同的取法共有（）种 . A. 30 B. 50 C. 70 D. 808.某小组有男生7人，女生3人，选出3人中有1名男生，2名女生的不同选法有（）种.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅9.10件产品中有2件次品，任取3件至少有1件次品的不同抽法为（）种.A. 1229C C ⋅ B. 312828C C C +⋅ C. 33108C C - D. 12122928C C C C ⋅-⋅10.式子(1)(2)(15)16!x x x x ++⋅⋅⋅+（x N *∈，1x >）可表示为（）.A. 1615P +xB. 1615x C +C. 16x CD. 17x C妙记巧学，归纳感悟二、判断题：1. 34567⨯⨯⨯⨯等于37P .（）2. 从甲、乙、丙、丁中任选两人做正、副班长，共有12种.（）3. 6个座位，3个人去坐，每人坐一个座位，则共36C 种.（） 4. 6个点最多可确定26C 条直线.（） 5. 6个点最多可确定26C 条有向线段.（） 6. 某铁路有十个站点，共需准备210P 种车票.（）7. 某铁路有十个站点，有210P 种不同票价（同样的两个站点的票价相同）.（） 8. 某组学生约定，假期每两人互通一封信，共计12封，这个小组学生有5人.（） 9. 把语文、数学、英语、美术、历史这五门课排在一天的五节课中，数学必须比美术先上的排法总数为44C 种.（）10.从3、5、7、9中任选两个，可以组成12个不同的分数值.（）妙记巧学，归纳感悟三、填空题1.若57n n C C =，则n =_______..2.若56P 2=n ，则n =_______.3.从数字0、1、2、3、4、5中任选3个数，可组成______个无重复数字的三位偶数.4.将4本同样的书分给5名同学，每名同学至多分一本，而且书必须分完则不同的分法总数有______种.5.2名教师和5名学生中选3人去旅游，教师不能不去，也不能全去，则共有______种选法. 妙记巧学，归纳感悟四、解答1.将5名学生排成一排照相，其中3名男生，2名女生，则以下情况各有多少种不同的排法？（1）甲乙必须相邻；（2）甲乙互不相邻；（3）甲乙必须站两端；（4）甲乙不在两端；（5）男女相间.2. 将6本不同的书,在下列情况下有多少种分法？（1）分成相等的三份；（2）平均分给甲乙丙三位同学；（3）分成三份，一份一本，一份两本，一份三本；（4）甲分一本，乙分两本，丙分三本；（5）如果一人分一本，一人分两本，一人分三本，分给甲乙丙. 高考链接1.（2018）某年级有四个班，每班组成一个篮球队，每队分别同其他三个队比赛一场，共需要比赛（）场.A. 4B. 6C. 5D. 7 2. 某段铁路共有9个车站，共需准备（）种不同的车票. A. 36 B. 42 C.64 D. 723. 甲袋中装有6个小球，乙袋中装有4个小球，所有小球颜色各不相同，现从甲袋中取两个小球，乙袋中取一个小球，则取出三个小球的不同取法共有（）种. A. 30 B. 60 C.120 D. 3604. 某学校举行元旦曲艺晚会，有5个小品节目，3个相声节目,要求相声节目不能相邻，则不同的出场顺序有______种. 积石成山10件产品中有2件次品任取3件，至多有一件次品的不同取法总数为（）种.A. 312828C C C +B. 1229C C C. 33108C C - D. 12122928C C C C -2. 从4名男生和5名女生中任取3人，其中至少有男生，女生各一名，则不同的取法有（）种.A. 140B. 84C. 70D. 353. 某医疗小队有护士7人，医生3人，任选3人的不同选法有（）.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅4. 将4名优秀教师分配到3个班级，每个班至少分到一名教师，则不同的分配方案有（）种.A. 72B. 36C. 18D. 125. 5个人站成一排照相，甲不站排头，乙不站排尾的排法总数有（）种. A. 36 B. 78 C. 60 D. 486. 5个人站成一排照相，甲站中间的排法总数有（）种. A .24 B. 36 C. 60 D. 487. 5个人站成2排照相，第一排2人，第二排3人则不同的排法总数有（）种. A. 48 B. 78 C. 60 D. 1208. 从1、2、3、4中任选2个，再从5、6、7、8、9中任选2个可组成无重复的四位数的个数是（）个.A .720 B. 2880 C. 1440 D .1449. 某工作小组有9名工人，3名优秀工人，各抽5人参加比赛，要求优秀工人都参加不同的选法共有（）种.A. 12B.15C. 30D. 36 10. 式子(1)(2)(15)1!x x x x x ++⋅⋅⋅+-（）（x N *∈，1x >）可表示为（）.A. 1615P +xB. 1615x C +C.16x C D .17x C排列组合答案一、选择题二、判断题三、填空题1．12 解析：根据组合数性质1得5712n =+=2．8 解析：2(1)56n P n n =-= 8n ∴=3. 52 解析:分两类，第一类个位是零则有2520P =个；第二类，个位不是零，则有11124432P P P =个，所以共有20+32=52个.4．5 解析:只需在五人中选四人得到书即可，书相同无需排序,则有455C =种. 5．20 解析:老师不能不去，也不能全去，则只能去一人即122520C C =种.妙记巧学，归纳感悟：答案全，结果简. 四、解答题1.解：（1）把甲乙捆绑在一起有22P 种，与余下的3名学生共有44P 种，则甲乙必须相邻，有242448P P =种排法.（2）先把余下的3名学生排好有33P 种，再从形成的4个空中任选两个甲乙来排有24P 种，则甲乙不相邻有323472P P =种排法.（3）甲乙必须站两端，先排甲乙有22P 种，再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种，则甲乙必须站两端有323212P P =种排法.（4）先从3个位置中选2个甲乙来排有23P 种，再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种，则甲乙不在两端有233336P P =种. （5）男女相间则有323212P P =种排法.2. 解：（1）平均分堆问题.有2226423315C C C P =种方法. （2）平均分配问题，每人均分得2本.甲先取两本26C 种，乙再取两本24C 种，丙最后取两本22C 种，由分步计数原理得222642C C C =90种方法.（3）不平均分堆问题，第一份16C 种，第二份25C 种，第三份33C 种，则共有123653C C C =60种方法.（4）不平均分配问题，甲先选一本16C 种，乙再选两本25C 种，丙最后选三本33C 种，则共有123653C C C =60种方法.（5）不平均分配问题，且没有指定对象，先分三份123653C C C 种，再把这三份分给甲乙丙三人有33P 种，则共有种12336533360C C C P =方法.妙记巧学，归纳感悟：排列组合来相遇，先组后排无争议. 高考链接1.B2.D3.B4.2400 解析:相声节目不相邻，则用插空法先排5个小品节目共有55P 种,五个小品节目共形成六个空选三个空插入相声节目有36P 种,则共有53562400P P =种.积石成山。

高中排列组合知识点汇总及典型例题全

一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。

二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+(2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-；(3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作。

1. 公式：()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!!10=n C 规定：组合数性质：.2nn n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，，①；②；③；④11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。

高中排列组合知识点汇总及典型例题(全)

一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。

二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2. 规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。

1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n n n nn m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，，①；②；③；④11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。

高中排列组合知识点汇总及典型例题(全)

一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。

二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2. 规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。

1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n n n nn m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，，①；②；③；④11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。

(完整版)排列组合知识点总结+典型例题及答案解析

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。

1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④11112111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=L L L 注：若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。

排列组合总结(含答案)

1．（站队模型）4男3女站成一排：①女生相邻；5353A A ⋅②女生不相邻；4345A A ⋅③女生从高到低排；47A④甲不在排头，乙不在排尾；解析：当甲在排尾时有66A ；当甲不在排尾时有115555A A A ⋅⋅2．（组数模型）由0到9这10个数字组成没有重复数字的四位数： ①奇数；末位有112588A A A②偶数；解析：末位为0，有39A ；末位不为0，有112488A A A ⋅⋅③被5整除的数；解析：末位为0，有49A ；末位为5，有1288A A ⋅④比3257大的数；解析：首位为4到9时有396A ；首位为3时281749A ⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩百位为到时有6十位为6到9时有4A 百位为2时十位为5时有2 ⑤被3整除的三位数．12333311123322111333332A A A C C C A C C C A ⎧⋅+⎪⎧⋅⋅⋅⎨⎪⎨⎪⋅⋅⋅⎪⎩⎩都从一个集合中选时有含0时有各选一个时有不含0时有3．（分组分配问题）6个不同的小球：①放入三个不同的盒子；解析：63②放入三个不同的盒子，每盒不空；解析：4363321363132226426222:A C C C A C C C ⎧⎪⋅⋅⋅⎨⎪=++⋅⋅⎩6＝4＋1＋1：有C 6=3+2+1:有有③分三组（堆），每组至少一个；解析：41162122321631222642336222:C C A C C C C C C A ⎧⋅⋅⎪⎪⎪⋅⋅⎨⎪⋅⋅⎪=++⎪⎩C 6＝4＋1＋1：有6=3+2+1:有有4．6个相同的小球：①放入三个不同的盒子；解析：相当于分名额，盒子可空：插板法：28C ②放入三个不同的盒子，每盒不空；25C ③恰有一个空盒．解析：相当于两个盒子不空：1253C C ⋅5．6名同学报名三科竞赛：①每人限报一科；63②每科限报一人；366．（选派问题）5男3女：①选2人开会；28C②选正副班长，至少1女；2285A A - ③选4人开会，至多2男；解析：即至少2女，22313535C C C C ⋅+⋅④选4人跑4×100接力，至少2女．解析：()2231435354C C C C A ⋅+⋅⋅。

(完整版)高中排列组合知识点汇总情况及典型例题(全)

适用标准一．基来源理1．加法原理：做一件事有n 类方法，则达成这件事的方法数等于各种方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n 步达成，则达成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或地点同意重复使用，求方法数经常用基来源理求解。

二．摆列：从 n 个不一样元素中，任取m（ m≤ n ）个元素，依据必定的次序排成一列，叫做从 n个不一样元素中拿出m个元素的一个摆列，所有摆列的个数记为A n m .1. 公式： 1. A n m n n 1 n 2 ⋯⋯ n m 1n!n m !2.(1) (3)规定： 0!1n!n(n 1)!,( n1) n!( n 1)!(2) n n! [( n 1) 1] n! ( n 1) n! n! (n 1)! n!；n n 1 1n1111(n1)!( n1)!(n1)!( n 1)!n!(n 1)!三．组合：从 n 个不一样元素中任取 m（m≤n）个元素并构成一组，叫做从n 个不一样的 m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。

1. 公式：C n m A n m n n 1 ⋯⋯ n m1n!m !定： C n01A m m m!m! n2.组合数性质： C n m C n n m， C n m C n m 1 C n m1， C n0 C n1⋯⋯ C n n2n①；②；③；④注： C r r C r r1C r r2 L C n r1 C n r C r r11C r r1 C r r2 L C n r1C n r C r r21C r r2 L C n r1 C n r C n r11若 C n m1C n m2 m1 =m 2或 m1 +m 2n四．办理摆列组合应用题 1.①明确要达成的是一件什么事（审题）②有序仍是无序③分步仍是分类。

2．解摆列、组合题的基本策略（1）两种思路：①直接法；②间接法：对有限制条件的问题，先从整体考虑，再把不切合条件的所有状况去掉。

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排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。

2．解排列、组合题的基本策略（1）两种思路：①直接法；②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。

这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。

（2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。

注意：分类不重复不遗漏。

即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。

（3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。

在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。

其原则是先分类，后分步。

（4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。

3．排列应用题：（1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；（3）．相邻问题：捆邦法：对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。

（4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。

（5）、顺序一定，除法处理。

先排后除或先定后插解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。

即先全排，再除以定序元素的全排列。

解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有1种排法；若不要求，则有2种排法；（6）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。

（7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。

（8）．数字问题（组成无重复数字的整数）①能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。

②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数；③能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。

⑤能被5整除的数的特征：末位数是0或5。

⑥能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。

⑦能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。

4．组合应用题：（1）.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: （2）．“含”与“不含”用间接排除法或分类法:3．分组问题：均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。

即除法处理。

非均匀分组：分步取，得组合数相乘。

即组合处理。

混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。

4．分配问题：定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。

随机分配：（不指定到具体位置）即不固定位置但固定人数，先分组再排列，先组合分堆后排，注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘。

5．隔板法：不可分辨的球即相同元素分组问题例1.电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）. 解：分二步：首尾必须播放公益广告的有A22种；中间4个为不同的商业广告有A44种，从而应当填 A22·A44＝48. 从而应填48．例3.6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？解一：间接法：即65546554720212024504A A A A--+=-⨯+=解二：（1）分类求解：按甲排与不排在最右端分类.(1) 甲排在最右端时,有55A种排法； (2) 甲不排在最右端（甲不排在最左端）时，则甲有14A种排法，乙有14A种排法，其他人有44A种排法，共有14A14A44A种排法，分类相加得共有55A+14A14A44A=504种排法例.有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？分析一：先在7个位置上任取4个位置排男生，有A 47种排法.剩余的3个位置排女生，因要求“从矮到高”，只有1种排法，故共有A 47·1=840种.1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有33394570C C C --=种,选.C解析2：至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有2112545470C C C C +=台,选C . 2．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛（1）如果4人中男生和女生各选2人，有种选法；（2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有种选法；（3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有种选法；（4）如果4人中必须既有男生又有女生，有种选法分析：本题考查利用种数公式解答与组合相关的问题.由于选出的人没有地位的差异，所以是组合问题.解：（1）先从男生中选2人，有25C 种选法，再从女生中选2人，有24C 种选法，所以共有2254C C =60（种）；（2）除去甲、乙之外，其余2人可以从剩下的7人中任意选择，所以共有2227C C =21（种）；（3）在9人选4人的选法中，把甲和乙都不在内的去掉，得到符合条件的选法数：4497C C -=91（种）；直接法，则可分为3类：只含甲；只含乙；同时含甲和乙，得到符合条件的方法数131322332171727777C C C C C C C C C ++=++=91（种）. （4）在9人选4人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数444954C C C --=120（种）.直接法：分别按照含男生1、2、3人分类，得到符合条件的选法为132231545454C C C C C C ++=120（种）.1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为( ) A ．40 B ．50 C ．60 D ．70[解析] 先分组再排列，一组2人一组4人有C 26＝15种不同的分法；两组各3人共有C 36A 22＝10种不同的分法，所以乘车方法数为25×2＝50，故选B.2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( ) A ．36种 B ．48种 C ．72种 D ．96种[解析] 恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A 33A 24＝72种排法，故选C.3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )A．6个B．9个 C．18个D．36个[解析] 注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C13＝3(种)选法，即1231,1232,1233，而每种选择有A22×C23＝6(种)排法，所以共有3×6＝18(种)情况，即这样的四位数有18个．4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( )A．2人或3人 B．3人或4人 C．3人 D．4人[解析] 设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得C2n C18－n＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有( )A．45种B．36种 C．28种D．25种[解析] 因为10÷8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C28＝28种走法．6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有( )A．24种B．36种 C．38种D．108种[解析] 本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C13种分法，然后再分到两部门去共有C13A22种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C13种方法，由分步乘法计数原理共有2C13A22C13＝36(种)．7．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )A．33 B．34 C．35 D．36[解析] ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12·A33＝12个；②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12·A33＋A33＝18个；③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13＝3个．故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选A.8．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( ) A．72 B．96 C．108 D．144[解析] 分两类：若1与3相邻，有A22·C13A22A23＝72(个)，若1与3不相邻有A33·A33＝36(个) 故共有72＋36＝108个．9．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有( ) A．50种B．60种 C．120种D．210种[解析] 先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为C16，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A25种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16·A25＝120种，故选C.10．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)[解析] 先安排甲、乙两人在后5天值班，有A 25＝20(种)排法，其余5人再进行排列，有A 55＝120(种)排法，所以共有20×120＝2400(种)安排方法．11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)[解析] 由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C 49·C 25·C 33＝1260(种)排法．12．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．[解析] 先将6名志愿者分为4组，共有C 26C 24A 22种分法，再将4组人员分到4个不同场馆去，共有A 44种分法，故所有分配方案有：C 26·C 24A 22·A 44＝1 080种．13．要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．[解析] 5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法．若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，∴有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种．14. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）36种（D ）54种【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有A. 504种B. 960种C. 1008种D. 1108种解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号共有4414222A A A ⨯种方法甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有)(43313134422A A A A A +种方法故共有1008种不同的排法排列组合二项式定理1，分类计数原理完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情）分步计数原理完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法 2，排列排列定义：从n 个不同元素中，任取m （m≤n）个元素（被取出的元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

排列组合知识点总结典型例题及答案解析