排列组合知识点总结典型例题及答案解析
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析
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排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一.基本原理1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。
二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从1.公式:1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定:0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-; (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。
1. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定:组合数性质:.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……,, ①;②;③;④11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注:若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。
(完整版)经典排列组合问题100题配超详细解析
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1.n N ∈且55n <,则乘积(55)(56)(69)n n n ---等于A .5569nn A --B .1555n A -C .1569n A -D .1469n A -【答案】C【解析】根据排列数的定义可知,(55)(56)(69)n n n ---中最大的数为69-n,最小的数为55—n ,那么可知下标的值为69—n ,共有69—n-(55—n )+1=15个数,因此选择C2.某公司新招聘8名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分在同一部门,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门,则不同的分配方案共有( ) A. 24种 B. 36种 C 。
38种 D 。
108种 【答案】B【解析】因为平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分在同一部门,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门,那么特殊元素优先考虑,分步来完成可知所有的分配方案有36种,选B3.n ∈N *,则(20-n )(21—n )……(100-n)等于( )A .80100n A - B .nn A --20100 C .81100n A -D .8120n A -【答案】C【解析】因为根据排列数公式可知n ∈N *,则(20-n )(21—n)……(100—n)等于81100n A -,选C4.从0,4,6中选两个数字,从3.5。
7中选两个数字,组成无重复数字的四位数。
其中偶数的个数为 ( ) A 。
56 B. 96 C. 36 D 。
360 【答案】B【解析】因为首先确定末尾数为偶数,那么要分为两种情况来解,第一种,末尾是0,那么其余的有A 35=60,第二种情况是末尾是4,或者6,首位从4个人选一个,其余的再选2个排列即可 433⨯⨯,共有96种5.从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作,则选派方案共有 ( )A. 280种B. 240种 C 。
高中排列组合知识点汇总及典型例题(全)
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一.基来源根基理之蔡仲巾千创作 时间:二O 二一年七月二十九日1.加法原理:做一件事有n 类法子,则完成这件事的方法数即是各类方法数相加.2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数即是各步方法数相乘.注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时经常使用基来源根基理求解.二.排列:从n 个分歧元素中,任取m (m≤n)个元素,依照一定的顺序排成一.m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从1.公式:1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=…… 2.规定:0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+(2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-;(3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三.组合:从n 个分歧元素中任取m (m≤n)个元素并组成一组,叫做从n 个分歧的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn .1. 公式:()()()C A A n n n m m n m n m nm n m m m==--+=-11……!!!!10=n C 规定:①;②;③;④ 若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四.处置排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类.2.解排列、组合题的基本战略(1)两种思路:①直接法;②间接法:对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去失落.这是解决排列组合应用题时一种经常使用的解题方法.(2)分类处置:当问题总体欠好解决时,常分成若干类,再由分类计数原理得出结论.注意:分类不重复不遗漏.即:每两类的交集为空集,所有各类的并集为全集.(3)分步处置:与分类处置类似,某些问题总体欠好解决时,经常分成若干步,再由分步计数原理解决.在处置排列组合问题时,经常既要分类,又要分步.其原则是先分类,后分步.(4)两种途径:①元素分析法;②位置分析法.3.排列应用题:(1)穷举法(列举法):将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来; (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑;(3).相邻问题:捆邦法:对某些元素要求相邻的排列问题,先将相邻接的元素“捆绑”起来,看作一“年夜”元素与其余元素排列,然后再对相邻元素内部进行排列.(4)、全不相邻问题,插空法:某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采纳插空法.即先安插好没有限制条件的元素,然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两真个空隙之间拔出.(5)、顺序一定,除法处置.先排后除或先定后插解法一:对某几个元素按一定的顺序排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列,然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数.即先全排,再除以定序元素的全排列.解法二:在总位置中选出定序元素的位置不介入排列,先对其他元素进行排列,剩余的几个位置放定序的元素,若定序元素要求从左到右或从右到左排列,则只有1种排法;若不要求,则有2种排法;(6)“小团体”排列问题——采纳先整体后局部战略对某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时,可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列,最后再进行“小团体”内部的排列.(7)分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题,可归纳为一排考虑,再分段处置.(8).数字问题(组成无重复数字的整数)① 能被2整除的数的特征:末位数是偶数;不能被2整除的数的特征:末位数是奇数.②能被3整除的数的特征:各位数字之和是3的倍数;③能被9整除的数的特征:各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征:末两位是4的倍数. ⑤能被5整除的数的特征:末位数是0或5.⑥能被25整除的数的特征:末两位数是25,50,75. ⑦能被6整除的数的特征:各位数字之和是3的倍数的偶数.4.组合应用题:(1).“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: (2).“含”与“不含” 用间接排除法或分类法: 3.分组问题:均匀分组:分步取,得组合数相乘,再除以组数的阶乘.即除法处置.非均匀分组:分步取,得组合数相乘.即组合处置.混合分组:分步取,得组合数相乘,再除以均匀分组的组数的阶乘. 4.分配问题:定额分配:(指定到具体位置)即固定位置固定人数,分步取,得组合数相乘.随机分配:(不指定到具体位置)即不固定位置但固定人数,先分组再排列,先组合分堆后排,注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘.5.隔板法:不成份辨的球即相同元素分组问题例1.电视台连续播放6个广告,其中含4个分歧的商业广告和2个分歧的公益广告,要求首尾必需播放公益广告,则共有种分歧的播放方式(结果用数值暗示).例3.6人排成一行,甲不排在最左端,乙不排在最右端,共有几多种排法?例.有4个男生,3个女生,高矮互不相等,现将他们排成一行,要求从左到右,女生从矮到高排列,有几多种排法?1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则分歧的取法共有2.从5名男生和4名女生中选出4人去介入辩说角逐(1)如果4人中男生和女生各选2人,有种选法;(2)如果男生中的甲与女生中的乙必需在内,有种选法;(3)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内,有种选法;(4)如果4人中必需既有男生又有女生,有种选法1.6个人分乘两辆分歧的汽车,每辆车最多坐4人,则分歧的搭车方法数为( )A.40 B.50 C.60 D.702.有6个座位连成一排,现有3人就坐,则恰有两个空座位相邻的分歧坐法有( )A.36种B.48种 C.72种D.96种3.只用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必需同时使用,且同一数字不能相邻呈现,这样的四位数有( )A.6个B.9个 C.18个D.36个4.男女学生共有8人,从男生中选取2人,从女生中选取1人,共有30种分歧的选法,其中女生有( )A.2人或3人 B.3人或4人 C.3人 D.4人5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从二楼到三楼用8步走完,则方法有( ) A.45种B.36种 C.28种D.25种6.某公司招聘来8名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部份,其中两名英语翻译人员不能分在同一个部份,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部份,则分歧的分配方案共有( ) A.24种B.36种 C.38种D.108种7.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的分歧点的个数为( )8.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )A.72 B.96 C.108 D.1449.如果在一周内(周一至周日)安插三所学校的学生观赏某展览馆,每天最多只安插一所学校,要求甲学校连续观赏两天,其余学校均只观赏一天,那么分歧的安插方法有( )A.50种B.60种 C.120种D.210种10.安插7位工作人员在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安插在5月1日和2日,分歧的安插方法共有________种.(用数字作答)11.今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有________种分歧的排法.(用数字作答)12.将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴世博会的四个分歧场馆服务,分歧的分配方案有________种(用数字作答).14. 将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个分歧的信封中.若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则分歧的方法共有(A)12种(B)18种(C)36种(D)54种15. 某单元安插7位员工在10月1日至7日值班,每天1人,每人值班1天,若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则分歧的安插方案共有A. 504种B. 960种C. 1008种D. 1108种解析:分两类:甲乙排1、2号或6、7号 共有4414222A A A ⨯种方法 甲乙排中间,丙排7号或不排7号,共有)(43313134422A A A A A +种方法故共有1008种分歧的排法排列组合 二项式定理1,分类计数原理 完成一件事有几类方法,各类法子相互自力每类法子又有多种分歧的法子(每一种都可以自力的完成这个事情) 分步计数原理 完成一件事,需要分几个步伐,每一步的完成有多种分歧的方法2,排列排列界说:从n 个分歧元素中,任取m (m≤n)个元素(被取出的元素各不相同),依照一定的顺序排成一列,叫做从n 个分歧元3,组合组合界说 从n 个分歧元素中,任取m (m≤n)个元素并成一组,叫做从n 个分歧元素中取出m 个元素的一个组合组合数 从n 个分歧元素中,任取m (m≤n)个元素的所有组合个数 m nC m n C =!!()!n m n m - 性质 m nC =n m n C -11m m m n n n C C C -+=+ 排列组合题型总结一. 直接法1 .特殊元素法例1用1,2,3,4,5,6这6个数字组成无重复的四位数,试求满足下列条件的四位数各有几多个(1)数字1不排在个位和千位(2)数字1不在个位,数字6不在千位.Eg 有五张卡片,它的正反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成几多个分歧的三位数?Eg 三个女生和五个男生排成一排(1) 女生必需全排在一起 有几多种排法( 捆绑法)(2) 女生必需全分开 (插空法 须排的元素必需相邻)(3) 两端不能排女生(4) 两端不能全排女生(5) 如果三个女生占前排,五个男生站后排,有几多种分歧的排法二. 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时,宜用插空法. 例3 在一个含有8个节目的节目单中,临时拔出两个歌唱节目,且坚持原节目顺序,有几多中拔出方法?捆绑法 当需排元素中有必需相邻的元素时,宜用捆绑法.1.四个分歧的小球全部放入三个分歧的盒子中,若使每个盒子不空,则分歧的放法有种,2,某市植物园要在30天内接待20所学校的学生观赏,但每天只能安插一所学校,其中有一所学校人数较多,要安插连续观赏2天,其余只观赏一天,则植物园30天内分歧的安插方法有(1928129A C )(注意连续观赏2天,即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有129C 其余的就是19所学校选28天进行排列)三. 阁板法 名额分配或相同物品的分配问题,适宜采阁板用法例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队,这12个人由8个班的学生组成,每班至少一人,名额分配方案共种 .五 平均分推问题eg 6天职歧的书按一下方式处置,各有几种分发?(1) 平均分成三堆,(2) 平均分给甲乙丙三人(3) 一堆一本,一堆两本,一对三本(4) 甲得一本,乙得两本,丙得三本(一种分组对应一种方案)(5) 一人的一本,一人的两本,一人的三本。
排列组合训练 知识点归纳、例题讲解、相应习题
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一.基本原理1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。
二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一1.公式: 1.2. (1)(2); (3)三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。
1.公式:①;②;③;④若四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。
2.解排列、组合题的基本策略(1)两种思路:①直接法;②间接法:对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉。
这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。
(2)分类处理:当问题总体不好解决时,常分成若干类,再由分类计数原理得出结论。
注意:分类不重复不遗漏。
即:每两类的交集为空集,所有各(3)分步处理:与分类处理类似,某些问题总体不好解决时,常常分成若干步,再由分步计数原理解决。
在处理排列组合问题时,常常既要分类,又要分步。
其原则是先分类,后分步。
.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从()()()()!!121m n n m n n n n A mn -=+---=……规定:0!1=!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!!10=n C 规定:组合数性质:.2nn n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……,,11112111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++= 注:12m m 1212m =m m +m n nn C C ==则或排列组合训练【知识点归纳】(4)两种途径:①元素分析法;②位置分析法。
排列组合专项讲义(知识点+例题+练习含详解)
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排列组合问题专项讲义知识点+例题+练习题+详细解析基本知识框架:加法原理排列数 排列数公式综合应用乘法原理 组合数 组合数公式一、基本概念:乘法原理:一般地,如果完成一件事情需要n 步,其中,做第一步有a 种不同的方法,做第二步有b 种不同的方法,…,做第n 步有x 种不同的方法,那么,完成这件事一共有:N =a ×b ×…×x种不同的方法。
加法原理:一般地,如果完成一件事有k 类方法,第一类方法中有a 种不同的做法,第二类方法中有b 种不同的做法,…,第n 类有x 种不同的做法,那么,完成这件事一共有:N =a +b +…+x种不同的方法。
排列、排列数一般地,从n 个不同的元素中任意取出m(n ≥m)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个排列。
从n 个不同的元素中取出m(n ≥m)个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列数。
记做mn A 。
m n A =n(n -1)(n -2)(n -3)…(n -m +1)组合、组合数一般地,从n 个不同的元素中取出m(n ≥m)个元素组成一组,不计组内各元素的次序,叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个组合。
从n 个不同的元素中取出m(n ≥m)个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同的元素中取出m 个不同元素的组合数。
记座mn C 。
m nC =m n m m A A =n(n -1)(n -2)(n -3)…(n -m +1)÷!m 二、常见的解题策略1、特殊元素优先排列2、合理分步与准确分类3、排列、组合混合问题先选后排4、正难则反,等价转化5、相邻问题捆绑法6、不相邻问题插空法7、定序问题除法处理8、分排问题直排处理 9、“小集团”问题先整体后局部10、构造模型 11、树形图三、排列组合例题1.有3封不同的信,投入4个邮筒,一共有多少种不同的投法?2.甲、乙两人打乒乓球,谁先连胜头两局,则谁赢.如果没有人连胜头两局,则谁先胜三局谁赢,打到决出输赢为止,问有多少种可能情况?3.在6名女同学,5名男同学中,选4名女同学,3名男同学,男女相间站成一排,问共有多少种排法?4.用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可组成多少个比300000大的无重复数字的六位偶数?5.如下图:在摆成棋盘眼形的20个点中,选不在同一直线上的三点作出以它们为顶点的三角形,问总共能作多少个三角形?6.小文和小静两位同学帮花店扎花,要从三只篮子中各取一只花扎在一起,已知每只篮子里都有3种不同的花,问她们可以扎成多少种不同式样的花束?7.某学校组织学生开展登山活动.在山的北坡有两条路直通山项;在山的南坡也有两条路,一条直通山顶,另一条通向山腰小亭,从小亭有两条路通向山顶;山的西坡有两条路通向山间寺庙,由寺庙有两条路通向山顶.要登上山顶共有多少种不同的道路?8.从5个声母,3个韵母中每次取出3个声母2个韵母的排列方法有多少种?9.4名男生5名女生站成一排,如果男生不分开,女生也不分开,有多少种不同的站法?10.五对孪生兄妹排成一排,每对兄妹不能分开,共有多少种排法?11.7人站成一排,其中4名男生,3名女生;如果限定女生不站两头,且女生站在一起,一共有多少种不同的站法?四、应用排列组合解决计数问题1、在一个半圆周上共有12个点,如右图,以这些点为顶点,可以画出多少个三角形?方法一解:三个顶点都在半圆弧上的三角形有37C =35(个)两个顶点在半圆弧上,一个顶点在线段上的三角形有27C ×15C =105(个)一个顶点在半圆弧上,两个顶点在线段上的三角形有17C ×25C =70(个)由加法原理得:35+105+70=210(个)答:略方法二(排除法)解:312C -35C =220-10=210(个)答:略2、如下图,问:①右图中,共有多少条线段? A B C D E F G②下右图中,共有多少个角?解:①图中任何两点都可以得到一条线段,这是一个组合问题,图中共有7点,所以:27C =21共有21条线段。
排列组合经典题型及解析
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排列组合经典题型及解析1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边,则不同的排法有( ) A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种解析:把,A B 视为一人,且B 固定在A 的右边,则本题相当于4人的全排列,4424A =种,答案:D .2.相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是( ) A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种解析:除甲乙外,其余5个排列数为55A 种,再用甲乙去插6个空位有26A 种,不同的排法种数是52563600A A =种,选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.`例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果B 必须站在A 的右边(,A B 可以不相邻)那么不同的排法有( ) A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种解析:B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即551602A =种,选B .4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.例4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有( )A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析:先把1填入方格中,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3×3×1=9种填法,选B . 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法.例5.(1)有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是( )A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析:先从10人中选出2人承担甲项任务,再从剩下的8人中选1人承担乙项任务,第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务,不同的选法共有21110872520C C C =种, … 选C .(2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有( ) A 、4441284C C C 种 B 、44412843C C C 种C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种答案:A .6.全员分配问题分组法:例6.(1)4名优秀学生全部保送到3所学校去,每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种解析:把四名学生分成3组有24C 种方法,再把三组学生分配到三所学校有33A 种,故共有234336C A =种方法.说明:分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.(2)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为( )A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种,答案:B .7.名额分配问题隔板法:例7:10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案解析:10个名额分到7个班级,就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆,每堆至少一个,可以在10个小球的9个空位中插入6块木板,每一种插法对应着一种分配方案,故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案解析:因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况:①若甲乙都不参加,则有派遣方案48A 种;②若甲参加而乙不参加,先安排甲有3种方法,然后安排其余学生有38A 方法,所以共有383A ;③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种;④若甲乙都参加,则先安排甲乙,有7种方法,然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种,共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法:元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数,最后总计. 例9(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有( ) A 、210种 B 、300种 C 、464种 D 、600种 ]解析:按题意,个位数字只可能是0,1,2,3,4共5种情况,分别有55A 个,1131131131343333323333,,,A A A A A A A A A A A 个,合并总计300个,选B. (2)从1,2,3…,100这100个数中,任取两个数,使它们的乘积能被7整除,这两个数的取法(不计顺序)共有多少种解析:被取的两个数中至少有一个能被7整除时,他们的乘积就能被7整除,将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100A =共有86个元素;由此可知,从A 中任取2个元素的取法有214C ,从A 中任取一个,又从A 中任取一个共有111486C C ,两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种.(3)从1,2,3,…,100这100个数中任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种 解析:将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集,能被4整除的数集{}4,8,12,100A =;能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =,能被4除余2的数集{}2,6,,98C =,能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =,易见这四个集合中每一个有25个元素;从A 中任取两个数符合要;从,B D 中各取一个数也符合要求;从C 中任取两个数也符合要求;此外其它取法都不符合要求;所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法:某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同的参赛方案解析:设全集={6人中任取4人参赛的排列},A={甲跑第一棒的排列},B={乙跑第四棒的排列},根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有:()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法:某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素;再排其它的元素。
(完整版)排列组合知识点总结+典型例题及答案解析
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g a o o 2. ! ①;②;③;④[解析] 因为10÷8的余数为2,故可以肯定一步一个台阶的有6步,一步两个台阶的有2 28步,那么共有C=28种走法.6.某公司招聘来8名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门,则不同的分配方案共有( )A.24种B.36种 C.38种D.108种[解析] 本题考查排列组合的综合应用,据题意可先将两名翻译人员分到两个部门,共有213种方法,第二步将3名电脑编程人员分成两组,一组1人另一组2人,共有C种分法,然132后再分到两部门去共有C A种方法,第三步只需将其他3人分成两组,一组1人另一组213人即可,由于是每个部门各4人,故分组后两人所去的部门就已确定,故第三步共有C种13213方法,由分步乘法计数原理共有2C A C=36(种).7.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( )A.33 B.34 C.35 D.36123[解析] ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C·A=12个;1233②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C·A+A=18个;13③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C=3个.故共有符合条件的点的个数为12+18+3=33个,故选A.8.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( ) A.72 B.96 C.108 D.144213223[解析] 分两类:若1与3相邻,有A·C A A=72(个),若1与3不相邻有forsos的卡片放入同一封信有种方法;其他四封信放入两个信封,每个信封两个有种方法,共有种,故选。
高中排列组合知识点汇总及典型例题(全)
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一.基来历根基理之袁州冬雪创作1.加法原理:做一件事有n 类法子,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加.2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘. 注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常常使用基来历根基理求解.二.摆列:从n 个分歧元素中,任取m (m≤n)个元素,依照一定的顺序排成一.m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从1.公式:1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定:0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+(2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-;(3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三.组合:从n 个分歧元素中任取m (m≤n)个元素并组成一组,叫做从n 个分歧的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn .1. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m mm ==--+=-11……!!!!10=n C 规定: ①;②;③;④若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四.处理摆列组合应用题 1.①明白要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类.2.解摆列、组合题的基本战略(1)两种思路:①直接法;②间接法:对有限制条件的问题,先从总体思索,再把不符合条件的所有情况去掉.这是处理摆列组合应用题时一种常常使用的解题方法.(2)分类处理:当问题总体欠好处理时,常分成若干类,再由分类计数原理得出结论.注意:分类不重复不遗漏.即:每两类的交集为空集,所有各类的并集为全集.(3)分步处理:与分类处理近似,某些问题总体欠好处理时,常常分成若干步,再由分步计数原理处理.在处理摆列组合问题时,常常既要分类,又要分步.其原则是先分类,后分步.(4)两种途径:①元素分析法;②位置分析法.3.摆列应用题:(1)穷举法(罗列法):将所有知足题设条件的摆列与组合逐一罗列出来; (2)、特殊元素优先思索、特殊位置优先思索;(3).相邻问题:捆邦法:对于某些元素要求相邻的摆列问题,先将相邻接的元素“绑缚”起来,看做一“大”元素与其余元素摆列,然后再对相邻元素外部停止摆列.(4)、全不相邻问题,插空法:某些元素不克不及相邻或某些元素要在某特殊位置时可采取插空法.即先安插好没有限制条件的元素,然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两头的空地之间拔出.(5)、顺序一定,除法处理.先排后除或先定后插解法一:对于某几个元素按一定的顺序摆列问题,可先把这几个元素与其他元素一同停止全摆列,然后用总的摆列数除于这几个元素的全摆列数.即先全排,再除以定序元素的全摆列.解法二:在总位置中选出定序元素的位置不参与摆列,先对其他元素停止摆列,剩余的几个位置放定序的元素,若定序元素要求从左到右或从右到左摆列,则只有1种排法;若不要求,则有2种排法;(6)“小团体”摆列问题——采取先整体后部分战略对于某些摆列问题中的某些元素要求组成“小团体”时,可先将“小团体”看做一个元素与其余元素摆列,最后再停止“小团体”外部的摆列.(7)分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题,可归纳为一排思索,再分段处理.(8).数字问题(组成无重复数字的整数)① 能被2整除的数的特征:末位数是偶数;不克不及被2整除的数的特征:末位数是奇数.②能被3整除的数的特征:各位数字之和是3的倍数;③能被9整除的数的特征:各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征:末两位是4的倍数. ⑤能被5整除的数的特征:末位数是0或5.⑥能被25整除的数的特征:末两位数是25,50,75. ⑦能被6整除的数的特征:各位数字之和是3的倍数的偶数.4.组合应用题:(1).“至少”“至多”问题用间接解除法或分类法: (2).“含”与“不含” 用间接解除法或分类法:3.分组问题:平均分组:分步取,得组合数相乘,再除以组数的阶乘.即除法处理.非平均分组:分步取,得组合数相乘.即组合处理.混合分组:分步取,得组合数相乘,再除以平均分组的组数的阶乘.4.分配问题:定额分配:(指定到详细位置)即固定位置固定人数,分步取,得组合数相乘.随机分配:(不指定到详细位置)即不固定位置但固定人数,先分组再摆列,先组合分堆后排,注意平均分堆除以平均分组组数的阶乘.5.隔板法:不成分辨的球即相同元素分组问题例1.电视台持续播放6个广告,其中含4个分歧的商业广告和2个分歧的公益广告,要求首尾必须播放公益广告,则共有种分歧的播放方式(成果用数值暗示).例3.6人排成一行,甲不排在最左端,乙不排在最右端,共有多少种排法?例.有4个男生,3个女生,高矮互不相等,现将他们排成一行,要求从左到右,女生从矮到高摆列,有多少种排法?1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则分歧的取法共有2.从5名男生和4名女生中选出4人去参与辩论比赛(1)如果4人中男生和女生各选2人,有种选法;(2)如果男生中的甲与女生中的乙必须在内,有种选法;(3)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内,有种选法;(4)如果4人中必须既有男生又有女生,有种选法1.6个人分乘两辆分歧的汽车,每辆车最多坐4人,则分歧的乘车方法数为( ) A.40 B.50 C.60 D.702.有6个座位连成一排,现有3人就座,则恰有两个空座位相邻的分歧坐法有( )A.36种B.48种 C.72种D.96种3.只用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不克不及相邻出现,这样的四位数有( )A.6个B.9个 C.18个D.36个4.男女学生共有8人,从男生中选取2人,从女生中选取1人,共有30种分歧的选法,其中女生有( )A.2人或3人 B.3人或4人 C.3人 D.4人5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从二楼到三楼用8步走完,则方法有( )A.45种B.36种 C.28种D.25种6.某公司招聘来8名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部分,其中两名英语翻译人员不克不及分在同一个部分,别的三名电脑编程人员也不克不及全分在同一个部分,则分歧的分配方案共有( )A.24种B.36种 C.38种D.108种7.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的分歧点的个数为( )8.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )A.72 B.96 C.108 D.1449.如果在一周内(周一至周日)安插三所学校的学生观赏某展览馆,天天最多只安插一所学校,要求甲学校持续观赏两天,其余学校均只观赏一天,那末分歧的安插方法有( )A.50种B.60种 C.120种D.210种10.安插7位工作人员在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不克不及安插在5月1日和2日,分歧的安插方法共有________种.(用数字作答)11.今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有________种分歧的排法.(用数字作答)12.将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴世博会的四个分歧场馆服务,分歧的分配方案有________种(用数字作答).14. 将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个分歧的信封中.若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则分歧的方法共有(A )12种 (B )18种 (C )36种 (D )54种15. 某单位安插7位员工在10月1日至7日值班,天天1人,每人值班1天,若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则分歧的安插方案共有A. 504种B. 960种C. 1008种D. 1108种解析:分两类:甲乙排1、2号或6、7号 共有4414222A A A ⨯种方法甲乙排中间,丙排7号或不排7号,共有)(43313134422A A A A A +种方法故共有1008种分歧的排法摆列组合 二项式定理1,分类计数原理 完成一件事有几类方法,各类法子相互独立每类法子又有多种分歧的法子(每种都可以独立的完成这个事情)分步计数原理 完成一件事,需要分几个步调,每步的完成有多种分歧的方法 2,摆列摆列定义:从n 个分歧元素中,任取m (m≤n)个元素(被取出的元素各不相同),依照一定的顺序排成一列,叫做从n 个分歧元素中取出m 个元素的一个摆3,组合组合定义 从n 个分歧元素中,任取m (m≤n)个元素并成一组,叫做从n 个分歧元素中取出m 个元素的一个组合组合数 从n 个分歧元素中,任取m (m≤n)个元素的所有组合个数 m n C m n C =!!()!n m n m - 性质 m nC =n m n C -11m m m n n n C C C -+=+ 摆列组合题型总结一. 直接法1 .特殊元素法例1用1,2,3,4,5,6这6个数字组成无重复的四位数,试求知足下列条件的四位数各有多少个(1)数字1不排在个位和千位(2)数字1不在个位,数字6不在千位.Eg 有五张卡片,它的正反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个分歧的三位数? Eg 三个女生和五个男生排成一排(1) 女生必须全排在一起 有多少种排法( 绑缚法)(2) 女生必须全分开 (插空法 须排的元素必须相邻)(3) 两头不克不及排女生(4) 两头不克不及全排女生(5) 如果三个女生占前排,五个男生站后排,有多少种分歧的排法二. 插空法 当需排元素中有不克不及相邻的元素时,宜用插空法.例3 在一个含有8个节目标节目单中,姑且拔出两个歌唱节目,且坚持原节目顺序,有多少中拔出方法?绑缚法 当需排元素中有必须相邻的元素时,宜用绑缚法.1.四个分歧的小球全部放入三个分歧的盒子中,若使每个盒子不空,则分歧的放法有种,2,某市植物园要在30天内欢迎20所学校的学生观赏,但天天只能安插一所学校,其中有一所学校人数较多,要安插持续观赏2天,其余只观赏一天,则植物园30天内分歧的安插方法有(1928129A C )(注意持续观赏2天,即需把30天种的持续两天绑缚当作一天作为一个整体来选有129C 其余的就是19所学校选28天停止摆列)三. 阁板法 名额分配或相同物品的分配问题,适宜采阁板用法例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队,这12个人由8个班的学生组成,每班至少一人,名额分配方案共种 .五平均分推问题eg 6本分歧的书按一下方式处理,各有几种分发?(1)平均分成三堆,(2)平均分给甲乙丙三人(3)一堆一本,一堆两本,一对三本(4)甲得一本,乙得两本,丙得三本(一种分组对应一种方案)(5)一人的一本,一人的两本,一人的三本。
高考排列组合、概率知识点总结及典型例题(教师版)
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高考排列组合、概率知识点总结及典型例题排列组合知识点总结:一.基本原理1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。
二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一.m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从 1.公式:1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2. 规定:0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+(2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-; (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。
1. 公式:()()()C A A n n n m m n m n m n m nm mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定:组合数性质:.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……,,①m m n c -=n n c ;②111-m n c --+=m n n n c c ;③11-k n kc -=k n nc ;11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注:若12m m 1212m =m m +m n nn C C ==则或 四、二项式定理.1. ⑴二项式定理:nn n r r n r n n n n nn b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- . 展开式具有以下特点:① 项数:共有1+n 项;② 系数:依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C③ 每一项的次数是一样的,即为n 次,展开式依a 的降幕排列,b 的升幕排列展开.⑵二项展开式的通项.n b a )+(展开式中的第1+r 项为:),0(1Z r n r b aC T rr n r n r ∈≤≤=-+.⑶二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等;②二项展开式的中间项二项式系数.....最大. I. 当n是偶数时,中间项是第12+n项,它的二项式系数2nn C 最大; II. 当n 是奇数时,中间项为两项,即第21+n 项和第121++n 项,它们的二项式系数2121+-=n nn n C C最大.③系数和:1314201022-=++=+++=+++n n n n n n nn n n n C C C C C C C C概率知识点总结:一、基本知识在一定的条件下必然要发生的事件,叫做必然事件; 在一定的条件下不可能发生的事件,叫做不可能事件;在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件,叫做随即事件。
排列组合典型题大全含答案

排列组合典型题大全一.可重复的排列求幂法:重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,则通过“住店法”可顺利解题,在这类问题使用住店处理的策略中,关键是在正确判断哪个底数,哪个是指数【例1】(1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多少种不同的报名方法?(2)有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结果?(3)将3封不同的信投入4个不同的邮筒,则有多少种不同投法?【解析】:(1)43(2)34(3)34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法?【解析】:完成此事共分6步,第一步;将第一名实习生分配到车间有7种不同方案,第二步:将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案,依次类推,由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】8名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有()A、38B、83C、38A D、38C【解析】:冠军不能重复,但同一个学生可获得多项冠军,把8名学生看作8家“店”,3项冠军看作3个“客”,他们都可能住进任意一家“店”,每个“客”有8种可能,因此共有38种不同的结果。
所以选A1、4封信投到3个信箱当中,有多少种投法?2、4个人争夺3项冠军,要求冠军不能并列,每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还,问最后有多少种情况?3、4个同学参加3项不同的比赛(1)每位同学必须参加一项比赛,有多少种不同的结果?(2)每项竞赛只许一名同学参加,有多少种不同的结果?4、5名学生报名参加4项比赛,每人限报1项,报名方法的种数有多少?又他们争夺这4项比赛的冠军,获得冠军的可能性有多少?5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种?6、(全国II文)5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共(A)10种(B)20种(C)25种(D)32种7、5位同学报名参加并负责两个课外活动小组,每个兴趣小组只能有一个人来负责,负责人可以兼职,则不同的负责方法有多少种?8、4名不同科目的实习教师被分配到3个班级,不同的分法有多少种?思考:4名不同科目的实习教师被分配到3个班级,每班至少一个人的不同的分法有多少种?二.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.A B C D E五人并排站成一排,如果,A B必须相邻且B在A的右边,那么不同的排法种数有【例1】,,,,A 种【解析】:把,A B视为一人,且B固定在A的右边,则本题相当于4人的全排列,4424例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。
《排列组合》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
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排列组合考纲要求1.了解排列的意义,理解排列数公式,并能用它们解决一些简单的实际问题.2.了解组合的意义,理解组合数公式,并能用它们解决一些简单的实际问题.3. 了解组合数性质. 知识点一:排列1.排列的定义:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个不同的元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.若m <n ,这样的排列叫选排列;若m =n ,这样的排列叫全排列.2.排列数公式:从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个不同的元素的所有排列的个数,从n 个不同元素中取出m 元素的排列数,记作mn P .(1) P m n =n (n -1)(n -2) … (n -m +1); (2) ==!P n n n n (n -1)(n -2) … 3×2×1; (3) P m n =()!!n n m -; 规定:0!=1.知识点二:解决排列问题的基本方法.1. 优限法:即先排特殊的元素,或者特殊的位置.2.捆绑法:相邻问题,把相邻的元素看成一个整体,然后再参与其他元素的排列. 3.插空法:对元素互不相邻的排列问题,常常采用插空法,首先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空位中.4. 排除法:即从正面难以考虑时可以考虑它的对立面,用全部结果数减去对立事件的方法数.5.枚举法:即将所有排列按照一定的规律,一一列举出来的方法. 知识点三:组合1.组合的定义:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个不同的元素,组成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.2.组合数公式:从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个不同的元素的所有组合的个数,从n个不同元素中取出m 元素的组合数,记作mn C .(1)()()()121P C P !mm nnmn n n n n m m ---+==;(2)()!C !!mn n m n m =-(n ,*N ∈m ,且m ≤n ).3. 组合数性质:(1) C =C m n mn n-; (2) 111C +C C m m m n n n +++=.知识点四:解组合问题的方法1.分类讨论:即分析题中的限定条件将所给元素按性质适当分类,并侧重其中一类,相应各类分类讨论,分类时要做到不重不漏.2.等价转化:即把所求问题转化为与之等价的组合问题去解决.3.排除法.4.枚举法.知识点五:计数需注意问题1.排列为有序问题,组合为无序问题,两者都是不重复问题.2.排列包括两个要素,一个是不同的元素,另一个是确定的顺序. 即排列可分成两步,第一步取出元素,第二步排列顺序.3.组合只有一个要素,就是取出元素即可,与元素的排列顺序无关.4.要注意区分分类和分步计数原理,排列和组合,元素允许重复是直接用计数原理,而元素不允许重复的是排列和组合问题. 题型一 排列定义例1 五个同学站一排照相,共多少种排法?分析:把5个元素放在5个位置上,相当于5的全排列,也共有120P 55=种排法. 解答:N =120P 55=种排法题型二 排列数公式例2 设x N *∈,10x <,(20)(21)(30)().x x x --⋅⋅⋅-=A. 1020P x -B. 1120P x -C. 1030P x -D. 1130P x -分析:排列数公式 P m n =n (n -1)(n -2)…(n -m +1)的特点: (1)等号右边最大的数是n ; (2)等号右边最小的数是n -m +1; (3)共有m 个连续自然数相乘. 解答:30n x =-,(30)(20)111m x x =---+=,∴ (20)(21)(30)x x x --⋅⋅⋅-=1130P x -题型三 解决排列应用题 例3 用1、2、3、4、5、6个数. (1)可以组成多少个五位数?(2)可以组成多少个没有重复数字的五位数? (3)可以组成多少个1和2相邻的六位数? (4)可以组成多少个1和2不相邻的六位数?分析:先考虑是用分类分步还是用排列组合,就是要观察一下数字是否允许重复,数字允许重复用分类分步计数原理,数字不允许重复用排列组合,数字相邻用捆绑法,数字不相邻用插空法.解答:(1)数字可以重复,所以用分步计数原理,每个数位上都有6个数字可选,因此共有5666666⨯⨯⨯⨯=个.(2)数字不可以重复,还有顺序,所以用排列,共720P 56==N 个.(3)1和2相邻,用捆绑法,先排1和2共22P 种,与余下的4个元素共有55P 种,则共有240P P 5522=个.(4)1和2不相邻,插空法,先排余下的4个元素44P 种,,再从5个空中挑选2个即25P 种,则共有480P P 2544=个.题型四 组合定义及组合数公式例4 从8名男生2名女生中任选5人, (1)共有多少种不同的选法? (2)恰好有一名女生的不同选法? 分析:选取元素干同一件事就组合问题.解答:(1)所有不同选法数就从10人中任选5人的组合数即252C 510=种.(2)从2名女生中任选1人的选法有12C 种,从8名男生中选出4人的选法有48C 种,由分步计数原理,恰有一名女生的选法有140C C 4812=种.题型五 组合数公式例5 (1)已知321818C C -=x x 则x =____. (2)=+97999899C C _____.分析:灵活运用组合数性质.解答:(1)根据题意得 23x x =-或(23)18x x +-=则3x =或7x =.(2)4950299100C C C C 21009810097999899=⨯===+. 题型六 解组合应用题例6 从8件不同的服装快递,2件不同的食品快递中任选5件. (1)至少有一件食品快递的不同选法总数? (2)最多有一件食品快递的不同选法总数?分析:解决带有限制条件的组合应用题要根据题意正确地分类或分步,巧妙运用直接法或间接法.解答:(1)法一(直接法)分两类情况求解,第一类恰有一件食品快递选法有4812C C 种,第二类恰有两件食品快递选法有3822C C 种,由分类计数原理得至少有一件食品快递的不同选法共有196C C C C 38224812=+种.法二(排除法)从10件快递中任选5件选法总数减去选出的5件全为服装快递的总数即至少有一件为食品快递的不同选法有55108196C C -=种.(2) 最多有一件食品快递可分为以下两类,第一类选出的五件快递中恰有一件食品快递有1428C C 种选法,第二类选出的五件快递中恰有0件食品快递,有0528C C 种选法,由分类计数原理知最多有一件食品快递的选法有14052828196C C C C +=种.一、选择题1.设*x N ∈,10x <,则(10)(11)(17)x x x --⋅⋅⋅-用排列数符号表示为( ).A.x x --1017PB.817P x -C. 717P x -D. 810P x -2.从4人中任选2人担任正副班长,结果共有( )种.A. 4B. 6C. 12D. 243.将5本不同的笔记本分配给4个三好学生(每个学生只能拥有一本笔记本),则所有的分法种数为( ).A. 5!B. 20C. 54D. 454.5名学生报考4所不同的学校(每名学生只能报考一所学校),则所有的报考方法有( )种.A. 5!B. 20C. 54D. 455.将6名优秀教师分配到4个班级,要求每个班有1名教师,则不同的分法种数有( )种.A. 46PB. 46C. 46CD. 646.为抗击郑州水患,某医院派3名医生和6名护士支援郑州,他们被分配到郑州的三所医院,每个医院分配1名医生和2名护士,共有( )种不同的分配方法.A. 24122613P P P P +B. 221124122613P P P P P P ++ C. 121212362412C C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅ D. 121212362412C C C C C C ⋅+⋅+⋅7.从4名男生和5名女生中任取3人,其中男生至多有一人,则不同的取法共有( )种 . A. 30 B. 50 C. 70 D. 808.某小组有男生7人,女生3人,选出3人中有1名男生,2名女生的不同选法有( )种.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅9.10件产品中有2件次品,任取3件至少有1件次品的不同抽法为( )种.A. 1229C C ⋅ B. 312828C C C +⋅ C. 33108C C - D. 12122928C C C C ⋅-⋅10.式子(1)(2)(15)16!x x x x ++⋅⋅⋅+(x N *∈,1x >)可表示为( ).A. 1615P +xB. 1615x C +C. 16x CD. 17x C妙记巧学,归纳感悟 二、判断题:1. 34567⨯⨯⨯⨯等于37P .( )2. 从甲、乙、丙、丁中任选两人做正、副班长,共有12种.( )3. 6个座位,3个人去坐,每人坐一个座位,则共36C 种.( ) 4. 6个点最多可确定26C 条直线.( ) 5. 6个点最多可确定26C 条有向线段.( ) 6. 某铁路有十个站点,共需准备210P 种车票.( )7. 某铁路有十个站点,有210P 种不同票价(同样的两个站点的票价相同).( ) 8. 某组学生约定,假期每两人互通一封信,共计12封,这个小组学生有5人.( ) 9. 把语文、数学、英语、美术、历史这五门课排在一天的五节课中,数学必须比美术先上的排法总数为44C 种.( )10.从3、5、7、9中任选两个,可以组成12个不同的分数值.( ) 妙记巧学,归纳感悟 三、填空题1.若57n n C C =,则n =_______..2.若56P 2=n ,则n =_______.3.从数字0、1、2、3、4、5中任选3个数,可组成______个无重复数字的三位偶数.4.将4本同样的书分给5名同学,每名同学至多分一本,而且书必须分完则不同的分法总数有______种.5.2名教师和5名学生中选3人去旅游,教师不能不去,也不能全去,则共有______种选法. 妙记巧学,归纳感悟 四、解答1.将5名学生排成一排照相,其中3名男生,2名女生,则以下情况各有多少种不同的排法?(1)甲乙必须相邻; (2)甲乙互不相邻; (3)甲乙必须站两端; (4)甲乙不在两端; (5)男女相间.2. 将6本不同的书,在下列情况下有多少种分法? (1)分成相等的三份; (2)平均分给甲乙丙三位同学;(3)分成三份,一份一本,一份两本,一份三本; (4)甲分一本,乙分两本,丙分三本;(5)如果一人分一本,一人分两本,一人分三本,分给甲乙丙. 高考链接1.(2018)某年级有四个班,每班组成一个篮球队,每队分别同其他三个队比赛一场,共需要比赛( )场.A. 4B. 6C. 5D. 7 2. 某段铁路共有9个车站,共需准备( )种不同的车票. A. 36 B. 42 C.64 D. 723. 甲袋中装有6个小球,乙袋中装有4个小球,所有小球颜色各不相同,现从甲袋中取两个小球,乙袋中取一个小球,则取出三个小球的不同取法共有( )种. A. 30 B. 60 C.120 D. 3604. 某学校举行元旦曲艺晚会,有5个小品节目,3个相声节目,要求相声节目不能相邻,则不同的出场顺序有______种. 积石成山10件产品中有2件次品任取3件,至多有一件次品的不同取法总数为( )种.A. 312828C C C +B. 1229C C C. 33108C C - D. 12122928C C C C -2. 从4名男生和5名女生中任取3人,其中至少有男生,女生各一名,则不同的取法有( )种.A. 140B. 84C. 70D. 353. 某医疗小队有护士7人,医生3人,任选3人的不同选法有( ).A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅4. 将4名优秀教师分配到3个班级,每个班至少分到一名教师,则不同的分配方案有( )种.A. 72B. 36C. 18D. 125. 5个人站成一排照相,甲不站排头,乙不站排尾的排法总数有( )种. A. 36 B. 78 C. 60 D. 486. 5个人站成一排照相,甲站中间的排法总数有( )种. A .24 B. 36 C. 60 D. 487. 5个人站成2排照相,第一排2人,第二排3人则不同的排法总数有( )种. A. 48 B. 78 C. 60 D. 1208. 从1、2、3、4中任选2个,再从5、6、7、8、9中任选2个可组成无重复的四位数的个数是( )个.A .720 B. 2880 C. 1440 D .1449. 某工作小组有9名工人,3名优秀工人,各抽5人参加比赛,要求优秀工人都参加不同的选法共有( )种.A. 12B.15C. 30D. 36 10. 式子(1)(2)(15)1!x x x x x ++⋅⋅⋅+-()(x N *∈,1x >)可表示为( ).A. 1615P +xB. 1615x C +C.16x C D .17x C排列组合答案一、选择题二、判断题三、填空题1.12 解析:根据组合数性质1得5712n =+=2.8 解析:2(1)56n P n n =-= 8n ∴=3. 52 解析:分两类,第一类个位是零则有2520P =个;第二类,个位不是零,则有11124432P P P =个,所以共有20+32=52个.4.5 解析:只需在五人中选四人得到书即可,书相同无需排序,则有455C =种. 5.20 解析:老师不能不去,也不能全去,则只能去一人即122520C C =种.妙记巧学,归纳感悟:答案全,结果简. 四、解答题1.解:(1)把甲乙捆绑在一起有22P 种,与余下的3名学生共有44P 种,则甲乙必须相邻,有242448P P =种排法.(2)先把余下的3名学生排好有33P 种,再从形成的4个空中任选两个甲乙来排有24P 种,则甲乙不相邻有323472P P =种排法.(3)甲乙必须站两端,先排甲乙有22P 种,再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种,则甲乙必须站两端有323212P P =种排法.(4)先从3个位置中选2个甲乙来排有23P 种,再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种,则甲乙不在两端有233336P P =种. (5)男女相间则有323212P P =种排法.2. 解:(1)平均分堆问题.有2226423315C C C P =种方法. (2)平均分配问题,每人均分得2本.甲先取两本26C 种,乙再取两本24C 种,丙最后取两本22C 种,由分步计数原理得222642C C C =90种方法.(3)不平均分堆问题,第一份16C 种,第二份25C 种,第三份33C 种,则共有123653C C C =60种方法.(4)不平均分配问题,甲先选一本16C 种,乙再选两本25C 种,丙最后选三本33C 种,则共有123653C C C =60种方法.(5)不平均分配问题,且没有指定对象,先分三份123653C C C 种,再把这三份分给甲乙丙三人有33P 种,则共有种12336533360C C C P =方法.妙记巧学,归纳感悟: 排列组合来相遇,先组后排无争议. 高考链接1.B2.D3.B4.2400 解析:相声节目不相邻,则用插空法先排5个小品节目共有55P 种,五个小品节目共形成六个空选三个空插入相声节目有36P 种,则共有53562400P P =种.积石成山。
高中排列组合知识点汇总及典型例题全

一.基本原理1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。
二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从 1.公式:1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定:0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+(2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-;(3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 。
1. 公式:()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!!10=n C 规定:组合数性质:.2nn n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……,,①;②;③;④11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注:若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。
高中排列组合知识点汇总及典型例题(全)
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一.基本原理1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。
二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从1.公式:1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2. 规定:0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-; (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。
1. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定:组合数性质:.2 n n n nn m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……,,①;②;③;④11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注:若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。
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一.基本原理1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。
二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从1.公式:1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2. 规定:0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-; (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。
1. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定:组合数性质:.2 n n n nn m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……,,①;②;③;④11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注:若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。
(完整版)排列组合知识点总结+典型例题及答案解析
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排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一.基本原理1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。
二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从1.公式:1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定:0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-; (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。
1. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定:组合数性质:.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……,, ①;②;③;④11112111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=L L L 注:若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。
最新排列组合知识点汇总及典型例题(全)
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一.基本原理1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。
二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从1.公式:1.()()()()!!121m n n m n n n n A mn -=+---=……2.规定:0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-;(3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。
1. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m nm nm mm ==--+=-11……!!!! 10=nC 规定:组合数性质:.2 nn n n n m n m n m n m n n mnC C C C C C C C 21011=+++=+=+--……,,①;②;③;④11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注:若12mm 1212m =m m +m n n n C C ==则或四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。
排列组合总结(含答案)
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1.(站队模型)4男3女站成一排:①女生相邻;5353A A ⋅②女生不相邻;4345A A ⋅③女生从高到低排;47A④甲不在排头,乙不在排尾;解析:当甲在排尾时有66A ;当甲不在排尾时有115555A A A ⋅⋅2.(组数模型)由0到9这10个数字组成没有重复数字的四位数: ①奇数;末位有112588A A A②偶数;解析:末位为0,有39A ;末位不为0,有112488A A A ⋅⋅③被5整除的数;解析:末位为0,有49A ;末位为5,有1288A A ⋅④比3257大的数; 解析:首位为4到9时有396A ;首位为3时281749A ⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩百位为到时有6十位为6到9时有4A 百位为2时十位为5时有2 ⑤被3整除的三位数.12333311123322111333332A A A C C C A C C C A ⎧⋅+⎪⎧⋅⋅⋅⎨⎪⎨⎪⋅⋅⋅⎪⎩⎩都从一个集合中选时有含0时有各选一个时有不含0时有3.(分组分配问题)6个不同的小球:①放入三个不同的盒子;解析:63②放入三个不同的盒子,每盒不空;解析:4363321363132226426222:A C C C A C C C ⎧⎪⋅⋅⋅⎨⎪=++⋅⋅⎩6=4+1+1:有C 6=3+2+1:有有③分三组(堆),每组至少一个;解析:41162122321631222642336222:C C A C C C C C C A ⎧⋅⋅⎪⎪⎪⋅⋅⎨⎪⋅⋅⎪=++⎪⎩C 6=4+1+1:有6=3+2+1:有有4.6个相同的小球:①放入三个不同的盒子;解析:相当于分名额,盒子可空:插板法:28C ②放入三个不同的盒子,每盒不空;25C ③恰有一个空盒.解析:相当于两个盒子不空:1253C C ⋅5.6名同学报名三科竞赛:①每人限报一科;63②每科限报一人;366.(选派问题)5男3女:①选2人开会;28C②选正副班长,至少1女;2285A A - ③选4人开会,至多2男;解析:即至少2女,22313535C C C C ⋅+⋅④选4人跑4×100接力,至少2女.解析:()2231435354C C C C A ⋅+⋅⋅。
(完整版)高中排列组合知识点汇总情况及典型例题(全)
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适用标准一.基来源理1.加法原理:做一件事有n 类方法,则达成这件事的方法数等于各种方法数相加。
2.乘法原理:做一件事分n 步达成,则达成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注:做一件事时,元素或地点同意重复使用,求方法数经常用基来源理求解。
二.摆列:从 n 个不一样元素中,任取m( m≤ n )个元素,依据必定的次序排成一列,叫做从 n个不一样元素中拿出m个元素的一个摆列,所有摆列的个数记为A n m .1. 公式: 1. A n m n n 1 n 2 ⋯⋯ n m 1n!n m !2.(1) (3)规定: 0!1n!n(n 1)!,( n1) n!( n 1)!(2) n n! [( n 1) 1] n! ( n 1) n! n! (n 1)! n!;n n 1 1n1111(n1)!( n1)!(n1)!( n 1)!n!(n 1)!三.组合:从 n 个不一样元素中任取 m(m≤n)个元素并构成一组,叫做从n 个不一样的 m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。
1. 公式:C n m A n m n n 1 ⋯⋯ n m1n!m !定: C n01A m m m!m! n2.组合数性质: C n m C n n m, C n m C n m 1 C n m1, C n0 C n1⋯⋯ C n n2n①;②;③;④注: C r r C r r1C r r2 L C n r1 C n r C r r11C r r1 C r r2 L C n r1C n r C r r21C r r2 L C n r1 C n r C n r11若 C n m1C n m2 m1 =m 2或 m1 +m 2n四.办理摆列组合应用题 1.①明确要达成的是一件什么事(审题)②有序仍是无序③分步仍是分类。
2.解摆列、组合题的基本策略(1)两种思路:①直接法;②间接法:对有限制条件的问题,先从整体考虑,再把不切合条件的所有状况去掉。
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排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一.基本原理1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。
二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从1.公式:1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定:0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-; (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。
1. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定:组合数性质:.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……,, ①;②;③;④11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注:若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题)②有序还是无序③分步还是分类。
2.解排列、组合题的基本策略(1)两种思路:①直接法;②间接法:对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉。
这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。
(2)分类处理:当问题总体不好解决时,常分成若干类,再由分类计数原理得出结论。
注意:分类不重复不遗漏。
即:每两类的交集为空集,所有各类的并集为全集。
(3)分步处理:与分类处理类似,某些问题总体不好解决时,常常分成若干步,再由分步计数原理解决。
在处理排列组合问题时,常常既要分类,又要分步。
其原则是先分类,后分步。
(4)两种途径:①元素分析法;②位置分析法。
3.排列应用题:(1)穷举法(列举法):将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来; (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑;(3).相邻问题:捆邦法:对于某些元素要求相邻的排列问题,先将相邻接的元素“捆绑”起来,看作一“大”元素与其余元素排列,然后再对相邻元素内部进行排列。
(4)、全不相邻问题,插空法:某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素,然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。
(5)、顺序一定,除法处理。
先排后除或先定后插解法一:对于某几个元素按一定的顺序排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列,然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。
即先全排,再除以定序元素的全排列。
解法二:在总位置中选出定序元素的位置不参加排列,先对其他元素进行排列,剩余的几个位置放定序的元素,若定序元素要求从左到右或从右到左排列,则只有1种排法;若不要求,则有2种排法;(6)“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时,可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列,最后再进行“小团体”内部的排列。
(7)分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题,可归纳为一排考虑,再分段处理。
(8).数字问题(组成无重复数字的整数)①能被2整除的数的特征:末位数是偶数;不能被2整除的数的特征:末位数是奇数。
②能被3整除的数的特征:各位数字之和是3的倍数;③能被9整除的数的特征:各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征:末两位是4的倍数。
⑤能被5整除的数的特征:末位数是0或5。
⑥能被25整除的数的特征:末两位数是25,50,75。
⑦能被6整除的数的特征:各位数字之和是3的倍数的偶数。
4.组合应用题:(1).“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: (2).“含”与“不含”用间接排除法或分类法:3.分组问题:均匀分组:分步取,得组合数相乘,再除以组数的阶乘。
即除法处理。
非均匀分组:分步取,得组合数相乘。
即组合处理。
混合分组:分步取,得组合数相乘,再除以均匀分组的组数的阶乘。
4.分配问题:定额分配:(指定到具体位置)即固定位置固定人数,分步取,得组合数相乘。
随机分配:(不指定到具体位置)即不固定位置但固定人数,先分组再排列,先组合分堆后排,注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘。
5.隔板法:不可分辨的球即相同元素分组问题例1.电视台连续播放6个广告,其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告,要求首尾必须播放公益广告,则共有种不同的播放方式(结果用数值表示). 解:分二步:首尾必须播放公益广告的有A22种;中间4个为不同的商业广告有A44种,从而应当填 A22·A44=48. 从而应填48.例3.6人排成一行,甲不排在最左端,乙不排在最右端,共有多少种排法?解一:间接法:即65546554720212024504A A A A--+=-⨯+=解二:(1)分类求解:按甲排与不排在最右端分类.(1) 甲排在最右端时,有55A种排法; (2) 甲不排在最右端(甲不排在最左端)时,则甲有14A种排法,乙有14A种排法,其他人有44A种排法,共有14A14A44A种排法,分类相加得共有55A+14A14A44A=504种排法例.有4个男生,3个女生,高矮互不相等,现将他们排成一行,要求从左到右,女生从矮到高排列,有多少种排法?分析一:先在7个位置上任取4个位置排男生,有A 47种排法.剩余的3个位置排女生,因要求“从矮到高”,只有1种排法,故共有A 47·1=840种.1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则不同的取法共有解析1:逆向思考,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号的电视机,故不同的取法共有33394570C C C --=种,选.C解析2:至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况:甲型1台乙型2台;甲型2台乙型1台;故不同的取法有2112545470C C C C +=台,选C . 2.从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛(1)如果4人中男生和女生各选2人,有 种选法; (2)如果男生中的甲与女生中的乙必须在内,有 种选法; (3)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内,有 种选法; (4)如果4人中必须既有男生又有女生,有 种选法分析:本题考查利用种数公式解答与组合相关的问题.由于选出的人没有地位的差异,所以是组合问题.解:(1)先从男生中选2人,有25C 种选法,再从女生中选2人,有24C 种选法,所以共有2254C C =60(种);(2)除去甲、乙之外,其余2人可以从剩下的7人中任意选择,所以共有2227C C =21(种);(3)在9人选4人的选法中,把甲和乙都不在内的去掉,得到符合条件的选法数:4497C C -=91(种);直接法,则可分为3类:只含甲;只含乙;同时含甲和乙,得到符合条件的方法数131322332171727777C C C C C C C C C ++=++=91(种). (4)在9人选4人的选法中,把只有男生和只有女生的情况排除掉,得到选法总数444954C C C --=120(种).直接法:分别按照含男生1、2、3人分类,得到符合条件的选法为132231545454C C C C C C ++=120(种).1.6个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐4人,则不同的乘车方法数为( ) A .40 B .50 C .60 D .70[解析] 先分组再排列,一组2人一组4人有C 26=15种不同的分法;两组各3人共有C 36A 22=10种不同的分法,所以乘车方法数为25×2=50,故选B.2.有6个座位连成一排,现有3人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( ) A .36种 B .48种 C .72种 D .96种[解析] 恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排三个人,然后插空,从而共A 33A 24=72种排法,故选C.3.只用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相邻出现,这样的四位数有( )A.6个B.9个 C.18个D.36个[解析] 注意题中条件的要求,一是三个数字必须全部使用,二是相同的数字不能相邻,选四个数字共有C13=3(种)选法,即1231,1232,1233,而每种选择有A22×C23=6(种)排法,所以共有3×6=18(种)情况,即这样的四位数有18个.4.男女学生共有8人,从男生中选取2人,从女生中选取1人,共有30种不同的选法,其中女生有( )A.2人或3人 B.3人或4人 C.3人 D.4人[解析] 设男生有n人,则女生有(8-n)人,由题意可得C2n C18-n=30,解得n=5或n=6,代入验证,可知女生为2人或3人.5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从二楼到三楼用8步走完,则方法有( )A.45种B.36种 C.28种D.25种[解析] 因为10÷8的余数为2,故可以肯定一步一个台阶的有6步,一步两个台阶的有2步,那么共有C28=28种走法.6.某公司招聘来8名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门,则不同的分配方案共有( )A.24种B.36种 C.38种D.108种[解析] 本题考查排列组合的综合应用,据题意可先将两名翻译人员分到两个部门,共有2种方法,第二步将3名电脑编程人员分成两组,一组1人另一组2人,共有C13种分法,然后再分到两部门去共有C13A22种方法,第三步只需将其他3人分成两组,一组1人另一组2人即可,由于是每个部门各4人,故分组后两人所去的部门就已确定,故第三步共有C13种方法,由分步乘法计数原理共有2C13A22C13=36(种).7.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( )A.33 B.34 C.35 D.36[解析] ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12·A33=12个;②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12·A33+A33=18个;③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13=3个.故共有符合条件的点的个数为12+18+3=33个,故选A.8.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( ) A.72 B.96 C.108 D.144[解析] 分两类:若1与3相邻,有A22·C13A22A23=72(个),若1与3不相邻有A33·A33=36(个) 故共有72+36=108个.9.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有( ) A.50种B.60种 C.120种D.210种[解析] 先安排甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有6种:(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7),甲任选一种为C16,然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观,安排方法有A25种,按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16·A25=120种,故选C.10.安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日,不同的安排方法共有________种.(用数字作答)[解析] 先安排甲、乙两人在后5天值班,有A 25=20(种)排法,其余5人再进行排列,有A 55=120(种)排法,所以共有20×120=2400(种)安排方法.11.今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有________种不同的排法.(用数字作答)[解析] 由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有C 49·C 25·C 33=1260(种)排法.12.将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有________种(用数字作答).[解析] 先将6名志愿者分为4组,共有C 26C 24A 22种分法,再将4组人员分到4个不同场馆去,共有A 44种分法,故所有分配方案有:C 26·C 24A 22·A 44=1 080种.13.要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花,要求相邻区域不同色,有________种不同的种法(用数字作答).[解析] 5有4种种法,1有3种种法,4有2种种法.若1、3同色,2有2种种法,若1、3不同色,2有1种种法,∴有4×3×2×(1×2+1×1)=72种.14. 将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有(A )12种 (B )18种 (C )36种 (D )54种【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法;其他四封信放入两个信封,每个信封两个有种方法,共有种,故选B.15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天1人,每人值班1天,若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的安排方案共有A. 504种B. 960种C. 1008种D. 1108种解析:分两类:甲乙排1、2号或6、7号 共有4414222A A A ⨯种方法 甲乙排中间,丙排7号或不排7号,共有)(43313134422A A A A A +种方法 故共有1008种不同的排法排列组合 二项式定理1,分类计数原理 完成一件事有几类方法,各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法(每一种都可以独立的完成这个事情)分步计数原理 完成一件事,需要分几个步骤,每一步的完成有多种不同的方法 2,排列排列定义:从n 个不同元素中,任取m (m≤n)个元素(被取出的元素各不相同),按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。