单自由度系统受迫振动

单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 惯性测振仪
A1
s2
D
(1 s 2 )2 (2s)2
A1 还可写为：
1
D 2
m
A1 (1 s2 )2 (2s)2 ( 02 )
k
c
xf
s 0 0
lim
s0
A1
1
02
(D 2 )
D2 ：被测物体的加速度幅值
当仪器的固有频率远大于外壳振动频率时，仪器读数的幅值
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 惯性测振仪
• 惯性式测振仪
s2
A1
D
(1 s2 )2 (2s)2
使用频率范围
当 s＞1以后， A1曲线逐渐进入平坦区，并随着 s的增加而趋 向于1。这一平坦区就是位移计型传感器的使用频率范围。
对于位移计型惯性接收的传感器来说，测量频率要大于传感 器的自然频率。为了压低使用频率下限，一般引进 ζ=0.6-0.7 的 阻尼比，这样，A1 曲线在过了s=1之后，很快进入平坦区。
隔振材料：k，c
F0
(1
1 (2s)2 s2 )2 (2s)2
ei[t
(1
2
)]
隔振后
m
F0eit
k
c
2 tg 12s
c
k
c 02m
cs
m 0
2 0
s
0
2s
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 振动的隔离
＝ 主动隔振系数
隔振后传到地基的力幅值
隔振前传到地基的力幅值
隔振前机器传到地基的力：
质心C的坐标： (x ecost, y esint)
l/2
o
x
l/2
y
C
o1 x
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 转子的临界转速
轴沿 x 和 y 方向的横向 刚度： 48EI
k l3
粘性阻尼力正比于圆盘 形心 O1 的速度
质心C的坐标：
(x ecost, y esint)
305 mm
材料比重 7.8×10-3 kg/cm3 求：临界转速
120 mm 305 mm
解：
转轴质量
m2
122
4
61 7.810 3
53.8
kg
与叶片相比 不能忽略
由瑞利法，转子质量为叶片质量与转轴等效质量的和，即：
17
17
m
m1
35 m2
158
53.8 184.1 35
kg
轴的横向刚度： k
时： f
e
2
y
C
o1 x
可见，当阻尼比 较小时，即使转子平衡得很好(e 很小)，动挠
度 f 也会相当大，容易使轴破坏，这样的转速称为临界转速，为：
用每分钟转速表示：n f
60 f 2
(r / min)
f 0
k m
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 转子的临界转速
mx cx kx me 2 cost
0
k M
s 0
Mx cx kx me2 sin t
解1：x(t) Bsin(t )
1
(1 s2 )2 (2s)2
tg
1
2s
1 s2
B me 2
k
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 惯性测振仪
• 惯性式测振仪
基础位移 x f Deit
x 为 m 相对于外壳的相对位移
m
mx cx kx me 2 cost
my
cy
k
y
me
2
sin
t
圆盘俯视图
y
0 k / m c /(2m0 )
C
s 1
/ 0 (1
s
2
s2 )2
(2s)
2
1
tg 1
2s
1 s2
e t y f o1
ox
l/2
o
x
形f 心 eO11的 动(1挠度s2：e)s2 2 (2s)2
l/2
当
s=1
my
cy
ky
me
2
sin
t
圆盘俯视图
y
x
y
1
e1 e1
(1
cos(t sin(t
s2 s2)2
1) 1)
(2s)2
C
e t
y f o1
l/2
1
tg
1
2s
1 s2
ox
x
当 s 1时 即 0 有：1 1 1
l/2
质心C的坐标：
可得：
x y
e cost e sin t
(x ecost, y esint)
48 EI l3
48 2.06 107
613 64
12 4
4.43 106
N / cm
临界转速：n 60
k 30 4.43106 100
14800 r / min
2 m
184.1
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题
• 工程中的受迫振动问题
振动的隔离 • 转子的临界转速 • 惯性式测振仪
动力方程 ：
k
c
m(x xf ) cx kx 0
xf
mx cx kx mD2eit
振幅 ： A1
s2 D
(1 s2 )2 (2s)2
低固有频率测量仪用于测量振 动的位移幅值，称为位移计
s 0
lim
s
A1
D
当仪器的固有频率远小于外壳振动 频率时，仪器读数的幅值 A1 接近 外壳振动的振幅 D
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 转子的临界转速
mx cx kx me 2 cost
my
cy
ky
me
2
sin
t
圆盘俯视图
y
设： 0 k / m
C
c /(2m0 )
s / 0
1
s2
(1 s2 )2 (2s)2
1
tg
1
2s
1 s2
e t y f o1
ox
l/2
o
x
l/2
y
C
o o1 x
可见，这时质心的坐标为（0，0） 质心C与旋转中心O重合
圆盘和弯曲的轴都绕着质心C旋转 自动定心现象
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 转子的临界转速
例：叶片模拟试验台
叶片质量 158 kg
转轴：长 610mm，直径 120mm 弹性模量 E＝2.07 x 107 N/cm2
• 振动的隔离
将作为振源的机器设备与地基隔离，以减少对环境的影响称为
主动隔振
＝ 主动隔振系数
隔振后传到地基的力幅值
隔振前传到地基的力幅值
隔振前机器传到地基的力：F0eit 隔振后系统响应：
隔振前
m
F0eit
隔振后
m
F0eit
x F0 ei(t1)
k
A F0
k
隔振材料：k，c k
c
1
(1 s2 )2 (2s)2
o
o1C
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 转子的临界转速
轴以角速度 恒速旋转
轴沿 x 和 y 方向的横向 刚度： 48EI
k l3
由于离心惯性力，轴产 生动挠度 OO1= f
圆盘俯视图
y
C
e t y f o1
ox
粘性阻尼力正比于圆盘 形心 O1 的速度
形心 O1 的坐标（x, y）
x x1 xf 2Dei(t )
2
1 (2s)2 (1 s2 )2 (2s)2
1 2
2 tg 1(2s)
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题
偏心质量情况
m
e t
me2 sin t
m
M
x
x
e
M t
x
k
c
k
c
k
ck
2
2
解2：x(t) 1B1 sin(t )
1
s2
(1 s2 )2 (2s)2
x(t)
a0 2k
n1
an
cos n1t bn sin
k(1 n2s2 )
n1t
a0 2k
n1
cn sin(n1t n )
n1
记：
cn an2 bn2
n
tg 1
an bn
单自由度系统受迫振动 / 任意周期激励的响应
F(t)
a0 2
(an
n1
cos n1t
bn
运动微分方程 ： mx cx kx
叠加原理，系统稳态响应 ：
sin n1t)
a0 2
a0 2
(an
n1
cn s
假定粘性阻尼系统受到的周期激振力： F(t) F(t T )
记基频：
1
2
T
傅立叶级数展开： F (t)
a0
2 T
T
F (t)dt
an
2 T
T
F (t) cosn1tdt
bn
2 T
T
F (t) sin n1tdt
为任一时刻
a0
2
a0 2
T 为周期
(an cos n1t bn sin n1t)
单自由度系统受迫振动
教学内容
• 线性系统的受迫振动 • 工程中的受迫振动问题 • 任意周期激励的响应 • 非周期激励的响应