陕西省榆林市绥德县绥德中学2019-2020学年高二下学期期末检测数学(文科)试卷+Word版含答案

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陕西省榆林市绥德中学2019-2020学年高二数学下学期第四次阶段性测试试题文无答案

陕西省榆林市绥德中学2019-2020学年高二数学下学期第四次阶段性测试试题文（无答案）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则A ⋂B 中元素的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5 2.若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为（）A ．-1B ．0C ．1D ．-1或1 3.在△ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 4.函数3sin 2cos 2y x x =+最小正周期为（）A ．2πB ．32πC ．πD ．π25.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（）A ．2B ．422+C ．442+D ．462+6.某程序框图如图所示，若3a =，则该程序运行后，输出的的值为（） A ．33 B ．31 C ．29 D ．27 7.已知命题p ：;命题q ：若,则a <b .下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．8.已知奇函数在上是增函数.若，则的大小关系为（）A．B．C．D．9.若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（）Ａ．Ｂ．D．11.如图，、分别是双曲线的两个焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于、两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．12.定义在R上的函数，满足，，若，且，则有（）A．B．C．D．不确定第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知________．15.曲线在点（1，2）处的切线方程为_________________________.16.定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“等比函数”.现有定义在上的如下函数：①；②；③；④，则其中是“等比函数”的的序号为_______________.三、解答题（共6小题，共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.（12分）已知函数.（1）求函数的最小正周期和值域；（2）已知的内角所对的边分别为，若，且，求的面积18.（12分）如图，已知三棱锥中，，为中点，为中点，且为正三角形.（1）求证：平面平面；（2）若，求三棱锥的体积.19.（本小题满分12分）某校为评估新教改对教学的影响，挑选了水平相当的两个平行班进行对比试验。

陕西省榆林市绥德中学2019_2020学年高二数学下学期第二次阶段性测试试题文含解析

陕西省榆林市绥德中学2019-2020学年高二数学下学期第二次阶段性测试试题文（含解析）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，计60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{|ln(1)}A y y x ==-，{}2|40B x x =-≤，则A B =（）A. {|2}x x ≥-B. {|12}x x <<C. {|12}x x <≤D.{|22}x x -≤≤【答案】D 【解析】【分析】化简集合,A B ,再根据交集的概念进行运算可得. 【详解】因为函数ln(1)y x =-的值域为R 所以A R =, 又集合[2,2]B =-,所以[2,2]A B B ⋂==-. 故选:D【点睛】本题考查了交集的运算,函数的值域,解一元二次不等式,属于基础题. 2.已知命题:,(0,1)∀∈P x y ，2x y +<，则命题 P 的否定为（） A. ,(0,1)∀∈x y ，2x y +≥ B. ,(0,1)∀∉x y ，2x y +≥ C. 00,(0,1)∃∉x y ，002+≥x y D. 00,(0,1)∃∈x y ，002+≥x y【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，可直接得出结果.【详解】命题:,(0,1)∀∈P x y ，2x y +<的否定为“00,(0,1)∃∈x y ，002+≥x y ”．故选D【点睛】本题主要考查全称命题的否定，只需改写量词与结论即可，属于基础题型.3.若{}n a 是首项为1的等比数列，则“869a a >”是“23a >”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由已知有2a q =，因为869a a >时，则29q >，可得33q q ><-或，即“869aa >”不能推出“23a >”，由3q >可得869a a >，即“23a >”能推出“869aa >”，结合充分必要条件的判断即可得解.【详解】解：若869a a >时，则29q >，则33q q ><-或，又2a q = 则23a <-或23a >；若23a q =>时，则6289a q a =>，即“869a a >”是“23a >”的必要不充分条件，故选B .【点睛】本题考查充分条件、必要条件，考查推理论证能力.4.下列函数中，在区间()0+∞，上为增函数的是（）A. ln(2)y x =+B. y =C. 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.1y x x=+【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数，对勾函数的单调性以及复合函数的单调性法则，即可判断．【详解】对A ，函数ln(2)y x =+在()2-+∞，上递增，所以在区间()0+∞，上为增函数，符合；对B，函数y =[)1,-+∞上递减，不存在增区间，不符合；对C ，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，不存在增区间，不符合；对D ，函数1y x x=+在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，不符合．故选：A ．【点睛】本题主要考查指数函数，对数函数，幂函数，对勾函数的单调性以及复合函数的单调性法则的应用，属于容易题．5.已知函数()13sin ,06log ,0xx f x x x π⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则()()9f f =（）A.12B. 12-D. 【答案】D 【解析】【分析】利用函数()y f x =的解析式由内到外计算出()()9ff 的值.【详解】()13sin ,06log ,0xx f x x x π⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，()139log 92f ∴==-，因此，()()()92sin sin 332ff f ππ⎛⎫=-=-=-=- ⎪⎝⎭，故选D. 【点睛】本题考查分段函数值的计算，对于多层函数值的计算，需充分利用函数解析式，由内到外逐层计算，考查计算能力，属于基础题.6.设f(x)为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()372xf x x b =-+（b 为常数），则f(-2)=（） A. 6 B. -6C. 4D. -4【答案】A∴f(x)为定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()372xf x x b =-+，∵()0120f b =+=， ∴12b =-． ∴()371xf x x =--，∴()22(2)(3721)6f f -=-=--⨯-=．选A ．7.设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（）A. 13()()(1)32f f f << B. 31(1)()()23f f f <<C. 13(1)()()32f f f <<D. 31()(1)()23f f f <<【答案】A 【解析】【分析】由题意可得11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再利用函数在区间[1,0)-上是增函数可得答案. 【详解】解：()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，又(2)()f x f x +=-11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫∴=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又1111023--<-<-≤，且函数在区间[1,0)-上是增函数，11f (1)f f 023⎛⎫⎛⎫∴-<-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11f (1)f f 23⎛⎫⎛⎫∴-->-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31(1)23f f f ⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，【点睛】本题考查利用函数的单调性、奇偶性比较函数值的大小，考查利用知识解决问题的能力.8.函数()212log 6y x x =-++的递增区间为（） A. 1(,3)2B. 1(2,)2- C. 1()2+∞，D.1()2-∞，【答案】A 【解析】【分析】设260x x t -++>=，可求出函数的定义域，由二次函数和对数函数的单调性，再结合复合函数的单调性法则，即可得出函数的单调递增区间．【详解】设260x x t -++>=，解得23x -<<．由于函数26t x x =-++在12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，在1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，而函数12log y t =在()0,∞+上递减，根据复合函数的单调性可知，函数()212log 6y x x =-++的递增区间为1,32⎛⎫⎪⎝⎭．故选：A ．【点睛】本题主要考查对数型复合函数的单调区间的求法，属于基础题．9.已知二次函数()224f x x x =-- 在区间[]2,a - 上的最小值为5-，最大值为4，则实数a 的取值范围是（） A. ()2,1-B. (]2,4-C. []1,4D.[)1,+∞【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数对称轴与定义区间位置关系分析确定实数a 满足的条件. 【详解】因为()()()15244f f f =--==，，对称轴为1x =,所以实数a 的取值范围是[]1,4,选C.【点睛】本题考查二次函数最值，考查基本分析求解能力，属基础题.10.已知(32)4,1()log ,1aa x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩, 对任意1212,(,),x x x x ∈-∞+∞≠,都有1212()()0f x f x x x -<-，那么实数a 的取值范围是（）A. ()0,1B. 2(0,)3C. 1173⎡⎫⎪⎢⎣⎭, D.22,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】根据题设条件可以得到()f x 为R 上的减函数，根据各自范围上为减函数以及分段点处的高低可得实数a 的取值范围.【详解】因为任意1212,(,),x x x x ∈-∞+∞≠,都有1212()()0f x f x x x -<-，所以对任意的12x x <，总有()()12f x f x >即()f x 为R 上的减函数，所以01320720a a a <<⎧⎪-<⎨⎪-≥⎩，故2273a ≤<，故选D.【点睛】分段函数是单调函数，不仅要求各范围上的函数的单调性一致，而且要求分段点也具有相应的高低分布，我们往往容易忽视后者.11.已知()y f x =是奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =+，当0x <，()f x =（） A. (1)x x --B. (1)x x -C. (1)x x -+D.(1)x x +【答案】B 【解析】【分析】任取(,0)x ∈-∞，则(0,)x -∈+∞，由此求出()f x -，又()y f x =是定义在R 上的奇函数，故有()()f x f x =--即可解出(,0)x ∈-∞时的解析式．【详解】()y f x =是定义在R 上的奇函数，故有()()f x f x =--，任取(,0)x ∈-∞，则(0,)x -∈+∞，当0x >时，()(1)f x x x =+()(1)f x x x ∴-=--， ()()(1)f x f x x x ∴=--=-故选B【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式，是函数奇偶性的一个重要应用．12.已知函数3()f x x x =+，对任意的[22]m ∈-，，(2)()0f mx f x -+<恒成立，则x 的取值范围为（） A. 2(2,)3- B. 2(2,)3C. 2(2,)3-D.2(2,)3--【答案】A 【解析】分析】先根据函数的解析式判断出函数的单调性和奇偶性，即可将不等式(2)()0f mx f x -+<变形得到关于x 的不等式20xm x +-<，构造函数()2g m xm x =+-，即可列出不等式组解出x 的取值范围．【详解】因为函数3()f x x x =+，()()f x f x -=-，易知函数3()f x x x =+为R 上单调递增的奇函数，所以(2)()0(2)()f mx f x f mx f x -+<⇒-<-，即20xm x +-<对任意的[22]m ∈-，恒成立，设()2g m xm x =+-，只需()()2020g g ⎧<⎪⎨-<⎪⎩即可．解不等式组220220x x x x +-<⎧⎨-+-<⎩，解得223x -<<．故选：A ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，以及更换主元法的应用，意在考查学生的转化能力，属于中档题．第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，计20分）13.已知{|A x y ==，{|1}B x x m =≤+，若x A ∈是x B ∈的必要条件，则m 范围是______. 【答案】(,0]-∞ 【解析】【分析】根据函数的定义域求出集合A ，由x A ∈是x B ∈的必要条件可得B A ⊆，结合集合的包含关系得出参数的范围.【详解】由{}{|1A x y x x ===≤，{|1}B x x m =≤+ 又∵x A ∈是x B ∈的必要条件，∴B A ⊆，∴11m +≤，解得0m ≤，即m 的取值范围是(,0]-∞，故答案为(,0]-∞.【点睛】本题主要考查函数定义域的求法、考查数学中的等价转化能力、集合的包含关系，属于中档题.14.定义在R 上的偶函数()f x 满足()0f x >，1(2)()f x f x +=对任意x ∈R 恒成立，则(2023)f =__________.【答案】1 【解析】【分析】先由1(2)()f x f x +=，得到()f x 以4为周期；再求出(1)(1)1f f =-=，根据函数周期性，即可求出结果. 【详解】因1(2)()f x f x +=对任意x ∈R 恒成立，所以1(4)()(2)f x f x f x +==+，即函数()f x 以4为周期；令1x =-，则1(12)(1)f f -+=-，即(1)(1)1f f ⋅-=，又()f x 为偶函数，且()0f x >，所以(1)(1)1f f ⋅=，即()(1)11f f =-=；因此(2023)(15064)(1)1f f f =-+⨯=-=. 故答案为：1.【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与周期性求函数值，属于基础题型. 15.给出以下结论：①命题“若2340x x +-=，则4x =”的逆否命题“若4x ≠，则2340x x --≠”； ②“4x =”是“2340x x --=”的充分条件；③命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆命题为真命题； ④命题“若220m n +=，则0m =且0n =”的否命题是真命题. 其中错误的是__________.（填序号）【答案】③ 【解析】【分析】根据逆否命题的定义、充分条件的判定和四种命题的关系可依次判断各个选项得到结果. 【详解】对于①，根据逆否命题的定义可知：“若2340x x +-=，则4x =”的逆否命题为“若4x ≠，则2340x x --≠”， ①正确；对于②，当4x =时，234161240x x --=--=，充分性成立，②正确；对于③，原命题的否命题为“若0m ≤，则方程20x x m +-=无实根”；当104m -≤≤时，140m ∆=+≥，此时方程20x x m +-=有实根，则否命题为假命题；否命题与逆命题同真假，∴逆命题为假命题，③错误；对于④，原命题的逆命题为“若0m =且0n =，则220m n +=”，可知逆命题为真命题；否命题与逆命题同真假，∴否命题为真命题，④正确. 故答案为：③.【点睛】本题考查四种命题的关系及真假性的判断、充分条件的判定等知识；关键是熟练应用四种命题真假性的关系来进行命题真假的判断.16.函数1()x x e f x e a-=+为奇函数，则a =____________.【答案】1 【解析】【分析】根据奇函数定义()()f x f x -=-可构造方程求得结果.【详解】()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，即1111x x x x xxe e e e a ae e a-----==-+++， 1x x ae e a ∴+=+恒成立，1a .故答案为：1.【点睛】本题考查根据函数奇偶性求解参数值的问题；解决此类问题常有两种方法：①定义法；②特殊值法.三、解答题.（本大题共6道题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24cos 3ρρθ-=.（Ⅰ）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 与圆C 交于,A B 两点，点(1,2)P ，求||||PA PB ⋅的值.【答案】（Ⅰ）直线l 的普通方程为30x y +-=，圆C 的直角坐标方程为22430x y x +--=.（Ⅱ）2 【解析】【分析】（1）求直线l 的普通方程，消去参数t 即可；求圆的直角坐标方程利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩互化即可.（2）根据直线所过定点，利用直线参数方程中t 的几何意义求解||||PA PB ⋅的值. 【详解】解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为30x y +-=，圆C 的直角坐标方程为22430x y x +--=. （Ⅱ）联立直线l 的参数方程与圆C 的直角坐标方程可得22(1)(2)4(1)30222-++---=，化简可得220t +-=. 则12||||||2PA PB t t ⋅==.【点睛】（1）直角坐标和极坐标互化公式：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩；（2）直线过定点P ，与圆锥曲线的交点为A B 、，利用直线参数方程中t 的几何意义求解：||||||AB PA PB 、，则有12||||AB t t =-，12||||||PA PB t t =.18.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为54π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程为24sin 0ρρθ+=.（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l 的距离的最小值【答案】（1）50x y --=，()2224x y ++=；（2）1. 【解析】【分析】（1）两式相减，消去t 后的方程就是直线l 的普通方程，利用转化公式222x y ρ=+，sin y ρθ= ，极坐标方程化为直角坐标方程；（2）32cos 52sin ,22M αα-+-+⎛⎫⎪⎝⎭，然后写出点到直线的距离公式，转化为三角函数求最值.【详解】（1）直线l 的普通方程为：50x y --=，由线C 的直角坐标方程为：()2224x y ++=.（2）曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=-+⎩（α为参数），点P的直角坐标为()3,3--，中点32cos 52sin ,22M αα-+-+⎛⎫⎪⎝⎭，则点M 到直线l 的距离d =当cos 14πα⎛⎫⎪⎝⎭+=时，d 的最小值为1，所以PQ 中点M 到直线l 的距离的最小值为1-.【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及将距离的最值转化为三角函数问题，意在考查转化与化归的思想，以及计算求解的能力，属于基础题型.19.已知函数2()(21)3f x x a x =+--.（1）当[22]3a x =-∈，，时，求函数()f x 的值域；（2）若函数()f x 在[13]-，上的最大值为1，求实数a 的值. 【答案】(1) 21,154-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2) 13a =-或1-.【解析】【分析】（1）利用二次函数，配方通过闭区间以及二次函数的对称轴求解函数最值即可. （2）求出函数的对称轴，利用对称轴与求解的中点，比较，求解函数的最大值，然后求解a 的值即可.【详解】（1）当2a =时，22321()3324f x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，又2[]3x ∈-，，所以321()min 24f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， max 315f x f ==（）（），所以值域为21,154-⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）对称轴为212a x -=-. ①当2112a --≤，即12a ≥-时， max 363f x f a ==+（）（），所以631a +=，即13a =-满足题意； ②当2112a -->，即12a <-时，max 121f x f a ==（）（﹣）﹣﹣，，所以211a =﹣﹣，即1a =﹣满足题意. 综上可知13a =-或1-.【点睛】本题考查二次函数的性质的应用，考查计算能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.20.已知函数()()2cos 2cos 0ωωωω=+>f x x x x ，且()f x 的最小正周期为π.（1）求ω的值及函数()f x 的递减区间；（2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，求当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的最大值.【答案】（1）1ω=，单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）3.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()2sin 216f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用函数()y f x =出最小正周期为π可求得ω的值，然后解不等式()3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，即可解得函数()y f x =的单调递减区间；（2）利用图象变换求得()2sin 216g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可求得26x π-的取值范围，再利用正弦函数的基本性质可求得函数()y g x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值. 【详解】（1）()2cos 2cos 2cos 212sin 216f x x x x x x x πωωωωωω⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，由于函数()y f x =出最小正周期为π，则222Tπω==，1ω∴=，则()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，解不等式()3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以，函数()y f x =的单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()y g x =的图象，则()2sin 212sin 216666g x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52666x πππ-≤-≤，所以，当226x ππ-=时，函数()y g x =取得最大值，即()max 2sin 132g x π=+=. 【点睛】本题考查利用三角函数的周期性求参数，同时也考查了正弦型函数的单调区间和最值的求解，以及利用图象变换求函数解析式，解答的关键就是利用三角恒等变换思想化简函数解析式，考查计算能力，属于中等题.21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*2n n S a n n N =-+∈.（Ⅰ）求证：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（Ⅱ）求数列{}1n a -的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）111432nn n T ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（Ⅰ）由112221n n n n n S S a a a ---==-++可以得出1111232n n a a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，进而得出结论. （Ⅱ）由（Ⅰ）可推导出1111232nn a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，再利用分组求和法就能求出数列{}1n a -的前n 项和n T .【详解】（Ⅰ）2n n S a n =-+，当2n ≥时，1121n n S a n --=-+-，两式相减，得121n n n a a a -=-++，即11133n n a a -=+. ∴1111232n n a a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列．（Ⅱ）由1121S a =-+，得113a =.由（Ⅰ）知，数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以16-为首项，13为公比的等比数列．所以11111126323n nn a -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴111232nn a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴1111232nn a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，∴111631111243213nn nn n T ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-.【点睛】本题考查了等比数列的证明，考查利用分组求和法求数列的前n 项和的求法. 22.已知函数()()22f x ax a x lnx =-++，(Ⅰ)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(Ⅱ)当0a >时，若()f x 在区间[]1,e 上的最小值为-2，其中e 是自然对数的底数，求实数a 的取值范围；【答案】(1)2y =-.(2)1a ≥. 【解析】【详解】分析：（1）求出()'f x ，由 ()1f 的值可得切点坐标，由()'1f 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）分三种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间，根据单调性求得函数最小值，令所求最小值等于2-，排除不合题意的a 的取值，即可求得到符合题意实数a 的取值范围. 详解：(Ⅰ)当1a =时，()()213,'23f x x x lnx f x x x=-+=-+， ()123f x x x=-+因为()()'10,12f f ==-，所以切线方程是2y =-；(Ⅱ)函数()()22f x ax a x lnx =-++的定义域是()0,∞+当0a >时，()()()22211'22ax a x f x ax a x x-+-=-++=()()211(0)x ax x x --=>令()'0f x =得12x =或1x a= 当11a≤时，所以()f x 在[]1,e 上的最小值是12f ，满足条件，于是1a ≥ ②当11e a <≤，即11a e ≤<时，()f x 在[]1,e 上的最小1()f a，即1a ≥时，()f x 在[]1,e 上单调递增最小值()112f f a ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭，不合题意； ③当1e a >，即10a e<<时，()f x 在[]1,e 上单调递减，所以()f x 在[]1,e 上的最小值是()()12f e f <=-，不合题意. 综上所述有，1a ≥.点睛：求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P ()()00,x f x 处的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在0x x =处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程()()00•y y f x x x '-=-.。

陕西省榆林市绥德县绥德中学2019-2020学年高二数学下学期期末检测试题理【含答案】

陕西省榆林市绥德县绥德中学2019-2020学年高二数学下学期期末检测试题理第I 卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，计60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

) 1.设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，则N (UM)= （）A ．{1，3}B ．{1，5}C ．{3，5}D.{4，5} 2.已知i 是虚数单位，m ，n R ，且1m i ni +=+，则m nim ni+-=（）A ．－ 1B ．1C ．－ID ．i 3.a 、b 、c 是空间三条直线，给出下列四个命题，其中真命题的个数是（）①如果a⊥b，b⊥c，则a∥c；②如果a 、b 是异面直线，b 、c 是异面直线，则a 、c 也是异面直线； ③如果a 、b 相交，b 、c 相交，则a 、c 相交； ④如果a 、b 共面，b 、c 共面，则a 、c 也共面。

A ．3 B ．2 C ．1 D ．04.若x ，2x +2，3x +3是某个等比数列的连续三项，则x =（）A ．－4B ．－1C ．1或4D ．－1或－4 5. 已知||=6，与的夹角为，且(+)•(﹣)=－72，||为（）A ．4B ．5C ．6D ．146.在期中考试中，高三某班50名学生化学成绩的平均分为85分、方差为8.2，该班某位同学知道自己的化学成绩为95，则下列四个数中不可能是该班化学成绩的是（）A ．65B ．75C ．90D ．100 7.函数1ln ,0()34,0x x f x x x -+⎧=⎨+⎩＞＜的零点个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0 8.若x 、y ∈R *，且xy =1+(x +y )，则（）A ．x y +有最大值为21+2（） B ．xy 有最大值为21+2（） C ．x y +有最小值为2(12)+ D ．xy 有最小值为2(12)9.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成．其中有一种起卦方法称为“金钱起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻．若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻．若每一枚钱币正面向上的概率为21，则一卦中恰有两个变爻的概率为（）A ．41B ．6415C ．729240D ．4096121510. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，5283)S a a =+（，则35a a 的值为（）A ．61 B ．31C ．53 D ．65 11. 若90θ＜＜180，曲线22sin 1x y θ-=表示（）A ．焦点在x 轴上的双曲线B ．焦点在y 轴上的双曲线C ．焦点在x 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的椭圆12. 已知()f x 是定义在R 上的函数，()f x '是()f x 的导函数，且满足()()0f x f x '+＜，设()()x g x e f x =⋅，若不等式2(1)()g t g mt +＜对于任意的实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(－，0)∪(4，+)B ．(0，1)C ．(－，－2)(2，+)D ．(－2，2)第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（共4小题,共20分）13. 学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，碗底的直径2m ，碗口的直径2n ，高度是h .他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程．算出的抛物线标准方程为_________．14. 已知()f x 为R 上增函数，且对任意x R ∈，都有[()3]4xf f x -=，则(2)f =_______．15. 一个母线长为2的圆锥侧面展开图为一个半圆，则此圆锥的体积为________．16. 已知log a ＞0，若，则实数x 的取值范围为______．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

陕西省榆林市绥德县绥德中学2019-2020高二下学期第一次阶段性测试数学(文科)试卷(含答案)

2n 1 ．（1）求数列{an} 的通项公式；
（2）设 bn (an 1) 2an ，求数列{bn}的前 n 项和Tn ．
21. （本小题满分 12 分）已知函数 f (x) aex ln x 1．
（1）设 x 2 是 f (x) 的极值点，求 a 和 f (x) 的单调区间；
（2）证明：当
19. （本小题满分 12 分）已知函数 f (x) sin2 x cos2 x 2 3 sin x cos x f ( 2 ) （1）求 3 的值；（2）求 f (x) 的最小正周期及单调增区间．
xR．
20. （本小题满分 12 分）｛1｝
已知函数{an} 是首项为正数的等差数列，数列 an an1 的前 n 项和为 n
A {1,
0,
1,
2}， B {x |
1 x
1} ，则
A
B=
A．{0, 1}
B．{1, 2}
C．{1, 0}
D．
{1, 2}
（）（）
3.
M( 已知点
3, 3
3) 在幂函数
f (x) 的图像上，则
f (x)
1
A． f (x) x2
B． f (x) x2
C． f (x x 2
D．
1
f (x) x 2
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
12. 若方程| ln x | a 有两个不相等的实根 x1 和 x2 ，则 x1 x2 的取值范围是
A． (0, 1)
B． (1, )
C． ( 2, )
பைடு நூலகம்
D．
(2, )
第 II 卷（非选择题，共 90 分）

陕西省榆林市绥德县绥德中学2019-2020学年高二数学下学期期末检测试题文[含答案]

（1）若 E 为 PD 的中点，证明： PB// 平面 AEC ；
3 （2）若 PA 1 ， PD 2 AB 2 ，三棱锥 E ACD 的体积为 9 ，试求 PE : ED 的
值.
20. （本小题满分 12 分）2020 年寒假，因为“新冠”疫情全体学生只能在家进行网上学习，
为了研究学生网上学习的情况，某学校随机抽取100 名学生对线上教学进行调查，其中男生与女生的人数之比为 9 :11，抽取的学生中男生有 30 人对线上教学满意，女生中有 10 名表示对线上教学不满意.
K2
n(ad bc)2
附：
(a b)(c d )(a c)(b d ) .
P K 2 k
0.15
0.10
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
21. （本小题满分 12 分）已知函数 f (x) ln x ax ， g(x) x2 .( a R )
故点 E x1, y1 ，于是有 x1 x2 2t ， x1x2 2t 2 4 ．
设直线 AE 与 AQ 的斜率分别为 kAE ， kAQ ，由于点 A 2,1 ，
k AE
则
k AQ
y1 1 x1 2
y2 1 x2 2
2
x1
y2 2
1 2 x2 y1 x2 2 x1
1
，
又
Sn1 2 bn1
②
bn 1 由 ①② 得 bn bn bn1 ，即 bn1 2 （ n 2 ），
所以 bn 是首项为
1，公比为
1 2
的等比数列，故
bn
=

陕西省榆林市2019-2020学年数学高二下期末学业水平测试试题含解析

陕西省榆林市2019-2020学年数学高二下期末学业水平测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．斐波那契螺旋线，也称“黄金蜾旋线”，是根据斐波那契数列（1，1，2，3，5，8…）画出来的螺旋曲线，由中世纪意大利数学家列奥纳多•斐波那契最先提出．如图，矩形ABCD 是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分．在矩形ABCD 内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（）A ．8π B ．4π C ．14D ．34【答案】B 【解析】【分析】根据几何概型的概率公式，分别求出阴影部分面积和矩形ABCD 的面积，即可求得。

【详解】由已知可得：矩形ABCD 的面积为(35)(238)104+⨯++=，又阴影部分的面积为2222221(112358)264ππ+++++=，即点取自阴影部分的概率为261044ππ=，故选D 。

【点睛】本题主要考查面积型的几何概型的概率求法。

2．已知()xae f x x=，[]1,3x ∈且()()12122f x f x x x -<-恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．28(,]e-∞ B ．39[,)e+∞ C ．28[,)e +∞ D ．39 ,e ⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦ 【答案】D 【解析】【分析】由题意可构造函数()2xae g x x x=-，由()0g x '≤在[]1,3x ∈上恒成立，分离参数并构造新的函数()h x ，利用导数判断其单调性并求得最小值，即可求出a 的取值范围.【详解】由[]1,3x ∈，()()12122f x f x x x -<-得()()112212022f x x f x x x x ---⎡⎤⎦-<⎣恒成立，令()()2g x f x x =-，即()2xae g x x x=-，[]1,3x ∈，则()g x 在[]1,3x ∈上单调递减，所以()21()20x ae x g x x-'=-≤在[]1,3x ∈上恒成立，当1x =时，(1)20g '=-≤成立，当13x <≤时，()2120x ae x x --≤等价于()221xx a e x ≤-，令()()(]22,1,31xx h x x e x =∈-，则()()()2221101x x x h x e x ⎡⎤---⎣⎦'=<-，所以()h x 在(]1,3x ∈上单调递减， ()()()233min 239331h x h e e⨯===⨯-，即39a e≤故选：D 【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题的解法，考查导数和构造函数的应用，考查学生分析转化能力和计算能力，属于中档题.3．在一次试验中，测得(),x y 的四组值分别是()1,2A ，()2,3B ，()3,4C ，()4,5D ，则y 与x 之间的线性回归方程为( )A ．ˆ1yx =- B ．2y x =+ C ．21y x =+ D ．1y x =+【答案】D 【解析】【分析】根据所给的这组数据，取出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入所给的四个选项中验证，若能够成立的只有一个，这一个就是线性回归方程．【详解】123423452.5,3.5444x y ++++++=＝＝＝， ∴这组数据的样本中心点是2.53.5（，）把样本中心点代入四个选项中，只有ˆ1yx =+成立，故选D ．【点睛】本题考查求线性回归方程，一般情况下是一个运算量比较大的问题，解题时注意平均数的运算不要出错，注意系数的求法，运算时要细心，但是对于一个选择题，还有它特殊的加法．4．已知有穷数列{}(1,n a n =2，3，⋯，6}满足(1,n a ∈2，3，⋯，10}，且当(,1,i j i j ≠=2，3，⋯，6)时，.i j a a ≠若123a a a >>，则符合条件的数列{}n a 的个数是( )A ．33107C A B ．331010C CC ．33107A AD ．63106C A【答案】A 【解析】【分析】先选出三个数确定为123,,a a a ，其余三个数从剩下的7个里面选出来，排列顺序没有特殊要求. 【详解】先确定123,,a a a ，相当于从10个数值中选取3个，共有310C 种选法，再从剩余的7个数值中选出3个作为456,,a a a ，共有37A 种选法，所以符合条件的数列{}n a 的个数是33107C A ，故选A.【点睛】本题主要考查利用排列组合的知识确定数列的个数，有无顺序要求，是选择排列还是组合的依据. 5．对两个变量x ，y 进行回归分析，得到一组样本数据：（x 1，y 1），（x 2，y 2），…（x n ，y n ），则下列说法中不正确的是A ．由样本数据得到的回归方程ˆˆˆy bx a =+必过样本点的中心(),x yB ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越小，说明模型的拟合效果越好D ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1. 【答案】C 【解析】由样本数据得到的回归方程ˆˆˆybx a =+必过样本中心(),x y ，正确；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，正确用相关指数R2来刻画回归效果,R2越大，说明模型的拟合效果越好，不正确，线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强，故正确。

陕西省榆林市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析

陕西省榆林市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知函数()f x 的图象如图，设()f x '是()f x 的导函数，则（）A ．(2)(3)(3)(2)f f f f <'<-'B ．(3)(2)(3)(2)f f f f <'<-'C ．(3)(2)(2)(3)f f f f ''-<<D ．(3)(3)(2)(2)f f f f <-'<'【答案】D【解析】【分析】由题意，分析()'3f 、()()32f f -、()'2f 所表示的几何意义，结合图形分析可得答案．【详解】根据题意，由导数的几何意义：()'3f 表示函数在3x =处切线的斜率，()'2f 表示函数在2x =处切线的斜率，()()()()323232f f f f --=-，为点()()2,2f 和点()()3,2f 连线的斜率，结合图象可得：()()()()0'332'2f f f f <<-<，故选：D ．【点睛】本题考查导数的几何意义，涉及直线的斜率比较，属于基础题．2．对于问题：“已知是互不相同的正数，求证：三个数至少有一个数大于2”，用反证法证明上述问题时，要做到的假设是（）A ．至少有一个不小于2B ．至少有一个不大于2C ．都小于等于2D ．都大于等于2【答案】C【解析】【分析】找到要证命题的否定即得解.【详解】“已知，，是互不相同的正数，求证：三个数，，至少有一个数大于2”，用反证法证明时，应假设它的反面成立．而它的反面为：三个数，，都小于或等于2，故选：．【点睛】本题主要考查用反证法证明数学命题，命题的否定，属于基础题．3．已知角α的终边经过点()2,1P -，则sin cos sin cos αααα-=+（） A ．4-B ．3-C ．12D ．34【答案】B【解析】【分析】根据角的终边上一点的坐标，求得tan α的值，对所求表达式分子分母同时除以cos α，转化为只含tan α的形式，由此求得表达式的值.【详解】依题意可知1tan 2α=-，11sin cos tan 1231sin sin tan 112αααααα----===-++-+．故选B. 【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查齐次方程的计算，属于基础题.4．设0,0a b >>333a b 与的等比中项，则11a b +的最小值为（） A ．8B ．14C ．1D ．4 【答案】D【解析】33a b 与的等比中项，∴3=3a •3b =3a +b ，∴a +b=1．a ＞2，b ＞2．∴11a b +=()11a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=224b a a b ++≥+=．当且仅当a=b=12时取等号．故选D ．点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误5．已知8a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中4x 项的系数为112，其中a R ∈，则此二项式展开式中各项系数之和是（） A ．83B ．1或83C ．82D ．1或82 【答案】B【解析】【分析】利用二项式定理展开通项，由4x 项的系数为112求出实数a ，然后代入1x =可得出该二项式展开式各项系数之和.【详解】 8a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为882188kk k k k k k a T C x C a x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，令824k -=，得2k =，该二项式展开式中4x 项的系数为222828112C a a ⋅==，得2a =±. 当2a =时，二项式为82x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，其展开式各项系数和为()88123+=；当2a =-时，二项式为82x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其展开式各项系数和为()8121-=. 故选B.【点睛】本题考查二项式定理展开式的应用，同时也考查了二项式各项系数和的概念，解题的关键就是利用二项式定理求出参数的值，并利用赋值法求出二项式各项系数之和，考查运算求解能力，属于中等题. 6．在空间给出下列四个命题：①如果平面α内的一条直线a 垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β；②如果直线a 与平面β内的一条直线平行，则a ∥β；③如果直线a 与平面β内的两条直线都垂直，则a ⊥β；④如果平面α内的两条直线都平行于平面β，则a ∥β．其中正确的个数是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】本题考查空间线面关系的判定和性质．解答：命题①正确，符合面面垂直的判定定理．命题②不正确，缺少a α⊄条件．命题③不正确，缺少两条相交直线都垂直的条件．命题④不正确，缺少两条相交直线的条件．7．设α，β是两个不重合的平面，l ，m 是空间两条不重合的直线，下列命题不正确．．．的是（） A ．若l α⊥，l β⊥，则αβ∥B ．若l α⊥，m α⊥，则l m PC ．若l α⊥，l β∥，则αβ⊥D ．若l α⊥，αβ⊥，则l β∥ 【答案】D【解析】【分析】选项逐一分析，得到正确答案.【详解】A.正确，垂直于同一条直线的两个平面平行；B.正确，垂直于同一个平面的两条直线平行；C.正确，因为平面β内存在直线m ，使//l m ，若l α⊥，则,m m αβ⊥⊂Q ，则αβ⊥；D.不正确，有可能l β⊂.故选D.【点睛】本题重点考查了平行和垂直的概念辨析问题，属于简单题型.8．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A ．144B ．120C ．72D ．24【答案】D【解析】试题分析：先排三个空位，形成4个间隔，然后插入3个同学，故有3424A =种考点：排列、组合及简单计数问题9．已知函数32()682f x x x x =-+-的图象上，有且只有三个不同的点，它们关于直线2y =-的对称点落在直线2y kx =-上，则实数k 的取值范围是（）A ．(1,)-+∞B ．(1,8)(8,)-⋃+∞C ．(,1)-∞D ．(,8)(8,1)-∞-⋃-【答案】D【解析】【分析】可先求2y kx =-关于2y =-的对称直线，联立对称直线和32()682f x x x x =-+-可得关于x 的函数方程，采用分离参数法以及数形结合的方式进行求解即可【详解】设直线2y kx =-关于2y =-的对称函数为()g x ，则()2g x kx =--，因为()g x 与()f x 有三个不同交点，联立()32()6822f x x x x g x kx ⎧=-+-⎪⎨=--⎪⎩，可得3268x x k x x -+-=，当0x =时显然为一解，当0x ≠时，有268k x x =-+-，0,8x k ≠∴≠-Q画出268y x x =-+-的图像，可知满足y k =与268y x x =-+-有两交点需满足1k <综上所述，实数k 的取值范围是(,8)(8,1)-∞-⋃-答案选D【点睛】本题考察了直线关于对称直线的求法，函数零点中分离参数、数形结合、分类讨论等基本知识，对数学思维转化能力要求较高，特别是分离参数与数形结合求零点问题，是考察重点10．已知点F 是抛物线24x y =的焦点，点P 为抛物线上的任意一点，(1,2)M 为平面上点，则PM PF+的最小值为（）A ．3B ．2C ．4D ．3【答案】A【解析】【分析】作PN 垂直准线于点N ，根据抛物线的定义，得到+=+PM PF PM PN ，当,,P M N 三点共线时，PM PF +的值最小，进而可得出结果. 【详解】如图，作PN 垂直准线于点N ，由题意可得+=+≥PM PF PM PN MN ，显然，当,,P M N 三点共线时，PM PF +的值最小；因为(1,2)M ，(0,1)F ，准线1y =-，所以当,,P M N 三点共线时，(1,1)-N ，所以3MN =.故选A【点睛】本题主要考查抛物线上任一点到两定点距离的和的最值问题，熟记抛物线的定义与性质即可，属于常考题型.11．关于函数()()2sin cos cos f x x x x =-的四个结论：()1:p f x 2；2:p 函数()221g x x =-的图象向右平移8π个单位长度后可得到函数()f x 的图象；()3:p f x 的单调递增区间为37,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k z ∈；()4:p f x 图象的对称中心为,128k k z ππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭其中正确的结论有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【解析】【分析】把已知函数解析式变形,然后结合()sin y A ωx φ=+型函数的性质逐一核对四个命题得答案．【详解】2()2(sin cos )cos sin 22cos sin 2cos 212sin 214f x x x x x x x x x π⎛⎫=-=-=--=-- ⎪⎝⎭ 函数()f x 的最大值为21-,故1p 错误；函数()2sin 21g x x =-的图象向右平移8π个单位长度后,得2sin 212sin 2184y x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即得到函数()f x 的图象,故2p 正确; 由222242k x k πππππ-+≤-≤+解得3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈∴()f x 的单调递增区间为,3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦故3p 错误；由24x k ππ-=,得,,()82k x k Z f x ππ=+∈∴图象的对称中心为,128k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭,故4p 错误. ∴其中正确的结论有1个。

2019-2020学年陕西省榆林市数学高二(下)期末学业水平测试试题含解析

2019-2020学年陕西省榆林市数学高二(下)期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．抛物线28y x =的焦点到双曲线2214y x -=的渐近线的距离是（）A B C D【答案】C 【解析】【分析】求得抛物线的焦点，双曲线的渐近线，再由点到直线的距离公式求出结果. 【详解】依题意，抛物线的焦点为()2,0，双曲线的渐近线为2y x =±，其中一条为20x y -=，由点到直线的距离公式得5d ==.故选C. 【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式，属于基础题. 2．从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有()（Ａ）70种（Ｂ）112种（Ｃ）140种（Ｄ）168种【答案】C【解析】∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有410C 种不同挑选方法；从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有48C 种不同挑选方法；∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有4410821070140C C -=-=种不同挑选方法故选C ；【考点】此题重点考察组合的意义和组合数公式；【突破】从参加 “某项”切入，选中的无区别，从而为组合问题；由“至少”从反面排除易于解决； 3．某单位从6男4女共10名员工中，选出3男2女共5名员工，安排在周一到周五的5个夜晚值班，每名员工值一个夜班且不重复值班，其中女员工甲不能安排在星期一、星期二值班，男员工乙不能安排在星期二值班，其中男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班，则这个单位安排夜晚值班的方案共有（） A ．960种 B ．984种 C ．1080种 D ．1440种【答案】A 【解析】分五类：（1）甲乙都不选：224434432C C A =；（2）选甲不选乙：21134323216C C A A = ；（3）选乙不选甲：12134333216C C A A =；（4）甲乙都选：111124322296C C A A A = ；故由加法计数原理可得43221621696960+++=，共960种，应选答案A 。

陕西省榆林市2020年新高考高二数学下学期期末学业水平测试试题

同步练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数2()cos x f x e x x x =+++，则()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为（） A ．220x y -+=B ．220x y ++=C ．220x y ++=D ．220x y2．函数()f x lnx ax =-在区间()1,5上是增函数，则实数a 的取值范围是（） A ．(),1-∞B ．(,1]-∞C ．1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1(]5-∞，3．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，则在下雨天里，刮风的概率为（） A ．8225B ．12C ．34D ．384．已知()8278012781x a a x a x a x a x ++++++=，集合,i ja M x x x a ⎧⎫⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭R {}(),0,2,4,6,8i j ∈，集合{}1,0,1N ＝﹣，则从M 到N 的函数个数是（） A ．6561B ．3363C ．2187D ．2105．设p ：实数a ，b 满足1a >，且1b >；q ：实数a ，b 满足21a b ab +>⎧⎨>⎩；则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数g （x ）=log a （x ﹣3）+2（a ＞0，a≠1）的图象经过定点M ，若幂函数f （x ）=x α的图象过点M ，则α的值等于（） A ．﹣1B ．C ．2D ．37．在复平面内，复数321i i--对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限8．已知函数()331f x x x =--，若对于区间3,2上的任意12,x x ，都有()()12f x f x t -≤，则实数t的最小值是( ) A ．20 B ．18 C ．3D ．09．若()22z i i -=-（i 是虚数单位），则复数z 的模为（）A ．12B ．13C ．14 D ．15 10．若角α是第四象限角，满足1sin cos 5αα+=-，则sin 2α=（）A ．2425B ．2425-C ．1225D ．1225-11．一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则最多有一个二等品的概率为（）A ．49041001C C -B ．0413109010904100C C C C C + C ．1104100C CD ．1310904100C C C 12．随机变量X 的分布列如右表，若7()E X =，则()D X =（） A ．12B ．36 C ．6 D ．6二、填空题：本题共4小题13．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，这对对角线所成的角为60︒的概率为________ 14．甲、乙设备生产某产品共500件，采用分层抽样的方法从中抽取容量为30的样本进行检测.若样本中有12件产品由甲设备生产，则由乙设备生产的产品总数为_______件.15．若随机变量2~5,3XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()3D X =_______．16．已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成，且英文字母在前，数字在后.已知英文字母是A ，B ，C ，D ，E 这5个字母中的1个，数字是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中的一个，则共有__________个不同的编号（用数字作答）.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2020年陕西省榆林市数学高二(下)期末质量检测试题含解析

2020年陕西省榆林市数学高二(下)期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．某教师要把语文、数学、外语、历史四个科目排到如下的课表中，如果相同科目既不同行也不同列，星期一的课表已经确定如下表，则其余三天课表的不同排法种数有( )A ．96B ．36C ．24D ．12 【答案】C 【解析】【分析】先安排第一节的课表33A 种，再安排第二节的课表有2种，第三节的课表也有2种，最后一节只有1种安排方案，所以可求. 【详解】先安排第一节的课表，除去语文均可以安排共有33A 种；周二的第二节不和第一节相同，也不和周一的第二节相同，共有2种安排方案，第三节和第四节的顺序是确定的；周三的第二节也有2种安排方案，剩余位置的安排方案只有1种，根据计数原理可得3322124A ⨯⨯⨯=种，故选C.【点睛】本题主要考查分步计数原理的应用，侧重考查逻辑推理的核心素养. 2．已知随机变量X 的分布列如下表所示：X1 2 3 4 5 P0.10.2b0.20.1则()25E x -的值等于（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】分析：由分布列的性质可得0.4b =，又由数学期望的计算公式求得数学期望()E X ，进而可求得(25)E X -．详解：由分布列的性质可得0.10.20.20.11b ++++=，解得0.4b =，又由数学期望的计算公式可得，随机变量X 的期望为：()10.120.230.440.250.13E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以(25)2()52351E X E X -=-=⨯-=，故选A ．点睛：本题主要考查了随机变量的分布列的性质即数学期望的计算问题，其中熟记随机变量的性质和数学期望的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．3．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞） D ．[1，+∞）【答案】C 【解析】分析：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图像（将(0)xe x >去掉），再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数()f x 的图像，xy e =在y 轴右侧的去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程()f x x a =--有两个解，也就是函数()g x 有两个零点，此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 4．在用数学归纳法证明:“凸多边形内角和为(2)n π-”时，第一步验证的n 等于（） A ．1 B ．3C ．5D ．7【答案】B 【解析】【分析】多边形的边数最少是3，即三角形，即可得解；【详解】解：依题意，因为多边形的边数最少是3，即三角形，用数学归纳法证明:“凸多边形内角和为(2)n π-”时，第一步验证的n 等于3时，是否成立，故选：B 【点睛】本题主要考查数学归纳法的基本原理，属于简单题. 用数学归纳法证明结论成立时，需要验证1n n = 时成立，然后假设假设n k =时命题成立，证明1n k =+时命题也成立即可，对于第一步，要确定1n n =，其实就是确定是结论成立的最小的n .5．已知集合{|20},{|1}M x x N x y x =-<==+，则M N ⋃=A ．{ | -1}x x >B ．{|12}x x -≤<C ．{ |-12}x x <<D ．R【答案】D 【解析】【分析】先解出集合M 与N ，再利用集合的并集运算得出M N ⋃.{}{}202M x x x x =-<=<Q ，{{}{}101N x y x x x x ===+≥=≥-，M N R ∴=U ，故选D.【点睛】本题考查集合的并集运算，在计算无限数集时，可利用数轴来强化理解，考查计算能力，属于基础题． 6．有7张卡片分别写有数字1,1,1,2,2,3,4，从中任取4张，可排出不同的四位数个数为（） A ．78 B ．102C ．114D ．120【答案】C 【解析】分析：根据题意，分四种情况讨论：①取出四张卡片中没有重复数字，即取出四张卡片中的数字为1,2,3,4；②取出四张卡片中4有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2；③若取出的四张卡片为2张1和2张2；④取出四张卡片中有3个重复数字，则重复数字为1，分别求出每种情况下可以排出四位数的个数，由分类计数原理计算可得结论. 详解：根据题意，分四种情况讨论：①取出四张卡片中没有重复数字，即取出四张卡片中的数字为1,2,3,4；此时有4424A =种顺序，可以排出24个四位数.②取出四张卡片中4有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2，若重复的数字为1，在2,3,4中取出2个，有233C =种取法，安排在四个位置中，有2412A =种情况，剩余位置安排数字1，可以排出31236⨯=个四位数同理，若重复的数字为2，也可以排出36个重复数字；③若取出的四张卡片为2张1和2张2，在4个位置安排两个1，有246C =种情况，剩余位置安排两个2，则可以排出616⨯=个四位数；④取出四张卡片中有3个重复数字，则重复数字为1，在2,3,4中取出1个卡片，有133C =种取法，安排在四个位置中，有14C 4=种情况，剩余位置安排1，可以排出3412⨯=个四位数，则一共有243636612114++++=个四位数，故选C.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率. 7．若复数()()211 i z a a a R =-++∈是纯虚数，则a =（）A ．0B ．1C ．1-D ．±1【解析】【分析】根据纯虚数的定义求解即可. 【详解】因为复数()()211 i z a a a R =-++∈是纯虚数,故21010a a ⎧-=⎨+≠⎩ ,解得1a =.故选：B 【点睛】本题主要考查了根据纯虚数求解参数的问题,属于基础题.8．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（）． A ．[2,2]- B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D 【解析】【分析】【详解】()f x 是奇函数，故()()111f f -=-=- ；又()f x 是增函数，()121f x -≤-≤，即()(1)2(1)f f x f -≤-≤ 则有121x -≤-≤ ，解得13x ≤≤ ，故选D.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为()(1)2f f x -≤-(1)f ≤，再利用单调性继续转化为121x -≤-≤，从而求得正解.9．我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教，要求每所中学至少派遣一名教师，则不同的派出方法有（） A ．300种 B ．150种C ．120种D ．90种【答案】B 【解析】分析：根据题意，先选后排.①先选，将5名教师分成三组，有两种方式，即1，1，3与1，2，2，注意去除重复部分；②后排，将分好的三组全排列，即可得到答案. 详解：根据题意：分两步计算（1）将5名教师分成三组，有两种方式即1，1，3与1，2，2；①分成1，1，3三组的方法有11542210C C A = ②分成1，2，2三组的方法有12542215C C A = 一共有101525+=种的分组方法；（2）将分好的三组全排列有336A =种方法.则不同的派出方法有256150⨯=种. 故选B.点睛：对于排列组合混合问题，可先选出元素，再排列。

陕西省榆林市绥德中学2019_2020学年高二数学下学期第一次阶段性测试试题理含解析

陕西省榆林市绥德中学2019-2020学年高二数学下学期第一次阶段性测试试题理（含解析）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，计60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.点A 的极坐标是72,6π⎛⎫⎪⎝⎭，则点A 的直角坐标为（）.A. (1,-B. (C. (1)-D. 1)-【答案】C 【解析】【分析】利用公式,x cos y sin ρθρθ==，即可容易求得. 【详解】设A 点的直角坐标为(),x y故可得772cos2sin 166x cos y sin ππρθρθ==⨯===⨯=-.故点A 的直角坐标为(1)-. 故选：C.【点睛】本题考查极坐标下点的坐标和直角坐标之间的转化，属基础题. 2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z = （） A. 23i + B. 23i -C. 32i +D. 32i -【答案】A 【解析】试题分析：5(2)(2)522232z i i z i i z i i--=∴-==+∴=+- 考点：复数的运算3.()1512x -的展开式中各项系数和为（） A. 1B. 1-C. 152D. 153【答案】B 【解析】【分析】将1x =代入()1512x -，可得出该二项展开式中各项系数之和.【详解】由题意可知，()1512x -的展开式中各项系数和为()151211-⨯=-. 故选：B.【点睛】本题考查二项展开式各项系数和的计算，考查计算能力，属于基础题.4.在一项中学生近视情况的调查中，某校男生150名中有80名近视，女生140名中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力（） A. 平均数与方差 B. 回归分析C. 独立性检验D. 概率【答案】C 【解析】判断两个分类变量是否有关的最有效方法是进行独立性检验，故选C. 考点：独立性检验的意义.5.已知一椭圆的方程为221164x y +=，如果x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12，则该椭圆的形状为（）.A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据变换，只需将y 轴上的单位长度扩大2倍，数形结合即可求得结果. 【详解】如果x 轴上的单位长度保持不变，要满足题意，只需将y 轴上的单位长度扩大2倍，那么椭圆的形状应该如B 中所示. 故选：B.【点睛】本题考查坐标系的变换，属基础题.6.直线2cos503sin 40x t y t ︒︒⎧=-+⎨=-⎩，（t 为参数）的倾斜角α等于（）. A. 40︒ B. 50︒C. 45︒-D. 135︒【答案】D 【解析】【分析】将参数方程化为普通方程，即可求得倾斜角. 【详解】因2cos503sin 40x t y t ︒︒⎧=-+⎨=-⎩（t 为参数）等价于240340x tsin y tsin =-+︒⎧⎨=-︒⎩（t 为参数），消去参数，可得其普通方程为：10x y +-=. 故其直线斜率为1k tan α=-=，又[)0,απ∈ 故135α=︒. 故选：D.【点睛】本题考查参数方程和普通方程之间的转化，涉及直线倾斜角的求解，属综合基础题. 7. 6名同学排成一排，其中甲乙两人必须排在一起的不同排法有（） A. 240种 B. 360种 C. 720种 D. 120种【答案】A 【解析】试题分析：其中甲乙两人必须排在一起则相当于将两人捆绑在一起，他们之间有两种情况，这样相当于总共有五个人在排队，共有55A 种即54321120⨯⨯⨯⨯=种，再乘以2，得到240种，故选A ．本题关键是利用捆绑的思想减少了分类带来的困难．考点：1．排列的问题．2．分类的思想．8.设二项式1nx ⎫⎪⎭的展开式中第5项是常数项，那么这个展开式中系数最大的项是（）. A. 第9项B. 第8项C. 第9项和第10项D. 第8项和第9项【答案】A 【解析】【分析】根据通项公式，由已知信息求得n ，再结合通项公式，即可求得系数最大的项.【详解】二项式1nx ⎫⎪⎭的通项公式4331n r r r nT C x -+=因为其第5项是常数项，故令4r =，则16033n -=，解得16n =. 故二项式展开式有17项，又其每一项的系数为二项式系数，根据二项式系数的增减性，容易知其系数的最大项为第9项. 故选：A.【点睛】本题考查由二项式展开式的某一项求参数，以及求系数的最大项，属综合基础题. 9.袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是（）. A227B.19C.29D.127【答案】B 【解析】【分析】计算所有抽取的可能，以及满足题意的可能，用古典概型的概率计算公式即可求得. 【详解】有放回地抽取三次，每次有3种可能，故所有抽取可能有33327⨯⨯=种；又满足题意的只有红红红、黄黄黄、绿绿绿3种，故满足题意的概率31279P ==. 故选：B.【点睛】本题考查古典概型的概率求解，属基础题. 10.观察式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，...，则可归纳出式子为（）A. 22211111...2321n n ++++<-B. 22211111...2321n n ++++<+ C. 222111211...23n n n-++++<D. 22211121 (2321)n n n ++++<+【答案】C 【解析】【分析】观察式子：不等号的右边是一个分数，分母依次为2,3,4，分子依次为3,5,7，归纳得到答案.【详解】观察式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，不等号的右边是一个分数，分母依次为2,3,4，分子依次为3,5,7，进而归纳得：222111211...23n n n-++++<.故选：C .【点睛】本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力.11.1号箱有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是（）. A.827B.929C.1127D.1124【答案】A 【解析】【分析】要满足题意，则从1号箱中抽取红球，从2号箱也抽取红球，即可容易求得. 【详解】若从1号箱中取出的是红球，则从2号箱中取出红球的概率为4486927⨯=. 故选：A.【点睛】本题考查简单事件的概率求解，属基础题.12.设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为C. 2 【答案】A【解析】【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A∴为圆心||2c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==． 2e ∴=，故选A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，计20分） 13.已知x ，y 的值如表所示：x2 3 4如果y 与x 呈线性相关且回归直线方程为72y bx =+，则b =________. 【答案】12【解析】【分析】计算,x y 的平均数，代入回归直线方程，即可求得参数.【详解】因为x 的平均数为()123433++=；y 的平均数()145653++=，故可得7532b =+，解得12b =.故答案为：12.【点睛】本题考查由样本中心点求参数值，属基础题.14.曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________．【答案】30x y -=. 【解析】【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程【详解】详解：/223(21)3()3(31),xx xy x e x x e x x e =+++=++所以，/0|3x k y ===所以，曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求． 15.由2yx ，214y x =及1x =围成的图形的面积S =________. 【答案】14【解析】【分析】画出图像，利用微积分基本定理求曲边梯形面积即可. 【详解】画出图像如下所示：故围成的面积122331111 ()104444S x x dx=-=⨯-⨯=⎰.故答案为：14.【点睛】本题考查利用微积分基本定理求曲边梯形的面积，属基础题.16.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种．【答案】72【解析】试题分析：由题意，选用3种颜色时，必须是②④同色，③⑤同色，与①进行全排列，涂色方法有334324C A⋅=种;4色全用时涂色方法：是②④同色或③⑤同色，有2种情况，涂色方法有142448C A⋅=种,所以共72种．考点：排列组合的应用．三、解答题.（本大题共6道题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的方程，()222cos 4sin 4ρθθ+=，过点(2,1)的直线l的参数方程为2212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求||AB 的值.【答案】（1）10x y --=；2214x y +=（2【解析】【分析】（1）利用公式，即可实现极坐标方程和直角方程之间的转化；消去参数，则可得直线的普通方程；（2）将直线的参数方程代入曲线C 的直角方程，根据韦达定理，结合参数几何意义，即可容易求得.【详解】（1）因为曲线C 的方程，()222cos 4sin 4ρθθ+=，故可得2244x y +=，即2214x y +=；因为直线l的参数方程为2212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去参数t ，则其直角方程为10x y --=. （2）将直线参数方程代入曲线C 的直角方程，可得2580t ++=，设点,A B 对应的参数12,t t t t ==，则121285t t t t +==，故可得12AB t t =-====故弦长AB =【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程之间的相互转化，以及利用参数的几何意义求弦长，属综合基础题.18.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=. （1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值以及此时P 的直角坐标.【答案】（1）1C ：2213x y +=，2C ：40x y +-=；（2）min PQ =，此时31(,)22P . 【解析】试题分析：（1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；（2）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα⇒P 到2C 的距离π()sin()2|3d αα==+-⇒当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,)22.试题解析：（1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=.（2）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，π()sin()2|3d αα==+-.当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,)22.考点：坐标系与参数方程.【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线C 的普通方程0(),F x y =化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．19.袋中有20个大小相同的球，其中标号为0的有10个，标号为n 的有n 个（n =1,2,3,4）.现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号.求X 的分布列、数学期望和方差. 【答案】详见解析【解析】【分析】利用古典概型概率的计算公式分别计算0,1,2,3,4X =的概率后可计算其期望和方差. 【详解】()1010202P X ===，()1120P X ==，()2122010P X ===，()3320P X ==， ()414205P X ===.X 的分布列为∴()1113101234 1.522010205E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ()()()()()222211310 1.51 1.52 1.53 1.5 2.75220205D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.【点睛】本题考查离散型随机变量的概率分布、数学期望和方差，属于基础题.20.老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率．【答案】（1）见解析（2）23【解析】(1)设随机抽出的3篇课文中该同学能背诵的篇数为X ，则X 是一个随机变量，它可能的取值为0、1、2、3，且X 服从超几何分布，分布列如下：即(2)该同学能及格表示他能背出2或3篇，故他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X ＝2)＋P(X ＝3)＝12＋16＝23≈0.667. 21.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率12e =，右焦点到直线:1x y p a b +=的距离7d =，O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆过原点O ，求O 到l 的距离.【答案】（1）22143x y +=（2）7【解析】【分析】（1）根据离心率，点到直线的距离以及222a b c =+求得,,a b c ，则椭圆方程得解；（2）联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理，结合12120x x y y +=，即可得到结果. 【详解】（1）∵12e =，∴12c a =，右焦点(,0)c 到直线1x y a b +=的距离7d =，7=且221b c +=，所以24a =，23b =，所以椭圆C 的方程是：22143x y +=（2）设直线:l y kx m =+，那么：2234120x y y kx m⎧+-=⎨=+⎩，则222()4384120k x kmx m +++-=，122843km x x k -+=+，212241243m x x k -⋅=+又因为直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆过原点O ， ∴12120x x y y +=∴1212()()0x x kx m kx m +--=，∴221212(1)()0k x x km x x m ++++=2222222(1)(412)804343k m k m m k k +--++=++，化简得221217m k =+7=，所以O 到直线l的【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中垂直问题的转化和求解，属综合中档题. 22.已知函数2()ln f x x x =+.（1）求()()3h x f x x =-的极值；（2）若函数()()g x f x ax =-在定义域内为增函数，求实数a 的取值范围；（3）设2()2()3()F x f x x kx k R =--∈，若函数()F x 存在两个零点,(0)m n m n <<，且满足02x m n =+，问：函数()F x 在()()00,x F x 处的切线能否平行于x 轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由.【答案】（1）()h x 极小值2=-，()h x 极大值5ln 24=-（2）a ≤（3）不能平行于x 轴，详见解析【解析】【分析】（1）求导，根据导数的正负判断函数的单调性，从而求得极值；（2）根据()0,(0,)g x x '≥∈+∞恒成立，分离参数，利用均值不等式求得最值即可；（3）根据题意，将问题转化为方程212()ln 1m m m n n m n m n n ⎛⎫- ⎪-⎝⎭==++是否有根的问题，构造函数2(1)ln ((0,1))1u y u u u -=-∈+，利用导数研究其单调性，即可容易判断. 【详解】（1）由已知，2231()x x h x x-+'=，令()0h x '=，得12x =，或1x =，令()0h x '<，则1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0h x '>，则()10,1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，故()h x 在区间()10,,1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，故可得()h x 极小值(1)2h ==-，()h x 极大值15()ln 224h ==-. （2）2()()ln g x f x ax x x ax =-=+-，1()2g x x a x'=+-. 由题意，知()0,(0,)g x x '≥∈+∞恒成立，即min12a x x ⎛⎫≤+⎪⎝⎭. 又0x >，12x x +≥2x =时等号成立.故min12x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭a ≤. （3）设()F x 在()()00,x F x 的切线平行于x 轴，其中2()2ln F x x x kx =-- 结合题意，22ln 0m m km --=；22ln 0n n kn --=，相减得2ln ()()()mm n m n k m n n-+-=- 又0002()20F x x k x '=--=， ∴0022k x x =-，又02m n x +=，4()k m n m n=-++ 所以212()ln 1m m m n n m n m n n⎛⎫- ⎪-⎝⎭==++. 设(0,1)m u n =∈，2(1)ln 0((0,1))1u u u u --=∈+. 设2(1)ln ((0,1))1u y u u u -=-∈+， 2222212(1)2(1)(1)4(1)0(1)(1)(1)u u u u u y u u u u u u +--+--'=-==>+++，所以函数2(1)ln 1u y u u -=-+在(0,1)上单调递增，因此，10u y y =<=，即2(1)ln 01u u u --<+.也就是，21ln 1m m n m n n⎛⎫- ⎪⎝⎭<+，所以212()ln 1m m m n n m n m n n⎛⎫- ⎪-⎝⎭==++无解. 所以()F x 在()()00,x F x 处的切线不能平行于x 轴.【点睛】本题考查具体函数极值的求解，由函数单调性求参数范围，涉及分离参数法，均值不等式的使用，构造函数，属压轴题.。

2019-2020学年陕西省榆林市数学高二下期末学业水平测试试题含解析

2019-2020学年陕西省榆林市数学高二下期末学业水平测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知1F 、2F 为双曲线C ：221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则P 到x 轴的距离为 ABCD【答案】B 【解析】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，以及转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.不妨设点P 00(,)x y 在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得21000[()]1a PF e x a ex c =--=+=+，22000[)]1a PF e x ex a c=-=-=-.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||2PF PF F F PF PF +-，即cos 060222=2052x =，所以2200312y x =-=，故P 到x 轴的距离为0y =. 2．从某企业生产的某种产品中随机抽取10件，测量这些产品的一项质量指标，其频率分布表如下：则可估计这批产品的质量指标的众数、中位数为（） A ．30，1433B ．40，43C ．40，1433D ．30，43【答案】C 【解析】【分析】根据频率分布表可知频率最大的分组为[)30,50，利用中点值来代表本组数据可知众数为40；根据中位数将总频率分为1:1的两部分，可构造方程求得中位数. 【详解】根据频率分布表可知，频率最大的分组为[)30,50 ∴众数为：40 设中位数为x则300.10.60.55030x -+⨯=-，解得：1433x =，即中位数为：1433本题正确选项：C 【点睛】本题考查利用样本的数据特征估计众数和中位数的问题，关键是明确众数和中位数的概念，掌握用样本估计总体的方法. 3．若()()()()()201923201901232019122222x a a x a x a x a x -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-的值为（）A ．-2B ．-1C ．0D ．1【答案】B 【解析】【分析】令1x =，即可求01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-出的值. 【详解】解：在所给等式中，令1x =，可得等式为()20190123201912a a a a a -=-+-+⋅⋅⋅-，即012320191a a a a a -+-+⋅⋅⋅-=-. 故选：B. 【点睛】本题考查二项式定理的展开使用及灵活变求值，特别是解决二项式的系数问题，常采用赋值法，属于中档题.4．某产品生产厂家的市场部在对4家商场进行调研时，获得该产品售价x(单位：元)和销售量y(单位：件)之间的四组数据如表：为决策产品的市场指导价，用最小二乘法求得销售量y 与售价x 之间的线性回归方程y 1.4x a =-+，那么方程中的a 值为( ) A ．17 B ．17.5C ．18D ．18.5【答案】B 【解析】【分析】求出样本中心点，代入线性回归方程，即可求出a 的值．【详解】由题意，()1x 4 4.5 5.5654=+++=，()1y 121110910.54=+++=，线性回归方程y 1.4x a =-+，()10.5 1.45a ∴=-⨯+， a 17.5∴=．故选：B ．【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与Y 之间的关系，这条直线过样本中心点． 5．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin cos sin C C B A +=，0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，a =1cos 3B =，则b =（）A ．2B ．53C ．125D ．4【答案】C 【解析】【分析】先利用正弦定理解出c ，再利用cos B 的余弦定理解出b 【详解】sin 2sin cos sin +2cos =C C B A c c B a +=⇔c ⇒=2225411442cos 625325b ac ac B =+-=+-=所以125b =【点睛】本题考查正余弦定理的简单应用，属于基础题．6．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段。

陕西省榆林市绥德中学2019-2020学年高二下学期期末数学(文)试题

陕西省榆林市绥德中学2019-2020学年高二下学期期末数学(文)试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．设21z i i ⋅=+，则z =（） A ．2i +B ．2i -C ．2i -+D ．2i --2．已知集合{1,2,3}A =，{|(1)(2)0,}B x x x x Z =+-<∈，则A B ⋃= A ．{1}B ．{12}，C ．{0123}，，，D ．{10123}-，，，， 3．已知向量()1,1a =-v，(),2b x =v ，且a b ⊥v v ，则a b +v v 的值为（）ABC．D4．设函数()()21,04,0x log x x f x x ⎧-<=⎨≥⎩，则()()233f f log -+=（）A ．9B ．11C ．13D ．155．设复数z 满足1z i +=，z 在复平面内对应的点为(),P x y ，则点P 的轨迹方程为（）A ．()2211x y ++= B ．()2211x y -+= C ．()2211x y +-=D ．()2211x y ++=6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =，则95S S =（） A ．2B ．259C ．9D ．9257．设,x y 是0，1，2，3，4，5中任意两个不同的数，那么复数x yi +恰好是纯虚数的概率为（） A ．16B ．13C ．15D ．1308．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．将函数cos 2y x =的图象向右平移4π个单位，得到函数()sin y f x x =⋅的图象，则()f x 的表达式可以是（）A ．()2cos f x x =-B ．()2cos f x x =C．()22f x x =D．()(sin 2cos 2)2f x x x =+ 10．已知121x y+=(0,0)x y >>，则2x y +的最小值为（） A ．10B ．9C ．8D ．711．已知函数()21ln 2f x x a x x =-+在[)1,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．0a ≤B ．01a ≤≤C ．2a ≤D ．2a <12．设1F 、2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，若1290F PF ∠=︒，2c =，213PF F S =△，则双曲线的渐近线方程为（） A ．2y x =±B．y =C．3y x =±D．y =13．函数2()ln f x x x =+的图象在点(1,(1))f 处切线方程为_____．14．若变量,x y 满足约束条件{241y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最小值为_____．15．函数()2cos sin f x x x =+的最大值为__________.16．若121z z -=，则称1z 与2z 互为“邻位复数”．已知复数1z a =与22i z b =+互为“邻位复数”， ,a b ∈R ，则22a b +的最大值为______．17．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2sin2B m ⎛= ⎝v，cos ,cos 2B n B ⎛⎫= ⎪⎝⎭v ，且m n ⊥u v v .（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）如果1a =，b =ABC ∆的面积.18．已知数列{}n a 满足11a =，12n n a a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2n n S b =-．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在PD 上.（1）若E 为PD 的中点，证明：//PB 平面AEC ；（2）若1PA =，22PD AB ==，三棱锥E ACD -的体积为9，试求:PE ED 的值.20．2020年寒假，因为“新冠”疫情全体学生只能在家进行网上学习，为了研究学生网上学习的情况，某学校随机抽取100名学生对线上教学进行调查，其中男生与女生的人数之比为9:11，抽取的学生中男生有30人对线上教学满意，女生中有10名表示对线上教学不满意.（1）完成22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；（2）从被调查的对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取5名学生，再在这5名学生中抽取2名学生，作线上学习的经验介绍，求其中抽取一名男生与一名女生的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d ⋅=++++.21．已知函数()ln f x x ax =-，2()g x x =.a R ∈. （1）求函数()f x 的极值点；（2）若()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值范围.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率2e =，(是椭圆C 上一点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 的斜率为12，且直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，点P 关于原点的对称点为E ，点()2,1A-是椭圆C 上一点，判断直线AE 与AQ 的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值，如果不是，请说明理由．参考答案1．B 【解析】【分析】在等式21z i i ⋅=+的两边同时除以i ，利用复数的除法法则可求出复数z . 【详解】21z i i ⋅=+Q ，22122i i i z i i i+-∴===-.故选：B. 【点睛】本题考查复数的求解，涉及复数的除法，考查计算能力，属于基础题. 2．C 【解析】试题分析：集合{}{|12,}0,1B x x x Z =-<<∈=，而{}1,2,3A =，所以{}0,1,2,3A B ⋃=，故选C.【考点】集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理. 3．D 【解析】【分析】【详解】由a b ⊥vv得20a b x ⋅=-=vv ，解得2x =． ∴(3,1)a b +=vv ，∴a b vv +==．选D ． 4．B 【解析】【分析】根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案.∵函数2log (1),0()4,0xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩， ∴()2l 23og 2(3)log 3log 44f f -+=+=2+9=11．故选B ．【点睛】本题考查函数值的求法，考查指对函数的运算性质，是基础题． 5．D 【解析】【分析】复数z 满足1z i +=，由复数的模的几何意义可得：z 在复平面内对应的点(),P x y 到复数i -在复平面内对应的点()0,1A -的距离为1，再求解即可.【详解】解：由z 在复平面内对应的点为(),P x y ，且复数z 满足1z i +=，由复数的模的几何意义可得：z 在复平面内对应的点(),P x y 到复数i -在复平面内对应的点()0,1A -的距离为11=，则点P 的轨迹方程为()2211x y ++=，故选：D. 【点睛】本题考查了复数的模的几何意义，重点考查了运算能力，属基础题. 6．C 【解析】【分析】根据等差数列前n 项和公式化简95S S ，再利用等差数列的性质：m n p q m n p q a a a a +=+⇒+=+即可计算出95S S .535a a =Q ，又()()()()19199515515399922955522a a a a S a a a S a a a ++⨯====++⨯. 故选：C 【点睛】本题主要考查了等差数列的前n 项和以及等差数列的性质，属于基础题. 7．A 【解析】【分析】根据纯虚数的概念，若复数x yi +恰好是纯虚数，即实部是0. 【详解】有题意知本题是一个古典概型，实验发生包含的事件是从6个数字中任取2个数字，共有6530⨯=种结果，满足条件的事件是复数x yi +恰好是纯虚数，即实部是0，这样虚部有5中结果， ∴复数x yi +恰好是纯虚数的概率为51306=. 故选：A 【点睛】本题主要考查了纯虚数和古典概型，属于基础题. 8．A 【解析】【分析】【详解】由2()0a b a -<一定可得出a b <；但反过来，由a b <不一定得出2()0a b a -<，如0a =，故选A. 【考点定位】本小题主要考查充分必要条件、不等式的性质等基础知识，熟练掌握这两部分的基础知识是解答好本类题目的关键. 9．B【分析】首先计算出函数cos 2y x =的图象向右平移4π个单位的函数，再根据()sin y f x x =⋅化简即可. 【详解】∵将函数cos 2y x =的图象向右平移4π个单位得cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭cos 2sin 22sin cos ()sin 2x x x x f x x π⎛⎫=-===⋅ ⎪⎝⎭，()2cos f x x ∴=.故选：B 【点睛】本题主要考查了三角函数图像变换，属于基础题. 10．C 【解析】【分析】将代数式12x y+与2x y +相乘，展开后利用基本不等式可求出2x y +的最小值. 【详解】0x Q >，0y >且121x y+=，则()12422448x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当2y x =时，等号成立，因此，2x y +的最小值为8. 故选：C. 【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值，涉及1的妙用，考查计算能力，属于中等题. 11．C【分析】由题可知在[)1,+∞上()'0f x ≥恒成立.再参变分离求解函数最值即可. 【详解】由题, ()'10af x x x=-+≥在[)1,+∞上恒成立.即2a x x ≤+在[)1,+∞上恒成立. 又[)2,1,y x x x =+∈+∞,其导函数'210y x =+>恒成立.故[)2,1,y x x x =+∈+∞的最小值为2112y =+=.故2a ≤. 故选：C 【点睛】本题主要考查了根据函数的单调性求解参数范围的问题,需要根据题意求导,参变分离求函数的最值.属于基础题. 12．D 【解析】【分析】由题意可得22121216132PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，配方可得()2124PF PF -=，从而利用双曲线的定义可求出1a =，进而利用222b c a =-求出b ，得出双曲线的标准方程即可求出渐近线方程. 【详解】由题意可得22121216132PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，()2124PF PF -=，可得1222PF PF a -==，可得1a =，b ==，可得渐近线方程为y =．故选：D 【点睛】本题考查了双曲线的定义、双曲线的简单几何性质，属于基础题.13．320x y --= 【解析】【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x ＝1处的导数，再求出f （1），利用直线方程的点斜式得答案．【详解】由2()ln f x x x =+，得'1()2f x x x=+，则'(1)3f =，又(1)1f =，所以切线方程为13(1)y x -=-，即320x y --=. 故答案为：320x y --= 【点睛】本题考查利用导数研究曲线在某点处的切线方程，是基础题． 14．8 【解析】【分析】【详解】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A （2，2），B （53,22）,C （3，2）设z =F （x ，y ）=3x +y ，将直线l ：z =3x +y 进行平移，当l 经过点A （2，2）时，目标函数z 达到最小值 ∴z 最小值=F （2，2）=8 故选：C15【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，通过正弦函数的有界性求解即可．【详解】解：函数f （x ）＝2cos x +sin x =cos x +sin x ）=（x +θ），其中tan θ＝2，【点睛】通过配角公式把三角函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用|sin cos |a x b x +≤求最值．16．8+ 【解析】【分析】由已知新定理与复数模长的计算公式可知())2221a b-+=，其表示的是点(),a b 在圆()(2221x y -+=上，所求表达式表示点(),a b 到原点的距离的平方，将其转化为原点与圆的距离的最值问题解决即可. 【详解】因为复数1z a =与22i z b =+互为“邻位复数”，所以2i 1a b +--=，故())2221a b-+=，其表示的是点(),a b 在圆()(2221x y -+=上，(),a b 到原点的距离，故22a b +的最大值为原点到圆心的距离加半径，即(22118⎫=+=+⎪⎭故答案为：8+【点睛】本题考查复数的新定义问题，还考查与圆有关的距离的最值问题，属于简单题. 17．（Ⅰ）23π；（Ⅱ【解析】【分析】（Ⅰ）由m n ⊥u r r 得出0m n ⋅=u r r，利用平面向量数量积的坐标运算、二倍角公式以及同角商数关系可求得tan B =B 的范围可得出角B 的值；（Ⅱ）利用余弦定理求出c 的值，然后利用三角形的面积公式即可求出ABC ∆的面积. 【详解】（Ⅰ）m n ⊥u r r Q，2sin cos sin 022B Bm n B B B ∴⋅==+=u rr .化简得：tan B =0B Q π<<，23B π∴=；（Ⅱ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得，2221122c c ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，整理得220c c +-=，解之得：1c =，11sin 1122ABC S ac B ∆∴==⨯⨯=. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形、三角形面积的计算，涉及平面向量垂直的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.18．（1）21n a n =-，112n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=；（2）12122n n T n -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．【解析】【分析】（1）由已知条件得a n +1﹣a n ＝2，利用等差数列的通项公式即可得出a n ；且2n n S b =-，当2n ≥时，b n ＝S n ﹣S n ﹣1，当n ＝1时，11b =，利用等比数列的通项公式即可得出b n ；（2）由（1）得12112n n n n c a b n -⎛⎫ ⎝=-⎪⎭=++，利用分组求和求和即可.【详解】（1）因为11a =，12n n a a +-=，所以{}n a 为首项是1，公差为2的等差数列，所以()11221n a n n =+-⨯=-．又当1n =时，1112b S b ==-，所以11b =，当2n ≥时，2n n S b =- ①112n n S b --=- ②由-①②得1n n n b b b -=-+，即112n n b b -=（2n ≥），所以{}n b 是首项为1，公比为12的等比数列，故112n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=．（2）由（1）得12112n n n n c a b n -⎛⎫ ⎝=+⎪⎭=++，所以()121112112212212nn n n n T n -⎛⎫- ⎪+-⎛⎫⎝⎭=+=+- ⎪⎝⎭-．【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和方法，属于基础题． 19．（1）证明见解析（2）:1:2PE ED = 【解析】【分析】(1) 连接BD 交AC 于O ,连接EO ,再证明EO PB P 即可. (2) 根据三棱锥E ACD -E 到平面ABCD 的距离为23,再根据PA ⊥平面ABCD 且1PA =即可求得:PE ED . 【详解】证明：（1）连接BD 交AC 于O ,连接EO , ∵ABCD 为矩形,∴O 为BD 的中点, 又E 为PD 的中点,∴EO PB P , ∵EO Ü平面AEC ,PB Ø平面AEC , ∴PB P 平面AEC .（2）由题设AD =,1CD =,∴ADC V∵棱锥E ACD -的体积为9,∴E 到平面ABCD 的距离h 满足1932h =⨯,即23h =.∵PA ⊥平面ABCD ,∴平面PAD ⊥平面ABCD ,过E 在平面PAD 内作EF AD ⊥,垂足为F ,则EF ⊥平面ABCD , 而PA ⊥平面ABCD ,于是EF PA P .∵1PA =,∴:2:3ED PD =.则:1:2PE ED = 【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及根据三棱锥体积求解比例的问题,需要根据题意求出对应的高,再根据垂直于同一平面的两条直线互相平行的性质分析.属于中档题. 20．（1）列联表见解析，有；（2）35【解析】【分析】（1）先阅读题意，然后列出22⨯列联表，计算2K，再结合临界值表即可得解.（2）利用分层抽样抽取5名学生，其中男生2名，设为A、B；女生3人设为,,a b c，然后结合古典概型概率公式求解即可.【详解】解：（1）22⨯列联表如下：又()22100301045153.03 2.70675254555K⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，这说明有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”.（2）由题可知，从被调查中对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取5名学生，其中男生2名，设为A、B；女生3人设为,,a b c，则从这5名学生中抽取2名学生的基本事件有：(),A B，(),A a，(),A b，(),A c，(),B a，(),B b，(),B c，(),a b，(),a c，(),b c，共10个基本事件，其中抽取一名男生与一名女生的事件有(),A a，(),A b，(),A c，(),B a，(),B b，(),B c，共6个基本事件，根据古典概型，从这5名学生中抽取一名男生与一名女生的概率为63 105=.【点睛】本题考查了独立性检验，重点考查了古典概型概率公式，属中档题.21．（1）极大值点1a，无极小值点.（2）1a≥-【解析】【分析】(1)对函数对a 分情况求导得到导函数的正负，进而得到函数的单调性和极值；（2）由条件可得2ln 0(0)x x ax x --≤>恒成立，则当0x >时，ln xa x x≥-恒成立，令()ln (0)xh x x x x=->，对此函数求导得到函数的单调性和最值即可得到结果. 【详解】（1）()ln f x x ax =-的定义域为()0,+∞，()1f x a x'=-，当0a ≤时，()10f x a x -'=>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增，无极值点，当0a >时，解()10f x a x -'=>得10x a <<，解()10f x a x -'=<得1x a>，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以函数()f x 有极大值点1a，无极小值点. （2）由条件可得2ln 0(0)x x ax x --≤>恒成立，则当0x >时，ln xa x x≥-恒成立，令()ln (0)x h x x x x =->，则()221ln x x h x x'--=，令()21ln (0)k x x x x =-->，则当0x >时，()120k x x x'=--<，所以()k x 在()0,+∞上为减函数. 又()10k =，所以在()0,1上，()0h x '>；在()1,+∞上，()0h x '<. 所以()h x 在()0,1上为增函数；在()1,+∞上为减函数. 所以()()max 11h x h ==-，所以1a ≥-. 【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.22．（1）22182x y +=（2）是定值，0【解析】【分析】（1）根据题意可知2223b a c a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解方程组即可求出a 、b ，即可求解. （2）设直线l 的方程为12yx t =+，代入椭圆22:48C x y +=，设点()11,P x y 、()22,Q x y ，可得点()11,E x y --，利用韦达定理以及两点求斜率化简即可求解. 【详解】（1）由题意知b =又离心率e =a =，于是有222b a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得a =b =所以椭圆C 的方程为22182x y +=；（2）由于直线l 的斜率为12．可设直线l 的方程为12y x t =+，代入椭圆22:48C x y +=，可得222240x tx t ++-=．由于直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，所以()2244240t t ∆=-->，整理解得22t -<<．设点()11,P x y 、()22,Q x y ，由于点P 与点E 关于原点对称，故点()11,E x y --，于是有122x x t +=-，21224x x t =-．设直线AE 与AQ 的斜率分别为AE k ，AQ k ，由于点()2,1A -，则12121122AE AQ y y k k x x ---+=+-++()()()()()()122121212122x y x y x x ---++=+-，又1112y x t =+Q ，2212y x t =+．于是有()()()()12212121x y x y ---++()()2112211224y y x y x y x x =--++-- ()211212124x x x x tx tx x x =---+++-()()()21212424240x x t x x t t t =--+-=-----=，故直线AE 与AQ 的斜率之和为0，即0AE AQ k k +=．【点睛】本题考查了根据离心率求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系中的定值问题，此题要求有较高的计算能力，属于难题.。

陕西省高二下册考试数学(文)试题有答案【精选】.doc

-------------------------密-------------------封-------------------线------------------------班级：_____________姓名：_____________考场：________学号：______________2019-2020学年度第二学期高二年级数学（文科）学科期末试卷一、选择题：（本题共10小题，每题4分，共40分．） 1.已知集合{|20}A x x =->，集合2{|20}B x x x =-≤，则A B U 等于A.[0,)+∞ B.(,2]-∞ C.[0,2)(2,)+∞U D.∅2.已知函数221,1,,1,()+<+≥⎧⎪=⎨⎪⎩x x x ax x f x 若((0))4,=f f a 则实数a 等于（）A.12 B. 45C.2D.9 3.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是（）A ．21y x =-+B ．lg ||y x =C ．1y x= D ．xy e -=4．以下有关命题的说法错误的是（）A.命题“若2320,-+=x x 则1=x ”的逆否命题为“21, 320若则≠-+≠x x x ”B. 1=x 是2320-+=x x 的充分不必要条件C.若“p 或q ”为假命题，则非p 为真命题。

D.对于命题p:存在0,>x 使得2320,-+<x x 则非p ：任意0,≤x 使2320,-+≥x x5．已知函数()sin(2)3π=+f x x ，为了得到()sin 2g x x =的图像，则只需将()f x 的图像（）A.向右平移3π个长度单位 B.向右平移π6个长度单位C. 向左平移π6个长度单位D. 向左平移3π个长度单位6．若1tan ,2α=则sin 3cos sin cos ααα-=+a （） 3355.B. C. D.5533--A 7．设方程2210--=ax x 在（0,1）内恰有一解，则a 的取值范围是（） A. 1<-a B. 1>a C. 11-<<a D. 01≤<a8.设25,==ab m 且112,+=ab则m =（）9. 已知1sin cos , (0,)5θθθπ+=∈，则tan θ=( )A34 B 43 C 43- D 34- 10．已知函数lg ,010,16,102(),<≤-+>⎧⎪=⎨⎪⎩x x x x f x 若,,a b c 互不相等，且()()()==f a f b f c ，则abc 的取值范围是（）.(1, 10) B.(5, 6) C.(10, 12) D.(20, 24)A二、填空题：（本题共5小题，每题4分，共20分．）11.函数=y 的定义域为_______12. 已知函数()=y f x 是奇函数，若()()2=+g x f x 且(1)1,=g 则(1)-g =_______ 13. 函数2sin()4π=-y x 的单调递减区间为_______14.若 ln 2ln 3ln 5, , 235===a b c 则, , a b c 的大小关系是_______（用 “<” 连接） 15.若函数 , ( 1)(4)2, ( 1) 2()>-+≤⎧⎪=⎨⎪⎩xa x a x x f x 为R 上的增函数，则实数a 的取值范围是_______ [三、解答题（本题共4小题，每题10分，共40分）16.已知0,a >设命题:p 函数xy a =在R 上调单调递增；:q 不等式210ax ax -+>对任意x R ∈恒成立，若“p 或q 为真，p 且q 为假，求a 的取值范围。

2019-2020学年陕西省榆林市绥德中学高二下学期第一次阶段性测试数学(文)试题(解析版)

2019-2020学年陕西省榆林市绥德中学高二下学期第一次阶段性测试数学（文）试题一、单选题1．设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A Z ⋂中元素的个数是 A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】【详解】试题分析：由题意，{}2,1,0,1,2A Z ⋂=--，故其中的元素个数为5，选C.【考点】集合中交集的运算.2．已知集合{1,0,1,2}A =-，1{|1}B x x=<，则A B =I （） A ．{0,1} B ．{1,2} C ．{1,0}-D ．{1,2}-【答案】D 【解析】由111x x⇒或0x <，故x 的可取值为−1，2，{}12A B ⋂=-，，故选：D ． 3．已知点在幂函数的图象上，则的表达式为（） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】设幂函数的解析式，代入M 点的坐标即可求出幂函数表达式. 【详解】设，则则的表达式为【点睛】本题考查幂函数表达式求解，是基础题，意在考查幂函数基础知识的掌握情况和幂指数的运算能力，解题中需要能熟练应用幂指数运算性质.4．函数()121xf x ln x x =+-的定义域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0，1)D ．(0，1)∪(1，＋∞)【答案】B【解析】由对数式的真数大于0，无理式根号内部的代数式大于或等于0，联立不等式组求得x 的取值范围，用集合或区间表示后得到原函数的定义域【详解】要使函数()f x 有意义，应满足01xx x ⎧>⎪-⎨⎪≥⎩ 解得1x >，故原函数的定义域为()1∞，＋故选B 【点睛】本题主要考查了函数的定义域及其求法，考查了分式不等式的解法，属于基础题。

5．若5sin 13α=-且α为第四象限，则tan α=（） A ．125 B ．1215-C ．512D ．512-【答案】D【解析】利用同角三角函数的基本关系式求出cos α，然后求解即可．【详解】解：5sin 13α=-，则α为第四象限角，12cos 13α==，sin 5tan cos 12ααα==-．故选：D ．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．6．若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（） A ．()26k x k Z ππ=+∈ B ．()26k x k Z ππ=-∈C ．()212k x k Z ππ=+∈ D ．()212k x k Z ππ=-∈ 【答案】A【解析】利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【详解】将函数2sin2y x =的图象向左平移12π个单位长度，则平移后图象对应的函数解析式为226y sinx π=+（），令262x k πππ+=+，求得26k x ππ=+，可得平移后函数的图象的对称轴为()26k x k Z ππ=+∈ ，故选A ．【点睛】本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．7．已知数列{}n a 的前n 项和223n S n n =-，则{}n a 的通项公式为（）A ．45n a n =-B ．45n a n =+C ．25n a n =-D ．25n a n =+【答案】A【解析】利用公式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩…，由223n S n n =-，能够求出数列{}n a 的通项公式．【详解】解：223n S n n =-Q ，11231a S ∴==-=-，221(23)[2(1)3(1)]n n n a S S n n n n -=-=-----45n =-．当1n =时，1451n a -=-=，45n a n ∴=-，故选：A【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩…的灵活运用，属于中档题． 8．已知数列{}n a 中满足110,2n n a a a n +==+，则2020a =（）A ．20192020⨯B ．20202021⨯C ．20182019⨯D ．20202020⨯【答案】A【解析】由数列{}n a 满足10a =，12n n a a n +=+，可得12n n a a n +-=，利用累加求和、等差数列的求和公式即可得出．【详解】解：数列{}n a 满足10a =，12n n a a n +=+，可得12n n a a n +-=，则111211()()()n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-+⋯⋯+-+ 22(1)20n n =+-+⋯⋯++ (22)(1)2n n n n +==+． 202020192020a ∴=⨯．故选：A ．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A ．(,2)-∞- B ．(,1)-∞ C ．(1,)+∞ D ．(4,)+∞【答案】D【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数； x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数； y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)，故选D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增；当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减；当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减；当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增. 简称为“同增异减”.10．已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且⌝q 的一个充分不必要条件是⌝p ，则a 的取值范围是 A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1] C ．[－1，＋∞) D ．(－∞，－3]【答案】A【解析】解一元二次不等式得到命题p ，进而可得p ⌝，由q 即可得q ⌝，最后根据充分条件和必要条件的定义即可得结果. 【详解】由2230p x x +->：，知3x <-或1x >，则p ⌝为31x -≤≤，q ⌝为x a ≤，又p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，所以1a ≥，故选A. 【点睛】本题主要考查了二次不等式的解法，充分条件和必要条件与集合间关系的等价转化，属于中档题．11．“sin cos αα=”是“cos20α=”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：因为，所以“sin cos αα=”是“cos20α=”的充分不必要条件；故选A ．【考点】1．二倍角公式；2．充分条件和必要条件的判定．12．若方程ln x a =有两个不等的实根1x 和2x ，则12x x +的取值范围是（） A ．()1,+∞ B ．()2,+∞C ．()2,+∞D ．()0,1【答案】C【解析】方程ln x a =有两个不等的实根1x 和2x ，所以-1ln x =a,2 ln x =a,相减得12ln ?ln x x +=0，所以12x x =1，所以122x x ，+≥当12x x =时取等号，而12x x ，不等，所以12x x +>2.故选C二、填空题13．命题“()0x 0,∞∃∈+，00lnx x 1=-”的否定是______．【答案】()x 0,∞∀∈+，lnx x 1≠-【解析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．【详解】命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即()x 0,∞∀∈+，lnx x 1≠-；故答案为：()x 0,∞∀∈+，lnx x 1≠-；【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．14．．设n ∈+N ，一元二次方程240x x n -+=有整数根的充要条件是n = 【答案】3或4【解析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．4164nx ±-=24n =±-，因为x 是整数，即24n ±-为整数，所以4n -为整数，且4n …，又因为n N +∈，取1,2,3,4n =，验证可知3,4n =符合题意；反之3,4n =时，可推出一元二次方程有整数根．15．观察下列等式照此规律，第n 个等式为【答案】2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=-L【解析】：第n 个等式是首项为n ，公差1，项数为21n -的等差数列，即(1)(2)(32)n n n n ++++++-=L 2(21)(211)(21)1(21)2n n n n n ----+⨯=-16．已知函数f （x ）=2sinωx+1（ω＞0）在区间[﹣2π，23π]上是增函数，则ω的取值范围________.【答案】304⎛⎤⎥⎝⎦，【解析】根据正弦函数的单调性可得答案．【详解】函数f （x ）=2sinωx+1（ω＞0）， f （x ）区间[﹣2π，23π]上是增函数，则有2222232k k πωπππωππ⎧-≥-+⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，k ∈Z ，解得：ω≤1﹣4k 且334k ω≤+， ∵ω＞0， ∴（0，34]．故答案为：304，⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题给出正弦型三角函数的图象和性质的运用，属于基础题．三、解答题17．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男生人数多于女生人数；②女生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男生人数．问：（1）若教师人数为4，则女生人数的最大值为多少？（2）该小组人数的最小值为多少？【答案】（1）6；（2）12【解析】（1）设男生有x 人，女生有y 人，根据人员构成同时满足的三个条件，即可得出关于()x y 的一元一次不等式组，解之即可得出x ，y 的取值范围，结合x ，y 均为正整数且x y >，即可得出x ，y 的值，此问得解；（2）设男生有m 人，女生有n 人，教师有t 人，根据人员构成同时满足的三个条件，即可得出关于()m n 的一元一次不等式组，解之即可得出m ，n 的取值范围（用含t 的代数式表示），结合m ，n ，t 均为正整数且m n >，即可得出t 的最小值，进而可得出m ，n 的最小值，将其相加即可得出结论．【详解】解：（1）设男生有x 人，女生有y 人，依题意，得：424x x >⎧⎨⨯>⎩，424y y>⎧⎨⨯>⎩，解得：48x <<，48y <<．x Q ，y 均为正整数，x y >，6x ∴=或7，5y =或6．故答案为：6．（2）设男生有m 人，女生有n 人，教师有t 人，依题意，得：2m t t m >⎧⎨>⎩，2n tt n >⎧⎨>⎩，解得：2t m t <<，2t n t <<．又m Q ，n ，t 均为正整数，且m n >， 2t n m t ∴<<<， 22t t ∴->，t ∴的最小值为3．当3t =时，4n =，5m =， 54312m n t ∴++=++=．故答案为：12．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键，属于基础题．18．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=.（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值以及此时P 的直角坐标.【答案】（1）1C ：2213x y +=，2C ：40x y +-=；（2）min PQ ，此时31(,)22P .【解析】试题分析：（1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；（2）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα⇒P 到2C 的距离π()sin()2|3d αα==+-⇒当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,)22.试题解析：（1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=.（2）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，π()sin()2|3d αα==+-.当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,)22.【考点】坐标系与参数方程.【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线C 的普通方程0(),F x y =化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．19．已知函数()()22f x sin x cos x 23sin x cos x x R =--∈（I ）求2f 3π⎛⎫⎪⎝⎭的值（II ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.【答案】（I ）2；（II ）()f x 的最小正周期是π，2+k +k k 63Z ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.【解析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．（Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间．【详解】（Ⅰ）f （x ）＝sin 2x ﹣cos 2x 23-sin x cos x ，＝﹣cos2x 3-sin2x ，＝﹣226sin x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则f （23π）＝﹣2sin （436ππ+）＝2，（Ⅱ）因为()2sin(2)6f x x π=-+．所以()f x 的最小正周期是π．由正弦函数的性质得3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以，()f x 的单调递增区间是2[,]63k k k ππ+π+π∈Z ，．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．20．已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为21n n +. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()12n an n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)21n a n =-；(2)()143149n n n T ++-⋅=. 【解析】【详解】（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，令1,n =得12113a a =，所以123a a =. 令2,n =得12231125a a a a +=，所以2315a a =. 解得1a 1,d 2==，所以2 1.n a n =-（Ⅱ）由（Ⅰ）知21224,n n n b n n -=⋅=⋅所以121424......4,n n T n =⋅+⋅++⋅ 所以23141424......(1)44,n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅两式相减，得121344......44n n n T n +-=+++-⋅114(14)13444,1433n n n n n ++--=-⋅=⨯-- 所以113144(31)44.999n n n n n T ++-+-⋅=⨯+= 【考点】1.等差数列的通项公式；2.数列的求和、“错位相减法”.21．（2018年新课标I 卷文）已知函数()e 1xf x a lnx =--．（1）设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间；（2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥．【答案】(1) a =212e ；f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2)证明见解析. 【解析】分析：(1)先确定函数的定义域，对函数求导，利用f ′（2）=0，求得a =212e ，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；(2)结合指数函数的值域，可以确定当a ≥1e 时，f （x ）≥e ln 1exx --，之后构造新函数g （x ）=e ln 1exx --，利用导数研究函数的单调性，从而求得g （x ）≥g （1）=0，利用不等式的传递性，证得结果.详解：（1）f （x ）的定义域为()0+∞，，f ′（x ）=a e x –1x ．由题设知，f ′（2）=0，所以a =212e ．从而f （x ）=21e ln 12e x x --，f ′（x ）=211e 2e x x-．当0<x <2时，f ′（x ）<0；当x >2时，f ′（x ）>0．所以f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a ≥1e 时，f （x ）≥e ln 1exx --．设g （x ）=e ln 1exx --，则()e 1'e x g x x =-．当0<x <1时，g′（x ）<0；当x >1时，g′（x ）>0．所以x =1是g （x ）的最小值点．故当x >0时，g （x ）≥g （1）=0．因此，当1a e≥时，()0f x ≥．点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要保证函数的生存权，先确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果.22．证明：2()(0)f x ax bx c a =++>，在,2b a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是减函数，在,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是增函数．【答案】证明见解析【解析】设1x ，2,2x b a ⎛⎫-+∞ ⎝∈⎪⎭且12x x <，求出12())0(f x f x -<，从而判断出函数的单调性．同理可证函数在,2b a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上的单调性；【详解】解：()f x 在,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，设1x ，2,2x b a ⎛⎫-+∞ ⎝∈⎪⎭且12x x <，则221212121212()()()()()()b f x f x a x x b x x a x x x x a-=-+-=-++， 1x Q ，2,2x b a ⎛⎫-+∞ ⎝∈⎪⎭， 12b x x a∴-<+<+∞ 120b x x a∴++>，而120x x -<，0a >，12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <， ∴二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>在区间,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是增函数． ()f x 在,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是减函数，设1x ，2,2x b a ⎛⎫-∞∈- ⎪⎝⎭且12x x <，则221212121212()()()()()()b f x f x a x x b x x a x x x x a-=-+-=-++， 1x Q ，2,2x b a ⎛⎫-∞∈- ⎪⎝⎭， 12b x x a∴-∞<+<- 120b x x a∴++<，而120x x -<，0a >，12()()0f x f x ∴->，即12()()f x f x >， ∴二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>在区间,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是减函数．【点睛】本题考察了二次函数的单调性，利用定义研究函数的单调性，属于基础题.。