数学问题情境创设的案例分析

三、问题情境教学的基本模式
四、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题情境教学的教学宗旨
教学宗旨：培养学生创新意识与实践 能力
五、问题情境教学的模式核心
模式核心：把“质疑提问”，培养学生的 数学问题意识，提高学生提出数学问题的 能力作为数学教与学活动的起点和归 宿．希望“把没有问题的学生教成有问题” 的学生．
六、问题情境教学模式的内在联系
6、创设已有知识的问题序列，引导学生自己获得新 知识的生长点 案例6:在“曲线与方程”的教学中，对“曲线的方程” 和 “方程的曲线”概念的引入，可以利用函数图象设 计如 下问题序列：
① ②
x y
y x
③
④
x2 y 2 1
x 1 y2
① 下列各图中哪些能作为图象？(无解析式) ② 如何修改可作为函数图象？ ③ 再添上图下的解析式，并问：图与式相一致吗？请改图 形(或改关系式)使两者相吻合。 ④ 既然图像与解析式存在着这种对应关系，怎样反映这种 关系呢？
讨论：请同学们自己构思一个关于创设直观 图形情境，帮助学生深刻理解数学概念的案 例与大家交流？
8、编拟读书提纲，引导学生阅读自学
案例8:在《立体几何》“平面的基本性质”一节，可 拟 定以下阅读提纲，让学生阅读自学： 1.三个公理的主要作用是什么？ 2.公理中“有且只有”说明了事物的什么性？ 3.公理3的推论1证明分几步？ 4.公理3的推论2及推论3你会证明吗？ 5.平面几何中的公理、定理等，在空间图形中是否 仍然成立？你能试举一例吗？
案例分析：
通过这个有趣的问题前进，让学生观察这两个数列 的特点引出等比数列的定义，学生兴趣十分浓厚， 很快就进入了主动学习的状态。
讨论：请同学们自己构思一个关于创设趣味 问题情境，引导学生产生学习兴趣的案例与 大家交流？
3、创设开放性问题情境，引导学生积极思考 案例3:直线y=3x+m与抛物线y= x 相交于A、B 两 点， ，求直线AB的方程。 你能在横线上补充一个恰当的条件，使直线方程 得以确定吗？ 此题一出，学生思维异常活跃，补充的条件也形 形色色 10 例如：① ‫׀‬AB‫=׀‬ ② OA⊥OB ③线段AB被y轴 平分 ④ 线段AB的中点到y轴的距离最短
讨论：同学们你认为那种方案要好一些 为什么？
案例分析：
对比发现：方案1出示了一个能够激发学生兴趣的故事，并 由多项式相乘得到(a+4)(a-4)=a2 16 ,似乎很自然，但学 生 必须透过文字的叙述获得一个数学问题及其必要的图形， 无 形中分散了学生的注意力，且在实际的教学中多数学生没 有 走上教师预设的轨道而是利用“周长相同的四边形中正方 形 面积最大”来解答。 现实问题作为课堂教学情境时，它对教学既有干扰性 又 有驱动性，如何处理二者之间的矛盾，值得深思。
2 y x F ( x0 , y0 ) 我们应该由 入手推导出函数图象上的动点到某定点和某
定直线的距离相等，即可导出形如动点P(x,y)到定点 的距离 ( x x0 )2 ( y y0 )2 等于动点P(x,y)到定直线L的距离。 大家试试看！学生纷纷动笔变形、拼凑、探究：
x2 y 2 y y 2 1 1 2 2 2 x y yy y 2 2 1 2 1 2 2 x (y ) (y ) 4 4 1 2 1 2 ( x 0) ( y ) y 4 4 1 它表示平面上的动点P(x,y)到定点F(0, )的距离正好等于它到 4 1 直线L：y=- 的距离，可见完全符合现在的定义 4
十、问题情境教学的教学方法 1、创设应用问题情境，引导学生自己发现数学命题 am a 案例1：已知a,b,m∈ R ,且a<b,求证: bm b 创设问题情境：有白糖a克，放在水中得b克糖水， 问此糖水的质量分数是多少？学生会异口同声回答： a/b;又问：白糖增加m克，此时糖水的质量分数又是 多少？学生也可以很快得出结论：a+m/b+m.这时老 师在继续追问：“糖水是变甜了还是变淡了？”学生 会 毫不犹豫回答：“变甜了”，于是就可得到这个不等 式
讨论：请同学们自己构思一个关于编拟读书 提纲，引导学生阅读自学的案例与大家交 流？
练习：
课题：平方差公式的概念教学
方案1：教师出示问题：一天，阿凡提牵扯毛驴走在 街上遇到了向他求助的李老汉。原来李老汉租种了巴 依老爷的一块变长为a的正方形土地，今年，巴依老 爷对李老汉说：“我把这块地一边增加4米，另一边 减 少4米，继续租给你，租金一样，你也没吃亏，你看 如何？”李老汉听后觉的好像没吃亏，但也不能肯定 于是就来找阿凡提帮忙了。聪明的同学，你认为阿凡 提会如何回答李老汉呢？
①
②
③
(指图一)当直线和圆有两个公共点时，叫做 直线与圆相交； (指图二)当直线和圆有唯一公共点时，叫做 直线与圆相切； (指图三)当直线和圆没有公共点时，叫做直 线与圆相离；
案例分析：
评论：这样的讲解，对直线和圆的位置关系 做了十分贴切、形象的描述和诠释。不仅 提高了学生的学习兴趣，而且加深了对直 线与圆的位置关系的认识，为今后的学习 打下一个良好的基础。
2、创设趣味问题情境，引导学生产生学习兴趣
案例2:在“等比数列”一节的教学时，可创设这样的 问 题情境引入等比数列的概念：“阿基里斯”(希腊神 话 中的善炮英雄)和乌龟赛跑，乌龟在前方1里处，阿 基里斯的速度是乌龟的10倍，当它追到1里处时， 乌龟前进了1/10里，当它追到1/10里，乌龟前进了 1/100里，当它追到1/100里，乌龟又前进了1/1000 里………. ① 分别写出相同时间段里阿基里斯和乌龟各自所行 的路程； ②阿基里斯能否追上乌龟？
二、问题的定义
问题是一种特殊的情境，是个体面临一个不易达到 的目标或困难课题时的情境 数学问题，特指用数学语言表述的问题．它由条件、 运算和目标等信息组成．数学问题也可分为3类： 模仿性数学问题（或常规性数学问题）；发展性、 探索性数学问题；创造性数学问题．我们要特别关 注学生提出的发展性、探索性数学问题，因为这类 问题发展了学生的已有知识，条件、结论未必清楚， 解答也未必唯一，更利于学生问题意识的建立、创 新精神的培养．
4、创设疑惑陷阱情境，引导学生主动参与讨论
x2 y2 案例4：双曲线25 144 1 上一点P到右焦点的距离是5，
则 下面结论正确的是： A：P到左焦点的距离是8 B：P到左焦点的距离是15 C：P到左焦点的距离不确定 C：这样的点不存在
错误解法1：设双曲线的左、右焦点为F1、F2， 由双曲线的定义得 PF1 PF2 10 PF1 5 PF2 PF1 10 15, 故正确答案为B 错误解法2： 设P x0 , y0 为双曲线左支上一点，则 PF2 ex0 a, 由a 5, PF2 5，得ex0 10， PF1 ex0 a 15， 故正确答案为B
引导学生反思辨析：若 PF2 5, PF1 15, 则 PF1 PF2 20 而 F1F2 2c 26，即有 PF1 PF2 F1F2 , 但这与三角形两边之和大于第三边矛盾 这样的点P是不存在的。因此正确答案应为D
案例分析：
通过上述引导，让学生比较反思，找出了产生错误的 原因是忽略了双曲线定义中的限制条件，所以除了考 虑条件 PF1 PF2 2a, 还要注意条件a c和
案例分析：
通过创设新异悬念情境，使学生在新知与旧知之间产 生了认知冲突，教师适时的利用学生的认知矛盾来引 导学生进行自主探究，得出了新知与旧知之间的内在 联系。使得学生在解决问题的过程中，独立思维和自 主探究能力都得到了发展。
讨论：请同学们自己构思一个关于创设新异 悬念情境，吸引学生自主探究的案例与大家 交流？
案例分析：
学生通过这样一个应用问题情境，轻松愉快地证了这 个不等式，并了解了这个不等式的实际背景。通过生 活中的问题，给学生创设了一个观察、联想、抽象、 概括、数学化的过程。在这样的问题情境下，在注意 给学生动手。动脑的空间和时间，学生一定会乐学、 高效。
讨论：请同学们自己构思一个关于创设应用问 题，引导学生自己发现数学命题的案例与大家 交流？
7、创设直观图形情境，帮助学生深刻理解数学概念
案例7：直线和圆的位置关系 同学们去大海畅游时，在清晨我们可以看 到一种令人心旷神怡的景象，火红的太阳 好像从大海中冉冉升起，随着时间的变化， 太阳从海中(图一)升到海面上(图二)，又从 海面上升到海的上方(图三)。如果我们把太 阳看做圆，海面的一端看成一条线，我们 就不难看出直线和圆的不同位置关系
案例5:“在抛物线及其标准方程”一节的教学中，引出抛物 线的定义“平面上与一个定点F和一条定直线的距离相 等的点的轨迹叫抛物线”之后，设置这样的问题情境： y x2 初中已学过的一元二次函数 的图像就是抛物线， 而今天我们定义的抛物线与初中已学的抛物线从字面上 看不一致，初中的说法是不是正确的呢？ 一石激起千层浪，学生们徘徊，迷茫。此问题问的新 奇 问题的结论应该是肯定的，但课本中又没有解释，这自然 就引起了学生探究其中奥秘的欲望，此时此刻，教师适 时做出了引导：
2
案例分析：
通过这个开放性的问题情境，学生积极思维，畅所 欲言，涉及的知识面也非常宽，有韦达定理、弦长 公式、中点坐标公式、两直线互相垂直的充要条件 最值问题、数形结合思想等等，学生真正进入了自 主学习的“状态”。
讨论：请同学们自己构思一个关于创设开放 性问题情境，引导学生积极思考的案例与大 家交流？
案例分析：
通过创设已有知识的问题序列，学生对“曲线”与 “方程” 的关系已有了一些初步的认识，在此基础上指导学生 阅读课本，学生就能够理解曲线与方程的“纯粹性” 及 “完备性”的含义，也就理解了什么是“曲线的方程” 和 “方程的曲线”
讨论：请同学们自己构思一个关于创设已有 知识的问题序列，引导学生自己获得新知识 的生长点的案例与大家交流？