信号系统习题解答版-

第8章习题答案

8-2 列出图题8-2所示系统的差分方程，指出其阶次。

图 题8-2

解：

1201[][1][2][][1]y n b y n b y n a x n a x n ----=+- 二阶

8-3 列出图题8-3所示系统的差分方程，已知边界条件y [-1] = 0，分别求以下输入序列时的输出y [n ]，并绘出其图形（用逐次迭代方法求）。

（1）[][]x n n δ= （2）[][]x n u n = 图 题8-3

解：1

[][1][]3

y n y n x n --=

（1） 1[][]3n

y n u n ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

（2）311[](())[]223n y n u n =-

8-7 求解下列差分方程的完全解。

（1）[]2[1]2, [0]1y n y n n y +-=-= （2）[]5[1],y n y n n =--+ [1]0y -=

解：（1）方程齐次解为：h [](2)n

y n C =-，特解为：p 12[]y n D n D =+，代入原方程

121212142(1)2 2 , 39

D n D D n D n D D ++-+=-→==-

完全响应为：()14[]239n

y n C n =-+-，代入1]0[=y 得：9

13=C

()1314[]2939

n

y n n ∴=-+-

（2）方程齐次解为：h [](5)n

y n C =-，特解为：p 12[]y n D n D =+，代入原方程

0234

12121215

5(1)5 , 636D n D D n D n D D +=---+→==

完全响应为：()1

5

[]5636

n

y n C n =-++

，代入0]1[=-y 得：36

5-=C

()1

1[][565]36

n y n n +=

-++

8-12 用单边z 变换解下列差分方程。

（1）y [n ] + 0.1y [n -1] - 0.02y [n -2] = 10 u [n ]，y [-1] = 4，y [-2] = 6 （2）y [n ] - 0.9y [n -1] = 0.05 u [n ]，y [-1] = 1 （3）y [n ] + 2y [n -1] = (n -2) u [n ]，y [0] = 1 解： （2）差分方程两边同时进行z 变换：

1

1

211

()0.9[()[1]]0.05

1

(){10.9}0.050.9[1]

1

0.050.90.050.9()(1)(0.9)(0.9)

(1)(10.9)(10.9)()0.50.45

10.910.9

0.50.45[][]0.10.9

z

Y z z Y z y z z z Y z z y z z z z

Y z z z z z z z Y z A B z z z z z z z

y n z z -----+-=--=+--=+=+------=+=+----=+=---1Z 5[]0.45(0.9)[]

n u n u n +（3）由差分方程得：

2(0)3(0)2(1)2(1)22

y y y y --+-=-∴-==-

差分方程两边同时进行z 变换：

1

2

211

1222

2

()2[()(1)]21(1)

22(1)

()(1)(12)(1)(12)(12)

()33(1)2(1)(2)(1)

3949139(1)2(1)z z

Y z z Y z y z z z z z y Y z z z z z z Y z z z A B C z z z z z z z z z ----++-=----=---+-++-+==++-+-+--=++

-+-

3413[]((2))[]

999

n y n n u n =-+-

8-13 若描述某线性时不变系统的差分方程为：y [n ] - y [n - 1] - 2y [n - 2] = x [n ] + 2x [n - 2]，已知y [-1] = 2，y [-2] = -1/2，x [n ] = u [n ]。求系统的零输入响应和零状态响应。 解：差分方程两边同时进行Z 变换：

12221

2

2

1

21

12

12

()()[1]2[()[2][1]]()2()()[12](12)()[1]2[2]2[1]1214()()1212Y z z Y z y z Y z z y zy X z z X z Y z z z z X z y y z Y z z Y z X z z z z z -----------------+-+-=+--=++-+-+-++=+----

112

14(4)()(2)(1)12zi z z z Y z z z z z

---++==-+--

122212

2312()21

2121[]2(2)[](1)[]

122()()1

122()21223

211211

13[][2(2)(1)][]

22

zi n n zi zs zs n n

zs Y z A A z z z z z y n u n u n z z z

Y z X z z z z z z Y z B B B z z z z z z z y n u n ----=+=+-+-+=--++==⨯------=++=++-+--+-=+--

8-16 对于由差分方程y [n ] + y [n - 1] = x [n ]所表示的因果离散系统： （1）求系统函数H (z )及单位样值响应h [n ]，并说明系统的稳定性； （2）若系统起始状态为零，而且输入x [n ] = 10 u [n ]，求系统的响应y [n ]。 解：（1） 差分方程两边同时进行z 变换：

11

()()()()1()()11[](1)[]

n Y z z Y z X z Y z z

H z X z z z h n u n --+=∴===++=- 系统的收敛域不包括单位圆，所以不稳定。