近世代数学习系列一 学习方法
简论近世代数课程的教学
简论近世代数课程的教学
近世代数课程是一门基础学科，在高中数学课程中占有重要的地位，其教学内容涉及到许多角度的数学思想和解决问题的能力。
在这门课程中，学生要掌握数值代数、函数、概率与统计等方面的基本概念和算法，加深对数学知识体系的了解。
为了有效引导学生深入学习近世代数，使其能够更好地掌握相关知识，在教学中应注重强化抽象思维能力的培养，能够培养学生的解题能力和创新精神，达到从数学抽象思想中进行解题的能力，面对解题过程中发生的任何问题，一个有效的解题机制也是非常重要的。
让学生熟悉近世代数课程中函数、数轴动态图、指数和对数函数、微分与积分等内容，也是其重要教学技巧之一。
这里强调两个重要技巧：一是增强学生自主学习的能力，让学生通过自主学习来解决实际问题；二是提高学生的主动学习能力，引导学生在理解数学内容的基础上进行自主的研究，积极地探索数学的内涵，深化其理解和回答更复杂的问题。
总之，在教授近世代数课程时，应注重深入分析实际问题，引导学生学以致用，注重提高学生解决问题的能力，从而培养学生良好的科学素养和思维性能力，能够解决实际问题。
提升学生数学学习兴趣和综合能力，为未来学习科学技术提供坚实的基础。
近世代数学习系列一 学习方法
近世代数学习方法“近世代数”是一门比较抽象的学科，初学者往往感到虚无飘渺，困难重重。
为此，下面介绍五种常用的学习方法。
一、通过例子来加深对基本理论的理解针对“近世代数”课程的概念抽象、难于理解的特点，我们认为理解概念的一种有效方法是多举已学过的典型例子。
例如，一元多项式环和整数环是主理想整环的例子，关于主理想整环的许多结论都是通过推广关于多项式和整数的结论得到；一个无零因子交换环的商域就是模仿整数环和有理数环间的关系构造的；整环里的因子分解理论就是分解质因数和多项式的因式分解理论的推广。
当我们学习“近世代数”时，就仅仅背下来一些命题、性质和定理，并不意味着真正地理解。
要想真正理解，需要清楚这些命题、性质和定理的前提条件为什么是必要的？而达到这个目的的最有效的方法就是构造反例。
通常的做法是：去掉一个前提条件后，构造一个结论不成立的例子，从而表明所去掉的前提条件是必要的。
例如，关于素理想和极大理想的关系有结论：设R是含1交换环，则R的极大理想一定是素理想。
那么这个结论的条件“含1”是必要的吗？这个问题的答案可从下面的例子容易得到。
例：设R是所有偶数构成的环，Z表示整数环，则4Z是R的极大理想，但4Z不是R的素理想。
二、通过变换角度来寻求问题的解法通过变换角度来寻求问题的解法是一种很普遍的解题方法，通常是将已知或未知较复杂的问题变换为等价的较简单的问题，或者是将新问题变换为已经解决的问题，或者是将未知与已知关系较少的问题变为已知与未知关系较多的问题等等。
下面举例说明这种方法：例：设是从G1到G2的满同态，N2是G2的不变子群，N1= -1(N2)，证明G1/N1同构于G2/N2。
对于这个问题，我们不直接证明G1/N1同构于G2/N2，而是将问题进行变换，先构造从G1到G2/N2的满同态，再证明N1是的核，然后根据同态基本定理知结论正确。
三、通过“同构”的观点将知识点（问题）归类“同构”的概念非常重要，因为凡是具有同构性质的结构在本质上可看成是同一结构。
近世代数学习系列-b1 集合论笔记
近世代数预备知识集合论集合集合论之所以是数学的基础，不仅因为它提供了定义各种概念的框架，更因为它完全规定了数学所要讨论的问题的范围——一个“命题”，从本质上来说，就是关于某个元是否属于某个集合的问题。
也就是说，从本质上来讲数学的语言里只有一个谓语“属于”，用来描述一个“对象”和一个“集合”的关系。
在严密贯彻集合论的逻辑体系里，所谓的“对象”同样也是一个集合。
但是通常可以把对象理解成“一个意义明确的东西或一些这种东西组成的集合”。
比如说一个自然数 3 ，或者一个字母x，或者两者的集合 { 3 , x }，都算做一个对象。
（在严密贯彻集合论的逻辑体系里，我们比如说是这么定义自然数的：上帝说，要有空集合。
于是就有了空集合（空集公理）。
我们把空集合定义为 0。
把集合{ 0 } 定义为 1。
把 { 0, 1 } 定义为 2。
把 { 0, 1, 2 } 定义为 3。
依此类推。
上帝看着这是好的，于是把上面定义好的这些东西全体做成了一个集合（无限公理），取名为自然数。
）不管怎么样，我们有了谓语，只要再规定构造名词（集合）的方法，再加上各种连接词（逻辑），就大功告成了。
只是为了避免由“不属于自身的所有集合组成的集合”（关于其是否属于自身）所造成的著名悖论，我们需要小心翼翼地规定什么样的东西才能算做集合。
除了这一点，我们把集合理解成为“一些对象组成的集体”的直观，通常是没有问题的。
不打算描述这里面的各种逻辑和技术细节，只列出一些常用的定义集合的方法，顺便规定一些记号。
集合的定义方法。
∙{ a, b, c } 列举。
a、b、c组成的集合。
∙{ x∈A| 命题 } 集合A中满足命题的所有元组成的子集。
注意这里有x∈A（x属于A）的限制，这样就可以避免定义出“不属于自身的所有集合组成的集合”之类的东西。
∙℘ ( A ) 幂集合。
集合A的所有子集组成的集合。
∙A∐B非交和。
把集合A的元和集合B的元合在一起看成是一个集合。
A的元与B的元总看成是不同的。
《近世代数》教案1
《近世代数》教案1《近世代数》教案1教案一：近世代数概述一、教学目标1.了解近世代数的起源和发展历程；2.理解近世代数的基本概念和基本运算；3.掌握近世代数的基本定理和性质；4.培养学生的逻辑推理和证明能力。
二、教学内容1.近世代数的起源和发展历程；2.近世代数的基本概念和基本运算；3.近世代数的基本定理和性质。
三、教学重点和难点1.理解近世代数的基本概念；2.掌握近世代数的基本运算；3.理解和运用近世代数的基本定理和性质。
四、教学方法1.前置知识导入：利用历史故事或问题引入近世代数的起源；2.概念解释与讨论：通过引导学生，共同探讨近世代数的基本概念；3.理解和运用：通过实际问题，让学生理解和运用近世代数的基本定理和性质；4.案例分析和练习：通过案例分析和练习，巩固学生对近世代数的理解和应用能力；5.归纳总结：通过归纳总结，整理和进一步理解所学的知识。
五、教学过程1.前置知识导入（10分钟）-引入：《近世代数》是一门重要的数学学科，它是现代数学的基石之一、那么，你们以为近世代数是从什么时候开始出现的呢？我们来听听关于近世代数起源的故事吧。
-故事：公元16世纪，意大利的一位数学家卡尔达诺被人请到一个庄园解决一个心理障碍的问题，他最终发现了它的根源与代数方程式求解有关。
这个故事揭示了近世代数起源的一部分，下面我们一起来探索更多关于近世代数的知识。
2.概念解释与讨论（20分钟）-定义：近世代数是一门研究代数结构及其性质的学科，它主要研究了代数系统的运算规则和代数方程式的求解方法。
-基本概念：群、环、域是近世代数中的基本概念。
群是指一个非空集合和一个在这个集合上的运算，满足封闭性、结合律、单位元和逆元的性质；环是指一个非空集合和两个在这个集合上的运算，满足加法封闭性、结合律、单位元和可逆性，以及乘法封闭性和结合律；域是指一个非空集合和两个在这个集合上的运算，满足加法封闭性、结合律、单位元和可逆性，以及乘法封闭性、结合律、单位元和可逆性。
近世代数教学大纲
混凝土加气块标准
1、砌块砌筑时，应上下错缝，搭接长度不宜小于砌块长度的1/3。
2、砌块内外墙墙体应同时咬槎砌筑，临时间断时可留成斜槎，不得留“马牙槎”。
灰缝应横平竖直，水平缝砂浆饱满度不应小于90%。
垂直缝砂浆饱满度不应小于80%。
如砌块表面太干，砌筑前可适量浇水。
3、地震区砌块应采用专用砂浆砌筑，其水平缝和垂直缝的厚度均不宜大于15mm。
非地震区如采用普通砂浆砌筑，应采取有效措施，使砌块之间粘结良好，灰缝饱满。
当采用精确砌块和专用砂浆薄层砌筑方法时，其灰缝不宜大于3mm。
4、后砌填充砌块墙，当砌筑到梁(板)底面位置时，应留出缝隙，并应等待7d后，方可对该缝隙做柔性处理。
5、切锯砌块应采用专用工具，不得用斧子或瓦刀任意砍劈。
洞口两侧，应选用规格整齐的砌块砌筑。
6、砌筑外墙时，不得在墙上留脚手眼，可采用里脚手或双排外脚手。
7、砌体结构尺寸和位置允许偏差。
近世代数知识点
近世代数知识点近世代数，又称抽象代数，是数学的一个重要分支，它为许多其他数学领域提供了基础和工具。
下面让我们一起来了解一些近世代数的关键知识点。
首先是群的概念。
群是近世代数中最基本的结构之一。
简单来说，一个群就是一个集合 G 以及定义在这个集合上的一种运算“”，满足一些特定的条件。
比如，对于集合中的任意两个元素 a 和 b，运算的结果ab 仍然属于这个集合；存在一个单位元 e，使得对于任意元素 a，都有ae ＝ ea ＝ a；对于每个元素 a，都存在一个逆元 a^（－1)，使得 aa^（－1) ＝ a^（－1)a ＝ e。
群的例子在生活中也有不少，比如整数集合在加法运算下构成一个群。
环也是近世代数中的重要概念。
一个环 R 是一个集合，上面定义了两种运算：加法“＋”和乘法“·”。
加法满足交换律、结合律，有零元，每个元素都有相反数；乘法满足结合律；乘法对加法满足分配律。
常见的环有整数环、多项式环等。
接下来是域。
域是一种特殊的环，它要求非零元素对于乘法运算构成一个群。
比如有理数域、实数域和复数域。
同态和同构是近世代数中用来比较不同代数结构的重要工具。
同态是指两个代数结构之间存在一种保持运算的映射。
如果这个映射还是一一对应的，那就是同构。
同构的两个代数结构在本质上可以看作是相同的。
在近世代数中，子群、子环和理想也具有重要地位。
子群是群的一个子集，在原来的运算下也构成群；子环是环的一个子集，在原来的两种运算下也构成环；理想则是环中的一个特殊子集，对于环中的乘法和加法有特定的性质。
再来说说商群和商环。
以商群为例，给定一个群 G 和它的一个正规子群N，就可以构造出商群G/N。
商群中的元素是由N 的陪集构成的。
近世代数中的重要定理也不少。
比如拉格朗日定理，它对于理解群的结构和性质非常有帮助。
该定理指出，子群的阶整除群的阶。
最后，我们谈谈近世代数的应用。
在密码学中，群和环的理论被广泛用于加密和解密算法的设计。
(完整版)近世代数讲义(电子教案)(1)
《近世代数》课程教案第一章基本概念教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。
集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律;掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。
理解满射,单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n的剩余类。
教学重点:映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义;代数运算的应用，对代数运算的理解;代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果;等价关系,模n的剩余类。
教学难点：元素与集合的关系（属于）,集合与集合的关系(包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别;结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与⊕的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义;同态映射在比较两个集合时的结果；模n的剩余类.教学措施：网络远程。
教学时数:8学时.教学过程：§1 集合定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合(简称集)。
集合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。
定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为∅，且∅是任一集合的子集。
（1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。
（2）集合表示：习惯上用大写拉丁字母A ，B ,C …表示集合，习惯上用小写拉丁字母a ，b ，c …表示集合中的元素. 若a 是集合A 中的元素，则记为A a A a ∉∈否则记为,. 表示集合通常有三种方法： 1、枚举法（列举法）：例:A =｛1，2，3，4｝，B =｛1,2，3,…，100｝. 2、描述法：{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。
近世代数教学大纲近世代数课程是高等学校数学专业的必修课程
近世代数教学大纲近世代数课程是高等学校数学专业的必修课程《近世代数》教学大纲《近世代数》课程是高等学校数学专业的必修课程，是大学数学的重要基础课程之一。
它是现代数学的一个重要分支，其主要研究对象不是代数机构中的元素特性，而是各种代数结构本身和不同代数结构之间的相互联系。
《近世代数》已成为进入现代数学的阶梯和基础，不仅在知识方面，而且在思想方法上对于学习和研究近代数学都起着明显而有力的作用，它的理论结果也已经应用到诸多相关的科学领域，如计算机科学、理论物理、理论化学等。
设置本课程的目的：向学生介绍近世代数的最基本的概念、理论和方法，介绍现代数学的基础知识，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
从而满足学生对代数学进一步学习和研究的要求，满足其他数学领域及数学应用对代数的基本要求。
学习本课程的要求：学生应了解近世代数的基本的概念和理论，掌握代数学研究代数结构的一般方法，注意培养抽象思维能力和逻辑推理能力，能为以后的代数学习或其他数学领域的学习打下良好的代数学基础。
先修课程要求：集合论初步，线性代数，高等代数本课程学时：54学时选用教材：刘绍学、章璞编著，近世代数导引，高等教育出版社（2011）教学手段：课堂讲授为主，讨论、课外辅导为辅考核方法：考试注：1、注意章节之间的相互联系，每章内容在全教材中所处的地位及作用。
2、在概念的讲授中，应注意由特殊到一般，由具体到抽象。
教学的初始阶段，宜慢不宜快。
3、不拘泥于教材，同时编写课程讲义。
4、时刻把握学生的接受能力。
5、教材中打“*”的内容根据实际情况选择讲解。
主要教学内容与重难点：第一章集合与运算一、学习目的通过本章的学习，能够熟练掌握近世代数中常见的一些基本概念和符号，初步了解近世代数课程研究的对象和一般的研究方法。
二、课程内容§1．1 集合§1．2 运算映射的定义，单射，满射，双射（一一映射）；变换的定义，单射变换，满射变换，双射变换。
代数学习的有用方法
代数学习的有用方法代数学习的有用方法在学习、工作、生活中，大家都会有学习的需求，不过，学习也是讲究方法的，那么，都有哪些实用的学习方法呢？以下是小编为大家收集的代数学习的有用方法，欢迎阅读与收藏。
一、转化法转化法就是把复杂的问题转化为比较简单的问题，这是数学中常用的一种方法。
在整式的乘除这一章中就广泛地应用了这一方法。
如教学(a+b+c)2，这是求三项式的完全平方，要启发学生把三项式变成符合公式的形式。
先把(a+b)看成一项，这样就变形为[(a+b)+c]2。
使一个三项式的完全平方转化为类似二项式的完全平方，然后再依据完全平方公式去计算。
在教学中，因为学生比较多地接触或运用了这种思维方法，教师要试图放手让学生去探索。
二、比较法比较法是加强知识间的联系与区别的有效方法，为避免知识间混淆，对有可比性的概念、公式、法则、性质、定理的掌握都很有用。
如正负数的比较、方程组的解与不等式组的解集表示方法的比较;不等式的基本性质与等式的基本性质比较;解方程与解不等式的比较;同底数幂的乘法与除法比较;单项式与单项式的乘法同除法计算法则的比较;科学计数法中大数与小数的比较等。
通过比较，能使知识的掌握更具条理。
三、图示法图示法在小学数学中用途非常广泛，尤其是分数应用题，用线段图能准确地判断各种量之间的关系。
在初中代数学习中，结合图来学习会使学生增强直观的印象。
如多项式乘多项式(a+b)(m+n)可用图来表示：大长方形的长是(a+b)，宽是(m+n)，长×宽就是(a+b)(m+n)。
经过进一步划分，这个长方形的面积是由am+an+bm+bn四部分组成。
从而揭示了多项式乘多项式的计算法则。
还有正负数在数轴上表示，不等式组的解集用数轴来表示，单项式与多项式相乘的计算方法都可以用图示法来说明。
学习代数的方法还有很多种，转化法、比较法和图示法是最基本的方法。
只要正确的引导，学生还会发现很多可行的办法，从而使教师从教知识逐步转向教方法，使学生终生受益。
近世代数课堂讲义整理1
近 世 代 数 课 堂 讲 义 整 理 V 1.2
但是 A ∪ B 不一定。 【定义】由包含 A 的所有子半群的交集 Q 称作由 A 生成的子半群，记作 ( A) 。
∩ (A) =
P 即 ( A) 为所有包含 A 的子半群的交。
P⊇A P为S的子半群
理想：
设 (S, ) 为半群， A ⊆ S, A ≠ ∅ ，若 SA ⊆ A ，则 A 为 S 的左理想；若 AS ⊆ A ，则 A 为 S
4.循环群的子群 ①循环群的子群是循环群； ②子群的个数及生成元：
子群的阶能整除群的阶，所以子群的个数为 n 的因子数。 设 G 是循环群，| G |= n ，它的子群为 H ，| H |= (am ) ，则 m | n 。
③若 n 有因子 q ，则 G 必有 q 阶子群；（这个结论对有限交换群（有限阿贝尔群）成立，对
同态（映射）。
【定理】 设 (S, ) 为半群， (T ,∗) 为代数系，若存在满射 ϕ : S → T ，且 ∀x, y ∈ S ，有 ϕ(x y) = ϕ(x) ∗ϕ( y) ，则 (T ,∗) 为半群。 若 (S, ) 为幺半群，条件同上，可以推出 (T ,∗) 为幺半群。
第 3 页共 12 页
3.生成元
第 5 页共 12 页近源自世 代 数 课 堂 讲 义 整 理 V 1.2
⑤ G = (a) ，| G |=| a |= n ，G = (am ) ⇒ m 、n 互质，这个群的生成元有φ(n) 个，其中φ(n) 为欧拉函数，为小于或等于 n 且与 n 互素的正整数个数； ⑥ G = (a) ，| G |=| a |= ∞ ，生成元只有 a 、 a−1 。
ϕ =ϕ γ
其中 γ 为 M 到 M Eϕ 的自然同态； ④ 如果ϕ 是满同态，则 M Eϕ 与 M ' 同构。
近世代数教学大纲
近世代数教学大纲一、引言近世代数是数学中一个重要的分支，涉及到代数方程、群论、域论、线性代数等内容。
近世代数的研究对于推动数学的发展以及应用于其他学科具有重要的意义。
近年来，随着科学技术的快速发展，近世代数的应用也越来越广泛。
为了培养学生对近世代数的深入理解，本文将从教学的目标、基本内容、教学方法和评估方式等方面，制定一份近世代数教学大纲。
二、教学目标通过近世代数的学习和教学，学生应具备以下知识和能力：1. 掌握近世代数的基本概念、基本理论和基本技巧；2. 理解和运用近世代数的基本原理和定理；3. 能够应用近世代数的知识解决实际问题；4. 培养学生的逻辑思维能力和数学建模能力。
三、基本内容1.1 代数方程的定义和基本概念 1.2 一元高次方程的解法1.3 多项式方程的解法2. 群论2.1 群的定义和基本性质2.2 群的子群和正规子群2.3 群的同态、同构和陪集2.4 群的分类和应用3. 域论3.1 域的定义和基本性质3.2 域的子域和扩域3.3 域的代数闭包和超越数3.4 域的分类和应用4.1 线性方程组的解法4.2 矩阵的基本运算和性质4.3 矩阵的特征值和特征向量4.4 线性变换和线性空间的基本概念四、教学方法1. 讲授法：通过课堂讲授，系统地介绍近世代数的基本理论和技巧，帮助学生理解和掌握相关知识。
2. 实例法：通过举例分析，引导学生运用近世代数的知识解决实际问题，培养学生的应用能力。
3. 探究法：组织学生进行小组讨论、探究性实验等，激发学生的求知欲和创造力，培养学生的问题解决能力和团队合作精神。
4. 演示法：运用多媒体教学手段，展示近世代数的相关应用场景，增加学生的学习兴趣和动力。
五、评估方式1. 课堂小测：定期进行课堂小测，检测学生对知识点的掌握情况。
2. 作业评估：批改学生的作业，评估学生的应用能力和逻辑思维能力。
3. 期中期末考试：进行期中和期末考试，全面检测学生对近世代数的理解和应用能力。
大学课程辅导近世代数学教案
课时：2课时教学目标：1. 让学生掌握近世代数学的基本概念和基本定理。
2. 培养学生运用近世代数学知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
教学内容：1. 近世代数学的基本概念：群、环、域、向量空间等。
2. 近世代数学的基本定理：拉格朗日定理、欧拉定理、同构定理等。
3. 应用近世代数学知识解决实际问题。
教学过程：第一课时：一、导入1. 回顾上一节课的内容，让学生回忆近世代数学的基本概念。
2. 提出问题：如何运用近世代数学知识解决实际问题？二、讲授新课1. 介绍近世代数学的基本概念：群、环、域、向量空间等。
2. 讲解近世代数学的基本定理：拉格朗日定理、欧拉定理、同构定理等。
3. 结合实例，讲解如何运用近世代数学知识解决实际问题。
三、课堂练习1. 给出几个与近世代数学相关的问题，让学生独立完成。
2. 对学生的解答进行点评和指导。
四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，让学生回顾近世代数学的基本概念和基本定理。
2. 强调运用近世代数学知识解决实际问题的方法。
第二课时：一、复习1. 复习上一节课所学内容，检查学生对近世代数学基本概念和基本定理的掌握程度。
2. 提出问题：如何运用近世代数学知识解决实际问题？二、讲授新课1. 讲解近世代数学在密码学中的应用。
2. 讲解近世代数学在计算机科学中的应用。
三、课堂练习1. 给出几个与近世代数学应用相关的问题，让学生独立完成。
2. 对学生的解答进行点评和指导。
四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，让学生回顾近世代数学在密码学和计算机科学中的应用。
2. 强调近世代数学在实际问题中的应用价值。
教学评价：1. 通过课堂练习和课后作业，了解学生对近世代数学知识的掌握程度。
2. 观察学生在实际问题中的应用能力，评估学生的综合能力。
3. 鼓励学生积极参与课堂讨论，提高学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
近世代数知识点
近世代数知识点近世代数，是数学中的一门重要分支，涉及了许多重要的知识点和概念。
在这篇文章中，我们将探讨一些近世代数中的关键概念和应用。
一、群论群论是近世代数中的基础概念，它描述了一种抽象的代数结构。
一个群由一个集合和一个二元运算组成，同时满足封闭性、结合律、单位元和逆元这四个性质。
群论的研究具有广泛的应用，如密码学、物理学中的对称性研究等。
二、环论环论是研究带有两个二元运算的代数结构，具有更多的性质和运算规则。
一个环由一个集合和两个二元运算组成，同时满足封闭性、结合律、分配律等性质。
环论的应用包括数论、代数几何等领域。
三、域论域论是研究带有四个基本运算（加法、减法、乘法、除法）的代数结构。
域是一种满足封闭性、结合律、单位元和逆元的代数结构。
域论在代数几何、密码学等领域有广泛应用。
四、线性代数线性代数是研究向量空间及其线性变换的代数学分支。
向量空间是一个满足特定性质的集合，其中定义了向量的加法和数量乘法运算。
线性代数的应用广泛，如机器学习、图像处理等。
五、域扩张域扩张是域论的重要内容之一，研究一个域如何通过添加元素扩张成一个更大的域。
域扩张的研究对于解决方程、证明数论中的一些性质等具有重要意义。
六、代数拓扑代数拓扑是代数学和拓扑学的交叉地带，研究了如何通过代数的方法来分析拓扑空间。
代数拓扑的研究在拓扑数据分析、几何学、非线性动力系统等领域有重要应用。
七、泛函分析泛函分析是研究函数空间和函数的特性以及泛函的理论和应用的数学分支。
泛函分析的应用广泛，如量子力学、信号处理等。
近世代数作为一门重要的数学学科，对于数学的发展和应用起到了重要的推动作用。
它通过抽象的方式研究代数结构，提供了一种新的思维方式和工具，为数学家们解决实际问题提供了新的途径。
同时，近世代数的理论和方法在信息科学、工程学、物理学等领域也得到了广泛的应用。
总之，近世代数是一门充满魅力的学科，通过对群论、环论、域论、线性代数、域扩张、代数拓扑和泛函分析等知识点的学习与探索，我们能够更好地理解数学的本质和思想，从而为更广泛的数学研究和应用打下坚实的基础。
近世代数基础知识点总结
近世代数基础知识点总结近世代数是现代数学中的一个重要分支，它研究的是代数结构和代数运算的一般性质。
近世代数的基础知识点包括群论、环论和域论，这些知识点在数学研究和应用中都有着广泛的应用。
一、群论群是近世代数中最基本的代数结构之一。
群由一个集合和一个二元运算组成，这个二元运算必须满足封闭性、结合律、单位元和逆元四个性质。
群论的基本概念包括子群、陪集、正规子群、循环群等，并且研究了群之间的同构和同态等映射关系。
群论的应用非常广泛，例如在密码学、物理学、化学等领域都有着重要的应用。
二、环论环是一种比群更一般化的代数结构。
环由一个集合和两个二元运算组成，这两个二元运算分别满足封闭性、结合律、交换律和分配律等性质。
环论的基本概念包括子环、理想、商环等，并且研究了环的同态和同构等映射关系。
环论在数论、代数几何、代数拓扑等领域有着广泛的应用。
三、域论域是一种比环更一般化的代数结构。
域由一个集合和两个二元运算组成，这两个二元运算满足封闭性、结合律、交换律和分配律等性质，并且其中一个二元运算有单位元和逆元。
域论的基本概念包括子域、域扩张、代数元和超越元等，并且研究了域之间的同态和同构等映射关系。
域论在数论、代数几何、代数数论等领域有着广泛的应用。
四、线性代数线性代数是近世代数的一个重要分支，研究的是向量空间及其线性变换的性质。
线性代数的基本概念包括向量、线性组合、线性相关性、基、维数等，并且研究了线性变换、特征值和特征向量等。
线性代数在几何学、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
五、Galois理论Galois理论是近世代数的一个重要分支，研究的是域的扩张和多项式方程的解的关系。
Galois理论的基本概念包括Galois扩张、Galois群、Galois对应等，并且研究了可解多项式和不可解多项式的判别方法。
Galois理论在数论、代数几何、代数数论等领域有着广泛的应用。
六、表示论表示论是近世代数的一个重要分支，研究的是群的表示及其性质。
近世代数第一章
（减法分配律）
设 S 是任意一个集， {Ai | i I } 是 S 中的一组子集，则有 (11) (12)
S S
iI
Ai Ai
iI
( S Ai ) ( S Ai )
iI
（1.1） （1.2）
iI
iI
证明. 记 S
iI
Ai 为 P ，记 ( S Ai ) 为 Q 。我们下面证明 P Q 。
(one one corespondence)） 。 (4) 如果 A=B ，双射 f 称为是一一变换；如果 A=B 是有限集合，双射 f 称为是置换 （Permutation） 。 例如，上面的例 1 的映射 f 是一个单射，也是满射，从而使一个双射。例 3 的映射 h 是 一个满射，但不是单射。对于映射 : A B ，其中 A {1, 2, 3} ， B {1,2,3,4} ，而 。则 是单射，但不是满射。 (i ) i 1, i 1, 2, 3 设 f 是集合 A 到 B 的一个映射， S 是 A 的一个子集，记 f ( S ) { f ( x) | x S} ，它是
A 或 2 。例如，若 (A ）
A={1,2,3} ，则 ( A ） ={， {1}， {2}， {3}， {1， 2}， {1， 3} ， {2 ， 3} ，A }。当 |A|< 时， | (A)| 即
| A| k 中元素个数正好是 2 。事实上，设 |A|= n ，则 A 的含有 k 个元素的子集共有个 Cn ， (A ）
a, b, c
等表示。
对于集合 A 来说， 某一事物 x 或是集合 A 的元素， 这时我们就说 x 属于 A ， 记为 x A ； 或者 x 不是 A 的元素，即 x 不属于 A ，记为 x A ；二者必居其一。 集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，如 A={1,2,3} ；另一种是规 定元素所具有的性质 P 来表示。例如， A={x | x 具有性质 P} 。 一个集合 A 的元素个数用 |A| 表示。当 A 中的元素个数有限时，称 A 为有限集（Finite set） ，否则，就称 A 为无限集（Infinite set） 。用 |A|= 表示 A 为无限集，用 |A|< 表示 A 为 有限集。 如果集合 A 中的元素都是集合 B 中的元素，则称 A 为 B 的子集(Subset)，记为 A B ， 读作 A 包含在 B 中，或记作 B A ，读作 B 含有 A 。显然， A A 。不含有任何元素的集 合称为空集(Empty set 或 Null set)，记为 。例如， A={x | x 为有实数， x 2 1 0} 是一个 空集。如果 A B ，且 B 中有一个元素不属于 A ，称 A 是 B 的真子集（Proper set） 。 集合 A 与集合 B 称为相等的，记为 A=B ，如果它们含有相同的元素。所以， A=B 当且 仅当 A B 且 B A 。 由集合 A 的所有子集构成的集合称为 A 的幂集(Power set)，记作
近世代数
近世代数又称为抽象代数，最突出的特点是抽象，也是学习中的主要难点。
相对分析而言，近世代数对论证和推导的技巧性要求不高。
因此，在整个学习过程中，主要是要适应抽象思考和表述，为此都要特别注意抽象的代数结构的具体例子，以及随时归纳总结学过具体数学对象(例如高等代数中学过的数域、线性空间、对偶空间等)的代数结构。
下列几点可以在学习和复习时留意。
1 透彻理解运算的概念和性质。
运算的性质是代数的核心，所谓代数结构就是定义了运算的某种集合。
运算的定义很简单但有些抽象，就是集合与自身的直积到该集合的映射。
运算性质中，最重要的应该是结合律，如果结合律不成立，多次运算的结果取决于运算的顺序，这种数学结构很少有实际意义。
因此，结合律往往是近世代数中所研究运算必备的性质。
交换律是种特殊的性质，并非普遍成立，知道矩阵乘法和变换复合的对此应该不陌生；但在学矩阵乘法之前，所有数字的运算都满足交换律，因此有先入为主的误解。
分配律描述2种运算直接关系。
运算的属性还包括特殊元素的存在性，特殊元素指与参与运算后但不改变结果的元素(零元或单位元)，以及与特定元素运算后结果为前述元素的元素(负元或逆元)；注意到交换律不成立时，前述元素有左、右之分。
2 把握住同构和同态。
近世代数只关注代数结构，因此代数结构相同的数学对象，即与运算关联的性质相同，在近世代数中就不必加以区分。
代数结构相同的确切描述就是同构，2个集合间保持运算的双射。
更弱些，只保持运算的映射称为同态。
所谓保持运算，是指先运算再求映射下的像与先求映射的像再运算结果相同。
有些情形，同态满射本身也是个有用的概念。
因为开始时掌握的代数结构比较少，难以理解同构的重要性。
但学了群论就会知道，任何有限群与某个置换群同构，原则上只需要研究具体的置换群就可以得到所有抽象的有限群的性质。
3 对具体数学结构如群、环和域，注重它们的子结构。
子结构的核心要求是运算的封闭性和特殊元的存在性。
与子结构相关的还有等价分类和扩张等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
近世代数学习方法
“近世代数”是一门比较抽象的学科，初学者往往感到虚无飘渺，困难重重。
为此，下面介绍五种常用的学习方法。
一、通过例子来加深对基本理论的理解
针对“近世代数”课程的概念抽象、难于理解的特点，我们认为理解概念的一种有效方法是多举已学过的典型例子。
例如，一元多项式环和整数环是主理想整环的例子，关于主理想整环的许多结论都是通过推广关于多项式和整数的结论得到；一个无零因子交换环的商域就是模仿整数环和有理数环间的关系构造的；整环里的因子分解理论就是分解质因数和多项式的因式分解理论的推广。
当我们学习“近世代数”时，就仅仅背下来一些命题、性质和定理，并不意味着真正地理解。
要想真正理解，需要清楚这些命题、性质和定理的前提条件为什么是必要的？而达到这个目的的最有效的方法就是构造反例。
通常的做法是：去掉一个前提条件后，构造一个结论不成立的例子，从而表明所去掉的前提条件是必要的。
例如，关于素理想和极大理想的关系有结论：设R是含1交换环，则R的极大理想一定是素理想。
那么这个结论的条件“含1”是必要的吗？这个问题的答案可从下面的例子容易得到。
例：设R是所有偶数构成的环，Z表示整数环，则4Z是R的极大理想，但4Z不是R的素理想。
二、通过变换角度来寻求问题的解法
通过变换角度来寻求问题的解法是一种很普遍的解题方法，通常是将已知或未知较复杂的问题变换为等价的较简单的问题，或者是将新问题变换为已经解决的问题，或者是将未知与已知关系较少的问题变为已知与未知关系较多的问题等等。
下面举例说明这种方法：
例：设是从G1到G2的满同态，N2是G2的不变子群，N1= -1(N2)，证明G1/N1同构于G2/N2。
对于这个问题，我们不直接证明G1/N1同构于G2/N2，而是将问题进行变换，
先构造从G1到G2/N2的满同态，再证明N1是的核，然后根据同态基本定理知结论正确。
三、通过“同构”的观点将知识点（问题）归类
“同构”的概念非常重要，因为凡是具有同构性质的结构在本质上可看成是同一结构。
这样就可以将对其中一个结构进行分析得到的性质迁移到其它结构上去。
例如，在群结构理论下，一个由元a所生成的循环群G，它的构造完全可以由a的阶来决定: 如果a的阶无限，那么G与整数加群同构；如果a的阶是有限整数n，那么G与模n的剩余类加群同构。
这样研究了整数加群和以n为模的剩余类加群，整个循环群就都在我们掌握之中了。
运用同构的观点来学习“近世代数”，有利于弄清群、环、域间的纵横关系，有利于全面、深刻、系统的理解所学的知识，也有利于培养分析、综合、抽象、概括的能力。
四、加强与其它课程的联系
在学习近世代数时，应该注意将所学的内容和其它课程相联系。
例如：群论中的许多结论可依据高等代数的知识构造矩阵群来加以解释；环论中的许多结论可依据数论知识或多项式理论加以解释来加以解释。
五、通过重复加深理解
对于“近世代数”中很抽象的内容，需要反复阅读，逐渐推敲，从不同角度去理解本质所在。
经常会出现这样的情况，读第一遍时明白了，而读第二遍时又糊涂了，这时要联系前后内容认真思考未明白的地方。
实际上是第一遍没有真正明白，或者只明白了表面的东西，尚未理解本质所在。
上面仅就我们的理解提出了学习“近世代数”的五种方法。