高中数学选修圆锥曲线基本知识点与典型题举例

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圆锥曲线十大题型全归纳

目录圆锥曲线十大题型全归纳题型一弦的垂直平分线问题 (2)题型二动弦过定点的问题 (3)题型三过已知曲线上定点的弦的问题 (4)题型四共线向量问题 (5)题型五面积问题 (7)题型六弦或弦长为定值、最值问题 (10)题型七直线问题 (14)题型八轨迹问题 (16)题型九对称问题 (19)题型十存在性问题 (21)圆锥曲线题型全归纳题型一：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。

题型二：动弦过定点的问题例题2、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。

（I ）求椭圆的方程；（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三：过已知曲线上定点的弦的问题例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b+= (0)a b >>上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。

(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线3x =对称，求直线PQ 的斜率。

题型四：共线向量问题1：如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E.I ）求曲线E 的方程；II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足FH FG λ=，求λ的取值范围.2：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214y x =的焦点，离心率为5.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ=，2MB BF λ= ，求证：1210λλ+=-.题型五：面积问题例题1、已知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。

高中数学-圆锥曲线中的定点、定值与最值问题

[例 2] 如图，在平面直角
坐标系 xOy 中，椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的左、
右焦点分别为 F1(－c,0)，F2(c,0)．已知点(1，e)
和e，
23都在椭圆上，其中
e
为椭圆的离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)设 A，B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点，且直线 AF1 与直
线 BF2 平行，AF2 与 BF1 交于点 P，
法二：同(2)法一假设前内容．假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M 必在x轴上．取k＝0，m＝ 3，此时P(0， 3)，Q(4， 3)，以PQ为直径的圆为(x－2)2＋(y－ 3)2＝4，交x轴于点M1(1,0)，M2(3,0)；取k＝－12，m＝2，此时P1，32，Q(4,0)，以PQ为直径的圆为x－522＋y－342＝4156，交x轴于点M3(1,0)，M4(4,0)．
因为 MP ＝－4mk－x1，m3 ， MQ ＝(4－x1,4k＋m)，由 MP ·MQ ＝0，得－1m6k＋4kmx1－4x1＋x12＋1m2k＋3＝0，整理，得(4x1－4)mk ＋x12－4x1＋3＝0.(**) 由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以4x1x2－1－4x41＝＋03，＝0，解得x1＝1. 故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.
圆锥曲线中的最值问题
[例3] 如图，在直角坐标系xOy中，点 P1，12到抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线的距离为54.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分．
(1)求p，t的值； (2)求△ABP面积的最大值．
[思路点拨] (1)利用点M(t,1)在曲线上及点P 1，12 到准线的距离为54求p与t的值；

高中数学之圆锥曲线知识点

高中数学之圆锥曲线知识点圆锥曲线中常见题型总结1、直线与圆锥曲线位置关系这类问题主要采用分析判别式，有△＞0，直线与圆锥曲线相交；△=0，直线与圆锥曲线相切；△＜0，直线与圆锥曲线相离。

若且a=0，b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点。

注意：设直线方程时一定要考虑斜率不存在的情况，可单独提前讨论。

2、圆锥曲线与向量结合问题这类问题主要利用向量的相等，平行，垂直去寻找坐标间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合应用，体现数形结合的思想，达到简化计算的目的。

3、圆锥曲线弦长问题弦长问题主要记住弦长公式：设直线l与圆锥曲线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则：4、定点、定值问题（1）定点问题可先运用特殊值或者对称探索出该定点，再证明结论，即可简化运算；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值。

5、最值、参数范围问题这类常见的解法有两种：几何法和代数法。

（1）若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；（2）若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法。

在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围。

6、轨迹问题轨迹问题一般方法有三种：定义法，相关点法和参数法。

定义法：（1）判断动点的运动轨迹是否满足某种曲线的定义；（2）设标准方程，求方程中的基本量（3）求轨迹方程相关点法：（1）分析题目：与动点M（x，y）相关的点P（x0，y0）在已知曲线上；（2）寻求关系式，x0=f（x，y），y0=g（x，y）；（3）将x0，y0代入已知曲线方程；（4）整理关于x，y的关系式得到M的轨迹方程。

高中数学知识点精讲精析圆锥曲线

2.1 圆锥曲线1．涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形，常用第一定义结合正余弦定理；2．涉及焦点、准线、圆锥曲线上的点，常用统一的定义。

3.思维方式：等价转换思想，数形结合特别注意：圆锥曲线各自定义的区别与联系4．距离和差最值问题，常利用三角形两边之和差与第三边之间的关系. 数量关系用定义来进行转换5．以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切．类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离；以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．以上结论均可用第二定义证明之．1．抛物线x y 22=上的一点P(x , y)到点A(a,0)(a ∈R)的距离的最小值记为)(a f ，求)(a f 的表达式【解析】由于x y 22=,而===其中x 0≥(1)a ≤1时,当且仅当x=0时, )(a f =|PA|min =|a|.(2)a>时, 当且仅当x=a-1时, )(a f =|PA|min.所以)(a f =||,11a a a ≤⎧⎪> 2 求两条渐近线为02=±y x 且截直线03=--y x 所得弦长为338的双曲线方程【解析】设双曲线方程为x 2-4y 2=λ. 联立方程组得: 22x -4y =30x y λ⎧⎨--=⎩,消去y 得，3x 2-24x+(36+λ)=0设直线被双曲线截得的弦为AB ，且A(11,x y ),B(22,x y )，那么：1212283632412(36)0x x x x λλ+=⎧⎪+⎪=⎨⎪∆=-+>⎪⎩ 那么：=解得: λ=4,所以，所求双曲线方程是：2214x y -= 21 已知直线y=ax+1与双曲线3x 2-y 2=1交于A B 两点，（1）若以AB 线段为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值（2）是否存在这样的实数a ，使A B 两点关于直线12y x =对称？说明理由【解析】（1）联立方程223x -y =11y ax ⎧⎨=+⎩，消去y 得：（3-a 2）x 2-2ax-2=0.设A(11,x y ),B(22,x y ),那么：122122222323(2)8(3)0a x x a x x a a a ⎧+=⎪-⎪⎪=-⎨-⎪∆=+->⎪⎪⎩由于以AB 线段为直径的圆经过原点，那么：OA OB ⊥，即12120x x y y += 所以：1212(1)(1)0x x ax ax +++=，得到：222222(1)10,633a a a a a a-+⨯+⨯+=<--，解得a=1± (2)假定存在这样的a ，使A(11,x y ),B(22,x y )关于直线12y x = 那么：221122223x -y =13x -y =1⎧⎨⎩，两式相减得：222212123(x -x )=y -y ，从而12121212y -y 3(x +x )=.......(*)x -x y +y 因为A(11,x y ),B(22,x y )关于直线12y x =对称，所以 12121212y +y 1x +x =222y -y 2x -x ⎧⨯⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩代入（*）式得到：-2=6 也就是说：不存在这样的a ，使A(11,x y ),B(22,x y )关于直线12y x 对称。

(完整版)圆锥曲线常见题型及答案

圆锥曲线常见题型归纳一、基础题涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。

此类题在考试中最常见，解此类题应注意：（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系；（2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况；（3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=；例题：（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是（）A ．421=+PF PFB ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支）（3）已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2）（4）已知方程12322=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11(3,)(,2)22---）；（5）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2214x y -=）；（6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）二、定义题对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。

此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。

高中数学《圆锥曲线的离心率问题》基础知识与练习题(含答案解析)

高中数学《圆锥曲线的离心率问题》基础知识与练习题（含答案解析）离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。

一、基础知识： 1、离心率公式：ce a=（其中c 为圆锥曲线的半焦距）（1）椭圆：()0,1e ∈ （2）双曲线：()1,+e ∈∞2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系（1）椭圆：222a b c =+，① 2a ：长轴长，也是同一点的焦半径的和：122PF PF a += ② 2b ：短轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距（2）双曲线：222c b a =+① 2a ：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：122PF PF a −=② 2b ：虚轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距。

从而可求解（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。

如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞ 二、典型例题：例1：设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为（） A ．33 B ．36C ．13D ．16思路：本题存在焦点三角形12PF F ，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=，则直角三角形12PF F 中，1212::2:1:3PF PF F F =，且12122,2a PF PF c F F =+=，所以12122323F F c c e a a PF PF ∴====+ 答案：A小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O 为12F F 中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与O 搭配形成三角形的中位线。

圆锥曲线经典题型总结(含答案)

圆锥曲线整理1．圆锥曲线的定义：(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)；(2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d .圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题中有广泛的应用，在理解时要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。

若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）,焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。

%（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222b x a y -＝1（0,0a b >>）。

（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。

注意：1.圆锥曲线中求基本量，必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。

2.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：椭圆：由x2,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

高中数学圆锥曲线知识点梳理+例题解析

高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。

点与曲线的关系：若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)=0；点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)≠0。

两条曲线的交点：若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点⇔{0),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。

二、圆：1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2(2)一般方程：①当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(ED --半径是2422F E D -+。

配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E )2=44F -E D 22+②当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(-2D ,-2E );③当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.（3）点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +。

高中数学圆锥曲线经典考点及例题专题讲解

圆锥曲线的综合问题考纲解读 1.求圆锥曲线过定点问题；2.利用圆锥曲线求定值、常数值；3.利用圆锥曲线求变量的取值范围，最值问题；4.利用圆锥曲线求解探索性、存在性问题．考点一圆锥曲线过定点问题|方法突破[例1] (2018·淄博模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)的距离为10.(1)求椭圆C 的标准方程．(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左、右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．[解析] (1)因为左焦点(－c,0)到点P (2,1)的距离为10，所以(2＋c )2＋1＝10，解得c ＝1.又e ＝c a ＝12，解得a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝3.所以所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0， Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，化为3＋4k 2>m 2.所以x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2.y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k 2.因为以AB 为直径的圆过椭圆右顶点D (2,0)，k AD ·k BD ＝－1，所以y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－1，所以y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，所以3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0.化为7m 2＋16mk ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k7.且满足3＋4k 2－m 2>0.当m ＝－2k 时，l ：y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)与已知矛盾；当m ＝－2k7时，l ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －27，直线过定点⎝⎛⎭⎫27，0. 综上可知，直线l 过定点⎝⎛⎭⎫27，0 .[方法提升][母题变式]若本例的条件“以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点”，改为“以AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点”．则直线l 是否还过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0， Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，化为3＋4k 2>m 2. 所以x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2.y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k 2.因为以AB 为直径的圆过椭圆左顶点D (－2,0)，k AD ·k BD ＝－1，所以y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝－1，所以y 1y 2＋x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝0，所以3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2－16mk 3＋4k 2＋4＝0.化为7m 2－16mk ＋4k 2＝0，解得m 1＝2k ，m 2＝2k 7.且满足3＋4k 2－m 2>0.当m ＝2k 时，l ：y ＝k (x ＋2)，直线过定点(－2,0)与已知矛盾；当m ＝2k7时，l ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋27，直线过定点⎝⎛⎭⎫－27，0. 综上可知，直线l 过定点⎝⎛⎭⎫－27，0.考点二圆锥曲线的定值问题|方法突破[例2] 已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1.若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且k OA ·k OB＝－34(O 为坐标原点)，判断△AOB 的面积是否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，则由Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，得3＋4k 2－m 2>0.又x 1＋x 2＝－8mk3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2，∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k 2.又由k OA ·k OB ＝－34，得y 1y 2x 1x 2＝－34，即y 1y 2＝－34x 1x 2，∴3(m 2－4k 2)3＋4k 2＝－34·4(m 2－3)3＋4k 2，即2m 2－4k 2＝3. 又|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝24(1＋k 2)3＋4k 2.点O 到直线AB 的距离为d ＝|m |1＋k2＝ 2－12(1＋k 2)≥2－12＝62. S △AOB ＝12|AB |d ＝1224(1＋k 2)3＋4k 2·|m |1＋k 2＝12 24(1＋k 2)m 2(3＋4k 2)(1＋k 2)＝12243＋4k 2·3＋4k 22＝ 3. [方法提升]已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1(－1,0)，长轴长与短轴长的比是2∶ 3.(1)求椭圆的方程；(2)过F 1作两直线m ，n 交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，若m ⊥n ，求证：1|AB |＋1|CD |为定值．解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a ∶2b ＝2∶3，c ＝1，a 2＝b 2＋c 2.解得a ＝2，b ＝ 3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：由已知F 1(－1,0)，当直线m 不垂直于坐标轴时，可设直线m 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. 由于Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫－8k 23＋4k 22－4×4k 2－123＋4k 2 ＝12(1＋k 2)3＋4k 2.同理|CD |＝12(1＋k 2)3k 2＋4.所以1|AB |＋1|CD |＝3＋4k 212(1＋k 2)＋3k 2＋412(1＋k 2)＝7(1＋k 2)12(1＋k 2)＝712.当直线m 垂直于坐标轴时，此时|AB |＝3，|CD |＝4；或|AB |＝4，|CD |＝3，1|AB |＋1|CD |＝13＋14＝712. 综上，1|AB |＋1|CD |为定值712.考点三圆锥曲线中的范围(最值)问题|模型突破[例3] (2018·聊城模拟)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上的一点，l ：x ＝－a 2c ，且PQ ⊥l ，垂足为Q ，若四边形PQF 1F 2为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，1B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫0，22 D.⎝⎛⎭⎫22，1[解析] 设点P (x 1，y 1)，由于PQ ⊥l ，故|PQ |＝x 1＋a 2c ，因为四边形PQF 1F 2为平行四边形，所以|PQ |＝|F 1F 2|＝2c ，即x 1＋a 2c ＝2c ，则有x 1＝2c －a 2c >－a ，所以2c 2＋ac －a 2>0，即2e 2＋e －1>0，解得e <－1或e >12，由于0<e <1，所以12<e <1，即椭圆离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1. [答案] A [模型解法][高考类题]1．(2015·高考重庆卷)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2，0)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：如图所示，由题意知BC 为双曲线的通径，所以|BC |＝2b 2a ，则|BF |＝b 2a .又|AF |＝c －a ，因为BD ⊥AC ，DC ⊥AB ，所以点D 在x 轴上，由Rt △BF A ∽Rt △DFB ，得|BF |2＝|AF |·|FD |，即(b 2a )2＝(c －a )|FD |，所以|FD |＝b 4a 2(c －a )，则由题意知b 4a 2(c －a )<a ＋a 2＋b 2，即b 4a 2(c －a )<a ＋c ，所以b 4<a 2(c －a )(a ＋c )，即b 4<a 2(c 2－a 2)，即b 4<a 2b 2，所以0<b 2a 2<1，解得0<b a <1，而双曲线的渐近线斜率为±ba ，所以双曲线的渐近线斜率的取值范围是(－1,0)∪(0,1)，故选A.答案：A2．(2017·高考浙江卷)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝⎛⎭⎫－12，14，B ⎝⎛⎭⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝⎛⎭⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值．解析：(1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12.因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)．(2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎨⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32(k 2＋1).因为|P A |＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－(k －1)(k ＋1)2k 2＋1，所以|P A |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3，令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3. 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝⎛⎭⎫－1，12上单调递增，⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减，因此当k ＝12时，|P A |·|PQ |取得最大值2716.考点四圆锥曲线的存在性问题|方法突破[例4] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点P (0,1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线P A 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得a 2＝2.故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.设M (x M,0)．因为m ≠0，所以－1<n <1. 直线P A 的方程为y －1＝n －1m x ，所以x M ＝m 1－n ，即M (m1－n，0)．(2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n )．设N (x N,0)，则x N ＝m1＋n.“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1，所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2. 所以 y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2)． [方法提升][跟踪训练](2018·徐州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .(1)求k 的取值范围．(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数k ，使得向量OP →＋OQ →与AB →垂直？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解析：(1)由已知条件，直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.①直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于①中 Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2 ＝4k 2－2>0，解得k <－22或k >22. 即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞.(2)不存在，理由如下：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①得，x 1＋x 2＝－42k1＋2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋22＝－42k 21＋2k 2＋2 2.因为(OP →＋OQ →)⊥AB →，AB →＝(－2，1)，所以(x 1＋x 2)·(－2)＋y 1＋y 2＝0，即：－42k 1＋2k 2·(－2)－42k 21＋2k 2＋22＝0.解得：k ＝－24，由(1)知k 2>12，与此相矛盾，所以不存在常数k 使OP →＋OQ →与AB →垂直．[考点二](2015·高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．解析：(1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4. 所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0. 故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．。

圆锥曲线典型例题

圆锥曲线典型例题例1：已知一条直线l 和它上方的一个点F ，点F 到l 的距离是2,一条曲线也在l 的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.解：取直线l 为x 轴,过点F 且垂直于直线l 的直线为y 轴,建立坐标系xOy, 设点M(x,y)是曲线上任意一点，MB ⊥x 轴，垂足是B ，因为曲线在x 轴的上方，所以y ＞0, 所以曲线的方程是例2：已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A在圆4)1(22=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

解：设点M 的坐标是（x,y ），点A 的坐标是),(00y x 。

由于点B 的坐标是（4，3），且点M 是线段AB 的中点，所以,23,2400+=+=y y x x于是有.32,4200-=-=y y x x因为点A 在圆上，所以点A 的坐标满足方程4)1(22=++y x 即4)1(2020=++y x 1)23(234)32()142(2222=-+-=-++-∴y x y x ）整理得（2MA MB ∴-=2y =218y x ∴=21(0)8y x x =≠所以，点M 的轨迹是以)23,23(为圆心，半径长是1的圆。

例3：在△ABC 中，BC =24，AC 、AB 的两条中线之和为39,求△ABC 的重心轨迹方程.解：以BC 所在直线为x 轴，BC 的中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，M 为重心，则|MB |+|MC |=32×39=26. 根据椭圆定义可知，点M 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，故所求椭圆方程为12516922=+y x (y ≠0)例4：已知F 1为椭圆的左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点与上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，求椭圆的离心率解：设椭圆方程为12222=+by a x （a ＞b ＞0）,22b a c -=, F 1（－c ，0），则点),(2a b c P -，由PO ∥AB 得k AB =k OP 即ac b a b 2-=-，∴b=c ，故22=e 。

高中数学圆锥曲线与最值及取值范围问题(附经典例题与解析)

圆锥曲线与最值问题【知识点分析】方法一、圆锥曲线的的定义转化法借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理．（1）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（2）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）（3）抛物线：到定点与定直线距离相等。

【相似题练习】1．已知抛物线y 2＝8x ，点Q 是圆C ：x 2+y 2+2x ﹣8y +13＝0上任意一点，记抛物线上任意一点到直线x ＝﹣2的距离为d ，则|PQ |+d 的最小值为（） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 1．已知双曲线C ：的右焦点为F ，P 是双曲线C 的左支上一点，M （0，2），则△PFM 周长最小值为．【知识点分析】方法二、函数法二次函数2y ax bx c =++顶点坐标为24b ac b ⎛⎫-- ⎪，1．已知F 1，F 2为椭圆C ：+＝1的左、右焦点，点E 是椭圆C 上的动点，1•2的最大值、最小值分别为（） A ．9，7 B ．8，7 C ．9，8 D ．17，8【知识点分析】方法三、利用最短路径【问题1】“将军饮马”作法图形原理在直线l 上求一点P ，使P A +PB 值最小．作B 关于l 的对称点B ＇连A B ＇，与l 交点即为P ．两点之间线段最短． P A +PB 最小值为A B ＇．【问题2】作法图形原理在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使△PMN 的周长最小．分别作点P 关于两直线的对称点P ＇和P ＇＇，连P ＇P ＇＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短． PM +MN +PN 的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．【问题3】作法图形原理在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使四边形PQMN 的周长最小．分别作点Q 、P 关于直线1l 、2l 的对称点Q ＇和P ＇连Q ＇P ＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短．四边形PQMN 周长的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．【问题4】作法图形原理作点P 关于1l 的对称点P ＇，作P ＇B ⊥2l 于B ，交l 于A ．点到直线，垂线段最短． P A +AB 的最小值为线段P ＇B 的长．l B A lPB'AB l 1l 2Pl 1l 2NMP''P'P l 1l 2N MP'Q'Q P l 1l 2P Q l 1A P'Pl 1l 2P小．【问题5】作法图形原理A 为1l 上一定点，B 为2l 上一定点，在2l 上求点M ，在1l 上求点N ，使AM +MN +NB 的值最小．作点A 关于2l 的对称点A ＇，作点B 关于1l 的对称点B ＇，连A ＇B ＇交2l 于M ，交1l 于N ．两点之间线段最短． AM +MN +NB 的最小值为线段A ＇B ＇的长．【相似题练习】1．已知双曲线x 2﹣y 2＝1的右焦点为F ，右顶点A ，P 为渐近线上一点，则|PA |+|PF |的最小值为（）A ．B ．C ．2D ．【知识点分析】方法四、利用圆的性质【相似题练习】1．已知椭圆，圆A ：x 2+y 2﹣3x ﹣y +2＝0，P ，Q 分別为椭圆C 和圆A 上的点，F （﹣2，0），则|PQ |+|PF |的最小值为（） A ． B ． C ． D ．l 2l 1ABNMl 2l 1M N A'B'AB【知识点分析】方法五、切线法【相似题练习】1．如图，设椭圆C ：+＝1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，上顶点为A ，点B ，F 2关于F 1对称，且AB⊥AF 2（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）已知P 是过A ，B ，F 2三点的圆上的点，若△AF 1F 2的面积为，求点P 到直线l ：x ﹣y ﹣3＝0距离的最大值．【知识点分析】方法六、参数法1．圆222)()(r b y a x =-+-的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x .2. 椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x .3．抛物线px y 22=的参数方程可表示为)(.2,22为参数t pt y px x ⎩⎨⎧==.【相似题练习】已知点A （2，1），点B 为椭圆+y 2＝1上的动点，求线段AB 的中点M 到直线l 的距离的最大值．并求此时点B 的坐标．【知识点分析】方法七、基本不等式1、均值不等式定理：若0a >，0b >，则2a b ab +≥，2、常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈；②()22,2a b ab a b R +≤∈；③()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭；④()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭．【相似题练习】1．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且∠AFB ＝，弦AB 的中点M 在准线l 上的射影为M ′，则的最大值为．方法七、利用三角形的三边关系两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

高中数学第八章圆锥曲线知识点

高中数学第八章圆锥曲线知识点第八章圆锥曲线是高中数学的一个重要章节，本章内容涵盖了圆锥曲线的基本定义、性质和相关的解题方法。

在本文档中，我们将详细介绍圆锥曲线的相关知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。

一、圆锥曲线的基本定义1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是由一个固定点（焦点）和一个动点（在直线上移动）确定的几何图形。

根据焦点的位置和直线与曲线的交点情况，圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三种情况。

2. 椭圆的定义椭圆是平面上与两个固定点的距离之和等于常数的点（焦点），构成的几何图形。

3. 双曲线的定义双曲线是平面上与两个固定点的距离之差等于常数的点（焦点），构成的几何图形。

4. 抛物线的定义抛物线是平面上与一个固定点的距离等于另一个固定点到直线的距离，构成的几何图形。

二、圆锥曲线的性质1. 椭圆的性质椭圆的离心率小于1，焦点在椭圆的内部。

椭圆有两个主轴，相互垂直，长度分别为2a和2b，其中2a是椭圆的长轴，2b是椭圆的短轴。

椭圆的面积为πab。

2. 双曲线的性质双曲线的离心率大于1，焦点在双曲线的外部。

双曲线有两个虚轴和两条实轴，相互垂直。

双曲线的面积无限大。

3. 抛物线的性质抛物线的离心率等于1，焦点在抛物线的内部。

抛物线有一个对称轴，与焦点和顶点的距离相等。

抛物线的面积为2/3 × a × h，其中a是焦点到顶点的距离，h是对称轴的长度。

三、圆锥曲线的解题方法1. 椭圆的解题方法（1）求解椭圆的标准方程，确定椭圆的中心、长轴和短轴；（2）求解椭圆的焦点和离心率；（3）利用椭圆的性质解题，例如求点到椭圆的距离或求椭圆上一点的坐标。

2. 双曲线的解题方法（1）求解双曲线的标准方程，确定双曲线的中心、虚轴和实轴；（2）求解双曲线的焦点和离心率；（3）利用双曲线的性质解题，例如求点到双曲线的距离或求双曲线上一点的坐标。

3. 抛物线的解题方法（1）求解抛物线的标准方程，确定抛物线的顶点、对称轴和焦点；（2）利用抛物线的性质解题，例如求点到抛物线的距离或求抛物线上一点的坐标。

高中数学圆锥曲线问题常用方法经典例题(含答案)

专题：解圆锥曲线问题常用方法（一）【学习要点】解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法（1）椭圆有两种定义。

第一定义中，r 1+r 2=2a 。

第二定义中，r 1=ed 1r 2=ed 2。

（2）双曲线有两种定义。

第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。

（323A(x 1,y 1（1）22a x （2）22a x （3）【例1(2)（2）最小。

解：（连PF y=22（2）（1,41）过Q 作QR ⊥l 交于R ，当B 、Q 、R 三点共线时，QR BQ QF BQ +=+最小，此时Q 点的纵坐标为1，代入y 2=4x 得x=41，∴Q(1,41) 点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。

例4、△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程。

分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系。

解：sinC-sinB=53sinA2RsinC-2RsinB=53·2RsinA ∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵∴a=3例5式得出y 0（2）则⎪⎩⎪⎨⎧211(x x x 即[(x 由②、③得2x 1x 2=(2x 0)2-2y 0=4x 02-2y 0 代入④得[(2x 0)2-(8x 02-4y 0)]·[1+(2x 0)2]=9∴220041944x x y +=-， ≥,5192=-450≥y当4x 02+1=3即220±=x 时，45)(min 0=y 此时)45,22(±M 法二：如图，32222=≥+=+=AB BF AF BB AA MM∴∴∴M 的方法。

圆锥曲线的知识点、结论、易错点、真题

圆锥曲线的知识点、结论、易错点、真题(⼀)椭圆及其标准⽅程1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平⾯内动点与两定点1F 、2F 的距离的和⼤于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和⼩于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F .2.椭圆的标准⽅程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0），12222=+bx a y （a ＞b ＞0）.3.椭圆的标准⽅程判别⽅法：判别焦点在哪个轴只要看分母的⼤⼩：如果2x 项的分母⼤于2y 项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上.4.求椭圆的标准⽅程的⽅法：⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准⽅程后，运⽤待定系数法求解. (⼆)椭圆的简单⼏何性质1. 椭圆的⼏何性质：设椭圆⽅程为12222=+by a x （a ＞b ＞0）.⑴范围： -a ≤x ≤a ，-b ≤x ≤b ，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形⾥.⑵对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中⼼对称.椭圆的对称中⼼叫做椭圆的中⼼. ⑶顶点：有四个1A （-a，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）.线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.⑷离⼼率：椭圆的焦距与长轴长的⽐ace =叫做椭圆的离⼼率.它的值表⽰椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第⼆定义⑴定义：平⾯内动点M 与⼀个顶点的距离和它到⼀条定直线的距离的⽐是常数ace =（e ＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.⑵准线：根据椭圆的对称性，12222=+by a x （a ＞b ＞0）的准线有两条，它们的⽅程为c a x 2±=.对于椭圆12222=+b x a y （a ＞b ＞0）的准线⽅程，只要把x 换成y 就可以了，即c a y 2±=.3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意⼀点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.设1F （-c ，0），2F （c ，0）分别为椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右两焦点，M （x ，y ）是椭圆上任⼀点，则两条焦半径长分别为ex a MF +=1，ex a MF -=2.椭圆中涉及焦半径时运⽤焦半径知识解题往往⽐较简便.椭圆的四个主要元素a 、b 、c 、e 中有2a =2b +2c 、ac e =两个关系，因此确定椭圆的标准⽅程只需两个独⽴条件.4.椭圆的参数⽅程椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的参数⽅程为cos sin x a y b θθ=??=?（θ为参数）.说明: ⑴这⾥参数θ叫做椭圆的离⼼⾓.椭圆上点P 的离⼼⾓θ与直线OP 的倾斜⾓α不同：θαtan tan ab=；⑵椭圆的参数⽅程可以由⽅程12222=+by a x 与三⾓恒等式1sin cos 22=+θθ相⽐较⽽得到，所以椭圆的参数⽅程的实质是三⾓代换. 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数⽅程是cos sin x a y b θθ=??=?. 5.椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ?+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b+>. 6. 椭圆的切线⽅程(1)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上⼀点00(,)P x y 处的切线⽅程是00221x x y y a b +=.（2）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外⼀点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦⽅程是00221x x y y a b +=.（3）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c +=(三)双曲线及其标准⽅程1.双曲线的定义：平⾯内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （⼩于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这⼀条件可以⽤“三⾓形的两边之差⼩于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则⽆轨迹.若1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的⼀个分⽀，⼜若1MF ＞2MF 时，轨迹为双曲线的另⼀⽀.⽽双曲线是由两个分⽀组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.2. 双曲线的标准⽅程：12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）.这⾥222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这⾥的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准⽅程判别⽅法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不⼀定⼤于b ，因此不能像椭圆那样，通过⽐较分母的⼤⼩来判断焦点在哪⼀条坐标轴上.4.求双曲线的标准⽅程，应注意两个问题：⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准⽅程后，运⽤待定系数法求解.(四)双曲线的简单⼏何性质1.双曲线12222=-by a x 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离⼼率a c e =＞1，离⼼率e 越⼤，双曲线的开⼝越⼤.2. 双曲线12222=-by a x 的渐近线⽅程为x a b y ±=或表⽰为02222=-b y a x .若已知双曲线的渐近线⽅程是x nmy ±=，即0=±ny mx ，那么双曲线的⽅程具有以下形式：k y n x m =-2222，其中k 是⼀个不为零的常数.3.双曲线的第⼆定义：平⾯内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的⽐是⼀个⼤于1的常数（离⼼率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线12222=-by a x ，它的焦点坐标是（-c ，0）和（c ，0），与它们对应的准线⽅程分别是ca x 2-=和c a x 2=.双曲线22221(0,0)x y ab a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.4.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ?-<. 5.双曲线的⽅程与渐近线⽅程的关系(1）若双曲线⽅程为12222=-by a x ?渐近线⽅程：22220x y a b -=?x a by ±=.(2)若渐近线⽅程为x a by ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222by a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.6. 双曲线的切线⽅程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上⼀点00(,)P x y 处的切线⽅程是00221x x y y a b -=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外⼀点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦⽅程是00221x x y y a b -=.（3）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c -=.(五)抛物线的标准⽅程和⼏何性质1．抛物线的定义：平⾯内到⼀定点（F ）和⼀条定直线（l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。

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（完整版）圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）.docx圆锥曲线⼀、椭圆：（ 1）椭圆的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的和等于常数（⼤于| F1 F2 |）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意： 2a | F1F2 | 表⽰椭圆；2a | F1F2|表⽰线段F1F2； 2a| F1F 2 |没有轨迹；（2）椭圆的标准⽅程、图象及⼏何性质：中⼼在原点，焦点在x 轴上中⼼在原点，焦点在y 轴上标准⽅程图形x2y2y2x2a2b 21( a b 0)a 2b21(ab 0)yB 2yB 2P F2 PA 1 A 2x A 1xA 2OF1O F21B 1FB 1顶点对称轴焦点焦距离⼼率通径2b2aA1 (a,0), A2 (a,0)A1( b,0), A2 (b,0)B1 (0, b), B2(0, b)B1( 0,a), B2 (0, a) x 轴，y轴；短轴为2b，长轴为2aF1 (c,0), F2(c,0)F1 ( 0,c), F2 (0,c)| F1 F2 | 2c(c 0)c2 a 2 b 2(0 e 1) （离⼼率越⼤，椭圆越扁）a（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3．常⽤结论：（1）椭圆x2y21(a b 0) 的两个焦点为F1, F2，过F1的直线交椭圆于A, B两a2 b 2点，则ABF 2的周长=（2）设椭圆x2y2221( a b 0)左、右两个焦点为 F1, F2，过 F1且垂直于对称轴的直线a b交椭圆于 P, Q 两点，则 P, Q 的坐标分别是| PQ |⼆、双曲线：（ 1）双曲线的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的差的绝对值等于常数（⼩于| F1F2 | ）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意： | PF1 || PF2 | 2a 与 | PF2 | | PF1 |2a （ 2a| F1F2 | ）表⽰双曲线的⼀⽀。

高考数学圆锥曲线典型例题(必考)

高考数学圆锥曲线典型例题(必考)9.1 椭圆典例精析题型一求椭圆的标准方程【例1】已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. 【解析】故所求方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y 25＝1.【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )；(2)在求椭圆中的a 、b 、c 时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.【变式训练1】已知椭圆C 1的中心在原点、焦点在x 轴上，抛物线C 2的顶点在原点、焦点在x 轴上.小明从曲线C 1，C 2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x ，y ).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C 1上，也不在抛物线C 2上.小明的记录如下：据此，可推断椭圆C 1的方程为 . x 212＋y 26＝1.题型二椭圆的几何性质的运用【例2】已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关.【解析】(1)e 的取值范围是[12，1).(2)21F PF S ＝12mn sin 60°＝33b 2，【点拨】椭圆中△F 1PF 2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2，|PF 1|≥a －c . 【变式训练2】已知P 是椭圆x 225＋y 29＝1上的一点，Q ，R 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝14和圆(x －4)2＋y 2＝14上的点，则|PQ |＋|PR |的最小值是 .【解析】最小值为9.题型三有关椭圆的综合问题【例3】(2010全国新课标)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列.(1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程.(1) 22.(2)为x 218＋y 29＝1.【变式训练3】已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ，两焦点为F 1，F 2，抛物线以F 1为顶点，F 2为焦点，P 为两曲线的一个交点，若|PF 1||PF 2|＝e ，则e 的值是( )A.32B.33C.22D.63【解析】选B 题型思有关椭圆与直线综合问题【例4】【2012高考浙江理21】如图，椭圆C ：2222+1x y a b =(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)的距离为10．不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB被直线OP 平分．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 求∆ABP 的面积取最大时直线l 的方程． .【变式训练4】【2012高考广东理20】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e=23，且椭圆C 上的点到Q （0，2）的距离的最大值为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点M （m,n ）使得直线l ：mx+ny=1与圆O ：x 2+y 2=1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．总结提高1.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位)，还要确定a 、 b 的值(即定量)，若定位条件不足应分类讨论，或设方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )求解.2.充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.3.焦点三角形包含着很多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的范围.练习1（2009全国卷Ⅰ理）已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3FA FB =u u u r u u u r ,则||AF u u u u r=( )A. 2B. 2C.3D. 3 选A.2（2009浙江文）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =u u u r u u u r，则椭圆的离心率是（） A 32 C ．13 D ．12【答案】D3.（2009江西卷理）过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=o ，则椭圆的离心率为 A ．22 B ．33 C ．12D ．13 【答案】B 4.【2012高考新课标理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（） ()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【答案】C5【2012高考四川理15】椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________。