第1节线性空间的基变换与坐标变换相似矩阵(10-11第二学期)

n维线性空间 V 中两组基，它们的关系是
′ ⎧ ε 1 = a11ε 1 + a21ε 2 + ⎪ε ′ = a ε + a ε + ⎪ 2 12 1 22 2 ⎨ ⎪ ⎪ε n = a1nε 1 + a2nε 2 + ⎩ ′
称 (1) 为基变换公式.
+ an1ε n , + an2ε n , + annε n . (1)
高等代数与解析几何
线性变换的运算复习
包括： 线性变换的乘积 线性变换的加法 线性变换的数量乘法 线性变换的逆变换 线性变换的多项式
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线性变换的矩阵
设 V 是数域 K 上 n 维线性空间，ε1 , ε2 , … , εn 是 V 的一组基，现在我们来建立线性变换与矩 阵的关系. 首先来讨论线性变换、基与基的像之间 的关系. 空间 V 中任一向量 ξ 可以被基 ε1 , ε2 , … , εn 线 性表出，即有
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现在，(1) 可写成
, ε n ) A (1)
′ , ε n ) = (ε 1 , ε 2 ,
3. 运算规律
设 α1 , α2 , … , αn 和 β1 , β2 , … , βn 是 V 中两个 向量组， A = ( aij ) , B= ( bij ) 是两个 n × n 矩阵，则 1) ((α1 , α2 , … , αn )A)B=(α1 , α2 , … , αn )(AB) 2) (α1 , α2 , … , αn )A + (α1 , α2 , … , αn )B = (α1 , α2 , … , αn ) (A+B) ； 3) (α1 , α2 , … , αn )A + (β1 , β2 , … , βn )A = (α1 + β1 , α2 + β2 , … , αn + βn ) A .
a1n ⎞ ⎟ a2 n ⎟ ⎟ ⎟ ann ⎟ ⎠
称为由基ε 1 , ε 2 , … , ε n 到ε1′ , ε2′ , …, εn′ 的过渡矩
阵. 由于ε1′ , ε2′ , …, εn′ 是线性无关的，所以过渡
矩阵 A 的列向量组线性无关，因此，过渡矩阵 A 是可逆的. 注意
′ ′ (ε 1 , ε 2 ,
北 京 科 技 大 0 1 −1⎤ 学 数 1 −1 2 ⎥ ⎥ 理 0 −4 4 ⎥ 学 ⎥ 院 0 0 3⎦
II
⎤ ⎡1 2 σ α− 1α α ⎥ ⎢0 3 σ α− 1α . α ⎥ ⎢ y VI ⎢0 − 3σ α 6 α⎥ α ⎦ ⎣
( 1)=a11 1+ a21 ( 2)=a12 1+ a22 …………… ( n)=a1n 1+ a2n
α 都有
α+0=α
(具有这个性质的元素 0 称为 V 的零元素) ；
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4) 对于 V 中每一个元素 α ，都有 V 中的元素
β ，使得
α+β=0
(β 称为α 的负元素) . 数量乘法满足下面两条规则： 5) 1 α = α ； 6) k( lα ) = ( kl )α . 数量乘法与加法满足下面两条规则： 7) ( k + l )α = kα + lα ; 8) k(α + β ) = kα + kβ .
2+ 2+
… an1αn, … an2αn
2+
… annαn ,
σ (α1, α2, …, αn ) = (α1, α2, …, αn )A
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第八章 线性变换的可 对角化问题
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我们已经知道,在 n 维线性空间V 中取定一个基后,对 V 的一个线 性变换 σ ,通过这个基可确定一个 n 阶矩阵 A ；反之,通过 n 阶矩阵 A , 线性变换 σ 可以被具体地表示出来. 这建立了线性变换和 n 阶矩阵之 间的一一对应关系. 当然,这种一一对应关系是对取定的基而言的,一 般说来,在不同的基下,由 σ 所确定的矩阵是不同的. 如果由 σ 所确定的矩阵 A 的形式比较简单,那么通过 A ,相应的线 性变换 σ 就有比较简单的表示形式. n 阶对角矩阵是比较简单的, 位 似变换的矩阵是简单的标量矩阵； 但是有例子表明： 存在V 的线性变换, 它在 V 的任意一个基下所确定的矩阵都不是对角矩阵. 这样,我们自然 会问： 维线性空间 V 的什么样的线性变换 σ 所确定的 n 阶矩阵将是对 n 角矩阵？如何选取 V 的一个基,使得 σ 在这个基下的矩阵是对角矩 阵？这个对角矩阵又是怎样确定的？这就是本章将要讨论的主要问题. 至于更一般的深刻的问题：对 n 维线性空间 V 的一个线性变换 σ 所 确定的矩阵,其最简单的形式将是怎样的？我们留待第十四章讨论.
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坐标变换公式
定理2 设 Vn 中的元素 ξ , 在基 ε 1 , ε 2 , …,ε n
下的坐标为 (x1 , x2 , … , xn)T , 在基 ε′1, ε′ 2 , … , ε′ n 下的坐标为 (x1′ , x2′ , … , xn′ )T. 若两个基满足关 系式 (1) , 则有坐标变换公式
⎛ x1 ⎞ ⎛ a11 a12 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ a21 a22 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ x n ⎠ ⎝ a n1 a n 2 ′ ⎛ x1 ⎞ ⎛ a11 a12 ⎜ ′⎟ ⎜ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ a21 a22 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ′ ⎝ x n ⎠ ⎝ a n1 a n 2 ′ a1n ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎟⎜ ′ ⎟ a2 n ⎟ ⎜ x2 ⎟ , ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ′ ann ⎠ ⎝ xn ⎠
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线性空间的基变换与坐标变换
在 n 维线性空间中，任意 n 个线性无关的向量 都可以作为线性空间的基，即空间的基不唯一. 对 不同的基，同一个向量的坐标一般是不同的. 我们 要研究的问题是，随着基的改变，向量的坐标是 怎样变化的.
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定义1 设 ε 1 , ε 2 , … , ε n 与ε1′ , ε2′ , …, εn′ 是
′ ⎛ x1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ′⎟ ⎜ x2 ⎟ = A ⎜ x2 ⎟ , 或 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ′ ⎝ xn ⎠ ⎝ xn ⎠
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⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
′ x1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ′ x2 ⎟ x2 ⎟ −1 ⎜ = A ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ′ xn ⎠ ⎝ xn ⎠
21 1 22 2 2n n 2 m1 1 m2 2 mn n
高 ⎤ 等 代 数 2 − 1⎤x +a x +…+a 多媒 x = b a ⎡1 ⎡2 1 − 1 a 体
11 1 12 2 1n n
1
m
课 件
III IV 0 VII x VIII V I
⎡1 ⎢0 →⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
1 1 0 廖0 福 成
′ , ε n ) = (ε 1 , ε 2 ,
(3)
′ ′ (ε 1 , ε 2 ,
, ε n ) A (1)
′ ′ (ε 1 , ε 2 ,
′ , ε n ) = (ε 1 , ε 2 ,
, ε n ) A (1)
′ ⎛ x1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x′ ⎟ ⎜ x2 ⎟ ′ , ε 2 , , ε n )⎜ 2 ⎟ ′ (ε 1 , ε 2 , , ε n )⎜ ⎟ = ξ = (ε 1 ′ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x′ ⎟ ⎜x ⎟ ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ ′ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ x′ ⎟ 2 = (ε 1 , ε 2 , , ε n ) A ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x′ ⎟ ⎝ n⎠ 由于基向量线性无关, 故有关系式 (3).
a11 a12 13 ⎢3 a21 a22 a23 a31 a32
(－) (－) (－)
a ⎢0 3 − 1⎥x +a x +…+a 教 x = b ⎥ 0 − 1⎥解 析 几 何 ⎥ ………… 学 (+) ⎢ ⎢ a33 (+) ⎢2 1 4 a⎥ x +a x +…+a电子 x = b ⎢1 (+) 2 4 ⎥ ⎦ ⎦ ⎣ z ⎣
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8.0 线性空间、线性变换复习
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线性空间定义
设 V 是一个非空集合 , K 是一个数域. 在集合 V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做
Байду номын сангаас
加法； 这就是说，给出了一个法则，对于 V 中任
意两个元素 α 与 β ，在 V 中都有唯一的一个元素
γ 与它们对应，称为 α 与 β 的和，记为 γ = α + β .
定义 1 线性空间 V 的一个变换 A 称为线性 变换，如果对于 V 中任意的元素 α , β 和数域 K 中
任意数 k ，都有
A (α + β ) = A (α ) + A (β ) , A ( kα ) = k A (α ) .
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以后我们一般用花体拉丁字母 A , B , … 代表 V 的变换， A (α) 或 A α 代表元素 α 在变换 A 下 的像. 定义中的等式所表示的性质，有时也说成线性 变换保持向量的加法与数量乘法.
′ ⎛ x1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ′⎟ x2 ⎟ x ⎜ = A⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ′ xn ⎠ ⎝ ⎝ xn ⎠
证 因
证毕
(3)
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这个定理的逆命题也成立. 即若任一元素的 两种坐标满足坐标变换公式 (3), 则两个基满足变 换公式 (1).
强调一下，(3)式就是
1 11 1 21 2 n1 n
阵形式：
a1n ⎞ ⎟ a2 n ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ann ⎠
⎨ ⎪ ⎪ε n = a1nε 1 + a2nε 2 + ⎩ ′
2
12 1
22 2
n2 n
(1)
+ annε n .
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矩阵
⎛ a11 a12 ⎜ ⎜ a21 a22 A=⎜ ⎜ ⎜a ⎝ n1 an2
现在的问题就是找出 ( x1 , x2 , 关系.
, xn )T 与 ( x′ , x′ , 1 2
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基变换公式的矩阵形式
为了写起来方便，我们引入一种形式的写法. 把基写成一个 1 × n 矩阵，于是 (1) 可写成如下矩
⎛ a11 a12 ⎜ ⎜ a21 a22 ′ ′ ′ (ε 1 , ε 2 , , ε n ) = (ε 1 , ε 2 , , ε n )⎜ ⎜ ⎜a ⎧ε′ = a ε + a ε + + a ε , ⎝ n1 an2 ⎪ε ′ = a ε + a ε + + a ε , ⎪
A ξ = A (x1ε1 + x2ε2 + … + xnεn )
a1n ⎞ ⎟ a2 n ⎟ ⎟ ⎟ ann ⎠
−1
或
⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ xn ⎠
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′ ⎛ x1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ′⎟ x2 ⎟ x ⎜ = A⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ′ xn ⎠ ⎝ ⎝ xn ⎠
(3)
线性变换定义
ξ = x1ε1 + x2ε2 + … + xnεn
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(4)
ξ = x1ε1 + x2ε2 + … + xnεn
(4)
其中系数是唯一确定的，它们就是 ξ 在这组基下的 坐标. 由于线性变换保持线性关系不变，因而在 ξ 的像 A ξ 与基的像 A ε1 , A ε2 , … , A εn 之间也必然 有相同的关系：
在数域 K 与集合 V 的元素之间还定义了一种运算 , 叫做数量乘法； 这就是说，对于数域 K 中任一 数 k 与 V 中任一元素 α ，在 V 中都有唯一的一个
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元素 δ 与它们对应，称为 k 与 α 的数量乘积，记
δ = kα . 如果加法与数量乘法满足下述规则，那
么 V 称为数域 K 上的线性空间. 加法满足下面四条规则： 1) α + β = β + α ； 2) (α + β ) + γ = α + (β + γ )； 3) 在 V 中有一个元素 0，对于 V 中任一元素
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设向量 ξ 在这两组基下的坐标分别是 ( x1 , x2 , ′ 2 ( x1 , x′ , ′ , xn )T ，即 ′ ′ + xn ε n = x1ε 1 + x′ ε ′ + 2 2
, xn )T 与
ξ = x1ε 1 + x2ε 2 +
′ n + xn ε ′ （2) , x′ )T 的 n