计算方法-4.6-4.7龙贝格、高斯求积公式
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C 2 n T2 (k )
--------(8)
表明：用S 2 n 和S n 作适当组合 会得到比S 2 n 更精确的值，即 逐次分半的柯特斯公式C n。11
当然
2016/8/14
同理：用C2n和Cn组合又可得到比C2n更精确的积分公式
由复合Cotes公式的余项
1 I C2 n (C2 n Cn ) 63 64 1 64 1 得 I C2 n Cn T2 ( k ) T2 ( k 1) 63 63 63 63 64 1 --------(9) 令 T3 ( k 1) T2 ( k ) T2 ( k 1) 63 63
即 当然
2016/8/14
Rn R2k 1 T3 (k 1)
R2 n T3 (k )
公式(9)称为龙贝格 积分公式
12
将 上 述 结 果 综 合 后
ba T0 (0 ) [ f ( a ) f (b )] 2 2 k 1 1 1 ba ba T0 (k ) T0 (k 1) k f (a (2 j 1) k ) 2 2 2 j 0
§ 4.6 龙贝格逐次分半加速法 §
4.6.1 梯形法的递推化
由上节讨论得知加密节点可以提高求积公式的精 度，复化求积方法对提高精度是行之有效的，但 必须事先给出合适的步长（即n的选取），如何 解决这样的难题。
2016/8/14
1
综合前几节的内容,我们知道
梯形公式,Simpson公式,Cotes公式的代数精度分别为
（4）将区间再分半，计算 T8，S 4，C2，进而计算R1；
（5）将区间再分半，重复 第四步的过程，计算T16，S8，C4，R2， 反复进行这一过程，可 计算得到R1，R2，R4， ，直到前后 两个R之差不超过给定精度要 求为止。
其计算过程是将区间逐次分半，加速得到积分近似值， 因此称为逐次分半加速法
2016/8/14 15
龙贝格公式计算步骤：
（ 1 ）计算积分区间两端点 函数值f (a)和f (b)，计算T1； ab （2）将区间 [a, b]分半，计算f ( )，T2，S1； 2 ba ba （3）再将区间分半，算出 f (a )和f (a 3 )， 2 4 由此计算T4，S 2，C1；
移项 合并
1 4(b a ) n 1 Tn f (x 1 ) j 3 6n j 0 2
8
2016/8/14
n 1 ba Tn [ f ( a) 2 f ( x j ) f (b)] 2n j 1
n 1 1 ba 4(b a) n 1 I [ ( f (a) f (b) 2 f ( x j )] f (x 1 ) j 3 2n 6n j 0 j 1 2 n 1 n 1 ba ( f ( a) f (b) 2 f ( x j ) 4 f ( x 1 )] j 6n j 1 j 0 2
Sn
复合Simpson公式
表明：由梯形公式前后两次结果的线性组合可 构造出精确度较高的辛普森公式
2016/8/14 9
设n 2 k 1
4 1 4 1 I T2 n Tn T0 ( k ) T0 ( k 1) 3 3 3 3 4 1 T1 ( k 1) T0 ( k ) T0 ( k 1) 3 3 --------(5)
2016/8/14 16
sin x 例1 将三个加速公式用于求 I dx 0 x
1
k
0
T2k
0.9207355
S2k 1
0.9461459
0.9460869 0.9460833
C2k 2
0.9460830 0.9460831
R2k 3
1
2 3
0.9397933
0.9445735 0.9456909
1 b a 2 1 ba T0 (k ) T0 (k 1) k f (a (2 j 1) k ) 2 2 2 j 0 k 1, 2 ,
k 1
T0 (0 )
ba [ f ( a ) f (b )] 2
-------(4)
上式称为复合变步长梯形求积公式
0.9460831
从表中可以看出三次加速求得R1=0.9460831每位数字都是 有效数字
2016/8/14
17
例2. 使用龙贝格方法计算定积分
并使误差不超过0.0001 。
2
1
1 dx ， x
解：（1）在区间[1,2]上用梯形公式得
T1(0)
百度文库
1 1 1 1 [ f (1) f (2)] [ ] 0.75000 2 2 1 2
n 1 ba Tn [ f ( a) 2 f ( x j ) f (b)] 2n j 1
b
--------(1)
如果将 [a, b]分割为2n等份，而h (b a) /n不变, 则
n 1 n 1 ba T2 n [ f ( a ) 2 f ( x j ) 2 f ( x 1 ) f (b)] j 4n j 1 j 0 2 --------(2)
外推 加速 公式
以上整个过程称为Romberg算法
2016/8/14 13
其中外推加速公式可简化为
1 Tm ( k 1) m [ 4 m Tm 1 ( k ) Tm 1 ( k 1)] 4 1
--------(9)
并且m可以推广到m 1,2 ,
Romberg算法求解步骤
16 1 16 1 I S 2 n S n T1 ( k ) T1 ( k 1) 15 15 15 15 16 1 T2 ( k 1) T1 ( k ) T1 ( k 1) Cn 15 15
--------(7)
Cn C2 k 1 T2 (k 1)
（2）将[1,2]二等分，计算T1(1)
T1(1)
2016/8/14
ba 1 ab 1 [ f (a) f ( ) f (b)] 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 [ ] 0.70833 2 2 1 1 2 2 2 2
18
（3）将[1,2]再分半成四等分
T1( 2) 1 (1) 2 1 T1 2 2 2
[ f (1
i 1
21
2 1 2
2
(2i 1)]
1 (1) 1 1 1 T1 [ f (1 (2 1)) f (1 (4 1))] 2 4 4 4 1 (1) 1 5 7 T1 [ f ( ) f ( )] 2 4 4 4 1 (1) 1 1 1 T1 [ ] 0.69702 2 4 5 7 4 4 4 ( 2) 1 (1) (1) ( 2) (1) (1) 由T1 ，T1 构造T2 ，T2 T1 － T1 ＝0.69325 3 3
2016/8/14
7
二、外推加速公式
由复合梯形公式的余项公式
1 I T2 n (T2 n Tn ) 3 4 1 可得 I T2 n Tn 3 3
T2n 1 h Tn 2 2
f (x
j 0
n 1
j
1) 2
由(3)式
4 1 b a n 1 1 I ( Tn f ( x 1 )) Tn j 3 2 2n j 0 3 2
记Tn T0 (k 1)
ba h k 1 2
ba x j a jh a j k 1 2
x
j
1 2
1 ba ba 1 x j h a ( j ) k 1 a ( 2 j 1) k 2 2 2 2
6
2016/8/14
因此(1)(2)(3)式可化为如下递推公式
4 1 T1 ( k 1) T0 ( k ) T0 ( k 1) 3 3 16 1 T2 ( k 1) T1 ( k ) T1 ( k 1) 15 15 64 1 T3 ( k 1) T2 ( k ) T2 ( k 1) 63 63
k 1, 2 ,
1次,3次和5次
复合梯形、复合Simpson、复合Cotes公式的收敛阶分别为
2阶、4阶和6阶 无论从代数精度还是收敛速度,复合梯形公式都是较差的 有没有办法改善梯形公式呢?
2016/8/14
2
一、复合梯形公式的递推化
将定积分I f ( x)dx 的积分区间 [a , b]分割为n等份 a ba x a jh , j 0 , 1 , , n 各节点为 h j n 复合梯形(Trapz)公式为
2016/8/14
--------(3)
5
n 1时，h b a
则由(1)(2)(3)式,有
ba T1 [ f ( a ) f (b)] 2 1 ba 1 T2 T1 f ( a h) 2 2 2
T0 (0) T0 (1)
k 1, 2 ,
若n 2 k 1
引入 T1 (k 1),令
S n S 2 k 1
即
Sn S2 k 1 T1 ( k 1)
S 2 n T1 ( k )
--------(6)
当然
2016/8/14
10
因此由复合Simpson公式的余项
I S2 n 1 ( S2 n Sn ) 15
Cn
可得 令 即
3
2016/8/14
由(1)(2)两式可
T2n
1 h Tn 2 2
f (x
j 0
n 1
1) j 2
--------(3)
(3)式称为递推的梯形公式 递推梯形公式加上一个控制精度,即可成为自动选 取步长的复化梯形公式
优点：梯形法计算简单 缺点：收敛慢，为了达到要求的精度，需要二分区间 多次，分点大量增加，计算量很大
1 b a n 1 1 b a n 1 1 Tn f ( x 1 ) Tn f (a ( j )h) j 2 2n j 0 2 2n j 0 2 2 1 b a n 1 ba Tn f ( a ( 2 j 1) ) 2 2 n j 0 2n
2016/8/14 4
其中x
j
1 2
1 1 x j h a ( j )h 2 2
n 1 n 1 ba T2 n [ f ( a ) 2 f ( x j ) 2 f ( x 1 ) f (b)] j 4n j 1 j 0 2 n 1 ba b a n 1 [ f (a) 2 f ( x j ) f (b)] 2 f ( x 1 ) j 4n 4n j 0 j 1 2
m
4 1 4 1 修正效果不大，因此，一般不再继续下去。
1与
1
m
0，对积分
上述公式推导说明，T1公式是梯形公式，对于次数不高 于1的多项式准确；S1是辛普森公式，对于次数不高于3 的多项式准确；C1是柯特斯公式，它对于次数不高于5 的多项式准确，每一个公式均由前一公式的适当线性组 合得到，精确度都提高2次。因此可以验证，由柯特斯 公式C1构造得到的龙贝格公式R1，对次数不高于7次的 多项式准确。 龙贝格公式计算积分占用内存少，精度高
k 1, 2 ,
Romberg算法的代 数精度为m的两倍 Romberg算法的收敛 阶高达m+1的两倍
T0 (0 ) T0 (1) T0 ( 2 ) T0 ( 3)
2016/8/14
T1 (0 ) T1 (1) T1 ( 2 ) T2 (0 ) T2 (1)
T3 (0 )
14
当然，还可以继续对Rn 做下去，但由于在新的求积公式中， 当时m 4，其线性组合系数 4m
由T2(0)，T2(1)构造T3(0)，T3(0)
2016/8/14
4 2 T2(1)－T2(0) 4 1
2
＝0.69317
19
（4）将[1,2]再分半成八等分
T1(3) 1 ( 2) 2 1 T1 3 2 2
--------(8)
表明：用S 2 n 和S n 作适当组合 会得到比S 2 n 更精确的值，即 逐次分半的柯特斯公式C n。11
当然
2016/8/14
同理：用C2n和Cn组合又可得到比C2n更精确的积分公式
由复合Cotes公式的余项
1 I C2 n (C2 n Cn ) 63 64 1 64 1 得 I C2 n Cn T2 ( k ) T2 ( k 1) 63 63 63 63 64 1 --------(9) 令 T3 ( k 1) T2 ( k ) T2 ( k 1) 63 63
即 当然
2016/8/14
Rn R2k 1 T3 (k 1)
R2 n T3 (k )
公式(9)称为龙贝格 积分公式
12
将 上 述 结 果 综 合 后
ba T0 (0 ) [ f ( a ) f (b )] 2 2 k 1 1 1 ba ba T0 (k ) T0 (k 1) k f (a (2 j 1) k ) 2 2 2 j 0
§ 4.6 龙贝格逐次分半加速法 §
4.6.1 梯形法的递推化
由上节讨论得知加密节点可以提高求积公式的精 度，复化求积方法对提高精度是行之有效的，但 必须事先给出合适的步长（即n的选取），如何 解决这样的难题。
2016/8/14
1
综合前几节的内容,我们知道
梯形公式,Simpson公式,Cotes公式的代数精度分别为
（4）将区间再分半，计算 T8，S 4，C2，进而计算R1；
（5）将区间再分半，重复 第四步的过程，计算T16，S8，C4，R2， 反复进行这一过程，可 计算得到R1，R2，R4， ，直到前后 两个R之差不超过给定精度要 求为止。
其计算过程是将区间逐次分半，加速得到积分近似值， 因此称为逐次分半加速法
2016/8/14 15
龙贝格公式计算步骤：
（ 1 ）计算积分区间两端点 函数值f (a)和f (b)，计算T1； ab （2）将区间 [a, b]分半，计算f ( )，T2，S1； 2 ba ba （3）再将区间分半，算出 f (a )和f (a 3 )， 2 4 由此计算T4，S 2，C1；
移项 合并
1 4(b a ) n 1 Tn f (x 1 ) j 3 6n j 0 2
8
2016/8/14
n 1 ba Tn [ f ( a) 2 f ( x j ) f (b)] 2n j 1
n 1 1 ba 4(b a) n 1 I [ ( f (a) f (b) 2 f ( x j )] f (x 1 ) j 3 2n 6n j 0 j 1 2 n 1 n 1 ba ( f ( a) f (b) 2 f ( x j ) 4 f ( x 1 )] j 6n j 1 j 0 2
Sn
复合Simpson公式
表明：由梯形公式前后两次结果的线性组合可 构造出精确度较高的辛普森公式
2016/8/14 9
设n 2 k 1
4 1 4 1 I T2 n Tn T0 ( k ) T0 ( k 1) 3 3 3 3 4 1 T1 ( k 1) T0 ( k ) T0 ( k 1) 3 3 --------(5)
2016/8/14 16
sin x 例1 将三个加速公式用于求 I dx 0 x
1
k
0
T2k
0.9207355
S2k 1
0.9461459
0.9460869 0.9460833
C2k 2
0.9460830 0.9460831
R2k 3
1
2 3
0.9397933
0.9445735 0.9456909
1 b a 2 1 ba T0 (k ) T0 (k 1) k f (a (2 j 1) k ) 2 2 2 j 0 k 1, 2 ,
k 1
T0 (0 )
ba [ f ( a ) f (b )] 2
-------(4)
上式称为复合变步长梯形求积公式
0.9460831
从表中可以看出三次加速求得R1=0.9460831每位数字都是 有效数字
2016/8/14
17
例2. 使用龙贝格方法计算定积分
并使误差不超过0.0001 。
2
1
1 dx ， x
解：（1）在区间[1,2]上用梯形公式得
T1(0)
百度文库
1 1 1 1 [ f (1) f (2)] [ ] 0.75000 2 2 1 2
n 1 ba Tn [ f ( a) 2 f ( x j ) f (b)] 2n j 1
b
--------(1)
如果将 [a, b]分割为2n等份，而h (b a) /n不变, 则
n 1 n 1 ba T2 n [ f ( a ) 2 f ( x j ) 2 f ( x 1 ) f (b)] j 4n j 1 j 0 2 --------(2)
外推 加速 公式
以上整个过程称为Romberg算法
2016/8/14 13
其中外推加速公式可简化为
1 Tm ( k 1) m [ 4 m Tm 1 ( k ) Tm 1 ( k 1)] 4 1
--------(9)
并且m可以推广到m 1,2 ,
Romberg算法求解步骤
16 1 16 1 I S 2 n S n T1 ( k ) T1 ( k 1) 15 15 15 15 16 1 T2 ( k 1) T1 ( k ) T1 ( k 1) Cn 15 15
--------(7)
Cn C2 k 1 T2 (k 1)
（2）将[1,2]二等分，计算T1(1)
T1(1)
2016/8/14
ba 1 ab 1 [ f (a) f ( ) f (b)] 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 [ ] 0.70833 2 2 1 1 2 2 2 2
18
（3）将[1,2]再分半成四等分
T1( 2) 1 (1) 2 1 T1 2 2 2
[ f (1
i 1
21
2 1 2
2
(2i 1)]
1 (1) 1 1 1 T1 [ f (1 (2 1)) f (1 (4 1))] 2 4 4 4 1 (1) 1 5 7 T1 [ f ( ) f ( )] 2 4 4 4 1 (1) 1 1 1 T1 [ ] 0.69702 2 4 5 7 4 4 4 ( 2) 1 (1) (1) ( 2) (1) (1) 由T1 ，T1 构造T2 ，T2 T1 － T1 ＝0.69325 3 3
2016/8/14
7
二、外推加速公式
由复合梯形公式的余项公式
1 I T2 n (T2 n Tn ) 3 4 1 可得 I T2 n Tn 3 3
T2n 1 h Tn 2 2
f (x
j 0
n 1
j
1) 2
由(3)式
4 1 b a n 1 1 I ( Tn f ( x 1 )) Tn j 3 2 2n j 0 3 2
记Tn T0 (k 1)
ba h k 1 2
ba x j a jh a j k 1 2
x
j
1 2
1 ba ba 1 x j h a ( j ) k 1 a ( 2 j 1) k 2 2 2 2
6
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因此(1)(2)(3)式可化为如下递推公式
4 1 T1 ( k 1) T0 ( k ) T0 ( k 1) 3 3 16 1 T2 ( k 1) T1 ( k ) T1 ( k 1) 15 15 64 1 T3 ( k 1) T2 ( k ) T2 ( k 1) 63 63
k 1, 2 ,
1次,3次和5次
复合梯形、复合Simpson、复合Cotes公式的收敛阶分别为
2阶、4阶和6阶 无论从代数精度还是收敛速度,复合梯形公式都是较差的 有没有办法改善梯形公式呢?
2016/8/14
2
一、复合梯形公式的递推化
将定积分I f ( x)dx 的积分区间 [a , b]分割为n等份 a ba x a jh , j 0 , 1 , , n 各节点为 h j n 复合梯形(Trapz)公式为
2016/8/14
--------(3)
5
n 1时，h b a
则由(1)(2)(3)式,有
ba T1 [ f ( a ) f (b)] 2 1 ba 1 T2 T1 f ( a h) 2 2 2
T0 (0) T0 (1)
k 1, 2 ,
若n 2 k 1
引入 T1 (k 1),令
S n S 2 k 1
即
Sn S2 k 1 T1 ( k 1)
S 2 n T1 ( k )
--------(6)
当然
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10
因此由复合Simpson公式的余项
I S2 n 1 ( S2 n Sn ) 15
Cn
可得 令 即
3
2016/8/14
由(1)(2)两式可
T2n
1 h Tn 2 2
f (x
j 0
n 1
1) j 2
--------(3)
(3)式称为递推的梯形公式 递推梯形公式加上一个控制精度,即可成为自动选 取步长的复化梯形公式
优点：梯形法计算简单 缺点：收敛慢，为了达到要求的精度，需要二分区间 多次，分点大量增加，计算量很大
1 b a n 1 1 b a n 1 1 Tn f ( x 1 ) Tn f (a ( j )h) j 2 2n j 0 2 2n j 0 2 2 1 b a n 1 ba Tn f ( a ( 2 j 1) ) 2 2 n j 0 2n
2016/8/14 4
其中x
j
1 2
1 1 x j h a ( j )h 2 2
n 1 n 1 ba T2 n [ f ( a ) 2 f ( x j ) 2 f ( x 1 ) f (b)] j 4n j 1 j 0 2 n 1 ba b a n 1 [ f (a) 2 f ( x j ) f (b)] 2 f ( x 1 ) j 4n 4n j 0 j 1 2
m
4 1 4 1 修正效果不大，因此，一般不再继续下去。
1与
1
m
0，对积分
上述公式推导说明，T1公式是梯形公式，对于次数不高 于1的多项式准确；S1是辛普森公式，对于次数不高于3 的多项式准确；C1是柯特斯公式，它对于次数不高于5 的多项式准确，每一个公式均由前一公式的适当线性组 合得到，精确度都提高2次。因此可以验证，由柯特斯 公式C1构造得到的龙贝格公式R1，对次数不高于7次的 多项式准确。 龙贝格公式计算积分占用内存少，精度高
k 1, 2 ,
Romberg算法的代 数精度为m的两倍 Romberg算法的收敛 阶高达m+1的两倍
T0 (0 ) T0 (1) T0 ( 2 ) T0 ( 3)
2016/8/14
T1 (0 ) T1 (1) T1 ( 2 ) T2 (0 ) T2 (1)
T3 (0 )
14
当然，还可以继续对Rn 做下去，但由于在新的求积公式中， 当时m 4，其线性组合系数 4m
由T2(0)，T2(1)构造T3(0)，T3(0)
2016/8/14
4 2 T2(1)－T2(0) 4 1
2
＝0.69317
19
（4）将[1,2]再分半成八等分
T1(3) 1 ( 2) 2 1 T1 3 2 2