三角形的五心

三角形的五心

三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.

一、外心.

三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.

例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN

∥BA 交AC 于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上.

(杭州大学《中学数学竞赛习题》)

分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP

=NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点

N 是△P ′PC 的外心.有

∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ， ∠PP ′C =21∠PNC =2

1

∠BAC .

∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC .

从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC . 例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，

△BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似.

(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)

分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，

△CSQ 的外心，作出六边形 O 1PO 2QO 3S 后再由外

心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ， ∠SO 3Q =2∠C .

∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+

∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°

将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，

同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3.

A B C P P M

N 'A B C Q

K P O O O ....S 123

∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=2

1

∠O 2O 1K =

21

(∠O 2O 1S +∠SO 1K ) =21

(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2)

=2

1

∠PO 1S =∠A ；

同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC . 二、重心

三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.

例3．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在

△PAD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和.

(第26届莫斯科数学奥林匹克)

分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB ，BC 相交.从A ，C ，D ，E ，F 分别 作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′， D ′，E ′，F ′. 易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，2EE ′=AA ′+CC ′， ∴EE ′=DD ′+FF ′. 有S △PGE =S △PGD +S △PGF .

两边各扩大3倍，有S △PBE =S △PAD +S △PCF .

例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它

的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.

分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简

记为△′.G 为重心，连DE 到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF .

(1)a 2，b 2，c 2成等差数列⇒△∽△′. 若△ABC 为正三角形，易证△∽△′. 不妨设a ≥b ≥c ，有

CF =2222221

c b a -+， BE =222222

1

b a

c -+， A

A 'F F 'G

E E '

D 'C 'P

C B D

AD =222222

1

a c

b -+. 将a 2+

c 2=2b 2，分别代入以上三式，得 CF =

a 23，BE =

b 23，AD =

c 2

3. ∴CF :BE :AD =

a 23:

b 23:

c 2

3

=a :b :c .

故有△∽△′.

(2)△∽△′⇒a 2，b 2，c 2成等差数列. 当△中a ≥b ≥c 时， △′中CF ≥BE ≥AD . ∵△∽△′， ∴

∆∆S S '＝(a

CF )2

. 据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形

面积的

4

3”，有∆∆S S '=43

.

∴22a

CF =43

⇒3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c 2

⇒a 2+c 2=2b 2

.

三、垂心

三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利. 例5．设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为

△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心.求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置. (1992，全国高中联赛) 分析：连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径

为R .由△A 2A 3A 4知 .

O

A A A A 1

2

3

4

H H

1

2