2016--华杯决赛(小学高年级组).第2讲.数论与数论型数字谜
华杯赛知识点模块考点分析(杂题)
华杯赛知识点模块考点分析（杂题）华杯赛考试试题难度在几大权威杯赛中是比较高的，不过我们仔细研究每年的试题，都会发现常见的知识点模块，我们针对性的做复习巩固，相信会取得不错的成绩。
本套试题针对杯赛考试的知识点模块考点，进行分析解答。
以供参考。
构造论证与最值：一、整体比重构造论证、极值问题在华杯赛中还是占有相当的比重。
从十四、十五届决赛试卷来看，整体比重在16.7%。
如第十届的第3和12题，十五届的9和11题，考的都是这种类型的试题。
二、知识点分布以及难度分布构造论证、极值问题等问题考察知识点比较分散，从最近四年的试题来看，考察过的知识点主要有：1、等差数列估算和极值问题；2、操作问题-----划数、最大值最小值；3、逻辑推理-----足球赛、数独；4、构造问题------相间染色。
【考察难度】所考知识点以中等试题为主，含个别难题，试题以3★、4★为主。
学生基本上能下手，但是真正要得满分，还是需要加强各方面的训练！【最近四届试题分析】[15届决赛]右图中有5个由4个1×1的正方格组成的不同形状的硬纸板。
问能用这5个硬纸板拼成右图中4×5的长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由。
【答案】不能【知识点】染色分析+奇偶性分析【分析】将长方形黑白染色，将5个图形也进行黑白染色，如下图除④号盖住3个黑的或者1个黑的，其它均盖住一黑一白，所以5个纸板只能盖住11个黑的或者9个黑的。
矛盾！【总结】此类题目难度不大，基本方法也是常规的黑白相间染色。
但是对解题的步骤有很高的要求！[15届决赛]足球队A，B，C，D，E进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜队得3分，负队得0分，平局两队各得1分，若A，B，C，D队总分分别是1，4，7，8，请问：E队至多得几分？至少得几分？【答案】7、5【知识点】逻辑推理---足球赛【分析】假设ABCDE5支队伍总分为abcde，则五队总分为a+b+c+d+e=20+e。
华杯赛复赛中年级必考模块之数论,数字谜与数阵图
数论，高年级考察的比较多，中年级不是很多，
但基本的一些奇偶，整除特征等得会；2
数字谜是中年级的重点考察内容，尤其提醒大家关注弃9法关注末位定理数阵图也是中年级的重点考察内容基本的两种
关注弃9法，关注末位定理；3数阵图也是中年级的重点考察内容，基本的两种数阵图必会，数阵图模型要会用。
(2010年第十五届华杯赛决赛)在10个盒子中放乒乓球，每个盒子中的球22则()
已知A ＋B ＋C ＋D ＝22，则X ＋Y ＝( )A ．2B ．4C ．7D ．13年第十华杯赛中年组决赛3．(2012年第十七届华杯赛中年级组决赛)右图是两个两位数的减法竖式，其中A ，B ，C ，D 代表不同的数字当被减数取最大值时数字。
当被减数AB 取最大值时，A ×B ＋(C ＋
E )×(D ＋
F )＝_______。
4．(2009年第十四届华杯赛决赛)已知1＋2＋3＋⋯＋n (n >2)的和的个位数为3，十位数为0，则n 的最小值是_______。
(2009年第十四届华杯赛决赛)在51个连续的奇数135⋯101中选取5．(2009年第十四届华杯赛决赛)在51个连续的奇数1，3，5，，101中选取个数，使得它们的和为1949，那么k 的最大值是多少？。
华杯赛复赛中年级必考模块之数论,数字谜与数阵图
华杯赛复赛中年级必考模块之数论,数字谜与数阵图
数论，高年级考察的比较多，中年级不是很多，
但基本的一些奇偶，整除特征等得会；2
数字谜是中年级的重点考察内容，尤其提醒大家关注弃9法关注末位定理数阵图也是中年级的重点考察内容基本的两种
关注弃9法，关注末位定理；3数阵图也是中年级的重点考察内容，基本的两种数阵图必会，数阵图模型要会用。
(2010年第十五届华杯赛决赛)在10个盒子中放乒乓球，每个盒子中的球22则() 已知A ＋B ＋C ＋D ＝22，则X ＋Y ＝( )A ．2B ．4C ．7D ．13年第十华杯赛中年组决赛3．(2012年第十七届华杯赛中年级组决赛)右图是两个两位数的减法竖式，其中A ，B ，C ，D 代表不同的数字当被减数取最大值时数字。
当被减数AB 取最大值时，A ×B ＋(C ＋
E )×(D ＋
F )＝_______。
4．(2009年第十四届华杯赛决赛)已知1＋2＋3＋?＋n (n >2)的和的个位数为3，十位数为0，则n 的最小值是_______。
(2009年第十四届华杯赛决赛)在51个连续的奇数135?101中选取5．(2009年第十四届华杯赛决赛)在51个连续的奇数1，3，5，，101中选取个数，使得它们的和为1949，那么k 的最大值是多少？。
小学华杯赛知识点模块考点分析之数论问题
小学华杯赛知识点模块考点分析之数论问题教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书，包括教材简析和学生分析、教学目的、重难点、教学准备、教学过程及练习设计等，下面是由小编为大家整理的范文模板,仅供参考,欢迎大家阅读.小编小学生频道为网友整理的《小学华杯赛知识点模块考点分析之数论问题》，供大家参考学习。
相关年级最新信息：小学英语小学奥数一年级二年级三年级四年级五年级六年级一、数论模块命题特点分析结论1、问题考察频率较高十四届第_题，十五届第_题连续两届对于约倍问题进行考察，且全部涉及公约数与最小公倍数的性质，可以预测约倍问题是今年备考的一个重点方向。
【第十四届华杯赛决赛第_题】已知a，b，c是三个自然数，且a与b的最小公倍数是60，a与c的最小公倍数是270，求b与c的最小公倍数。
【第十五届华杯赛决赛第_题】右图是一个玩具火车轨道，A点有个变轨开关，可以连接B或者C。
小圈轨道的周长是1.5米，大圈轨道周长是3米。
开始时，A连接C，火车从A点出发，按照顺时针方向在轨道上移动，同时变轨开关每隔1分钟变换一次轨道连接。
若火车的速度是每分钟_米，则火车第_次回到A点时用了____秒钟。
2、质合问题命中度高十四届第6题，十五届第_题两次涉及质数合数与分解质因数的考点，有较大的预测意义。
第一次简单考察分解质因数，第二次考察质数判别法，需要考生认真整理这一部分知识框架。
【第十四届华杯赛决赛第6题】已知三个合数A，B，C两两互质，且A_B_C 的值为?【答案】：_26。
【第十五届华杯赛决赛第_题】华罗庚爷爷出生于__年_月_日。
将这些数字排成一个整数，并且分解成_1__2=_63__424，请问这两个数_63和_424中有质数吗?并说明理由。
【答案】：_63是质数，理由略。
3、数字谜与分数拆分思想在压轴题中的展现十四届第_题，十五届第_题。
第21届“华杯赛”决赛小高组C组试题和参考答案
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第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 C 参考答案(小学高年级组)
第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题 C 参考答案 （小学高年级组） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分）
题号 答案 1 2 五 3 0 4 12 5 81 6 23 7 1 8 24
1
2 3
二、解答下列各题（每小题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 9. 答案：525 米 10.答案：156 个 11.答案：24 种 12.答案：15 分钟 三 解答下列各题（每题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程） 13.答案：5050，2394 14.答案：8 人
三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）
13. 黑板上先写下一串数：1，2，3，…，100，如果每次都擦去最前面的 6 个， 并在这串数的最后再写上擦去的 6 个数的和，得到新的一串数，再做同样 的操作，直到黑板上剩下的数不足 6 个. 问：(1) 最后黑板上剩下的这些数 的和是多少？(2) 最后所写的那个数是多少？ 14. 数学竞赛，填空题 8 道，答对 1 题，得 4 分，未答对，得 0 分；问答题 6 道，答对 1 道，得 7 分，未答对，得 0 分. 参赛人数 400 人，至少有多少 人的总分相同？
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图2
第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 C (小学高年级组)
二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）
9. 甲、乙两人，在一圆形跑道上同时同地出发，反向跑步. 已知甲的速度是每 分钟 180m，乙的速度是每分钟 240m，在 30 分钟内，它们相遇了 24 次， 问跑道的长度最多是多少米？ 10. 一筐苹果分成甲乙两份，甲的个数和乙的苹果个数比是 27:25，甲多乙少， 若从甲中至少取出 4 个，加入乙中，则乙多甲少，问这筐苹果有多少个？ 11. 图 3 是一个等边三角形，等分为 4 个小的等边三角形，用红和 黄两种颜色涂染它们的顶点，要求每个顶点必须涂色，且只能 涂一种颜色. 涂完后， 如果经过旋转， 等边三角形的涂色相同， 则认为是相同的涂色，则共有多少种不同的涂法？
2016年第22届“华杯赛”初赛小高组试卷
第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级组）第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级组）（时间: 2016年12月10日10:00—11:00）一、选择题 (每小题10分, 共60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1. 两个有限小数的整数部分分别是7和10，那么这两个有限小数的积的整数部分有（ ）种可能的取值．（A ）16 （B ）17 （C ）18 （D ）192. 小明家距学校，乘地铁需要30分钟，乘公交车需要50分钟．某天小明因故先乘地铁，再换乘公交车，用了40分钟到达学校，其中换乘过程用了6分钟，那么这天小明乘坐公交车用了（ ）分钟．（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）123. 将长方形ABCD 对角线平均分成12段，连接成右图，长方形ABCD 内部空白部分面积总和是10平方厘米，那么阴影部分面积总和是（ ）平方厘米．（A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）204. 请在图中的每个方框中填入适当的数字，使得乘法竖式成立．那么乘积是（ ）．（A ）2986 （B ）2858 （C ）2672 （D ）2754CDB A第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级组）5. 在序列20170……中，从第5个数字开始，每个数字都是前面4个数字和的个位数，这样的序列可以一直写下去．那么从第5个数字开始，该序列中一定不会出现的数组是（ ）．（A ）8615 （B ）2016 （C ）4023 （D ）20176. 从0至9中选择四个不同的数字分别填入方框中的四个括号中，共有（ ）种填法使得方框中话是正确的．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4二、填空题(每小题 10 分,共40分)7. 若1532 2.254553923741A ⎛⎫-⨯÷+= ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭，那么A 的值是________． 8. 右图中，“华罗庚金杯”五个汉字分别代表1—5这五个不同的数字．将各线段两端点的数字相加得到五个和，共有________种情况使得这五个和恰为五个连续自然数．9. 右图中，ABCD 是平行四边形，E 为CD 的中点，AE 和BD 的交点为F ，AC 和BE 的交点为H ，AC 和BD 的交点为G ，四边形EHGF 的面积是15平方厘米，则ABCD 的面积是__________平方厘米．10. 若2017,1029与725除以d 的余数均为r ，那么d r -的最大值是________． 华庚 金 杯。
2016年第二十一届华杯赛初赛高年级组详解
）个数字 0． C.2015 D.2014
A.2017 【难度】☆ 【答案】C
B.2016
【考点】计算，多位数计算
【分析】 (102016 1)2 (102016 2) 102016 1 999...998000...001
2015个 2015个
4.
将 1，2，3，4，5，6，7，8 这 8 个数排成一行，使得 8 的两边各数之和相等，那么共有（ 种不同的排行．
A.1152 B.864 C.576 D.288
）
【考点】计数，加乘原理与排列组合 【难度】☆☆ 【答案】A
【分析】 1 2 3 7 28 ，8 的两边之和都是 14 研究有 7 的一边， 14 7 6 1 7 5 2 7 4 3 7 4 2 1 数的两侧分法有 4 种，两侧可互换，每个分法都是一边四个数另一边三个数，两边内部可互
第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛
初赛试卷（小学高年级组）
一、选择题（每小题 10 分，共 60 分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答 案的英文字母写在每题的圆括号内． ） 1. 算式 999 9 999 9 的结果中含有（
2016 个 2016 个
FG AB 6 ， CF
1 (CD FG ) 4 ， CG 10 ，令 AG BF h ，由勾股定理， 2
AC 2 AG 2 CG 2 h 2 100 CE 2 BC 2 BF 2 CF 2 h 2 16 AE 2 AC 2 CE 2 84
7.
两个正方形的面积之差为 2016 平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那么满足 上述条件的所有正方形共有 对．
第届华杯赛小高决赛B卷解析
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B（小学高年级组）一、填空题（每小题10份，共80分）1.计算：8184157.628.814.48012552⨯+⨯-⨯+=________．【难度】★【考点】计算：提取公因数【答案】1 12 2【解析】2.甲、乙、丙、丁四人共植树60棵．已知，甲植树的棵数是其余三人的二分之一，乙植树的棵数是其余三人的三分之一，丙植树的棵数是其余三人的四分之一，那么丁植树________棵．【难度】★★【考点】应用题：分数应用题【答案】13【解析】甲=总数的三分之一=20，乙=总数的四分之一=15，丙=总数的五分之一=12，所以丁6020151213=---=（棵）3.当时间为5点8分时，钟表面上的时针与分针成________度的角．【难度】★★【考点】行程：时钟问题【答案】106【解析】5点时，时针分针夹角150度，每分钟追赶60.5 5.5-=度，所以8分钟追赶5.5844⨯=度，所以成15044106-=度4.某个三位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，加4是6的倍数，那么这个数最小为________．【难度】★★【考点】数论：余数、最小公倍数【答案】122【解析】这个三位数减去2得到3、4、5、6的公倍数，取三位数120，所以最小值为122．5.贝塔星球有七个国家，每个国家恰有四个友国和两个敌国，没有三个国家两两都是敌国．对于一种这样的星球局势，共可以组成________个两两都是友国的三国联盟．【难度】★★★★【考点】计数：组合计数【答案】7【解析】用1234567,,,,,,A A A A A A A 这7个点代表七个国家，用虚线连接表示敌国关系，用实线连接表示友国关系．则每个国家连出2条虚线，4条实线．共7227⨯÷=条虚线，其余为实线．首先说明这7个点必然由7条虚线依次连接为一个闭合回路．2A 必与两个点连接虚线，不妨记为13,A A ，而3A 必然再与一个点连接虚线，记为4A ； 4A 虚线连接5A ，否则剩下3个点互为敌国关系；5A 虚线连接6A ，否则剩下两个点无法由2条虚线连接； 6A 虚线连接7A ，最后7A 只能虚线连接1A ． 最终连线图如下．只要选出的三个点没有任何两个相邻则满足条件．有135，136，146，246，247，257，357，这7种．（为了直观我们用1,2,3,4,5,6,7分别代表1234567,,,,,,A A A A A A A ）6. 由四个互不相同的非零数字组成的没有重复数字的所有四位数之和为106656，则这些四位数中最大的是________，最小的是________． 【难度】★★★【考点】数论:位值原理 【答案】9421，1249 【解析】设其中最小的四位数为abcd ，一共可组成432124⨯⨯⨯=个不同的四位数，由于每个数字在每位上均出现6次，则24个数和为()61111106656a b c d ⨯+++⨯=，则四个数字之和为16，所以最大和最小的可能为，9421和1249、8521和1258、8431和1348、7621和1267、7531和1357、7432和2347、6541和1456、6532和2356．7. 见右图，三角形ABC 的面积为1，3:1:=OB DO ，5:4:=OA EO ，则三角形DOE的面积为________． 【难度】★★★★【考点】几何：等积变形【答案】11135【解析】设三角形DOE 的面积为4x ，由比例关系不难得出图中另三块的面积分别为5,12,15x x x ，再设三角形DCE 的面积为y ，则有454121215CE y y x x BE x x x x ++==++，得14411y x =，则三角形DOE 的面积为411144135********=++++．8. 三个大于1000的正整数满足：其中任意两个数之和的个位数字都等于第三个数的个位数字，那么这3个数之积的末尾3位数字有________种可能数值． 【难度】★★★★★【考点】组合：分类讨论数论综合 【答案】4 【解析】设三个数的个位分别为,,a b c⑴ 如果,,a b c 都相等，则只能都为0；⑵ 如果,,a b c 中有两个相等，①,,a a c 且a c <，必有10c a a +=+，则10c =，与c 为数字矛盾； ②,,a a c 且a c >，则有,10c a a a a c +=+=+，则5,0a c ==；⑶ 如果,,a b c 都不相等，设a b c <<，则10,10c b a c a b +=++=+，则10c =，与c 为数字矛盾；综上三个数的个位分别为0，0，0或0，5，5； ⑴如果都为0，则乘积末尾3位为000； ⑵如果为0，5，5①如果个位为0的数，末尾3位都为0，则乘积末尾3位为000；②如果个位为0的数，末尾2位都为0，则乘积末尾3位为500或000；③如果个位为0的数，末尾1位为0设末尾两位为0c ，设另外两个末尾2位为5,5a b ，则()551005025a b ab a b ⨯=+++，若()a b +为奇数，则乘积末尾3位为75；若()a b +为偶数则乘积为25，在乘上0c ,无论c 为多少，末尾三位只有000，250，500，750这4种．综上，积的末尾3位有000，500，250，750这4种可能．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9. ．【难度】★★★★【考点】数论：完全平方数 【答案】不能 【解析】原数的数字和为1239101148++++++++=L ，为3的倍数，而交换数字位置不会改变数字和，所以无论怎么调整得到的数一定为3的倍数；而一个平方数如果为3的倍数，则一定为9的倍数，而48不是9的倍数，所以无法通过交换数字位置得到一个完全平方数．10. 如右图所示，从长、宽、高为15，5，4的长方体中切走一块长、宽、高为,5,y x的长方体（,x y 为整数），余下部分的体积为120，求x 和y ． 【难度】★★★【考点】几何：长方体正方体 【答案】3,12x y == 【解析】解得36xy =；361362183124966=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯，因为,x y 为整数，且4,15x y <<， 所以3,12x y ==．11. 圆形跑道上等距插着2015面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到出发点时，甲跑了23圈，乙跑了13圈．不算起始点旗子位置，则甲正好在旗子位置追上乙多少次？ 【难度】★★★★【考点】行程问题：环形跑道 【答案】5次 【解析】设每两面旗子间距离为1，即跑道周长为2015．因为:23:13v v =甲乙，设23v x =甲，13v x =乙，甲要追上乙则需比乙多跑n 圈，()23132015x x t n -=，102015x t n ⨯=，即甲追上乙时所花时间4032n t x =，则甲追上乙时，所走路程为403234032322n x n x ⨯⨯=；要恰好在旗子位置追上，则所走路程一定为整数，即n 为偶数，所以2,4,6,8,10n =（最多多跑10圈）；综上所述，甲正好在旗子位置追上乙5次． 12. 两人进行乒乓球比赛，三局两胜制，每局比赛中，先得11分且对方少于10分者胜，10平后多得2分者胜．两人的得分总和都是31分，一人赢了第一局并且赢得了比赛，那么第二局的比分共有多少种可能？ 【难度】★★★★【考点】组合：体育比赛 【答案】8 【解析】设赢的为甲，输的为乙．甲第一局获胜，如果第二局又胜则直接获胜总分一定比乙多不符合题意，所以甲第二局输第三局赢．甲第一、三局都赢，则一、三局至少会比乙多得4分，所以乙第二局至少赢甲4分及以上，所以只能以11分取胜．所以第二局的比分可以为：0:11,1:11,2:117:11L ，共8种．（乙在第二局赢了多少分，甲都可以通过一、三局赢回多少分使两人总分相同，所以甲在第二局得分从0~7都可能；例如三局比分分别为20:18、0:11、11:2）三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13. 如右图所示，点M 是平行四边形ABCD 的边CD 上的一点，且2:1:=MC DM ，四边形EBFC 为平行四边形，FM 与BC 交于点G ．若三角形FCG 的面积与三角形MED 的面积之差为13cm 2，求平行四边形ABCD 的面积． 【难度】★★★★【考点】几何：蝴蝶模型 【答案】60 【解析】 连接BD 令DEM S a =V则24CEM BDM CBM S S a S a ===V V V ，14. 设“一家之言”、“言扬行举”、“举世皆知”、“知行合一”四个成语中的每个汉字代表11个连续的非零自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数．如果每个成语中四个汉字所代表的数之和都是21，则“行”可以代表的数最大是多少?【难度】★★★★★ 【考点】组合：最值构造 【答案】8【解析】经观察不难发现其中“一”，“言”，“举”，“知”，“行”，各出现两次，其它汉字只有一次．令这五个汉字所代表的数依次为,,,,a b c d e （均为正整数），设11个连续自然数为()()()1,2,,11x x x ++⋅⋅⋅+，则()()()1211214x x x a b c d e ++++⋅⋅⋅+++++++=⨯，即1118x a b c d e +++++=，则0x =，且123410a b c d +++=+++=时，e 最大为8，11个数为1到11．可构造出“一家之言”、“言扬行举”、“举世皆知”、“知行合一”分别为“3，5，11，2”，“2，10，8，1”，“1，9，7，4”，“4，8，6，3”． 综上，“行”可代表的数最大为8．。
第十六届“华杯赛”小学组决赛试题c答案
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 C 参考答案（小学组）一、 填空题 (每小题 10 分，共 80 分)题号12345678答案 17114036114.18879000524二、解答下列各题 (每题 10 分，共 40 分, 要求写出简要过程)9. 答案: 1000解答. 因为华杯决赛是四位数, 所以不会小于 1000. 当华杯决赛=1000,十六届=990, 兔年 =21时题目要求的等式成立. 10. 答案: 70.解答. 连接 FD 的直线与 AE 的延长线相交于 H . 则△ DFG 绕点 D 逆时针旋转 180o与 △ DHE 重合 , DF=DH .梯形 AEGF 的面积=△AFH 的面积=2×△AFD 的面积 =长方形 ABCD 的面积 =70（平方厘米）. 11. 答案: 17 解答. 合数有：4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，21，22，24，25，…….因为 4 + 6 + 9 = 19, 所以 19 能写成 3 个不相等的合数之和. 大于 19 的奇数 n 可以表示成 n =19+2k , k 是非零自然数, 进而n=4+9+(6+2k).注意 6+2k为大于 2 的偶数, 是合数, 所以不小于 19 的奇数都写成 3 个不相等的合数之和.另外,17 不能写成 3 个不相等的合数之和.12.答案: 4, 6.解答. 设这个月的第一个星期日是a日（1≤a≤7）,则这个月内星期日的日期是7k+a,k是整数, 7k+a≤ 31.要求有三个奇数.当a=1时,要使7k+1是奇数, k 为偶数,即 k 可取0,2,4三个值,此时,7k+a= 7k+1分别为 1, 15, 29, 这时 21 号是星期六.当a=2时,要使7k+2是奇数, k 为奇数,即 k 可取1, 3两个值, 7k+2不可能有三个奇数.当a=3时,要使7k+3是奇数, k 为偶数,即 k 可取0, 2, 4三个值,此时7k+a= 7k+3分别为 3, 17, 31, 这时 21 号是星期四.当 4 ≤a≤ 7 时,7k+a不可能有三个奇数.三、解答下列各题 (每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程)13.答案: 252.解：令 m =15k ,k是自然数,首先考虑满足下式的最大的m,⎡ 1 ⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎡ 3 ⎤ ⎡m -1⎤ ⎡ m ⎤⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ + + ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ≤ 2000.15⎣15⎦ ⎣15⎦ ⎣15⎦ ⎣ ⎦ ⎣15⎦于是⎡ 1 ⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎡ 3 ⎤ ⎡m -1⎤ ⎡ m ⎤⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ + + ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥15⎣15 ⎦ ⎣15⎦ ⎣15⎦ ⎣ ⎦ ⎣15⎦ = 0 ⨯15 +1⨯15 + 2 ⨯15 ++ (k -1) ⨯15 + k= 15k (k-1) + k = 15k 2-13k≤ 2000.2 2因此15k2-13k≤ 4000.又15⨯172-13⨯17 = 4114 > 4000, 15⨯162-13⨯16 = 3632 < 4000, 得知 k 最大可以取16.当k =16时, m=240.注意到这时2000-15k2-13k= 2000-3632= 184 = 16⨯11+ 8 .2 2注意到⎡ 1 ⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎡16 ⨯15 -1⎤ ⎡16 ⨯15⎤⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ + + ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥15⎣15 ⎦ ⎣15 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 15 ⎦⎡16 ⨯15 +1⎤ ⎡16 ⨯15 + 2 ⎤ ⎡16 ⨯15 +11⎤ ⎡16 ⨯15 +12 ⎤+ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ + + ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥15 15 15⎣ ⎦ ⎣15 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= 1816 +16 ⨯12 = 2008 > 2000而⎡1⎤+⎡2⎤+⎡3⎤+ +⎡16⨯15+11⎤= 1816 +16 ⨯11 = 1992 < 2000.⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢⎥⎣15⎦ ⎣15⎦ ⎣15⎦⎣ 15 ⎦所以 252 是满足题目要求的n的最小值.14.解答. 由题设知水箱底面积 S 水箱＝40×25＝1000．水箱体积 V 水箱=1000×60＝60000，铁块底面积 S 铁＝10×10＝100．铁块体积 V 铁=10×10×10＝1000.（1）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为 60 时，1000a＋1000＝60000, 得a＝59．所以，当 59≤a≤60 时，水深为 60（多余的水溢出）．（2）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为 10 时，1000a＋1000＝10000, 得a＝9．a×40×25+10×10×10 所以，当 9≤a＜59 时，水深为= a+1.（3）由（2）知，当 0＜a＜9 时，设水深为x，则101000x＝1000a＋100x．得x＝9a．10答：当 0＜a＜9 时，水深为9a；当 9≤a＜59 时，水深为a+1；当 59≤a≤60 时，水深为 60.。
历年华杯赛小高年级组(五六年级)决赛考点总结
历年华杯赛小高年级组（五六年级）决赛考点总结华杯赛的考试难度可谓是几大权威杯赛中是比较高的，数论、几何、组合（专题）三个专题的考察比重都接近30%，其中数论中的整除、位值原理，几何中的直线型面积，组合问题中的图形计数、最值与构造、不定方程等是考察的绝对重点。
下面具体分析下：模块一：计算计算整体不难，主要考察学生的细心程度以及计算功底，可能会在估算这块难度有点点大。
主要考察：1、分数与小数的四则运算；2、循环小数；3、裂项；4、比较与估算；5、等差数列等模块二：计数从杯赛历年试题中，很容易看出计数试题题量和难度增大。
计数问题一般知识点多，题量小，解法灵活多变。
主要考察：1、加乘原理；2、排列组合；3、几何计数；4、捆绑与插空、枚举法（分类、有序）等。
模块三：数论数论作为华杯赛的绝对重点，近几年主要考察位值原理、分解质因数以及建立在此基础上的整除问题和约倍问题，带余除法以及建立在此基础上的同余问题、余数性质等。
主要考察：1、整除；2、质数与合数；3、约数与倍数；4、余数与同余；5、奇偶性；6、位值原理；7、分数的拆分；8、分解质因数等。
模块四：几何华杯赛近几年主要注重对平面几何直线型面积和立体几何中表面积的考察，华杯赛中的几何题目具有很大的灵活性，考察的知识点综合性很强，主要考察：1、直线型面积；2、曲线型面积；3、立体几何中的表面积。
平面几何主要需要掌握的知识点为一半模型、等积变换模型、蝴蝶模型、燕尾模型、鸟头模型。
模块五：典型应用题应用题几乎是每个杯赛每次必考的知识点，自然也是是华杯赛考察的热点，主要包括：1、还原问题；2、鸡兔同笼；3、盈亏问题；4、行程问题（多次相遇、变速、走走停停）；5、经济利润问题；6、工资税收问题；7、牛吃草问题；8、工程问题；9、比例百分数问题等。
模块六：组合（杂题）组合问题在华杯赛中所占的比重可以高达到了20%左右，一般以中高难度的题目出现，考察的范围基本上是构造与论证、逻辑推理（赛事问题、数独）、最值问题、数字谜、数阵图、不定方程！。
华数决赛(小高组)历届试题分析
华数决赛（小高组）历届考试题分析班级：姓名：一．计算题。
1.（第十六届决赛试题）2．（第十四届决赛试题）3.计算：(1＋1/2＋1/4)×(1/2＋1/4＋1/6)－(1＋1/2＋1/4＋1/6)×(1/2＋1/4) ＝____________。
（第十四届决赛试题）4．计算：＝。
（第十三届决赛试题）5．计算：＝________.（第十二届决赛试题）二．数论，数字谜。
1.（第十六届决赛试题）2. 如图1所示，图中有五个正方形和12个圆圈，将1～12填入圆圈中，使得每个正方形四角上圆圈中的数之和都相等，那么这个相等的和等于___________。
（第十四届决赛试题）3. 方格中的图形符号“◇”，“○”，“▽”，“☆”代表填入方格中的数，相同的符号表示相同的数，如图2所示，若第一列，第三列，第二行，第四行的四个数的和分别为36，50，41，37，则第三行的四个数的和为_____________。
（第十四届决赛试题）4. 如图5所示的乘法算式中，汉字代表1至9这9个数字，不同汉字代表不同的数字。
若“祝”字和“贺”字分别代表数字“4”和“8”，求出“华杯赛”所代表的整数。
（第十四届决赛试题）三．应用题。
（第十六届决赛试题）（第十六届决赛试题）1.在10个盒子中放乒乓球，每个盒子中的球的个数不能少于11，不能是13，也不能是5的倍数，且彼此不同，那么至少需要个乒乓球. （第十五届决赛试题）2.有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的品以及五种价格分别为1元、3元、5元、7元、9元的包装盒. 一个礼品配一个包装盒，共有种不同价格.（第十五届决赛试题）3．A、B、C、D、E、F六个小朋友做游戏，每轮游戏都按照下面的箭头方向把原来手里的玩具传给另外一个小朋友：A→F，B→D，C→E，D→B，E→A，F→C。
开始时，A、B、C、D、E、F拿着各自的玩具，传递完2002轮时，有___________个小朋友又拿到了自己的玩具。
2016华杯赛决赛小学高年级组试题答案详解
第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A （小学高年级组）一、填空题（每小题 10 分, 共80 分）1. 如右图, 边长为12米的正方形池塘的周围是草地, 池塘边A , B , C , D 处各有一根木桩, 且AB =BC =CD =3米. 现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上. 为了使羊在草地上活动区域的面积最大, 应将绳子拴在 处的木桩上. 【考点】圆与扇形 【答案】B【解析】拴在B 处活动区域最大，为43圆。
2. 在所有是20的倍数的正整数中, 不超过2014并且是14的倍数的数之和是 . 【考点】最小公倍数，等差数列 【答案】14700【解析】[]14014,20=，141402014=⎥⎦⎤⎢⎣⎡，()1470014321140=+++⨯ .3. 从1～8这八个自然数中任取三个数, 其中没有连续自然数的取法有 种. 【考点】计数 【答案】20【解析】解法一：枚举法（1）三奇数：135、137、157、357，4个； （2）三偶数：246、248、268、468，4个；（3）两奇一偶：136、138、158、147、358、257，6个； （4）两偶一奇：247、258、146、148、168、368，6个； 共4+4+6+6=20种.解法二：排除法1~8中任取三个数，有5638 C 种不同的取法其中三个连续数有6种（123~678）两个连续数有5+4+4+4+4+4+5=30种（如124、125、126、127、128等） 则满足题意的取法有56—6—30=20种.4. 如右图所示, 网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米. 小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成, 小线段的端点在格子点上或在格线上）, 则这个剪影的面积为 平方厘米.【考点】格点与面积 【答案】56.5【解析】如图（见下页），通过分割和格点面积公式可得小马总面积为56.5个正方形，即面积为56.5平方厘米。
2016第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题解析（小学高年级）
2016第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题解析（小学高年级）第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级组）（时间：2016年12月10日10：00-11：00）一、选择题（每小题10分，共60分，以下每题的四个选项，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内）1、两个有限小数的整数部分分别是7和10,那么这两个有限小数的积的整数部分有( )种可能的取值。
（A)16 （B）17 （C）18 （D)19解析：此题主要考察学生思维是否缜密细心我们取最小值7×10=70，取不能达到的最大值8×11=88，那么就有整数部分的可能值范围是：70，71，72，...，87显然共有18个值，故选（C）2、小明家距学校，乘地铁需要30分钟，乘公交车需要50分钟。
某天小明因故先乘地铁，再换乘公交车，用了40分钟到到学校，其中换乘过程用了6分钟，那么这天小明乘公交车用了（）分钟。
（A)6 (B)8 (C)10 (D)12解析：此题可用两种方法。
（1）分析转换法；（2）列方程法。
建议用第一种方法，因为第一种方法是锻炼小学生思维能力的重要方法。
分析如下：第一步：首先确定乘地铁与乘公交车的总时间：40-6=34分钟第二步：建立乘地铁与乘公交车的时间关系S地铁30分种=S公交车50分钟，即S地铁3分钟=S公交5分钟这是等式表明少乘3分钟地铁将会浪费5-3=2分钟，或者也可以说多乘公交车5分钟将会多出时间2分钟。
而总共耗时34分钟，比原地铁时间浪费34-30=4（分钟），则可知少乘地铁3×（4÷2）=6（分钟），即乘地铁30-6=24分钟，公交车时间5×（4÷2）=10（分钟）故选（C)3、将长方形ABCD对角线平均分成12段，连接成右图，长方形ABCD内部空白面积总和是10平方厘米，那么阴影部分面积总和是（）平方厘米。
（A)14 （B)16 (C)18 (D)20解析：此题考察学生的归纳分析能力。
第21届“华杯赛”决赛小高组A组试题和参考答案
- 1 -
线
5.
封
对于任意一个三位数 n, 用 n 表示删掉 n 中为 0 的数位得到的数. 例如 n 102 时 n 12 .那么满足 n n 且 n 是 n 的约数的三位数 n 有 个.
6.
密
共有 12 名同学玩一种扑克游戏, 每次 4 人参加, 且任意 2 位同学同时参加的 次数不超过 1. 那么他们最多可以玩 次. .
三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）
13. 如右图, 有一张由四个 11 的小方格组成的凸字形 纸片和一张 5 6 的方格纸. 现将凸字形纸片粘到方 格纸上, 要求凸字形纸片的每个小方格都要与方格 纸的某个小方格重合,那么可以粘出多少种不同的 图形? (两图形经旋转后相同看作相同图形)
题号 答案 1 2 2 五 3 5 4 6 5 93 6 9 7 108 8 7
二、解答下列各题（每小题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）
9. 【答案】甲、乙得票分别为 126, 120 或 147, 140 10. 【答案】172.5 11. 【答案】5 12. 【答案】38
三、解答下列各题（每题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）
第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 A (小学高年级组)
二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）
9. 复活赛上, 甲乙二人根据投票结果决出最后一个参加决赛的名额 . 投票人 数固定 , 每票必须投给甲乙二人之一 . 最后 , 乙的得票数为甲的得票数的 20 , 甲胜出. 但是, 若乙得票数至少增加 4 票, 则可胜甲. 请计算甲乙所得 21 的票数. 10. 如右图, 三角形 ABC 中, AB 180 厘米, AC 204 厘米, D, F 是 AB 上的点, E, G 是 AC 上的点, 连结 CD, DE, EF, FG, 将三角形 ABC 分成面积相等的五 个小三角形. 则 AF AG 为多少厘米? 11. 某水池有甲、乙两个进水阀. 只打开甲注水, 10 小时可将空水池注满; 只打 开乙, 15 小时可将空水池注满. 现要求 7 个小时将空水池注满, 可以只打开 甲注水若干小时, 接着只打开乙注水若干小时, 最后同时打开甲乙注水. 那 么同时打开甲乙的时间是多少小时? 12. 将一个五边形沿一条直线剪成两个多边形, 再将其中一个多边形沿一条直 线剪成两部分 , 得到了三个多边形, 然后将其中一个多边形沿一条直线剪 成两部分, , 如此下去. 在得到的多边形中要有 20 个五边形, 则最少剪 多少次?
【备战华杯赛】近五年华杯赛小高初赛真题解读
【备战华杯赛】近五年华杯赛小高初赛真题解读为了帮助大家更有效地准备初赛，今天我们针对华杯赛初赛考点和大家进行分享。
1 初赛考什么？初赛一共十道题（六道选择题四道填空题），共100分，都不用写过程，用时60分钟。
大家首先一定要知道华杯赛的所有考点：计算、应用题、行程问题、数论、几何、计数、组合杂题。
而这正好对应于我们小学奥数核心知识体系里面的七大模块。
华杯赛其实就是对学生所学奥数知识的一个测试。
那其中哪些模块是我们的重难点呢？哪些是我们在这段时间里需要重点关注的呢？看下面！2 初赛怎么考？想要通过华杯赛初赛，我们第一步先要了解一下华杯赛初赛的命题规律，在这里我们对近五年的所有华杯赛初赛试题做了一份详细的考点分析。
通过把所有的数据整合到一起，我们发现每年的考点是这样的：通过这个图我们发现：华杯赛涉及的知识点都很全面，七个模块均会考察，只不过每年对模块中的细分知识点有所变化，这就要求我们对各个知识模块的完整体系有所掌握与研究。
然而考试重点在哪里呢？哪些是我们需要关注的重中之重呢？我们通过一个饼图来观察分析一下。
我们可以发现初赛考试侧重点在于：数论、组合杂题、应用题这几个模块。
数论一直最受华杯赛组委会所青睐，小高华杯赛考察数论方面是一个重点！因为2015年华杯赛主试委员会委员陶晓永教授讲过：“华杯赛主要目的是要学习华罗庚先生的精神，而华罗庚先生在数学方面最大的成就就在数论这一块。
” 在数论这一个模块上，考察知识点较多，综合性也比较强，这就要求孩子们对于数论里面的知识点要有一定的了解和灵活运用的能力。
组合杂题一般难度系数比较大点，有的题目需要孩子具有很强的分析、空间、逻辑思维能力。
但不要慌张，大部分学生都做不出来，所以这个不是学生前期备考的重点。
想再冲刺华杯赛一等奖的孩子，组合杂题一定需要被重视起来的。
应用题这个模块，一般考察浓度问题、经济问题、工程问题、比例问题（份数思想、量率对应）、列方程解应用题等，基本上难度系数不高，加把劲，一定可以拿得下来！3 初赛难易度分析上述部分，我们对于模块进行了详细的分析。
小学数学竞赛试题集锦 最值的数字谜(二).教师版与学生版都有
1. 掌握最值中的数字谜的技巧2. 能够综合运用数论相关知识解决数字谜问题数字谜中的最值问题常用分析方法1. 数字谜一般分为横式数字谜和竖式数字谜．横式数字谜经常和数论里面的知识结合考察，有些时候也可以转化为竖式数字谜；2. 竖式数字谜通常有如下突破口：末位和首位、进位和借位、个位数字、位数的差别等．3. 数字谜的常用分析方法有：个位数字分析法、高位数字分析法、数字大小估算分析法、进位错位分析法、分解质因数法、奇偶分析法等．4. 除了数字谜问题常用的分析方法外，还会经常采用比较法，通过比较算式计算过程的各步骤，得到所求的最值的可能值，再验证能否取到这个最值．5. 数字谜问题往往综合了数字的整除特征、质数与合数、分解质因数、个位数字、余数、分数与小数互化、方程、估算、找规律等题型。
模块一、横式数字谜【例 1】 在下面的算式□中填入四个运算符号+、-、⨯、÷、（每个符号只填一次），则计算结果最大是_______.12345□□□□【考点】混合计算中的数字谜 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，初赛，第3题，6分 【解析】 为了得到最大结果必须用“×”连接4和5，那么4和5前边一定是“+”，通过尝试得到：112345203-÷+⨯=.【答案】1203【例 2】 将+，-，×，÷四个运算符号分别填入下面的四个框中使该式的值最大。
1111123456□□□□【考点】混合计算中的数字谜 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第9题 【解析】 题目给出5个数，乘、除之后成3个数，其中减数应尽量小，由两个数合成（相乘或相除）的加数与另一个分数相加应尽量大，，，，；，例题精讲知识点拨教学目标5-1-2-5.最值中的数字谜（二），，；而，，，；其中最小的是，而，，所以最大【答案】最大【例3】将1、3、5、7、9填入等号左边的5个方框中，2、4、6、8填入等号右边的4个方框中，使等式成立，且等号两边的计算结果都是自然数．这个结果最大为．÷++=÷+【考点】混合计算中的数字谜【难度】3星【题型】填空【解析】等号左边相当于三个奇数相加，其结果为奇数，而等号右边的计算结果为奇数时，最大为628487÷+=，又3157987÷++=满足条件(情况不唯一)，所以结果的最大值为87．【答案】87【例4】一个电子表用5个两位数(包括首位为0的两位数)表示时间，如15:23:45/06/18表示6月18日15点23分45秒．有一些时刻这个电子表上十个数字都不同，在这些时刻中，表示时间的5个两位数之和最大是．【考点】【难度】星【题型】填空【关键词】迎春杯，高年级，决赛，8题【解析】假设五个两位数的十位数上的数字之和为x，那么个位数上的数字之和为45x-，则五个两位数上的数字之和为1045459x x x+-=+，所以十位数上的数字之和越大，则五个两位数之和越大．显然，五个两位数的十位数字都不超过5，只能是012345，，，，，这五个数字中的五个．如果五个数字是54321，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十位上，2只能在“时”的十位上，1只能在“月份”的十位上，此时“日期”的个位、“月份”的个位、“时”的个位不能同时满足实际情况．如果五个数字是54320，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十位上，2只能在“时”的十位上，此时“日期”的个位、“时”的个位不能同时满足实际情况．如果五个数字是54310，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十位上，则“日期”的个位无法满足情况．如果五个数字是54210，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，210，，依次在“日期”的十位上、“时”的十位上、“月份”的十位上容易满足条件．所以最大值为()45954210153+⨯++++=．【答案】153【例5】0.2.0080.A BCC A B••=••，三位数ABC的最大值是多少？【考点】乘除法中的最值问题【难度】3星【题型】填空【关键词】走美杯，六年级，初赛，第4题【解析】 2.008化为分数是251125，可以约分为251125的分数有502250、753375，所以ABC的最大值为753.【答案】753模块二、乘除法中的最值问题【例6】已知一个五位回文数等于45与一个四位回文数的乘积（即45abcba deed=⨯），那么这个五位回文数最大的可能值是________．【考点】乘除法中的最值问题【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第7题【解析】 根据题意，45abcba deed =，则abcba 为４５的倍数，所以a 应为０或５，又a 还在首位，所以a ＝５，现在要让abcba 尽可能的大，首先需要位数高的尽可能的大，所以令9b =,8c =，则a b c b a ++++＝５＋９＋８＋９＋５＝３６是９的倍数，用５９８９５÷４５＝１３３１符合条件，所以这个五位回文数最大的可能值是59895.【答案】59895【例 7】 在下面乘法竖式的每个方格中填入一个非零数字，使算式成立。
奥数讲义数论专题：数字迷(含答案)
华杯赛数论专题：数字迷例1.如图是一个加法竖式，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。
那么字母O代表的数字最大可能是多少？【答案】6【解答】要点：关注首位C＝1（百位肯定进位）关注十位G＝8（个位肯定进位）总结：解决数字谜问题最关键是要找好突破口，包括以下方面：1）首位数字；2）已知数字较多的数位；例2.在如图所示的算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。
如果CHINA所代表的五位数能被24整除，那么这个五位数是多少？【答案】17208【解答】要点：（1）关注首位：C＝1（2）关注包含重复数字的千位：K＝9（3）关注包含重复数字的十位：N＝0（4）由于三位数I0A能被8整除，且I是偶数，所以A＝，G ＝。
总结：往往重复数字较多的数位也是突破口。
例3.如图，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，并且已知三位数BAD不是3的倍数，四位数GOOD不是8的倍数，那么四位数ABGD是多少？【答案】3810【解答】G为1；D为0；A＋A不能进位，所以O为偶数.A＋A＝OB＋B＝10＋OA＝2，O＝4，B＝7不合题意；A＝3，O＝6，B＝8符合题意；A＝4，O＝8，B＝9不合题意.A不能大于等于5.例4.如图，算式中相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“玩中学”代表的三位数是.【答案】465【解答】从加法的十位运算可以看出“啊”＝0。
因为显然“玩”和“学”都不能是0，所以其中一定有一个是5。
如果“玩”＝5，根据千位特征可看出“快”＝4，并且百位相加有进位，因此“乐”≥5。
而“数学”与“玩”相乘大于450，说明“数”＝9。
注意到“学”与“数”相乘的个位数字还是“学”，那么“学”只能是0或5，必然与“啊”或“玩”相同，不符合条件。
因此“学”＝5。
因为只有95×9＝855的末两位数字都是5，所以“数”＝9。
又因为“数学”ד玩”＝“快乐啊”，即95ד玩”＝“快80”，因此“玩”＝4，进一步可得出整个算式就是95×49＝4655。
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例6
将一个 2n 位数的前 n 位数和后 n 位数各当成一个 n 位数， 如果这两个 n 位数之和的平方正好等于这 个 2n 位数，则称这个 2n 位数为卡布列克 (Kabulek)怪数，例如 (30 25)2 3025 ， 所以 3025 是一 个卡布列克怪数．在四位数中的卡布列克怪数有_ 4 55 6 6 7 7 88 99 除以 3 的余数是________．
5．a ，b ，c ，d 各代表一个不同的非零数字，如果 abcd 是 13 的倍数，bcda 是 11 的倍数，cdab 是 9 的倍数， dabc 是 7 的倍数，那么 abcd 是________．
第二讲
第二讲
例1
数论与数论型数字谜
甲、乙两数的最小公倍数是 90，乙、丙两数的最小公倍数是 105，甲、丙两数的最小公倍数是 126， 那么甲数是________．
例2
分母为 2015 且小于 1 的最简分数，共有________个．
例3
有一个四位回文数，这个数最小的八个约数之和为 43，请问这个数是________．
例4
11 22 33 44 20052005 除以 10 所得的余数为________．
第二讲 例5
一个五位回文数，它是 7 的倍数；如果将它的十位和个位互换，新得的五位数是 11 的倍数；如果将 它的十位和百位互换，新得的五位数是 13 的倍数．那么，原五位数为________．
例7
下边是一个算式，9 个汉字代表数字 1 至 9，不同的汉字代表不同的数字，则该式可能的最大值是 ________．
草×绿+花儿×红+春光明×媚
例8
右图是一个分数等式：等式中的汉字代表数字 1、2、3、4、5、6、7、8、9，不同的汉字代表不同 的数字．如果“北”和“京”分别代表 1 和 9．请写出“奥运会”所代表的所有的三位整数，并且说明理 由．
北 奥运会 = 京 梦想成真
第二讲
实战演练
1．37 个正整数的和等于 2015，那么它们的最大公约数最大是________．
2．教数学的王老师准备去拜访一位朋友，出发前王老师先和这位朋友通电话，朋友家的电话号码是 27433619，当王老师打完电话之后，发现这个电话号码恰好是 4 个连续质数的乘积．问：这 4 个质数的总和是________．
3．将两个不同的整数中较大的数转换成这两个数的差，称为一次“替代操作” ，例如，对 18 和 42 连续进行“替代工作” ，则有： （18，42）→（18，24）→（18，6）→（12，6）→（6，6） ．现 在对两个五位数进行“替代工作” ，直到两个数都是 17，则终止操作，这两个五位数的和可能的 最大值是________．
6．已知两位自然数“ 虎威 ”能被它的数字之积整除，那么“ 虎威 ”代表的两位数是________．
第二讲
7．设六位数 abcdef 满足 fabcde f abcdef ，那么符合条件的六位数为________．
8．在等式 爱国 创新 包容+厚德=北京精神 中，每个汉字代表 0~9 的一个数字，爱、国、创、新、 包、容、厚、德、分别代表不同的数字．当四位数 北京精神 最大时， 厚德 为________．