二重积分的极坐标计算方法

1 2
-2
-1
将平面区域视为分布在某个角度内的 无穷条射线（ 无穷条射线（段）束的组合
-1
D = { ( r ,θ ) 0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤ r ≤ 2 }
扇形 D = { 半径为 1 ，夹角为
-2 2
π
6
，起始角度为
π
6
}
1
D
-2 -1 1 2 -1
D = { ( r ,θ )
π
6
≤θ ≤
4
半径为 2 ，圆心在点 ( 0 ，2 ) 处的上偏心圆 D = { ( x , y ) x 2 + ( y − 2) 2 ≤ 4 } D = { (r,θ ) 0 ≤ θ ≤ π ，0 ≤ r ≤ f (θ ) }
3
2
D
1 2
1
-2
-1
x 2 + ( y − 2) 2 = 4 ⇒ r 2 cosθ + (r sinθ − 2) 2 = 4 ⇒ r 2 − 4r sinθ = 0 ⇒ r = 4 sinθ ≡ f (θ ) ∴ D = { (r,θ ) 0 ≤ θ ≤ π ，0 ≤ r ≤ 4 sinθ }
4
I = ∫∫
D
0 x2 + y2 dσ = ∫ dθ 2 2 2 π 4a − x − y −
−2 a sin θ 0
− 2 a sin θ
∫
0
r 4a − r
2 2
⋅ rdr
= tdt dr = 2 a cos
r = 2 a sin t
−θ 0
4
a
4a sin t 2a cos tdt ∫π dθ ∫ 2 2 0 4a (1 − sin t ) − 4
⇒ D = { ( r ,θ ) 0 ≤ θ ≤
π
y=x
4
, 0 ≤ r ≤ f (θ ) }
D
1
4
D 由直线 y = x , y = 4 , 及 x = 0 围成的平面区域。 D = D x = { ( x , y ) 0 ≤ x ≤ 4, x ≤ y ≤ 4 }
1 x = 1 ⇒ r cos θ = 1 ⇒ r = ≡ f (θ ) cos θ 1 π ⇒ D = { ( r ,θ ) 0 ≤ θ ≤ , 0 ≤ r ≤ } 4 cos θ
转换 x , y
⇒
r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ = 1 ⇒ r = 1
即此曲线 (圆 )的极坐标方程为 例如 : 抛物线 y = x2
2 2
r = g (θ ) = 1 .
⇒ r sin θ = r cos θ ⇒ r = g (θ ) = tan θ ⋅ sec θ
平面区域的极坐标表示形式： D = { ( r , θ ) α ≤ θ ≤ β , g1 ( θ ) ≤ r ≤ g 2 ( θ ) } 直角坐标区域表示形式 转换为极坐标区域表示 形式：
解出 r
转换 x , y
y = f ( x) ⇒ r sin θ = f ( r cosθ )
转换x , y
⇒ r = g (θ )
例如 : 直线 y = 3 x + 2
2 ⇒ r= sin θ − 3 cos θ
⇒
r sin θ = 3r cosθ + 2
2 即此直线的极坐标方程 为 r = g (θ ) = . sin θ − cos θ 2 2 例如 : 曲线 (圆 ) x + y = 1
D = { (r,θ )
( x − 2) 2 + y 2 ≤ 4 }
−
π
-0.5
-1
2 2 (x − 2)2 + y2 = 4 ⇒ (r cosθ − 2)2 + r 2 sin2 θ = 4 2 ⇒ r − 4r cosθ = 0 ⇒ r = 4 cosθ ≡ f (θ ) π π ∴ D = { (r , θ ) − ≤ θ ≤ ，0 ≤ r ≤ 4 cosθ }
D = D x = {( x , y ) a ≤ x ≤ b , h ( x ) ≤ y ≤ g ( x )}
转换 x , y
⇒ D = {( r , θ ) α ≤ θ ≤ β , g 1 (θ ) ≤ r ≤ g 2 (θ )}
2
4. 平面区域的极坐标表示法实例
1
圆盘 D = { ( x , y ) x 2 + y 2 ≤ 4 }
iii) 把二重积分化为极坐标下的累次积分（先积 r 后积 θ 的内外两个 把二重积分化为极坐标下的累次积分（ 定积分） 定积分）;
∫∫ f ( x, y)dσ = α dθ ∫θ f (r cosθ , r sin θ ) ⋅ r ⋅ dr ∫
D g1 ( )
β
g 2 (θ )
iv) 视 θ 为参数，先对 r 计算内层定积分 再对 θ 计算外层定积分。 为参数， 计算内层定积分; 计算外层定积分。
2 2
≤θ ≤
π
，0 ≤ r ≤ f (θ ) }
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
直径为
1， 圆心在点
D
0.2 0.4 0.6 0.8 1
1 ( ， 0) 2
处的右偏心圆上半部
D = { ( x, y )
1 2 1 2 且 y ≥ 0} (x − ) + y ≤ 2 4
= { (r,θ )
0 ≤θ ≤
2π
π
− ( r 2 −π )
⋅ sin(r 2 ) ⋅ rdr
t =r
= π ∫e
0
2
π
− ( t −π )
⋅ sin tdt
t =r 2
= π ⋅ e π ⋅ ∫ e −t ⋅ sin tdt = π ⋅ e π ⋅ I ,
0
−t
π
I = ∫ e ⋅ sin t dt = ( − e ) ⋅ sin t
2
7. 用极坐标系下计算二重积分的判断原则 i) 积分区域是圆的一部分或与圆有关； 积分区域是圆的一部分或与圆有关； ii) 被积函数适合在极坐标下的定积分计算（在直角坐标 被积函数适合在极坐标下的定积分计算（ 下的定积分计算不便或根本无法计算）。 下的定积分计算不便或根本无法计算）。
计算二重积分
计算二重积分： 例 计算二重积分： ∫∫
D
x2 + y2 4a − x − y
2 2 2
Hale Waihona Puke Baidudσ
，其中 D 是由曲线
y = − a + a 2 − x 2 ( a > 0)
围成的区域。（ 。（2000年考研数学试题） 年考研数学试题） 和直线 y = - x 围成的区域。（ 年考研数学试题 π 解 : 易见，D = { (r ,θ ) − ≤ θ ≤ 0 , 0 ≤ r ≤ −2a sin θ }
D
y=x
4
⇒ D = { (r ,θ )
π
4
≤θ ≤
π
2
, 0 ≤ r ≤ f (θ ) }
4 y = 4 ⇒ r sin θ = 4 ⇒ r = = f (θ ) sin θ
4 ⇒ D = { (r , θ ) ≤θ ≤ , 0 ≤ r ≤ } 4 2 sin θ
π
π
D 是由 x + y = 4 , y = 0 和 x = 0 所围区域 ；
D = D x = { ( x , y ) 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4 − x }
4
x +y = 4
D
4
⇒ D = { (r , θ ) 0 ≤ θ ≤
π
2
, 0 ≤ r ≤ f (θ ) }
x + y = 4 ⇒ r cos θ + r sin θ = 4 ⇒ r =
4 = f (θ ) sin θ + cos θ
4 ⇒ D = { (r , θ ) 0 ≤ θ ≤ , 0 ≤ r ≤ } 2 sin θ + cosθ
π
5. 二重积分在极坐标系下的累次积分公式
∫∫ f (x, y) dσ = ∫∫ f (r cosθ, r sinθ) ⋅ r ⋅ drdθ = α dθ ∫θ f (r cosθ , r sinθ) ⋅ r ⋅ dr ∫
1 ( 0 ， ) 处的上偏心圆右半部 2
1
直径为
1 ，圆心在点
2
1 2 1 D = { ( x, y) x + ( y − ) ≤ 且 x ≥ 0 } 2 4 π = { (r,θ ) 0 ≤ θ ≤ ，0 ≤ r ≤ f (θ ) } 2 1 2 1 1 2 1 2 2 x + (y − ) = ⇒ r cos θ + ( r sin θ − ) = 2 4 2 4 2
π
,
1 −π ∴ I = ( e + 1) 2
⇒ 原式 = π ⋅ e ⋅ I =
π
2
(1 + e π ) .
例 计算二重积分
I = ∫∫ e
D
y x+ y
dσ ，其中 D 由直线 x = 0 , y = 0 与
解：区域 D 如图所示.
x + y = 1 所围成。
y
易见，D = { ( x, y )
−t
π
π
0
− ∫ ( − e ) ⋅ cos tdt
−t
π
=
π
0
e − t ⋅ cos tdt = ( − e − t ) ⋅ cos t ∫
0
π
π
0
− ∫ ( − e − t ) ⋅ ( − sin t ) dt
0
π
0
= e −π + 1 −
∫
0
e − t sin tdt = e − π + 1 − I
π
2
，0 ≤ r ≤ f (θ ) }
1 2 1 1 2 2 2 1 2 ( x − ) + y = ⇒ (r cosθ − ) + r sin θ = 2 4 2 4 ⇒ r 2 − r cosθ = 0 ⇒ r = cosθ ≡ f (θ )
∴ D = { (r ,θ ) 0 ≤θ ≤
π
2
，0 ≤ r ≤ cosθ }
2. 二重积分在极坐标系下的形式
∫∫ f ( x, y)dσ = ∫∫ f (r cosθ , r sin θ ) ⋅ r ⋅ drdθ
D D
3. 平面曲线与平面区域在极坐标系下的表示形式
平面曲线的极坐标方程 ：r = g (θ ) , 其中 g 为已知函数。 直角坐标曲线方程转换 为极坐标曲线方程：
§8. 二重积分在极坐标系下的计算方法 1. 极坐标的意义和极坐标与直角坐标的转换公式
x
P( x, y )
y
r
x = r cos θ , y = r sin θ ;
dσ
dθ
θ
θ
r
dr
1 1 2 1 2 dσ = (r + dr ) ⋅ dθ − r ⋅ dθ = r ⋅ drdθ + (dr ) 2 ⋅ dθ ≈ r ⋅ drdθ 2 2 2
−
易见，D = { ( r, θ )
π
π
2
≤θ ≤
π
2
, 0 ≤ r ≤ cos θ }
I = ∫∫
D
xdσ = ∫ dθ ∫ π
π
2
− 0 2
2
cos θ
r cos θ ⋅ rdr
π
2 5 cos θ 2 2 3 2 = ∫ cos θ ⋅ r 0 d θ = ∫π cos θ d θ π 5 5− − π 2 2 2 2 8 2 = . ∫π (1 − sin θ ) d (sin θ ) = 5− 15
π
3
, 0 ≤ r ≤1 }
-2
半环形 D = { 大小半径分为 1 ，2 ，起始角度为 0 }
2 1.5
D
1 1 2
D = { (r ,θ ) 0 ≤ θ ≤ π , 1 ≤ r ≤ 2 }
0.5
-2
-1
半径为 2，圆心在点 (2， 处的右偏心圆 0)
1 0.5
D
0.5 1 1.5 2
D = { ( x, y)
0.8
0.6
0.4
D
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
⇒ r − r sinθ = 0 ⇒ r = sinθ ≡ f (θ )
0 ≤θ ≤
0.2
∴ D = { (r,θ )
π
2
，0 ≤ r ≤ sinθ }
D 由 y = 0 , y = 1 , x = y 和 x = 1 所围 ；
1
⇒ D = Dx = { ( x, y) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x }
∫∫ e
D
− ( x 2 + y 2 −π )
⋅ sin( x 2 + y 2 )dxdy
2
,
其中 D = { ( x , y ) x + y ≤ π } ( 2003 年考研试题）
2
解：∫∫ e
D
− ( x 2 + y 2 −π )
⋅ sin( x + y )dxdy = ∫ dθ ∫ e
2 2 0 0
0
−θ
2
2
= ∫ dθ ∫ 2a 2 (1 − cos 2t )dt π
− 0
0
−θ
-a
1 1 2 = 2a ∫ (−θ + sin 2θ )dθ = a ( − ). 16 2 π 2 −
0 2 4
4
π2
设 D = { ( x, y )
x 2 + y 2 ≤ x }, 求
∫∫
D
x dxdy.
年考研数学试题） （1998年考研数学试题） 年考研数学试题 1/2 1 如图所示. 解：区域 D 如图所示
D D g1 ( )
β
g2 (θ )
6. 用极坐标计算二重积分操作步骤与实例
i) 画出区域的草图； 画出区域的草图； ii) 写出二重积分区域 D 在极坐标下 的表示形式 ( 这是关键）; 这是关键）
D = { ( r, θ )
α ≤ θ ≤ β , g1 ( θ ) ≤ r ≤ g 2 ( θ ) }