关于四角仙人掌图的优美性

关于四角仙人掌图的优美性

路　线　李秀芬

(吉林职业师范学院)

【摘要】　本文讨论了四角仙人掌图的优美性,给出了几类四角仙人

掌图是优美图的一些结果,从而部分回答了A 1Rosa 在[1]中提出的猜想1

关键词:优美图;四角仙人掌图;交错二分图

收稿日期:1998-2-01

1988年,A 1Rosa 曾在[1]之中给出了三角、四角、五角仙人掌图(即所有的块皆为三角形、四边形、五边形的连通图)等概念,并提出一些猜想1如“所有四角仙人掌图都是优美图”1就是其中之一,至今为止,这一猜想也未被证明或否,得到的结果也甚少[2]1本文获得了部分结果1

定义1[3]　对于一个简单图G (V ,E ),如果对每一个顶点v ∈V ,存在一个非负整数L (v )(顶点v 的标号)满足:

(1)Πu ,v ∈V ,若u ≠v ,则l (u ≠l (v );

(2)max{l (v )|v ∈V }=|E |;

(3)Πe ′,e ″∈E ,若e ′≠e ″,则l ′

(e ′)≠l ′(e ″)1这里定义l ′(e )=|l (u )-l (v )|,其中uv =e 1那么称图G 是优美图,l (v )称图G 的优美标号1

定义2[4]　设θ(v )是二分图G =(X ,Y ;E )一个优美标号,且满足:

Πu ∈X ,v ∈Y 都有θ(u )<θ(v )

则称θ(v )是G 的一个交错标号1若G 有一个交错标号,则G 是交错二分图1

定义3　由m 个四边形块构成的,恰有一个公共顶点的连通图化作D m ,4;由m 个四边形串联起来,构成割点图为一条通路,并且相领的两个割点之间不是同一四边形的相邻顶点,这样得到四角仙人掌图称为长度为m 的四角仙人掌图的一个简单通路记作P m ,41P m ,4之中与割点不相邻的顶点称路P m ,4的端点(有两个)1由n 个长度为m 的四角仙人掌图的简单通路P m ,4构成的,并且将这n 个P m ,4的一个端点粘接在一起成为一个顶点而得到的图称等长幅射四角仙人掌图,记作G n ,m 1如图1所示,图中2n 度顶点称为三原点1从三原点开始长度如m 的四角仙人掌图的简单通路是G n ,m 的一个辐轴1

第14卷第3期哈尔滨师范大学自然科学学报 Vol 114,No 131998NA TU RAL SCIENCES J OU RNAL OF HARB IN NORMAL UN IV ERSIT Y

图1　G n ,m

定理1　对于任意自然数m ,n ,等长幅射四角仙人掌图G n ,m 是优美图1证明　设等长幅射四角仙人掌图G n ,m 三原点为x 0,其它顶点记号如图1所示1我们知道G n ,m 的边数为4m n ,顶点数为3m n +11

定义等长幅射四角仙人掌图G n ,m 的顶点标号如下:

θ(x 0)=0

θ(x i 、

j )=4m (i -1)+j

1≤i ≤n ,1≤j ≤m θ(z i ,j )=4m (n +1-i )-(j -1) 1≤i ≤n ,1≤j ≤m

θ(y i ,j )=θ(z i ,j )-2m 1≤i ≤n ,1≤j ≤m G n ,m

则不难验证θ是G n ,m 一组优美标号1如图2所示,给出G 4,3一个优美标号1

图2　G 4,3的优美标号

42哈尔滨师范大学自然科学学报1998年

推论1　任意自然数m ,

D m ,4是优美图1

此推论是[2]之中重要结果1

推论2[3]　任意自然数m ,P m ,4是优美图1

定义4　把m 个四边形串联起来,构成割点图为一条简单通路,且相邻的两个割点是同一四边形块中相邻顶点,那么称这样的连通图为四角蛇,记作 K 4(m )1

关于四角蛇的优美性,得如下结论1

定理2　对于任意自然数m ,四角蛇 K 4(m )是优美图,并且是交错二分图1

证明　我们知道四角蛇 K 4(m )是的边数为4m ,顶点数为3m +11

下面就m 的奇偶性来研究 K 4(m )是优美性1

当m 为奇数时, K 4(m )的顶点记号如图3所示

:

图3 K 4(m )m 为奇数

我们定义 K 4(m )的顶点标号θ如下:

θ(x i )=5(i -1) (i =1,2,…,m +12

)θ(y i )=4m -3i +2 (i =1,2,…,m +12

)θ(x ′i )=θ(x i )+2 (i =1,2,…,m +12

)θ(y ′i )=θ(y i )+1 (i =1,2,…,m +12

)θ(x ″i )=θ(x ′i )+1 (i =1,2,…,m -12

)θ(y ″i )=θ(y ′i )+1 (i =2,3,…,m +12

)则不难验证θ是 K 4(m )(m 为奇数)的一组优美标号1同时,也知θ是 K 4(m )(m 为奇数)一个交错标号,所以,由定义2知 K 4(m )(m 为奇数)是交错二分图1

当m 为偶数时, K 4(m )的顶点记号如图4所示

:

图4 K 4(m )m 为偶数

52第3期关于四角仙人掌图的优美性

我们定义 K 4(m )(m 为偶数)的顶点标号φ如下:

φ(x i )=5(i -1) (i =1,2,…,m 2

+1)φ(y i )=4m -3i +2 (i =1,2,…,m 2

)φ(x ′i )=φ(x i )+2 (i =1,2,…,m 2

)φ(y ′i )=φ(y i )+1 (i =1,2,…,m 2

)图5　φ(x ″i )=φ(x ′i )+1 (i =1,2,…,m 2

)φ(y ″i )=φ(y ′i )+1 (i =2,3,…,m 2

+1) 则不难验证φ是 K 4(m )(m 为偶数)一组优美标号1

同时,也不难验证φ是 K 4(m )一个交错标号,所以,由定义2知 K 4(m )(m 为偶数)也是一个交错二分图1

综上所述,无论m 为奇数还是偶数, K 4(m )都是优美图,且是交错二分图1

如图5所示,分别给出 K 4(5)、 K 4(4)的优美标号1

定义5　把长度为m 的四角仙人掌图的一个简单通路P m ,4的两个端点粘接在一起,而得到的四角仙人掌图称为四角仙人掌图的一个长度为m 的简单四角仙人掌圈,记作C m ,41定理3　对于任意自然数m ,C 2m ,4是优美图,并且是交错二分图1

证明　对于任意自然数m ,C 2m ,4共有8m 条边,顶点数为6m 1如图6所示的C m ,4的顶点记号

1

我们定义C 2m ,4的顶点标号θ如下:

θ(x 2k -1)=k -1 (k =1,2,…,m )

θ(x 2k -1)=k (k =m +1,m +2,…,2m )

θ(x 2k )=4m -k +1 (k =1,2,…,2m )

θ(x ′2k )=8m -k +1 (k =1,2,…,2m )

则不难验证θ是C 2m ,4一组优美顶点标号1同时,也容易验证,θ也是C 2m ,4一个交错标号,

62哈尔滨师范大学自然科学学报1998年