数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编

数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编

部分习题参考解答

P.4 习题

1．设a 为有理数，x 为无理数，证明：

（1）a + x 是无理数； （2）当0≠a 时，ax 是无理数。

证明 （1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数。这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数。

（2）假设ax 是有理数，于是a

ax

x =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故ax 是无理数。

3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b 。

证明 由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ，再由教材P.3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b 。

另证 （反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a 。这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b 。

5．证明：对任何R x ∈有

（1）1|2||1|≥-+-x x ； （2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x 证明 （1）|2||1||)2()1(|1-+-≤-+-=x x x x

（2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=--≤--x x x x x ，

所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x 6．设+

∈R c b a ,,证明||||

2222c b c a b a -≤+-+

证明 建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是2

2

b a +，OC 的长度是2

2

c a +，

AC 的长度为||c b -。因为三角形两边的差 大于第三边，所以有

||||2222c b c a b a -≤+-+

7．设 b a b x ≠>>,0,0，证明

x b x a ++介于1与b

a

之间。 证明 因为

1||1-=-<+-=-++b

a

b b a x b b a x b x a ，

1||)()(-=-<+-=-++b

a

b b a x b b x a b b a x b x a 所以

x b x a ++介于1与b

a

之间。 8．设 p 为正整数，证明：若 p 不是完全平方数，则p 是无理数。

证明 （反证）假设

p 为有理数，则存在正整数 m 、n 使得m

n

p =

，其中m 、n 互素。于是2

2

n p m =，因为 p 不是完全平方数，所以 p 能整除 n ，即存在整数 k ，使得kp n =。于是2

2

2

p k p m =，p k m 2

2

=，从而 p 是 m 的约数，故m 、n 有公约数 p 。这与“m 、n 互素”矛盾。所以

p 是无理数。

P.9 习题

2．设S 为非空数集，试对下列概念给出定义： （1）S 无上界；

若M ∀，S x ∈∃0，使得M x >0，则称S 无上界。

（请与S 有上界的定义相比较：若M ∃，使得S x ∈∀，有M x ≤，则称S 有上界） （2）S 无界。

若0>∀M ，S x ∈∃0，使得M x >||0，则称S 无界。

（请与S 有界的定义相比较：若0>∃M ，使得S x ∈∀，有M x ≤||，则称S 有界）

3．试证明数集},2|{2

R x x y y S ∈-==有上界而无下界。 证明 S x ∈∀，有222

≤-=x y ，故2是S 的一个上界。

而对0>∀M ，取M x +=30，S M x y ∈--=-=122

00，但M y -<0。故数

集S 无下界。

4．求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证： （1）},2|{2

R x x x S ∈<= 解 2sup =S ，2inf -=S 。下面依定义加以验证2sup =S （2inf -=S 可

类似进行）。

S x ∈∀，有22<<-x ，即2是S 的一个上界，2-是S 的一个下界。 2<∀α，若2-≤α，则S x ∈∀0，都有α>0x ；若22<<-α，则由实

数的稠密性，必有实数 r ，使得22<

<<-r α，即S r ∈，α不是上界，所以

2sup =S 。

（2）},!|{+∈==N n n x x S

解 S 无上界，故无上确界，非正常上确界为+∞=S sup 。 1inf =S 。

S x ∈∀，有1!≥=n x ，即 1 是S 的一个下界；

1>∀β，因为 S ∈=!11，即β不是S 的下界。所以 1inf =S 。

(3)})1,0(|{内的无理数为x x S =

解 仿照教材P .6例2的方法，可以验证：1sup =S 。 0inf =S

7．设A 、B 皆为非空有界数集，定义数集},,|{B y A x y x z z B A ∈∈+==+ 证明：（1）B A B A sup sup )sup(+=+； （2）B A B A inf inf )inf(+=+

证明 （1）因为A 、B 皆为非空有界数集，所以A sup 和B sup 都存在。

B A z +∈∀，由定义分别存在B y A x ∈∈,，使得y x z +=。由于A x sup ≤，B y sup ≤，故B A y x z sup sup +≤+=，即B A sup sup +是数集B A +的一个上界。

B A sup sup +<∀α，

（要证α不是数集B A +的上界），A B sup sup <-α，由上确界A sup 的定义，知存在A x ∈0，使得B x sup 0->α。于是B x sup 0<-α，再由上确界B sup 的定义，知存在B y ∈0，使得00x y ->α。从而α>+=000y x z ，且

B A z +∈0。因此B A sup sup +是数集B A +的上确界，即B A B A sup sup )sup(+=+

另证 B A z +∈∀，由定义分别存在B y A x ∈∈,，使得y x z +=。由于A x sup ≤，

B y sup ≤，故B A y x z sup sup +≤+=，于是

B A B A sup sup )sup(+≤+。 ①

由上确界的定义，0>∀ε，A x ∈∃0，使得2

sup 0ε

-

>A x ，B y ∈∃0，使得

2

sup 0ε

-

>B y ，从而ε-+>+≥+B A y x B A sup sup )sup(00，由教材P.3 例2，可

得

B A B A sup sup )sup(+≥+ ②

由①、②，可得 B A B A sup sup )sup(+=+ 类似地可证明：B A B A inf inf )inf(+=+

P.15 习题

9．试作函数)arcsin(sin x y =的图象 解 )arcsin(sin x y =是以2π为周期，