人教课标版高中数学必修5典型例题剖析：等差数列的通项与求和

等差数列的通项与求和 一、知识导学
1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.
2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….
3.通项公式：一般地，如果数列｛a n ｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列.
5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列
6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项.
7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示．
8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝2b a +．我们把Ａ＝2
b a +叫做ａ和ｂ的等差中项． 二、疑难知识导析
1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n ｝)的函数.
2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.
3.数列｛a n ｝的前n 项的和S n 与a n 之间的关系：⎩⎨⎧≥-==-).2(),1(1
1n S S n S a n n n 若
a 1适合a n (n>2),则n a 不用分段形式表示，切不可不求a 1而直接求a n .
4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：a n = a 1+(n-1)d=d·n+ a 1-d, a n 是关于n 的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,n a ）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.
5、对等差数列的前n 项之和公式的理解：等差数列的前n 项之和公式可变形为n d a n d S n )2(212-+=，若令A ＝2d ，B ＝a 1－2
d ，则n S ＝An 2+Bn. 6、在解决等差数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，n S ，n 中任意三个，可求其余两个。

三、经典例题导讲
[例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n －5）是该数列的前几项之和. 错解：（1）a n =3n+7;
(2) 1+4+…+（3n －5）是该数列的前n 项之和.
错因：误把最后一项（含n 的代数式）看成了数列的通项.（1）若令n=1,a 1=10≠1,显然3n+7不是它的通项.
正解：（1）a n =3n －2;
(2) 1+4+…+（3n －5）是该数列的前n －1项的和.
[例2] 已知数列{}n a 的前n 项之和为① n n S n -=22 ② 12++=n n S n 求数列{}n a 的通项公式。

错解： ① 34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n
② n n n n n a n 21)1()1(122=-----++=
错因：在对数列概念的理解上，仅注意了a n ＝S n －S n-1与的关系，没注意a 1=S 1. 正解： ①当1=n 时，111==S a
当2≥n 时，34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n
经检验 1=n 时 11=a 也适合，∴34-=n a n
②当1=n 时，311==S a
当2≥n 时，n n n n n a n 21)1()1(122=-----++=
∴ ⎩⎨⎧=n a n 23 )
2()1(≥=n n [例3] 已知等差数列{}n a 的前n 项之和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于 。

错解：S 30= S 10·2d. ∴ d ＝30， ∴ S 40= S 30+d =100.
错因：将等差数列中S m , S 2m －S m , S 3m －S 2m 成等差数列误解为S m , S 2m , S 3m 成等差数列.
正解：由题意：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=⨯+=⨯+7022930301029101011d a d a 得152,521==d a 代入得S 40 ＝120402
3940401=⨯⨯+d a 。

[例4]等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和为S n 、T n .若
),(27417+∈++=N n n n T S n n 求77b a ； 错解：因为等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，故由题意令a n =7n+1;b n =4n+27.
11
10277417777=+⨯+⨯=∴b a 错因：误认为
=n n T S n n b a 正解：79
922713411371313777777=+⨯+⨯==++=∴T S b b a a b a [例5]已知一个等差数列{}n a 的通项公式a n =25－5n ，求数列{}||n a 的前n 项和； 错解：由a n ≥0得n ≤5
∴ {}n a 前5项为非负，从第6项起为负，
∴ S n =a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=50(n ≤5)
当n ≥6时，S n =｜a 6｜+｜a 7｜+｜a 8｜+…+｜a n ｜＝2
)5)(520(--n n
∴ S n =⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤6,2)5)(520(5,50n n n n 错因：一、把n ≤5理解为n=5，二、把“前n 项和”误认为“从n ≥6起”的和.
正解： ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥+--≤-6,502)5)(520(5,2)545(n n n n n n
[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220， 由此可以确定求其前n 项和的公式吗？
解：理由如下：由题设： 31010=S 122020=S
得： ⎩⎨⎧=+=+122019020310451011d a d a ⎩⎨⎧==⇒6
41d a ∴ n n n n n S n +=⨯-+=2362
)1(4 [例7]已知：n n a -+=12lg 1024 （3010.02lg =）+∈N n （1） 问前多少项之和为最 大？（2）前多少项之和的绝对值最小？
解：（1） ⎩⎨⎧<-=≥-+=+02lg 102402lg )1(10241
n a n a n n 3403340112lg 10242lg 1024<<⇒+≤<⇒n n ∴3402=n
（2） 0)2lg (2
)1(1024=--+=n n n S n 当n n S S 或0=近于0时其和绝对值最小
令：0=n S 即 1024+
0)2lg (2)1(=--n n 得：99.680412
lg 2048≈+=n ∵ +∈N n ∴6805=n
[例8]项数是n 2的等差数列，中间两项为1+n n a a 和是方程02=+-q px x 的两根，求证此数列的和n S 2是方程 0)lg (lg lg )lg (lg lg 2222=+++-p n x p n x 的根。

（02>n S ）
证明：依题意p a a n n =++1
∵p a a a a n n n =+=++121 ∴np a a n S n n =+=2)(2212 ∵0)lg (lg lg )lg (lg lg 2222=+++-p n x p n x
∴ 0)lg (lg 2=-np x ∴n S np x 2== （获证）。

四、典型习题导练
1．已知n n n S a a 2311+==-且，求n a 及n S 。

2．设)1(433221+++⨯+⨯+⨯=n n a n ，求证：2
)1(2)1(2
+<<+n a n n n 。

3.求和: n
+++++++++++ 321132112111 4.求和： )12()34()9798()99100(22222222-+-++-+-
5.已知c b a ,,依次成等差数列，求证：ab c ac b bc a ---222,,依次成等差数列.
6.在等差数列{}n a 中， 40135=+a a ，则 =++1098a a a （ ）。

A ．72
B ．60
C ．48
D ．36
7. 已知{}n a 是等差数列，且满足)(,n m m a n a n m ≠==，则n m a +等于________。

8.已知数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+21n a 成等差数列，且713,61153-=-=a a ，求8a 的值。