(-)三年高考真题精编解析一专题17 椭圆及其综合应用

1.【2017浙江，2】椭圆22194x y +=的离心率是A ．133B ．53C ．23D ．59【答案】B 【解析】试题分析：94533e -==，选B ．2.【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A 6B 3C 2D ．13【答案】A 【解析】试题分析：以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即：22d a a b==+，整理可得223a b =，即()222223,23a a c a c =-=，从而22223c e a ==，椭圆的离心率2633c e a ===， 故选A .【考点】椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式e ＝c a；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).3.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：22x m+y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（） A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1 C ．m <n 且e 1e 2>1 D ．m <n 且e 1e 2<1 【答案】A 【解析】则很容易出现错误。

4.【2016高考新课标3理数】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（） （A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A 【解析】试题分析：由题意设直线l 的方程为()y k x a =+，分别令x c =-与0x =得点||()FM k a c =-，||OE ka =，由OBECBM ∆∆，得1||||2||||OE OB FM BC =，即2(c)ka ak a a c=-+，整理，得13c a =，所以椭圆离心率为13e =，故选A ．考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e 的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得b a或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ．5.【2015高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为. 【答案】22325()24x y -+=【解析】设圆心为（a ，0），则半径为4a -，则222(4)2a a -=+，解得32a =，故圆的方程为22325()24x y -+=.6.【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b +=＞＞0的右焦点，直线2b y =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=,则该椭圆的离心率是.6【解析】由题意得33,),C(,),22b b B ，因此2222236()()0322b c c a e -+=⇒=⇒= 考点：椭圆离心率【名师点睛】椭圆离心率的考查，一般分两个层次，一是由离心率的定义，只需分别求出,a c ，这注重考查椭圆标准方程中量的含义，二是整体考查，求,a c 的比值，这注重于列式，即需根据条件列出关于,a c 的一个齐次等量关系，通过解方程得到离心率的值.7.【2017课标1，理20】已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–13），P 4（13）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.【解析】试题分析：（1）根据3P ，4P 两点关于y 轴对称，由椭圆的对称性可知C 经过3P ，4P 两点.另外222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此134,,P P P 在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C 的方程；（2）先设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，在设直线l 的方程，当l 与x 轴垂直，通过计算，不满足题意，再设设l ：y kx m =+（1m ≠），将y kx m=+代入2214x y +=，写出判别式，韦达定理，表示出12k k +，根据121k k +=-列出等式表示出k 和m 的关系，判断出直线恒过定点.试题解析：（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点. 又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此222111314b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩.故C的方程为2214x y +=.222(41)844k x kmx m +++-=由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>. 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841kmk -+，x 1x 2=224441m k -+.而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m km k m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-.当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--，所以l 过定点（2，1-）【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.8.【2017课标II ，理】设O为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =。

(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=。

证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F 。

【答案】(1) 222x y +=。

(2)证明略。

【解析】试题分析：(1)设出点P 的坐标，利用2=NPNM得到点P 与点,M 坐标之间的关系即可求得轨迹方程为222x y +=。

(2)利用1OP PQ ⋅=可得坐标关系2231m m tn n --+-=，结合(1)中的结论整理可得0=OQ PF，即⊥OQ PF，据此即可得出题中的结论。

试题解析：（1）设()()00,,,P x y M x y ,设()0,0N x , ()()00,,0,NP x x y NM y =-=。

由2=NPNM得002,2x x y y ==。

因为()00,M x y 在C 上，所以22122x y +=。

因此点P 的轨迹方程为222x y +=。

（2）由题意知()1,0F -。

设()()3,,,Q t P m n -,则()()3,,1,,33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---⋅=+-， ()(),,3,OP m n PQ m t n ==---。

由1=OP PQ得2231m m tn n --+-=，又由（1）知222m n +=，故330m tn +-=。

所以0=OQ PF ，即⊥OQ PF 。

又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F 。

【考点】轨迹方程的求解；直线过定点问题。

9.【2017山东，理21】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为22，焦距为2.（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）如图，动直线l ：132y k x =-交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且1224k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M的半径为MC ，,OS OT 是M的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.【答案】（I ）2212xy +=.（Ⅱ）SOT ∠的最大值为3π，取得最大值时直线l 的斜率为122k =±.【解析】试题分析：（I ）本小题由22c e a ==，22c =确定,a b 即得.（Ⅱ）通过联立方程组2211,23,2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化简得到一元二次方程后应用韦达定理，应用弦长公式确定||AB 及 圆M 的半径r 表达式.试题解析：（I ）由题意知2c e a==，22c =，所以2,1a b ==，因此椭圆E 的方程为2212x y +=.（Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y，联立方程2211,2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 得()22114210k x x +--=，由题意知0∆>，且()1212211221x x x x k +==-+，所以2AB x =-=.由题意可知圆M 的半径r为r =由题设知12k k =2k =因此直线OC的方程为y x =.联立方程221,2,x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2221221181,1414k x y k k ==++，因此OC ==.由题意可知1sin 21SOTrOC r OCr∠==++，而1OC r==2112t k =+，则()11,0,1t t>∈，因此1OC r===≥， 当且仅当112t=，即2t =时等号成立，此时1k =，所以1sin 22SOT∠≤，因此26SOT π∠≤，所以SOT ∠最大值为3π.综上所述：SOT ∠的最大值为3π，取得最大值时直线l的斜率为1k =.【考点】1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3. 二次函数的图象和性质.10.【2017天津，理19】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12.（I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △6求直线AP 的方程.【答案】（1）22413y x +=，24y x =.（2）3630x -=，或3630x --=. 【解析】试题分析：由于A 为抛物线焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12，则12a c -=，又椭圆的离心率为12，求出,,c a b ，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则(1,0)A ，设直线AP 方程为设1(0)x my m =+≠，解出P Q 、两点的坐标，把直线AP 方程和椭圆方程联立解出B 点坐标，写出BQ 所在直线方程，求出点D 的坐标，最后根据APD △6m ，得出直线AP 的方程.试题解析：（Ⅰ）解：设F 的坐标为(,0)c -.依题意，12ca=，2p a =，12a c -=，解得1a =，12c =，2p =，于是22234b ac =-=.所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =.（Ⅱ）解：设直线AP 的方程为1(0)x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点2(1,)P m --，故2(1,)Q m-.将1x my =+与22413y x +=联立，消去x ，整理得22(34)60m y my ++=，解得0y =，或2634my m -=+.由点B 异于点A ，可得点222346(,)3434m m B m m -+-++.由2(1,)Q m -，可得直线BQ 的方程为22262342()(1)(1)()03434m m x y m m m m --+-+-+-=++，令0y =，解得222332m x m -=+，故2223(,0)32m D m -+.所以2222236||13232m m AD m m -=-=++.又因为APD △的面积为62，故221626232||2m m m ⨯⨯=+，整理得2326||20m m -+=，解得6||3m =，所以63m =±. 所以，直线AP 的方程为3630x y +-=，或3630x y --=. 【考点】直线与椭圆综合问题11.【2017江苏，17】如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F , 2F ,离心率为12,两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l . （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线E 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标.【答案】（1）22143x y +=（2）【解析】解：（1）设椭圆的半焦距为c .因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12c a =，228a c=， 解得2,1a c ==，于是b ==因此椭圆E 的标准方程是22143x y +=.（2）由（1）知，1(1,0)F -，2(1,0)F .设00(,)P x y ，因为点P 为第一象限的点，故000,0x y >>. 当01x =时，2l 与1l 相交于1F ，与题设不符. 当01x ≠时，直线1PF 的斜率为001y x +，直线2PF 的斜率为01y x -. 因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y -+，直线2l 的斜率为001x y --， 从而直线1l 的方程：001(1)x y x y +=-+，① 直线2l 的方程：001(1)x y x y -=--. ②(第17由①②，解得20 01,xxx yy-=-=，所以21(,)xQ xy--.因为点Q在椭圆上，由对称性，得21xyy-=±，即22001x y-=或22001x y+=.又P在椭圆E上，故2200143x y+=.由220022001143x yx y⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得004737,77x y==；220022001143x yx y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解.因此点P的坐标为4737(,)77.12.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆222150x y x++-=的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明EA EB+为定值,并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）13422=+yx（≠y）（II）)38,12[【解析】试题分析：根据EA EB+可知轨迹为椭圆,利用椭圆定义求方程；（II）分斜率是否存在设出直线方程,当直线斜率存在时设其方程为)0)(1(≠-=kxky,根据根与系数的关系和弦长公式把面积表示为x斜率k 的函数,再求最值.试题解析：（Ⅰ）因为||||AC AD =,AC EB //,故ADC ACD EBD ∠=∠=∠, 所以||||ED EB =,故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ,从而4||=AD ,所以4||||=+EB EA . 由题设得)0,1(-A ,)0,1(B ,2||=AB ,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：13422=+y x （0≠y ）.过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m ：)1(1--=x ky ,A 到m 的距离为122+k ,所以1344)12(42||22222++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积 341112||||212++==k PQ MN S . 可得当l 与x 轴不垂直时,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[. 当l 与x 轴垂直时,其方程为1=x ,3||=MN ,8||=PQ ,四边形MPNQ 的面积为12.综上,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[. 考点：圆锥曲线综合问题【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成, .其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.13.【2016高考山东理数】（本小题满分14分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞ 的离心率是32，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .（i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标.【答案】（Ⅰ）1422=+y x ;（Ⅱ）（i ）见解析；（ii ）12S S 的最大值为49，此时点P的坐标为)41,22(【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率和焦点求方程；（Ⅱ）（i）由点P的坐标和斜率设出直线l的方程和抛物线联立，进而判断点M在定直线上；（ii）分别列出1S，2S面积的表达式，根据二次函数求最值和此时点P 的坐标.试题解析：（Ⅱ）（i）设)0)(2,(2>mmmP，由yx22=可得xy=/，所以直线l的斜率为m，因此直线l的方程为)(22mxmmy-=-，即22mmxy-=.设),(),,(),,(2211yxDyxByxA，联立方程222241my mxx y⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得014)14(4322=-+-+mxmxm，由0>∆，得520+<<m且1442321+=+mmxx，因此142223210+=+=mmxxx,将其代入22mmxy-=得)14(2220+-=mmy，因为mx y 4100-=，所以直线OD 方程为x m y 41-=. 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=mx x m y 41，得点M 的纵坐标为M 14y =-，即点M 在定直线41-=y 上.（ii ）由（i ）知直线l 方程为22m mx y -=，令0=x 得22m y -=，所以)2,0(2m G -，又21(,),(0,),22m P m F D ))14(2,142(2223+-+m m m m ， 所以)1(41||2121+==m m m GF S ，)14(8)12(||||2122202++=-⋅=m m m x m PM S ， 所以222221)12()1)(14(2+++=m m m S S ，令122+=m t ，则211)1)(12(2221++-=+-=t tt t t S S ， 当211=t，即2=t 时，21S S 取得最大值49，此时22=m ，满足0>∆，所以点P 的坐标为)41,22(，因此12S S 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22(. 考点：1.椭圆、抛物线的标准方程及其几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3. 二次函数的图象和性质.14.【2015江苏高考，18】（本小题满分16分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程.【答案】（1）2212x y +=（2）1y x =-或1y x =-+．【解析】试题分析（1）求椭圆标准方程，只需列两个独立条件即可：一是离心2，二是右焦点F 到左准线l 的距离为3，解方程组即得（2）因为直线AB 过F ，所以求直线AB 的方程就是确定其斜率，本题关键就是根据PC=2AB 列出关于斜率的等量关系，这有一定运算量.首先利用直线方程与椭圆方程联立方程组，解出AB 两点坐标，利用两点间距离公式求出AB长，再根据中点坐标公式求出C点坐标，利用两直线交点求出P 点坐标，再根据两点间距离公式求出PC长，利用PC=2AB解出直线AB斜率,写出直线AB方程.（2）当xAB⊥轴时，2AB=，又C3P=，不合题意．当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为()1y k x=-，()11,x yA，()22,x yB，将AB的方程代入椭圆方程，得()()2222124210k x k x k+-+-=，则()221,2222112k kxk±+=+，C的坐标为2222,1212k kk k⎛⎫-⎪++⎝⎭，且()()()()()222222121212221112kx x y y k x xk+AB=-+-=+-=+．若0k=，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意．从而0k≠，故直线CP的方程为222121212k ky xk k k⎛⎫+=--⎪++⎝⎭，则P点的坐标为()22522,12kk k⎛⎫+⎪-⎪+⎝⎭，从而()()2222311C12k kk k++P=+．因为C2P=AB，所以()()()2222223114211212k k kkk k+++=++，解得1k=±．此时直线AB方程为1y x=-或1y x=-+．【考点定位】椭圆方程，直线与椭圆位置关系差法”解决，往往会更简单。