清华丘成桐数学英才班2018-2020届考试真题
2020年清华大学丘成桐数学英才班招生考试复试笔试试题全
专注名名校自主选拔 2
专注名校自主选拔
复试 笔试二
丘成桐数学英才班第二日的测试采用的是现学现考形式。这种形式非常常见，在小升初、 初升高、大学自主选拔活动中都有出现，这样的考试形式对于高中生来说难以提前准备，侧 重于考察学生的快速学习能力和数学研究能力。
清华本次安排为上午进行两场授课讲座，下午直接对所学内容笔试，笔试时间为 13:00-16:00，共 3 个小时，题目分 A、B 组，其中 A 组共 5 道大题；B 组共 3 道大题（7 道小题），内容主要为纽结理论和代数表示论，均是大学数学知识。
丘成桐英才班考试范围
丘成桐英才班考试范围全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一、数学1. 初等数论：包括整数、有理数等基本概念的考察，以及一些中级数论题目的解答。
2. 数列与数学归纳法：包括等差数列、等比数列等常见数列的求和公式，以及数列与数学归纳法在解题中的应用。
3. 平面几何：包括角度、三角形、四边形、圆等几何图形的性质和相关定理的考察。
4. 进阶数学：包括微积分、线性代数等高阶数学概念和定理的考察。
5. 竞赛数学：包括奥赛数学中的高难度题目和解题技巧的练习。
二、物理1. 力学：包括牛顿三大定律、摩擦力、弹簧力等力学知识和题目。
2. 热学：包括热力学、温度、热平衡等热学基础知识和问题。
3. 电磁学：包括电场、磁场、电流等电磁学基础知识和问题。
4. 光学：包括光的传播、反射、折射等光学知识和问题。
5. 现代物理：包括相对论、量子力学等现代物理领域的知识。
三、信息学1. 基本算法：包括排序算法、查找算法等常见算法的实现和应用。
2. 数据结构：包括链表、树、图等数据结构的基本概念和应用。
3. 计算机原理：包括计算机组成原理、操作系统、编程语言等计算机基础知识。
4. 算法设计：包括贪心算法、动态规划、回溯法等高级算法设计和分析。
5. 程序设计：包括编程能力、程序调试、算法实现等计算机编程技能的练习。
以上是丘成桐英才班考试范围的主要内容，学生们需要在这些领域取得一定的基础才能进入这个特殊的班级学习。
通过参加丘成桐英才班的学习，学生们将能够更好地提高自己的数学、物理和信息学能力，为未来参加奥赛比赛和科研工作打下坚实基础。
希望学生们在这个班级的学习过程中，不断努力，不断挑战自己，取得更好的成绩。
【2000字】第二篇示例：【丘成桐英才班考试范围】丘成桐英才班作为国内著名的数学培训机构，向来以其严格的教学标准和高质量的教育服务而闻名。
对于学生来说，通过丘成桐英才班的培训，不仅可以提高数学水平，更可以为未来的学业和职业发展打下坚实的基础。
2020清华大学丘成桐数学英才班招生考试笔试题
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2019-12-08原文
“丘成桐数学英才班”，这个班，由清华大学丘成桐主导创建”。
丘成桐教
授被誉为几何分析学科的奠基人，菲尔兹奖首位华人获得者、美国国家科学院院士、哈佛大学教授、清华大学丘成桐数学科学中心主任，目前在清
华英才班担任首席教授。
是当代公认的最具影响力的数学家之一。
“丘成桐数学英才班”建立仅有三年时间，2018年首次全国招生15人；2019年录取17名学生，其中高二学生6名，高三学生11名。
授课教师主要由普林思顿大学、哈佛大学毕业的多位数学学科的领军人物组成，而且每一位都是大名鼎鼎，比如李思、于品教授等。
2020年清华大学“丘成桐数学英才班”招生考试复试于12月7日-12月9日举行。
12月7日进行了笔试一测试与心理测试，其中笔试一共8道数学试题。
这题没答案
是不是很厉害，但他不是最厉害的，最厉害的是清华的姚班，全国数学应用领域最厉害的人物，一半都来自这个班。
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清华数学试题及答案
清华数学试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个函数是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = |x| \)D. \( f(x) = \cos(x) \)答案：B2. 求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\) 的值是多少？A. 0B. 1C. \(\frac{1}{2}\)D. \(\infty\)答案：B3. 以下哪个矩阵是可逆的？A. \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)B. \(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)C. \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)D. \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)答案：C4. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\) 的结果是多少？A. \(\frac{1}{3}\)B. \(\frac{1}{2}\)C. \(\frac{1}{4}\)D. \(\frac{1}{6}\)答案：A5. 以下哪个方程的解是 \(x = 2\)？A. \(x^2 - 4x + 4 = 0\)B. \(x^2 - 3x + 2 = 0\)C. \(x^2 - 5x + 6 = 0\)D. \(x^2 - 6x + 9 = 0\)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数 \(y = \ln(x)\) 的导数是 ________。
答案：\(\frac{1}{x}\)2. 向量 \(\vec{a} = (3, -2)\) 和 \(\vec{b} = (-1, 4)\) 的点积是 ________。
2018年清华大学自主招生数学真题选集
清华大学本试卷数学部分共有40道选择题.1.【真题】已知定义在R上的函数（）fx={2x+a,x≤0lnx+a,x>0若方程f(x)=12有两个不相等的实数根,则a的取值范围是（）A.−12≤a≤12B.0≤a<12C.0≤a<1D.−12<a≤04.【真题】已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为I,P是I上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若FP=3FQ,则|QF|=（）A.83B.52C.3D.27.【真题】我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”,已知F1、F2是一对相关曲线的焦点,P是它们在第一象限的交点,当∠F1PF2=30∘时,这一对相关曲线中椭圆的离心率是（）A.7−4√3B.2−√3C.√3−1D.4−2√311.【真题】如图所示,为测一树的高度,在地面上选取A、B两点,从A、B两点分别测得树尖的仰角为30∘,45∘,且A、B两点之间的距离为60m,则树的高度为（）A.(15+3√3)mB.(30+15√3)mC.(30+30√3)mD.(15+30√3)m14.【真题】在复平面内,复数z=2i(为虚数单位)的共轭复数对应的点位于（）1+iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限15.【真题】设X−N(μ1,σ12),Y−N(μ2,σ22),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（）A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t) D对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)20.【真题】如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为（）cm3A.500π3cm3B.866π3cm3C.1372π3D.2048π3 cm 321.【真题】已知x,y,z 为正实数,则xy+yz x 2+y 2+z 2的最大值为（）A.1B.2C.√22D.√229.【真题】已知e 1,e 2为平面上的单位向量,e 1与e 2的起点均为坐标原点O,e 1与e 2夹角为π3.平面区域D 由所有满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λe 1+μe 2的点P 组成,其中{λ+μ≤10≤λ0≤μ,那么平面区域D 的面积为（）A.12B.√3C.√32D.√3431.【真题】已知α是第二象限角,且sin (π2+α)=−√55,则cos 3α+sinαcos(α−π4)=（） A.−11√215 B.−9√25 C.9√25 D.11√215)的图象,只需把函数y=sin2x的图象上所有的33.【真题】为了得到函数y=sin(2x−π3点（）个单位长度A.向左平行移动π3B.向右平行移动π个单位长度3C.向左平行移动π个单位长度 6个单位长度D.向右平行移动π636.【真题】若a<b<c,则函数f(x)=(x−a)(x−b)+(x−b)(x−c)+(x−c)(x−a)两个零点分别位于区间（）A.(a,b)和(b,c)内B.(−∞,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+∞)内D.(−∞,a)和(c,+∞)内37.【真题】设A,B是有限集,定义d(A,B)=card(A∪B)−card(A∩B),其中card(A)表示有限集A中的元素个数,命题①:对任意有限集A,B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要条件:命题②:对任意有限集A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C)（）A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立C.命题①成立,命题②不成立D.命题①不成立,命题②成立39.【真题】已知f(x)=x5+2x3+3x2+x+1,应用秦九韶算法计算x=3时的值时需要（）次乘法运算A.9B.8C.5D.4。
2024年湖北武汉华中师大一附中丘成桐少年班选拔数学试题
2024年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学丘成桐少年班选拔真题1、解方程:[x]= 3x-2,x=____________。
2、15转化成2进制是_______，10位的2进制数有___________。
3、Φ(x)表示不超过x的非0自然数中与x互质的自然数的个数,Ф(25)=______；Ф(77)=_____.4、甲、乙、丙3人从A地出发去270km 远的B地，每天走10km，每人最多带36 天的食物。
可以把食物分给他人。
(1)、若甲、乙两人出发，甲距离A地100km 时返回，乙可以走_____千米就要返回；(2)、若甲、乙两人出发，乙最多可以走_______千米就要返回;(3)、请设计一种方案，可以互相补给，不可以存放，如何让乙走到B再返回。
5、一批衣服进价40 元，打算以40%的利润卖出，卖了80%后打折，卖完后的总利润只有原来的86%，则打了_________折。
6、对于一些数a1,a2,…, a n,若a i>a j,且i<j则成a i,a j为逆序，a i到a n的逆序数量叫逆序数(1)、1,2,3,4的任意排列中，逆序数恰好为2的排列有_______个;(2)、设a1,a2,…, a10的逆序数为k，则a10,a9,…, a1的逆序数为_______(用k表示)。
7、计算=_____________.8、小明一步跨2级或3级台阶，一共20级台阶有种___________不同的走法。
9、有一堆石子,甲乙两人轮流取,甲先取,乙后取,每次1-5颗,如果一共12颗,______必胜;如果一共2024颗，________必胜。
10、有一个水池,单开甲管12个小时可以注满,单开乙管20个小时可以注满,现在甲开1个小时,乙开1个小时,轮流下去,注满水池要_______小时。
11、把圆柱体切成2个小的圆柱体,它的表面积增加了25.12平方分米,把它切成两个半圆柱体,它的表面积增加80平方分米,这个圆柱体的体积是_________立方分米。
清华丘成桐大学生数学竞赛2021年笔试真题computational_and_applied_21s
min
x ∈Rn
Ax − b 2 .
(a) Show that all solutions x can be written as
x = V1Σ−1 1UT1 b + V2z2,
with z2 an arbitrary vector. (b) Show that the solution x has minimal norm x 2 precisely when z2 = 0, and in which case,
=
π 6
,
determine
an
n
that
guarantees
|
xn
−
x∗|
<
1 2
× 10−8.
For
the
fixed
point
iteration
in
(b)
with
x0
=
20,
determine
an
n
that
guarantees
| xn
−
x∗|
<
1 4
.
Problem 4. Let matrix A ∈ Rm×n with m ≥ n and r = rank(A) < n, and assume A has the following SVD
(e) Prove an a priori error estimate for this method in the L2 norm:
∫1
1 2
e L2 =: e =
e2dx .
0
(b) Prove that the sequence defined by the fixed point iteration
2018年秋季精英班数学选拔测试题
2018年秋季精英班数学选拔测试题第一卷1．计算：16.075622145.199.1313-÷+⨯÷）（1.420115.015223245.3+⨯++2．已知甲、乙两自然数之比为5:3，并且它们的最大公约数与最小公倍数之和为1040，求甲数和乙数。
3． 如下图，在四边形ABCD 中，∠B=∠D=90º，∠A=45º，AD=12厘米，BC=4厘米，则ABCD 的面积为多少？4． 作如下规定，若角A 与角B 的和为90º，则称A 、B 互余，若角A 与角B 的和为180º，则称A 、B 互补，现已知一个角的补角是它的余角的3倍，求这个角的度数。
5． 若510510的所有质因数按照从小到大顺序排列为a 1,a 2,a 3…a k ,则（a 2-a 1）·（a 3-a 2）·（a 4-a 3）·…·（a k -a k-1）为多少？6．用1到6这六个不同的数字组成一个各个数位上数字均不相同的六位数abcdef，且4|abc，5|bcd，3|cde，11|def。
那么满足上述要求的六位数是多少？第二卷1.甲乙两瓶浓度未知的酒精分别含纯酒精200毫升和450毫升，如果把它们均匀混合（忽略体积变化）则混合后的浓度比原来甲瓶的浓度高7%，但比原来乙瓶的浓度低14%，问混合后的浓度是多少2.一次象棋比赛共有10名选手参赛，他们分别来自甲、乙、丙3个队，每个人都与其余9名选手各赛一盘，每盘棋胜者都得1分，负者得0分，平局各得0.5分，结果甲队选手平均得4.5分，乙队选手平均得分3.6分，丙队选手平均得9分，那么甲、乙、丙3队各派参赛选手多少名？3.组织集体订阅，有《数理天地》月刊，全年共出12期，每期定价2.50元，其小学六年级些学生订半年而另一些学生订全年，共需1320元，若订全年的同学与订半年的同学人数交换，共需订费1245元，由该小学六年级订阅《数理天地》的学生共有多少人？4.箱子里有乒乓球若干，其中25%是一级品，五分之几是二级品，其余91是三级品。
2018清华大学中学生学术能力标准测试理科数学试题及答案
1
27 7 1000 ， 10
0
……………9 分
5
从而 的分布列为
E ( ) np 3
3 0.9 10 3 7 D( ) np(1 p) 3 0.63 10 10
， …………………12 分
20. （12 分） 解： （1）设 F (c,0) ， P(t ,
3 P 0 C 10
0 3 1 3 0
3
343 7 1000 ， 10
2
3
441 37 P 1 C 1000 ， 10 10 189 3 7 P 2 C32 10 10 1000 ， 3 P 3 C 10
中学生标准学术能力诊断性测试 理科数学科目参考答案 一、选择题 题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 C 5 A 6 A 7 B 8 C 9 C 10 B 11 D 12 A
二、填空题（每题 5 分） 13.
1 5
14.
4 [3， ] 3
15. 4
16.
13 2
三、解答题 17. （12 分） 解： （1）因为������������������2 ������ = ������������������2
所以有 95% 以上的把握认为捐款数额是否多于或少于 500 元和自身经济 损失是否到 4000 元有关。…………………5 分 （Ⅱ）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过 4000 元居民的频 率为 0.3，将频率视为概率. 由题意知 的取值可能有 0,1, 2,3 ， ~ B(3,设点 P 到 AB 边的距离为 z ，则有：
1 SABC SPBC SPAC SPAB ( 3x y 2 z ) ； 2
2020届清华中学生标准学术能力(9月)数学(理)试题(解析版)
2020届清华中学生标准学术能力（9月）数学（理）试题一、单选题1．设全集U =R ，集合{|2},{|15}A x x B x x =≥=≤≤，则集合()⋂=U C A B （）A.{|12}x x <<B.{|12}x x ≤≤C.{|12}x x <≤D.{|12}x x ≤<【答案】D【解析】求出U C A 后可得其与B 的交集. 【详解】{}|2U C A x x =<，(){}|12U C A B x x ⋂=≤<，故选D.【点睛】本题考查集合的交和补，属于基础题. 2．己知i 为虚数单位，12zi i=-，则复数z 的模为（）C.3D.5【答案】B【解析】利用复数的乘法计算出z 后可计算其模. 【详解】()122z i i i =-=+，故z = B.【点睛】本题考查复数的乘法及复数的模，属于基础题.3．己知函数()f x 满足(2)1f =，设()00f x y =，则“01y =”是“02x =”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】利用充分条件和必要条件的定义可判断“01y =”与“02x =”的关系. 【详解】若02x =，则()()0021y f x f ===，故“01y =”是“02x =”的必要条件，故“01y =”推不出“02x =”，故“01y =”是“02x =”的不充分条件， 综上，“01y =”是“02x =”的必要不充分条件.故选B. 【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件.4．双曲线22(0,0)y x n m n m-=><的离心率（）A.与m 有关，且与n 有关B.与m 无关，但与n 有关C.与m 有关，但与n 无关D.与m 无关，且与n 无关【答案】C【解析】把方程化成双曲线的标准方程，求出离心率后可得正确的选项. 【详解】双曲线22(0,0)y x n m n m -=><的标准方程为221x y n mn-=--，它的焦点在x 轴上，离心率e==n 无关，与m 有关， 故选C. 【点睛】本题考查双曲线的标准方程及离心率的计算，属于基础题. 5．已知42(,0)x y x y +=>，则21x y+的最小值为（）A.4B.6C.2+D.3+【答案】D【解析】利用基本不等式可求21x y+的最小值.【详解】2112118x y ⎛⎫⎛⎫因为,x y 都是正数，由基本不等式可以得到8x y y x+≥，所以213x y +≥+当且仅当x =即22,2x y ==时等号成立，故21x y +的最小值为3+故选D. 【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数式变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.6．己知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是（）A.1()sin 1x x e f x x e -=⋅+B.1()sin 1xxe f x x e -=⋅+ C.1()cos 1x x e f x x e -=⋅+D.1()cos 1xxe f x x e-=⋅+ 【答案】A【解析】先根据函数的图像关于y 轴对称可得()f x 为偶函数，故排除CD ，再根据在()0,π内恒为正可得正确选项.【详解】因为()f x 的图像关于y 轴对称，故()f x 为偶函数，对于C ，()()11()cos cos 11x x x x e e f x x x f x e e -----=⋅-=-=-++，故该函数为奇函数，不符合，故C 错；同理D 错.对于A ，令()()()()111sin sin sin 111x x x x x x e e e x x x f x e e f x e -----⋅-=--=⋅=⎡⎤⎣⎦+++-=， 故()f x 为偶函数，当0x >时，令()0f x >，则()2,2,x k k k N πππ∈+∈，对于D ，同理可判断()f x 为偶函数，当0x >时，令()0f x >，则()*2,2,x k k k N πππ∈-∈，这与图像不符合.综上，选A. 【点睛】本题为图像识别题，考查我们从图形中扑捉信息的能力，一般地，我们需要从函数的图像中得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值的正负等性质，从而选出正确的函数．7．将函数2()22cos f x x x =-图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移4π个单位长度，则所得函数图像的一个对称中心为（） A.(2,1)π- B.(2,1)π--C.(2,0)π-D.(2,0)π【答案】A【解析】先把()f x 化成()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，再根据图像变换得到变换后的函数解析式，利用正弦函数的性质可求对称中心. 【详解】2()22cos 2cos 22sin 1612f x x x x x x π=-=-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭-，图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不受），再向右平移4π个单位长度， 所得图像的解析式为()222sin 12sin 134633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 令2,33x k k Z ππ-=∈，故3,2k x k Z ππ+=∈， 故对称中心3,1,2k k Z ππ+⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，当1k =时，对称中心为()2,1π-， 故选A. 【点睛】三角函数的图像往往涉及振幅变换、周期变换和平移变换，注意左右平移时是自变量x 作相应的变化，而且周期变换和平移变换（左右平移）的次序对函数解析式的也有影响，比如sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，它可以由sin y x =先向左平移3π个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的12，也可以先保持纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再向左平移6π.求三角函数图像的对称轴、对称中心，应该利用正弦函数、余弦函数的性质来处理. 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.23B.43C.83D.163【答案】C【解析】根据三视图可得复原后的几何体（如图所示），根据公式可计算其体积. 【详解】根据三视图可得对应的几何体为四棱锥P ABCD - ， 它是正方体中去掉一个三棱锥和三棱柱，又2ABCD S ==矩形，P 到底面ABCD ，故1833V =⨯=，故选C.【点睛】本题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．如果复原几何体比较困难，那么可根据常见几何体（如正方体、圆柱、球等）的切割来考虑. 9．设函数()cos ,()2cos(0)xf x xg x t t ππ==⋅-≠，若存在,[0,1]m n ∈，使得()()f m g n =成立，则实数t 的取值范围是（）A.13,00,22⎡⎤⎛⎤-⋃ ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦ B.13,00,24⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ C.13,00,42⎡⎤⎛⎤-⋃ ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦D.13,00,44⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】D【解析】先求出两个函数的值域，利用两个函数的值域的交集非空求实数t 的取值范围. 【详解】因为存在,[0,1]m n ∈，使得()()f m g n =成立， 所以()f x 的值域与()g x 的值域交集不是空集.又当[]0,1x ∈时，0x ππ≤≤，所以1cos 1x π-≤≤即()f x 的值域为[]1,1-， 若0t >，则()g x 的值域为11,222t t ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， 考虑()f x 的值域与()g x 的值域交集是空集，则0112t t >⎧⎪⎨->⎪⎩ 或01212t t >⎧⎪⎨-<-⎪⎩， 故32t >，所以()f x 的值域与()g x 的值域交集不是空集时302t <≤.若0t <，则()g x 的值域为112,22t t ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， 考虑()f x 的值域与()g x 的值域交集是空集，则01212t t <⎧⎪⎨->⎪⎩ 或0112t t <⎧⎪⎨-<-⎪⎩， 故12t <-，所以()f x 的值域与()g x 的值域交集不是空集时102t -≤<. 综上，102t -≤<或302t <≤，故选A.【点睛】函数中的存在性问题，需要结合题设条件进行合理转化，比如存在,m n D ∈，使得()()f m g n =，则需转化为在D 上()f x 的值域与()g x 的值域交集不是空集，又如对任意m D ∈，总存在n D ∈，使得()()f m g n =，则指D 上()f x 的值域是()g x 的值10．设{}n F 是斐波那契数列，则12121,n n n F F F F F --===+.下图是输出斐波那契数列的一个算法流程图，现要表示输出斐波那契数列的前30项，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）A.15i ≤B.14i ≤C.29i ≤D.30i ≤【答案】B【解析】根据每次循环输出两个值可知只需执行循环体14次即可，从而可得正确的选项. 【详解】输出两项后1i =，输出4项后2i =时，依次类推，总共输出30项后15i =时，应终止循环，故流程图中的判断框内应填写的条件是14i ≤. 故选B. 【点睛】对于流程图的问题，我们可以从简单的情形逐步计算归纳出流程图的功能，在归纳中注意各变量的变化规律.11．己知甲盒中有2个红球，1个蓝球，乙盒中有1个红球，2个篮球，从甲乙两个盒中各取1球放入原来为空的丙盒中，现从甲盒中取1个球，记红球的个数为1ξ，从乙盒中取1个球，记红球的个数为2ξ，从丙盒中取1个球，记红球的个数为3ξ，则下列说法正确的是（）A.()()()()()()132123,E E E D D D ξξξξξξ>>=>B.()()()()()()132123,E E E D D D ξξξξξξ<<=>C.()()()()()()132123,E E E D D D ξξξξξξ>>=<D.()()()()()()132123,E E E D D D ξξξξξξ<<=<【解析】算出随机变量1ξ、2ξ、3ξ的分布列后可求各自的期望与方差，从而可得正确的选项. 【详解】随机变量1ξ可取值0,1，其中()12131032P ξ⨯===，()11211332132P ξ=⨯+⨯==，故()123E ξ=，()1242399D ξ=-=.随机变量2ξ可取值0,1， ()22120311323P ξ=⨯+=⨯=，()22131132P ξ⨯===，故()213E ξ=，()2112399D ξ=-=.随机变量3ξ可取值0,1，当30ξ=时，丙盒中无红球或有一个红球， 无红球的概率为1233⨯，有一个红球的概率为22199⨯+， 故()3122211101339922P ξ⨯⎛⎫==⨯⨯++⨯= ⎪⎝⎭，()3111122P ξ==-=， 故()312E ξ=，()3111244D ξ=-=. 综上，()()()()()()132123,E E E D D D ξξξξξξ>>=<，故选C. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望和数学方差的计算，计算分布列时要弄清随机变量取某值时对应的随机事件的含义并确定合理的概率计算方法.必要时可借助于常见的分布列来帮助计算（如0-1分布、二项分布、超几何分布等），考查运算能力和逻辑思维能力.12．如图，已知等边三角形ABC 中，AB AC =，O 为BC 的中点，动点P 在线段OB 上（不含端点），记APC θ∠=，现将APC ∆沿AP 折起至APC '∆，记异面直线BC '与AP 所成的角为α，则下列一定成立的是（）A.θα>B.θα<C.2πθα+>D.2πθα+<【解析】【详解】 设正三角形的边长为2a ，如图，在等边三角形ABC 中，过C 作AP 的垂线，垂足为E ， 过B 作BF CE ⊥，垂足为F ，因为APC θ∠=，则,32ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且PD =，故CP a =+，所以)sin sin sin CE CP a a θθθθ⎫=⨯=+⨯=+⎪⎪⎝⎭，2sin CF a θ=，故()sin EF a θθ=-，又2cos BF a θ=.将APC ∆沿AP 折起至APC '∆，则2sin C F C E EF CF a θ''<+==. 因C E AP '⊥，EF AP ⊥，EF C E E '=，故AP ⊥平面C EF '，因BFAP ，故BF ⊥平面C EF '， C F '⊂平面C EF '，所以BF C F '⊥，又C BF '∠为异面直线BC '、AP 所成的角， 而2sin tan tan tan 2cos C F a C BF BF a θαθθ''=∠=<=，因,0,2πθα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故θα>， 故选A. 【点睛】折叠过程中空间中角的大小比较，关键是如何把空间角转化为平面角，同时弄清楚在折叠过程各变量之间的关系（可利用解三角形的方法来沟通），此类问题为难题，有一定的综合度.二、填空题13．已知5810a b ==，则31a b+=_______________.【解析】用对数表示,a b 后可求31a b+的值. 【详解】因为5810a b ==，故58log 10,log 10a b ==， 故31lg5,lg8a b ==，所以()313lg5lg8lg 1258lg10003a b+=+=⨯==，故填3. 【点睛】本题考查指数式和对数式的互化以及对数的运算，属于基础题. 14．己知数列{}n a 满足11(2)32,(1)1n n a n n a a n n ++++==+++,数列{}n a 的通项公式为n a =___________.【答案】22313n n ++ 【解析】把11(2)32,(1)1n n a n n a a n n ++++==+++化为()()()()()1212(1)233n n a a n n n n n n +=+++++++，利用累加法和裂项相消法可求通项公式. 【详解】 因为1(2)3(1)1n n a n n a n n ++++=+++，所以1311n n n a a n +++=+， 两边同时除以()()23n n ++得到()()()()()1212(1)233n n a a n n n n n n +=+++++++，整理得到：()()()1112(1)2323n n a a n n n n n n +-=-++++++即()()1112(1)112n n n a a n n n n n --=-+++++，累加得到()1112(1)3322n a a n n n -=-+++⨯即()()21212(1)3232n a n n n n n +=-=++++，所以()()221123+133nn n n n a +++==，其中2n ≥，又1n =时，12a =符合，故数列{}n a 的通项公式为223+13n n n a +=，故填22313n n ++.【点睛】给定数列的递推关系求数列的通项时，我们常需要对递推关系做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），常见的递推关系、变形方法及求法如下： （1）()1n n a a f n --=，用累加法. （2）11n n n pa a qa p --=+，取倒数变形为111n n q a a p --=，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，利用公式可求1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，从而可求{}n a 的通项公式. （3）()10n n a q p p q a -+≠=，变形为()110,1n n n n n a qpq p p pa p --+≠≠=，利用累加法可求n n a p ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，也可以变形为111n n a q p p a q p --⎛⎫= ⎪⎝--⎭-，利用等比数列的通项公式求1n q p a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭的通项公式，两种方法都可以得到{}n a 的通项公式. 15．己知边长为2的正方形ABCD ，,E F 分别是边,BC CD 上的两个点，AE AF xAB y AD +=+，若3x y +=，则||EF 的最小值为_____________.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，用,x y 表示,E F 的坐标后可求出||EF 的表达式，消元后利用二次函数的性质可求其最小值. 【详解】以A 为原点，AB 所在的直线建立如图所示的平面直角坐标系，则()()()()0,0,2,0,0,2,2,2A B D C ，设()()2,,,2E m F n()()2,0,0,2AB AD ==，()()2,,,2AE m AF n ==， 由AE AF xAB y AD +=+可得2222n xm y +=⎧⎨+=⎩，故2222n x m y =-⎧⎨=-⎩.(2EF ===进一步化简可得8EF x ==当32x =时，EF 有最小值且为.【点睛】平面向量中向量的模的计算，可以把欲求的向量表示为题设中给出的基底向量的线性表示，利用基地向量的模和夹角来计算，也可以根据图形建立合适的平面直角坐标系，将模的计算归结为向量坐标的计算.16．已知椭圆22:15x C y +=，过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于,A B 两点，交y 轴于M 点，且点B 在线段FM 上，则MB MABF AF-=______________. 【答案】10-【解析】设:2AB y kx k =-，()()1122,,,A x y B x y ，可用,A B 的横坐标坐标表示MB MA BF AF -，联立直线AB 的方程和椭圆的方程后消去y ，利用韦达定理化简MB MA BFAF-可得所求的值.【详解】设:2AB y kx k =-，()()1122,,,A x y B x y ， 则21121221121222222422MB MA x x x x x x BF AF x x x x x x +--=-=----+， 由22255y kx k x y =-⎧⎨+=⎩可得()22221+5202050k x k x k -+-=， 所以222222222222220205224040101515102020520440205421515k k MB MA k k k k k k BF AFk k k k k -⨯-⨯-+++-===--+-+--⨯+++， 故填10-.【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.三、解答题17．已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且cos sin 222A A -=. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）当)a A C =+=，求c 的值. 【答案】（Ⅰ）6A π=；（Ⅱ）4c =【解析】（Ⅰ）对等式cossin 22A A -=1sin 2A =，结合角A 是三角形的内角和cos sin 222A A -=，可以确定角A 的取值范围，最后求出角A ；（Ⅱ）由三角形内角和定理和sin()14C A +=，可以求出sin 14B =，运用正弦定理，可以求出b =c 的值.【详解】（Ⅰ）由sin cos 222A A -=得21cos sin 222A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即112sin cos 222A A -=，1sin 2A =， 又0A π<<，cossin 022A A ->，cos sin sin 2222A A A π⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，222A A π->，2A π<，所以6A π=.（Ⅱ）由sin()14C A +=，得sin 14B =，由正弦定理：sin sin a b A B=，得b = 由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，得2733c c =+-，4c =或1c =-（舍去）， 所以4c =. 【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式、正弦定理、余弦定理，考查了数学运算能力. 18．如图，在四楼锥P ABCD -中，BC ⊥面PCD ，CDAB ，22,AB CD BC PC PD AB ====⊥.（1）求PD 的长.（2）求直线AD 与面PAB 所成角的正弦值.【答案】（1）1PD =（2）3【解析】（1）可证PD ⊥平面ABCD ，从而得到PD DC ⊥后可计算PD 的长.（2）在直角梯形中可计算出AD =，再利用等积法求出D 到平面PAB 的距离（可转化C 到平面PAB 的距离），从而可得线面角的正弦值. 【详解】 解：（1）BC ⊥平面PCD ，BC PD ∴⊥，又,PD AB AB BC B ⊥⋂=，PD ∴⊥平面ABCD ，,PD DC PDC ∴⊥∴∆是直角三角形，由已知1PC CD ==，1PD ∴=.（2）解法1：BC ⊥平面PCD ，,BC CD BC PC ∴⊥⊥，如图，在直角梯形ABCD 中，过D 作DE AB ⊥，交AB 于E .故1DE BC AE ===，所以AD =设D 到平面PAB 的距离为d ，直线AD 与平面PAB 所成的角为θ 则sind AD θ==. AB CD ∥，CD ⊄面PAB ，AB Ì面PAB ，CD ∴平面PAB ，∴C 到平面PAB 的距离也为d .在三棱锥B PAC -中，C P A ABC P B V V --=，PD ⊥平面ABCD ，,2PD AD PA ∴⊥∴=.又,2BC PC BC PC PB ==⊥∴=，111123323p ABC ABC V PD S -∴=⨯=⨯⨯⨯=133C PAB PAB V dS d -∆==，sin 3d d AD θ∴=∴=== 即直线AD 与面PAB所成角的正弦值为3. 解法2：由（1）知PD ⊥平面ABCD ，过D 作DE AB ⊥于E ，则PD DE ⊥， 如图以D 为原点，,,DC DP DE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则(1,0,0),(1,0,(1,0,(0,1,0)C A B P -，则(2,0,0),(1,1,2),(1,0,AB AP DA ===- 设平面PAB 的法向量为(,,)n x y z =，则由00AB n AP n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得00x x y =⎧⎪⎨++=⎪⎩ 令1z =.可得(0,2,1)n =-. 设直线AD 与面PAB 所成角为θ. 则2sin |3||||n DA n DA θ⋅==，即直线AD 与面PAB 所成角的正弦值为3【点睛】线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为2π得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.线面角的计算，可以利用空间向量计算直线的方向向量和平面的法向量的夹角，也可以利用斜线段的长和斜线段的端点到平面的距离来计算，后者可用等积法来计算. 19．若数列{}n a 前n 项和为{}n S ，且满足()21n n tS a t =--（t 为常数，且0,1t t ≠≠）（1）求数列{}n a 的通项公式：（2）设1n n b S =-，且数列{}n b 为等比数列，令3log n n n c a b =，.求证：1232n c c c ++⋯+<. 【答案】（1）2nn a t =（2）详见解析【解析】（1）利用1n n n a S S -=-可得{}n a 的递推关系，从而可求其通项. （2）由{}n b 为等比数列可得13t =，从而可得{}n c 的通项，利用错位相减法可得{}n c 的前n 项和，利用不等式的性质可证1232n c c c ++⋯+<. 【详解】（1）由题意，得：()21n n tS a t =--（t 为常数，且0,1t t ≠≠）， 当1n =时，得()1121tS a t =--，得12a t =. 由()()11212(2)1n n n n t S a t t S a n t --⎧=-⎪⎪-⎨⎪=-≥⎪-⎩，故()111n n n n n tS S a a a t ---==--，1(2)n n a ta n -∴=≥，故2n n a t =. （2）由()()211221111nn n n t t b S t t t t =-=--=----， 由{}n b 为等比数列可知：2213b b b =，又22312312,122,1222b t b t t b t t t =-=--=---，故()()()2223122121222t t t t t t --=----，化简得到3262t t =，所以13t =或0t =（舍）.所以，12,33nn n n b a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则3212log 333nn n n n c ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭=. 设{}n c 的前n 项和为n T .则12242333nn nT =++⋯+ 23112423333n n nT +=++⋯+，相减可得 1232332232n n n n T c c c +=+++=-<⋅ 【点睛】数列的通项{}n a 与前n 项和n S 的关系式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，我们常利用这个关系式实现{}n a 与n S 之间的相互转化. 数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 20．设函数()x exf x e=，若存在()()12f x f x t ==（其中12x x <） （1）求实数t 的取值范围， （2）证明：12122x x x x <+.【答案】（1）01t <<（2）详见解析【解析】（1）先利用导数的符号讨论函数的单调性，根据题设条件可得函数的最大值为正，再分0t ≤和0t >两种情况讨论，前者无两个不同的零点，后者可利用零点存在定理证明函数有两个零点.（2）根据（1）可把要证明的不等式转化为证明212121x x x <<-，根据函数的单调性及()()12f x f x =可把前者转为()22221x x f x f ⎛⎫⎪-⎝⎭<， 构建新函数11()ln 2u u u uϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()1u >可证明该不等式.【详解】解：（1）令()x exg x t e =-，则(1)()xe x g x e-'= 1x ∴<时，()0g x '>时；当1x >，()0g x '<，()g x ∴在(,1)-∞递增，(1,)+∞递减，且max ()(1)1g x g t ==-，由题设，()g x 有两个不同的零点，故10t ->即1t <. 若0t ≤，则当1x >时，()0x exg x t e=->，故()g x 在()1,+∞无零点； 而()g x 在(,1)-∞递增，故()g x 在R 上至多有一个零点，故0t ≤不符合；若0t >，则()00g t =-<，2221e ette e t g e t t tt ---⎛⎫=-=⎪⎝⎭， 考虑()22ln e h t t t =--，因为01t <<，故()22220e e th t t t t-'=-=>， ()h t 为()0,1上的增函数，故()()120h t h e <=-<即0e g t ⎛⎫< ⎪⎝⎭，因()g x 在(,1)-∞递增，(1,)+∞递减，且(1)0g >，结合零点存在定理可知()g x 有两个不同的零点，故01t <<.（2）由（1）知：212201,0121x x x x <<<∴<<-，要证：12122x x x x <+成立，只需证：212121x x x <<-，()f x 在(,1)-∞递增，故只需证：()()221221x f x f x f x ⎛⎫=< ⎪-⎝⎭即证()()2211212212210x x ex ----->.只需证：1120(1)u u eu u ⎛⎫- ⎪⎝⎭->>，即证：11ln 0(1)2u u u u ⎛⎫--<> ⎪⎝⎭. 令2211(1)()ln ()022,u u u u u u u ϕϕ-⎛⎫=--=-< ⎪⎝⎭， ()u ϕ∴在(1,)+∞上单调递减,()(1)0u ϕϕ∴<=.证毕【点睛】导数背景下的函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明，注意需选择特殊点的函数值，使得其函数值的符号符合预期的性质，选择特殊点的依据有2个方面：（1）与极值点有明确的大小关系；（2）特殊点的函数值较易计算.与零点有关的不等式问题，可依据零点的性质及函数的单调性构建新函数来证明.21．如图，己知抛物线24x y =，直线1y kx =+交抛物线于,A B 两点，P 是抛物线外一点，连接,PA PB 分别交地物线于点,C D ，且CDAB .（1）若1k =，求点P 的轨迹方程.（2）若2PC CA =，且PA 平行x 轴，求PAB ∆面积. 【答案】（1）2(11)x y =-<<（2）121【解析】（1）设()()()112200,,,,A x y B x yP x y ，根据向量关系可用,A P 的坐标表示C的坐标，利用C 在抛物线可得P 的坐标满足的方程，同理利用D 在抛物线也可得P 的坐标满足的方程，联立直线方程和抛物线方程结合韦达定理可得P 的横坐标为2.也可以利用,C D 在抛物线上及CD AB k k =得到4C D x x +=，利用P 、AB 的中点、CD 的中点共线得到P 的横坐标为2.（2）根据（1）的相关结果可用k 表示P 的坐标、C 的坐标及AB 中点M 的坐标，根据C 在抛物线上可得k 的值并求出A 的坐标，最后利用公式120012PAB S x x y y ∆=-⋅-可求面积. 【详解】（1）解法1：CD AB Q P ，设()()()112200,,,,,,PD DB A x y B x y P x y λ=， 则()()0011,,,C C C C PC x x y y CA x x y y =--=--，由PC CA λ=可得()01C C x x x x λ-=-，故011C x x x λλ+=+，同理20141C y x y λλ+=+， 故201014,11y x x x C λλλλ⎛⎫+ ⎪+ ⎪++ ⎪⎝⎭，代入抛物线得：2201014411y x x x λλλλ++⎛⎫=⋅ ⎪++⎝⎭， 化简得：221010024(1)0x x x y x λλλ-++-=，同理得：222020024(1)0x x x y x λλλ-++-=，所以12,x x 为方程2200024(1)0x x x y x λλλ-++-=的两根， 又由12221241440,44x x k y kx x kx x x x y ⎧+==+⎧⎪⇒--=∴⎨⎨⋅=-=⎪⎩⎩， 将1k =代入1200244,2x x x k x +===∴=且200124(1)4y x x x λλ+-==-①，将02x =代入①，得044121(0)4(1)11y λλλλλλ--===-+>+++，故0(1,1)y ∈-. 故点P 的轨迹方程为2(11)x y =-<<.解法2：同解法1知124x x +=1,44D c D C CD AB C D D C y y x x k k x x x x -+====∴+=-， 设线段,AB CD 的中点分别为,M N ，易知,,M N P 三点共线，MN MP μ∴=（μ为实数），所以02N M x x x ===. 以下同解法1.（2）由12,x x 为方程2200024(1)0x x x y x λλλ-++-=的两根，可得：120024,2x x x k x k +==∴=.由（1）得200124(1)4y x x x λλ+-==-，因为2PC CA =，所以2λ=，故20233k y =-. AC x 轴且,A C 在抛物线上，∴,A C 关于y 轴对称. 0112213C x x k x x λλ++==+，11223k x x +∴=-及125k x =-， 222,533k k C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭且2225k x =. ∵C 在抛物线上,22224533k k ⎛⎫⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得22511k =. 设AB 的中点为M ，则()2221212212211212424M x x x x x x y k +-⎛⎫+=⋅=⋅=+ ⎪⎝⎭，所以()22001022=13M y y y y k -=-+，而21020111210(1)2253121PAB k S x x y y k ∆=-⋅-=⋅⨯+=. 【点睛】 直线与抛物线的位置关系中的一些长度、面积等计算问题，一般可通过联立直线方程和抛物线方程，消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要计算的目标表示为关于两个交点的横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理可求这个几何量，有时还可根据题设条件构建关于两个交点的横坐标或纵坐标的方程，再利用韦达定理化简目标关系式进而求出几何量的值.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+ （1）求曲线C 的直角坐标方程：（2）设曲线C 与直线l 交于点,A B 两点，求AB 的取值范围.【答案】（1）22143x y +=（2）⎣ 【解析】（1）把极坐标方程的3化为223sin 3cos θθ+，再利用cos ,sin x y ρθρθ==可求曲线C 的直角坐标方程.（2）设,A B 对应的参数分别为12,t t ，将直线的参数方程代入椭圆方程后可得()2223cos 4sin 8sin 80t t ααα++⋅-=，则12,t t 是该方程的两个根，而12AB t t =-，利用韦达定理可得23sin AB α+=，换元后可求其取值范围. 【详解】解：（1）由22123sin ρθ=+，可得()223sin 12ρθ+=， 223412x y +=即曲线C 的直角坐标方程为：22143x y +=. （2）将直线l 的参数方程cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩，代入22143x y +=，可得： ()2223cos 4sin 8sin 80t t ααα++⋅-=，()22264sin 323cos 4sin 0ααα∆=++>.设,A B 对应的参数分别为12,t t ， 则122212228sin 3cos 4sin 83cos 4sin t t t t ααααα-⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，12||AB t t =-===，,[1s s =∈，则21||223s AB s s s⎡==∈⎢+⎣+，当s =AB取最大值1s =时，AB. 【点睛】极坐标转化为直角坐标，关键是cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，而直角坐标转化为极坐标，关键是222tan x y y x ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩．直线的参数方程有很多种，如果直线的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩ （其中t 为参数），注意t 表示直线上的点(),P x y 到()00,P x y 的距离，我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积等．23．己知正数a ，b ，c 满足1a b c ++=.求证：（1）19abc bc ca ab ≤++ （2）若存在非零实数t .使得不等式|||21||1||23|tx t t t tx t ---≥-++成立，求实数x 的取值范围.【答案】（1）详见解析（2）[]3,1--【解析】（1）利用柯西不等式可证原不等式.（2）原不等式有解可化为|21||1||1||23|||t t x x t -+---+≥有解，利用绝对值不等式可求右式的最小值，从而得到|1||23|1x x --+≥，分类讨论后可得x 的取值范围.【详解】（1）证明：1111abc bc ca ab a b c=++++， 而2111111()(111)9a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++≥++= ⎪⎝⎭， 当且仅当13a b c ===时，“=”成立， 111119a b c∴≤++，19abc bc ca ab ∴≤++. （2）解：依题意得：存在非零实数t 使不等式|21||1||1||23|||t t x x t -+---+≥成立， |21||1||211|1||||t t t t t t -+--+-≥=，∴只需|1||23|1x x --+≥ 当32x ≤-时，原式1231x x -++≥，.即3332,x x ≥-∴-≤≤- 当312x -<<时，原式1231x x ---≥，即31,12x x ≤-∴-<≤- 当1x ≥时，原式1231x x ---≥，即5,x x ≤-∴∈∅，综上所得，x 的取值范围为[]3,1--.【点睛】不等式的证明常常需要根据不等式的结构特点选取常见不等式（如均值不等式、柯西不等式、排序不等式等）帮助证明.含参数的不等式有解问题，可参变分离后转化为不含参数的函数的最值问题.解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法和利用绝对值的几何意义来处理.。
2018年清华附中新高一分班考试数学试题-真题-含详细解析
2018年清华附中新高一分班考试数学试题-真题2018.8一、选择题（本大题共8小题，共24分）1.如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是()A. ∠1=∠2B. ∠2=∠3C. ∠1>∠4+∠5D. ∠2<∠52.不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是()A. 14B. 13C. 12D. 233.下图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示太和门的点的坐标为(0,−1)，表示九龙壁的点的坐标为(4,1)，则表示下列宫殿的点的坐标正确的是()A. 景仁宫(4,2)B. 养心殿(−2,3)C. 保和殿(1,0)D. 武英殿(−3.5,−4)4.如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=76°，则∠BOM等于()A. 38°B. 104°C. 142°D. 144°4题图5题图5.有一个装有水的容器，如图所示，容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是()A. 正比例函数关系B. 一次函数关系C. 二次函数关系D. 反比例函数关系6.某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间(单位：小时)下面有四个推断：①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5～25.5之间②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20～30之间③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30之间④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30之间所有合理推断的序号是()A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①②③④7.例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50+25×20=550元.若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45∼55次之间，则最省钱的方式为()A. 购买A类会员年卡B. 购买B类会员年卡C. 购买C类会员年卡D. 不购买会员年卡8.一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的AB，BC，CA，OA，OB，OC组成.为记录寻宝者的行进路线，在BC的中点M处放置了一台定位仪器.设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为()A. A→O→BB. B→A→CC. B→O→CD. C→B→O二、填空题（本大题共6小题，共18分）9.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABC______S△ABD(填“>”，“=”或“<”)．10.在平面直角坐标系xOy中，点A(a,b)(a>0,b>0)在双曲线y=k1上，x点A关于x轴的对称点B在双曲线y=k2上，则k1+k2的值为______．x11.如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA=______°(点A，B，P是网格线交点)．12.把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为______．13.如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5.每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序______．14.北京市2009−2014年轨道交通日均客运量统计如图所示.根据统计图中提供的信息，预估2015年北京市轨道交通日均客运量约万人次，你的预估理由是.三、解答题（本大题共14小题，共58分）15.已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB=AC，CD//AB．∠BAC．求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=12作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作的线段．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：∵CD//AB，∴∠ABP=______．∵AB=AC，∴点B在⊙A上．又∵点C，P都在⊙A上，∴∠BPC=1∠BAC(______)(填推理的依据)．2∠BAC．∴∠ABP=1216.在△ABC中，∠C=90°，AC>BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE.过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．(1)如图1，当E是线段AC的中点时，设AE=a，BF=b，求EF的长(用含a，b的式子表示)；(2)当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．17.如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF．(1)求证：AC⊥EF；(2)延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O.若BD=4，tanG=1，求AO的长．218.国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a.国家创新指数得分的频数分布直方图(数据分成7组：30≤x<40，40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)；b.国家创新指数得分在60≤x<70这一组的是：61.7、62.4、63.6、65.9、66.4、68.5、69.1、69.3、69.5c.40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：d.中国的国家创新指数得分为69.5．(以上数据来源于《国家创新指数报告(2018)》)根据以上信息，回答下列问题：(1)中国的国家创新指数得分排名世界第______；(2)在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1的上方，请在图中用“〇”圈出代表中国的点；(3)在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为______万美元；(结果保留一位小数)(4)下列推断合理的是______．①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值．19.在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a(a为常数)，到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．(1)求证：AD=CD；(2)过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM.若AD=CM，求直线DE与图形G的公共点个数．20.如图，P是AB⏜与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是AB⏜上一动点，连接PC交弦AB于点D．小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：(1)对于点C在AB⏜上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.360.96 1.13 2.00 2.83AD/cm0.000.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是这个自变量的函数；(2)在同一平面直角坐标系xOy中，画出(1)中所确定的函数的图象；(3)结合函数图象，解决问题：当PC=2PD时，AD的长度约为______cm．21.小云在学习过程中遇到一个函数y=16|x|(x2−x+1)(x≥−2)．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：(1)当−2≤x<0时，对于函数y1=|x|，即y1=−x，当−2≤x<0时，y1随x的增大而______，且y1>0；对于函数y2=x2−x+1，当−2≤x<0时，y2随x的增大而______，且y2>0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当−2≤x<0时，y随x的增大而______．(2)当x≥0时，对于函数y，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：x0121322523…y0116167161954872…结合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy中，画出当x≥0时的函数y的图象．(3)过点(0,m)(m>0)作平行于x轴的直线l，结合(1)(2)的分析，解决问题：若直线l与函数y=16|x|(x2−x+1)(x≥−2)的图象有两个交点，则m的最大值是______．22.在平面直角坐标系xOy中，M(x1,y1)，N(x2,y2)为抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上任意两点，其中x1<x2．(1)若抛物线的对称轴为x=1，当x1，x2为何值时，y1=y2=c；(2)设抛物线的对称轴为x=t，若对于x1+x2>3，都有y1<y2，求t的取值范围．23.为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用.到2013年底，全市已有公租自行车25000辆，租赁点600个.预计到2015年底，全市将有公租自行车50000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍.预计到2015年底，全市将有租赁点多少个⋅24.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx−1a与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．(1)求点B的坐标(用含a的式子表示)；(2)求抛物线的对称轴；(3)已知点P(12,−1a)，Q(2,2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．25.如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．(1)求证：∠ADC=∠AOF；(2)若sinC=13，BD=8，求EF的长．26.在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx+1(k≠0)与直线x=k，直线y=−k分别交于点A，B，直线x=k与直线y=−k交于点C．(1)求直线l与y轴的交点坐标；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域(不含边界)为W．①当k=2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．27.已知∠AOB=30°，H为射线OA上一定点，OH=√3+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．(1)依题意补全图1；(2)求证：∠OMP=∠OPN；(3)点M关于点H的对称点为Q，连接QP.写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，并证明．28.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A′B′(A′,B′分别为点A，B的对应点)，线段AA′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．(1)如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是______；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点______的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；(2)若点A，B都在直线y=√3x+2√3上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；)，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．(3)若点A的坐标为(2,32答案和解析1.【答案】A【解析】解：A.∵∠1和∠2是对顶角，∴∠1=∠2，故A正确；B.∵∠2=∠A+∠3，∴∠2>∠3，故B错误；C.∵∠1=∠4+∠5，故③错误；D.∵∠2=∠4+∠5，∴∠2>∠5；故D错误；故选：A．根据对顶角定义和外角的性质逐个判断即可．本题主要考查了对顶角的定义和外角的性质，能熟记对顶角的定义是解此题的关键．2.【答案】C【解析】解：列表如下：3的有2种结果，所以两次记录的数字之和为3的概率为24=12，故选：C．首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次记录的数字之和为3的情况，再利用概率公式即可求得答案．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平面直角坐标系的实际应用，解题的关键是确定坐标原点和x、y轴的位置及方向，属于容易题.根据平面直角坐标系，找出相应的位置，然后写出坐标即可．【解答】解：因为表示太和门的点的坐标为(0,−1)，表示九龙壁的点的坐标为(4,1)，所以可以确定表示中和殿的点的坐标为(0,0)，即坐标原点，所以表示景仁宫、养心殿、保和殿、武英殿的点的坐标分别为(2,4)、(−2,3)、(0,1)、(−3.5,−3)，故选项B正确．故选B．4.【答案】C【解析】本题考查角平分线的定义以及对顶角的性质，难度中等．由对顶角相等知∠AOC=∠BOD= 76°，又∵OM平分∠AOC，∴∠AOM=∠AOC=38°，∴∠BOM=180°−38°=142°，故选C．5.【答案】B【解析】解：设容器内的水面高度为h，注水时间为t，根据题意得：ℎ=0.2t+10，∴容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系．故选：B．根据题意可得容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系式，进而判断出相应函数类型．本题主要考查了一次函数的应用，观察图象提供的信息，再分析高度、时间和容积的关系即可找到解题关键．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了中位数与平均数，正确理解中位数与平均数的意义是解题的关键．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．【解答】解：①解这200名学生参加公益劳动时间的平均数：①(24.5×97+25.5×103)÷200=25.015，一定在24.5～25.5之间，正确；②由统计表类别栏计算可得，各时间段人数分别为15，60，51，62，12，则中位数在20～30之间，故②正确．③由统计表计算可得，初中学段栏0≤t<10的人数在大于等于0小于等于15之间，当人数为0时中位数在20～30之间；当人数为15时，中位数在20～30之间，故③正确．④由统计表计算可得，高中学段栏各时间段人数分别为大于等于0小于等于15，35，15，18，1，当0≤t<10时间段人数为0时，中位数在10～20之间；当0≤t<10时间段人数为15时，中位数在10～20之间，故④错误．故选：C．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数关系式，属中档题．设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得到y1=30x，y A=50+25x，y B=200+20x，y C=400+15x，当x=45和x=55时，确定x的值，再根据函数的增减性即可解答．【解答】解：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得：当不购买会员年卡时，y1=30x，当购买A类会员年卡时，y A=50+25x，当购买B类会员年卡时，y B=200+20x，当购买C类会员年卡时，y C=400+15x，当x=45时，y1=1350，y A=1175，y B=1100，y C=1075，此时y C最小，当x=55时，y1=1650，y A=1425，y B=1300，y C=1225，此时y C最小，∵y1，y A，y B，y C均随x的增大而增大，∴购买C类会员年卡最省钱．故选C．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数图象的实际应用，解决本题的关键是将题目中行进路线与定位仪器之间的距离有机结合，从而寻找出合理的行进路线.属中等难度题．【解答】解：由于表示y与x的函数关系的图象是轴对称图形，那么行走路线相对于M来说也是对称的，从而排除A选项和D选项．B选项，B→A过程中，寻宝者与定位仪器之间的距离先减小，然后增大，但增大的时间比减小的时间要长，所以B选项错误．故选项C符合题意．故选C．9.【答案】=【解析】解：∵S△ABC=12×2×4=4，S△ABD=2×5−12×5×1−12×1×3−12×2×2=4，∴S△ABC=S△ABD，故答案为：=．分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解．本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键．10.【答案】0【解析】解：∵点A(a,b)(a>0,b>0)在双曲线y=k1x上，∴k1=ab；又∵点A与点B关于x轴对称，∴B(a,−b)∵点B在双曲线y=k2x上，∴k2=−ab；∴k1+k2=ab+(−ab)=0；故答案为：0．由点A(a,b)(a>0,b>0)在双曲线y=k1x上，可得k1=ab，由点A与点B关于x轴对称，可得到点B的坐标，进而表示出k2，然后得出答案．本题考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于x轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为0的性质．11.【答案】到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线【解析】【分析】本题考查了作线段的垂直平分线的依据，需要学生对相关的定理非常熟悉，题目不难，但对于学生而言题目非常新颖，同时提醒教师在平时授课中要重视尺规作图.属基础题．【解答】解：由小芸的作法可知，AC =BC ，AD =BD ，所以由“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”可知点C 、D 在线段AB 的垂直平分线上，再由“两点确定一条直线”可知直线CD 就是所求作的垂直平分线．故答案为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线． 12.【答案】45【解析】解：延长AP 交格点于D ，连接BD ，则PD 2=BD 2=1+22=5，PB 2=12+32=10，∴PD 2+DB 2=PB 2，∴∠PDB =90°，∴∠DPB =∠PAB +∠PBA =45°，故答案为：45．延长AP 交格点于D ，连接BD ，根据勾股定理得到PD 2=BD 2=1+22=5，PB 2=12+32=10，求得PD 2+DB 2=PB 2，于是得到∠PDB =90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13.【答案】12【解析】解：如图1所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴OA =OC ，OB =OD ，AC ⊥BD ，设OA =x ，OB =y ，由题意得：{x +y =5x −y =1， 解得：{x =3y =2， ∴AC =2OA =6，BD =2OB =4，∴菱形ABCD 的面积=12AC ×BD =12×6×4=12；故答案为：12．如图1所示：由菱形的性质得出OA =OC ，OB =OD ，AC ⊥BD ，设OA =x ，OB =y ，由题意得：{x +y =5x −y =1，解得：{x =3y =2，得出AC =2OA =6，BD =2OB =4，即可得出菱形的面积． 本题考查了菱形的性质、正方形的性质、二元一次方程组的应用；熟练掌握正方形和菱形的性质，由题意列出方程组是解题的关键．14.【答案】丙、丁、甲、乙【解析】解：根据题意，丙第一个购票，只能购买3，1，2，4号票，此时，3号左边有6个座位，4号右边有5个座位，即甲、乙购买的票只要在丙的同侧，四个人购买的票全在第一排，①第二个丁可以购买3号左边的5个座位，另一侧的座位甲和乙购买，即丙(3,1，2，4)、丁(5,7，9，11，13)、甲(6,8)、乙(10,12)或丙(3,1，2，4)、丁(5,7，9，11，13)、乙(6,8)、甲(10,12)；②第二个由甲或乙购买，此时，只能购买5，7号票，第三个购买的只能是丁，且只能购买6，8，10，12，14号票，此时，四个人购买的票全在第一排，即丙(3,1，2，4)、甲(5,7)、丁(6,8，10，12，14)、乙(9,11)或丙(3,1，2，4)、乙(5,7)、丁(6,8，10，12，14)、甲(9,11)，因此，第一个是丙购买票，丁只要不是最后一个购买票的人，都能使四个人购买的票全在第一排，故答案为：丙、丁、甲、乙．先判断出丙购买票之后，剩余3号左边有6个座位，4号右边有5个座位，进而得出甲、乙购买的票只要在丙的同侧，四个人购买的票全在第一排，即可得出结论．此题主要考查了推理与论证，判断出甲、乙购买的票在丙的同侧是解本题的关键．15.【答案】980；因为2012∼2013年发生数据突变，故参照2013∼2014年的增长量进行估算【解析】【分析】本题考查折线统计图，考查用样本估计总体，关键是根据统计图分析其上升规律.根据统计图进行用样本估计总体来预估即可．【解答】解：折线图反映了日均客运量的具体数据和增长趋势，每年都在增加，幅度在50∼210之间．答案不唯一，只要有支撑预估的数据即可．例如：980；因为2012∼2013年发生数据突变，故参照2013∼2014年的增长量进行估算．16.【答案】∠BPC同弧所对的圆周角等于圆心角的一半【解析】解：(1)如图，即为补全的图形；(2)证明：∵CD//AB，∴∠ABP=∠BPC．∵AB=AC，∴点B在⊙A上．又∵点C，P都在⊙A上，∠BAC(同弧所对的圆周角等于圆心角的一半)，∴∠BPC=12∴∠ABP=1∠BAC．2故答案为：∠BPC，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．(1)根据作法即可补全图形；(2)根据等腰三角形的性质和同弧所对圆周角等于圆心角的一半即可完成下面的证明．本题考查了作图−复杂作图、等腰三角形的性质、圆周角定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．17.【答案】解：(1)∵D是AB的中点，E是线段AC的中点，∴DE//BC，DE=12BC，∵∠ACB=90°，∴∠DEC=90°，∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°，∴四边形CEDF是矩形，∴DE=CF=12BC，∴CF=BF=b，∵CE=AE=a，∴EF=√CF2+CE2=√a2+b2；(2)AE2+BF2=EF2．证明：过点B作BM//AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，则∠AED=∠BMD，∠CBM=∠ACB=90°，∵D点是AB的中点，∴AD=BD，在△ADE和△BDM中，{∠AED=∠BMD ∠ADE=∠BDM AD=BD，∴△ADE≌△BDM(AAS)，∴AE=BM，DE=DM，∵DF⊥DE，∴EF=MF，∵BM2+BF2=MF2，∴AE2+BF2=EF2．【解析】(1)由三角形的中位线定理得DE//BC，DE=12BC，进而证明四边形CEDF是矩形得DE=CF，得出CF，再根据勾股定理得结果；(2)过点B作BM//AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，证明△ADE≌△BDM得AE=BM，DE= DM，由垂直平分线的判定定理得EF=MF，进而根据勾股定理得结论．本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分线的判定，关键在于构造全等三角形．18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，AC平分∠BAD，∵BE=DF，∴AB−BE=AD−DF，∴AE=AF，∴AC⊥EF；(2)解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB//CD，∵AC⊥EF，∴EF//BD，∴四边形EBDG是平行四边形，∴∠G=∠EBD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∴∠G=∠ADO，∴tanG=tan∠ADO=OAOD =12，∴OA=12OD，∵BD=4，∴OD=2，∴OA=1．【解析】(1)由菱形的性质得出AB=AD，AC平分∠BAD，由BE=DF得出AE=AF，即可得出结论；(2)证出∠G=∠ADO，由三角函数得出tanG=tan∠ADO=OAOD =12，得出OA=12OD，由BD=4，得出OD=2，得出OA=1．本题考查了菱形的性质、解直角三角形等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．19.【答案】解：(1)∵国家创新指数得分为69.5以上(含69.5)的国家有17个，∴国家创新指数得分排名前40的国家中，中国的国家创新指数得分排名世界第17，故答案为：17；(2)如图所示：(3)由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为2.7万美元；故答案为：2.7；(4)由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，①相比于点A、B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；合理；②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值；合理；故答案为：①②．【解析】本题考查了频数分布直方图、统计图、近似数等知识；读懂频数分布直方图和统计图是解题的关键．(1)由国家创新指数得分为69.5以上(含69.5)的国家有17个，即可得出结果；(2)根据中国在虚线l1的上方，中国的创新指数得分为69.5，找出该点即可；(3)根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可得出结果；(4)根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可判断①②的合理性．20.【答案】(1)证明：∵到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∴图象G为△ABC的外接圆⊙O，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴AD⏜=CD⏜，∴AD=CD；(2)如图，连接OD，∵AD=CM，AD=CD，∴CD=CM，∵DM⊥BC，∴BC垂直平分DM，∴BC为直径，∴∠BAC=90°，∵AD⏜=CD⏜，∴OD⊥AC，∴OD//AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，又OD为半径，∴DE为⊙O的切线，∴直线DE与图形G的公共点个数为1．【解析】(1)利用圆的定义得到图象G为△ABC的外接圆⊙O，由∠ABD=∠CBD得到AD⏜=CD⏜，从而由圆心角、弧、弦的关系得到AD=CD；(2)如图，证明CD=CM，则可得到BC垂直平分DM，利用垂径定理得到BC为直径，再证明OD⊥DE，从而可判断DE为⊙O的切线，于是得到直线DE与图形G的公共点个数．本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和圆周角定理、切线的判定．21.【答案】解：(1)AD，PC，PD，(2)描点画出如图图象；(3)2.3或4.0【解析】【分析】(1)按照函数的概念，AD是自变量，而PC、PD随AD的变化而变化，故PC、PD都是因变量，即可求解；(2)描点画出如图图象；(3)观察图像求解即可．本题考查的是动点的函数图象，此类问题主要是通过描点画出函数图象，根据函数关系，在图象上查出相应的近似数值．【解答】解：(1)按照函数的概念，AD是自变量，而PC、PD随AD的变化而变化，故PC、PD都是因变量，故答案为：AD、PC、PD；(2)见答案；(3)根据图像可得AD的长度约为2.3或4.0cm..22.【答案】减小减小减小73【解析】解：(1)当−2≤x<0时，对于函数y1=|x|，即y1=−x，当−2≤x<0时，y1随x的增大而减小，且y1>0；对于函数y2=x2−x+1，当−2≤x<0时，y2随x的增大而减小，且y2>0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当−2≤x<0时，y随x的增大而减小．故答案为：减小，减小，减小．(2)函数图象如图所示：(3)∵直线l与函数y=16|x|(x2−x+1)(x≥−2)的图象有两个交点，观察图象可知，x=−2时，m的值最大，最大值m=16×2×(4+2+1)=73，故答案为73(1)利用一次函数或二次函数的性质解决问题即可．(2)利用描点法画出函数图象即可．(3)观察图象可知，x=−2时，m的值最大．本题考查二次函数与不等式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】解：(1)由题意y1=y2=c，∴x1=0，∵对称轴x=1，∴M，N关于x=1对称，∴x2−2，∴x1=0，x2=2时，y1=y2=c．(2)∵抛物线的对称轴为x=t，若对于x1+x2>3，都有y1<y2，∴t≤32．【解析】(1)根据抛物线的对称性解决问题即可．(2)由题意点(x1,0)，(x2,0)的中垂线与x的交点的坐标大于32，利用二次函数的性质判断即可．本题考查二次函数的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．24.【答案】解：设预计到2015年底，全市将有租赁点x个．由题意，得1.2×25000600=50000x．解得x=1000．经检验，x=1000是原方程的解，且符合题意．。
清华竞赛试题及答案大全
清华竞赛试题及答案大全1. 问题：请解释什么是二进制数，并给出一个例子。
答案：二进制数是一种仅使用0和1两个数字的计数系统。
例如，二进制数1010表示十进制数的10。
2. 问题：在物理学中，牛顿第三定律是什么？答案：牛顿第三定律指出，对于每一个作用力，总有一个大小相等、方向相反的反作用力。
3. 问题：请解释什么是欧几里得算法，并给出一个例子。
答案：欧几里得算法是一种用于计算两个正整数的最大公约数（GCD）的算法。
例如，计算48和18的最大公约数，首先用48除以18，余数为12，然后用18除以12，余数为6，再用12除以6，余数为0，所以6就是48和18的最大公约数。
4. 问题：在化学中，什么是摩尔？答案：摩尔是化学中用于表示物质的量的单位，1摩尔的任何物质包含6.022 x 10^23个基本单位（原子、分子、离子等）。
5. 问题：请解释什么是DNA复制。
答案：DNA复制是生物体内DNA分子复制自身的过程，使得每个新细胞都含有与原细胞相同的遗传信息。
6. 问题：在数学中，什么是斐波那契数列？答案：斐波那契数列是一个数列，其中每个数字是前两个数字的和，数列以0和1开始，例如：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...7. 问题：请解释什么是相对论。
答案：相对论是物理学中描述物体在高速运动时物理现象的理论，由阿尔伯特·爱因斯坦提出，包括狭义相对论和广义相对论。
8. 问题：在生物学中，什么是基因？答案：基因是DNA分子上的一段特定序列，它包含了制造蛋白质的指令。
9. 问题：请解释什么是量子力学。
答案：量子力学是物理学的一个分支，它描述了微观粒子（如电子和光子）的行为，这些行为与经典物理学的预测不同。
10. 问题：在计算机科学中，什么是算法？答案：算法是一系列定义明确的计算步骤，用于解决特定问题或执行计算任务。
11. 问题：请解释什么是光合作用。
答案：光合作用是植物、藻类和某些细菌利用阳光能量将水和二氧化碳转化为葡萄糖和氧气的过程。
清华大学领军计划暨自主招生数学2018+解析
2018清华大学领军计划暨自主招生测试数学与逻辑1.,,p q r 均为素数，且pqrp q r为整数，则（）A.,,p q r 中一定有一个是2B.,,p q r 中一定有一个是3C.,,p q r 中一定有两个数相等D.pqrp q r也为素数【答案】DA 项：举反例：3,5,7p q r ，此时7pqrp q r ；B 项：举反例：2,5,7p q r ，此时5pqrp q r；C 项：由A 、B 知C 项不对；D 项：由题意p q r 为pqr 的因子，而pqr 的因子只有1,,,,,,,p q r pq pr qr pqr ,结合大小关系，可知///p q r pq pr qr pqr ，不妨设p q r ，若p q r pqr ，则3pqr p q r r ，从而3pq ，这是不可能的，故只能//p q r pq pr qr 这意味着//pqrp q r p q r，均为素数，则D 正确。
2.,,,,a b c d e 均为素数，且平均数为13，则（）A.中位数最大为17B.中位数最大为19C.中位数最小为5D.中位数最小为7【答案】B平均数为13的五个数之和为65，设中位数的最大值为x ，则有365x ，从而知x 最大为19，又3,5,19,19,19满足要求，故最大值为19；对于最小值，可构造出3,3,3,3,53使得中位数为3，而易证中位数为2不成立，因此最小值为3。
3.整数,,x y z 满足5x y z ，问这样的 ,,x y z 有几组（）A.100 B.101C.102D.103【答案】C解法一：若,,x y z 中有两个零，共2326C 组解；若,,x y z 中只有一个零，共11234248C C 组解；若,,x y z 均非零，共234248C 组解。
综上，所求解的组数=6+48+48=102组。
解法二：若||0x ：此时x 只能取0，而012345,,,,,543210y y y y y y z z z z z z ，共20组；若||1x ：此时x 可取1 ，而01234,,,,43210y y y y y z z z z z，共21632 组；若||2x ：此时x 可取2 ，而0123,,,3210y y y y z z z z ，共21224 组；若||3x ：此时x 可取3 ，而012,,210y y y z z z ，共2816 组；若||4x ：此时x 可取4 ，而01,10y y z z ，共248 组；若||5x ：此时x 可取5 ，而y ,z 只能都等于0，共2组.综上，所求总组数2032241682102 。
清华大学理科数学一卷答案THUSSAT2018年12月测试
D
C
xA
G
y
B
……………………………6 分
（Ⅱ）方法一：平面 ADEF ⊥ 平面 ABCD ，ED ⊥ AD ，∴ ED ⊥ 平面直，
……………………………7 分
以 DA、DB、DE 分别为 x, y, z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
由
y = kx y2 = 2
+b px
，得
ky2
−
2
py
+
2
pb
=
0
，
………………………5 分
所以 = 4 p2 − 8 pkb 0 ，得 kb p ， 2
……………………6 分
又
y1
+
y2
=
2p k
，
y1 y2
=
2 pb k
，由
y1
+
y2
=
2p k
0，
y1 y2
=
2 pb k
减， ……………………8 分 ∴ F (x) F (1) = f (1) − f (1) = 0 ，即 f (x) − f (2 − x) 0 ， ∴当 x (1, +) 时， f (x) f (2 − x) .
………………………9 分
又 f (x) 在 (−,1) 内是增函数，在 (1, +) 内是减函数. x1 x2 ，且 f (x1) = f (x2 ) ，∴ x1, x2 不 在同一单调区间内，
D
C
即 GD ⊥ 平面 ADEF ， ……………………………8 分
G
A
B
又 ADEF 为正方形， H 为 AE 的中点，∴ DH ⊥ AE ，∴ GH ⊥ AE .
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2020年试题
2020年“丘成桐数学英才班”招生考试形式内容
英才班考试内容包括综合考核、学术能力测试（两场笔试、一场面试）和心理测评，其中对学术能力的考查是关键。
针对考试形式和往届真题解析如下，供大家参考。
笔试第一场考查中学数学常见内容和微积分及线性代数。
主要考查数学基础知识是否扎实，以及对微积分、线性代数等未来研究数学真正的基础方法和工具的掌握程度。
笔试第二场采取现学现考的形式，考试当天上午两位教授讲授两个专题，着重讲解中学数学未涉及的概念或者定理，下午考核上午所学内容。
重点考查学生对新知识的接受程度，学习理解能力和分析解决问题能力，而非解题技巧的运用。
两场笔试的优胜者获得面试资格，面试采取考生和评委面对面的方式进行，评委
由三至五位教授组成，进一步了解学生的数学知识体系以及现场沟通、临场反应能力。
考生要在短时间内抓住重点、讲清要点、流畅沟通、有效反馈。
2019年试题
2018年试题
（一）初试
综合测试（语数英一起考210分钟理化一起考120分钟）
（二）复试
复试一：一个数论、一个不等式、个求不定方程解个数、一个积分一个组合几何一个证明欧拉定理（边点面关系那个）都是代数数论
真题还原：积分那道是证明pi的无理性，分两个小题(相当于提示)(证明方法和数论书(闵嗣鹤）里基本一样)；最后一道是类似欧拉定理在空间中的一些推广。
复试二：群论和简单随机游走，讲完测评。
往年试题（官方版）
针对英才班考试特点，以下管中窥豹，对往届试题略加分析，进一步帮助考生了解如何应考。
笔试第一场真题包括以下三个题目。
例1是不等式题目，例2是立体几何与组合相结合的问题，都是中学数学的常见内容。
例3是微积分题目。
例1．
例2.
例3.
这道题要求考生能真正掌握一元Riemann积分的概念以及分部积分等重要技术手段。
笔试第二场现学现考真题包括以下两个题目。
例4是关于平面整点上随机游动的专题，例5是关于群的作用的专题。
例4.
这道试题的还有一个不同于传统考试的特点：它由一系列的小问题组成，每一小问都可以利用前面已经得到的结论作答。
这通常将一个困难的命题分拆为若干
步骤，要求考生一步一步接近最终的目标，这种类型的题目在法国广泛流行。
例5.
这是得分率最低的一道题目,几百名考生中只有两位同学能够完整地给出解答。
该问题期望考生利用所学到的关于群作用的知识进行解答，大多考生纠缠于初等的技巧而不得要领。