高三数学一轮复习精品教案1：数列的综合应用教学设计

6.5数列的综合应用考点一等差数列与等比数列的综合问题『典例』 (2011·江苏高考)设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．『解析』 因为a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，又a 1＝1，所以a 3＝q ，a 5＝q 2，a 7＝q 3.因为a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，所以a 4＝a 2＋1，a 6＝a 2＋2.法一： 因为1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，所以⎩⎪⎨⎪⎧1≤a 2≤a 3≤a 4，a 4≤a 5≤a 6，a 7≥a 6，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤q ≤a 2＋1，a 2＋1≤q 2≤a 2＋2，解得 33≤q ≤ 3，故q 的最小值为 33.q 3≥a 2＋2，法二： a 6＝a 2＋2≥3，即a 6的最小值为3.又a 6≤a 7，所以a 7的最小值为3即q 3≥3，解得a ≥33.故q 的最小值为33.『答案』33『备课札记』『类题通法』解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．『针对训练』在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1>1，公比q >0，设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0. (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项a n . 解：(1)证明：∵b n ＝log 2a n ，∴b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1a n ＝log 2q 为常数，∴数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q .(2)设数列{b n }的公差为d ，∵b 1＋b 3＋b 5＝6，∴b 3＝2.∵a 1>1，∴b 1＝log 2a 1>0.∵b 1b 3b 5＝0，∴b 5＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝－1.∴S n ＝4n ＋nn －12×(－1)＝9n －n 22.∵⎩⎪⎨⎪⎧log 2q ＝－1，log 2a 1＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝16.∴a n ＝25－n (n ∈N *)．考点二等差数列与等比数列的实际应用『典例』 (2014·镇江模拟)一位幼儿园老师给班上k (k ≥3)个小朋友分糖果．她发现糖果盒中原有糖果数为a 0，就先从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的12分给第一个小朋友；再从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的13分给第二个小朋友；…，以后她总是在分给一个小朋友后，就从别处抓2块糖放入盒中，然后把盒内糖果的1n ＋1分给第n (n ＝1,2,3，…，k )个小朋友，分给第n 个小朋友后(未加入2块糖果前)盒内剩下的糖果数为a n .(1)当k ＝3，a 0＝12时，分别求a 1，a 2，a 3；(2)请用a n －1表示a n ，并令b n ＝(n ＋1)a n ，求数列{}b n 的通项公式；(3)是否存在正整数k (k ≥3)和非负整数a 0，使得数列{}a n (n ≤k )成等差数列？如果存在，请求出所有的k 和a 0；如果不存在，请说明理由．解：(1)当k ＝3，a 0＝12时，a 1＝(a 0＋2)－12(a 0＋2)＝7，a 2＝(a 1＋2)－13(a 1＋2)＝6，a 3＝(a 2＋2)－14(a 2＋2)＝6.(2)由题意知a n ＝(a n －1＋2)－1n ＋1(a n －1＋2)＝n n ＋1(a n －1＋2)， 即(n ＋1)a n ＝n (a n －1＋2)＝na n －1＋2n .因为b n ＝(n ＋1)a n ，所以b n －b n －1＝2n ， b n －1－b n －2＝2n －2， … b 1－b 0＝2. 累加得b n －b 0＝2＋2n n2＝n (n ＋1)．又b 0＝a 0，所以b n ＝n (n ＋1)＋a 0.(3)由b n ＝n (n ＋1)＋a 0，得a n ＝n ＋a 0n ＋1.若存在正整数k (k ≥3)和非负整数a 0，使得数列{a n }(n ≤k )成等差数列，则a 1＋a 3＝2a 2， 即(1＋a 02)＋3＋a 04＝2(2＋a 03)，解得a 0＝0，当a 0＝0时，a n ＝n ，对任意正整数k (k ≥3)，有{a n }(n ≤k )成等差数列．『备课札记』 『类题通法』解数列应用题的建模思路从实际出发，通过抽象概括建立数学模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：『针对训练』某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.则第n 年初M 的价值a n ＝________.『解析』当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列， a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ≥7时，数列{a n }是以a 6为首项， 34为公比的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×⎝⎛⎭⎫34n －6. 『答案』a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，70×⎝⎛⎭⎫34n －6，n ≥7考点三数列与其他知识的综合应用数列在高考中多与函数、不等式、解析几何、向量交汇命题，近年由于对数列要求降低，但仍有一些省份在考查数列与其他知识的交汇.归纳起来常见的命题角度有： 1数列与不等式； 2数列与函数； 3数列与解析几何.角度一 数列与不等式1．(2014·苏州一调)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝a 2＝1，b n ＝nS n ＋(n ＋2)a n ，数列{b n }是公差为d 的等差数列，n ∈N *. (1)求d 的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)求证：(a 1a 2·…·a n )·(S 1S 2·…·S n )＜22n ＋1n ＋1n ＋2.解：(1)因为a 1＝a 2＝1，所以b 1＝S 1＋3a 1＝4，b 2＝2S 2＋4a 2＝8，所以d ＝b 2－b 1＝4. (2)因为数列{b n }是等差数列，所以b n ＝4n ， 所以nS n ＋(n ＋2)a n ＝4n ，即S n ＋n ＋2n a n ＝4.① 当n ≥2时，S n －1＋n ＋1n －1a n －1＝4.②由①－②得(S n －S n －1)＋n ＋2n a n －n ＋1n －1a n －1＝0.所以a n ＋n ＋2n a n ＝n ＋1n －1a n －1，即a n a n －1＝12·nn －1.则a 2a 1＝12·21，a 3a 2＝12·32，…，a n a n －1＝12·nn －1. 以上各式两边分别相乘，得a n a 1＝12n －1·n .因为a 1＝1，所以a n ＝n2n －1.(3)证明：因为S n ＋n ＋2n a n＝4，a n ＞0，S n ＞0，所以S n ·n ＋2n a n ≤S n ＋n ＋2n an 2＝2.则0＜a n S n ≤4·n n ＋2.所以(a 1a 2·…·a n )·(S 1S 2·…·S n )≤4n ·1×2n ＋1n ＋2.③因为n ＝1时，S n ≠n ＋2n a n ，所以③式等号取不到．则(a 1a 2·…·a n )·(S 1S 2·…·S n )＜22n ＋1n ＋1n ＋2.『类题通法』数列与不等式相结合问题的处理方法解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等．总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了．角度二 数列与函数2．(2013·苏州暑假调查)已知函数f (x )＝(x －1)2，g (x )＝10(x －1)，数列{a n }满足a 1＝2，(a n ＋1－a n )g (a n )＋f (a n )＝0，b n ＝910(n ＋2)(a n －1)．(1)求证：数列{a n －1}是等比数列；(2)当n 取何值时，b n 取最大值？并求出最大值；(3)若t m b m ＜t m ＋1b m ＋1对任意m ∈N *恒成立，求实数t 的取值范围．解：(1)证明：因为(a n ＋1－a n )g (a n )＋f (a n )＝0，f (a n )＝(a n －1)2，g (a n )＝10(a n －1)， 所以10(a n ＋1－a n )(a n －1)＋(a n －1)2＝0，整理得(a n －1)『10(a n ＋1－a n )＋a n －1』＝0， 所以a n ＝1 ①或10(a n ＋1－a n )＋a n －1＝0 ②.由①得数列{a n }是各项为1的常数列，而a 1＝2，不合题意． 由②整理得10(a n ＋1－1)＝9(a n －1)，又a 1－1＝1，所以{a n －1}是首项为1，公比为910的等比数列．(2)由(1)可知a n －1＝(910)n －1，n ∈N *，所以b n ＝910(n ＋2)(a n －1)＝(n ＋2)(910)n ＞0，所以b n ＋1b n＝n ＋3910n ＋1n ＋2910n＝910(1＋1n ＋2)． 当n ＝7时，b 8b 7＝1，即b 7＝b 8；当n ＜7时，b n ＋1b n ＞1，即b n ＋1＞b n ；当n ＞7时，b n ＋1b n＜1，即b n ＋1＜b n .所以当n ＝7或8时，b n 取得最大值，最大值为b 8＝b 7＝98107.(3)由t m b m ＜t m ＋1b m ＋1得t m ⎣⎡⎦⎤1m ＋2－10t 9m ＋3＜0.(*)由题意知，(*)式对任意m ∈N *恒成立．①当t ＝0时，(*)式显然不成立，因此t ＝0不合题意； ②当t ＜0时，由1m ＋2－10t 9m ＋3＞0可知t m ＜0(m ∈N *)，而当m 为偶数时，t m ＞0, 因此t ＜0不合题意；③当t ＞0时，由t m ＞0(m ∈N *)知，1m ＋2－10t 9m ＋3＜0， 所以t ＞9m ＋310m ＋2(m ∈N *)．令h (m )＝9m ＋310m ＋2(m ∈N *)．因为h (m ＋1)－h (m )＝9m ＋410m ＋3－9m ＋310m ＋2＝－910m ＋2m ＋3＜0，所以h (1)＞h (2)＞h (3)＞…＞h (m －1)＞h (m )…， 所以h (m )的最大值为h (1)＝65.所以实数t 的取值范围是(65，＋∞)．角度三 数列与解析几何3．在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列；解：(1)由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1， ∴数列{a n }是一个以2为首项，以1为公差的等差数列． ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明：∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1.① ∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)，②①②两式相减得b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)，∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1.令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23，∴{b n }是一个以23为首项，以13为公比的等比数列．『备课札记』『课堂练通考点』1．(2014·无锡期末)已知等差数列{}a n 的公差为－2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 20＝________.『解析』设{}a n 的首项为a ，则a ，a －4，a －6成等比数列，则(a －4)2＝a (a －6)，解得a ＝8.又公差d ＝－2，所以a 20＝a ＋19d ＝8＋19×(－2)＝－30. 『答案』－302．(2013·泰州期末)通项公式为a n ＝an 2＋n 的数列{}a n ，若满足a 1＜a 2＜a 3＜a 4＜a 5，且a n ＞a n ＋1对n ≥8恒成立，则实数a 的取值范围是________．『解析』因为a 1＜a 2＜a 3＜a 4＜a 5，即a ＋1＜4a ＋2＜9a ＋3＜16a ＋4＜25a ＋5，所以a ＞－19.因为a n ＞a n ＋1对n ≥8恒成立，即an 2＋n ＞a (n ＋1)2＋(n ＋1)，所以a ＜－12n ＋1.因为2n ＋1≥17，所以－12n ＋1≥－117.要使得a ＜－12n ＋1对n ≥8恒成立，则a <－117.综上，－19＜a ＜－117.『答案』(－19，－117)3．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＝6，若将a 1，a 4，a 5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________．『解析』由题意知等差数列{a n }的公差d ＝a 3－a 12＝2，则a 4＝8，a 5＝10，设所加的数为x ，依题意有(8＋x )2＝(2＋x )(10＋x )，解得x ＝－11. 『答案』－114．(2013·江西高考)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________． 『解析』设每天植树的棵数组成的数列为{a n }， 由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2， 所以由题意可得21－2n1－2≥100，即2n ≥51，而25＝32,26＝64，n ∈N *，所以n ≥6. 『答案』65．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2，数列{b n }为等比数列，且首项b 1＝1，b 4＝8. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c n ＝ab n ，求数列{c n }的前n 项和T n ； 解：(1)∵数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2， ∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1亦满足上式， 故a n ＝2n －1(n ∈N *)．又数列{b n }为等比数列，设公比为q ， ∵b 1＝1，b 4＝b 1q 3＝8，∴q ＝2. ∴b n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)c n ＝ab n ＝2b n －1＝2n －1.T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n －1) ＝(21＋22＋…＋2n )－n ＝21－2n1－2－n .所以T n ＝2n ＋1－2－n .。