高三数学一轮复习精品教案1：数列的综合应用教学设计

6.5数列的综合应用

考点一

等差数列与等比数列的综合问题

『典例』 (2011·江苏高考)设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．

『解析』 因为a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，又a 1＝1，所以a 3＝q ，a 5＝q 2，a 7＝q 3.因为a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，所以a 4＝a 2＋1，a 6＝a 2＋2.

法一： 因为1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，所以????

?

1≤a 2≤a 3≤a 4，a 4≤a 5≤a 6，

a 7≥a 6，

即????

?

a 2

≤q ≤a 2

＋1，

a 2

＋1≤q 2

≤a 2

＋2，解得 33≤q ≤ 3，故q 的最小值为 3

3.

q 3

≥a 2

＋2，

法二： a 6＝a 2＋2≥3，即a 6的最小值为3.又a 6≤a 7，所以a 7的最小值为3即q 3≥3，解得a ≥

3

3.故q 的最小值为3

3.

『答案』

33

『备课札记』

『类题通法』

解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．

『针对训练』

在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1>1，公比q >0，设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0. (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项a n . 解：(1)证明：∵b n ＝log 2a n ，

∴b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1

a n ＝log 2q 为常数，

∴数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q .

(2)设数列{b n }的公差为d ，∵b 1＋b 3＋b 5＝6，∴b 3＝2.

∵a 1>1，∴b 1＝log 2a 1>0.∵b 1b 3b 5＝0，∴b 5＝0.∴?????

b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0，解得?????

b 1＝4，d ＝－1.

∴S n ＝4n ＋

n

n －1

2

×(－1)＝9n －n 2

2

.∵????

?

log 2q ＝－1，log 2a 1＝4，∴??

???

q ＝1

2，a 1＝16.

∴a n ＝25－

n (n ∈N *)．

考点二

等差数列与等比数列的实际应用

『典例』 (2014·镇江模拟)一位幼儿园老师给班上k (k ≥3)个小朋友分糖果．她发现糖果盒中原有糖果数为a 0，就先从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的1

2分给第一个小朋

友；再从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的1

3分给第二个小朋友；…，以后她总是

在分给一个小朋友后，就从别处抓2块糖放入盒中，然后把盒内糖果的

1

n ＋1

分给第n (n ＝1,2,3，…，k )个小朋友，分给第n 个小朋友后(未加入2块糖果前)盒内剩下的糖果数为a n .

(1)当k ＝3，a 0＝12时，分别求a 1，a 2，a 3；

(2)请用a n －1表示a n ，并令b n ＝(n ＋1)a n ，求数列{}b n 的通项公式；

(3)是否存在正整数k (k ≥3)和非负整数a 0，使得数列{}a n (n ≤k )成等差数列？如果存在，请求出所有的k 和a 0；如果不存在，请说明理由．

解：(1)当k ＝3，a 0＝12时，a 1＝(a 0＋2)－12(a 0＋2)＝7，a 2＝(a 1＋2)－1

3(a 1＋2)＝6，

a 3＝(a 2＋2)－1

4(a 2＋2)＝6.

(2)由题意知a n ＝(a n －1＋2)－

1n ＋1(a n －1＋2)＝n n ＋1(a n －1

＋2)， 即(n ＋1)a n ＝n (a n －1＋2)＝na n －1＋2n .因为b n ＝(n ＋1)a n ，所以b n －b n －1＝2n ， b n －1－b n －2＝2n －2， … b 1－b 0＝2. 累加得b n －b 0＝

2＋2n n

2

＝n (n ＋1)．

又b 0＝a 0，所以b n ＝n (n ＋1)＋a 0.

(3)由b n ＝n (n ＋1)＋a 0，得a n ＝n ＋a 0

n ＋1

.

若存在正整数k (k ≥3)和非负整数a 0，使得数列{a n }(n ≤k )成等差数列，则a 1＋a 3＝2a 2， 即(1＋a 02)＋3＋a 04＝2(2＋a 0

3

)，解得a 0＝0，

当a 0＝0时，a n ＝n ，对任意正整数k (k ≥3)，有{a n }(n ≤k )成等差数列．

『备课札记』 『类题通法』

解数列应用题的建模思路

从实际出发，通过抽象概括建立数学模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：

『针对训练』

某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.则第n 年初M 的价值a n ＝________.

『解析』当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列， a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ≥7时，数列{a n }是以a 6为首项， 3

4

为公比的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×????34n －6. 『答案』a n ＝?????

130－10n ，n ≤6，70×????34n －6

，n ≥7

考点三

数列与其他知识的综合应用

数列在高考中多与函数、不等式、解析几何、向量交汇命题，近年由于对数列要求降低，但仍有一些省份在考查数列与其他知识的交汇.归纳起来常见的命题角度有： 1数列与不等式； 2数列与函数； 3数列与解析几何.

角度一 数列与不等式

1．(2014·苏州一调)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝a 2＝1，b n ＝nS n ＋(n ＋2)a n ，数列{b n }是公差为d 的等差数列，n ∈N *. (1)求d 的值；

(2)求数列{a n }的通项公式；

(3)求证：(a 1a 2·…·a n )·(S 1S 2·…·S n )＜22n ＋

1

n ＋1n ＋2

.

解：(1)因为a 1＝a 2＝1，所以b 1＝S 1＋3a 1＝4，b 2＝2S 2＋4a 2＝8，所以d ＝b 2－b 1＝4. (2)因为数列{b n }是等差数列，所以b n ＝4n ， 所以nS n ＋(n ＋2)a n ＝4n ，即S n ＋n ＋2

n a n ＝4.

① 当n ≥2时，S n －1＋n ＋1

n －1a n －1

＝4.

②

由①－②得(S n －S n －1)＋n ＋2n a n －n ＋1

n －1a n －1＝0.

所以a n ＋n ＋2n a n ＝n ＋1n －1a n －1，即a n a n －1＝12·n

n －1.

则a 2a 1＝12·21，a 3a 2＝12·32，…，a n a n －1＝12·n

n －1. 以上各式两边分别相乘，得a n a 1＝12n －1·n .

因为a 1＝1，所以a n ＝n

2

n －1.

(3)证明：因为S n ＋n ＋2

n a n

＝4，a n ＞0，S n ＞0，

所以

S n ·n ＋2

n a n ≤S n ＋n ＋2n a

n 2

＝2.

则0＜a n S n ≤4·n n ＋2.所以(a 1a 2·…·a n )·(S 1S 2·…·S n )≤4n ·1×2

n ＋1n ＋2.③

因为n ＝1时，S n ≠n ＋2

n a n ，所以③式等号取不到．

则(a 1a 2·…·a n )·(S 1S 2·…·S n )＜22n ＋

1

n ＋1n ＋2

.

『类题通法』

数列与不等式相结合问题的处理方法

解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等．总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合

处理就行了．

角度二 数列与函数

2．(2013·苏州暑假调查)已知函数f (x )＝(x －1)2，g (x )＝10(x －1)，数列{a n }满足a 1＝2，(a n ＋1－a n )g (a n )＋f (a n )＝0，b n ＝9

10(n ＋2)(a n －1)．

(1)求证：数列{a n －1}是等比数列；

(2)当n 取何值时，b n 取最大值？并求出最大值；

(3)若t m b m ＜t m ＋

1

b m ＋1

对任意m ∈N *恒成立，求实数t 的取值范围．

解：(1)证明：因为(a n ＋1－a n )g (a n )＋f (a n )＝0，f (a n )＝(a n －1)2，g (a n )＝10(a n －1)， 所以10(a n ＋1－a n )(a n －1)＋(a n －1)2＝0，整理得(a n －1)『10(a n ＋1－a n )＋a n －1』＝0， 所以a n ＝1 ①或10(a n ＋1－a n )＋a n －1＝0 ②.

由①得数列{a n }是各项为1的常数列，而a 1＝2，不合题意． 由②整理得10(a n ＋1－1)＝9(a n －1)，

又a 1－1＝1，所以{a n －1}是首项为1，公比为9

10的等比数列．

(2)由(1)可知a n －1＝(910)n －

1，n ∈N *，

所以b n ＝910(n ＋2)(a n －1)＝(n ＋2)(9

10)n ＞0，

所以b n ＋1

b n

＝

n ＋3910n ＋1

n ＋2

910

n

＝910(1＋1n ＋2

)． 当n ＝7时，b 8

b 7＝1，即b 7＝b 8；

当n ＜7时，b n ＋1

b n ＞1，即b n ＋1＞b n ；

当n ＞7时，b n ＋1

b n

＜1，即b n ＋1＜b n .

所以当n ＝7或8时，b n 取得最大值，最大值为b 8＝b 7＝98

10

7.

(3)由t m b m ＜t m ＋

1

b m ＋1得t m ???

?1m ＋2－10t 9m ＋3＜0.(*)

由题意知，(*)式对任意m ∈N *恒成立．

①当t ＝0时，(*)式显然不成立，因此t ＝0不合题意； ②当t ＜0时，由1m ＋2－10t 9m ＋3＞0可知t m ＜0(m ∈N *)，

而当m 为偶数时，t m ＞0, 因此t ＜0不合题意；

③当t ＞0时，由t m ＞0(m ∈N *)知，1m ＋2－10t 9m ＋3

＜0， 所以t ＞9m ＋3

10m ＋2(m ∈N *)．

令h (m )＝9m ＋3

10m ＋2

(m ∈N *)．

因为h (m ＋1)－h (m )＝9m ＋410m ＋3－9m ＋310m ＋2＝－

9

10m ＋2m ＋3

＜0，

所以h (1)＞h (2)＞h (3)＞…＞h (m －1)＞h (m )…， 所以h (m )的最大值为h (1)＝6

5.

所以实数t 的取值范围是(6

5

，＋∞)．

角度三 数列与解析几何

3．在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－1

2x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．

(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列；

解：(1)由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1， ∴数列{a n }是一个以2为首项，以1为公差的等差数列． ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.

(2)证明：∵点(b n ，T n )在直线y ＝－1

2x ＋1上，

∴T n ＝－1

2

b n ＋1.

① ∴T n －1＝－1

2

b n －1＋1(n ≥2)，

②

①②两式相减得b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)，∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝1

3b n －1.

令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝2

3

，

∴{b n }是一个以23为首项，以1

3

为公比的等比数列．

『备课札记』

『课堂练通考点』

1．(2014·无锡期末)已知等差数列{}a n 的公差为－2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 20＝________.

『解析』设{}a n 的首项为a ，则a ，a －4，a －6成等比数列，则(a －4)2＝a (a －6)，解得a ＝8.又公差d ＝－2，所以a 20＝a ＋19d ＝8＋19×(－2)＝－30. 『答案』－30

2．(2013·泰州期末)通项公式为a n ＝an 2＋n 的数列{}a n ，若满足a 1＜a 2＜a 3＜a 4＜a 5，且a n ＞a n ＋1对n ≥8恒成立，则实数a 的取值范围是________．

『解析』因为a 1＜a 2＜a 3＜a 4＜a 5，即a ＋1＜4a ＋2＜9a ＋3＜16a ＋4＜25a ＋5，所以a ＞－1

9.

因为a n ＞a n ＋1对n ≥8恒成立，即an 2＋n ＞a (n ＋1)2＋(n ＋1)，所以a ＜－1

2n ＋1.因为2n ＋1≥17，

所以－12n ＋1≥－117.要使得a ＜－12n ＋1对n ≥8恒成立，则a <－1

17.

综上，－19＜a ＜－1

17.

『答案』(－19，－1

17

)

3．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＝6，若将a 1，a 4，a 5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________．

『解析』由题意知等差数列{a n }的公差d ＝a 3－a 1

2＝2，则a 4＝8，a 5＝10，设所加的数为x ，

依题意有(8＋x )2＝(2＋x )(10＋x )，解得x ＝－11. 『答案』－11

4．(2013·江西高考)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________． 『解析』设每天植树的棵数组成的数列为{a n }， 由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2， 所以由题意可得

2

1－2n

1－2

≥100，即2n ≥51，

而25＝32,26＝64，n ∈N *，所以n ≥6. 『答案』6

5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2，数列{b n }为等比数列，且首项b 1＝1，b 4＝8. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；

(2)若数列{c n }满足c n ＝ab n ，求数列{c n }的前n 项和T n ； 解：(1)∵数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2， ∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1.

当n ＝1时，a 1＝S 1＝1亦满足上式， 故a n ＝2n －1(n ∈N *)．

又数列{b n }为等比数列，设公比为q ， ∵b 1＝1，b 4＝b 1q 3＝8，∴q ＝2. ∴b n ＝2n －

1(n ∈N *)． (2)c n ＝ab n ＝2b n －1＝2n －1.

T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n －1) ＝(21＋22＋…＋2n )－n ＝2

1－2n

1－2

－n .

所以T n ＝2n ＋1－2－n .