专题18 视图中的问题 (解析版)
2023年高考数学真题实战复习(2022高考+模考题)专题18 解析几何中的双曲线问题(解析版)
专题18 解析几何中的双曲线问题【高考真题】1．(2022·北京) 已知双曲线221x y m +=的渐近线方程为y =，则m =__________． 1．答案 3- 解析 对于双曲线221x y m +=，所以0m <，即双曲线的标准方程为221x y m-=-，则1a =，b =，又双曲线221x ym +=的渐近线方程为y =，所以a b =，=解得3m =-；故答案为3-．2．(2022·全国甲理) 若双曲线2221(0)x y m m -=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________．2．答案解析 双曲线()22210x y m m-=>的渐近线为y x m =±，即0x my ±=，不妨取0x my +=，圆22430x y y +-+=，即()2221x y +-=，所以圆心为()0,2，半径1r =，依题意圆心()0,2到渐近线0x my +=的距离1d ==，解得m =或m =． 3．(2022·全国甲文) 记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C 无公共点”的e 的一个值______________． 3．答案 2（满足1e <≤） 解析 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，所以C 的渐近线方程为by x a=±, 结合渐近线的特点，只需02b a <≤，即224b a≤，可满足条件“直线2y x =与C 无公共点”，所以c e a ===1e >，所以1e <≤2（满足1e <≤4．(2022·全国乙理) 双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 的两支交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为( )A B ．32 C D4．答案 C 解析 依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，所以1OG NF ⊥， 因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支，所以OG a =，1OF c =，1GF b =，设12F NF α∠=，21F F N β∠=，由123cos 5F NF ∠=，即3cos 5α=，则4sin 5α=，sin a c β=，cos bcβ=，在21F F N 中，()()12sin sin sin F F N παβαβ∠=--=+4334sin cos cos sin 555b a a bc c cαβαβ+=+=⨯+⨯=，由正弦定理得211225sin sin sin 2NF NF c c F F N αβ===∠，所以112553434sin 2252c c a b a b NF F F N c ++=∠=⨯=，2555sin 222c c a a NF c β==⨯=，又12345422222a b a b aNF NF a +--=-==，所以23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率c e a ==．故选C ．5．(2022·浙江)已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4ba的直线交双曲线于点 ()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________．5．答案 解析 过F 且斜率为4b a 的直线:()4b AB y x c a =+，渐近线2:b l y x a =，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a=，所以离心率e =． 【知识总结】1．双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹． (2)符号表示：||MF 1|－|MF 2||＝2a (常数)(0<2a <|F 1F 2|)．(3)焦点：两个定点F 1，F 2． (4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F 1F 2|． 2．双曲线的标准方程和简单几何性质F (－c ，0)，F (c ，0)F (0，－c )，F (0，c )【题型突破】题型一 双曲线的标准方程1．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝11．答案 B 解析 由y ＝52x 可得b a ＝52，①．由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3，0)，(－3，0)，可得a 2＋ b 2＝9，②．由①②可得a 2＝4，b 2＝5．所以C 的方程为x 24－y 25＝1．故选B ．2．(2016·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1C ．3x 220－3y 25＝1D ．3x 25－3y 220＝12．答案 A 解析 依题意得b a ＝12，①，又a 2＋b 2＝c 2＝5，②，联立①②得a ＝2，b ＝1．∴所求双曲线 的方程为x 24－y 2＝1．3．(2018·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 29＝1D ．x 29－y 23＝13．答案 C 解析 因为双曲线的离心率为2，所以ca ＝2，c ＝2a ，b ＝3a ，不妨令A (2a,3a )，B (2a ，－3a )， 双曲线其中一条渐近线方程为y ＝3x ，所以d 1＝|23a －3a |(3)2＋(－1)2＝23a －3a 2，d 2＝|23a ＋3a |(3)2＋(－1)2＝23a ＋3a 2；依题意得：23a －3a 2＋23a ＋3a 2＝6，解得：a ＝3，b ＝3，所以双曲线方程为：x 23－y 29＝1．4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 2＝1D ．x 2－y 23＝14．答案 D 解析 根据题意画出草图如图所示⎝⎛ 不妨设点A⎭⎫在渐近线y ＝ba x 上.由△AOF 是边长为2的等边三角形得到∠AOF ＝60°，c ＝|OF |＝2．又点A 在双曲线的渐近线y ＝b a x 上，∴b a ＝tan 60°＝3．又a 2＋b 2＝4，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1，故选D5．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A ．x 24－3y 24＝1 B ．x 24－4y 23＝1 C ．x 24－y 24＝1 D ．x 24－y 212＝15．答案 D 解析 根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b 2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b 2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2，y A ＝2b4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，选D ． 6．已知双曲线E 的中心为原点，(3, 0)F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中 点为(12, 15)N --，则E 的方程式为( )A ．22136x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22154x y -=6．答案 B 解析 设双曲线方程为22222222221, x y b x a y a b a b-=-=即，1122(,),(,)A x y B x y ，由221b x -221a y =2222222222, a b b x a y a b -=得，2212121212()()()0()y y b x x a y y x x -+-+=-，1215AB PN N k k =又中点（-，-）,，212b ∴-+222150, 45a b a ==即，22+9b a =，所以224, =5a b =．7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( )A ．x 26－y 25＝1B ．x 28－y 212＝1C ．x 28－y 24＝1D ．x 24－y 26＝17．答案 Ｄ 解析 不妨设B (0，b )，由BA →＝2AF →，F (c ，0)，可得A ⎝⎛⎭⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得 49×c 2a 2－19＝1，即49·a 2＋b 2a 2＝109，所以b 2a 2＝32，①．又|BF →|＝b 2＋c 2＝4，c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＋2b 2＝16，②．由①②可得，a 2＝4，b 2＝6，所以双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1，故选D ．8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为32，过右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M ．若△FOM的面积为5，其中O 为坐标原点，则双曲线的方程为( ) A ．x 2－4y 25＝1 B ．x 22－2y 25＝1 C ．x 24－y 25＝1 D ．x 216－y 220＝1 8．答案 C 解析 由题意可知e ＝c a ＝32，可得b a ＝52，取双曲线的一条渐近线为y ＝ba x ，可得F 到渐近线y ＝b a x 的距离d ＝bca 2＋b2＝b ，在Rt △FOM 中，由勾股定理可得|OM |＝|OF |2－|MF |2＝c 2－b 2＝a ，由题意可得12ab ＝5，联立⎩⎨⎧b a ＝52，12ab ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝5，所以双曲线的方程为x 24－y25＝1．故选C ．9．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐 标为－23，则此双曲线的方程是( )．A ．x 23－y 24＝1B ．x 24－y 23＝1C ．x 25－y 22＝1D ．x 22－y 25＝19．答案 D 解析：设所求双曲线方程为x 2a 2－y 27－a 2＝1．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 27－a 2＝1，y ＝x －1，得x 2a 2－(x －1)27－a 2＝1，(7－a 2)x 2－a 2(x －1)2＝a 2(7－a 2)，整理得(7－2a 2)x 2＋2a 2x －8a 2＋a 4＝0．又MN 中点的横坐标为－23，故x 0＝x 1＋x 22＝－2a 22(7－2a 2)＝－23，即3a 2＝2(7－2a 2)，所以a 2＝2，故所求双曲线方程为x 22－y 25＝1．10．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的离心率为3，左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点，∠F 1PF 2的角平分线为l ，点F 1关于l 的对称点为Q ，|F 2Q |＝2，则双曲线的方程为( ) A ．x 22－y 2＝1 B ．x 2－y 22＝1 C ．x 2－y 23＝1 D ．x 23－y 2＝110．答案 B 解析 ∵∠F 1PF 2的角平分线为l ，点F 1关于l 的对称点为Q ，∴|PF 1|＝|P Q|，P ，F 2，Q 三点共线，而|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|P Q|－|PF 2|＝2a ，即|F 2Q|＝2＝2a ，解得a ＝1．又e ＝c a ＝3，∴c ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝2，∴双曲线的方程为x 2－y 22＝1．故选B ． 题型二 双曲线中的求值11．(2018·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若△OMN 为直角三角形，则|MN |等于( ) A ．32 B ．3 C ．23 D ．411．答案 B 解析 由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±13x ．设两渐近线的夹角为2α，则有tan α ＝13＝33，所以α＝30°．所以∠MON ＝2α＝60°．又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示．在Rt △ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝3．则在Rt △OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan60°＝3．故选B ．12．(2019·全国Ⅰ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A ．324 B ．322C ．22D ．3212．答案 A 解析 双曲线x 24－y 22＝1的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y ＝22x ，不妨设点P 在第一象限，由于|PO |＝|PF |，则点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以它的面积为12×6×32＝324．故选A ． 13．已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，与x 轴平行的直线交Γ于B ，C 两点，记∠BAC＝θ，若Γ的离心率为2，则( )A ．θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2B ．θ＝π2C ．θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，πD ．θ＝3π413．答案 B 解析 ∵e ＝ca＝2，∴c ＝2a ，∴b 2＝c 2－a 2＝a 2，∴双曲线方程可变形为x 2－y 2＝a 2.设B (x 0，y 0)，由对称性可知C (－x 0，y 0)，∵点B (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 20－y 20＝a 2．∵A (a ,0)，∴AB →＝(x 0－a ，y 0)，AC →＝(－x 0－a ，y 0)，∴AB →·AC →＝(x 0－a )·(－x 0－a )＋y 20＝a 2－x 20＋y 20＝0，∴AB →⊥AC →，即θ＝π2．故选B ．14．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________． 14．答案 34 解析 化双曲线的方程为x 22－y 22＝1，则a ＝b ＝2，c ＝2，因为|PF 1|＝2|PF 2|，所以点P 在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，解得|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，根据余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝(22)2＋(42)2－162×22×42＝34．15．如图，双曲线的中心在坐标原点O ，A ，C 分别是双曲线虚轴的上、下端点，B 是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点D ．若双曲线的离心率为2，则∠BDF 的余弦值是________．15．答案 714 解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由e ＝ca＝2知，c ＝2a ，又c 2＝a 2＋b 2，故b ＝3a ，所以A (0，3a )，C (0，－3a )，B (－a ，0)，F (－2a ，0)，则BA →＝(a ，3a )，CF →＝(－2a ，3a )，结合题图可知，cos ∠BDF ＝cos ＜BA →，CF →＞＝BA →·CF →|BA →|·|CF →|＝－2a 2＋3a 22a ·7a ＝714．16．过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：x 22－y 2＝1相交于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则|AB |＝( )A ．22B ．23C ．33D ．4316．答案 D 解析 法一：由已知可得点P 的位置如图所示，且直线AB 的斜率存在，设AB 的斜率为k ，则AB 的方程为y －2＝k (x －4)，即y ＝k (x －4)＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －4＋2，x 22－y 2＝1，消去y 得(1－2k 2)x 2＋(16k 2－8k )x －32k 2＋32k －10＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－16k 2＋8k1－2k 2，x 1x 2＝－32k 2＋32k －101－2k 2，因为P (4,2)为AB 的中点，所以－16k 2＋8k 1－2k 2＝8，解得k ＝1，满足Δ＞0，所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10，所以|AB |＝1＋12×82－4×10＝43，故选D ．法二：由已知可得点P 的位置如法一中图所示，且直线AB 的斜率存在，设AB 的斜率为k ，则AB 的方程为y －2＝k (x －4)，即y ＝k (x －4)＋2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－2y 21－2＝0，x 22－2y 22－2＝0，所以(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)，因为P (4,2)为AB 的中点，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1，所以AB 的方程为y ＝x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，x 22－y 2＝1，消去y 得x 2－8x ＋10＝0，所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10，所以|AB |＝1＋12×82－4×10＝43，故选D ．17．过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：x 22－y 2＝1相交于A 、B 两点，若P 为AB 中点，则|AB |＝( )A ．22B ．23C ．33D ．4317．答案 D 解析 易知直线AB 不与y 轴平行，设其方程为y －2＝k (x －4)，代入双曲线C ：x 22－y 2＝1，整理得(1－2k 2)x 2＋8k (2k －1)x －32k 2＋32k －10＝0，设此方程两实根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝8k (2k －1)2k 2－1，又P (4，2)为AB 的中点，所以8k (2k －1)2k 2－1＝8，解得k ＝1，当k ＝1时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的Δ＞0，所求直线AB 的方程为y －2＝x －4化成一般式为x －y －2＝0，x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10，|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·82－40＝43．故选D ．18．已知双曲线x 23－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝25，则△PF 1F 2的面积为()A ．1B ．3C ．5D ．1218．答案 A 解析 在双曲线x 23－y 2＝1中，a ＝3，b ＝1，c ＝2．不妨设P 点在双曲线的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝23，又|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴|PF 1|＝5＋3，|PF 2|＝5－ 3.又|F 1F 2|＝2c ＝4，而|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝12×|PF 1|×|PF 2|＝12×(5＋3)×(5－3)＝1．故选A ．19．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为( )A ．215a 2B ．15a 2C ．30a 2D ．15a 2 19．答案 B 解析 (1)由双曲线的对称性不妨设A 在双曲线的右支上，由e ＝ca＝2，得c ＝2a ，∴△AF 1F 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|F 1F 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋4a ，又△AF 1F 2的周长为10a ，∴|AF 1|＋|AF 2|＝6a ，又∵|AF 1|－|AF 2|＝2a ，∴|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ，在△AF 1F 2中，|F 1F 2|＝4a ，∴cos ∠F 1AF 2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|22|AF 1|·|AF 2|＝（4a ）2＋（2a ）2－（4a ）22×4a ×2a ＝14．又0<∠F 1AF <π，∴sin ∠F 1AF 2＝154，∴S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin∠F 1AF 2＝12×4a ×2a ×154＝15a 2．20．已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1→的值为( )A ．3B ．2C ．－3D ．－220．答案 B 解析 由题意及正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝e ＝2，∴|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，又|F 1F 2|＝4，由余弦定理可知cos ∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝4＋16－162×2×4＝14，∴F 2P →·F 2F 1→＝|F 2P →|·|F 2F 1→|·cos ∠PF 2F 1＝2×4×14＝2．故选B ．题型三 双曲线的离心率21．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C 的离心率为( )A ．2B ．3C ．3或233D ．233或221．答案 D 解析 秒杀 ∵两条渐近线的夹角为60°，∴一条渐近线的倾斜角为30°，斜率为33．∴e ＝1＋k 2＝233．或一条渐近线的倾斜角为60°，斜率为3．∴e ＝1＋k 2＝2．故选D ．通法 ∵两条渐近线的夹角为60°，且两条渐近线关于坐标轴对称，∴b a ＝tan 30°＝33或ba ＝tan 60°＝3．由b a ＝33，得b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1＝13，∴e ＝233(舍负)；由b a ＝3，得b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1＝3，∴e ＝2(舍负)．故选D ．22．(2019·全国Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( )A ．2sin 40°B ．2cos 40° C.1sin 50° D.1cos 50°22．答案 D 解析 秒杀 由题意可得－ba ＝tan 130°，所以e ＝1＋b 2a 2＝1＋tan 2130°＝1＋sin 2130°cos 2130°＝1|cos 130°|＝1cos 50°．故选D ．23．(2019·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．23．答案 2 解析 秒杀 由F 1A →＝AB →，得A 为F 1B 的中点．又∵O 为F 1F 2的中点，∴OA ∥BF 2．又F 1B →·F 2B →＝0，∴∠F 1BF 2＝90°．∴OF 2＝OB ，∴∠OBF 2＝∠OF 2B ．又∵∠F 1OA ＝∠BOF 2，∠F 1OA ＝∠OF 2B ，∴∠BOF 2＝∠OF 2B ＝∠OBF 2，∴△OBF 2为等边三角形．∴一条渐近线的倾斜角为60°，斜率为3．∴e ＝1＋k 2＝2．通法一：由F 1A →＝AB →，得A 为F 1B 的中点．又∵O 为F 1F 2的中点，∴OA ∥BF 2．又F 1B →·F 2B →＝0，∴∠F 1BF 2＝90°．∴OF 2＝OB ，∴∠OBF 2＝∠OF 2B ．又∵∠F 1OA ＝∠BOF 2，∠F 1OA ＝∠OF 2B ，∴∠BOF 2＝∠OF 2B ＝∠OBF 2，∴△OBF 2为等边三角形．如图所示，不妨设B 为⎝⎛⎭⎫c 2，－32c ．∵点B 在直线y＝－b a x 上，∴b a ＝3，∴离心率e ＝ca＝2．通法二：∵F 1B →·F 2B →＝0，∴∠F 1BF 2＝90°．在Rt △F 1BF 2中，O 为F 1F 2的中点，∴|OF 2|＝|OB |＝c ．如图，作BH ⊥x 轴于H ，由l 1为双曲线的渐近线，可得|BH ||OH |＝ba ，且|BH |2＋|OH |2＝|OB |2＝c 2，∴|BH |＝b ，|OH |＝a ，∴B (a ，－b )，F 2(c ，0)．又∵F 1A →＝AB →，∴A 为F 1B 的中点．∴OA ∥F 2B ，∴b a ＝b c －a ，∴c ＝2a ，∴离心率e ＝c a ＝2．24．已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A ．2B ．32C ．3D ．224．答案 A 解析 秒杀 作出示意图，如图，离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝2．故选A ．通法 因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a ．又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|．由双曲线的定义，得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a ，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝ca ＝2．故选A ．25．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线C 上第二象限内一点，若直线y ＝ba x 恰为线段PF 2的垂直平分线，则双曲线C 的离心率为( )A ．2B ．3C ．5D ．625．答案 C 解析 秒杀 由已知△F 1PF 2是直角三角形，∠F 2PF 1＝90°，sin ∠PF 1F 2＝b c ，∠PF 2F 1＝ac，∴e ＝c a ＝sin90°|sin ∠PF 1F 2＋sin ∠PF 2F 1|＝1|b c －a c|．即b a＝2，所以e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝5．故选C ．通法 如图，直线PF 2的方程为y ＝－a b (x －c )，设直线PF 2与直线y ＝ba x 的交点为N ，易知N ⎝⎛⎭⎫a 2c ，abc ．又线段PF 2的中点为N ，所以P ⎝⎛⎭⎫2a 2－c 2c ，2ab c ．因为点P 在双曲线C 上，所以(2a 2－c 2)2a 2c 2－4a 2b 2c 2b 2＝1，即5a 2＝c 2，所以e ＝ca ＝5．故选C ．26．已知O 为坐标原点，点A ，B 在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，且关于坐标原点O 对称．若双曲线C 上与点A ，B 横坐标不相同的任意一点P 满足k P A ·k PB ＝3，则双曲线C 的离心率为( ) A ．2 B ．4 C ．10 D ．10 26．答案 A 解析 秒杀 ∵k 1·k 2＝e 2－1．∴3＝e 2－1．∴e ＝2．故选A ．通法 设A (x 1，y 1)，P (x 0，y 0)(|x 0|≠|x 1|)，则B (－x 1，－y 1)，则k P A ·k PB ＝y 0－y 1x 0－x 1·y 0＋y 1x 0＋x 1＝y 20－y 21x 20－x 21．因为点P ，A 在双曲线C 上，所以b 2x 20－a 2y 20＝a 2b 2，b 2x 21－a 2y 21＝a 2b 2，两式相减可得y 20－y 21x 20－x 21＝b 2a 2，故b 2a 2＝3，于是b 2＝3a 2．又因为c 2＝a 2＋b 2，所以双曲线C 的离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2．故选A ．27．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，过点P (3，6)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (12，15)，则双曲线C 的离心率为( )A ．2B ．32C ．355D ．5227．答案 B 解析 秒杀 由题意得，k 0·k ＝e 2－1．∴e ＝32．故选B ．通法 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AB 的中点为N (12,15)，则x 1＋x 2＝24，y 1＋y 2＝30，由⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式相减得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2，则y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝4b 25a 2，由直线AB 的斜率k ＝15－612－3＝1，所以4b 25a 2＝1，则b 2a 2＝54，双曲线的离心率e ＝ca ＝ 1＋b 2a 2＝32，所以双曲线C 的离心率为32．故选B ．28．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A ，B ，若AF →＝3FB →，则该双曲线的离心率为( ) A ．52 B ．62 C ．233D ．3 28．答案 A 解析 秒杀 由题可知，|31||cos ||31|e θ-=+，即1||2c b a c ⋅=，即12b a =所以e＝52，故选B ．通法 由题意得直线l 的方程为x ＝ba y ＋c ，不妨取a ＝1，则x ＝by ＋c ，且b 2＝c 2－1．将x ＝by ＋c 代入x 2－y 2b 2＝1，(b ＞0)，得(b 4－1)y 2＋2b 3cy ＋b 4＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2b 3cb 4－1，y 1y 2＝b 4b 4－1．由AF →＝3FB →，得y 1＝－3y 2，所以⎩⎨⎧－2y 2＝－2b 3cb 4－1－3y 22＝b 4b 4－1，得3b 2c 2＝1－b 4，解得b 2＝14，所以c ＝b 2＋1＝54＝52，故该双曲线的离心率为e ＝c a ＝52，故选A ．29．已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过双曲线Γ的右焦点F ，且倾斜角为π2的直线l 与双曲线Γ交于A ，B 两点，O 是坐标原点，若∠AOB ＝∠OAB ，则双曲线Γ的离心率为( ) A ．3＋72 B ．11＋332 C ．3＋396 D ．1＋17429．答案 C 解析 由题意可知AB 是通径，根据双曲线的对称性和∠AOB ＝∠OAB ，可知△AOB 为等边三角形，所以tan ∠AOF ＝b 2a c ＝33，整理得b 2＝33ac ，由c 2＝a 2＋b 2，得c 2＝a 2＋33ac ，两边同时除以a 2，得e 2－33e －1＝0，解得e ＝3＋396．故选C ． 30．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)左焦点F 的直线l 与C 交于M ，N 两点，且FN →＝3FM →，若OM ⊥FN ，则C 的离心率为( )A ．2B ．7C ．3D ．1030．答案 B 解析 设双曲线的右焦点为F ′，取MN 的中点P ，连接F ′P ，F ′M ，F ′N ，如图所示，由FN →＝3FM →，可知|MF |＝|MP |＝|NP |．又O 为FF ′的中点，可知OM ∥PF ′．∵OM ⊥FN ，∴PF ′⊥FN ．∴PF ′为线段MN 的垂直平分线．∴|NF ′|＝|MF ′|．设|MF |＝t ，由双曲线定义可知|NF ′|＝3t －2a ，|MF ′|＝2a ＋t ，则3t －2a ＝2a ＋t ，解得t ＝2a ．在Rt △MF ′P 中，|PF ′|＝|MF ′|2－|MP |2＝16a 2－4a 2＝23a ，∴|OM |＝12|PF ′|＝3a ．在Rt △MFO 中，|MF |2＋|OM |2＝|OF |2，∴4a 2＋3a 2＝c 2⇒e ＝7．故选B ． 题型四 双曲线的渐近线31．(2018·全国Ⅰ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x 31．答案 A 解析 法一：由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以ba＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x ，故选A ．法二：由e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x ，故选A ．32．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点，直线PO 交双曲线C 左支于点M ，直线PF 2交双曲线C 右支于点N ，若|PF 1|＝2|PF 2|，且∠MF 2N ＝60°，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±22x C ．y ＝±2x D ．y ＝±22x 32．答案 A 解析 由题意得，|PF 1|＝2|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，由于P ，M 关于原点对称，F 1，F 2关于原点对称，∴线段PM ，F 1F 2互相平分，四边形PF 1MF 2为平行四边形，PF 1∥MF 2，∵∠MF 2N ＝60°，∴∠F 1PF 2＝60°，由余弦定理可得4c 2＝16a 2＋4a 2－2·4a ·2a ·cos60°，∴c ＝3a ，∴b ＝c 2－a 2＝2a ．∴ba ＝2，∴双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ．故选A ．33．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (1，0)作x 轴的垂线，与双曲线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为83，则双曲线的渐近线方程为________．33．答案 y ＝±22x 解析 由题意得|AB |＝2b 2a ，∵S △AOB ＝83，∴12×2b 2a ×1＝83，∴b 2a ＝83①，又a 2＋b 2＝1②，由①②得a ＝13，b ＝223，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±22x .34．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的右顶点A 和右焦点F 到一条渐近线的距离之比为1∶2，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±2xD ．y ＝±3x34．答案 A 解析 由双曲线方程可得渐近线为：y ＝±b a x ，A (a,0)，F (c,0)，则点A 到渐近线距离d 1＝|ab |a 2＋b2＝ab c ，点F 到渐近线距离d 2＝|bc |a 2＋b 2＝bc c ＝b ，∴d 1∶d 2＝ab c ∶b ＝a ∶c ＝1∶2，即c ＝2a ，则ba ＝c 2－a 2a ＝aa ＝1，∴双曲线渐近线方程为y ＝±x ．故选A ．35．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1，l 2，F 为其一个焦点，若F 关于l 1的对称点在l 2上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x35．答案 B 解析 不妨取F (c ，0)，l 1：bx －ay ＝0，设其对称点F ′(m ，n )在l 2：bx ＋ay ＝0，由对称性可得⎩⎨⎧b ·m ＋c 2－a ·n 2＝0n m －c ·ba ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝a 2－b 2a 2＋b2cn ＝2abca 2＋b2，点F ′(m ，n )在l 2：bx ＋ay ＝0，则a 2－b 2a 2＋b 2·bc ＋2a 2bca 2＋b2＝0，整理可得b 2a 2＝3，∴b a ＝3，双曲线的渐近线方程为：y ＝±bax ＝±3x .故选B.36．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为π6，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±12xC ．y ＝±22x D ．y ＝±2x36．答案 D 解析 不妨设P 为双曲线右支上一点，则|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ．又因为⎩⎪⎨⎪⎧2c >2a ，4a >2a ，所以∠PF 1F 2为最小内角，故∠PF 1F 2＝π6．由余弦定理，可得（4a ）2＋（2c ）2－（2a ）22·4a ·2c ＝32，即(3a －c )2＝0，所以c ＝3a ，则b ＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ．37．已知F 2，F 1是双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的上、下两个焦点，过F 1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±22x C ．y ＝±6x D ．y ＝±66x 37．答案 D 解析 根据双曲线的定义，可得|BF 1|－|BF 2|＝2a ，∵△ABF 2为等边三角形，∴|BF 2|＝|AB |，∴|BF 1|－|AB |＝|AF 1|＝2a ，又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ，∴|AF 2|＝|AF 1|＋2a ＝4a ，∵在△AF 1F 2中，|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，∠F 1AF 2＝120°，∴|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos 120°，即4c 2＝4a 2＋16a 2－2×2a ×4a ×⎝⎛⎭⎫－12＝28a 2，亦即c 2＝7a 2，则b ＝c 2－a 2＝6a 2＝6a ，由此可得双曲线C 的渐近线方程为y ＝±66x ．38．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A ．2x ±y ＝0B ．x ±2y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝038．答案 A 解析 由题意，不妨设|PF 1|>|PF 2|，则根据双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c >a ，所以有|PF 2|<|F 1F 2|，所以∠PF 1F 2＝30°，所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2·2c ·4a cos 30°，得c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a .所以双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x ，即2x ±y ＝0． 题型五 双曲线中的最值与范围39．P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为( ) A ．1 B ．2＋155 C ．4＋155D ．22＋1 39．答案 D 解析 如图所示，设双曲线右焦点为F 2，则|PF 1|＋|PQ |＝2a ＋|PF 2|＋|PQ |，即当|PQ |＋|PF 2|最小时，|PF 1|＋|PQ |取最小值，由图知当F 2，P ，Q 三点共线时|PQ |＋|PF 2|取得最小值，即F 2到直线l 的距离d ＝1，故所求最值为2a ＋1＝22＋1．故选D ．40．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线上在第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△P AF 周长的最小值为( )A ．8B ．10C ．4＋37D ．3＋317 40．答案 B 解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝233，c ＝7，c 2＝a 2＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3，c 2＝7，则双曲线C 的方程为y 24－x 23＝1，设双曲线的另一个焦点为F ′，则|PF |＝|PF ′|＋4，△P AF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PF ′|＋4＋|P A |＋3，又点P 在第一象限，则|PF ′|＋|P A |的最小值为|AF ′|＝3，故△P AF 的周长的最小值为10． 41．过双曲线x 2－y 215＝1的右支上一点P ，分别向圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1作切线， 切点分别为M ，N ，则|PM |2－|PN |2的最小值为( )A ．10B ．13C ．16D ．1941．答案 B 解析 由题意可知，|PM |2－|PN |2＝(|PC 1|2－4)－(|PC 2|2－1)，因此|PM |2－|PN |2＝|PC 1|2－|PC 2|2－3＝(|PC 1|－|PC 2|)(|PC 1|＋|PC 2|)－3＝2(|PC 1|＋|PC 2|)－3≥2|C 1C 2|－3＝13．故选B ． 42．设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1上 的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝( )A ．4B ．5C ．6D ．742．答案 C 解析 由题意得，圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4的圆心为(－4,0)，半径为r 1＝2；圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1的圆心为(4，0)，半径为r 2＝1．设双曲线x 2－y 215＝1的左、右焦点分别为F 1(－4，0)，F 2(4，0)．如图所示，连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，则|PF 1|－|PF 2|＝2．又|PM |max ＝|PF 1|＋r 1，|PN |min ＝|PF 2|－r 2，所以|PM |－|PN |的最大值m ＝|PF 1|－|PF 2|＋r 1＋r 2＝5．又|PM |min ＝|PF 1|－r 1，|PN |max ＝|PF 2|＋r 2，所以|PM |－|PN |的最小值n ＝|PF 1|－|PF 2|－r 1－r 2＝－1，所以|m －n |＝6．故选C ．43．若点O 和点F (－2，0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为________．43．答案 [3＋23，＋∞) 解析 由题意，得22＝a 2＋1，即a ＝3，设P (x ，y )，x ≥3，FP →＝(x ＋2， y )，则OP →·FP →＝(x ＋2)x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43⎝⎛⎭⎫x ＋342－74，因为x ≥3，所以OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞)．44．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线的右支上，如果|PF 1|＝t |PF 2|(t ∈(1，3])，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是______________．44．答案 (0，3] 解析 由双曲线的定义及题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝t |PF 2|，解得⎩⎨⎧|PF 1|＝2att －1，|PF 2|＝2a t －1.又|PF 1|＋|PF 2|≥2c ，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2at t －1＋2a t －1≥2c ，整理得e ＝c a ≤t ＋1t －1＝1＋2t －1，∵1<t ≤3，∴1＋2t －1≥2，∴1<e ≤2．又b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1，∴0<b 2a 2≤3，故0<ba ≤3．∴双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是(0，3]．45．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2，4]，则PF 1→·PF 2→的最小值的取值范围是________．45．答案 ⎣⎡⎦⎤－1516，－34 解析 设P (m ，n )，则m 2a 2－n 2b 2＝1，即m 2＝a 2⎝⎛⎭⎫1＋n 2b 2．又F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则PF 1→＝(－1－m ，－n )，PF 2→＝(1－m ，－n )，PF 1→·PF 2→＝n 2＋m 2－1＝n 2＋a 2⎝⎛⎭⎫1＋n 2b 2－1＝n 2⎝⎛⎭⎫1＋a 2b 2＋a 2－1≥a 2－1，当且仅当n ＝0时取等号，所以PF 1→·PF 2→的最小值为a 2－1．由2≤1a ≤4，得14≤a ≤12，故－1516≤a 2－1≤－34，即PF 1→·PF 2→的最小值的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1516，－34．。
专题18 板块模型(解析版)
2023届高三物理一轮复习重点热点难点专题特训专题18 板块模型特训目标特训内容目标1 无外力板块模型（1T—4T）目标2 无外力板块图像问题（5T—8T）目标3 有外力板块模型（9T—12T）目标4 有外力板块图像问题（13T—16T）一、无外力板块模型1．作图能力是高中物理学习中一项非常重要的能力．对于解决涉及复杂过程的力学综合问题，我们往往可以通过画状态图或v t 图将物理过程展现出来，帮助我们进行过程分析、寻找物理量之间的关系．如图所示，光滑水平面上有一静止的足够长的木板M，一小木块m （可视为质点）从左端以某一初速度0v向右侧运动．若固定木板，最终小木块停在距左侧0S 处（如图所示）．若不固定木板，最终小木块也会相对木板停止滑动，这种情形下，木块刚相对木板停止滑动时的状态图可能正确的是图中的（）A．B．C．D ．【答案】B【详解】A.根据能量守恒，末态物块对地位移一定小于0S ，故A 错误B.小物块匀减速的末速度等于木板加速的末速度，停止相对滑动，所以木板的位移一定小于物块的位移，故B 正确C.根据选项B 的分析，故C 错误D.根据A 的分析，故D 错误，故选B2．长为1m 的平板车放在光滑水平面上，质量相等、长度也为1m 的长木板并齐地放在平板车上，如图所示，开始二者以共同的速度5m/s 在水平面上匀速直线运动。
已知长木板与平板车之间的动摩擦因数为0.5，重力加速度为210m/s ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
则下列说法正确的是（ ）A ．二者之间没有发生相对滑动，平板车刹车的加速度可能大于25m/sB ．为了避免二者之间存在相对滑动，平板车刹车的距离最小为2.5mC ．如果平板车突然以26m/s 的加速度匀加速，则经1.4s 长木板从平板车上掉下D ．如果平板车突然以26m/s 的加速度匀加速，长木板从平板车上掉下时，平板车的速度为11m/s【答案】BD【详解】A ．由题意可知，为了避免二者之间存在相对滑动，由牛顿第二定律对长木板有1mg ma μ=解得215m /s a g μ==此时长木板与平板车加速度大小相等，A 错误；B ．对平板车由匀变速直线运动的速度位移公式得212v a x =解得平板车刹车的最小距离为212.5m 2v x a ==选项B 正确；CD ．平板车加速后，设经时间t 长木板从平板车上掉下，该过程中平板车的位移22212x vt a t =+长木板的位移为21112x vt a t =+又212lx x -=由以上可解得1s t =此时平板车的速度为211m /s v v a t ='=+选项C 错误，D 正确。
高考数学之函数专项重点突破-专题18 函数中的新定义问题(解析版)
专题18函数中的新定义问题一、单选题1．x R ∀∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，十八世纪，函数[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”，则[][]4.8 3.5--=（）A ．0B ．1C ．7D ．8【解析】由题意可知[][]4.8 3.5--=4－(－4)＝8.故选：D.2．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数[]2,1,2y x x =∈与函数[]2,2,1y x x =∈--即为“同族函数”．请你找出下面哪个函数解析式也能够被用来构造“同族函数”的是（）A ．y x=B ．3y x =-C ．1y x=D ．1y x =+【解析】对于选项AD ，函数都为单调递增的，故不满足，因此AD 都错；对于选项C ，1y x=在区间(),0-∞和()0,∞+上都是单调递减的，且在两个区间上y 的取值一正一负，故不满足，因此C 错；对于选项B ，函数3y x =-，[]2,3x ∈和函数3y x =-，[]3,4x ∈即为“同族函数”，故满足，因此B 正确.故选：B.3．已知函数()M f x 的定义域为实数集R ，满足()1,=0,M x Mf x x M ∈⎧⎨∉⎩（M 是R 的非空子集），在R 上有两个非空真子集A ，B ，且A B =∅ ，则()()()()11A B A B f x F x f x f x +=++ 的值域为（）A ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．{}1C ．12,,123⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】当()R x A B ∈⋃ð时，()0A B f x ⋃=，()0A f x =，()0B f x =，()1F x ∴=同理得：当x B ∈时，()1F x =；当x A ∈时，()1F x =；故()()R 1,1,1,x A F x x B x A B ⎧∈⎪=∈⎨⎪∈⋃⎩ð，即值域为{1}．故选：B4．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer ），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x 存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点函数”，下列为“不动点函数”的是（）A ．()2x f x x =+B ．2()3f x x x =-+C ．221,1()2,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩D ．1()2=+f x x x【解析】对于A ，由()f x x =，得2x x x +=，即20x =，方程无解，所以A 不符合题意，对于B ，由()f x x =，得23x x x -+=，即230x +=，方程无解，所以B 不符合题意，对于C ，由()f x x =，得当1x ≤时，221x x -=，即2210x x --=，解得1x =或12x =-，所以此函数为“不动点函数”，所以C 正确，对于D ，由()f x x =，得12x x x+=，即210x +=，方程无解，所以D 不符合题意，，故选：C5．四参数方程的拟合函数表达式为()01ba d y d x x c -=+>⎛⎫+ ⎪⎝⎭，常用于竞争系统和免疫检测，它的图象是一个递增（或递减）的类似指数或对数曲线，或双曲线（如1y x -=），还可以是一条S 形曲线，当4a =，1b =-，1c =，1d =时，该拟合函数图象是（）A ．类似递增的双曲线B ．类似递增的对数曲线C ．类似递减的指数曲线D ．是一条S 形曲线【解析】依题意可得拟合函数为1311y x -=++，()0x >，即()31333 114111x x y x x x +--=+==++++，()0x >，由3y x-=()1x >向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到3 41y x -=++，()0x >，因为3y x-=在()1,+∞上单调递增，所以拟合函数图象是类似递增的双曲线；故选：A6．在函数()f x 区间D 上的导函数为()f x '，()f x '在区间D 上的导函数为()g x .若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()f x 在区间D 上为“凸函数”.已知实数m 为常数，()4323126x mx f x x =--，若对满足1m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，则b a -的最大值为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【解析】由题设，32()632x mx f x x '=--，则2()6g x x mx =--，∴对任意||1m ≤，在(,)a b 上有2()60g x x mx =--<恒成立，令2()60h m mx x =-+-<在11m -≤≤上恒成立，∴22(1)60(1)60h x x h x x ⎧-=+-<⎨=--<⎩，可得22x -<<，∴2,2a b ≥-≤，故b a -的最大值为4.故选：A7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其姓名命名的“高斯函数”为[]y x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如][3.54,2.12⎡⎤-=-=⎣⎦，已知函数()11xxe f x e -=+，令函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦，则()g x 的值域为（）A ．()1,1-B ．{}1,1-C ．{}1,0-D ．{}1,0,1-【解析】因为11xe +>，所以2021xe <<+，所以12()1(1,1)11x x xe f x e e -==-∈-++，则()[()]g x f x =的值域{}0,1-．故选：C ．8．已知函数()y f x =，若在定义域内存在实数x ，使得()()f x kf x -=-，其中k 为整数，则称函数()y f x =为定义域上的“k 阶局部奇函数”，若()()2log f x x m =+是[]1,1-上的“1阶局部奇函数”，则实数m 的取值范围是（）A ．⎡⎣B ．(C ．⎡⎣D ．⎡-⎣【解析】由题意，函数()()[]2log ,,11f x x m x =+-∈，满足0x m +>，解得1m >，因为函数()()2log f x x m =+是[]1,1-上的“1阶局部奇函数”，即关于x 的方程()()f x f x -=-在[]1,1-上有解，即()()22log log 0x m x m -+++=在[]1,1-上有解，可得[]221,1,1m x x -=∈-，所以221m x =+在[]1,1x ∈-有解，又由21[1,2]x +∈，因为1m >，所以212m <≤，解得1m <≤实数m 的取值范围是(.故选：B.9．如图所示的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们把这样的曲线叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点33,42M π⎛⎫⎪⎝⎭，其对应的方程为12||2|sin |2x y x ωπ⎛⎫⎡⎤=- ⎪⎢⎣⎦⎝⎭（0x ≥，其中[]x 为不超过x 的最大整数，13ω<<）．若该葫芦曲线上一点N 的横坐标为43π，则点N 的纵坐标为（）A ．13±B．C ．12±D．【解析】由曲线过33,42M π⎛⎫ ⎪⎝⎭知，3231342sin 224ππωπ⎛⎫⎡⎤⨯ ⎪⎢⎥⎛⎫=- ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭ ⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎝⎭，即3sin 14πω⎛⎫= ⎪⎝⎭，则3(Z)42k k ππωπ=+∈，解得42(Z)33k k ω=+∈，又13ω<<，则2ω=，若该葫芦曲线上一点N 的横坐标为43π，即43x π=，代入曲线方程得到42143||2sin 223y πππ⎛⎫⎡⎤⨯ ⎪⎢⎥⎛⎫=-⨯=⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭ ⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎝⎭，则y =N的纵坐标为．故选：D 10．设函数()f x 的定义域为D ，若函数()f x 满足条件：存在[]a b D ⊆，，使()f x 在[]a b ，上的值域为22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则称()f x 为“倍缩函数”.若函数()()2log 2xf x t =+（其中0t ≥）为“倍缩函数”，则t 的取值范围是（）A ．104⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．()01，C ．102⎛⎤⎥⎝⎦，D ．14⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，【解析】由已知可得，()f x 在[]a b ，上是增函数；22log (2)2,log (2)2a b a t b t ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩即222222aabb t t ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，a ∴，b 是方程2220x x t -+=的两个根，设22xm ==0m >，此时方程为20m m t -+=即方程有两个不等的实根，且两根都大于0；2(1)400t t ⎧-->∴⎨>⎩，解得：104t <<，∴满足条件t 的范围是104⎛⎫ ⎪⎝⎭，.故选：A二、多选题11．具有性质：()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数中满足“倒负”变换的函数是（）A ．()22x f x x =-B ．()1f x x x=-C ．()1f x x x=+D ．(),01,0,1,1,1x x f x x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩【解析】对于A 选项，x ＝0在定义域内，不满足“倒负”变换；对于B 选项，()111f x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足“倒负”变换；对于C 选项，()155,2222f f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()122f f ⎛⎫≠- ⎪⎝⎭，不满足“倒负”变换；对于D 选项，当01x <<时，11x>，此时()111f x f x x x⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭；当x ＝1时，11x=，此时()()101f f ==-；当1x >时，101x<<，此时()11f f x x x⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()f x 满足“倒负”变换．故选：BD.12．对于函数()y f x =，若()00f x x =，则称0x 是()f x 的不动点：若()11f f x x ⎡⎤=⎣⎦，则称1x 是()f x 的稳定点，则下列函数有稳定点的是（）A ．()1f x x-=-B ．()21f x x =+C ．()31,02112x x f x x ⎧<<⎪⎪=≤<D ．()2121,12x f x x x <<=⎨⎪≤<⎪⎩【解析】A ：函数1()f x x=-的定义域为{}0x x ≠，假设存在稳定点1x ，则111()f x x =-，1111[()](f f x f x x =-=，所以对{}0x x x ∀∈≠，均有[()]f f x x =，故A 有稳定点；B ：函数2()1f x x =+的定义域为R ，假设存在稳定点1x ，则211()1f x x =+，2421111[()](1)22f f x f x x x =+=++，而4211122x x x ++=在R 上无解，故B 无稳定点；C ：()3102112x x f x x ⎧<<⎪⎪=≤<，，，当12x =时，12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，故31122f f f ⎫⎡⎤⎛⎫===⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎭，故C 有稳定点；D：212()112x f x x x <<=⎨⎪≤<⎪⎩，，当12x =时，2111(()224f ==，而11(0,42∈，故111[()]()242f f f ===，故D 有稳定点.故选：ACD.13．华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.()f x 是定义在R上的函数，对于x ∈R ，令1()(123)n n x f x n -== ，，，，若存在正整数k 使得0k x x =，且当0<j <k 时，0j x x ≠，则称0x 是()f x 的一个周期为k 的周期点.若122()12(1)2x x f x x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩，，，下列各值是()f x 周期为2的周期点的有（）A ．0B ．13C ．23D ．1【解析】A ：00x =时，()100x f ==，周期为1，周期为2也正确，故A 正确；B ：013x =时，1231222233333n x f x f x x ⎛⎫⎛⎫======= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，，，所以13不是()f x 的周期点.故B 错误；C ：023x =时，1223n x x x ==== ，周期为1，周期为2也正确.故C 正确；D ：01x =时，()()1201000x f x f x ====≠，，1∴不是()f x 周期为2的周期点，故D 错误.故选：AC.14．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.在平面直角坐标系中，如果一个函数的图象能够将某个圆的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个圆的“优美函数”.则下列说法中正确的有（）A ．对于一个半径为1的圆，其“优美函数”仅有1个B ．函数()3f x x =可以是某个圆的“优美函数”C ．若函数()y f x =是“优美函数”，则函数()y f x =的图象一定是中心对称图形D ．函数32cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭可以同时是无数个圆的“优美函数”【解析】对于A ，过圆心的任一直线都可以满足要求，故A 错误；对于B ，函数3()f x x =为奇函数，关于原点对称，可以是单位圆的“优美函数”，故B 正确；对于C ，函数y =f (x )的图象是中心对称图形，函数一定是“优美函数”，但“优美函数”不一定是中心对称函数，如图，故C 错误；对于D ，函数32cos 2sin 2y x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭关于原点对称，是圆222,02x y k k +=<≤，的“优美函数”，满足无数个，故D 正确.故选：BD.15．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为()1，=D x x 为有理数，()0D x x =，为无理数），关于函数()D x ，下列说法正确的是（）．A ．()D x 既不是奇函数，也不是偶函数B ．x ∀∈R ，()()1D D x =C ．()D x 是周期函数D ．,x y ∃∈R ，使得()()()D D y y D x x +=+【解析】因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，所以对x ∀∈R ，()()D x D x -=，故()D x 是偶函数，故A 错误；当x 为有理数时，()1D x =，当x 为无理数时，()0D x =，当x 为有理数时，()()()11D D x D ==，当x 为无理数时，()()()01D D x D ==，所以()()1D D x =恒成立，B 正确；若x 是有理数，T 是有理数，则x T +是有理数；若x 是无理数，T 是有理数，则x T +是无理数，所以任取一个不为0的有理数T ，()()D x T D x +=恒成立，即()D x 是周期函数，故C 正确；若x ，y 为无理数，则x y +也为无理数，所以()()()0x y x D D D y =+=+，故D 正确．故选：BCD16．函数()f x 满足条件：①对定义域内任意不相等的实数a ，b 恒有()[()()]0a b f a f b -->；②对定义域内任意两个实数1x ，2x 都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭成立，则称为G 函数，下列函数为G 函数的是（）A ．()21f x x =-B ．()f x =C ．2()43f x x x =-+-，1x <D ．3()f x x =，0x >【解析】a ，b 恒有()[a b f -（a ）f -（b ）]0>，所以()f x 是增函数，因为对定义域内任意两个实数1x ，2x 都有1212()()()22x x f x f x f ++ 成立，所以()f x 为上凸函数，对于A ，函数()21f x x =-是增函数，且1212()()()22x x f x f x f ++=成立，所以函数为G 函数，故选项A 正确；对于B ，函数()f x =G 函数，故选项B 正确；对于C ，函数2()43f x x x =-+-，1x <是增函数，且函数的图象是上凸函数，所以函数为G 函数，故选项C 正确；对于D ，函数3()f x x =，0x >是增函数，但是函数的图象是下凹函数，所以函数不是G 函数，故选项D 错误．故选：ABC ．17．已知函数()122,42,x x af x x x a x a -⎧<=⎨-++≥⎩，如果函数()f x 满足对任意()1,x a ∈-∞，都存在()2,x a ∈+∞，使得()()21f x f x =，称实数a 为函数()f x 的包容数，下列数中可以为函数()f x 的包容数的是（）A ．12-B ．1C ．4D ．8【解析】记()1f x 的值域为A ，()2f x 的值域为B ，由题意可知：A B ⊆；对于A ，当12a =-时，312224x --<=；2413x x -+-≤；则4A ⎛⎫=-∞ ⎪ ⎪⎝⎭，(],3B =-∞，满足A B ⊆，A 正确；对于B ，当1a =时，10221x -<=，2426x x -++≤；则(),1A =-∞，(],6B =-∞，满足A B ⊆，B 正确；对于C ，当4a =时，13228x -<=，2488x x -++≤；则(),8A =-∞，(],8B =-∞，满足A B ⊆，C 正确；对于D ，当8a =时，1722128x -<=；241616x x -++≤-；则(),128A =-∞，(],16B =-∞-，不满足A B ⊆，D 错误.故选：ABC.18．若正整数m ，n 只有1为公约数，则称m ，n 互质.对于正整数n ，()n ϕ是小于或等于n 的正整数中与n互质的数的个数，函数()n ϕ以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：()32ϕ=，()76ϕ=，()96ϕ=，则下列说法正确的是（）A ．()()510ϕϕ=B ．()211nϕ-=C ．数列(){}3nϕ为等比数列D ．()()222n n ϕϕ+>，*n N ∈【解析】因为()()5104ϕϕ==，故A 正确；因为当4n =时，()151ϕ≠，故B 不正确；因为与3n 互质的数为1，2，4，5，7，8，10，11，…，32n -，31n -，共有()1131323n n ---⋅=⋅个，所以()1323n n ϕ-=⋅.则数列(){}3nϕ为等比数列，故C 正确；因为()()462ϕϕ==，故D 不正确；故选：AC 三、填空题19．若存在常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立（或()F x kx b ≤+和()G x kx b ≥+恒成立），则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”．已知函数()()2x x x f =-∈R ，()()10g x x x=>，若函数()f x 和()g x 之间存在隔离直线3y x b =-+，则实数b 的取值范围是______．【解析】因为函数()f x 和()g x 之间存在隔离直线3y x b =-+，所以当23x x b -≤-+时，可得230x x b -+-≤对任意的x ∈R 恒成立，则23b x x ≥-+，即239(24b x ≥--+，所以94b ≥；当13x b x ≥-+时，对0x >恒成立，即13(0)b x x x≤+>恒成立，又当0x >时，13x x +≥13x x =即x =b ≤综上所述，实数b的取值范围是94b ≤≤.20．如果函数()y f x =在其定义域上有且仅有两个不同的数0x ，满足()()0000f x f x x x '=-，那么就称函数()y f x =为“单值函数”，则下列四个函数：①()322f x x x =+；②()e xf x x =；③()ln 010x x x f x x x x >⎧⎪=⎨+<⎪⎩，，；④()()sin 1f x x x =+.其中为“单值函数”的是______．(写出所有符合题意的函数的序号)【解析】①()()322234f x x x f x x x ='=++，，()()2221234202102f x f x x x x x x x x x x x x =-⇒+=+-⇒+=⇒+=⇒=-'，方程只有一个解，故该函数不为“单值函数”；②()()e e e x x xf x x f x x ==+'，，()()e e e e 10x x x x f x f x x x x x x=-⇒-⇒='=+⇒=，∵x ≠0，故方程无解，该函数不是“单值函数”；③()ln 010x x x f x x x x >⎧⎪=⎨+<⎪⎩，，，当0x >时，()ln 1f x x ='+，()()ln ln 110f x f x x x x x x x=-⇒=-⇒='+>；当0x <时，()211f x x '=-，()()32221121120f x f x x x x x x x x x x'=-⇒+=--⇒=-⇒=-⇒=<，故f (x )在其定义域上有且仅有两个不同的数0x ，满足()()0000f x f x x x '=-，故该函数为“单值函数”；④()()()sin 1sin 1cos f x x x f x x x x '=+=++，，()()sin 1sin 1cos cos 1f x f x x x x x x x x x=-⇒+=++-⇒='20x k k k π⇒=≠∈Z ，，，方程有无数个解，故该函数不是“单值函数”﹒故选：③．21．若函数()f x 的定义域为D ，且满足如下两个条件：①()f x 在D 内是单调递增函数；②存在[],m n D ⊆，使得()f x 在[],m n 上的值域为[]2,2m n 那么就称函数()f x 为“希望函数”，若函数()()()log 0,1x a f x a t a a =->≠是“希望函数”，则实数t 的取值范围为___________.【解析】∵函数()()()log 0,1xa f x a t a a =->≠是“希望函数”，∴()()22f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()2f x x =有两个解，∴m ，n 是方程()20x x a a t +=-的两个不等的实根，设x y a =，则0y >，∴方程等价为20y y t -+=的有两个不等的正实根，即1212140010t y y t y y =-⎧⎪=⎨⎪+=⎩ ＞＞＞，∴140t t ⎧<⎪⎨⎪>⎩，解得104t <<，故答案为：10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.22．若函数()f x 在区间A 上，对,,a b c A ∀∈，()f a ，()f b ，()f c 为一个三角形的三边长，则称函数()f x 为“三角形函数”.已知函数()ln f x x x m =+在区间21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是“三角形函数”，则实数m 的取值范围为____【解析】1()ln ln 1f x x x x x'=+⋅=+，令()0f x '>，得1e x >，令()0f x '<，得10ex <<，所以()f x 在211,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,e e ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，所以min 1()()e f x f =11ln e e m =+1em =-，因为222111((e)ln eln e e e e f f m m -=+--22e 0e =--<，所以max ()(e)e f x f m ==+，所以()f x 在区间21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,e e m m ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，因为函数()ln f x x x m =+在区间21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是“三角形函数”，所以11e e e m m m -+->+，解得2e em >+.四、解答题23．函数()f x 的定义域为()0,∞+，且存在唯一常数0k >，使得对于任意的x 总有()()1f kx f x k=+，成立．(1)若()10f =，求()1f k f k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(2)求证：函数()ln g x x =符合题设条件．【解析】(1)因为()()1f kx f x k=+，所以()()11f k f k =+，又()10f =，所以()1f k k =，又()1111f f k f k k k⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅=+，所以11f k k ⎪⎝⎭=-⎛⎫，所以()1110f k f k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-+=(2)因为()ln g x x =的定义域为()0,∞+，假设存在常数00k >满足()()001g k x g x k =+，即()001ln ln k x x k =+，所以001ln k k =，设()1ln h x x x =-，显然()h x 在()0,∞+上单调递增，又()11ln1101h =-=-<，()11e ln e 10e eh =-=->，所以存在唯一的常数()01,e k ∈使得()0001ln 0h k k k =-=，即存在唯一的常数()01,e k ∈使得函数()ln g x x =符合题设条件；24．已知函数()f x 和()g x 的定义域分别为1D 和2D ，若对任意的01x D ∈，都恰好存在n 个不同的实数122,,,n x x x D ∈ ，使得()()0i g x f x =（其中*1,2,,,N i n n =⋅⋅⋅∈），则称()g x 为()f x 的“n 重覆盖函数”.(1)判断下面两组函数中，()g x 是否为()f x 的“n 重覆盖函数”，并说明理由；①()()cos 04g x x x π=<<，()()11f x x x =-<<，“4重覆盖函数”；②()()22g x x x =-≤≤，()()1sin f x x x R =+∈，“2重覆盖函数”；(2)若()1sin x g x xπ-=，()0,x ∈+∞为()1f x x =，(),x s t ∈()0s t <<的“9重覆盖函数”，求t s -的最大值.【解析】(1)①：当11x -<<时，()11f x -<<，根据余弦函数的图象可知，()g x 是()f x 的“4重覆盖函数”；②：由1sin 1x -≤≤可知：()02f x ≤≤，函数()()22g x x x =-≤≤的图象如下图所示：当3π2x =时，3π3π1sin 022f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，当()00g x x x ==⇒=，所以()g x 不是()f x 的“2重覆盖函数”；(2)因为(),x s t ∈，所以()1f x t s<<，因为0sin 1x π≤≤，所以当()0,x ∈+∞时，()0g x ≥，当1(0,]2x ∈时，()1sin 1sin πx x g x x xπ--==，函数1sin πy x =-和函数1y x=都是单调递减函数，故该函数单调递减，当1(,1]2x ∈时，()1sin 1sin πx x g x x xπ--==，函数1sin πy x =-是单调递增函数，函数1y x=是单调递减函数，而函数1sin πy x =-递增的速度快于函数1y x=递减的速度，所以函数单调递增，而函数1sin πy x =-的最小正周期为：12π12π⨯=，因此函数()1sin xg x xπ-=，()0,x ∈+∞的图象如下图所示：因此要想()1sin x g x xπ-=，()0,x ∈+∞为()1f x x =，(),x s t ∈()0s t <<的“9重覆盖函数”，只需()()111444*********g s s s s t s t t g t t⎧⎧≥≥⎪⎪≥-≤-⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⇒-≤⎨⎨⎨⎨≤≤⎩⎩⎪⎪≤≤⎪⎪⎩⎩，所以t s -的最大值1.25．已知O 为坐标原点，R a b ∈、，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(),a M b O =为函数()f x 的伴随向量，同时称函数()f x 为向量OM 的伴随函数.已知函数()ππ2sin 62g x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(1)求()g x 的伴随向量ON，并求ON .(2)关于x 的方程()0g x t -=在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恒有两个不相等实数解，求实数t 的取值范围.(3)将函数()g x 图象上每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把整个图象向左平移23π个单位长度得到函数()h x 的图象，已知()33A -，，()311B ，，在函数()h x 的图象上是否存在一点P ，使得AP BP ⊥，若存在，求出点P 坐标；若不存在，说明理由.【解析】(1)因为()ππ2sin 62g x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππcos sin sin 2cos 66x x x=⋅+⋅-cos x x =，所以ON =，2ON == .(2)因为关于x 的方程()0g x t -=在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恒有两个不相等实数解，所以()y g x =的图象与直线y t =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恒有两个不同的交点，π()2sin()6g x x =+(π02x ≤≤)的图象如图：2t ≤<.(3)依题意可得12ππ()2sin 236h x x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1π2sin 22x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12cos 2x =，||10AB ==，AB 的中点为(0,7)，假设在函数()h x 的图象上是否存在一点00(,)P x y ，使得AP BP ⊥，则点P 在以AB 为直径的圆上，该圆的圆心为(0,7)，半径为5，所以2200(0)(7)25x y -+-=，即22001(2cos 7)252x x +-=，所以201(2cos 7)252x -≤，所以0152cos 752x -≤-≤，所以011cos 62x ≤≤，又011cos 12x -≤≤，所以01cos 12x =，所以220(217)25x +⨯-=，所以00x =，所以012cos 22x =，所以(0,2)P .综上所述：在函数()h x 的图象上是否存在一点P ，使得AP BP ⊥，且(0,2)P .26．若函数()f x 和()g x 的图象均连续不断，()f x 和()g x 均在任意的区间上不恒为0，()f x 的定义域为1I ，()g x 的定义域为2I ，存在非空区间()12A I I ⊆⋂，满足：x A ∀∈，均有()()0f x g x ≤，则称区间A 为()f x 和()g x 的“Ω区间”(1)写出()2sin f x x =和()sin cos g x x x =+在[0,]π上的一个“Ω区间”，并说明理由；(2)若()21e 2ln cos2ex x f x x x -=+-，且()f x 在区间(0,1]上单调递增，(0,)+∞是()f x 和()g x 的“Ω区间”，证明：()g x 在区间(0,)+∞上存在零点.【解析】(1)()2sin f x x = ，()sin cos g x x x =+，令()()0f x g x ≤则()2sin sin cos 0x x x +≤，因为[0,]x π∈，所以sin 0x ≥，sin cos 0x x ∴+≤04x π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，[]0,x π∈ ，所以5,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，令544x πππ≤+≤，解得34x ππ≤≤，3,4x ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，∴()2sin f x x =和()sin cos g x x x =+在[0,]π上的一个“Ω区间”为3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（答案为3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的非空子集都可）(2)()0,∞+ 是()f x 和()g x 的“Ω区间”，()0,x ∞∀∈+ 均有()()0f xg x ≤()f x 在区间(0,1]上单调递增，而()11cos20f =->，则()10g ≤又220222212ln11112e cos21cos 0ee e e e ef ⎛⎫=+-=-+-< ⎪⎝⎭，则210e g ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭()g x ∴在21e ,1⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有零点，()g x ∴在区间(0,)+∞上存在零点.27．对于函数()f x ，若在其定义域内存在实数0x ，t ，使得()()()00f x t f x f t +=+成立，称()f x 是“t 跃点”函数，并称0x 是函数()f x 的“t 跃点”．(1)若函数()sin =-f x x m ，x ∈R 是“π2跃点”函数，求实数m 的取值范围；(2)若函数()()sin =+f x x m ，x ∈R ，求证：“sin 0=m ”是“对任意t ∈R ，()f x 为‘t 跃点’函数”的充要条件；(3)是否同时存在实数m 和正整数n 使得函数()cos 2h x x m =-在[]0,πn 上有2021个“π4跃点”？若存在，请求出所有符合条件的m 和n 的值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)由已知得存在实数0x ，使得00ππsin sin sin 22x m x m m ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭，∴000πsin cos 1sin 1112m x x x ⎛⎫⎡⎤=-+-+∈+ ⎪⎣⎦⎝⎭，∴实数m 的取值范围是11⎡⎤⎣⎦.(2)由题意得“对任意t ∈R ，()()sin =+f x x m 为‘t 跃点’函数”等价于：对是任意实数t ，关于x 的方程()()()sin sin sin x t m x m t m ++=+++都有解，则对于0t =时有解，即()()()sin sin sin x m x m m +=++,∴sin 0=m ；反之，当sin 0=m 时，()πm k k =∈Z ,()()()sin sin sin x t m x m t m ++=+++等价于()()()sin sin sin x t x t +=+0x =是此方程的解，故此方程对于任意实数t 都有实数解.综上所述，“sin 0=m ”是“对任意t ∈R ，()f x 为‘t 跃点’函数”的充要条件；(3)由已知得，()ππππcos 2cos 2cos 04422h x h x h x m x m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=+--+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得π24m x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小正周期为π；根据函数π24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0,πn 上的图象可知：①当()(m ∈⋃时，在[]0,πn 有2n 个“π4跃点”，故不可能有2021个“π4跃点”；②当1m =时，在[]0,πn 有21n +个“π4跃点”，此时2120211010n n +=⇒=；③当m =m =[]0,πn 上有n 个“π4跃点”，故2021n =；综上：11010m n =⎧⎨=⎩或2021m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2021m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩.28．对于函数()()y f x x D =∈，若存在正常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≥成立，我们称函数()f x 为“T 同比不减函数”.(1)判断函数2()f x x =是否为“T 同比不减函数”？并说明理由；(2)若函数()sin f x kx x =+是“π2同比不减函数”，求实数k 的取值范围；(3)是否存在正常数T ，使得函数()|1||1|f x x x x =+--+为“T 同比不减函数”？若存在，求T 的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】(1)依题意0T >，函数2()f x x =不是“T 同比不减函数”，理由如下：()2f x x =，()()()()22222f x T f x x T x xT T T x T +-=+-=+=+不恒大于零，所以()()f x T f x +≥不恒成立，所以函数2()f x x =不是“T 同比不减函数”.(2)函数()sin f x kx x =+是“π2同比不减函数”，()π2f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，πππsin sin 222k x x k x ⎛⎫⎛⎫+++≥⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ4sin cos ,π22x k x x k ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥-≥π4x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，所以ππ2k ≥=.所以k的取值范围是π⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭.(3)存在，理由如下：2,1()11,112,1x x f x x x x x x x x +≤-⎧⎪=+--+=--<<⎨⎪-≥⎩，画出()f x 的图象如下图所示，()f x T +的图象是由()f x 的图象向左平移T 个单位所得，由图可知，当4T ≥时，对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≥成立，所以存在正常数T ，使得函数()|1||1|f x x x x =+--+为“T 同比不减函数”，且4T ≥.29．若函数()y f x =自变量的取值区间为[a ,b ]时，函数值的取值区间恰为22[,]b a，就称区间[a ,b ]为()y f x =的一个“和谐区间”．已知函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当,()0x ∈+∞时，()3g x x =-+．(1)求()g x 的解析式；(2)求函数()g x 在(0,)+∞内的“和谐区间”；(3)若以函数()g x 在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数()y h x =的图像，求函数()y h x =的值域【解析】(1)因为()g x 为R 上的奇函数，则(0)0g =，设(,0)x ∈-∞，则(0,)x -∈+∞，()()(3)3g x g x x x =--=-+=--；3,0()0,03,0x x g x x x x --<⎧⎪∴==⎨⎪-+>⎩(2)设0a b <<，由()g x 在(0,)+∞上递单调递减，可得2()32()3g b b bg a a a ⎧==-+⎪⎪⎨⎪==-+⎪⎩，即,a b 是方程23x x =-+的两个不等正根．∵0a b <<∴12a b =⎧⎨=⎩∴()g x 在(0,)+∞内的“和谐区间”为[1,2]．(3)设[a ,b ]为()g x 的一个“和谐区间”，则22a bb a<⎧⎪⎨<⎪⎩，∴a ，b 同号．当0a b <<时，同理可求()g x 在(,0)-∞内的“和谐区间”为[2,1]--．3,[1,2]()3,[2,1]x x h x x x -+∈⎧∴=⎨--∈--⎩，3,[1,2]()3,[2,1]x x h x x x -+∈⎧∴=⎨--∈--⎩的值域是[2,1][1,2]-- 30．对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足：①()f x 在[],n m 内是单调增函数；②当定义域是[],m n 时，()f x 的值域是[]2,2m n ，则称[],n m 是该函数的“翻倍区间”．(1)证明：[]1,2是函数()2xf x =的一个“翻倍区间”；(2)判断函数()3g x x =是否存在“翻倍区间”？若存在，求出所有“翻倍区间”；若不存在，请说明理由；(3)已知函数()31x h x x a-=+有“翻倍区间”[],m n ，求实数a 的取值范围．【解析】(1)证明：由函数()2xf x =在[]1,2上单调增函数知，()f x 的值域为[]2,4，故[]1,2是函数()2xf x =的一个“翻倍区间”；(2)假设()g x 存在一个“翻倍区间”[],m n ，由函数()g x 是R 上的单调增函数，有()()332,2,g m m m g n n n ⎧==⎪⎨==⎪⎩解得m =，n =由m n <知所有“翻倍区间”为][[,,⎡⎣；(3)由函数()h x 有“翻倍区间”[],m n 知，()h x 为[],m n 上的单调增函数，而()()33131313x a a x a h x x a x a x a+-----===++++，可得310a --<，解得13a >-，由②知()()312,312,m h m m m an h n n n a -⎧==⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩可得m ，n 是方程312x x x a -=+的两个根，等价于方程312x x x a-=+在(,)a -∞-上有两个不等实根或者在(,)a -+∞上有两个不等实根，即方程()222310x a x +-+=在(,)a -∞-上有两个不等实根或者在(,)a -+∞上有两个不等实根，则有()()22Δ(23)803242()2310a a a a a a ⎧=-->⎪-⎪<-⎨⎪-+-⨯-+>⎪⎩或()()22Δ(23)803242()2310a a a a a a ⎧=-->⎪-⎪>-⎨⎪-+-⨯-+>⎪⎩，解得1332a -<<32a >+综上，实数a的取值范围为133(,()322-⋃+∞．31．根据人教2019版必修一P 87页的13题介绍：函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数．题：设函数()39x t f x =+，且()110(1)15f f +=，(其中t 是常数)，函数()243()2x x g x f x x -+=+-．(1)求t 的值，并证明()f x 是中心对称函数;(2)是否存在点A ，使得过点A 的直线若能与函数()y g x =围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，说明理由．【解析】(1)∵函数()39xt f x =+，且()()110115f f +=，11101215t t ∴+=，∴4t =，所以4()39x f x =+；依题假设存在点(,)P a b 使函数()y f x a b =+-为奇函数，则()()2f a x f a x b ++-=对x R ∀∈恒成立，439a x +∴+4239a x b -+=+，2211931312a x a x b -+--∴+=++，∴22223(33)9(31)(31)2a x x a x a xb ---+--++=++，∴22223(33)9193(33)2a x x a a x xb -----++=+++，22222193(33)199193(33)2a a x x a a a x xb -------⎡⎤++++-⎣⎦∴=+++，2221991193(33)2a a a x x b -----∴+=+++，对x R ∀∈恒成立，2190912a b-⎧-=⎪∴⎨=⎪⎩，22,9a b ∴==，∴对于4()39xf x =+存在22,9a b ==，使函数()y f x a b =+-为奇函数，∴4()39xf x =+是以22,9⎛⎫ ⎪⎝⎭为对称中心的中心对称函数.(2)设()2431(2)22x x N x x x x -+==----，所以()()()()111122222202222N x N x x x x x x x x x ⎛⎫++-=+--+---=-+--= ⎪+----⎝⎭即(2)(2)0N x N x ++-=，即()2432x x N x x -+=-关于()2,0对称，又()42(2)9f x f x ++-=，4(2)(2)9g x g x ∴++-=，()g x ∴的对称中心是22,9⎛⎫⎪⎝⎭，依题意，使得过点A 的直线若能与函数()y g x =围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等，则直线必过()y g x =的对称中心，所以所求为22,9A ⎛⎫⎪⎝⎭；32．定义：如果函数()y f x =在定义域内的给定区间[],a b 上存在0x （0a x b ≤≤），满足()()()0f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =为[],a b 上的“平均值函数”，0x 为它的平均值点．(1)函数2y x =是否为[]0,2上的“平均值函数”？如果是，请求出它的平均值点；如果不是，请说明理由．(2)若函数211221x x y m ++=-+⋅+是[]1,1-上的平均值函数，求实数m 的取值范围．【解析】(1)函数2y x =是[]0,2上的“平均值函数”．令()y f x =，因为()()20402202f f --==-，设0x 是它的平均值点，则有()0022f x x ==，解得01x =，[]10,2∈，故2y x =为[]0,2上的“平均值函数”，1是它的平均值点．(2)令()y f x =，()()()()()211121112212211131511224m m f f m ++-+-+-+⋅+--+⋅+--==---，设0x 是它的平均值点，则()031524f x m =-，即0021131522124x x m m ++-+⋅+=-，整理得0022122426190x x m m ++⋅-⋅+-=．令012x t +=，则[]1,4t ∈，则需方程2246190t mt m -+-=在[]1,4t ∈上有解，令()224619g t t mt m =-+-，[]1,4t ∈，()()2234426191611602m m m ⎛⎫∆=--⨯⨯-=-+> ⎪⎝⎭，①当()0g t =在[]1,4内有一个实根时，()()140g g ⋅≤，即(217)(1013)0m m --≥，解得172m ≥，或1310m ≤；②当()0g t =在[]1,4内有两个不等的实根时，需满足()()414221040m g g -⎧≤-≤⎪⨯⎪≥⎨⎪≥⎪⎩，可得141721310m m m ⎧⎪≤≤⎪⎪≥⎨⎪⎪≤⎪⎩，无解．综上，实数m 的取值范围是1317,,102⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭．。
部编数学八年级下册专题18构造三角形中位线的常用技巧(解析版)含答案
专题18 构造三角形中位线的常用技巧（解析版）专题典例剖析及针对训练类型一 连接两中点构造中位线典例1如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 、G 为BC 上的两点，FG ＝3，线段DG ，EF 的交点为O ，当线段FG 在线段BC 上移动时，三角形FGO 的面积与四边ADOE 的面积之和恒为定值，则这个定值是（ ）A ．15B ．12C ．9D ．6思路指引：连接DE ，过A 作AH ⊥BC 于H ．由于DE 是AB 、AC 的中点，利用三角形中位线定理可得DE ∥BC ，并且可知△ADE 的高等于12AH ，再结合等腰三角形三线合一性质，以及勾股定理可求AH ，那么△ADE 的面积就可求．而所求S △FOG +S 四边形ADOE ＝S △ADE +S △DOE +S △FOG ，又因为△DOE 和△FOG 的底相等，高之和等于AH 的一半，故它们的面积和可求，从而可以得到S △FOG +S 四边形ADOE 的面积．解：如图：连接DE ，过A 向BC 作垂线，H 为垂足，∵△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE ，AH 分别是△ABC 的中位线和高，BH ＝CH =12BC =12×6＝3，∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，由勾股定理得AH ==4，∴S △ADE =12BC •AH 2=12×3×42=3，设△DOE 的高为a ，△FOG 的高为b ，则a +b =AH 2=2，∴S △DOE +S △FOG =12DE •a +12FG •b =12×3（a +b ）=12×3×2＝3，∴三角形FGO 的面积与四边ADOE 的面积之和恒为定值，则这个定值是S △ADE +S △DOE +S △FOG ＝3+3＝6．故选：D ．方法点睛：本题属中等难度题目，涉及到三角形中位线定理，解答此类题目时一般只要知道中点要作中位线，已知等腰三角形要作高线，利用勾股定理解答．针对训练1．如图，△ABC 的中线BD ，CE 相交于点0，F ，G 分别是BO ，CO 的中点，求证：EF ∥DG 且EF ＝DG ．解：连接ED ，FG .证四边形DEFG 是平行四边形，∴EF ∥DG 且EF ＝DG ．类型二 连接第三边构造中位线典例2（2022秋•泰山区校级期末）如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AE ，EF ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ．若∠B ＝45°，BC ＝GH 的最小值为（ ）ABC DGF E DC B AABDE F G思路指引：连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH=12AF，求出AF的最小值即可解决问题．解：连接AF，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=∵G，H分别为AE，EF的中点，∴GH是△AEF的中位线，∴GH=12 AF，当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB＝90°，∵∠B＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF==∴GH=即GH故选：D．方法点睛：本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．针对训练1．（2021秋•孟津县期末）如图所示，已知四边形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，点E、F分别是AP、RP的中点，当点P在边BC上从点B向点C移动，且点R从点D向点C移动时，那么下列结论成立的是（ ）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减少C ．线段EF 的长不变D ．△ABP 和△CRP 的面积和不变思路指引：连接AR ，根据三角形的中位线定理可得EF =12AR ，根据AR 的变化情况即可判断．解：连接AR ，∵E ，F 分别是AP ，RP 的中点，∴EF =12AR ，∵当点P 在BC 上从点C 向点B 移动，点R 从点D 向点C 移动时，AR 的长度逐渐增大，∴线段EF 的长逐渐增大．S △ABP +S △CRP =12BC •（AB +CR ）．∵CR 随着点R 的运动而减小，∴△ABP 和△CRP 的面积和逐渐减小．观察选项，只有选项A 符合题意．故选：A ．方法点睛：此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 典例3 如图，点B 为AC 上一点，分别以AB ，BC 为边在AC 同侧作等边△ABD 和等边△BCE ，点P ，M ，N 分别为AC ，AD ，CE 的中点．（1）求证：PM ＝PN ；（2）求∠MPN 的度数．思路指引：（1）连接DC和AE，AE交CD于点M，证明△ABE≌△DBC，得到AE＝DC，利用中位线的性质证明PM＝PN；（2）根据中位线的性质把∠MPA+∠NPC转化成∠MCA+∠MAC，根据∠DMA＝∠MCA+∠MAC可知求出∠DMA度数即可．解：（1）连接DC和AE，AE交CD于点M，在△ABE和△DBC中，AB=BD∠ABE=∠DBCBE=BC∴△ABE≌△DBC（SAS）．∴AE＝DC．∵P为AC中点，N为EC中点，AE．∴PN=12DC．同理可得PM=12所以PM＝PN．（2）∵P为AC中点，N为EC中点，∴PN∥AE．∴∠NPC＝∠EAC．同理可得∠MPA＝∠DCA∴∠MPA+∠NPC＝∠EAC+∠DCA．又∠DQA＝∠EAC+∠DCA，∴∠MPA+∠NPC＝∠DQA．∵△ABE ≌△DBC ，∴∠QDB ＝∠BAQ ．∴∠DQA ＝∠DBA ＝60°．∴∠MPA +∠NPC ＝60°．∴∠MPN ＝180°﹣60°＝120°．方法点睛：本题主要考查全等三角形的判定和性质、中位线的性质、等边三角形的性质，解题的关键是找到“手拉手”全等模型．针对训练1.如图，分别以△ABC 的边AB ，AC 同时向外作等腰直角三角形，其中AB ＝AE ，AC ＝AD ，∠BAE ＝∠CAD ＝90°，点G 为BC 的中点，点F 为BE 的中点，点H 为CD 的中点．探索GF 与GH 的数量关系及位置关系，并说明理由．解：连接BD ，CE ，易证△ABD ≌△AEC ，∴BD ＝ CE ，易证BD ⊥CE .由中位线性质可得GF ＝GH ，GF ⊥GH .类型三 取中点构造中位线（1）直接取一边中点典例4（2022春•武昌区期中）如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BD 为AC 边上的高，E 为BC 边的中点，点F 在AB 边上，∠EDF ＝60°，若AF ＝2，BF =103，则BC 边的长为（ ）HG FEDCB AAB CDEFG HA ．163BCD 思路指引：过点D 作DM ⊥AB ，垂足为M ，取AB 的中点H ，连接EH ，DH ，根据已知可求出AB =163，先在Rt △ABD 中求出AD ，AH 的长，从而可得△ADH 是等边三角形，进而可得AD ＝DH ，∠ADH ＝∠AHD ＝60°，然后利用利用等腰三角形的三线合一性质求出AM 的长，从而求出DM ，DF 的长，最后证明手拉手模型﹣旋转型全等△ADF ≌△HDE ，从而利用全等三角形的性质可得DE ＝DF 进而利用直角三角形斜边上的中线，即可解答．解：过点D 作DM ⊥AB ，垂足为M ，取AB 的中点H ，连接EH ，DH ，∵AF ＝2，BF =103，∴AB ＝AF +BF =163，∵BD ⊥AC ，∴∠ADB ＝∠CDB ＝90°，∵∠A ＝60°，∴∠ABD ＝90°﹣∠A ＝30°，∴AD =12AB =83，∵点H 是AB 的中点，∴AH ＝BH =12AB =83，∴AD ＝AH ，∴△ADH 是等边三角形，∴AD ＝DH ，∠ADH ＝∠AHD ＝60°，∴AM＝MH=12AH=43，∴DM=∵AF＝2，∴MF＝AF﹣AM＝2―43=23，∴DF∵点H是AB的中点，点E是BC的中点，∴EH是△ABC的中位线，∴EH∥AC，∴∠DHE＝∠ADH＝60°，∴∠ADH＝∠A＝60°，∵∠EDF＝∠ADH＝60°，∴∠ADH﹣∠FDH＝∠EDF﹣∠FDH，∴∠ADF＝∠HDE，∴△ADF≌△HDE（ASA），∴DE＝DF=∵∠CDB＝90°，∴BC＝2DE=故选：D．方法点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．针对训练1．（2022•长春一模）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，点E是CD的中点，点F是OA的中点，连结EF，则线段EF的长为 ．思路指引：取AD的中点M，连接FM，EM，构造三角形中位线，利用三角形中位线定理分别求得FM、EM的长度；然后利用勾股定理求得EF的长度．解：如图，取AD的中点M，连接FM，EM，∵点E是CD的中点，∴EM是△ACD的中位线．∴EM∥AC，EM=12AC＝4．同理，FM∥BD，FM=12OD=14BD＝3．在菱形ABCD中，AC⊥BD，则FM⊥ME．故在直角△EFM中，由勾股定理得到：EF5．故答案是：5．方法点睛：本题主要考查了菱形的性质和三角形中位线定理，解题过程中，巧妙地作出辅助线，利用三角形中位线定理求得直角三角形的两直角边的长度．（2）连接对角线，再取对角线中点典例5（2021秋•龙岗区校级期末）如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC 和EF的关系是（ ）A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF思路指引：连接AC，取AC的中点G，连接EF，EG，GF，根据三角形中位线定理求出EG=12BC，GF=12AD ，再利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，即可得出AD ，BC 和EF 的关系．解：如图，取AC 的中点G ，连接EF ，EG ，GF ，∵E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，∴EG ，GF 分别是△ABC 和△ACD 的中位线，∴EG =12BC ，GF =12AD ，在△EGF 中，由三角形三边关系得EG +GF ＞EF ，即12BC +12AD ＞EF ，∴AD +BC ＞2EF ，当AD ∥BC 时，点E 、F 、G 在同一条直线上，∴AD +BC ＝2EF ，所以四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，则AD ，BC 和EF 的关系是AD +BC ≥2EF ．故选：B ．方法点睛：此题主要考查学生对三角形中位线定理和三角形三边关系的灵活运用，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．针对训练1．如图，在□ABCD 中，E 是CD 中点，F 是AE 的中点，FC 交BE 于点G（1）求证：GF ＝GC（2）求证：BG ＝3EG解：（1）取BE 的中点M ，∵FM ＝21AB ，∴FM //EC ，∴四边形 FMCE 为平行四边形，∴GF ＝GC（2）易证EG ＝MG ，∴EM ＝MB ，∴BG ＝3EG类型四 延长一边构造中位线典例6（2022秋•江北区校级期末）如图，在正方形ABCD 中，点E ，G 分别在AD ，BC 边上，且AE ＝3DE ，BG ＝CG ，连接BE 、CE ，EF 平分∠BEC ，过点C 作CF ⊥EF 于点F ，连接GF ，若正方形的边长为4，则GF 的长度是（ ）A B ．2C D 思路指引：延长CF 交BE 于H ，利用已知条件证明△HEF ≌△CEF （ASA ），然后利用全等三角形的性质证明GF =12BH ，最后利用勾股定理即可求解．解：延长CF 交BE 于H ，∵EF 平分∠BEC ，∴∠HEF ＝∠CEF ，∵CF ⊥EF ，∴∠HFE ＝∠CFE ，在△HEF 和△CEF 中，∠HEF =∠CEF EF =EF ∠HFE =∠CFE，∴△HEF ≌△CEF （ASA ），∴HF ＝CF ，EH ＝EC ，而BG ＝CG ，∴GF =12BH ，∵AE ＝3DE ，正方形的边长为4，∴AE ＝3，AB ＝CD ＝4，DE ＝1，在Rt △ABE 中，BE =5，在Rt △CDE 中，CE ＝HE ==∴BH ＝BE ﹣HE ＝5―∴GF =12BH 故选：C ．方法点睛：此题主要考查了全等三角形的性质与判定，也利用了正方形的性质，三角形的中位线的性质，有一定的综合性，对于学生的能力要求比较高．针对训练1．（2022•合肥一模）如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 是BC 中点，AD ⊥BD ，AC ＝7，AB ＝4，则DE 的值为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．32思路指引：延长BD 交AC 于H ，证明△ADB ≌△ADH ，根据全等三角形的性质得到AH ＝AB ＝4，BD ＝DH ，根据三角形中位线定理计算即可．解：延长BD 交AC 于H ，在△ADB 和△ADH 中，∠BAD =∠HAD AD =AD ∠ADB =∠ADH，∴△ADB ≌△ADH （ASA ）．∴AH ＝AB ＝4，BD ＝DH ，∴HC ＝AC ﹣AH ＝3，∵BD ＝DH ，BE ＝EC ，∴DE =12HC =32，故选：D ．方法点睛：本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．类型五 延长两边构造中位线典例7（2022秋•封丘县校级期末）如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，D 是BC 的中点AE ⊥BE ，AB ＝5，AC ＝3，则DE 的长为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．52思路指引：连接BE 并延长交AC 的延长线于点F ，易证明△ABF 是等腰三角形，则得AF 的长，点E 是BF 的中点，求得CF 的长，从而DE 是中位线，即可求得DE 的长．解：连接BE 并延长交AC 的延长线于点F ，如图，∵AE ⊥BE ，∴∠AEB ＝∠AEF ＝90°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠FAE ，∴∠ABE ＝∠AFE ，∴△ABF 是等腰三角形，∴AF ＝AB ＝5，点E 是BF 的中点，∴CF ＝AF ﹣AC ＝5﹣3＝2，DE 是△BCF 的中位线，∴DE =12CF =1．故选：A ．方法点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的性质定理，关键是作辅助线得到等腰三角形．针对训练1．如图，AD 为△ABC 的外角平分线，且AD ⊥BD 、M 为BC 的中点，若AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长8．延长BD ，CA 交于点E ，易证AE ＝AB ，BD ＝ED ，∵BM ＝CM ，∴DM ＝21CE ＝21(AB ＋AC )＝15.类型六作平行线或倍长中线先构造8字全等再构造中位线典例7（2021秋•宛城区期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞4，点D、E分别在边AB、AC上，BD＝4，CE＝3，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（ ）A．2.5B．3C．4D．5思路指引：如图，作CH∥AB，连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，首先证明CH＝BD，∠ECH＝90°，解直角三角形求出EH，利用三角形中位线定理即可解决问题．解：作CH∥AB，连接DN并延长交CH于H，连接EH，∵BD∥CH，∴∠B＝∠NCH，∠ECH+∠A＝180°，∵∠A＝90°，∴∠ECH＝∠A＝90°，在△DNB和△HNC中，∠B=∠NCHBN=CN，∠DNB=∠HNC∴△DNB≌△HNC（ASA），∴CH＝BD＝4，DN＝NH，在Rt△CEH中，CH＝4，CE＝3，∴EH=5，∵DM＝ME，DN＝NH，EH＝2.5，∴MN=12故选：A．方法点睛：本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．针对训练：如图，AB＝BC，DC＝DE，∠ABC＝∠CDE＝90°，D、B、C在一条直线上，F为AE的中点．（1）求证：BF∥CE；（2）若AB＝2，DE＝5，求BF的长．思路指引：（1）延长AB交CE于G，求出△ACG是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出AB＝BG，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半证明；（2）根据等腰直角三角形的性质求出CE、CG，再求出GE，然后求解即可．（1）证明：如图，延长AB交CE于G，∵AB＝BC，DC＝DE，∠ABC＝∠CDE＝90°，∴△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∴△ACG也是等腰直角三角形，∵∠ABC＝90°，∴BC⊥AG，∴AB＝BG，∵点F是AE的中点，∴BF是△AGE的中位线，∴BF∥CE；（2）解：∵AB ＝2，DE ＝5，∴CG ＝AC =＝CE =＝∴GE ＝CE ﹣CG ＝=∵BF 是△AGE 的中位线，∴BF =12GE方法点睛：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰直角三角形的判定与性质，熟记性质与定理并作辅助线构造出以BF 为中位线的三角形是解题的关键。
部编数学八年级下册专题18平面直角坐标系中的矩形(解析版)含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！专题18 平面直角坐标系中的矩形1．如图，已知矩形ABCD 的两条对角线交于平面直角坐标系的原点，点A 的坐标为()3,4-，则点C 的坐标为()A ．()3,4--B ．()3,4-C ．（4，-3）D ．()3,4-【答案】D 【分析】根据矩形的对角线互相平分，再由对角线的交点为原点，则点A 与点C 的坐标关于原点成中心对称，据此可解．【详解】∵四边形ABCD 为矩形，∴OA=OC ，且点A 与点C 关于原点成中心对称∵点A 的坐标为（-3，4），∴点C 的坐标为（3，-4）故选：D ．【点睛】本题考查了矩形的性质和坐标与图形的关系．要会根据矩形的性质得到点A 与点C 关于原点对称的特点，是解题的关键．2．在平面直角坐标系中，长方形ABCD 如图所示，(6,2),(2,2),(2,3)A B C --，则点D 的坐标为（ ）A ．(6,3)-B ．(3,6)-C ．(6,3)--D ．(3,6)--【答案】C 【分析】根据长方形的性质求出点D 的横、纵坐标即可获得答案．【详解】解：∵四边形ABCD 为长方形，∴AB CD ∥，AD BC ∥，∵(6,2),(2,2),(2,3)A B C --，∴点D 的横坐标与点A 相同，为6-，点D 的纵坐标与点C 相同，为3-，∴点D 的坐标为(6,3)--．故选：C ．【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，解题关键是利用矩形“对边平行且相等”的性质解决问题．3．如图，已知矩形OABC 的周长为18，点B 的坐标为（4，7），则矩形OABC 的面积为（ ）A ．28B ．16C ．8D ．44．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的顶点A 的坐标为()2,4-，D 是OB 的中点，E 是OC 上的一点，当ADE V 的周长最小时，点E 的坐标是（ ）A ．()0,1B ．40,3æöç÷èøC ．()0,2D ．100,3æöç÷èø【答案】B 【分析】画出A 点关于y 轴的对称点A ¢，连接A D ¢，与y 轴交于点E ，根据连接两点的连线中，线段最短，可知此时ADE V 的周长最小，再由待定系数法求得直线DA ′函数式，进而求出点E 的坐标即可．【详解】解：如图，作A 点关于y 轴的对称点A ¢，连接A D ¢，与y 轴交于点E ，此时ADE V 的周长最小，∵()2,4A -，5．如图，矩形OABC 的顶点A 在x 轴上，点B 的坐标为（1，2）．固定边OA ，向左“推”矩形OABC ，使点B 落在y 轴的点B '的位置，则点C 的对应点C '的坐标为（ ）A ．（﹣1B ．﹣1）C ．（﹣1，2）D ．（2，﹣1）点坐标．6．在长方形MNPQ 中，三点的坐标分别是()()()0,0,4,0,4,2,M N P 则Q 点的坐标为（ ）A ．()2,0B ．()0,2C ．()0,4D ．()4,0【答案】B【分析】根据长方形的性质求出点Q 的横坐标与纵坐标,即可得解．【详解】解：在长方形MNPQ 中：()()()0,0,4,0,4,2,M N P 则点Q 的横坐标与点M 的横坐标相同，为0 ,点Q 的纵坐标与点P 的纵坐标相同，为2，则点Q 的坐标为(0,2)．故选:B ．【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质等知识,熟练掌握矩形的对边平行且相等的性质是解题的关键．7．在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点坐标分别为（﹣2，﹣2），（﹣2，3），（5，﹣2），则第四个顶点的坐标（ ）A ．（5，3）B ．（3，5）C ．（7，3）D ．（3，3）【答案】A 【分析】设点C 的坐标为（m ，n ），由长方形的性质可以得出“DC=AB ，AD=BC”，由DC=AB 可得出关于m 的一元一次方程，由AD=BC 可得出关于n 的一元一次方程，解方程即可得出点D 的坐标．【详解】依照题意画出图形，如图所示，设点C 的坐标为（m ，n ），∵点A （-2，-2），B （5，-2），D （-2，3），AB=5-（-2）=7，DC=AB=7=m-(-2)，解得：m=5；AD=3-（-2）=5，BC=AD=5=n-（-2），解得：n=3∴点C 的坐标为（5，3），故选A ．【点睛】本题考查了坐标系中点的意义以及长方形的性质，解题的关键是分别得出关于m 、n 的一元一次方程．解决该题型题目时，依照题意画出图形，再根据图形的性质即可得出结论.8．如图，四边形OABC 是矩形，A(2，1)，B(0，5)，点C 在第二象限，则点C 的坐标是______．【答案】(﹣2，4)【分析】作AM ⊥x 轴于M ，CN ⊥y 轴于N ，则∠AMO＝∠BNC ＝90°，OM ＝2，AM ＝1，OB ＝5，证明△BCN ≌△AOM(AAS)，得出BN ＝AM ＝1，CN ＝OM ＝2，得出ON ＝OB ﹣BN ＝4，即可得出答案．【详解】解：作AM ⊥x 轴于M ，CN ⊥y 轴于N ，如图所示：则∠AMO ＝∠BNC ＝90°，∴∠AOM+∠OAM ＝90°，∵A(2，1)，B(0，5)，∴OM ＝2，AM ＝1，OB ＝5，∵四边形OABC 是矩形，∴BC ＝AO ，∠AOC ＝90°，BC ∥OA ，∴∠CBN ＝∠AOB ，∵∠AOM+∠AOB ＝90°，∴∠CBN ＝∠AOB ＝∠OAM ，在△BCN 和△AOM 中，BNC=AMO CBN=OAM BC=AO ÐÐìïÐÐíïî，∴△BCN≌△AOM(AAS)，∴BN＝AM＝1，CN＝OM＝2，∴ON＝OB﹣BN＝4，∴点C的坐标是(﹣2，4)；故答案为(﹣2，4)．【点睛】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．9．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D为OA 的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为_________．则OP=OD=5，PC=22-=3，54∴点P的坐标为：（3，4）；③当DP=DO时，作PE⊥OA于E，则∠PED=90°，DE==3；分两种情况：当E 在D 的左侧时，如图2所示：OE=5-3=2，∴点P 的坐标为：（2，4）；当E 在D 的右侧时，如图3所示：OE=5+3=8，∴点P 的坐标为：（8，4）；综上所述：点P 的坐标为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）考点：1.矩形的性质；2.坐标与图形性质；3.等腰三角形的判定；4.勾股定理．10．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别为()10,0，()0,4，点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，点Q 是坐标平面内的任意一点．若以O ，D ，P ，Q 为顶点的四边形是边长为5的菱形时，则点Q 的坐标为___________．（2）如答图②所示，5OP OD ==．过点P 作PE x ^轴于点E ，则4PE =．在Rt POE △中，由勾股定理得：2222543OE OP PE =-=-=，∴532OE OD DE =-=-=，（3）如答图③所示，5PD OD ==，点P 在点D 的右侧．过点P 作PE x ^轴于点E ，则4PE =．在Rt PDE V 中，由勾股定理得：2222543DE OP PE =-=-=，∴538OE OD DE =+=+=，∴此时点P 坐标为()8,4，此时()3,4Q ；综上所述，点Q 的坐标为()3,4-或()8,4或()3,4；故答案为()3,4-或()8,4或()3,4．【点睛】此题主要考查了矩形的性质、坐标与图形的性质及勾股定理，使用分类讨论的思想是解题关键．三、解答题(共0分)11．如图，在平面直角坐标系中，ABC V 的顶点坐标分别是A (﹣1，1)，B (﹣2，0)，C (0，﹣2)．（1）以原点O 为位似中心，在点O 另一侧画A B C ¢¢¢V ，使它与ABC V 位似，且相似比为2：1，并写出点,,A B C ¢¢¢的坐标；（2）若四边形AA 'B 'P 是矩形，请直接写出点P 的坐标．【答案】（1）见解析，A '(2，﹣2)，B '(4，0)，C '(0，4)；（2）(1，3)【分析】（1）画出一个以点O 为位似中心的△A 'B 'C '，使得△A 'B 'C '与△ABC 的相似比为2：1即可．（2）根据矩形的性质，即可直接写出．【详解】解：（1）如图所示：点A '（2，﹣2），B '（4，0），C '（0，4）；（2）四边形AA 'B 'P 是矩形，点P 的坐标（1，3）．【点睛】本题考查作图－位似变换，正确得出对应点位置是解题的关键．12．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴的正半轴上，9,6OA OC ==，现有两动点P 、Q 分别从O 、C 同时出发，P 在线段OA 上沿OA 方向以每秒1.5个单位长度的速度匀速运动，运动到点A 停止，Q 在线段CO 上沿CO 方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，运动到点O 停止，设运动时间为t 秒．（1）B 点的坐标为___________，OQ =_________，AP =___________（用含t 的代数式表示线段OQ 与线段AP 的长度）（2）当t 为怎样的值时，BCQ △的面积不小于BAP △的面积？（3）BCQ △的面积可以等于36吗？如果可以请你求出对应的t 值，如果不可以请说明理由．【答案】（1）B 点的坐标为()9,6，6,915OQ t AP t =-=-.；（2）当36t ££时，BCQ △的面积不小于BAP △的面积；（3）BCQ △的面积不可以等于36，理由见解析【分析】()1根据矩形的长和宽表示点B 的坐标，根据速度和时间表示： 1.5OP t =，CQ t =，可得结论；()2根据BCQ D 的面积不小于BAP D 的面积，列不等式，代入面积公式可得t 的值，并根据已知确定t 的取值范围；()3先根据BCQ D 的面积为36，列方程解出t =8， 根据06t ££内即可得出结论．13．如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是（4，7）．点D，E分别在OC，CB边上，且CE：EB＝5：3．将矩形OABC沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F处．（1）求F点的坐标；（2）点P在第二象限，若四边形PEFD是矩形，求P点的坐标；（3）若M是坐标系内的点，点N在y轴上，若以点M，N，D，F为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点M和点N的坐标．6,4，D 14．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的定点A、C在坐标轴上，点B的坐标为()为AB的中点，点E、F为OA边上两个动点，且2EF=，求四边形CDFE的周长最小值．//CG EF CG EF=【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称-最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求．15．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A（8，6）分别作x轴、y轴的平行线，交y 轴于点B，交x轴于点C，动点P从点B出发，沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C运动，运动时间为t（秒）.（1）直接写出点B和点C的坐标：B（，）、C（，）；（2）当点P运动时，用含t的式子表示线段AP的长，并写出t的取值范围.【答案】（1）0，6；8，0；（2）82,(04)28,(47)t tAPt t-£<ì=í-££î，【分析】（1）根据AB∥x轴，AC∥y轴，即可得到答案；（2）根据A（8，6），B（0，6），C（8，0），得到AB=8，AC=6，分两种情况：当点P在线段BA上时，当点P在线段AC上时，进行讨论，即可得到结论；【详解】解：（1）根据题意，∵AB∥x轴，AC∥y轴，点A为（8，6），∴点B为：（0，6），点C为（8，0），故答案为0，6；8，0.（2）由（1）知，A（8，6），B（0，6），C（8，0），∴AB=8，AC=6，当点P在线段BA上时，82AP t=-（04t£<），当点P在线段AC上时，28AP t=-（47t££）；∴82,(04)28,(47)t tAPt t-£<ì=í-££î.【点睛】本题考查了坐标与图形性质，矩形的性质，解题的关键是正确理解点P所在的位置情况，从而进行解答.16．在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为11()a b ,，点N 的坐标为22()a b ,，且12a a ¹，12b b ¹，以MN 为矩形的两个顶点，且该矩形的边与坐标轴平行，则称该矩形为M 、N 的“正直矩形”．下图为MN 的“正直矩形”示意图．（1）已知点A 的坐标为(2)0，①若点B (4，3)，求点A 、B 的“正直矩形”面积；②当点A 与点C “正直矩形”是面积为4的正方形时，直接写出符合条件的所有点C 坐标；（2）点D 横坐标是m ，它是直线28y x =-+上一点，求点D 与点A 的“正直矩形”的周长（用含m 的式子表示）．【答案】（1）①6；②(4,2)或(0,2)或(0,2)-或(4,2)-；（2）620m -+或212m -+或620m -【分析】（1）①根据“正直矩形”的定义可知矩形的两条邻边长为2、3，即可求得“正直矩形”的面积；②根据正方形的面积为4，求得边长为2，结合A 的坐标，即可求得点C 坐标；（2）根据题意D 的坐标为(,28)m m -+，从而得到点D 与点A 的“正直矩形”的周长为：2|2|2|28|m m -+-+，分三种情况讨论求得即可．【详解】解：（1）①Q 点A 的坐标为(2,0)，点(4,3)B ，\点A 、B 的“正直矩形”面积为：(42)36-´=；②Q 点A 与点C “正直矩形”是面积为4的正方形，\点A 与点C “正直矩形”的边长都为2，A Q 的坐标为(2,0)，C \的坐标为：(4,2)或(0,2)或(0,2)-或(4,2)-；（2）Q 点D 横坐标是m ，它是直线28y x =-+上一点，(,28)D m m \-+，A Q 的坐标为(2,0)，\点D 与点A 的“正直矩形”的周长为：2|2|2|28|m m -+-+，①当2m <时，点D 与点A 的“正直矩形”的周长为：2(2)2(28)620m m m -+-+=-+；②当24m <<时，点D 与点A 的“正直矩形”的周长为：2(2)2(28)212m m m -+-+=-+；③当4m >时，点D 与点A 的“正直矩形”的周长为：2(2)2(28)620m m m -+-=-；综上，点D 与点A 的“正直矩形”的周长为：620m -+或212m -+或620m -．【点睛】本题是一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，理解“正直矩形”的定义并运用是本题的关键．17．如图1，O 为坐标原点，矩形OABC 的顶点A （﹣8，0），C （0，6），将矩形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转一定的角度α得到矩形OA 'B 'C ′，此时边OA '、直线B 'C '分别与直线BC 交于点P 、Q ．(1)连接AP ，在旋转过程中，当∠PAO ＝∠POA 时，求点P 坐标．(2)连接OQ ，当α＜90°时，若P 为线段BQ 中点，求△OPQ 的面积．(3)如图2，连接AQ ，以AQ 为斜边向上作等腰直角△AQM ，请直接写出在旋转过程中CM 的最小值．∵A （﹣8，0），C （0，6），∴OA ＝8，OC ＝6，∵∠PAO ＝∠POA ，∴PA ＝PO ，∵PH ⊥OA ，∴AH ＝OH ＝4，∵PH ＝OC ＝6，∴P （﹣4，6）．（2）如图1﹣1中，延长B C ¢¢交x 轴于J ．设PB ＝PQ ＝x ．∵PQ ∥OJ ，QJ ∥OP ，∴四边形OPQJ 是平行四边形，∴PQ ＝OJ ，∵∠CPO ＝∠AOP ＝∠OJQ ，∠PCO ＝∠O C ¢J ＝90°，OC ＝O C ¢，∴△OCP ≌△O C ¢J （AAS ），∴OP ＝OJ ＝PQ ＝x ，在Rt △POC 中，∵222PC OC OP +=，∴()22286x x -+=，∵∠MFB＝∠MEB＝∠EBF＝90°，。
2020年中考数学三轮易错复习：专题18 利用函数图象研究函数性质及新题型解析版
2020年中考数学三轮易错复习：专题18 利用函数图象研究函数性质及新题型【例1】（2019·开封模拟）参照学习函数的过程与方法，探究函数2x y x-=（x ≠0）的图象与性质． 因为221x y x x -==-，即21y x =-+，所以我们对比函数2y x=-来探究． 列表：x … -4 -3 -2 -1 12-121 2 3 4 …2y x=-…12 231 2 4 -4-2 -1 23-12- (2)x y x-=…32 532 3 5 -3 -1 013 12…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以2x y x-=相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：（1）请把y 轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来． （2）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x ＜0时，y 随x 的增大而__________；（填“增大”或“减小”） ②2x y x -=的图象是由2y x=-的图象向_______平移______个单位而得到； ③图象关于点__________中心对称．（填点的坐标） （3）函数2x y x-=与直线y =-2x +1交于点A ，B ，求△AOB 的面积． 【变式1-1】（2019·郑州模拟）探究函数4y x x=+的图象与性质（1）函数4y x x=+的自变量x 的取值范围是 ；（2）下列四个函数图象中可能是函数4y x x=+的图象的是（3）对于函数4y x x=+，当x >0时，求y 的取值范围. 解：∵x >0，∴4y xx=+=22+=2+，∵2≥0，∴y ≥ .拓展运用（4）若函数259x x y x-+=，则y 的取值范围是.【例2】（2018·洛阳三模）在平面直角坐标系中，我们定义直线y =ax －a 为抛物线y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的“梦想直线”. 有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线2y x =+A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为，点A 的坐标为，点B的标为；（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“梦想三角形”，求点N 的坐标；（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式2-1】（2019·安阳一模）如果一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a，b，c]称为“抛物线系数”．（1）任意抛物线都有“抛物线三角形”是（填“真”或“假”）命题；（2）若一条抛物线系数为[1，0，﹣2]，则其“抛物线三角形”的面积为；（3）若一条抛物线系数为[﹣1，2b，0]，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；（4）在（3）的前提下，该抛物线的顶点为A，与x轴交于O，B两点，在抛物线上是否存在一点P，过P作PQ⊥x轴于点Q，使得△BPQ∽△OAB？如果存在，求出P点坐标；如果不存在，请说明理由．强化精炼：1.（2018·逆袭卷）有这样一个问题：探究函数222xyx=+的图象与性质.下面是小强的探究过程，请补充完整：（1）函数222xyx=+的自变量x的取值范围；（2）下表是y与x的几组对应值.如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.①观察图中各点的位置发现：点A1和B1，点A2和B2，A3和B3，A4和B4均关于某点中心对称，则该点的坐标为；②小文分析函数222xyx=+的表达式发现：当x<-1时，函数的最大值为-2，则该函数图象在直线x=-1左侧的最高点的坐标为（3）画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质2.（2019·偃师一模）如图，抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）交x轴于点A(4，0)，B(-2，0)，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式．（2）点Q 是x 轴上位于点A，B之间的一个动点，点E为线段BC上一个动点，若始终保持∠EQB=∠CAB，连接CQ，设△CQE 的面积为S，点Q的横坐标为m，求出S关于m的函数关系式，并求出当S取最大值时点Q的坐标．（3）点P 为抛物线上位于AC 上方的一个动点，过点P 作PF⊥y 轴，交直线AC 于点F，点D 的坐标为(2，0)，若O，D，F 三点中，当其中一点恰好位于另外两点的垂直平分线上时，我们把这个点叫做另外两点的“和谐点”，请判断这三点是否有“和谐点”的存在，若存在，请直接写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.（2019·三门峡二模）定义：在平面直角坐标系xOy中，把从点P出发沿纵或横方向到达点Q（至多拐一次弯）的路径长称为P，Q的“实际距离”．如图，若P（﹣1，1），Q（2，3），则P，Q的“实际距离”为5，即PS+SQ＝5或PT+TQ＝5．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设A，B，C三个小区的坐标分别为A（3，1），B（5，﹣3），C（﹣1，﹣5），若点M表示单车停放点，且满足M到A，B，C的“实际距离”相等，则点M的坐标为（）A．（1，﹣2）B．（2，﹣1）C．（12，﹣1）D．（3，0）4.（2019·开封模拟）【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE易证得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是；【拓展延伸】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；【知识应用】（3）如图3，两块斜边长都为14cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ的长分别为cm．图1 图2 图35.（2019·郑州联考）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD ＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．图1 图26.（2019·平顶山三模）已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β，（1）如图1，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，则α＝°；β＝°．（2）如图2，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，则α，β之间有什么关系式？说明理由．（3）是否存在不同于（2）中的α，β之间的关系式？若存在，请写出这个关系式（写出一种即可），说明理由；若不存在，请说明理由．图1 图27.（2019·郑州外国语模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+k与双曲线4yx（x>0）交于点A(1,a).（1）求a，k的值；（2）已知直线l过点D(2,0)且平行于直线y=kx+k，点P(m,n)，(m>3)是直线l上一动点，过点P作坐标轴的平行线，交双曲线4yx于点M、N，双曲线在点M、N之间的部分与线段PM、PN所围成的区域（不含边界）记为W. 横、纵坐标都是整数的点叫做整点.①当m=4时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内的整点个数正好是8个，结合图象，求m的取值范围.8.（2019·郑州外国语模拟）如图，一段抛物线y=-x2+4（-2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0、A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1选择180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1(x1，y1)，P2(x2,y2)，与线段D1D2交于点P3(x3，y3)，设x1，x2，x3均为正数，t= x1+x2+x3，则t的取值范围是（）A. 6<t≤8B. 6≤t≤8C. 10<t≤12D. 10≤t≤129.（2019·南阳二模）如图，在8×8的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y轴的抛物线与网格对角线OM 的两个交点为A，B，其顶点为C，如果△ABC 是该抛物线的内接格点三角形，且A B=，点A，B，C 的横坐标x A，x B，x C 满足x A＜x C＜x B，那么符合上述条件的抛物线的条数是．10.（2017•禹州市二模）有这样一个问题：探究函数y=12x2+1x的图象与性质，小东根据学习函数的经验，对函数y=12x2+1x的图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）下表是y与x的几组对应值．x…﹣3 ﹣2 ﹣112-13-13121 2 3 …y (25)63212-158-5318-55181783252m…函数y=12x2+1x的自变量x的取值范围是，m的值为；（2）在如图所示的平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并画出该函数的大致图象；（3）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有个交点，所以对应方程12x2+1x=0有个实数根；②方程12x2+1x=2有个实数根；③结合函数的图象，写出该函数的一条性质．2020年中考数学三轮易错复习：专题18 利用函数图象研究函数性质及新题型【例1】（2019·开封模拟）参照学习函数的过程与方法，探究函数2x y x-=（x ≠0）的图象与性质． 因为221x y x x -==-，即21y x =-+，所以我们对比函数2y x=-来探究． 列表：x … -4 -3 -2 -1 12-121 2 3 4 …2y x=-…12 231 2 4 -4-2 -1 23-12- (2)x y x-=…32 532 3 5 -3 -1 013 12…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以2x y x-=相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：（1）请把y 轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来． （2）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x ＜0时，y 随x 的增大而__________；（填“增大”或“减小”） ②2x y x -=的图象是由2y x=-的图象向_______平移______个单位而得到； ③图象关于点__________中心对称．（填点的坐标） （3）函数2x y x-=与直线y =-2x +1交于点A ，B ，求△AOB 的面积． 【答案】（1）见解析；（2）增大；上，1；（0,1）；（3）见解析.【解析】解：（1）如图所示；（2）①增大；②上，1；③（0,1）；（3）联立：2xyx-=与直线y=-2x+1，解得：x=1，y=－1或x=－1，y=3，∴S△AOB=12×2×4－12×1×4－12×2×1=1.【变式1-1】（2019·郑州模拟）探究函数4y xx=+的图象与性质（1）函数4y xx=+的自变量x的取值范围是；（2）下列四个函数图象中可能是函数4y xx=+的图象的是（3）对于函数4y x x=+，当x >0时，求y 的取值范围. 解：∵x >0，∴4y xx=+=22+=2+，∵2≥0，∴y ≥ .拓展运用（4）若函数259x x y x-+=，则y 的取值范围是.【答案】（1）x ≠0；（2）C ；（3）4，4；（4）y ≥1或y ≤－11. 【解析】解：（1）由分式的意义，知x ≠0； （2）∵x ≠0， ∴A 错误；当x >0时，y >0，故B 、D 错误， ∴选项C 正确； （3）4；4；（4）当x >0时，25995x x y xx x -+==+-=225+-=21+∵2≥0，∴y ≥1；当x <0时，25995x x y x x x-+==+-=225⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=211--，∵2-≤0∴y ≤－11；综上所述，y ≥1或y ≤－11.【例2】（2018·洛阳三模）在平面直角坐标系中，我们定义直线y =ax －a 为抛物线y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的“梦想直线”. 有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线2y x =+A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为，点A 的坐标为，点B的标为；（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“梦想三角形”，求点N 的坐标；（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y =+，(－2，，（1，0）；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）抛物线2y x x =--+其梦想直线的解析式为：y =+，联立y x =+，2y x x =+ 2x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩10x y =⎧⎨=⎩，故答案为：y x =，(－2，)，（1，0）.（2）由题意知C(－3,0)，过A作AG⊥y轴于G，①当点N在y轴上时，△AMN是梦想三角形，AC=AN由抛物线的对称轴x=－1，A(－2，，得：AG=2，G(0，)，在Rt△ANG中，由勾股定理得：GN=3，∴N(0,或(0,3)，当ON=时，则MN＞OG＞CM，与MN=CM矛盾，不合题意，∴N(0,3)，②当点M在y轴上时，△AMN为梦想三角形，即M点在坐标原点，M(0,0)，在Rt△AGM中，AG=2，GM=tan∠AMG，∴∠AMG=30°，∴∠AMC=∠AMN=∠NMB=60°，过点N作NP⊥x轴，在Rt△NMP中，MN=CM=3，∴NP，OP=32，即N(32),综上所述，点N的坐标为(0,－3)，(32).（3）设E(－1，m),F(n，33-+)，∵A(－2，)，C(－3,0)，①当四边形ACEF是平行四边形时，有：213nm--=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：nm=⎧⎪⎨=⎪⎩即E(－1，，F(0；②当四边形AECF是平行四边形时，有：231nm--=-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：4nm=-⎧⎪⎨=⎪⎩即E(－1，，F(－4)；③当四边形AEFC是平行四边形时，有：213nm-+=--⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：2nm=-⎧⎪⎨=⎪⎩此时F与A重合，不符题意，舍去；综上所述，E(－1，)，F(－4或E(－1，)，F(0【变式2-1】（2019·安阳一模）如果一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a ，b ，c ]称为“抛物线系数”．（1）任意抛物线都有“抛物线三角形”是 （填“真”或“假”）命题； （2）若一条抛物线系数为[1，0，﹣2]，则其“抛物线三角形”的面积为 ；（3）若一条抛物线系数为[﹣1，2b ，0]，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式； （4）在（3）的前提下，该抛物线的顶点为A ，与x 轴交于O ，B 两点，在抛物线上是否存在一点P ，过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，使得△BPQ ∽△OAB ？如果存在，求出P 点坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）假；（2）（3）（4）见解析．【解析】解：（1）∵抛物线与x 轴的交点个数有三种情况：没交点，一个交点，两个交点， ∴任意抛物线都有“抛物线三角形”是假命题， 故答案为：假；（2）∵一条抛物线系数为[1，0，﹣2]， ∴a ＝1，b ＝0，c ＝﹣2， ∴抛物线解析式为y ＝x 2﹣2， 当x ＝0，y ＝﹣2，当y ＝0，解得，x ＝∴“抛物线三角形”的面积为12）×2＝故答案为：.（3）由题意得：抛物线解析式为：y ＝﹣x 2+2bx ， 与x 轴交点为：（0，0），（2b ，0）；若“抛物线三角形”是个直角三角形，则是等腰直角三角形， ∴顶点为（b ，b ）或（b ，﹣b ）， ①当顶点为（b ，b ）时， 有：b ＝﹣b 2+2b 2， 解得b ＝0（舍去）或b ＝1 ∴y ＝﹣x 2+2x ，②当顶点为（b ，﹣b ）时， 有：﹣b ＝﹣b 2+2b 2， 解得b ＝0（舍去）或b ＝﹣1∴y＝﹣x2﹣2x，（4）∵△AOB为等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，∴△BPQ为等腰直角三角形，①y＝﹣x2+2x，设P（a，﹣a2+2a），则Q（a，0）则|﹣a2+2a|＝|2﹣a|，解得：a＝1（舍）或a＝2（舍去）或a=－1，∴P（﹣1，﹣3）；②y＝﹣x2﹣2x，同理得：P（1，3）；综上所述，点P（﹣1，﹣3）或（1，3）．强化精炼：1.（2018·逆袭卷）有这样一个问题：探究函数222xyx=+的图象与性质.下面是小强的探究过程，请补充完整：（1）函数222xyx=+的自变量x的取值范围；（2）下表是y与x的几组对应值.如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.①观察图中各点的位置发现：点A1和B1，点A2和B2，A3和B3，A4和B4均关于某点中心对称，则该点的坐标为；②小文分析函数222xyx=+的表达式发现：当x<-1时，函数的最大值为-2，则该函数图象在直线x=-1左侧的最高点的坐标为（3）画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质【答案】（1）x≠-1；（2）①（-1，-1）；②（-2，-2）；（3）见解析.【解析】解：（1）由2x+2≠0得，x≠-1；（2）①由图象知，该点坐标为：（-1，-1）；②当x=-2时，y=-2，∴图象在直线x=-1左侧的最高点的坐标为（-2，-2）；③图象见下图.函数性质：函数图象不经过第四象限；当x<-2时，y随x的增大而增大；当-2<x<-1时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大；当-1<x<0时，y随x的增大而减小.答案不唯一.2.（2019·偃师一模）如图，抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）交x轴于点A(4，0)，B(-2，0)，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式．（2）点Q 是x 轴上位于点A，B之间的一个动点，点E为线段BC上一个动点，若始终保持∠EQB=∠CAB，连接CQ，设△CQE 的面积为S，点Q的横坐标为m，求出S关于m的函数关系式，并求出当S取最大值时点Q的坐标．（3）点P 为抛物线上位于AC 上方的一个动点，过点P 作PF⊥y 轴，交直线AC 于点F，点D 的坐标为(2，0)，若O，D，F 三点中，当其中一点恰好位于另外两点的垂直平分线上时，我们把这个点叫做另外两点的“和谐点”，请判断这三点是否有“和谐点”的存在，若存在，请直接写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：(1)∵y=ax2+bx+4交x轴于点A(4，0)，B(-2，0)，∴16440 4240a ba b++=⎧⎨-+=⎩，解得：a=12-，b=1，∴抛物线的解析式为：y=12-x2+x+4.（2）y=12-x2+x+4与y轴交于点C，∴C(0,4),∵A(4，0)，B(-2，0)，设直线AC的解析式为：y=kx+n，∴4k+n=0，n=4，解得：k=－1，n=4，即直线AC的解析式：y=－x+4，同理得：直线BC的解析式为：y=2x+4，∵∠EQB=∠CAB，∴EQ∥AC，∵点Q的坐标为（m，0），设直线EQ解析式为：y=－x+m，联立：y=－x+m，y=2x+4解得：x=43m-，y=243m+，即E(43m-,243m+)，设直线EQ 交y 轴于点H ， 如下图所示，∴S =12·CH ·|x E －x Q |=()21133m --+，其中：－2<m <4， ∵13-<0，∴当m =1时，S 取最大值，此时Q 点坐标为（1,0）. （3）存在，理由如下，如下图所示，和谐点为O （0,0），D (2,0)，设F (x ，－x +4)， ①若O 是和谐点， 则OF =OD =2， 即：OF 2=OD 2=4，x 2+（－x +4）2=4，此方程无实数解，即O 不是和谐点；②若D 是和谐点， 同理：OD =DF =2，即：（2－x ）2+（－x +4）2=4， 解得：x =2或x =4（舍）， 即F (2,2)，令y =12-x 2+x +4=2，解得：x 或x =1，∴P 2)； ③若F 为和谐点，同理有：OF =DF ，即F (1,3)，令y =12x 2+x +4=3，解得：x 或x =1，即P 3),综上所述，点P 的坐标为2)，，3).3.（2019·三门峡二模）定义：在平面直角坐标系xOy 中，把从点P 出发沿纵或横方向到达点Q （至多拐一次弯）的路径长称为P ，Q 的“实际距离”．如图，若P （﹣1，1），Q （2，3），则P ，Q 的“实际距离”为5，即PS +SQ ＝5或PT +TQ ＝5．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设A ，B ，C 三个小区的坐标分别为A （3，1），B （5，﹣3），C （﹣1，﹣5），若点M 表示单车停放点，且满足M 到A ，B ，C 的“实际距离”相等，则点M 的坐标为（ ）A ．（1，﹣2）B ．（2，﹣1）C ．（12，﹣1） D ．（3，0）【答案】A ．【解析】解：设M （x ，y ），由“实际距离”的定义可知： 点M (x ，y )中，﹣1＜x ＜5，﹣5＜y ＜1， ∵M 到A ，B ，C 实际距离相等，∴|x ﹣3|+|y ﹣1|＝|x ﹣5|+|y +3|＝|x +1|+|y +5|，A ．（1，﹣2），将x =1，y =-2代入上式，满足要求，∴A 符合要求；验证B 、C 、D 不符合要求， 故答案为：A .4.（2019·开封模拟）【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．（1）如图1，△ABC 是等边三角形，点D 是边BC 下方一点，∠BDC ＝120°，探索线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系．解题思路：延长DC 到点E ，使CE ＝BD ，连接AE ，根据∠BAC +∠BDC ＝180°，可证∠ABD ＝∠ACE 易证得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是；【拓展延伸】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；【知识应用】（3）如图3，两块斜边长都为14cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ的长分别为cm．图1 图2 图3【答案】（1）DA＝DC+DB；（2）见解析；（3.【解析】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵∠BDC＝120°，∴∠ABD+∠ACD＝180°，∵∠ACE+∠ACD＝180°，∴∠ABD＝∠ACE，∴△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∵∠ABC＝60°，即∠BAD+∠DAC＝60°，∴∠DAC+∠CAE=60°，即∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DA＝DE＝DC+CE＝DC+DB，即DA＝DC+DB，（2DA＝DB+DC，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，与（1）中证法知，△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∴∠DAE＝∠BAC＝90°，∴DA2+AE2＝DE2，即2DA2＝（DB+DC）2，DA＝DB+DC；（3）连接PQ，∵MN＝14，∠QMN＝30°，∴QN＝12MN＝7，在Rt△MQN中，由勾股定理得：MQ＝由（2PQ＝QN+QMPQ＝∴PQ．5.（2019·郑州联考）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD ＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．图1 图2【答案】（1）PM=PN，PM⊥PN；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN＝12 BD，同理：PM∥CE，PM＝12 CE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∴PM＝PN，∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC，同理，∠DPM＝∠DCA，∵∠BAC＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，即PM⊥PN，（2）△PMN是等腰直角三角形，理由如下：由旋转性质得，∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，由三角形的中位线得，PM∥CE，PN∥BD，PN＝12BD，PM＝12CE，∴PM＝PN，∠DPM＝∠DCE，∠PNC＝∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，∵∠BAC＝90°，∴∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠MPN＝90°，即△PMN是等腰直角三角形；（3）由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝12 BD，∴当PM最大时（即BD最大时），△PMN面积最大，当点D在BA延长线上时，BD最大，最大为：14，此时，PM＝7，∴△PMN面积的最大值为：12PM2＝492．6.（2019·平顶山三模）已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β，（1）如图1，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，则α＝°；β＝°．（2）如图2，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，则α，β之间有什么关系式？说明理由．（3）是否存在不同于（2）中的α，β之间的关系式？若存在，请写出这个关系式（写出一种即可），说明理由；若不存在，请说明理由．图1 图2 【答案】（1）20，10；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝60°，∵AD＝AE，∠ADE＝70°，∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝40°，∴α＝∠BAD＝20°，∴∠ADC＝α+∠ABD＝80°，∴β＝∠ADC﹣∠ADE＝10°，故答案为：20，10；（2）∠ADC=α+∠B，∠ADC=∠ADE+β=∠AED+β=β+∠C+β，∴α+∠B=β+∠C+β，∵∠B=∠C，∴α＝2β；（3）存在；①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，可得：α＝2β﹣180°；②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，可得α＝180°﹣2β．7.（2019·郑州外国语模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+k与双曲线4yx=（x>0）交于点A(1,a).（1）求a，k的值；（2）已知直线l过点D(2,0)且平行于直线y=kx+k，点P(m,n)，(m>3)是直线l上一动点，过点P作坐标轴的平行线，交双曲线4yx=于点M、N，双曲线在点M、N之间的部分与线段PM、PN所围成的区域（不含边界）记为W. 横、纵坐标都是整数的点叫做整点.①当m=4时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内的整点个数正好是8个，结合图象，求m的取值范围.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵点A(1，a)在双曲线4yx上，∴a＝4.∴点A的坐标为(1，4).将A(1，4)代入y＝kx＋k，得k＝2；(2)①区域W内整点个数是3；∵直线l过点D(2，0)且平行于直线y＝2x＋2，∴直线l的解析式为y＝2x－4.当m＝4时，n＝2m－4＝4，点P的坐标为(4，4).画出图象，观察图形，可知区域W内的整点个数是3.②当2x－4＝5时，x＝4.5，此时区域W内有8个整点；结合函数图象，若区域W内的整点个数为8个，则m的取值范围为3＜m≤4.5.8.（2019·郑州外国语模拟）如图，一段抛物线y=-x2+4（-2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0、A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1选择180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1(x1，y1)，P2(x2,y2)，与线段D1D2交于点P3(x3，y3)，设x1，x2，x3均为正数，t= x1+x2+x3，则t的取值范围是（）A. 6<t≤8B. 6≤t≤8C. 10<t≤12D. 10≤t≤12【答案】D.【解析】解：旋转后的抛物线的解析式为：y=（x﹣4）2﹣4，∵设x1，x2，x3均为正数，∴点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在第四象限，由对称性可知：x1+x2=8，∵2≤x3≤4，∴10≤x1+x2+x3≤12，即10≤t≤12，故答案为：D．9.（2019·南阳二模）如图，在8×8的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y轴的抛物线与网格对角线OM 的两个交点为A，B，其顶点为C，如果△ABC 是该抛物线的内接格点三角形，且A B=，点A，B，C 的横坐标x A，x B，x C 满足x A＜x C ＜x B，那么符合上述条件的抛物线的条数是．【答案】10.【解析】解：若抛物线开口朝下，当A(0,0)时，由AB=得：B(3,3)，此时C（2,4），抛物线的解析式为：y=-x2+4x，该函数图象每向右平移1个单位，向上平移1个单位可得到一条抛物线，可平移4次，即有5条抛物线；同理，开口朝上的抛物线有5条，综上所述，共有10条抛物线符合要求.10.（2017•禹州市二模）有这样一个问题：探究函数y=12x2+1x的图象与性质，小东根据学习函数的经验，对函数y=12x2+1x的图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）下表是y与x的几组对应值．x…﹣3 ﹣2 ﹣112-13-13121 2 3 …y (25)63212-158-5318-55181783252m…函数y=12x2+1x的自变量x的取值范围是，m的值为；（2）在如图所示的平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并画出该函数的大致图象；（3）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有个交点，所以对应方程12x2+1x=0有个实数根；②方程12x2+1x=2有个实数根；③结合函数的图象，写出该函数的一条性质．【答案】（1）x≠0，296；（2）见解析.（3）1；1；3；函数没有最大值；这个函数没有最小值；函数图象不经过第四象限；当x<0时，y随x的增大而减小.【解析】解：（1）由题意：x≠0，m=296．（2）函数图象如图所示．（3）①由图象可知与x轴有一个交点，方程12x2+1x=0有一个实数根．故答案为：1，1．②观察图象可知，方程12x2+1x=2有3个实数根，故答案为：3．③函数性质：函数没有最大值；函数没有最小值；函数图象不经过第四象限等，答案不唯一．。
20种排列组合常见模型 专题18 环排问题(解析版)
专题18 环排问题例1．7颗颜色不同的珠子，可穿成种不同的珠子圈．【解析】因为由于环状排列没有首尾之分，将n个元素围成的环状排列剪开看成n个元素排成一排，即共有nnA种排法．由于n个元素共有n种不同的剪法，则环状排列共有nnAn种排法，而珠子圈没有反正，故7颗颜色不同的珠子，可穿成7736027A=⨯种不同的珠子圈．故答案为：360．例2．6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？【解析】因为由于环状排列没有首尾之分，将n个元素围成的环状排列剪开看成n个元素排成一排，即共有nnA种种排法．由于n个元素共有n种不同的剪法，则环状排列共有有nnAn种种排法，而钻石圈没有反正，故6颗颜色不同的钻石，可穿成666062A=⨯种不同的钻石圈．例3．有5个匣子，每个匣子有一把钥匙，并且钥匙不能通用，如果在每一个匣子内各放入一把钥匙，然后把匣子全部锁上，要求砸开一个匣子后，能继续用钥匙打开其余4个匣子，那么钥匙的放法有种．【解析】在砸开的匣子中必放有另一个匣子1i的钥匙，在匣子1i中又放有匣子2i的钥匙，在匣子2i中放有匣子3i的钥匙，在匣子3i中放有匣子4i的钥匙，在匣子4i中放有被砸开的匣子的钥匙．记这个砸开的匣子为is．这就相当于1，2，3，4，5形成一个环状排列，反过来，对由1，2，3，4，5排成的每一种环状排列，也就可以对应成一种相继打开各个匣子的一种放钥匙的方法．先让5个匣子沿着圆环对号入座，再在每个匣子中放入其下方的匣子的钥匙（如图），这就得到种相继打开各个匣子的放钥匙的方法．所以，可使所有匣子相继打开的放钥匙的方法数恰与1，2，3，4，5的环状排列数相等，由于每个环状排列（如图）可以剪开拉直为5个排列：1i ，2i ，3i ，4i ，5i ；2i ，3i ，4i ，5i ，1i ；3i ，4i ，5i ，1i ，2i ；4i ，5i ，1i ，2i ，3i ；5i ，1i ，2i ，3i ，4i ；反之，5个这样的排列对应着一个环状排列，因而5个元素的环状排列数为：4!24=（种) 一般地，n 个元素的环状排列数为(1)!n -种 故答案为：24例4. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?【解析】围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人44A 并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！例5．A ，B ，C ，D ，E ，F 六人围坐在一张圆桌周围开会，A 是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B ，C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（ ） A ．60种 B ．48种 C ．30种 D ．24种【解析】首先，A 是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，考虑B 、C 两人的情况，只能选择相邻的两个座位，位置可以互换， 根据排列数的计算公式，得到，224A ，接下来，考虑其余三人的情况，其余位置可以互换，可得33A 种，最后根据分步计数原理，得到23234A A 48⨯⨯=种， 故选 B.HFD A B C DE AB E GH G F例6．现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有____种．（用数字作答）【解析】先按排甲，其选座方法有14C种，由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有22A种，所以共有坐法种数为1242428C A⋅=⨯=种．故答案为8．例7．8人围圆桌开会，其中正、副组长各1人，记录员1人.(1)若正、副组长相邻而坐，有多少种坐法？(2)若记录员坐于正、副组长之间，有多少种坐法？【解析】(1)正、副组长相邻而坐，可将此2人当作1人看，即7人围一圆桌，有(7－1)！＝6！种坐法，又因为正、副组长2人可换位，有2！种坐法．故所求坐法为(7－1)！×2！＝1440种．(2)记录员坐在正、副组长中间，可将此3人视作1人，即6人围一圆桌，有(6－1)！＝5！种坐法，又因为正、副组长2人可以换位，有2！种坐法，故所求坐法为5！×2！＝240种．。
2024年中考数学常见几何模型全归纳(全国通用)专题18 全等与相似模型之十字模型(解析版)
是解题的关键．
例 3．（2023 安徽省芜湖市九年级期中）如图，正方形 ABCD 中，点 E、F、H 分别是 AB、BC、CD 的中 点， CE、DF 交于 G，连接 AG、HG ．下列结论：① CE DF ；② AG DG ；③ CHG DAG ； ④ 2HG AD ．正确的有（ ）
A．1 个
在正方形 ABCD 中，AD∥BC，∠D=90°，CD⊥BC， ∴∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠APQ，∴∠APQ=∠PQM，∴∠PQM=∠APQ=∠AED， ∵PM⊥BC，∴PM=AD，∵∠D=∠PMQ=90°，∴△PQM≌△ADE，∴PQ=AE，
在 Rt△ADE 中， DE 5 ，AD=12，由勾股定理得： AE 52 122 13 ， ∴PQ=13．故选：A．
专题 18 全等与相似模型之十字模型
几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几 何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生 更好地理解和掌握。 模型 1.正方形的十字架模型（全等模型） “十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的 “十字形”，由此产生了两组相等的锐角 及一组全等的三角形。 1）如图 1，在正方形 ABCD 中，若 E、F 分别是 BC、CD 上的点，AE⊥BF；则 AE=BF。
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，Байду номын сангаас到△PQM≌△ADE 是解
题的关键．
例 2．（2023 年辽宁省丹东市中考数学真题）如图，在正方形 ABCD 中， AB 12 ，点 E，F 分别在边 BC ，
CD 上， AE 与 BF 相交于点 G，若 BE CF 5 ，则 BG 的长为
初中物理知识点专项专题18 电阻的特殊测量方法(解析版)
专题18 电阻的特殊测量方法类型一利用电压表和已知电阻R0测量未知电阻Rx1．在用伏安法测未知电阻R x时，如果缺少电流表或电压表，可以通过增加一个定值电阻R1和开关来解决，下面的四种方案中哪一个是错误的（）A．B．C．D．【解析】A、当开关S1、S2闭合时，R1被短路，电压表的示数等于电源电压；再断开开关S2时，电压表测量R x两端的电压，则可计算出R1两端的电压，即可计算出电路中的电流，从而可计算出被测电阻的阻值，A能测出，不符合题意；B、电压表串联在电路中，其示数始终等于电源电压，不可知被测电阻的电压和电流，不能测出其阻值，B符合题意；C、只闭合S2可测出通过被测电阻的电流，两个开关都闭合，可测出干路电流，则可计算出R1的电流，由U＝IR可得R1两端的电压，根据并联电路各支路两端电压相等的关系可得被测电阻两端的电压，从而计算出待测电阻的阻值，故C能测出，不符合题意；D、当S1闭合，S2断开时，电流表测出通过R1的电流，由U＝IR可计算出电源电压；当两开关都闭合时，两电阻并联，电流表测干路电流，则可根据并联电路的电流规律计算出通过R x的电流，从而计算出R x的阻值，故D能测出，不符合题意。
故选：B。
2．某同学利用如图所示的电路来测量一未知电阻R x。
（1）请用笔画线代替导线，将如图甲中实物电路连接完整；（2）闭合开关后，当滑动电阻器的滑片向左移动到某一位置时，电压表的示数为 1.2V，电流表的示数如图乙所示，则I＝A，R x＝Ω；（3）该同学又设计了如图丙所示的测量电路，同样可以测量未知电阻R x，其中R0是定值电阻，请在空格内把实验步骤补充完整。
①闭合S、S1，用电压表测出电源的电压为U；②，用电压表测出待测电阻R x两端的电压为U1；③请用测量值U和U1，已知量R0来表示R x＝。
【解析】（1）闭合开关前，滑动变阻器的滑片应置于最大值处，本实验中滑动变阻器应串联入电路中，所以滑动变阻器的右下接线柱与开关的右接线柱相连即可，如下图所示：（2）由图乙可知，电流表的量程为0～0.6A，分度值为0.02A，则I＝0.3A，由I＝可得，R x＝＝＝4Ω；（3）实验步骤：①闭合开关S、S1，用电压表测出电源的电压U；②闭合开关S、断开S1，用电压表测出待测电阻R x两端的电压为U1；③因串联电路中总电压等于各分电压之和，所以，R0两端的电压：U0＝U﹣U x＝U﹣U1，因串联电路中各处的电流相等，所以，I＝＝，即＝，解得：R x＝。
培优专题18 分式方程应用题的常见类型-解析版
专题18 分式方程应用题的常见类型◎类型一：工程问题1．（2022·四川成都·八年级期末）某车间加工1300个零件后，采用了新工艺，工效提升了30%，这样加工同样多的零件就少用10小时．若设采用新工艺前每小时加工x 个零件，则可列方程为（ ）A ．()1300130010130%x x -=-B ．()1300130010130%x x -=+C ．()1300130010130%x x -=-D ．()1300130010130%x x -=+2．（2022·浙江湖州·七年级期末）某帐篷生产企业承接生产7000顶帐篷的任务，原计划每天生产x 顶，但后因帐篷急需，该企业加大生产投入，提高生产效率，实际每天生产数量提高到原计划的1.4倍，结果提前4天完成任务．根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A ．7000700041.4x x x -=+B ．7000700041.4x x =-C ．7000700041.4x x x -=+D ．7000700041.4x x-=【答案】D3．（2022·甘肃·武威第九中学八年级期末）建筑公司修建一条400米长的道路，开工后每天比原计划多修10米，结果提前2天完成了任务．如果设建筑公司实际每天修x米，那么可得方程是________．4．（2022·江苏泰州·八年级期末）为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数比原计划多50%，结果提前4天完成任务，设原计划每天植树x 棵，根据题意列出方程________．5．（2022·河南信阳·八年级期末）在学习“分式方程应用”时，张老师板书了如下的问题，小明和小亮两名同学都列出了对应的方程．15.3分式方程例：有甲乙两个工程队，甲队修路800m与乙队修路1200m所用时间相等，乙队每天比甲队多修40m，求甲队每天修路的长度小明：800120040x x=+小亮：120080040y y-=根据以上信息，解答下列问题：(1)小明同学所列方程中x表示______，列方程所依据的等量关系是________________________________；小亮同学所列方程中y表示______，列方程所依据的等量关系是________________________________；(2)请你在两个方程中任选一个，解答老师的例题．6．（2022·福建·莆田二中八年级期末）甲、乙两个工程队计划修建一条长15千米的乡村公路，已知甲工程队每天比乙工程队每天多修路0.5千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍．求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？【答案】甲每天修路1.5千米，则乙每天修路1千米【分析】可设甲每天修路x千米，则乙每天修路（x-0.5）千米，则可表示出修路所用的时间，可列分式方程，求解即可；【详解】解：设甲每天修路x千米，则乙每天修路（x﹣0.5）千米，◎类型二：行程问题（1）基本数量关系：路程=速度×时间（2）常见应用题中的等量关系：①同一路程慢速－同一路程快速＝时间差②顺水速度=船的速度+水速 逆水速度=船的速度-水速③一段路程原计划按甲速度行驶完，但行驶途中速度变为乙速度，则：全部路程甲速度＝原计划时间，甲速度行驶路程＋乙速度行驶路程＝全部路程，全部路程甲速度－甲速度行驶路程甲速度－乙速度行驶路程乙速度＝时间差7．（2022·浙江金华·七年级期末）某校组织七年级同学乘坐大巴到金华万福塔开展社会实践活动．该塔距离学校5千米．1号车出发4分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达．已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.5倍，求2号车的平均速度．设1号车的平均速度为x km/h ，可列方程为 （ ）A ．5541.5x x -=B ．5541.5x x -=C ．5541.560x x -=D ．5541.560x x -=8．（2022·辽宁朝阳·中考真题）八年一班学生周末乘车去红色教育基地参观学习，基地距学校60km ，一部分学生乘慢车先行，出发30min后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车每小时行驶x km，根据题意，所列方程正确的是（ ）A．60x﹣601.5x＝3060B．601.5x﹣60x＝3060C．60x﹣601.5x＝30D．601.5x﹣60x＝309．（2022·山西·寿阳县教研室九年级期末）斑马线前“礼让行人”，不仅体现着对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段“A﹣B﹣C”横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝12米，在绿灯亮时，小敏共用20秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB速度的1.5倍，求小敏通过AB时的速度．设小敏通过AB时的速度是x米/秒，根据题意列方程为____．10．（2022·浙江浙江·二模）某班同学到距学校12千米的森林公园植树，一部分同学骑自行车先行，半小时后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车和汽车的速度．设自行车的速度为x千米/时，则根据题意可列方程为________．11．（2022·辽宁沈阳·一模）小明家距学校980m．(1)若他从家跑步上学，路上时间不超过490s，请直接写出小明跑步的平均速度至少为______m/s．(2)若他从家出发，先步行了350m后，发现上学要迟到了，因此换骑上了共享单车，达到学校时，全程共花了480s．已知小明骑共享单车的平均速度是步行平均速度的3倍，求小明骑共享单车的平均速度是多少？（转换出行方式时，所需时间忽略不计，假设家到学校随时都有共享单车）．【点睛】本题考查实际运用题的求解，熟练掌握解实际应用题的步骤“设、列、解、答”，读懂题意，找到等量关系列出方程是解决问题的关键．12．（2022·山东潍坊·八年级期末）甲、乙两列高铁列车在不同的时刻分别从北京出发开往上海．已知北京到上海的距离约为1320千米，列车甲行驶的平均速度为列车乙行驶平均速度的43倍，全程运行时间比列车乙少1.5小时，求列车甲从北京到上海运行的时间．◎类型三：打折销售问题总售价=单价×销售量总利润=单价利润×销售量=总售价-总成本1--%100成本售价成本成本售价成本利润利润率==⨯=利润率售价成本+=1利润=成本×利润率=售价-成本价（进价）售价=成本×(1+利润率)=标价×打折数(不打折时，售价=标价)=成本价+利润=成本价×(1+利润率)标价=成本价×(1+提高成数)成本价=售价-利润13．（2022·安徽合肥·七年级期末）母亲节前夕，某花店购进若干束花，很快售完，接着又在原总进价的基础上增加12.5%购进第二批花．已知第二批所购花束数是第一批所购花束数的1.5倍，且每束花的进价比第一批的进价少8元，设第一批花束每束的进价为x 元，依据题意可得方程（ ）A ．1.5112.5%8x x +=-B ．1.512.5%8x x =-C ．1112.5%81.5x x+-=D ．112.5%181.5x x +-=14．（2022·内蒙古巴彦淖尔·八年级期末）某图书馆计划选购甲、乙两种图书，已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．求甲、乙两种图书每本价格分别为多少元，我们设乙图书每本价格为x 元，则可得方程（ ）A ．8008002.5x x -＝4B ．8008002.5x x -＝24C ．800 2.5800x x ⨯-＝24D ．800800 2.5x x⨯-＝24故答案为A．【点睛】本题主要考查了列分式方程，正确理解等量关系是解答本题的关键．15．（2022·贵州铜仁·八年级期末）为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液．求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？设乙种消毒液零售价x元/桶，则可立方程为：________．16．（2022·辽宁·沈阳市第七中学八年级阶段练习）某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求．商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了5元．商厦销售这种衬衫时每件定价都是60元，最后剩下200件按7折销售，很快售完．在这两笔生意中，商厦共盈利______元．2760000840080000176000=+--=（元）28400∴在这两笔生意中，商厦共盈利28400元．故答案为：28400．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．17．（2022·山东·济南市天桥区泺口实验学校八年级期中）购买甲、乙两种物品，已知乙种物品的单价比甲种物品的单价贵10元，用480元购买乙种物品的数量与用360元购买甲种物品的数量相同，求甲、乙两种物品的单价各是多少元？18．（2022·甘肃·民勤县第六中学八年级期末）列方程解应用题：某商店用2000元购进一批小学生书包，出售后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了2元，结果购买第二批书包用了6600元．(1)请求出第一批每只书包的进价；(2)该商店第一批和第二批分别购进了多少只书包；(3)若商店销售这两批书包时，每个售价都是30元，全部售出后，商店共盈利多少元？【答案】(1)20元(2)第一批购进100只，第二批购进300只(3)3400元【分析】（1）设第一批书包的单价为x元，然后可得到第二批书包的单价，最后依据第二所购书包的数量◎类型四：方案选择问题19．（2022·辽宁沈阳·八年级期末）某校组织540名学生去外地参观，现有A，B两种不同型号的客车可供选择．在每辆车刚好满座的前提下，每辆B型客车比每辆A型客车多坐15人，单独选择B型客车比单独选择A型客车少租6辆．设A型客车每辆坐x人，根据题意可列方程（ ）A．54015x-﹣540x=6B．540x﹣54015x+=6C．54015x+﹣540x=6D．540x﹣54015x-=620．（2013·山东泰安·九年级期末）小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意得A．B．C．D．21．（2020·黑龙江哈尔滨·二模）为了配合新型冠状病毒的防控工作，某社区欲购进一批酒精对社区进行消毒，现有A、B 两种酒精可供选择，B 种酒精比 A 种酒精每瓶贵 2 元，用600 元购买 A 种酒精和用800 元购买B 种酒精的数量相同，现要求出A、B 两种酒精每瓶的价格.设A 种酒精每瓶的价格为x 元，则可列方程为__________．22．（2019·浙江温州·中考模拟）某校组织1080名学生去外地参观，现有A、B两种不同型号的客车可供选择．每辆B型客车的载客量比每辆A型客车多坐15人，若只选择B型客车比只选择A型客车少租12辆（每辆客车均坐满）．设B型客车每辆坐x人，则列方程为_____．23．（2022·江苏·扬州市江都区第三中学八年级阶段练习）某公司有960件新产品需经加工后才能投放市场，现有甲、乙两家工厂都想加工加工这批产品．已知甲工厂单独完成这批产品比乙工厂单独完成这批产品多用20天，而甲工厂每天加工数量是乙工厂每天加工的数量的23，公司需付甲工厂加工费每天80元，需付乙工厂加工费每天120元．(1)甲、乙两工厂每天能加工多少件新产品？(2)公司制定的方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以有两个厂家合作完成．在加工过程中，公司派一名工程师进行技术指导，并担负每天25元的午餐补助，请帮公司需出一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．16a+24a＝960∴a＝24∴需要的总费用为：24×（80+120+25）＝5400元综上所述：甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解．需要注意：①分式方程求解后，应注意检验其结果是否符合题意；②选择最优方案时，需将求各个方案所需时间和所需费用，经过比较后选择最优的那个方案．24．（2022·浙江舟山·七年级期末）舟山市疫情防控工作领导小组在5月30日发布了常态化核酸检测工作的通知，6月3日起我市居民进入公共场所须凭7天内核酸采样或检测阴性证明．根据文件要求，学生在校期间每周要组织核酸检测一次，某校积极响应，安排校医甲和教师乙进行核酸采集培训．经过培训后，甲采集的速度是乙的两倍，且甲采集52人用时比乙采集30人用时少2分钟．(1)求甲、乙平均每分钟分别采集多少人？(2)该校七年级学生人数比八年级少18人，其中七年级有7个班，每班m人，8八年级有6个班，每班n 人，两名采集员各自用了87分钟完成了七、八年级学生核酸采集工作，求m和n的值；(3)该校教职工70人完成核酸采集后要放入10人试管或20人试管中，在保证每个试管不浪费情况下，有哪几种分装方案？【答案】(1)甲平均每分钟采集4人，乙平均每分钟采集2人；(2)3645 mn=ìí=î(3)有4种方案：①5个10人试管，1个20人试管；②3个10人试管，2个20人试管；③1个10人试管，3个20人试管；④7个10人试管，0个20人试管．【分析】（1）可设乙速度为平均每分钟采集x人，甲为2x人，根据所用的时间可列出方程，解方程即可；（2）根据题意列出关于m，n的二元一次方程组，解方程组即可；（3）设10人试管有x个，20人试管有y个，从而得到10x+20y=70，根据x与y都是正整数，从而可求解．（1）解：设乙速度为平均每分钟采集x人，则甲为每分钟采集2x人，。
专题18 整体法与隔离法处理连接体问题(解析版)—2023届高三物理一轮复习重难点突破
专题18整体法与隔离法处理连接体问题1.连接体的类型1)直接接触的连接体2)通过弹簧或轻绳相连的连接体轻绳在伸直状态下，两端的连接体沿绳方向的速度总是相等。
轻弹簧在发生形变的过程中，两端连接体的速度不一定相等；弹簧形变量最大时两端连接体速率相等。
2.处理连接体问题的方法1)整体法:如果连接体各物体的加速度相同，可以把系统内的所有物体看成一个整体，用牛顿第二定律对整体列方程求解。
隔离法:如果求系统内物体间的相互作用力，常把某个物体（一般选取受力简单的物体）从系统中隔离出来，用牛顿第二定律对隔离出来的物体列方程求解。
2)加速度大小相等，方向不同的连接体：如下图，跨过定滑轮的细绳相连的两个物体不在同一直线上运动，虽然加速度方向不同但加速度大小相等，这类问题也可采用整体法和隔离法求解．3)连接体问题一般采用先整体后隔离的方法，也可以采用分别隔离不同的物体再联立的方法。
考点一力的分配规律如下图三种情况，m 1和m 2在力F 作用下以大小相同的加速度一起运动，则两物体间的弹力根据质量大小分配，且F 弹＝m 2m 1＋m 2F .1．如图所示，质量为3的物块A 与水平地面间的动摩擦因数为，质量为m 的物块B 与地面的摩擦不计，在大小为F 的水平推力作用下，A、B 一起向右做加速运动，则A 和B 之间的作用力大小为（）。
A．K3B4B．4C．K4B4D．B 4【答案】A 【解析】以A、B 整体为研究对象，由牛顿第二定律可得整体的加速度为=KH3B 3r=K3B 4以B 为研究对象，由牛顿第二定律可得A 对B 的作用力AB =B =K3B4A 正确，BCD 错误。
2.如图所示，质量分别为2m 和3m 的两个小球静止于光滑水平面上，且固定在劲度系数为k 的轻质弹簧的两端。
今在质量为2m 的小球上沿弹簧轴线方向施加大小为F 的水平拉力，使两球一起做匀加速直线运动，则稳定后弹簧的伸长量为()A.F 5kB.2F 5kC.3F 5kD.F k【答案】C 【解析】对整体分析，整体的加速度a ＝F5m，对质量为3m 的小球分析，根据牛顿第二定律有F 弹＝kx ＝3ma ，可得x＝3F5k，故A、B、D 错误，C 正确。
专题18 恒成立问题-最值分析法(解析版)
专题18 恒成立问题-最值分析法【热点聚焦与扩展】不等式恒成立问题常见处理方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在 上方即可)；③ 最值法：讨论最值或恒成立；④ 讨论参数. 最值法求解恒成立问题是三种方法中最为复杂的一种，但往往会用在解决导数综合题目中的恒成立问题.此方法考查学生对所给函数的性质的了解，以及对含参问题分类讨论的基本功.是函数与导数中的难点问题，下面通过典型例题总结此类问题的解法----最值分析法. 1、最值法的特点：（1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参（2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经历分类讨论2、理论基础：设的定义域为（1）若，均有（其中为常数），则 （2）若，均有（其中为常数），则 3、技巧与方法：（1）最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作：① 观察函数的零点是否便于猜出（注意边界点的值） ② 缩小参数与自变量的范围：通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围（便于单调性分析）观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围（2）首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性.如果所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号.（3）在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点()a f x ≥()max a f x ≥()a f x ≤()min a f x ≤()y f x =()y g x =()min 0f x ≥()max 0f x ≤()f x D x D ∀∈()f x C ≤C ()max f x C ≤x D ∀∈()f x C ≥C ()min f x C ≥()f x的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内【经典例题】例1．（2020·安徽高三三模）已知函数21()(1)()2xf x m x e x m R =-+∈，其导函数为()f x '，若对任意的0x <，不等式()()21x m x f x '++>恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．（0，1）B ．(),0-∞C ．(],1-∞D ．()1,+∞【答案】C【解析】由题意得()()1xxxf x me m x e x mxe x '=+-+=+，所以()()21x m x f x '++>对任意的0x <恒成立等价于()21xmxe x x m x +<++对任意的0x <恒成立，即0x me x m -->对任意的0x <恒成立.令()()0xg x me x m x =--<，则()1xg x me '=-，当1m 时，()110xxg x me e '=-≤-<，则()g x 在(),0-∞上单调递减，所以()()00g x g >=，符合题意；当1m 时()g x 在(),lnm -∞-上单调递减，在()ln ,0m -上单调递增， 所以()()()min ln 00g x g m g =-<=，不合题意. 所以实数m 的取值范围为(],1-∞. 故选：C例2．（2020·柳州高级中学高三三模）如果关于x 的不等式x 3﹣ax 2+1≥0在[﹣1，1]恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤0B ．a ≤lC ．a ≤2D ．a 2≤ 【答案】A【解析】当0x =时，不等式成立，a R ∈当0x ≠时 关于x 的不等式x 3﹣ax 2+1≥0在[)(]1,00,1x ∈-恒成立，即21a x x ≤+在[)(]1,00,1x ∈-恒成立，令()21g x x x =+，()1332102g x x x'=-=⇒=，当[)1,0x ∈-时，()0g x '>，当(]0,1x ∈时，()0g x '<. 所以()g x 在[)1,0-递增，在(]0,1递减 当[)1,0x ∈-时，()()min 10g x g =-= 当(]0,1x ∈时，()()min 12g x g == 所以()g x 的最小值为0. 所以0a ≤ 故选：A例3．（2020·河南平顶山·高三三模）已知函数()()–ln 1f x x x =+对[0,)x ∈+∞有()2f x kx ≤成立，则k的最小值为（ ） A ．1 B ．12C ．eD ．2e 【答案】B【解析】由题意，函数()()–ln 1f x x x =+对[0,)x ∈+∞有()2f x kx ≤成立，当0k ≤时，取1x =时，可得()11ln 20f =->，所以0k ≤不符合题意，舍去； 当0k >时，令()()22ln(1)g x f x kx x x kx =-=-+-，则()1[2(12)]1211x kx k g x kx x x -⋅--'=--=++， 令()0g x '=，可得10x =或21212kx k-=>-， （1）当12k ≥时，则1202k k-≤，则()0g x '<在[0,)+∞上恒成立， 因此()g x 在[0,)+∞单调减，从而对任意[0,)x ∈+∞，总有()()00g x g ≤=， 即对任意[0,)x ∈+∞，都有()2f x kx ≤成立，所以12k ≥符合题意； （2）当102k <<时，1202k k->，对于()12(0,),02k x g x k -'∈>，因此()g x 在12(0,)2k k -内单调递增， 所以当12(0,)2kx k-∈时，()()000g x g ≥=，即存在()200f x kx ≤不成立，所以102k <<不符合题意，舍去， 综上可得，实数k 的取值范围是12k ≥，即实数k 的最小值为12． 故选：B ．例4．（2020·定远县育才学校高三三模）已知函数()ln 2f x a x x =-，若不等式()()1xf x f e+>在()1,x ∈+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．2a ≤B ．2a ≥C ．0a ≤D ．02a ≤≤【答案】A【解析】设()1,xg x e x =--则()'1xg x e =-，当0x >时()0110x g x e e =->-='，所以()1xg x e x =--在()0,∞+上递增，得()()00010,g x g e >=--=所以当0x >时，11x x e <+<恒成立. 若不等式()()1xf x f e+>在()1,x ∈+∞上恒成立，得函数()f x 在()1,+∞上递减，即当1x >时，()'0f x ≤恒成立，所以()20af x x-'=≤ 即2ax≤，可得2(1)a x x ≤>恒成立，因为22x >,所以2a ≤， 故选A ．例5．（2020·全国高三三模）不等式x x e e ax -->对于任意正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是______． 【答案】(],2-∞【解析】由不等式x x e e ax -->对于任意正实数x 恒成立， 令()()0xxf x e eax x -=-->，求导得()x x f x e e a -'=+-，因为2x x e e -+>，所以按a 与2比较分类讨论：当2a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 在区间()0,∞+上是增函数， 又()00f =，所以()0f x >．当2a >时，因为()f x '是增函数，所以()0f x '=有唯一正数解，设为0x ， 所以在区间()00,x 上，()0f x '<，()f x 是减函数，所以在()00,x 上，()()00f x f <=，不合题意． 综上所述，实数a 的取值范围是(],2-∞．例6．（2020·宁夏银川一中三模）对于任意实数12,x x ，当120x x e <<<时，有122121ln ln x x x x ax ax ->-恒成立，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】0a ≤【解析】当120x x e <<<时， 122121ln ln x x x x ax ax ->-恒成立等价于2121ln ln x a x ax x ++>恒成立，等价于ln ()x ag x x+=在(0,)e 上单调递增， 所以221ln 1ln ()0x x ax a x g x x x ⋅----'==≥在(0,)e 上恒成立，所以1ln a x ≤-在(0,)e 上恒成立， 因为当(0,)x e ∈时，1ln 1ln 0x e -≥-=， 所以0a ≤.故答案为：0a ≤.例7．（2020·江苏南京·高三三模）若对任意a ∈[e ，+∞)（e 为自然对数的底数），不等式e ax b x +≤对任意x ∈R 恒成立，则实数b 的取值范围为_______． 【答案】[﹣2，+∞)【解析】当0x ≤时，显然成立，b R ∈；当0x >时，[,)a e ∀∈+∞，ln ln +≤⇒≤+⇒≥-ax b x e x ax b b x ex 令()=ln -f x x ex ，则1()exf x x-'=， 易知：当10x e<<时，()0f x '>，()f x 递增， 当1x e>时，()0f x '<，()f x 递减， ∴max 1()()2f x f e==-，故2b ≥-； 综上，实数b 的取值范围为[﹣2，+∞)． 故答案为：[﹣2，+∞)．例8．（2020·河南南阳中学高三三模）已知函数2()ln af x x x x=--，()22x g x =-，若对x R ∀∈，总有()0f x <或()0<g x 成立，则实数a 的取值范围为________.【答案】1a >-【解析】由()220xg x =-<，得1x <， 故依题只须对任意1x ，()0f x <恒成立，233alnx x xlnx a x a xlnx x x-<∴-<∴>-，其中[1x ∈，)+∞， ∴只须3()max a xlnx x >-．令3()h x xlnx x =-，2()13h x lnx x '=+-，h '（1）2=-， 2116()60x h x x x x-''=-=<，()h x ∴'在(1,)+∞单调递减，()h x h ∴'<'（1）0,()h x <∴在[1，)+∞单调递减， ()h x h ∴<（1）1=-，1a ∴>-．故答案为：1a >-【精选精练】1．（2020·重庆高三三模）已知函数2()3ln f x x ax bx =-++（0a >，b R ∈），若对任意0x >都有()(3)f x f ≥成立，则（ ）A ．ln 1a b >--B ．ln 1a b ≥--C ．ln 1a b ≤--D ．ln 1a b <--【答案】D【解析】若对任意0x >都有()()3f x f ≥成立，则说明函数在3x =时取得最小值.对函数()f x 求导得()32f x ax b x+'=-+，则应满足()30f '=，即61b a =-+，构造函数()()()ln 1ln 62g a a b a a =---=--，则()1166a g x a a '-=-=，当1(0,)6a ∈时，()0g a '>，函数()g a 递增，当1(,1)6a ∈时，()0g a '<，函数()g a 递减，所以当16a =时，函数()g a 取得最大值为11()ln 11ln 6066g =+=-<，所以()0g a <恒成立，即ln 62a a <-，ln 1a b <--恒成立，故选 D. 2．（2020·河北邢台·高三三模）若函数()2xf x emx m =+-在[]0,1上为减函数，则m 的取值范围为（ ）A ．(],1-∞-B ．(],2-∞-C ．(2,e ⎤-∞-⎦D ．(2,2e ⎤-∞-⎦【答案】D 【解析】()2x f x e mx m =+-，()22x f x e m '∴=+.由于函数()2xf x emx m =+-在[]0,1上为减函数，则不等式()0f x '≤在区间[]0,1上恒成立，且函数()y f x '=在区间[]0,1上单调递增，所以，()()2max 120f x f e m ''==+≤，解得22m e ≤-.因此，实数m 的取值范围是(2,2e ⎤-∞-⎦.故选：D.3．（2020·青海西宁·高三三模）若不等式2xln x≥－x 2＋ax －3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)B ．(－∞，4]C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)【答案】B【解析】由题意22ln 3x x x ax ≥-+-对()0,x ∈+∞上恒成立，所以32ln ,0ax x x x≤++>在()0,x ∈+∞上恒成立，设32ln ,0y x x x x =++>，则22223231x x y x x x+-=+-=， 由0y '=，得123,1x x =-=，当()0,1∈x 时，0y '<，当()1,∈+∞x 时，0y '>，所以1x =时，min 1034y =++=，所以4a ≤，即实数a 的取值范围是(],4-∞.4．（2020·河南三模）已知函数()12ln x f x x x e -=--，若不等式()1f x m <-对任意()1,x ∈+∞恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[),e +∞ B ．(),e +∞C ．[)2,+∞D ．()2,+∞【答案】C【解析】因为不等式()1f x m <-对任意()1,x ∈+∞恒成立， 所以121ln x m x x e ->+--对任意()1,x ∈+∞恒成立， 设()121ln x g x x x e-=+--，1x >，则()112x g x e x-'=--. 设()112x h x e x -=--，则()121x h x e x-'=-，因为()h x '在()1,x ∈+∞上单调递减， 所以()()10h x h ''<=，则()g x '在()1,x ∈+∞上单调递减， 所以()()10g x g ''<=，所以()g x 在()1,x ∈+∞上单调递减， 所以()()12g x g <=， 解得2m ≥，所以m 的取值范围是[)2,+∞. 故选：C5．（2020·四川省泸县第四中学高三三模）若对任意()0,x ∈+∞，2ln 2x xe x x a ->+恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(),2ln 2-∞- B ．(),ln 2-∞C ．(),22ln 2-∞-D ．(),22ln 2-∞+【答案】C【解析】设()2ln 2xf x xe x x =--，则()f x a >对任意()0,x ∈+∞恒成立，设ln t x x =+，则t R ∈，且()2tf x e t =-，设()2tg t e t =-，则()2tg t e '=-，所以()g t 在(),ln 2-∞上是减函数，在()ln 2,+∞上是增函数， 所以()()ln 222ln 2g t g ≥=-，所以()g t 的最小值为22ln 2-，即()f x 的最小值为22ln 2-， 所以22ln 2a <-. 故选：C ．6．（2020·江苏泰州中学高三三模）若关于x 的不等式3230x x ax b -++<对任意的实数[1,3]x ∈及任意的实数[2,4]b ∈恒成立，则实数a 的取值范围是______ 【答案】(,2)-∞-【解析】关于x 的不等式3230x x ax b -++<对任意的实数[1,3]x ∈及任意的实数[2,4]b ∈恒成立,等价于3234x x ax -+<-对任意的实数[1,3]x ∈恒成立，即243a x x x<-+-在[1,3]x ∈恒成立，设24()3g x x x x =-+-，则()222(2)224()23x x x g x x x x-++'=-++=， 令()0g x '>，得12x <<，令()0g x '<，得23x <<， 所以()g x 在(1,2)递增，在(2,3)递减，又4(1)2,(3)3g g =-=-， 所以min ()(1)2g x g ==-，所以2a <-，即a 的取值范围是(,2)-∞-， 故答案为：(,2)-∞-7．（2020·广东佛山一中高三三模）已知函数()ln f x x x =-，若()10f x m -+≤恒成立，则m 的取值范围为__________. 【答案】[)0,+∞ 【解析】()ln f x x x =-，则()10f x m -+≤恒成立，等价于ln 1m x x ≥-+令11()ln 1(0),'()1(0)x g x x x x g x x x x-=-+>=-=> 因此()g x 在(0,1)单调递增，在(1)+∞，单调递减， 故max ()(1)00g x g m ==∴≥故答案为：[)0,+∞8．（2020·河南南阳中学高三三模）已知函数()ln()(0)f x e x ax b a =-+->，其中e 为自然对数的底数.若不等式()0f x ≤恒成立，则ba的最小值为_________. 【答案】1e -【解析】首先0a >，11(),ae axf x a x e e x e x'---=+=<--， 由()0f x '=，得11ae x e a a-==-， ()f x 在1,e a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递增，在1,e e a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减， 所以当1x e a=-时， ()f x 取最大值111ln()ln 1f e e e a a a e a b a ae b ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭-+-+⎭--⎝=-，即ln 1b a ae ≥-+-，则ln 1(0)b a ae a a a-+-≥>有解， 令ln 1()a F a e a+=-+，2ln ()aF a a '=， 令()0F a '=，得1a =()F a 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故()F a 的最小值为1(1)F e =-.1e b a∴≥-，即ba 的最小值为1e -.故答案为：1e -.9．（2020·江苏盐城·高三三模）若对任意实数(,1]x ∈-∞，都有2121xe x ax ≤-+成立，则实数a 的值为________. 【答案】12-【解析】设2()21xe f x x ax =-+，若221x ax -+判别式2440a -≥，则2210x ax -+=有解，设一解为1x ，则1x x →时|()|f x →+∞，不满足|()|1f x ≤恒成立，则11a -<<，此时2210x ax -+>，因为()()22222(22)12(1)(21)()2121x x e x a x a e x x a f x x ax x ax ⎡⎤-+++---⎣⎦'==-+-+，①210a +<即12a <-时，函数()f x 在(21,1)a +单调递减，(0)1f =，则(21)1f a +>，即|(21)|1f a +>，不满足题意；②210a +>即12a >-时，记1,21a +较小值为0x ，则()f x 在()0,x -∞单调递增， 由(0)1f =可得()0(0)1f x f >=，即()01f x >，不满足题意；③210a +=即12a =-时，()f x 在(,0)-∞，(0,1)递减， 则()(0)1f x f ≤=，2()01xe f x x x =>++，则|()|1f x ≤成立，综上12a =-. 故答案为：12-. 10．（2020·安徽淮北·三模）已知函数()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，对于任意x ∈R 均有()()24f x g x mx +=-，若()3ln 0f x x --≥对任意()0,x ∈+∞都成立，则实数m 的取值范围是______.【答案】)2,e ⎡+∞⎣【解析】由已知得()()24f x g x mx +=-……①，所以()()()24f x g x m x -+-=--，又因为()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，所以()()24f x g x mx -+=--……②，①②联立解得()2g x =-，()f x mx =，将()f x mx =代入不等式得3ln 0mx x --≥，对任意()0,x ∈+∞都成立， 即3ln x m x x≥+，对任意()0,x ∈+∞都成立， 设()()3ln 0x h x x x x =+>，则()22231ln 2ln x x h x x x x-+'=-+=-， 令()0h x '=，解得21x e =，所以()h x 在区间210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减， 所以()h x 的最大值为22222221ln133211e h e e e e e e ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭，即2m e ≥， 所以实数m 的取值范围是)2,e ⎡+∞⎣.11．（2020·南开·天津二十五中三模）3()31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()0f x ≥成立，则a = ．【答案】4【解析】要使()0f x ≥恒成立，只要min ()0f x ≥在[]1,1x ∈-上恒成立． 22()333(1)f x ax ax =-=-'01 当0a =时，，所以min ()20f x =-<，不符合题意，舍去．02当0a <时22()333(1)0f x ax ax ==-'-<，即()f x 单调递减，min ()(1)202f x f a a ==-≥⇒≥，舍去．03当0a >时()0f x x ⇒'==①11a ⇒≥时()f x在1,⎡-⎢⎣和⎤⎥⎦上单调递增，在⎛⎝上单调递减．所以min ()min (1),f x f f ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭(1)400{410f a a f -=-+≥≥⇒⇒==-≥ ②11a >⇒<时()f x 在[]1,1x ∈-上单调递减， min ()(1)202f x f a a ==-≥⇒≥，不符合题意，舍去．综上可知a=4.12．（2020·湖南怀化·高三三模）已知函数()ln f x x x x =+，若k Z ∈，且()()2k x f x -<对任意的2x >恒成立，则k 的最大值为______．【答案】4【解析】由()ln f x x x x =+，则()()2k x f x -<对任意的2x >恒成立，即ln 2x x x k x +<-对任意的2x >恒成立，令()ln 2x x x g x x +=-，则()22ln 4(2)x x g x x -'-=-，令()2ln 4(2)h x x x x =-->，则()221x h x x x'-=-=，所以函数()h x 在(2,)+∞单调递增，因为()842ln80,(9)62ln90h h =-=-，所以方程()0h x =在(2,)+∞上存在唯一实根0x ，且满足0(8,9)x ∈，当02x x <<时，()0h x <，即()0g x '<，当0x x >时，()0h x >，即()0g x '>，所以函数()ln 2x x x g x x +=-在()02,x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，又002ln 40x x --=，所以，故0011ln 12x x +=-，所以()0000000min 001(1)ln 192()(4,)2222x x x x x g x g x x x x -+====∈--，所以实数k 的最大值为4．。
专题18 解直角三角形问题(解析版)
专题18 解直角三角形问题一、勾股定理1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。
2．勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。
，那么这个三角形是直角三角形。
3.定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理。
4.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
（例：勾股定理与勾股定理逆定理）5. 直角三角形的性质：(1)直角三角形的两锐角互余；(2)直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；(3)直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半；(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
6.直角三角形的判定：(1)有一个角等于90°的三角形是直角三角形(2) 两锐角互余的三角形是直角三角形(3)两条边的平方和等于另一边的平方的三角形是直角三角形(4)有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形二、锐角三角函数1.各种锐角三角函数的定义（1）正弦：在△ABC中，∠C=90°把锐角A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦，记作sinA＝∠A的对边斜边（2）余弦：在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的邻边与斜边比值的叫做∠A的余弦，记作cosA＝∠A的邻边斜边（3）正切：在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的对边与邻边的比值叫做∠A的正切，记作tanA＝∠A的对边∠A的邻边2.特殊值的三角函数：专题知识回顾α sin αcosαtan αcot α0° 0 1 0 不存在30° 12 32 33 345°22 22 1160° 32 12 333 90° 1不存在三、仰角、俯角、坡度概念 1．仰角：视线在水平线上方的角； 2．俯角：视线在水平线下方的角。
3．坡度(坡比)：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。
专题18 等腰、等边三角形问题(解析版)
专题18 等腰、等边三角形问题一、等腰三角形1. 定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角.2.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．3.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．4.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．5.等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.二、等边三角形1. 定义：三边都相等的三角形叫等边三角形．2. 性质性质1：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；性质2：等边三角形是轴对称图形，并且有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线。
3.判定（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；（3）有两个角是60°的三角形是等边三角形。
三、解题方法要领1.等腰（边）三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在等腰（边）三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰（边）三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。
2.常用的辅助线有：（1）作顶角的平分线、底边上的高线、中线。
（2）在三角形的中线问题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。
3.分类讨论是等腰三角形问题中常用的思想方法，在已知等腰三角形的边和角的情况下求其他三角形的边或角，要对已知的边和角进行讨论，分类的标准一般是根据边是腰还是底来分类。
历史七年级上册期末高分突破讲练复习(部编版)专题18东晋南朝时期江南地区的开发(解析版)
专题18东晋南朝时期江南地区的开发知识梳理一、东晋的兴亡1、东晋的建立：317年，司马睿建立东晋，定都建康。
2、政权特点：王与马，共天下。
3、兴盛：淝水之战后，东晋经济得到发展，江南出现“荆扬宴安，户口殷实”的景象。
4、衰落：东晋末年，政权落入武将手中。
5、灭亡：420年，东晋灭亡。
二、南朝：420——589年，出现宋、齐、梁、陈四个王朝，定都建康。
三、江南地区的开发秦汉时期，北方（黄河流域）经济发达，是全国经济重心。
魏晋时期，江南（长江流域）地区得到开发，经济发展。
★1、江南经济发展的原因：①北方人大量南迁，带来了充足的劳动力、先进的生产工具和技术②北方战乱，而南方社会比较安定。
③江南地区自然条件优越。
④南北方人民的共同努力。
2、江南地区开发的表现：（1）农业：①开垦荒地，兴修水利；②犁耕施肥，广种水稻小麦；③种桑养蚕、培植果木、种植药材，实行农业多种经营。
（2）工业：手工艺快速进步。
缫丝、织布、制瓷、冶铸、造船、造纸、制盐等都有显著的发展。
（3）商业：商业发展，城市繁荣。
建康(南京)成为最为活跃的大都市3、结果（影响）：经济重心逐渐南移。
综合练习一．选择题（共12小题）1．如图图示中应填入的政权是（）A．北魏B．西晋C．南朝D．北朝【分析】本题考查西晋统一全国的相关知识，关键是对图表信息的解读。
【解答】观察图表可知，图中应填入的政权是西晋。
266年，司马炎（晋武帝）建立西晋，都城洛阳。
280年，西晋灭吴，统一了全国。
故选：B。
2．下列各项内容来自于某历史公众号推送的一个学习资源包：①论文：《我国古代北方作物在南方的推广》②图片：《南朝青瓷莲花尊》③视频：《北民南迁与水稻生产技术的进步》④地图：《东晋形势图》由此可知，该期推送的历史专题是（）A．农业的进步B．政权的更替C．江南的开发D．贸易的发展【分析】本题考查江南地区在魏晋南北朝时期能得到开发的原因。
【解答】魏晋南北朝时期，南方战乱少，相对稳定。
2023年中考数学复习难点突破专题18 二次函数与实际问题：拱桥问题(含答案)
专题18 二次函数与实际问题：拱桥问题一、单选题1．某涵洞的截面是抛物线形状，如图所示的平面直角坐标系中，抛物线对应的函数解析式为214y x =-，当涵洞水面宽AB 为16m 时，涵洞顶点O 至水面的距离为( )A ．6m -B ．12mC ．16mD ．24m2．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ．若水面再下降1.5m ，水面宽度为（ ）m ．A ．4.5B ．C ．D ．3．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为（ ）A．B ．C ．6 D ．4．我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E ，点P ）以及点A ，点B 落上同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF ）与第2根栏杆未涂色部分（PQ ）长度相等，则EF 的长度是（ ）A ．13米B ．12米C ．25米D ．35米 5．如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔0.4m 加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部0.5m ，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（ ）A ．0.8mB ．1.6mC ．2mD ．2.2m6．有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16m ，跨度为40m ，现把它的示意图（如图）放在坐标系中，则抛物线的解析式为（ ）A ．215252y x x =+B ．18255x y x x =-+C ．251825y x x =--D ．21816255y x x =-++ 7．图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在L 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m ，水面宽为4m ．如果水面宽度为6m ，则水面下降 ( )A ．3.5 mB ．3mC ．2.5mD ．2 m8．图2是图1中拱形大桥的示意图，拱桥与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，拱桥可以近似看成抛物线y =－1? 400?（x-80）2 + 16，拱桥与桥墩AC 的交点C 恰好在水面，有AC ⊥x 轴．若OA = 10米，则桥面离水面的高度AC 为（ ）A ．16 9? 40?米B ．1?7? 4?米C ．16 7? 40?米D ．1?5? 4?米 二、解答题9．如图，某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA 为12m ，宽OB 为4m ，隧道顶端D 到路面的距离为10m ，建立如图所示的直角坐标系．（1）求该抛物线的解析式；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m ，宽为4m ，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？10．某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽AB为4m，顶部C距离地面的高度为4.4m，现有一辆货车，其装货宽度为2.4m，高度2.8米，请通过计算说明该货车能否通过此大门？11．如图，①为抛物线形拱桥，在正常水位下测得主拱宽24m，最高点离水面8m，以水平线AB为x 轴，AB的中点为原点建立直角坐标系（如图②）．（1）求抛物线的解析式；（2）桥边有一浮在水面部分高4m，最宽处为18m的何鱼餐船，试探索此船在正常水位时能否开到桥下，并说明理由．12．如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20m，水位上升4m就达到警戒线CD，这时水面宽度为12m．（1）建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；（2）若洪水到来时水位以0.1m/h的速度上升，从正常水位开始，再过几小时就能到达桥面？13．如图1，单孔拱桥的形状近似抛物线形，如图2建立所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度AB为12,m拱桥的最高点C到水面AB的距离为6m．（1）求抛物线的解析式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为10m，求水面上涨的高度﹒14．某公园草坪的防护栏形状是抛物线形，为了牢固起见，每段防护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的A B的长度．支柱，防护栏最高点距离底部0.5m（如图），求其中防护支柱1115．有一个抛物线形的单向道路隧道，隧道离地面的最大高度为4m，跨度为10m，把它放在图示平面直角坐标系中．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）通过计算说明，现有一辆宽4m，高3.2m的厢式货车能否安全通过此隧道?16．图中是抛物线形拱桥，点P处有一照明灯，水面OA宽4 m，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，已知点P的坐标为（3，32）.(1)点P与水面的距离是________m；(2)求这条抛物线的表达式；(3)当水面上升1 m后，水面的宽变为多少？17．如图所示的是一座拱桥，桥洞的拱形是抛物线的形状，当水面宽AB为12米时，桥洞顶部离水面4米，若水面上涨1米，求此时水面的宽．18．河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽6m时，水面离桥孔顶部3m.因降暴雨水位上升lm.（1）如图①，若以桥孔的最高点为原点，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式;（2）一艘装满物资的小船，露出水面的高为0.5m、宽为4m(横断面如图②).暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗?请说明理由.19．如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形.小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式.你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式.20．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥面离水面的距离为5.6米，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式．（2）如图，在对称轴右边1m处，桥洞离桥面的高是多少？21．如图是美国开发西部的标志性建筑如果把拱门看作—条抛物线，其拱高和底宽都是192米，请建立适当的平面直角坐标系，并求出该抛物线的解析式．三、填空题22．如图，平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y＝﹣13x2，桥下的水面宽AB为6m，当水位上涨2m时，水面宽CD为_____m（结果保留根号）．23．如图，有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m．把它的截面边缘的图形放在如图所示的直角坐标系中，在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是______米．24．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为211020y x =-+，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB 高为8米的点E ，F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF 是__________米．25．图1是苍南县中心湖公园里的一座彩虹桥两条抛物线型钢梁在桥面上的跨度分别为50AB =米和40CD =米（如图2所示），x 轴表示桥面，10BC =米．若两抛物线交y 轴于同一点，且它们的形状相同，则OB OC的值为__________．26．如图，一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABD 3D 1和其上方的抛物线D 1OD 3组成．若建立如图所示的直角坐标系，跨度AB =44米，∠A =45°，AC 1=4米，点D 2的坐标为（-14，-1.96），则桥架的拱高OH =________米．27．如图是抛物线拱桥,当拱顶离水面2米时，水面宽度4米，水面宽度增加2米时，水位下降_________米28．单行隧道的截面是抛物线形，且抛物线的解析式为21 3.258y x =-+，一辆车高3米，宽4米，该车________（填“能”或“不能”）通过该隧道． 29．如图，是一座拱形桥的竖直截面图，水面与截面交于AB 两点，拱顶C 到AB 的距离为4m ，AB=12m ，DE 为拱桥底部的两点，且DE ∥AB ，点E 到AB 的距离为5cm ，则DE 的长度为______________ m ．30．一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系为2116y x =-，当水面的宽度AB 为16米时，水面离桥拱顶的高度OC 为________m ．31．如图所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式是2y x =-，当水位线在AB 位置时，水面宽为12米，这时水面离桥顶的高度h 是________米．32．如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m 时，拱高为2m ，一艘木船宽2m.要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3m，那么木船的高不得超过______m.专题18 二次函数与实际问题：拱桥问题一、单选题1．某涵洞的截面是抛物线形状，如图所示的平面直角坐标系中，抛物线对应的函数解析式为214y x =-，当涵洞水面宽AB 为16m 时，涵洞顶点O 至水面的距离为( )A ．6m -B ．12mC ．16mD ．24m【答案】C【分析】根据抛物线的对称性及解析式求解．【详解】解：依题意，设A 点坐标为(8,)y -， 代入抛物线方程得：164164y =-⨯=-，即水面到桥拱顶点O 的距离为16米．故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式、图象与性质是解题关键．2．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ．若水面再下降1.5m ，水面宽度为（）m ．A．4.5B．C．D．【答案】D【分析】以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，由待定系数法求得二次函数的解析式，然后由题意得关于x的一元二次方程，解得x的值，用较大的x值减去较小的x值即可得出答案．【详解】解：如图，以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则由题意可知A（-2，0），B（2，0），C（0，2），设该抛物线的解析式为y=ax2+2，将B（2，0）代入得：0=a×4+2，解得：a=-12．∴抛物线的解析式为y=-12x2+2，∴若水面再下降1.5m，则有-1.5=-12x2+2，解得：x=±7．-（，∴水面宽度为m．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的性质是解题的关键．3．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为（）A．B．C．6D．【答案】A【分析】y=-代入解析式结合已知条件先建立适当的坐标系，然后设出解析式，利用点的坐标求得解析式，再将3求得相应的x的值，进而求得答案．【详解】解：以拱顶为坐标原点建立坐标系，如图：∴设抛物线解析式为：2y ax =∵观察图形可知抛物线经过点()2,2B -∴222a -=⋅ ∴12a =- ∴抛物线解析式为：212y x =- ∴当水位下降1米后，即当213y =--=-时，有2132x -=-∴1x =，2x =∴水面的宽度为：．故选：A【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据已知条件建立坐标系从而求得二次函数解析式是解决问题的关键． 4．我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E ，点P ）以及点A ，点B 落上同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF ）与第2根栏杆未涂色部分（PQ ）长度相等，则EF 的长度是（ ）A ．13米B ．12米C ．25米D ．35米 【答案】C【分析】根据抛物线形状建立二次函数模型，以AB 中点为原点，建立坐标系xOy ，通过已知线段长度求出A(1，0)B(-1,O)，由二次函数的性质确定y ＝ax 2－a ，利用PQ ＝EF 建立等式，求出二次函数中的参数a ，即可得出EF 的值．【详解】解：如图，令P 下方的点为H ，以AB 中点为原点，建立坐标系xOy ，则A(1，0)B(-1,O)，设抛物线的方程为y=ax 2+bx+c∴抛物线的对称轴为x=0，则2b a＝0，即b ＝0． ∴y ＝ax 2 +c ．将A(1，0)代入得a+c ＝0,则c ＝－a ．∴y＝ax2－a．∵OH＝2×15×12＝0.2，则点H的坐标为（-0.2，0）同理可得：点F的坐标为（-0.6，0）．∴PH＝a×(-0.2)2-a＝－0.96aEF＝a×(-0.6)2-a＝－0.64a．又∵PQ＝EF＝1－（－0.96a）＝－0.64a ∴1＋0.96a＝－0.64a．解得a＝58 -．∴y＝58-x2＋58．∴EF＝（58-）×（-0.6）２＋58＝25．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能在几何图形中建立适当的坐标系并结合图形的特点建立等式求出二次函数表达式．5．如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔0.4m加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部0.5m，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（）A．0.8m B．1.6m C．2m D．2.2m【答案】B【分析】根据题意建立平面直角坐标系，得出B 、C 的坐标，然后根据待定系数法求出抛物线解析式，然后求出当当0.2x =和0.6x =时y 的值，然后即可求解．【详解】如图，由题意得()0,0.5B ，()1,0C ．设抛物线的解析式为2y ax c =+， 代入得12a =-，12c =， ∴抛物线的解析式为21122y x =-+． 当0.2x =时，0.48y =，当0.6x =时，0.32y =．∴()1122334420.480.32 1.6BC B C B C B C m +++=⨯+=，故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的拱桥问题，关键是要根据题意作出平面直角坐标系，并根据所建立的平面直角坐标系求出函数解析式．6．有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16m ，跨度为40m ，现把它的示意图（如图）放在坐标系中，则抛物线的解析式为（ ）A ．215252y x x =+B ．18255x y x x =-+ C ．251825y x x =-- D ．21816255y x x =-++ 【答案】B【分析】根据题意设出顶点式，将原点代入即可解题．【详解】由图可知该抛物线开口向下，对称轴为x ＝20，最高点坐标为（20，16），且经过原点，由此可设该抛物线解析式为()22016y a x =-+，将原点坐标代入可得400160a +=，解得：a ＝125-， 故该抛物线解析式为y ＝()21201625x --+ ＝218255x x -+ 故选：B ．【点睛】 本题主要考查二次函数图像性质的实际应用、二次函数顶点式等．难度不大，找到顶点坐标设出顶点式是解题关键．7．图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在L 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m ，水面宽为4m ．如果水面宽度为6m ，则水面下降 ( )A ．3.5 mB ．3mC ．2.5mD ．2 m【答案】C【分析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，可设此函数解析式为：2y ax =，利用待定系数法求出解析式，再根据水面宽度为6m 时，求出当x=3时，对应y 值即可解答．【详解】解：设此函数解析式为：2y ax =，0a ≠；那么(2,2)-应在此函数解析式上．则24a -= 即得12a =-， 那么212y x =-．当x=3时，25132 4.y =--⨯=∴水面下降(-2)-(-4.5)=2.5（米）故选：C.根据题意得到函数解析式的表示方法是解决本题的关键，关键在于找到在此函数解析式上的点． 8．图2是图1中拱形大桥的示意图，拱桥与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，拱桥可以近似看成抛物线y =－1? 400?（x-80）2 + 16，拱桥与桥墩AC 的交点C 恰好在水面，有AC ⊥x 轴．若OA = 10米，则桥面离水面的高度AC 为（ ）A ．16 9? 40?米B ．1?7? 4?米C ．16 7? 40?米D ．1?5? 4?米 【答案】B【分析】先确定C 点的横坐标，然后根据抛物线上点的坐标特征求出C 点的坐标，从而可得到AC 的长；【详解】∠AC x ⊥轴，OA=10米，∠点C 的横坐标为10-，当10x =-时， ∠()218016400y x =--+()21171080164004=---+=-， ∠1710,4C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴桥面离水面的高度AC 为174米．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，准确计算是解题的关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、解答题9．如图，某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA 为12m ，宽OB 为4m ，隧道顶端D 到路面的距离为10m ，建立如图所示的直角坐标系．（1）求该抛物线的解析式；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m ，宽为4m ，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？【答案】（1）21(6)106y x =-+﹣；（2）能安全通过 【分析】（1）先求出抛物线顶点坐标，再按顶点式设出抛物线解析式，代入解析式；（2）令x ＝10，求出y 与6作比较．（1）根据题意，该抛物线的顶点坐标为（6，10），设抛物线解析式为：2(6)10y a x=+﹣， 将点B （0，4）代入，得：36104a +＝， 解得：16a =-， 故该抛物线解析式为21(6)106y x =-+﹣； （2）根据题意，当x ＝6+4＝10时，y 16=-⨯16+10223=＞6， ∴这辆货车能安全通过．【点评】本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．10．某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽AB 为4m ，顶部C 距离地面的高度为4.4m ，现有一辆货车，其装货宽度为2.4m ，高度2.8米，请通过计算说明该货车能否通过此大门？【答案】能，理由见解析【分析】 首先建立适当的平面直角坐标系，并利用图象中的数据确定二次函数的解析式，进而得到装货后的最大高度，即可求解．【详解】解：以C为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，建立如下图所示的平面直角坐标系，根据题意知，A（﹣2，﹣4.4），B（2，﹣4.4），设这个函数解析式为y＝kx2．将A的坐标代入，得y＝﹣1.1x2，∵货车装货的宽度为2.4m，∴E、F两点的横坐标就应该是﹣1.2和1.2，∴当x＝1.2时y＝﹣1.584，∴GH＝CH﹣CG＝4.4﹣1.584＝2.816（m），因此这辆汽车装货后的最大高度为2.816m，∵2.8＜2.816，所以该货车能够通过此大门．【点睛】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用关键是建立数学模型，借助二次函数解决实际问题，注意根据线段长度得出各点的坐标，难度一般．11．如图，①为抛物线形拱桥，在正常水位下测得主拱宽24m ，最高点离水面8m ，以水平线AB 为x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系（如图②）．（1）求抛物线的解析式；（2）桥边有一浮在水面部分高4m ，最宽处为18m 的何鱼餐船，试探索此船在正常水位时能否开到桥下，并说明理由．【答案】（1）21818y x =-+；（2）不能开到桥下 【分析】 （1）设抛物线解析式为()()88y a x x =+-，代入（0,8）即可求解；（2）求出当x=9时，y 的值，判断其是否大于4即可．【详解】（1）∵AB=24，OC=8∴A （-12,0），B （12,0），C （0,8）设抛物线解析式为()()1212y a x x =+-代入C 点坐标，得()()8012012a =+-，解得118a =- ∴抛物线解析式为21818y x =-+；（2）当x=9时，得2198 3.518y =-⨯+= ∵3.5<4∴不能开到桥下．【点睛】 本题考查了二次函数的拱桥问题，重点是根据题目所给的坐标系求出函数解析式．12．如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB 时宽20m ，水位上升4m 就达到警戒线CD ，这时水面宽度为12m ．（1）建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；（2）若洪水到来时水位以0.1m/h 的速度上升，从正常水位开始，再过几小时就能到达桥面？【答案】（1）如图所示，2116y x =-；（2）1252小时 【分析】（1）设所求抛物线的解析式为y=ax 2．把D （6，b ），则B （10，b －4）代入解方程组即可；（2）由（1）可求得点B 坐标，进而可得拱桥顶O 到正常水位AB 的距离，进而求出时间．【详解】（1）如图所示：设所求抛物线的解析式为y=ax 2，设D （6，b ），则B （10，b －4），把D 、B 的坐标分别代入y=ax 2得：364100b a b a =⎧⎨-=⎩， 解得：11694a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴抛物线的解析式为2116y x =-； （2）∵94b =-， ∴b －4= 944--= 254- ∴拱桥顶O 到正常水位AB 的距离为254m ∴2540.1 2510=41⨯ 125=2小时． 所以再持续1252小时到达拱桥顶． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数，学会利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．13．如图1，单孔拱桥的形状近似抛物线形，如图2建立所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度AB 为12,m 拱桥的最高点C 到水面AB 的距离为6m ．（1）求抛物线的解析式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为10m ，求水面上涨的高度﹒【答案】（1）2166y x =-+；（2）116m 【分析】（1）根据题意，C 点是抛物线的顶点且位于y 轴上，A 、B 点是抛物线与c 轴交点，所以抛物线的对称轴为y 轴，得A （-6,0）、B （6,0）、C （0，6）然后设二次函数解析式为2y ax k =+，，将点B 、C 带入解析式解出即可.（2）根据题意得，水面宽度的横坐标为5-和5，将其代入解析式求得y 值即可.【详解】解：（1）设二次函数解析式为2y ax k =+ 由题意得，()),6,006,BC （ 26y ax ∴=+2066a ∴=⋅+16a ∴=-∴解析式为2166y x =-+ （2）由题意得，水面宽度的横坐标为5-和5．212511566666y ∴=-⨯+=-+= ∴水面上涨的高度为116m ． 【点睛】本题主要考查二次函数解析式的实际应用问题，运用数形结合的思想，正确理解图像上各点的含义是解题的关键14．某公园草坪的防护栏形状是抛物线形，为了牢固起见，每段防护栏需要间距0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏最高点距离底部0.5m （如图），求其中防护支柱11A B 的长度．【答案】防护栏支柱11A B 的长度为0.32m ．【分析】设抛物线的解析式为：y=ax 2，由待定系数法求得解析式，再将点A 1的横坐标代入解析式，即可得出点B 1的纵坐标，则可得出答案．【详解】解： 如图所示，点C 坐标为（1，-0.5）设抛物线的解析式为：2y ax =，将点C 坐标代入得： 0.5a =-，∴抛物线的解析式为：20.5y x =-，由题意可得点1A 的横坐标为0.6-，∴点1B 的纵坐标为：20.5(0.6)0.18y =-⨯-=-，0.5-0.18=0.32，∴防护栏支柱11A B 的长度为0.32m ．【点睛】本题考查了待定系数法在实际问题中的应用，数形结合、正确建立平面直角坐标系以及由待定系数法求得函数解析式是解题的关键．15．有一个抛物线形的单向道路隧道，隧道离地面的最大高度为4m ，跨度为10m ，把它放在图示平面直角坐标系中．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）通过计算说明，现有一辆宽4m ，高3.2m 的厢式货车能否安全通过此隧道?【答案】（1）y=425-（x-5）2+4；（2）货船能从桥下通过，理由见解析．【分析】（1）先确定抛物线的顶点坐标以及x轴的的交点坐标，然后运用待定系数法解答即可；（2）根据货车宽度求出抛物线解析式中的x值，再求出对应的y的值，再与货车高度比较即可解答．【详解】解：（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为（5，4），与x轴的两个交点坐标为（0，0）设抛物线解析式为y=a（x-5）2+4，把（0，0）代入，得：0= a（0-5）2+4，解得a=4 25 -所以抛物线解析式为：y=425-（x-5）2+4；（2）货船能从桥下通过，理由如下：∵货船宽为2米，高为3米，∴当x=6时，y=425-（6-5）2+4=3.84>3．∴货船能从桥下通过．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解决本题的关键在于熟练运用二次函数解决实际问题．16．图中是抛物线形拱桥，点P处有一照明灯，水面OA宽4 m，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，已知点P 的坐标为（3，32）. (1)点P 与水面的距离是________m ；(2)求这条抛物线的表达式；(3)当水面上升1 m 后，水面的宽变为多少？【答案】（1）32（2）y ＝－12x 2＋2x.（3）【分析】∠1）根据点P 的横纵坐标的实际意义即可得；∠2）利用待定系数法求解可得；∠3）在所求函数解析式中求出y=1时x 的值即可得．【详解】(1)由点P 的坐标为3(3,)2,知点P 与水面的距离为3m 2， 故答案为32； (2)设抛物线的解析式为2y ax bx =+，将点A (4,0)∠P 3(3,)2代入，得： 16403932a b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：122a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以抛物线的解析式为2122y x x =-+； (3)当y =1时,2121,2x x -+=即2420x x -+=，解得：2x =则水面的宽为2(2+=【点睛】考查二次函数的应用，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键.17．如图所示的是一座拱桥，桥洞的拱形是抛物线的形状，当水面宽AB 为12米时，桥洞顶部离水面4米，若水面上涨1米，求此时水面的宽．【答案】【分析】由题意建立适当的平面直角坐标系，用待定系数法可求抛物线的函数解析式，然后把y 3=-代入解析式即可求解．【详解】解：如图，以抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系．由题意可知抛物线过点（6，-4）设抛物线的函数表达式为：2y a x = 把（6，-4）代入2y a x =，可得1a 9=- 则抛物线的函数表达式为：21y 9x =- 当水面上涨1米，水面所在的位置为直线y 3=-令y 3=-，则2139x -=-，解得：x =±∴此时水面的宽为：【点睛】此题主要考查二次函数的实际应用，建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的函数解析式是解题关键． 18．河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽6m 时，水面离桥孔顶部3m.因降暴雨水位上升lm. （1）如图①，若以桥孔的最高点为原点，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式;（2）一艘装满物资的小船，露出水面的高为0.5m 、宽为4m(横断面如图②).暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗?请说明理由.【答案】（1）y=-213x （2）能【分析】∠1）根据点A的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；∠2）代入x=2求出y值，用其减去-2求出可通过船的最高高度，将其与0.5比较后即可得出结论.【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2∠a≠0∠∠将A∠3∠-3）代入y=ax2∠-3=9a，解得：a=-1 3∠∴抛物线的解析式为y=-13x2∠∠2）当x=2时，y=-13×22=-43∠∠-43-∠-2∠=23∠0.5∠∴暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的应用、二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点A的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）根据二次函数图象上点的坐标特征结合水高求出可通过船的最高高度（宽度固定）．19．如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形.小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式.你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式.【答案】正确. 22003x y =或236200y x =-+ 【分析】根据桥拱的对称性和已知数据，以对称轴为纵轴、水面为横轴建立坐标系，使拱顶在坐标原点最简单．【详解】抛物线依坐标系所建不同而各异，如下图.(仅举两例)①如图1建立坐标系，∵顶点在原点，∴设函数解析式为y=ax 2，∵图像过（20，6），∴6=a ×202，解得：a=-3200， ∴抛物线的表达式为y=-3200x 2. ②如图2建立坐标系，∵图像相当于图1的图像向上平移6，∴抛物线的表达式为y=-3200x 2+6.故正确，抛物线表达式为y=-3200x 2或y=-3200x 2+6. 【点睛】建立适当的坐标系是数学建模的关键，需认真分析图形特征．20．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥面离水面的距离为5.6米，桥洞离水面的最大高度为4m ，跨度为10m ，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式．（2）如图，在对称轴右边1m 处，桥洞离桥面的高是多少？【答案】（1）二次函数解析式为24(5)425y x =--+；（2）桥洞离桥面的高是1.76米． 【分析】 （1）由题意可知抛物线的顶点坐标，设函数关系式为y=a （x-5）2+4，将已知坐标代入关系式求出a 的值．（2）对称轴右边1米处即x=6，代入解析式求出y=值．【详解】解：（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为()5,4，所以设此桥洞所对应的二次函数关系式为2(5)4y a x =-+， 由图象知该函数过原点，将(0,0)O 代入上式，得：20(05)4a =-+，。
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专题18 视图中的问题考纲要求:1.会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图），会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述简单的几何体或实物原型；2.了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作立体模型；3.了解基本几何体与其三视图、展开图（球除外）之间的关系；知道这种关系在现实生活中的应用（如物体的包装）.基础知识回顾:知识点内容关键点拨1.三视图主视图：从正面看到的图形.俯视图：从上面看到的图形.左视图：从左面看到的图形.例：长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是36 .2.三视图的对应关系(1)长对正：主视图与俯视图的长相等，且相互对正；(2)高平齐：主视图与左视图的高相等，且相互平齐；(3)宽相等：俯视图与左视图的宽相等，且相互平行．3.常见几何体的三视图常见几何体的三视图正方体：正方体的三视图都是正方形.圆柱：圆柱的三视图有两个是矩形，另一个是圆.圆锥：圆锥的三视图中有两个是三角形，另一个是圆. 球的三视图都是圆.应用举例:招数一、由几何体判断其三视图【例1】如图所示的几何体的左视图是（）【答案】B【解析】A中间是虚线，∴是从右边看得到的图形，故A错误；B是左视图，正确；C是主视图，故C错误；D是俯视图，故D错误；故选B.【例2】从棱长为a的正方体零件的一角，挖去一个棱长为0.5a的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的左视图是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】从正面看是一个正方形，正方形的左上角是一个小正方形，故选：A．【例3】下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是（）A. B.C.D.【答案】D【解析】：A、圆柱的主视图和左视图是长方形、俯视图是圆形，故本选项不符合题意；B、三棱柱的主视图和左视图是相同的长方形，但是俯视图是一个三角形，故本选项不符合题意；C、长方体的主视图和左视图是不一样的长方形，俯视图也是一个长方形，故本选项不符合题意；D、球体的主视图、左视图和俯视图是相同的圆，故本选项符合题意．故选：D．招数二、由视图还原几何体【例4】一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是长方形，这个几何体可能是（）A.长方体B.四棱锥C.三棱锥D.圆锥【答案】A【解析】本题考查了由视图判断几何体，主视图、左视图、俯视图都是长方形的几何体是长方体，故选A.【例5】如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题解析：结合三个视图发现，应该是由一个正方体在一个角上挖去一个小正方体，且小正方体的位置应该在右上角，故选B．招数三、根据视图推算塔成几何体的小正体个数【例6】用小立方块搭一几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体最少要_____个立方块，最多要____个立方块.【答案】9，13【解析】由几何体的主视图和俯视图可知，该几何体的主视图的第一列3个正方形中每个正方形所在位置最多均可有2个小立方块，最少一个正方形所在位置有2个小立方块，其余2个所在位置各有1个小立方块；主视图的第二列2个小正方形中，每个小正方形所在位置最多均可有3个小立方体，最少一个正方形所在位置有3个小立方体，另1个所在位置有1个小立方块；主视图的第三列1个小正方形所在位置只能有1个小立方块.观察图象可知：这样的几何体最少需要（个）小立方块；最多需要（个）小立方块.故答案为：；.【例7】如图是由7个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】这个几何体的第一行有三层，第二行有一层，故应选C招数四、根据视图进行计算【例8】如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（）A.2B.3C.4D. 5【答案】C【解析】根据三视图可得这个几何体是圆锥，底面积=π×12=π，侧面积为=π•3=3π，则这个几何体的表面积=π+3π=4π.故选：C．【例9】图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝x2+2x，S左＝x2+x，则S俯＝（）A．x2+3x+2 B．x2+2 C．x2+2x+1 D．2x2+3x【答案】A【解析】∵S主＝x2+2x＝x（x+2），S左＝x2+x＝x（x+1），∴俯视图的长为x+2，宽为x+1，则俯视图的面积S俯＝（x+2）（x+1）＝x2+3x+2，故选：A．招数五、三视图的画法【例10】如图所示，这是两个由小立方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，请画出主视图与左视图。
【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】 (1)第一个图主视图从左往右3列正方形的个数依次为4，2，3；左视图从左往右3列正方形的个数依次为3，4，3．（2）第二个图主视图从左往右4列正方形的个数依次为2，2，3，2；左视图从左往右2列正方形的个数依次为3，2．（1）（2）方法、规律归纳:1．由三视图判断几何体，其口诀是“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”. 2．由三视图判断小正体的个数：俯视图看看底面有多大，几行几列就很清楚了.从主视图看有几个正方体（列的高度），在俯视图中按照左、中、右、的顺序用数字标出来，左视图数数有几个正方体（行的高度），在俯视图中按照上、中、下的顺序用数字标出来，最后把俯视图中的数字加起来就是了.3.三种视图的作法步骤：①三种视图位置的确定：先确定主视图的位置，在主视图的下面画出俯视图，在主视图的右面画出左视图；②在画视图时，主、俯视图要长对正；主、左视图要高平齐；左、俯视图要宽相等；③在画视图时，要注意实线与虚线的用法，看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线.实战演练:1.已知一个组合体是由几个相同的正方体叠合在一起组成，该组合体的主视图与俯视图如图所示，则该组合体中正方体的个数最多是()A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【解析】解：从俯视图可得最底层有5个小正方体，由主视图可得上面一层是2个，3个或4个小正方体，则组成这个几何体的小正方体的个数是7个或8个或9个，组成这个几何体的小正方体的个数最多是9个．故选：B．2. 一个圆锥的主视图如图所示，根据图中数据，计算这个圆锥的侧面积是（）A．20πB．15πC．12πD．9π【答案】B【解析】解：由勾股定理可得：底面圆的半径，则底面周长＝6π，底面半径＝3，由图得，母线长＝5，侧面面积6π×5＝15π．故选：B．3.如图是由几个相同大小的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图视图，则搭建这个几何体所需要的小正方体的个数至少为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解答】综合主视图和俯视图，底层最少有4个小立方体，第二层最少有2个小立方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数最少是6个．故选：B．4. 如图是一个包装纸盒的三视图(单位：cm)，则制作一个这样的纸盒所需纸板的面积是( )A．300(1+)cm2 B．300(1+)cm2 C．300(2＋)cm2 D．300(2+)cm2【答案】C【解析】∵底面正六边形的边长为10，∴组成六边形的六个正三角形的高为：h=cos30°×10=.∴正六边形的面积=，∴表面积=.故答案选：C.5.如图是一个长方体的三视图，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为__________．【答案】12【解析】设俯视图正方形的边长为x，由勾股定理得，x2+x2=(22，∴x=2，∴该长方体的长是2，宽是2，高是3，⨯⨯= .∴体积是223126. 如图是由相同的5个小正方体组成的几何体，请画出它的三种视图，若每个小正方体的棱长为a，试求出该几何体的表面积.【解析】试题分析：分别利用三视图的观察角度不同进而得出其三视图，底层有四个小正方体，上层有一个小正方体，其中看不到的面有10个，可以根据不同的方法来求表面积.试题解析：该几何体的三种视图如图所示；()2222 233420 S a a a a =++=表，或222562520 S a a a=⨯-⨯=表7. 若干个相同的正方体组成一个几何体，从不同方向看可以得到如图所示的形状，则这个几何体最多可由多少个这样的正方体组成？（）A．12个 B．13个 C．14个 D．18个【答案】B【解析】综合从正南方向看（主视图）与从正西方向看（左视图）可知，这个几何体有三行、三列，即：第一行第1列最多有2个，第一行第2列最多有1个，第一行第3列最多有2个；第二行第1列最多有1个，第二行第2列最多有1个，第二行第3列最多有1个；第三行第1列最多有2个，第三行第2列最多有1个，第三行第3列最多有2个；所以最多有：2+1+2+1+1+1+2+1+2=13(个).故选B.8.如图是一个由小正方体搭成的几何体，无论从正面，还是从左面都可以看到如图所示的图形，请你判断一下：最多可以用几个小正方体？最少可以用几个小正方体？9.已知一个模型的三视图如图所示(单位:m).(1)请描述这个模型的形状；(2)制作这个模型的木料密度为360 kg/m3，则这个模型的质量是多少千克?(3)如果要给这个模型刷油漆，每千克油漆可以漆4 m2，需要油漆多少千克?【答案】（1）由两个长方体组成:上面是一个小长方体，下面是一个大长方体；（2）111240kg；（3）74.5kg．【解析】（1）此模型由两个长方体组成:上面是一个小长方体，下面是一个大长方体.（2）模型的体积=5×6×10+2×3×1.5=309(m3)，则该模型的质量=309×360=111240(kg).（3）模型的表面积=2×3×2+2×1.5×2+10×5×2+5×6×2+6×10×2=298(m2)，需要油漆298÷4=74.5(kg).10一个圆柱体形零件，削去了占底面圆的四分之一部分的柱体(如图)，现已画出了主视图与俯视图．(1)请只用直尺和圆规，将此零件的左视图画在规定的位置(不必写作法，只须保留作图痕迹)；(2)若此零件底面圆的半径r＝2cm，高h＝3cm，求此零件的表面积．【答案】(1)见解析；(2)两个底面积：6πcm2；侧面积：（9π＋12）cm2；表面积：（15π＋12）cm2．【解析】(1)左视图与主视图形状相同，有作垂线(直角)的痕迹(作法不唯一)．(2)两个底面积：2πr2×＝6π(cm2)；侧面积：(2πr×＋2r)×3＝(3π＋4)×3＝9π＋12(cm2)；表面积：15π＋12(cm2)．。