川师大学物理第十一章恒定电流的磁场习题解

第十一章 恒定电流的磁场

11–1 如图11-1所示，几种载流导线在平面内分布，电流均为I ，求它们在O 点处的磁感应强度B 。

（1）高为h 的等边三角形载流回路在三角形的中心O 处的磁感应强度大小为 ，方向 。

（2）一根无限长的直导线中间弯成圆心角为120°，半径为R 的圆弧形，圆心O 点的磁感应强度大小为 ，方向 。

解：（1）如图11-2所示，中心O 点到每一边的距离

为1

3OP h =，BC 边上的电流产生的磁场在O 处的磁感应

强度的大小为

012(cos cos )4πBC I

B d

μββ=-

00(cos30cos150)4π/3

4πI

I

h h

μ︒︒=

-=

方向垂直于纸面向外。

另外两条边上的电流的磁场在O 处的磁感应强度的大小和方向都与BC B 相同。因此O 处的磁感应强度是三边电流产生的同向磁场的叠加，即

0033

4π4πBC I I

B B h h

===

方向垂直于纸面向外。

（2）图11-1（b ）中点O 的磁感强度是由ab ，bcd ，de 三段载流导线在O 点产生的磁感强度B 1，B 2和B 3的矢量叠加。由载流直导线的磁感强度一般公式

012(cos cos )4πI

B d

μββ=-

可得载流直线段ab ，de 在圆心O 处产生的磁感强度B 1，B 3的大小分别为

01(cos0cos30)4cos60)

I

B R μ︒=

︒-︒

π(0(12πI R μ= 031(cos150cos180)4πcos60

I

B B R μ︒==

︒-

︒0(12πI R μ=

I

B 图11–2

图11–1

B

（a ）

A

E

（b ）

方向垂直纸面向里。

半径为R ，圆心角α的载流圆弧在圆心处产生的磁感强度的大小为

04πI B R

μα=

圆弧bcd 占圆的1

3

，所以它在圆心O 处产生的磁感强度B 2的大小为

00022π34π4π6I I I B R R R μμαμ==

= 方向垂直纸面向里。

因此整个导线在O 处产生的总磁感强度大小为

0000123(1(10.212π2π6I I I

I B B B B R R R R

μμμμ=++=++=

方向垂直纸面向里。

11–2 载流导线形状如图所示（图中直线部分导线延伸到无穷远），求点O 的磁感强度

B 。

图（a ）中，B o = 。 图（b ）中，B o = 。 图（c ）中，B o = 。

解：载流圆弧导线在圆心O 处激发的磁感强度大小为04πI B R

μα

=，式中?为载流圆弧导线所张

的圆心角，R 为圆弧的半径，I 为所载电流强度。半无限长载流导线在圆心O 处激发的磁感

强度大小为04πI

B R

μ=，磁感强度的方向依照右手定则确定。图11–3（a ）中O 处的磁感应

强度B O 可视为由两段半无限长载流导线及载流半圆弧激发的磁场在空间点O 的叠加，根据磁场的叠加原理，对于在图（a ），有

000004π44π42πo I I I I I B R R R R R

μμμμμ=---=--j k j k j

同样的方法可得

对于图（b ），有

000001

(1)4π44π4π4πo I I I I I B R R R R R

μμμμμ=---=-+-j k k k j

对于图（c ），有

图11–3

（a ）

（b ）

（c ）

00034π84πo I I I B R R R

μμμ=---j k i

11–3 已知磁感应强度B =m 2

的均匀磁场，方向沿x 轴正向，如图11-4所示，则通过abcd 面的磁通量为 ，通过befc 面的磁通量为 ，通过aefd 面的磁通量为 。

解：匀强磁场B 对S 的磁通量为

d cos BS Φθ=

⋅=⎰⎰S B S ，设各平面S 的法线向外，则

通过abcd 面的磁通量为

cos π 2.00.40.3abcd BS BS Φ==-=-⨯⨯Wb

= ?

通过befc 面的磁通量为

πcos 02

befc BS Φ==

通过aefd 面的磁通量为

4

cos 2.00.50.35

aefd BS Φθ==⨯⨯⨯Wb=

11–4 磁场中某点处的磁感应强度B =－（T ），一电子以速度v =×106

i +×106

j （m/s ）通过该点，则作用于该电子上的磁场力F = 。

解：电子所受的磁场力为

F = ?e (v ×B )=－×10–19×（×106i +×106j ）×－=8?10?14 k （N ）

11–5 如图11-5所示，真空中有两圆形电流I 1 和 I 2

以及三个环路L 1 L 2 L 3，则安培环路定理的表达式为

l B d 1

⋅⎰L = ，l B d 2

⋅⎰L = ，

l B d 3

⋅⎰L = 。

解：由安培环路定理可得

1

01d L I μ⋅-⎰B l =Ñ；

2012d ()L I I μ⋅+⎰B l =Ñ；3d 0L ⋅⎰B l =Ñ

。 11–6 一通有电流I 的导线，弯成如图11-6所示的形状，放在磁感应强度为B 的均匀磁场中，B 的方向垂直纸面向里，则此导线受到的安培力

大小为 ，方向为 。

图11–5

I 1

I 2

L 1

L 2

L 3

L 2

图11–7

I

I I

y

x

B

d F 1 d F 1x

d F 1y

R

?

d ? L

O

y

x

O

B

z

f b c

a

d

30cm 30cm

40cm

50cm e

图11–4

图11–6

O

B

I

I

L

R