B翻折旋转问题专题复习

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初中几何翻折变换问题题型梳理

翻折问题题型梳理折叠型问题是近年中考的热点问题，通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。

折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。

我们一起来探这类题目如何找到突破口，如何用我们已经掌握的知识和方法来解答，继而发现这类问题特有的解题思维模式。

类型1 直角三角形的翻折或翻折后产生直角三角形的问题例1．（2018秋昌平区期末）如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC 折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD＝3，在Rt△NBD中，x +3 ＝（9﹣x），解得x＝4．即BN＝4．故选：A．变式1．如图，在Rt△ABC中，直角边AC＝6，BC＝8，将△ABC按如图方式折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（）A．25/4 B．22/3 C．7/4 D．5/3解：由题意得DB＝AD；设CD＝x，则AD＝DB＝（8﹣x），∵∠C＝90°，∴AD﹣CD＝AC ,（8﹣x）﹣x＝36，解得x＝7/4；即CD＝7/4．故选：C．变式2．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠得到△AEF，点H为CD上一点，将△CEH沿EH折叠得到△EH G，且F落在线段E G上，当G F＝G H时，则BE的长为_____．解：由折叠可得∠AEH＝1/2∠BEC＝90°，进而得出Rt△AEH中，AE +EH2 ＝AH，设BE＝x，则EF＝x，CE＝6﹣x＝E G，再根据勾股定理，即可得到方程x +4 +（6﹣x）+（6﹣2x）＝（2x﹣2）+6 ，解该一元二次方程，即可得到BE的长．BE的长为2．策略：在折叠后产生的直角三角形中，把某条边设成未知数根据勾股定理列方程求解。

人教版九年级数学中考图形的翻折、旋转问题专项练习及参考答案

人教版九年级数学中考图形的翻折、旋转问题专项练习例1. 如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处，且点C′、D′、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G．设AB＝t，那么△EFG的周长为______________（用含t的代数式表示）．图1答案：．例2. 如图1，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙B和⊙A上的动点，则PE＋PF的最小值是______．图1答案：PE＋PF的最小值为6－3＝3．例3. 如图1，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AC上一点，且AD ＝3，如果△ABD绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，点D旋转至D'，那么线段DD'的长为．图1答案：12 5例4. 如图1，点D是等腰△ABC的底边AB上的点，若AC＝BC且∠ACB ＝100°，将△ACD绕点C逆时针旋转，使它与△BCD′重合，则∠D′BA=度．图1答案：80°．例5. 如图1，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ＝AE，则AP的长等于__________cm．图1答案:1或2．例6. 将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变．当∠B＝90°时，如图1，测得AC＝2．当∠B＝60°时，如图2，AC等于（）．；(B)2；(C) ；．图1 图2答案：A例7. 如图1，在矩形ABCD中，AD＝8，E是AB边上一点，且AE＝14 AB，⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线相交于另一点F，且EG∶EF∶2．当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是________．图1答案:12或4．例8. 如图1，以O为圆心的两个同心圆中，大圆和小圆的半径分别为3和1，若⊙P与这两个圆都相切，则⊙P的半径为_______．图1答案1或2．例9. 如图1，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，联结P A．设P A＝x，PB＝y，则(x－y)的最大值是_____．图1答案:2．例10. 如图1，点P 是平行四边形ABCD 边上一动点，沿A →D →C →B 的路径移动，设点P 经过的路径长为x ，△BAP 的面积为y ，则下列能大致反映y 与x 的函数关系的图像是（）．图1(A) (B) (C) (D)答案：A例11. 如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，若将该矩形折叠，使点C 与点A 重合，求折痕EF 的长．【解析】连接AF ，由题意可知，EF AC ⊥，OA OC = ∵AD BC ∥，∴OAE OCF ∠=∠，AEO CFO ∠=∠ ∵OA OC =，∴AOE ∆≌COF ∆，∴OE OF = ∵EF AC ⊥，OA OC =，∴AF CF = ∵222AB BF AF +=，3AB =，4BC = ∴2223(4)CF CF +-=，∴258CF =∵22345AC =+=，OF OC ⊥ ∴222225515()()828OF CF OC =-=-=，∴154EF =【答案】154O FEDCB AOFE DCBA例12. 如图，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，如果8AB =，10BC =，求EC 的长．【解析】由题意可知，AD AF =，DE EF =．∵8AB =，10BC =，AB BF ⊥∴6BF = ∴4CF =∵CE CF ⊥，DE EF = ∴222DE CE CF =+∴222(8)43CE CE CE -=+⇒=【答案】3例13. 如图，矩形纸片ABCD ，3AB =，4BC =，沿对角线BD 折叠(使ABD∆和EBD ∆落在同一平面内)，求ABD ∆和EBD ∆重叠部分的面积．【解析】∵ABCD 为矩形，∴ADB CBD ∠=∠∵CBD EBD ∠=∠，∴ADB EBD ∠=∠，∴BM DM =∵BE BC AD ==，∴AM EM =，4AM BM EM BM BE +=+== ∵AB AM ⊥，∴222AB AM BM +=， ∴2223(4)AM AM +=-，∴78AM =，∴11775(4)322816BMD S DM AB ∆=⋅⋅=⨯-⨯=【答案】7516BDCAEFMEDCB A例14. 如图，矩形ABCD 中，3cm 4cm AB BC ==，，现将AC 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF ，试确定重叠部分AEF ∆的面积．【解析】如图，连结FC ，因折叠后AC 重合，所以Rt Rt AGE CDF ∆∆≌，AEF CEF ∆∆≌ ∵AB AG EAB GAF =∠=∠，，∴Rt Rt AGF ABE ∆∆≌ ∴ABE CDF ∆∆≌又222249(4)BE AE AE AB BE AE +==+=+-，得25788AE BE ==，，于是可得7516AEF S =△ 【答案】7516ABCDEFGG FEDCBA。

二轮复习专题：立体几何中的翻折与旋转问题

1 3 N（ , , 0）, BC (1,0, 3),CC (0, 3, 3) 2 2 设平面 C′NC 的法向量为 n (x,y,z) 有 BC n 0 , CC n 0 得 n ( 3,1,1) x B 设平面 ANC′的法向量为 m (x, y,z)
∴又∵C′N 平面 BCC′ ∴C′N //平面 ADD′
题醉了
（3）由前，∵AC⊥平面 ABC′ 同理 A C′⊥平面 ABC，以 A 为原点，直线 AB 为 x 轴、AC 为 y 轴、AC′为 z 轴，建立空间直角坐标系
z
设 AB=1，则 B（1,0,0）,C（0, 3 ,0）,C′（0,0, 3 ）
D C
由已知可知平面 C′BA⊥平面 ABC 又∵ 平面 C′BA∩平面 ABC=AB ∴ AC⊥平面 AB C′
B N
（2） ∵AD//BC， BC 平面 BCC′ AD 平面 BCC′ ∴AD//平面 BCC′ 同理 AD′ 平面 BCC′ 又∵AD∩AD′=A ∴ 平面 ADD′//平面 BCC′
题醉了
【证明】如图①，连接 DE 交 AD 于 O.
E P
AOΒιβλιοθήκη D1A B
O
C
1
D
C B
(2)在等腰∆ABD 中，∵AD=2，AB=BD= 5 ，且 BO⊥AD ∴BO=2 ∴S∆ABD=2∵三棱锥 P-ABD 的体积是 2 .
在四边形 OBCD 中， OB//DC,且 OB=2， DC=1.∴S∆ABD=2 S∆BOD=4S∆ACD
E
A
D
1
A B C
D
C B
①
②
题醉了
【证明】如图①，连接 DE 交 AD 于 O.

中考几何复习图形的翻折与旋转

图形的翻折与旋转教学目标：1.轴对称与中心对称，轴对称图形与中心对称图形；2.运用图形的翻折与旋转进行有关角度和线段长度的计算与证明。

知识梳理：图形翻折或旋转后重叠部分的图形是全等形，对应角，对应线段.基础练习：1.点E是矩形ABCD的边CD上的点，沿着AE折叠矩形ABCD，使D落在BC边上的F点处，如果AB=4cm,AD=8cm,则/DEA=.2.如图，已知正方形纸片ABCD, M, N分别是AD、BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的户点处，BQ为折痕，则N QBQ = 度.3.如图，已知：点E是正方形ABCD的BC边上的点，现将^DCE沿折痕DE向上翻折，使DC落在对角线DB上，则EB：CE=.4.如图，矩形ABCD中，BC = 2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°,点A、C分别落在点A'、C处，如果点A'、C、B在同一条直线上，那么tan /ABA f的值为5.有一矩形纸片ABCD, AB=4cm, BC=8cm,将纸片沿EF折叠，使B与D重合.求折痕EF 的长.6.如图，矩形纸片ABCD中，AB=8,将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，BG=10.(1)当折痕的另一端F在AB边上时，求△ EFG的面积.(2)当折痕的另一端F在AD边上时，求出折痕GF的长.例题讲解：1. （2014上海中考18题）如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上, BE=2CE,将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C、D，处，且点C、D二B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F, D'F与BE交于点G.设AB =如那么A EFG的周长为（用含t的代数式表示）2. R A ABC中，已知/C = 90。

，/ B = 50。

，点D在边BC上，BD = 2 CD，把AABC绕点D逆时针旋转m（0 < m < 180）度后，如果点B恰好落在初始R^A BC的边上，那么m =3.已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE = 2 , EC = 1 （如图4所示）把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为一.4.在Rt A ABC中，/BAC = 90°, AB = 3 M为边BC上的点，联结AM如果将△ ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，那么点M到AC的距离是—•作业：1.如果某市6月份日平均气温统计如图3所示，那么在日平均气温这组数据中，中位数是2.如图4,点E、F分别在正方形ABCD的边ABB BC上，EF与对角线BD交于点G，如果BE = 5, BF= 3，那么FG:EF的比值是；3.如图5①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD上，这时折痕与边AD和BC分别交于点E、点F。

专题35 几何图形翻折与旋转【热点专题】(含答案解析)

专题35几何图形翻折与旋转【热点专题】几何图形的翻折与旋转问题是历年中考的热点问题，题型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效．同样的翻折与旋转类题目，条件不一样，用到的知识和方法也不尽相同．（1）旋转后的图形与原图形是全等；（2）旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；（3）对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；题型一：点、线旋转（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）【例1】1．如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（）A．（4，2）或（﹣4，2）B．（4）或（﹣4）C ．（﹣2）或（2）D ．（2，﹣2，（2021·江苏扬州市·中考真题）【例2】2．如图，一次函数y x =的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，把直线AB 绕点B 顺时针旋转30︒交x 轴于点C ，则线段AC 长为（）AB ．C ．2D题型二：面的旋转（2021·辽宁大连·中考真题）【例3】3．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，BAC α∠=，将ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到A B C ''△，点B 的对应点B '在边AC 上（不与点A ，C 重合），则AA B ''∠的度数为（）A ．αB ．45α-︒C ．45α︒-D ．90α︒-（2021·四川巴中·中考真题）【例4】4．如图，把边长为3的正方形OABC 绕点O 逆时针旋转n °（0＜n ＜90）得到正方形ODEF ，DE 与BC 交于点P ，ED 的延长线交AB 于点Q ，交OA 的延长线于点M ．若BQ ：AQ ＝3：1，则AM ＝__________．题型三：三角形翻折问题（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）【例5】5．如图，ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，将ADE V 沿DE 翻折，使点A 与点B 重合，则CE 的长为（）A ．198B ．2C ．254D ．74（2021·重庆中考真题）【例6】6．如图，三角形纸片ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，BF ＝4，CF ＝6，将这张纸片沿直线DE 翻折，点A 与点F 重合．若DE ∥BC ，AF ＝EF ，则四边形ADFE 的面积为__________．题型四：四边形翻折问题【例7】7．如图，矩形纸片ABCD ，AB =4，BC =3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE 、DE 分别交AB 于点O 、F ，且OP =OF ，则ADDF的值为（）A ．1113B ．1315C ．1517D ．1719（2021·四川自贡市·中考真题）【例8】8．如图，在正方形ABCD 中，6AB =，M 是AD 边上的一点，:1:2AM MD =．将BMA △沿BM 对折至BMN ，连接DN ，则DN 的长是（）A ．52B ．958C ．3D ．655（2021·湖北黄石·中考真题）9．如图，ABC 的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A 点的坐标是()1,0-，现将ABC 绕A 点按逆时针方向旋转90︒，则旋转后点C 的坐标是（）A ．()2,3-B ．()2,3-C ．()2,2-D ．()3,2-（2021·湖南益阳·中考真题）10．如图，Rt ABC 中，390,tan 2BAC ABC ∠=︒∠=，将ABC 绕A 点顺时针方向旋转角9(0)0αα︒<<︒得到AB C ''△，连接BB '，CC '，则CAC '△与BAB ' 的面积之比等于_______．（2021·江苏苏州·中考真题）11．如图，射线OM 、ON 互相垂直，8OA =，点B 位于射线OM 的上方，且在线段OA 的垂直平分线l 上，连接AB ，5AB =．将线段AB 绕点O 按逆时针方向旋转得到对应线段A B ''，若点B '恰好落在射线ON 上，则点A '到射线ON 的距离d ≈______．（2021·四川成都市·中考真题）12．如图，在矩形ABCD 中，4,8AB AD ==，点E ，F 分别在边,AD BC 上，且3AE =，按以下步骤操作：第一步，沿直线EF 翻折，点A 的对应点'A 恰好落在对角线AC 上，点B 的对应点为B'，则线段BF 的长为_______；第二步，分别在,'EF A B ¢上取点M ，N ，沿直线MN 继续翻折，使点F 与点E 重合，则线段MN 的长为_______．（2021·新疆·中考真题）13．如图，已知正方形ABCD 边长为1，E 为AB 边上一点，以点D 为中心，将DAE 按逆时针方向旋转得DCF ，连接EF ，分别交BD ，CD 于点M ，N ．若25AE DN =，则sin EDM ∠=__________．（2021·四川绵阳·中考真题）14．如图，点M 是ABC ∠的边BA 上的动点，6BC =，连接MC ，并将线段MC 绕点M 逆时针旋转90︒得到线段MN ．（1）如图1，作MH BC ⊥，垂足H 在线段BC 上，当CMH B ∠=∠时，判断点N 是否在直线AB 上，并说明理由；（2）如图2，若30ABC ∠=︒，//NC AB ，求以MC 、MN 为邻边的正方形的面积S ．（2021·山西·中考真题）15．综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在ABCD Y 中，BE AD ⊥，垂足为E ，F 为CD 的中点，连接EF ，BF ，试猜想EF 与BF 的数量关系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将ABCD Y 沿着BF （F 为CD 的中点）所在直线折叠，如图②，点C 的对应点为'C ，连接'DC 并延长交AB 于点G ，请判断AG 与BG 的数量关系，并加以证明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将ABCD Y 沿过点B 的直线折叠，如图③，点A 的对应点为'A ，使'A B CD ⊥于点H ，折痕交AD 于点M ，连接'A M ，交CD 于点N ．该小组提出一个问题：若此ABCD Y 的面积为20，边长5AB =，BC =部分（四边形BHNM ）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．（2021·山东日照·中考真题）16．问题背景：如图1，在矩形ABCD 中，AB =30ABD ∠=︒，点E 是边AB 的中点，过点E 作EF AB ⊥交BD 于点F ．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的BEF △绕点B 按逆时针方向旋转90︒，如图2所示，得到结论：①AEDF=_____；②直线AE 与DF 所夹锐角的度数为______．（2）小王同学继续将BEF △绕点B 按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当BEF △旋转至D 、E 、F 三点共线时，则ADE V 的面积为______．（2021·辽宁阜新·中考真题）17．下面是小明关于“对称与旋转的关系”的探究过程，请你补充完整．（1）三角形在平面直角坐标系中的位置如图1所示，简称G ，G 关于y 轴的对称图形为1G ，关于x 轴的对称图形为2G ．则将图形1G 绕____点顺时针旋转____度，可以得到图形2G ．（2）在图2中分别画出．．．．G 关于y 轴和直线1y x =+的对称图形1G ，2G ．将图形1G 绕____点（用坐标表示）顺时针旋转______度，可以得到图形2G ．（3）综上，如图3，直线1:22l y x =-+和2:l y x =所夹锐角为α，如果图形G 关于直线1l 的对称图形为1G ，关于直线2l 的对称图形为2G ，那么将图形1G 绕____点（用坐标表示）顺时针旋转_____度（用α表示），可以得到图形2G ．18．已知一个矩形纸片OACB ，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A （11，0），点B （0，6），点P 为BC 边上的动点（点P 不与点B 、C 重合），经过点O 、P 折叠该纸片，得点B′和折痕OP ．设BP=t ．（Ⅰ）如图①，当∠BOP=300时，求点P 的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P 再次折叠纸片，使点C 落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ ，若AQ=m ，试用含有t 的式子表示m ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA 上时，求点P 的坐标（直接写出结果即可）．参考答案：1．C【分析】先求出点A 的坐标，再根据旋转变换中，坐标的变换特征求解；或根据题意画出图形旋转后的位置，根据旋转的性质确定对应点A ′的坐标．【详解】过点A 作AC OB ⊥于点C ．在Rt △AOC 中，222AC OA OC =-．在Rt △ABC 中，()22222AC AB CB AB OB OC =-=--．∴()2222OA OC AB OB OC -=--．∵OA ＝4，OB ＝6，AB ＝，∴2OC =．∴AC =∴点A 的坐标是(2,．根据题意画出图形旋转后的位置，如图，∴将△AOB 绕原点O 顺时针旋转90°时，点A 的对应点A ′的坐标为()2-；将△AOB 绕原点O 逆时针旋转90°时，点A 的对应点A ′′的坐标为()2-．故选：C ．【点睛】本题考查了解直角三角形、旋转中点的坐标变换特征及旋转的性质．（a ，b ）绕原点顺时针旋转90°得到的坐标为（b ，-a ），绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（－b ，a ）．2．A【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB 的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．【详解】解：∵一次函数y x=的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，令x=0，则y y=0，则x=，则A（，0），B（0），则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°，∴AB，过点C作CD⊥AB，垂足为D，∵∠CAD=∠OAB=45°，∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，∴AC x，∵旋转，∴∠ABC=30°，∴BC=2CD=2x，∴BD，又BD=AB+AD=2+x，∴2+x，解得：x∴AC x）+故选A．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．3．C【分析】由旋转的性质可得CA B CAB α''∠=∠=，90,ACA AC A C ''∠=︒=，进而可得45AA C '∠=︒，然后问题可求解．【详解】解：由旋转的性质可得：CA B CAB α''∠=∠=，90,ACA AC A C ''∠=︒=，∴ACA ' 等腰直角三角形，∴45AA C '∠=︒，∴45AA B α''∠=︒-；故选C ．【点睛】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．4．25【分析】连接OQ ，OP ，利用HL 证明Rt △OAQ ≌Rt △ODQ ，得QA =DQ ，同理可证：CP =DP ，设CP =x ，则BP =3-x ，PQ =x +34，在Rt △BPQ 中，利用勾股定理列出方程求出x =95，再利用△AQM ∽△BQP 可求解．【详解】解：连接OQ ，OP ，∵将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转n °（0＜n ＜90）得到正方形ODEF ，∴OA =OD ，∠OAQ =∠ODQ =90°，在Rt △OAQ 和Rt △ODQ 中，OQ OQ OA OD =⎧⎨=⎩，∴Rt △OAQ ≌Rt △ODQ （HL ），∴QA =DQ ，同理可证：CP =DP ，∵BQ：AQ=3：1，AB=3，∴BQ=94，AQ=34，设CP=x，则BP=3-x，PQ=x+3 4，在Rt△BPQ中，由勾股定理得：(3-x)2+(94)2=(x+34)2，解得x=9 5，∴BP=6 5，∵∠AQM=∠BQP，∠BAM=∠B，∴△AQM∽△BQP，∴13 AM AQBP BQ==，∴1 63 5AM=，∴AM=2 5．故答案为：2 5．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，利用全等证明QA=DQ，CP=DP是解题的关键．5．D【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10，再利用折叠的性质得到AE=BE，AD=BD=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2，解得x，可得CE．【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB，∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，∴AE=BE，AD=BD=12AB=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中∵BE 2=BC 2+CE 2，∴x 2=62+（8-x ）2，解得x =254，∴CE =2584-=74，故选：D ．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了勾股定理．6．【分析】根据折叠的性质得到DE 为ABC 的中位线，利用中位线定理求出DE 的长度，再解t R ACE △求出AF 的长度，即可求解．【详解】解：∵将这张纸片沿直线DE 翻折，点A 与点F 重合，∴DE 垂直平分AF ，AD DF =，AE EF =，ADE EDF ∠=∠，∵DE ∥BC ，∴ADE B ∠=∠，EDF BFD ∠=∠，90AFC ∠=︒，∴B BFD ∠=∠，∴BD DF =，∴BD AD =，即D 为AB 的中点，∴DE 为ABC 的中位线，∴152DE BC ==，∵AF ＝EF ，∴AEF △是等边三角形，在t R ACE △中，60CAF ∠=︒，6CF =，∴tan 60CF AF ==︒∴AG =∴四边形ADFE 的面积为122DE AG ⋅⨯=，故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形、中位线定理、折叠的性质等内容，掌握上述基本性质定理是解题的关键．7．C【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE 、CP=EP ，由∠EOF=∠BOP 、∠B=∠E 、OP=OF 可得出△OEF ≌△OBP （AAS ），根据全等三角形的性质可得出OE=OB 、EF=BP ，设EF=x ，则BP=x 、DF=4-x 、BF=PC=3-x ，进而可得出AF=1+x ，在Rt △DAF 中，利用勾股定理可求出x 的值，再利用余弦的定义即可求出cos ∠ADF 的值．【详解】根据折叠，可知：△DCP ≌△DEP ，∴DC =DE =4，CP =EP ．在△OEF 和△OBP 中，∵90EOF BOP B E OP OF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△OEF ≌△OBP （AAS ），∴OE =OB ，EF =BP ．设EF =x ，则BP =x ，DF =DE ﹣EF =4﹣x ．又∵BF =OB +OF =OE +OP =PE =PC ，PC =BC ﹣BP =3﹣x ，∴AF =AB ﹣BF =1+x ．在Rt △DAF 中，AF 2+AD 2=DF 2，即（1+x ）2+32=（4﹣x ）2，解得：x =0.6，∴DF =4﹣x =3.4，∴1517AD DF =．故选C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF=1+x ，求出AF 的长度是解题的关键．8．D【分析】延长MN 与CD 交于点E ，连接BE ，过点N 作NF CD ⊥，根据折叠的正方形的性质得到NE CE =，在Rt MDE 中应用勾股定理求出DE 的长度，通过证明MDE NFE ∽，利用相似三角形的性质求出NF 和DF 的长度，利用勾股定理即可求解．【详解】解：如图，延长MN 与CD 交于点E ，连接BE ，过点N 作NF CD ⊥，∵6AB =，M 是AD 边上的一点，:1:2AM MD =，∴2AM =，4DM =，∵将BMA △沿BM 对折至BMN ，四边形ABCD 是正方形，∴90BNE C ∠=∠=︒，AB AN BC ==，∴Rt BNE Rt BCE ≌(HL)，∴NE CE =，∴2EM MN NE NE =+=+，在Rt MDE 中，设DE x =，则628ME x x =-+=-，根据勾股定理可得()22248x x +=-，解得3x =，∴3NE DE ==，5ME =，∵NF CD ⊥，90MDE ∠=︒，∴MDE NFE ∽，∴25EF NF NE DE MD ME ===，∴125NF =，95EF =，∴65DF =，∴DN =，故选：D ．【点睛】本题考查折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用等内容，做出合适的辅助线是解题的关键．9．B【分析】在网格中绘制出CA 旋转后的图形，得到点C 旋转后对应点．【详解】如图，绘制出CA 绕点A 逆时针旋转90°的图形，由图可得：点C 对应点C '的坐标为(-2，3)．故选B ．【点睛】本题考查旋转，需要注意题干中要求顺时针旋转还是逆时针旋转．10．9:4【分析】先根据正切三角函数的定义可得32AC AB =，再根据旋转的性质可得,,AB AB AC AC BAB CAC α''''==∠=∠=，从而可得1AC AB AC AB ==''，然后根据相似三角形的判定可得CAC BAB ''~ ，最后根据相似三角形的性质即可得．【详解】解：在Rt ABC 中，390,tan 2BAC ABC ∠=︒∠=，32AC AB ∴=，由旋转的性质得：,,AB AB AC AC BAB CAC α''''==∠=∠=，1AC AB AC AB ∴==''，在CAC '△和BAB ' 中，AC AB AC AB CAC BAB ''''⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，CAC BAB ''~∴ ，294CAC BAB AC S AB S ''⎛⎫== ⎪⎝⎭∴ ，即CAC '△与BAB ' 的面积之比等于9:4，故答案为：9:4．【点睛】本题考查了正切三角函数、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．11．245【分析】添加辅助线，连接'OA OB 、，过'A 点作'A P ON ⊥交ON 与点P ．根据旋转的性质，得到''A B O ABO ≅ ，在'Rt A PO ∆和中，'B OA BOA ∠=∠，根据三角函数和已知线段的长度求出点A '到射线ON 的距离=A'P d ．【详解】如图所示，连接'OA OB 、，过'A 点作'A P ON ⊥交ON 与点P．∵线段AB 绕点O 按逆时针方向旋转得到对应线段A B ''∴'8OA OA ==，''B OB A OA∠=∠∴''''B OB BOA A OA BOA ∠-∠=∠-∠即''B OA BOA∠=∠∵点B 在线段OA 的垂直平分线l 上∴118422OC OA ==⨯=，5OB AB ==3BC ===∵''B OA BOA∠=∠∴'sin ''sin 'A P BC B OA BOA A O OB ∠==∠=∴'385A P =∴24'5d A P ==【点睛】本题主要考查旋转的性质和三角函数．对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．12．1【分析】第一步：设EF 与AA’交于点O ，连接AF ，易证明△AOE △ADC ，利用对应边成比例可得到OA =2OE ，由勾股定理可求出OE =5，从而求得OA 及OC ；由AD ∥BC ，易得△AOE ∽△COF ，由对应边成比例可得AE 、FC 的关系式，设BF =x ，则FC =8-x ，由关系式可求得x 的值；第二步：连接NE ，NF ，根据折叠的性质，得到NF =NE ，设B’N =m ，分别在Rt △NB F '和Rt △EA N '中，利用勾股定理及NF =NE 建立方程，可求得m ，最后得出结果．【详解】如图所示，连接AF ，设EF 与AA’交于点O ，由折叠的性质得到AA’⊥EF ，3A E AE '==∵四边形ABCD 是矩形∴∠ADC =90°，CD =AB =4，AD ∥BC∵∠AOE =∠ADC ，∠OAE =∠DAC∴△AOE △ADC ，∴12OE CD OA AD ==，∴OA =2OE ，在直角△AOE 中，由勾股定理得：2249OE OE +=，∴OE =5，∴OA在Rt △ADC 中，由勾股定理得到：AC =，∴OC =令BF =x ，则FC =8-x ，∵AD ∥BC ，∴△AOE ∽△COF ，∴37OA AE OC FC ==，即7AE =3FC∴3(8-x )=7×3解得：1x =,∴BF 的长为1．连接NE ，NF ，如图，根据折叠性质得：BF =B’F =1，MN ⊥EF ，NF =NE ，设B’N =m ，则22222213(4)NF m NE m =+==+-，解得：m =3，则NF ，∵EF =∴MF∴MN故答案为：1【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、三角形相似的判定与性质，矩形的性质等知识，熟练运用这些知识是解决本题的关键，本题还涉及到方程的运用．13【分析】过点E 作EP ⊥BD 于P ，将∠EDM 构造在直角三角形DEP 中，设法求出EP 和DE 的长，然后用三角函数的定义即可解决．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥DC ，∠A =∠BCD =∠ADC =90°，AB =BC =CD =DA =1，BD =．∵△DAE 绕点D 逆时针旋转得到△DCF ，∴CF =AE ，DF =DE ，∠EDF =∠ADC =90°．设AE =CF =2x ，DN =5x ，则BE =1-2x ，CN =1-5x ，BF=1+2x ．∵AB ∥DC ，∴~FNC FEB ∆∆．∴NC FC EB FB =．∴1521212x x x x-=-+．整理得，26510x x +-=．解得，116x =，21x =-（不合题意，舍去）．∴1221233AE x EB x ===-=，．∴DE ===过点E 作EP ⊥BD 于点P ，如图所示，设DP =y，则BP y =．∵22222EB BP EP DE DP -==-，∴)2222233y y ⎛⎛⎫-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭．解得，y =∴3EP ===．∴在Rt △DEP中，sin 3EP EDP ED∠==sin 5EDM ∠=．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数、方程的数学思想等知识点，熟知各类图形的性质与判定是解题的基础，构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义是解题的关键．14．（1）点N 在直线AB 上，见解析；（2）18【分析】（1）根据CMH B ∠=∠，90CMH C ∠+∠=︒，得到90B C ∠+∠=︒，可得线段CM 逆时针旋转90︒落在直线BA 上，即可得解；（2）作CD AB ⊥于D ，得出45MCN ∠=︒，再根据平行线的性质得到45BMC ∠=︒，再根据直角三角形的性质计算即可；【详解】解：（1）结论：点N 在直线AB 上；∵CMH B ∠=∠，90CMH C ∠+∠=︒，∴90B C ∠+∠=︒，∴90BMC ∠=︒，即CM AB ⊥．∴线段CM 逆时针旋转90︒落在直线BA 上，即点N 在直线AB 上．（2）作CD AB ⊥于D ，∵MC MN =，90CMN ∠=︒，∴45MCN ∠=︒，∵//NC AB ，∴45BMC ∠=︒，∵6BC =，30B ∠=︒，∴3CD =，MC =∴218S MC ==，即以MC 、MN 为邻边的正方形面积18S =．【点睛】本题主要考查了旋转综合题，结合平行线的性质计算是解题的关键．15．（1）EF BF =；见解析；（2）AG BG =，见解析；（3）223．【分析】（1）如图，分别延长AD ，BF 相交于点P ，根据平行四边形的性质可得//AD BC ，根据平行线的性质可得PDF C ∠=∠，P FBC ∠=∠，利用AAS 可证明△PDF ≌△BCF ，根据全等三角形的性质可得FP FB =，根据直角三角形斜边中线的性质可得12EF BP =，即可得EF BF =；（2）根据折叠性质可得∠CFB =∠C′FB =12∠CFC′，FC =FC′，可得FD =FC′，根据等腰三角形的性质可得∠FDC′=∠FC′D ，根据三角形外角性质可得∠CF C′=∠FDC′+∠FC′D ，即可得出∠C′FB =∠FC′D ，可得DG//FB ，即可证明四边形DGBF 是平行四边形，可得DF =BG =12AB ，可得AG =BG ；（3）如图，过点M 作MQ ⊥A ′B 于Q ，根据平行四边形的面积可求出BH 的长，根据折叠的性质可得A ′B =AB ，∠A =∠A ′，∠ABM =∠MBH ，根据'A B CD ⊥可得A ′B ⊥AB ，即可证明△MBQ 是等腰直角三角形，可得MQ =BQ ，根据平行四边形的性质可得∠A =∠C ，即可得∠A ′=∠C ，进而可证明△A ′NH ∽△CBH ，根据相似三角形的性质可得A ′H 、N H 的长，根据NH //MQ 可得△A ′NH ∽△A ′MQ ，根据相似三角形的性质可求出MQ 的长，根据S 阴=S △A′MB-S △A′NH 即可得答案．【详解】（1）EF BF =．如图，分别延长AD ，BF 相交于点P ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC ，∴PDF C ∠=∠，P FBC ∠=∠,∵F 为CD 的中点，∴DF CF =，在△PDF 和△BCF 中，P FBC PDF C DF CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PDF ≌△BCF ，∴FP FB =，即F 为BP 的中点，∴12BF BP =，∵BE AD ⊥，∴90BEP ∠=︒，∴12EF BP =，∴EF BF =．（2）AG BG =．∵将ABCD Y 沿着BF 所在直线折叠，点C 的对应点为'C ，∴∠CFB =∠C′FB =12∠CFC′，'FC FC =，∵F 为CD 的中点，∴12FC FD CD ==，∴'FC FD =，∴∠FDC′=∠FC′D ，∵'CFC ∠=∠FDC′+∠FC′D ，∴'1'2FC D CFC ∠=∠，∴∠FC′D =∠C′FB ，∴//DG FB ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴//DC AB ，DC =AB ，∴四边形DGBF 为平行四边形，∴BG DF =，∴12BG AB =，∴AG BG =．（3）如图，过点M 作MQ ⊥A ′B 于Q ，∵ABCD Y 的面积为20，边长5AB =，'A B CD ⊥于点H ，∴BH =50÷5=4，∴CH 2=，A ′H =A ′B -BH =1，∵将ABCD Y 沿过点B 的直线折叠，点A 的对应点为'A ，∴A ′B =AB ，∠A =∠A ′，∠ABM =∠MBH ，∵'A B CD ⊥于点H ，AB //CD ，∴'A B AB ⊥，∴∠MBH =45°，∴△MBQ 是等腰直角三角形，∴MQ =BQ ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A =∠C ，∴∠A ′=∠C ，∵∠A ′HN =∠CHB ，∴△A ′NH ∽△CBH ，∴'CH BH A H NH =，即241NH=，解得：NH =2，∵'A B CD ⊥，MQ ⊥A ′B ，∴NH //MQ ，∴△A ′NH ∽△A ′MQ ，∴''A H NH AQ MQ=，即125MQ MQ =-，解得：MQ =103，∴S 阴=S △A′MB-S △A′NH =12A ′B ·MQ -12A ′H ·NH =12×5×103-12×1×2=223．【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．16．（1）2，30°；（2【分析】（1）通过证明FBD EBA ∆∆∽，可得AE BE DF BF ==BDF BAE ∠=∠，即可求解；（2）通过证明ABE DBF ∆∆∽，可得AE BE DF BF ==，BDF BAE ∠=∠，即可求解；拓展延伸：分两种情况讨论，先求出AE ，DG 的长，即可求解．【详解】解：（1）如图1，30ABD ∠=︒ ，90DAB ∠=︒，EF BA ⊥，cos BE AB ABD BF DB ∴∠==如图2，设AB 与DF 交于点O ，AE 与DF 交于点H ，BEF ∆ 绕点B 按逆时针方向旋转90︒，90DBF ABE ∴∠=∠=︒，FBD EBA ∴∆∆∽，∴AE BE DF BF ==，BDF BAE ∠=∠，又DOB AOF ∠=∠ ，30DBA AHD ∴∠=∠=︒，∴直线AE 与DF 所夹锐角的度数为30︒，故答案为：2，30︒；（2）结论仍然成立，理由如下：如图3，设AE 与BD 交于点O ，AE 与DF 交于点H ，将BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转，ABE DBF ∴∠=∠，又 BE AB BF DB ==ABE DBF ∴∆∆∽，∴AE BE DF BF ==，BDF BAE ∠=∠，又DOH AOB ∠=∠ ，30ABD AHD ∴∠=∠=︒，∴直线AE 与DF 所夹锐角的度数为30︒．拓展延伸：如图4，当点E 在AB 的上方时，过点D 作DG AE ⊥于G ，AB = 30ABD ∠=︒，点E 是边AB 的中点，90DAB ∠=︒，BE ∴=2AD =，4DB =，30EBF ∠=︒ ，EF BE ⊥，1EF ∴=，D 、E 、F 三点共线，90DEB BEF ∴∠=∠=︒，DE ∴30DEA ∠=︒ ，12DG DE ∴==由（2）可得：AE BE DF BF ==，AE ∴=ADE ∴∆的面积1122AE DG =⨯⨯=⨯；如图5，当点E 在AB 的下方时，过点D 作DG AE ⊥，交EA 的延长线于G ，同理可求：ADE ∆的面积1122228AE DG =⨯⨯=⨯⨯=；【点睛】本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．17．（1）O ，180；（2）图见解析，()0,1，90；（3）22,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，2α【分析】（1）根据图形可以直接得到答案；（2）根据题意画出图形，观察图形，利用图形旋转的性质得到结论；（3）从（1）（2）问的结论中得到解题的规律，求出两个函数的交点坐标，即可得出答案．【详解】解：（1）由图象可得，图形1G 与图形2G 关于原点成中心对称，则将图形1G 绕O 点顺时针旋转180度，可以得到图形2G ；故答案为：O ，180；（2）1G ，2G 如图；由图形可得，将图形1G 绕()0,1点（用坐标表示）顺时针旋转90度，可以得到图形2G ，故答案为：()0,1，90；（3）∵当G 关于y 轴的对称图形为1G ，关于x 轴的对称图形为2G 时，1G 与2G 关于原点（0,0）对称，即图形1G 绕O 点顺时针旋转180度，可以得到图形2G ；当G 关于y 轴和直线1y x =+的对称图形1G ，2G 时，图形1G 绕()0,1点（用坐标表示）顺时针旋转90度，可以得到图形2G ，点（0,1）为直线1y x =+与y 轴的交点，90度角为直线1y x =+与y 轴夹角的两倍；又∵直线1:22l y x =-+和2:l y x =的交点为22,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，夹角为α，∴当直线1:22l y x =-+和2:l y x =所夹锐角为α，图形G 关于直线1l 的对称图形为1G ，关于直线2l 的对称图形为2G ，那么将图形1G 绕22,33⎛⎫ ⎪⎝⎭点（用坐标表示）顺时针旋转2α度（用α表示），可以得到图形2G ．故答案为：22,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，2α．【点睛】本题主要考查了图形的对称性与旋转的性质，关键在于根据题意正确的画出图形，得出规律．18．（Ⅰ）点P 的坐标为（6）．（Ⅱ）2111m t t 666=-+（0＜t ＜11）．（Ⅲ）点P 6，6）．【分析】（Ⅰ）根据题意得，∠OBP=90°，OB=6，在Rt △OBP 中，由∠BOP=30°，BP=t ，得OP=2t ，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案．（Ⅱ）由△OB′P 、△QC′P 分别是由△OBP 、△QCP 折叠得到的，可知△OB′P ≌△OBP ，△QC′P ≌△QCP ，易证得△OBP ∽△PCQ ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．（Ⅲ）首先过点P 作PE ⊥OA 于E ，易证得△PC′E ∽△C′QA ，由勾股定理可求得C′Q 的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与2111m t t 666=-+，即可求得t 的值：【详解】（Ⅰ）根据题意，∠OBP=90°，OB=6．在Rt △OBP 中，由∠BOP=30°，BP=t ，得OP=2t ．∵OP 2=OB 2+BP 2，即（2t ）2=62+t 2，解得：t 1=t 2=－．∴点P 的坐标为（6）．（Ⅱ）∵△OB′P 、△QC′P 分别是由△OBP 、△QCP 折叠得到的，∴△OB′P ≌△OBP ，△QC′P ≌△QCP ．∴∠OPB′=∠OPB ，∠QPC′=∠QPC ．∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，∴∠OPB+∠QPC=90°．∵∠BOP+∠OPB=90°，∴∠BOP=∠CPQ ．又∵∠OBP=∠C=90°，∴△OBP ∽△PCQ ．∴OB BP PC CQ =．由题意设BP=t ，AQ=m ，BC=11，AC=6，则PC=11－t ，CQ=6－m ．∴6t 11t 6m =--．∴2111m t t 666=-+（0＜t ＜11）．（Ⅲ）点P 6，6）．过点P 作PE ⊥OA 于E ，∴∠PEA=∠QAC′=90°．∴∠PC′E+∠EPC′=90°．∵∠PC′E+∠QC′A=90°，∴∠EPC′=∠QC′A ．∴△PC′E ∽△C′QA ．∴''=PE PC AC C Q．∵PC′=PC=11－t ，PE=OB=6，AQ=m ，C′Q=CQ=6－m ，∴AC '==．∴．∵6116=--t t m ，即6116-=-t t m 6=t ，即．将2111m t t 666=-+代入，并化简，得2322360-+=t t ．解得：12t t ==∴点P ，6）或（113+，6）．。

B图形的翻折及章节复习

学科教师辅导讲义0②对应点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分区别①两个图形的关系②对称点在两个图形上①具有某种性质的一个图形②对称点在一个图形上联系若把中心对称图形的两部分分别看作两个图形，则它们成中心对称，若把中心对称的两个图形看作一个整体，则成为中心对称图形。

翻折与轴对称图形：（1）如果一个图形沿某条直线翻折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形.这条直线叫做对称轴.轴对称性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分．对应线段相等，对应角相等．典型例题：例1．找出下列每个轴对称图形的对称轴并画在图上.例2．选择观察下列平面图形，其中是轴对称图形的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个例3．（1）下列图形中对称轴最多的是（）A.圆B.正方形C.角D.线段（2）下列图形中，是轴对称图形的是（）（3）下列图形中，是．轴对称图形的为（）．ＡＢＣＤ例4．选择将三角形绕直线l旋转一周，可以得到如图所示主体图形的是（）例5．下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ····················（）．（A）（B）（C）（D）例6. 如图，在方格纸上，有两个形状、大小一样的三角形，请指出如何运用轴对称、平移、旋转这三种运动，将方格中的△ABC重合到△DEF上．例7．画出一个四边形ABCD关于直线MN的轴对称的图形。

AM家庭作业：1．已知下列图形：圆、菱形、矩形、正方形、平行四边形、三角形、等腰三角形、直角三角形、等边三角形、梯形、等腰梯形、直角梯形、线段、角．其中中心对称图形有______个，旋转对称图形有______个，轴对称图形有______个．（9分）2．已知边长为2cm的等边三角形ABC，画出将该三角形向南偏西600方向平移3cm后的图形．（12分）3．如图：已知四边形ABCD和点O，画四边形A’B’C’D’，使四边形A’B’C’D’与四边形ABCD关于点O成中心对称．（12分）4．把方格中的图形平移，使点A平移到点A’处，然后把平移后的图形绕点A’逆时针方向旋转450．（12分）5．四边形A’B’C’D’是由四边形ABCD旋转得到的，请你画出选转中心并量出旋转角的度数．（12分）6．如图，画出ΔABC关于点O成中心对称的ΔA’B’C’，再把得到的ΔA’B’C’向右平移2cm．（12分）7．已知正方形ABCD和等边三角形ABE，画出ΔADE以点A为旋转中心，逆时针旋转600后的三角形．并把其沿着AD方向平移，平移距离为线段AD的长．(15分)8．某居民小区搞绿化，要在一块矩形空地上建花坛．现征集设计方案，要求设计的图案由圆和正方形组成（圆和正方形个数不限），并且使整个矩形场地成中心对称图形，请画出你的设计方案．（16分）。

翻折旋转阅读理解难题

△CBE为等腰三角形；再继续将纸片沿△CBE的对称轴EF折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”.
图①图②图③
（1）如图②，正方形网格中的△ABC能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图②中画出折痕；
（1）如果，，
①当点在线段上时（与点不重合），如图2，线段所在直线的位置关系为__________，线段的数量关系为；
②当点在线段的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（2）如果，是锐角，点在线段上，当满足什么条件时，（点不重合），并说明理由．
24．在 ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．
3．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称、；
（2）如图，已知格点（小正方形的顶点），O（0，0），A（3，0），B(0,4)请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB.
4．如图所示，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长都为3，另一种纸片的两条直角边长分别为1和3．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．
（1）请用三种方法（拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法）将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上（要求：所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹）；

2022年九年级数学复习专题---图形的变换(平移、翻折、旋转)综合问题题

2022年中考数学复习专题---图形的变换（平移、翻折、旋转）综合题班级：___________姓名：___________学号：___________1．综合与实践问题情境：综合与实践课上，同学们以“三角形纸片的折叠与旋转“为主题展开数学活动，探究有关的数学问题．动手操作：已知：三角形纸片ABC 中，6120AB AC BC BAC ==∠=︒，，.将三角形纸片ABC 按如下步骤进行操作：第一步：如图1，折叠三角形纸片ABC ，使点C 与点A 重合，然后展开铺平，折痕分别交BC AC ，于点D E ，，连接AD ，易知AD CD =．第二步：在图1的基础上，将三角形纸片ABC 沿AD 剪开，得到ABD ∆和ACD ∆.保持ABD ∆的位置不变，将ACD ∆绕点D 逆时针旋转得到FDG ∆(点F G ，分别是A C ，的对应点)，旋转角为()0360αα︒<<︒问题解决：（1）如图2，小彬画出了旋转角0120α︒<<︒时的图形，设线段FG AC ，交于点P ，连接AG DP ，.小彬发现DP 所在直线始终垂直平分线段AG .请证明这一结论；（2）如图3，小颖画出了旋转角90α=︒时的图形，设直线AF 与直线CG 相交于点O ，连接CF 判断此时COF ∆的形状，说明理由；（3）在ACD ∆绕点D 逆时针旋转过程中，当FG BC ⊥时，请直接写出B F ，两点间的距离．2．如图，△ABC 中，已知∠C=90°，∠B=60°，点D 在边BC 上，过D 作DE ⊥AB 于E ．（1）连接AD ，取AD 的中点F ，连接CF ，EF ，判断△CEF 的形状，并说明理由（2）若．把△BED 绕着点D 逆时针旋转m （0＜m ＜180）度后，如果点B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上，那么m=3．问题背景：如图1，在矩形ABCD 中，30AB ABD =∠=︒，点E 是边AB 的中点，过点E 作EF AB ⊥交BD 于点F ．实验探究：（1）在一次数学活动中，小明在图1中发现AEDF=_________．将图1中的BEF 绕点B 按逆时针方向旋转90︒，连接,AE DF ，如图2所示，发现AEDF=_________．（2）小亮同学继续将BEF 绕点B 按逆时针方向旋转，连接,AE DF ，旋转至如图3所示位置，请问探究（1）中的结论是否仍然成立?并说明理由．拓展延伸：（3）在以上探究中，当BEF 旋转至D 、E 、F 三点共线时，AE 的长为____________．4．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 平分ACB ∠．P 为边BC 上一动点，将DPB 沿着直线DP 翻折到DPE ，点E 恰好落在CDP 的外接圆O 上．（1）求证：D 是AB 的中点．（2）当60BDE ∠=︒，BP =DC 的长．（3）设线段DB 与O 交于点Q ，连结QC ，当QC 垂直于DPE 的一边时，求满足条件的所有QCB ∠的度数．5．如图1，O 为正方形ABCD 的中心，分别延长OA 、OD 到点,F E ，使OF=2OA ，OE 2OD =，连接EF ，将FOE ∆绕点O 按逆时针方向旋转角α得到F OE ''∆，连接,AE BF ''（如图2）．（1）探究AE '与BF '的数量关系，并给予证明；（2）当30α=︒时，求证：AOE '为直角三角形．6．如图，在△ABC 中，AB =∠B =45°，∠C =60°．（1）求BC 边上的高线长．（2）点E 为线段AB 的中点，点F 在边AC 上，连结EF ，沿EF 将△AEF 折叠得到△PEF ． ①如图2，当点P 落在BC 上时，求∠AEP 的度数． ②如图3，连结AP ，当PF ⊥AC 时，求AP 的长．7．如图1，点C 在线段AB 上，分别以AC 、BC 为边在线段AB 的同侧作正方形ACDE 和正方形BCMN ，连结AM 、BD ．（1）AM与BD的关系是：________．（2）如果将正方形BCMN绕点C顺时针旋转锐角α(如图2)．(1) 中所得的结论是否仍然成立？请说明理由．（3）在(2)的条件下，连接AB、DM，若AC=4，BC=2，求AB2+DM2的值．8．已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC、CD于M、N．（1）当M、N分别在边BC、CD上时（如图1），求证：BM+DN=MN；（2）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图2），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论；（不用证明）（3）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图3），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请写出结论并写出证明过程．9．如图，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F．(1)如图，当BP=BA时，∠EBF=______°，猜想∠QFC =______°；(2)如图，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明．(3)已知线段AB＝BP＝x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式．10．我们知道，直角坐标系是研究“数形结合”的重要工具．请探索研究下列问题：（1）如图1，点A 的坐标为（-5，1），将点A 绕坐标原点（0，0）按顺时针方向旋转90°，得对应点A '，若反比例函数(0)k y x x=>的图像经过点A '，求k 的值．（2）将（1）中的(0)ky x x =>的图像绕坐标原点（0，0）按顺时针方向旋转45°，如图2，旋转后的图像与x 轴相交于点B ，若直线x =C 与点D ，求△BCD 的面积．（3）在（2）的情况下，半径为6的M 的圆心M 在x 轴上，如图3，若要使△BCD 完全在M 的内部，求M 的圆心M 横坐标xm 的范围（直接写出结果，不必写详细的解答过程）．11．对于平面直角坐标系xOy 中的点A 和点P ，若将点P 绕点A 逆时针旋转90︒后得到点Q ，则称点Q 为点P 关于点A 的“垂链点”，图1为点P 关于点A 的“垂链点”Q 的示意图．（1）已知点A 的坐标为(0,0)，点P 关于点A 的“垂链点”为点Q ；①若点P 的坐标为(2,0)，则点Q 的坐标为________； ②若点Q 的坐标为(2,1)-，则点P 的坐标为________；（2）如图2，已知点C 的坐标为(1,0)，点D 在直线113y x =+上，若点D 关于点C 的“垂链点”在坐标轴上，试求出点D 的坐标；（3）如图3，已知图形G 是端点为(1,0)和(0,2)-的线段，图形H 是以点O 为中心，各边分别与坐标轴平行的边长为6的正方形，点M 为图形G 上的动点，点N 为图形H 上的动点，若存在点(0,)T t ，使得点M 关于点T 的“垂链点”恰为点N ，请直接写出t 的取值范围．12．如图，正比例函数y ＝12x 与反比例函数()0k y x x =>的图象交于点A ，将正比例函数y ＝12x 向上平移6个单位，交y 轴于点C ，交反比例函数图象于点B ，已知AO ＝2BC ．（1）求反比例函数解析式；（2）作直线AB ，将直线AB 向下平移p 个单位，恰与反比例函数图象有唯一交点，求p 的值．13．综合与实践：问题情境：（1）如图，点E 是正方形ABCD 边CD 上的一点，连接BD 、BE ，将DBE ∠绕点B 顺针旋转90︒，旋转后角的两边分别与射线DA 交于点F 和点G ．①线段BE 和BF 的数量关系是______．②写出线段DE 、DF 和BD 之间的数量关系．并说明理由；操作探究：（2）在菱形ABCD 中，60ADC ∠=︒，点E 是菱形ABCD 边CD 所在直线上的－点，连接BD 、BE ，将DBE ∠绕点B 顺时针旋转120︒，旋转后角的两边分别与射线DA 交于点F 和点G ．①如图，点E 在线段DC 上时，请探究线段DE 、DF 和BD 之间的数量关系，写出结论并给出证明；②如图，点E在线段CD的延长线上时，BE交射线DA于点M，若2==，直接写出线段FM和AGDE DC a的长度．14．两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A＝60°，AC＝4．固定△ABC不动，将△DEF 进行如下操作：(1)操作发现如图①，△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动)，连接DC，CF，FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，那么它的面积大小是否变化呢?如果不变化，请求出其面积．(2)猜想论证如图②，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由．(3)拓展探究如图③，△DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB边上，此时F点恰好与B点重合，连接AE，求sinα翻折问题姓名：___________班级：___________学号：___________1．如图将矩形纸片ABCD 沿AE 翻折，使点B 落在线段DC 上，对应的点为F ．（1）求证：EFC DAF ∠=∠；（2）若3tan 4AE EFC =∠=，求AB 的长．2．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=2,AD 是BC 边上的中线，将A 点翻折与点D 重合，得到折痕EF ，求:CE AE 的值.3．如图，点A ，M ，N 在O 上，将MN 沿MN 折叠后，与AM 交于点B ．（1）若70MAN ∠=︒，则ANB ∠=________°；（2）如图1，点B 恰好是翻折所得MN 的中点， ①若MA MN =，求AMN ∠的度数；②若tan MAN ∠=tan AMN ∠的值；（3）如图2，若222AB BN MN +=，求MBAB的值．4．已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝m ，点E 是边BC 上一点，BE ＝1，连接AE ，沿AE 翻折△ABE 使点B 落在点F 处．（1）连接CF ，若CF ∥AE ，求m 的值；（2）连接DF ，若65≤DF ，求m 的取值范围．5．如图1，一张矩形纸ABCD ，ABa AD=，点,E F 分别在边,CD AB 上，且AE EF =，把ADE 沿AE 翻折得到AGE ．（1）如图1，若1AD =．（Ⅰ）当AD DE =时，AFE ∠=_____度；（Ⅱ）当//AG EF 时，求AF 的长度．（2）若直线EG 与边AB 交于点H ，当2AH FH =时，求a 的最小值．6．如图，在折纸游戏中，正方形ABCD 沿着BE ，BF 将BC ，AB 翻折，使A ，C 两点恰好落在点P ．（1）求证：45EBF ∠=︒．（2）如图，过点P 作//MN BC ，交BF 于点Q ． ①若5BM =，且10MP PN ⋅=，求正方形折纸的面积． ②若12QP BC =，求AM BM的值．7．如图，在ABC 中，12,120AC BC ACB ==∠=︒，点D 是AB 边上一点，连接CD ，以CD 为边作等边CDE △．（1）如图1，若45CDB ∠=︒，求等边CDE △的边长；（2）如图2，点D 在AB 边上移动过程中，连接BE ，取BE 的中点F ，连接,CF DF ，过点D 作DG AC ⊥于点G ． ①求证：CFDF ．②如图3，将CFD 沿CF 翻折得CFD '，连接BD '，求出BD '的最小值．8．在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，点E 是边BC 上一动点，连接AE ，将ABE △沿AE 翻折，点B 的对应点为点B '．（1）如图，设BE x =，BC =E 从B 点运动到C 点的过程中． ①AB CB ''+最小值是______，此时x =______； ②点B '的运动路径长为．（2）如图，设35BE a =，当点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的边上时，求a 的值．9．如图1，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CD 边的垂直平分线EH 交BD 于点E ，连接AE ，CE ．（1）过点A 作//AF EC 交BD 于点F ，求证：AF BF =；（2）如图2，将ABE △沿AB 翻折得到'ABE △．①求证：'//BE CE ；②若'//AE BC ，1OE =，求CE 的长度．10．如图，矩形ABCD 中，已知6AB =．8BC =，点E 是射线BC 上的一个动点，连接AE 并延长，交射线DC 于点F ．将ABE △沿直线AE 翻折，点B 的对应点为点B '，延长AB '交直线CD 于点M ．（1）如图1，若点B '恰好落在对角线AC 上，求BE CE的值．（2）如图2．当点E 为BC 的中点时，求DM 之长．（3）若32BE CE =，求sin DAB '∠．11．【基础巩固】（1）如图①，ABC ACD CED α∠=∠=∠=，求证：ABC CED ∽△△．【尝试应用】（2）如图②，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，点E ，F 分别为边,AD AB 上两点，将菱形ABCD 沿EF 翻折，点A 恰好落在对角线DB 上的点P 处，若2PD PB =，求AE AF的值．【拓展提高】（3）如图③，在矩形ABCD 中，点P 是AD 边上一点，连接,PB PC ，若2,4,120PA PD BPC ==∠=︒，求AB 的长．12．如图，在ABC 中，60B ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，AB CE =．（1）如图1，将ABD △沿AD 翻折到AFD ，AF 交CE 于点G ，探索线段AB 、AG 、CG 之间有何等量关系，并加以证明；（2）如图2，H 为直线BC 上任意一点，连接AH ，将AH 绕点A 逆时针旋转60°到AH '，连接CH '，若BD =，求CH '的最小值．13．如图，在矩形ABCD 中，12BC AB =，F 、G 分别为AB 、DC 边上的动点，连接GF ，沿GF 将四边形AFGD 翻折至四边形EFGP ，点E 落在BC 上，EP 交CD 于点H ，连接AE 交GF 于点O（1）GF 与AE 之间的位置关系是：______，GF AE 的值是：______，请证明你的结论；（2）连接CP ，若3tan 4CGP ∠=，GF =CP 的长14．如图，在矩形ABCD 中，8AB =，10BC =，点P 在矩形的边CD 上由点D 向点C 运动.沿直线AP 翻折ADP ∆，形成如下四种情形，设DP x =，ADP ∆和矩形重叠部分（阴影）的面积为y .（1）如图4，当点P 运动到与点C 重合时，求重叠部分的面积y ；（2）如图2，当点P 运动到何处时，翻折ADP ∆后，点D 恰好落在BC 边上？这时重叠部分的面积y 等于多少？15．如图1，ABC 中，AB AC =，点D 在BA 的延长线上，点E 在BC 上，连接DE 、DC ，DE 交AC 于点G ，且DE DC =．（1）找出一个与BDE ∠相等的角；（2）若AB =mAD ，求DG GE的值（用含m 的式子表示）；（3）如图2，将ABC 沿BC 翻折，若点A 的对应点A '恰好落在DE 的延长线上，求BE EC的值．16．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，连接AD．（1）如图1，E是AC的中点，连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，连接AE′，当时，求AE的值．（2）如图2，在AC上取一点E，使得CE=13AC，连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，连接AE′交BC于点F，求证：DF=CF．。

一次函数中的折叠、翻折、对称问题专题(专项练习)

一次函数中的折叠、翻折、对称问题专题（专项练习）1．如图，一次函数y kx b =+的图象经过点()0,2-和()2,0，该图象记作直线l ．某同学为观察k ，b 对函数图象的影响，将这个一次函数中的k 与b 交换位置后得到一个新的函数，新函数图象记作直线l '．(1) 求直线l 的解析式；(2) 若直线3x =与直线l ，l '分别相交于点A ，B ，求AB 的长；(3) 若直线x m =与直线l ，l '及x 轴有三个不同的交点，当其中两点关于第三点对称时，直接写出m 的值．2．一次函数y 3＋2的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以AB 为边在第二象限内作等边△ABC ．(1)求C 点的坐标；(2)在第二象限内有一点M （m ，2），使ABMABCSS=，求M 点的坐标；(3)将△ABC 沿着直线AB 翻折，点C 落在点E 处；再将△ABE 绕点E 顺时针方向旋转15°，点B 落在点F 处，过点F 作FG ⊥y 轴于G ．求△EFG 的面积．3．一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A （﹣8，0）和点B （0，6）．点C 在线段AO 上．如图，将△CBO 沿BC 折叠后，点O 恰好落在AB 边上点D 处．（1）求一次函数的解析式；（2）求AC 的长；（3）点P 为x 轴上一点．且以A ，B ，P 为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P 点坐标．4．如图，一次函数y=-23x+b 的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，线段AB 的中点为D （3，2）．将△AOB 沿直线CD 折叠，使点A 与点B 重合，直线CD 与x 轴交于点C ．（1）求此一次函数的解析式；（2）求点C 的坐标；（3）在坐标平面内存在点P （除点C 外），使得以A 、D 、P 为顶点的三角形与△ACD 全等，请直接写出点P 的坐标．5．如图1．在平面直角坐标系中，一次函数323y x =-+x 轴，y 轴分别交于点A 和点C ，过点A 作AB x ⊥轴，垂足为点A ；过点C 作CB y ⊥轴，垂足为点C ，两条垂线相交于点B ．（1）线段AC 的长为______，ACO ∠=______度．（2）将图2中的ABC 折叠，使点A 与点C 重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ，如图②，求线段AD 的长；（3）点M 是直线AC 上一个动点（不与点A 、点C 重合）．过点M 的另一条直线MN 与y 轴相交于点N ．是否存在点M ，使AOC 与MCN △全等？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数3124y x =+的图像分别交x ，y 轴于点A 和B ，与经过点3,02C ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,3D -的直线交于点E ．(1) 求直线CD 的函数解析式及点E 的坐标； (2) 点P 是线段DE 上的动点，连接BP ．① 当BP 分BDE △面积为1：2时，请直接写出点P 的坐标；② 将BPE 沿着直线BP 折叠，点E 对应点E '，当点E '落在坐标轴上时，直接写出点P 的坐标．7．平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O、A、C的坐标分别为O（0，0）、A（a，0）、C（0，b），且a、b满足2816210-+++-=；b b a b(1) 矩形的顶点B的坐标是（，）；(2) 若D是OC中点，沿AD折叠矩形OABC使O点落在E处，折痕为DA，连CE并延长交AB于F，求直线CE的解析式；(3) 在（2）的条件下，平面内是否存在一点P，使得△OFP是以OF为直角边的等腰直角三角形．若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．=-+交y轴于点A，交x轴于点B，点C为8．如图，在平面直角坐标系中，直线y x m线段OB的中点，作点C关于直线AB的对称点F，连接BF和OF，OF交AC于点E，交AB于点M．(1) 求点F的坐标．（用m表示）(2) 求证：OF AC⊥．9．如图，将正方形AOBC放在平面直角坐标系中，点O是坐标系原点，A点坐标为（-1，3）．(1) 求出点B、C的坐标：(2) 在x轴上有一动点Q，过点Q作PQ⊥x轴，交BC于点P，连接AP，将四边形AOBP 沿AP翻折，当点O刚好落在y轴上点E处时，求点P、D的坐标．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣43x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D（0，﹣6）在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，直线CD交AB于点E．(1) 直接写出点A、B、C的坐标；(2) 求△ADE的面积．11．如图1，一次函数y＝34x+3的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点D是直线AB上的一个动点，CD⊥x轴于点C，点P是射线CD上的一个动点．(1)求点A，B的坐标；(2)如图2，当点D在第一象限，且AB＝BD时，将ACP沿着AP翻折，当点C的对应点C'落在直线AB上时，求点P的坐标．12．如图1，在矩形OACB中，点A，B分别在x轴、y轴正半轴上，点C在第一象限，OA＝8，OB＝6．(1) 请直接写出点C的坐标；(2) 如图②，点F在BC上，连接AF，把△ACF沿着AF折叠，点C刚好与线段AB上一点C′重合，求线段CF的长度；(3) 如图3，动点P（x，y）在第一象限，且点P在直线y＝2x﹣4上，点D在线段AC 上，是否存在直角顶点为P的等腰直角三角形BDP，若存在，请求出直线PD的的解析式；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线443y x=-+与x轴、y轴分别交于点A、点B ，点D 在y 轴的负半轴上，若将DAB 沿直线AD 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处．(1) 求AB 的长；(2) 求点C 和点D 的坐标； (3) y 轴上是否存在一点P ，使得12PABOCDS S =若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，已知一次函数334y x =+的图像与坐标轴交于点A 、B ，点C 在线段AO 上，将△BOC 沿BC 翻折，点O 恰好落在AB 上点D 处．（1）求点A 、点B 的坐标；（2）求点C 的坐标；15．在平面直角坐标系中，一次函数443y x =-+的图象分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，点C 在线段OB 上，将△AOB 沿AC 翻折，点B 恰好落在x 轴上的点D 处，直线DC 交AB 于点E ．（1）求点C 的坐标；（2）若点P 在直线DC 上，点Q 是y 轴上一点（不与点B 重合），当△CPQ 和△CBE 全等时，直接写出点P 的坐标（不包括这两个三角形重合的情况）．16．已知一次函数y =-3x +3的图象分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点C (3,0)． (1) 如图1，点D 与点C 关于y 轴对称，点E 在线段BC 上且到两坐标轴的距离相等，连接DE ，交y 轴于点F ．求点E 的坐标；(2) △AOB 与△FOD 是否全等，请说明理由；(3) 如图2，点G 与点B 关于x 轴对称，点P 在直线GC 上，若△ABP 是等腰三角形，直接写出点P 的坐标．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线443y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，点()0,6D -在y 轴的负半轴上，若将DAB 沿直线AD 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处，直线CD 交AB 于点E ．(1) 直接写出点A 、B 、C 的坐标； (2) 求ADE 的面积．18．已知：如图，一次函数334y x =-的图像分别与x 轴、y 轴相交于点A 、B ，且与经过x 轴负半轴上的点C 的一次函数y ＝kx ＋b 的图像相交于点D ，直线CD 与y 轴相交于点E ，E 与B 关于x 轴对称，OA ＝3OC ．(1) 直线CD 的函数表达式为______；点D 的坐标______；（直接写出结果） (2) 点P 为线段DE 上的一个动点，连接BP ．① 若直线BP 将△ACD 的面积分为79∶两部分，试求点P 的坐标；② 点P 是否存在某个位置，将△BPD 沿着直线BP 翻折，使得点D 恰好落在直线AB 上方的坐标轴上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．19．将直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形（也称为直线的坐标三角形）．如图，一次函数y =kx -7的图像与x 、y 轴分别交于点A 、B ，那么ABO 为此一次函数的坐标三角形（也称为直线AB 的坐标三角形）．(1)如果点C 在x 轴上，将ABC 沿着直线AB 翻折，使点C 落在点()0,18D 上，求直线BC 的坐标三角形的面积；(2)如果一次函数y =kx -7的坐标三角形的周长是21，求k 值；(3)在（1）（2）条件下，如果点E 的坐标是()0,8，直线AB 上有一点P ，使得PDE △周长最小，且点P 正好落在某一个反比例函数的图像上，求这个反比例函数的解析式．20．将直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形（也称为直线的坐标三角形）．如图，一次函数y =kx -7的图像与x 、y 轴分别交于点A 、B ，那么ABO 为此一次函数的坐标三角形（也称为直线AB 的坐标三角形）．(1) 如果点C 在x 轴上，将ABC 沿着直线AB 翻折，使点C 落在点()0,18D 上，求直线BC 的坐标三角形的面积；(2) 如果一次函数y =kx -7的坐标三角形的周长是21，求k 值；(3) 在（1）（2）条件下，如果点E 的坐标是()0,8，直线AB 上有一点P ，使得PDE △周长最小，求此时△PBC 的面积．21．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数()60y kx k =+<的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，点C ，过点A 作AB x ⊥轴，垂足为点A ，过点C 作CB y ⊥轴，垂足为点C ，两条垂线相交于点B .（1）线段AB 的长为______，用关于k 的代数式表示BC 的长______.（2）折叠图1中的ABC ∆，使点A 与点C 重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ，如图2，若CD 平分BCA ∠，①求k 的值和AD 的长度.②在直线AC 上，是否存在点P ，使得APD ∆为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由.22．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y 33x 轴，y 轴分别交于点A ．点C ，过点1作AB ⊥x 轴，垂足为点A ，过点C 作CB ⊥y 轴，垂足为点C ，两条垂线相交于点B ．（1）线段OC ，OA ，AC 的长分别为OC ＝，OA ＝，AC ＝，∠ACO ＝度．（2）将图1中的ABC 折叠，使点A 与点C 重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ，如图2，求线段AD 的长；（3）点M 是直线AC 上一个动点（不与点A 、点C 重合）．过点M 的另一条直线MN 与y 轴相交于点N ．是否存在点M ，使AOC 与MCN △全等？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图①，在平面直角坐标系中，一次函数334y x =-+分别与x 轴和y 轴交于点A 、点B ，四边形OACB 为矩形．(1)如图②，点F 在BC 上，连接AF ，把ACF △沿着AF 折叠，点C 刚好与线段AB 上一点C '重合．①求点F 的坐标；②请直接写出直线FC '的解析式：______；(2)如图③，动点(),P x y 在一次函数()231.54y x x =-<<的图象上运动，点D 在线段AC 上，是否存在直角顶点为P 的等腰直角BDP △，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，在直角坐标系中放入一个矩形纸片ABCO ，将纸片翻折后，点B 恰好落在x 轴上，记为B '，折痕为CE ．直线CE 的关系式是182y x =-+，与x 轴相交于点F ，且AE =3．（1）OC = ，OF = ；（2）求点B 的坐标；（3）求矩形ABCO的面积．25．如图，Rt△ABC的顶点A（﹣6，0），B（m，0），AC交y轴正半轴于点E，将Rt△ABC 沿AC翻折得△ADC，点D恰好落在y轴上．（1）若DO平分∠ADC，求m的值；（2）若E（0，3），求C点的坐标；（3）过点E的直线MN分别交x轴，CD于M，N，且M，N分别是AB，CD的中点，求m的值．。

多题多解搞定中考压轴题之旋转与翻折

多题多解搞定中考压轴题之旋转与翻折图形的运动---翻折类
另解：
分析：
当然对于边AE、CE的求解还可如下
问题转换成两条线段上的定点分线段的比的问题AC线段AE:EC=5：3
AB线段AD:DB=1
方法：
①添置平行线
②面积法
③梅涅劳斯定理
④口算：杠杆平衡原理
将原图分解为如下
分析
分析：
分析：
分析：
分析：
图形的运动---翻折
需把握翻折运动改变的仅仅是位置，而大小和形状是不发生改变的故翻折前后，两个图形全等。

①关注对应边和对应角相等；
②折痕既是角平分线又是对称点连线段的垂直平分线。

图形的运动---旋转类
分析
分析：
以上两题充分利用旋转本身产生的等腰三角形相似。

分析：
另解
分析：
对于以旋转为背景的试题，笔者认为需要有以下几方面认知：
①：明确旋转得三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角。

在试题没有图形的情况下，得从旋转的三要素来构图，还需注意旋转方向往往可能涉及两解；
②：明确旋转前后的不变量，边、角；
③：重视旋转产生的等腰三角形，往往是突破口。

有关面积
分析：
分析：
分析：
文章来源：爱在数学，作者：郭庆明。

中考复习2-图形的运动之翻折

上海初中中考复习图形的运动之翻折教学内容一．图形的运动：平移，翻折，旋转。

二．性质：1.【共性】全等性。

（对应边相等，对应角相等。

）2.【特性】①平移：平移后的对应点的连线平行且相等。

②翻折：翻折后的对应点的连线被折痕(对称轴）垂直平分。

③旋转：旋转后的对应点与旋转中心的连线相等，其夹角是旋转角，也相等。

平移：翻折：旋转：知识点一（图形运动之翻折角度）【例题精讲】例1.如图1，EF 为正方形ABCD 的对折线，将DAK ∆翻折，使顶点A 与EF 上的点G 重合，则____DKG ∠=。

图1【答案】75 【解析】：因为1122DF AE AD DG ===，所以30DGF EKG ∠=∠=例2.如图2，等边OAB ∆直角坐标系中的位置如图示，折叠三角形使点B 与y 轴上的点C 重合，折痕为MN ，且CN 平行于x 轴，则___CMN ∠=。

图2【答案】45【解析】：可证CM AB ⊥，所以45CMN BMN ∠=∠=.【课堂练习】1.如图3-1，在矩形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点G 在BC 上，60BEG ∠>︒，将GBE ∆沿直线GE 折叠得到GHE ∆．联结AH ，则与BEG ∠相等的角的个数为。

图3-1【答案】3【解析】连结BH,如图3-2，.3.4321,31,43,90,21,,,,1,601,,2100个相等的角有则与为直角三角形，的中点，是点又而，处，落在纸片上的点将纸片折叠，使点沿直线BEG AHB AHB AB EH EA EB EH AB E EHB EBH EH EB AEH EG BH EH EB H B EG ∠∠=∠=∠=∠∴∠=∠∴∠=∠=∠∆∴=∴==∴∠=∠∴=∠≠∠∴>∠⊥=∠=∠∴图3-22.如图4-1，已知菱形ABCD 中，︒=∠60ABC ，点E 在边BC 上，︒=∠25BAE .把线段AE 绕点A 逆时针方向旋转，使点E 落在边CD 上，则旋转角α的度数为．（︒<<︒1800α）图4-1【答案】60°或70° 【解析】：连接AC ..60,60,60000=∠∴=∠=∠∴∆∴=∠ACD ACB BAC ABC ABC ABCD 是等边三角形，中，菱形①如图4-2，将11,AE AE ABE ABE =∆≅∆ABE ∆绕点A 逆时针旋转，使点B 与点C 重合，点E 与点1E 重合，此时,旋转角;600=∠=BAC α图4-2②,35,25,60000=∠∴=∠=∠EAC BAE BAC如图4-3，将线段AE 绕点A 逆时针旋转070，使点E 到点2E 的位置，此时,70,,0222=∠==∆≅∆EAE AE AE C AE AEC α旋转角A DBCE图4-3知识点二（图形运动之翻折边长）【例题精讲】例1.如图5，已知边长为6的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿EF折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC,则CE 的长是______ ．图5【答案】24123CE =-【解析】：翻折边长相等。

初中几何翻折变换问题题型梳理

翻折问题题型梳理折叠型问题是近年中考的热点问题，通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。

折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。

我们一起来探这类题目如何找到突破口，如何用我们已经掌握的知识和方法来解答，继而发现这类问题特有的解题思维模式。

初中数学专题复习(翻折变换问题)

初中数学专题复习（翻折变换问题）1．（2020•衢州）如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC＝1，则AB的长度为（）A．B．C．D．解：由折叠补全图形如图所示，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADA'＝∠B＝∠C＝∠A＝90°，AD＝BC＝1，CD＝AB，由第一次折叠得：∠DA'E＝∠A＝90°，∠ADE＝∠ADC＝45°，∴∠AED＝∠ADE＝45°，∴AE＝AD＝1，在Rt△ADE中，根据勾股定理得，DE＝AD＝，由第二次折叠知，CD＝DE＝，∴AB＝．故选：A．2．（2020•西宁）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝BN，AD＝3AM，E为BC边上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线折叠得到△DC′E，当C′点恰好落在线段MN上时，CE的长为（）A．或2B．C．或2D．解：设CE＝x，则C′E＝x，∵矩形ABCD中，AB＝5，∴CD＝AB＝5，AD＝BC＝6，AD∥BC，∵点M，N分别在AD，BC上，且3AM＝AD，BN＝AM，∴DM＝CN＝4，∴四边形CDMN为平行四边形，∵∠NCD＝90°，∴四边形MNCD是矩形，∴∠DMN＝∠MNC＝90°，MN＝CD＝5由折叠知，C′D＝CD＝5，∴MC′＝＝＝3，∴C′N＝5﹣3＝2，∵EN＝CN﹣CE＝4﹣x，∴C′E2﹣NE2＝C′E2，∴x2﹣（4﹣x）2＝22，解得，x＝，即CE＝．故选：B．3．（2020•黔南州）如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E 与BF交于点G．已知∠BGD′＝30°，则∠α的度数是（）A．30°B．45°C．74°D．75°解：∵矩形纸条ABCD中，AD∥BC，∴∠AEG＝∠BGD'＝30°，∴∠DEG＝180°﹣30°＝150°，由折叠可得，∠α＝∠DEG＝×150°＝75°，故选：D．4．（2020•呼和浩特）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E、H在AD边上，点F，G在BC边上），＝8，使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A'、D点的对称点为D'，若∠FPG＝90°，S△A′EPS△D′PH＝2，则矩形ABCD的长为（）A．6+10B．6+5C．3+10D．3+5解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，设AB＝CD＝x，由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，∵△A′EP的面积为8，△D′PH的面积为2，又∵，∠A′PF＝∠D′PG＝90°，∴∠A′PD′＝90°，则∠A′PE+∠D′PH＝90°，∴∠A′PE＝∠D′HP，∴△A′EP∽△D′PH，∴A′P2：D′H2＝8：2，∴A′P：D′H＝2：1，∵A′P＝x，∴D′H＝x，∵S△D′PH＝D′P•D′H，即，∴x＝（负根舍弃），∴AB＝CD＝，D′H＝DH＝，D′P＝A′P＝CD＝，A′E＝2D′P＝，∴PE＝，PH＝，∴AD＝＝，即矩形ABCD的长为，故选：D．5．（2020•内江）如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD 上的点M处，点C落在BD上的点N处，连接EF．已知AB＝3，BC＝4，则EF的长为（）A．3B．5C．D．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠A＝∠C＝∠EDF＝90°，∴BD＝＝＝5，∵将矩形ABCD沿BE所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，∴AE＝EM，∠A＝∠BME＝90°，∴∠EMD＝90°，∵∠EDM＝∠ADB，∴△EDM∽△BDA，∴，设DE＝x，则AE＝EM＝4﹣x，∴，解得x＝，∴DE＝，同理△DNF∽△DCB，∴，设DF＝y，则CF＝NF＝3﹣y，∴，解得y＝．∴DF＝．∴EF＝＝＝．故选：C．6．（2020•青岛）如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O．若AE＝5，BF＝3，则AO的长为（）A．B．C．2D．4解：∵矩形ABCD，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∴∠EFC＝∠AEF，由折叠得，∠EFC＝∠AFE，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF＝5，由折叠得，FC＝AF，OA＝OC，∴BC＝3+5＝8，在Rt△ABF中，AB＝＝4，在Rt△ABC中，AC＝＝4，∴OA＝OC＝2，故选：C．7．（2020•滨州）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A 落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N．若直线BA′交直线CD于点O，BC＝5，EN＝1，则OD的长为（）A．B．C．D．解一：∵EN＝1，∴由中位线定理得AM＝2，由折叠的性质可得A′M＝2，∵AD∥EF，∴∠AMB＝∠A′NM，∵∠AMB＝∠A′MB，∴∠A′NM＝∠A′MB，∴A′N＝2，∴A′E＝3，A′F＝2过M点作MG⊥EF于G，∴NG＝EN＝1，∴A′G＝1，由勾股定理得MG＝＝，∴BE＝DF＝MG＝，∴OF：BE＝2：3，解得OF＝，∴OD＝﹣＝．故选：B．解二：连接AA'．∵EN＝1，∴由中位线定理得AM＝2，∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，∴A'A＝A'B，∵把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，∴A'B＝AB，∠ABM＝∠A'BM，∴△ABA'为等边三角形，∴∠ABA′＝∠BA′A＝∠A′AB＝60°，又∵∠ABC＝∠BAM＝90°，∴∠ABM＝∠A'BM＝∠A'BC＝30°，∴BM＝2AM＝4，AB＝AM＝2＝CD．在直角△OBC中，∵∠C＝90°，∠OBC＝30°，∴OC＝BC•tan∠OBC＝5×＝，∴OD＝CD﹣OC＝2﹣＝．故选：B．8．（2020•重庆）如图，在△ABC中，AC＝2，∠ABC＝45°，∠BAC＝15°，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD．过点A作AE，使∠DAE＝∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为（）A．B．3C．2D．4解：如图，延长BC交AE于H，∵∠ABC＝45°，∠BAC＝15°，∴∠ACB＝120°，∵将△ACB沿直线AC翻折，∴∠DAC＝∠BAC＝15°，∠ADC＝∠ABC＝45°，∠ACB＝∠ACD＝120°，∵∠DAE＝∠DAC，∴∠DAE＝∠DAC＝15°，∴∠CAE＝30°，∵∠ADC＝∠DAE+∠AED，∴∠AED＝45°﹣15°＝30°，∴∠AED＝∠EAC，∴AC＝EC，又∵∠BCE＝360°﹣∠ACB﹣∠ACE＝120°＝∠ACB，BC＝BC，∴△ABC≌△EBC（SAS），∴AB＝BE，∠ABC＝∠EBC＝45°，∴∠ABE＝90°，∵AB＝BE，∠ABC＝∠EBC，∴AH＝EH，BH⊥AE，∵∠CAE＝30°，∴CH＝AC＝，AH＝CH＝，∴AE＝2，∵AB＝BE，∠ABE＝90°，∴BE＝＝2，故选：C．9．（2020•重庆）如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝3，BF＝2，△ADG的面积为2，则点F到BC 的距离为（）A．B．C．D．解：∵DG＝GE，＝S△AEG＝2，∴S△ADG∴S△ADE＝4，由翻折可知，△ADB≌△ADE，BE⊥AD，＝S△ADE＝4，∠BFD＝90°，∴S△ABD∴•（AF+DF）•BF＝4，∴•（3+DF）•2＝4，∴DF＝1，∴DB＝＝＝，设点F到BD的距离为h，则有•BD•h＝•BF•DF，∴h＝，故选：B．10．（2020•济南）如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在B'处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点C'处，EF为折痕，连接AC'．若CF＝3，则tan∠B'AC′＝．解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，∴2x2﹣20x+173＝125，解得，x＝4或6，当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝10﹣6＝4，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，∴CE＝C′E＝4，∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，∴tan∠B'AC′＝．故答案为：．另一解法：由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，∴∠AEB+∠CEF＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△ABE∽△ECF，∴，设BE＝x，则BE＝B'E＝x，C'E＝CE＝10﹣x，∴，解得，x＝4或6，∴BE＝B'E＝4，CE＝C'E＝6，或BE＝B'E＝6，CE＝C'E＝4，∵B'E＞C'E，∴BE＝B'E＝6，CE＝C'E＝4，∴B'C'＝B'E﹣C'E＝6﹣4＝2，由折叠知，AB'＝AB＝8，∠B'＝∠B＝90°，∴tan∠B'AC′＝．解法三：设BE＝a，EC＝b，则a+b＝10．由于△AB'E～△EC'F，所以AB'：EC'＝EB'：C'F，即8：a＝b：3，ab＝24．B'C'＝a﹣b，因为（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝100﹣96＝4．所以B'C′＝2．所以tan∠B'AC′＝．故答案为．11．（2020•淄博）如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点．将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN＝5cm．解：连接AC，MC．由翻折的性质可知，BE垂直平分线段CF，∵FM⊥BE，∴F．M，C共线，FM＝MC，∵AN＝FN，∴MN＝AC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝10（cm），∴MN＝AC＝5（cm），故答案为5．12．（2020•威海）如图，四边形ABCD是一张正方形纸片，其面积为25cm2．分别在边AB，BC，CD，DA上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝acm（AE＞BE），连接EF，FG，GH，HE．分别以EF，FG，GH，HE为轴将纸片向内翻折，得到四边形A1B1C1D1．若四边形A1B1C1D1的面积为9cm2，则a＝4．解：∵四边形ABCD是一张正方形纸片，其面积为25cm2，∴正方形纸片的边长为5cm，∵AE＝BF＝CG＝DH＝acm，∴BE＝AH＝（5﹣a）cm，又∠A＝∠B＝90°，∴△AHE≌△BEF（SAS），同理可得△AHE≌△BEF≌△DGH≌CFG，由折叠的性质可知，图中的八个小三角形全等．∵四边形A1B1C1D1的面积为9cm2，∴三角形AEH的面积为（25﹣9）÷8＝2（cm2），a（5﹣a）＝2，解得a1＝1（舍去），a2＝4．故答案为：4．13．（2020•牡丹江）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在AC边上．将∠A沿直线BE翻折，点A落在点A'处，连接A'B，交AC于点F．若A'E⊥AE，cos A＝，则＝．解：∵∠C＝90°，cos A＝，∴，设AC＝4x，AB＝5x，则BC＝3x，∵AE⊥AE′，∴∠AEA′＝90°，A′E∥BC，由于折叠，∴∠A′EB＝∠AEB＝（360﹣90）÷2＝135°，∵∠A′EF＝∠C＝90°，∠EFA′＝∠BFC，∴△A′EF∽△BCF，∴∠BEC＝45°，即△BCE为等腰直角三角形，∴EC＝3x，∴AE＝AC﹣EC＝x＝A′E，∴，故答案为：．14．（2020•南通）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．（1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值；（2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．解：（1）如图①中，取DE的中点M，连接PM．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠C＝90°，由翻折可知，AO＝OP，AP⊥DE，∠2＝∠3，∠DAE＝∠DPE＝90°，在Rt△EPD中，∵EM＝MD，∴PM＝EM＝DM，∴∠3＝∠MPD，∴∠1＝∠3+∠MPD＝2∠3，∵∠ADP＝2∠3，∴∠1＝∠ADP，∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠DPC，∴∠1＝∠DPC，∵∠MOP＝∠C＝90°，∴△POM∽△DCP，∴＝＝＝，∴＝＝．解法二：证明△ABP和△DAE相似，＝＝．（2）如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．则四边形AGHD是矩形，设EG＝x，则BG＝4﹣x∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，∴∠EPG＝∠PDH，∴△EGP∽△PHD，∴＝＝＝＝，∴PH＝3EG＝3x，DH＝AG＝4+x，在Rt△PHD中，∵PH2+DH2＝PD2，∴（3x）2+（4+x）2＝122，解得x＝（负值已经舍弃），∴BG＝4﹣＝，在Rt△EGP中，GP＝＝，∵GH∥BC，∴△EGP∽△EBF，∴＝，∴＝，∴BF＝3．15．（2020•无锡）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为边CD上的一点（与C、D不重合），四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，延长ME交AB于点P，记四边形PADE的面积为S．（1）若DE＝，求S的值；（2）设DE＝x，求S关于x的函数表达式．解：（1）∵在矩形ABCD中，∠D＝90°，AD＝1，DE＝，∴AE＝＝，∴tan∠AED＝＝，∴∠AED＝60°，∵AB∥CD，∴∠BAE＝60°，∵四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，∴∠AEC＝∠AEM，∵∠PEC＝∠DEM，∴∠AEP＝∠AED＝60°，∴△APE为等边三角形，∴S＝（+）×1＝；（2）过E作EF⊥AB于F，由（1）可知，∠AEP＝∠AED＝∠PAE，∴AP＝PE，设AP＝PE＝a，AF＝ED＝x，则PF＝a﹣x，EF＝AD＝1，在Rt△PEF中，（a﹣x）2+1＝a2，解得：a＝，∴S＝＝．。

初三数学旋转翻折等几何试题及答案

旋转、平移、翻转等问题讨论答案例1、已知P为等边△ABC内一点，PA＝2，PB＝，PC＝4．求△ABC中∠APB的度数．解：将△PBC绕点B顺时针旋转60°得到△P′BA，连接PP′．则△PBC≌△P′BA．∴BP＝BP′＝．而∠PBP′＝60°，∴△PBP′是等边三角形，∴∠2＝60°，PP′＝BP ＝．∵，∴，∴∠1＝90°．故∠APB＝∠1＋∠2＝150°．例2、如图所示，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点，（不与A、C重合），PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F．（1）求证：BP＝PD；（2）如图，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP＝DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明．（3）试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论．答案：（1）证明△APB≌△APD（SAS）得BP＝PD．（2）解：不是总有BP＝DP．理由：若旋转角为45°，则点P在BC上．∵正方形ABCD中∠DCP＝90°，∴PD＞DC．∵DC＝BC，∴PD＞BC．∵BC＞PB，∴PD＞PB．（3）解：BE＝DF始终成立．证明：∵正方形ABCD和正方形PECF中，∠BCD＝∠ECF＝90°，∴∠1＝∠2．∵CE＝CF，CB＝CD，∴△CBE≌△CDF．∴BE＝DF．例3、如图，将△ABC绕点C（0，－1）旋转180°得到△ABC，设点A的坐标为（a，b），则点A的坐标为（）A．B．C．D．例4、如图，在坐标平面内，△ABC的三个顶点坐标分别为A(0，5)，B(－20，－10)，C(5，－10)．(1)求△ABC的面积．(2)如何把△ABC平移到△A′B′O的位置，使点C与原点O重合，点B′在x轴的负半轴上?(3)求△A′B′O的顶点A′、B′的坐标．解：(1)因为B、C两点的坐标分别为(－20，－10)、(5，－10)，所以BC∥x轴，BC＝|5－(－20)|＝25．设BC与y轴相交于点D，则点D的坐标为(0，－10)．又点A坐标为(0，5)，AD是△ABC的高，故AD＝|5－(－10)|＝15．所以，△ABC的面积(2)由(1)，得BC∥x轴，由此可知将BC边平移到B′O，与把点C平移到点O的规律相同．因为点C的坐标为(5，－10)，所以由点C往左平移5个单位，向上平移10个单位可与点O重合．所以，将△ABC向左平移5个单位，向上平移10个单位即可到达△A′B′O的位置．(3)根据平移的规律，得点A′的坐标为(0－5，5＋10)，点B′的坐标为(－20－5，－10＋10)，即点A′、B′的坐标分别为A′(－5，15)、B′(－25，0)．点拨：已知三角形的三个顶点，求三角形面积这类问题中，本例(1)是特殊情形，其中有两个顶点的纵坐标(或横坐标)相等，即有一边平行于坐标轴．因此，它的底边和高可直接利用公式d＝|x2－x1|或d＝|y2－y1|求出．本例(2)、(3)的图形，在平移前后对应点的坐标的变化规律：每一点的横坐标都比原来增加(或减小)同一个数，纵坐标也都比原来增加(或减少)同一个数．如本例(2)，由平移前后的对应点C和O的坐标变化分析出△ABC的平移规律；本例(3)再按这个平移规律分别求出A、B的对应点A′、B′的坐标．例5、（天津市中考题）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A(－4，－1)，B（1，1），将线段AB平移后得到线段，若点的坐标为（－2，2），则点的坐标为（）A．（4，3）B．（3，4）C．（－1，－2）D．（－2，－1）例6、如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝4，现将△ABC沿CB方向平移到△A′B′C′的位置．（1）若平移距离为3，求△ABC与△A′B′C′的重叠部分的面积；（2）若平移距离为x（），求△ABC与△A′B′C′的重叠部分的面积y，并写出y与x的关系式．显示答案解：（1）由题意CC′＝3，BB′＝3，所以BC′＝1，又由题意易得重叠部分是一个等腰直角三角形，所以其面积为．（2）（0≤x≤4）例7、如图所示，A、B两点在l的两侧，在l上找一点C，使C到A、B的距离之差最大．分析：以l为对称轴作A点的对称点A′，作直线A′B交l于C点，则C为所求作的点．证明：在l上异于C点，找一点C′，连接C′A，C′B∵A，A′关于l轴对称，∴l为AA′的垂直平分线，则CA＝CA′．∴CA－CB＝CA′－CB＝A′B．又∵C′在l上，在△A′BC′中，C′A′－C′B<A′B，∴C′A′－C′B<CA－CB．例8、在直角坐标系中，已知点A（4，0）和B（0，3），若有一个直角三角形与Rt△ABO全等，且它们有一条公共边，请写出这个直角三角形未知顶点的坐标（不必写出计算过程）．解：（－4，0），（－4，3），（4，－3），（0，－3），（4，3），．例9、如图所示，AD为△ABC的高，∠B＝2∠C，用轴对称证明CD＝AB＋BD．显示答案证明：作点B关于AD的对称点E，连接AE，因为AD⊥BC，所以E点在BC上．由轴对称性质知，BD＝DE，AB＝AE，∠1＝∠B．因为∠1＝∠2＋∠C，∠B＝∠1＝2∠C．所以∠2＝∠C，所以 AE＝CE．所以CD＝BD＋AB．例10、下列投影中，不属于中心投影的是（）A．晚上路灯下小孩的影子B．舞台上灯光下演员的影子C．阳光下树的影子D．电影屏幕上演员的影子解：太阳光是平行光，不是点光源发出的光线，故选C．例11、一位小朋友拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地面上的影子不可能是（）A．B．C． D．例12、与一盏路灯相对，有一玻璃幕墙，幕墙前面的地面上有一盆花和一棵树．晚上，幕墙反射路灯灯光形成了那盆花的影子，树影是路灯灯光形成的，如下图所示，你能确定此时路灯光源的位置吗？解：过盆花及其影子顶端作直线，作反射面法线，并作∠2＝∠1，得光线l1，过树及其影子顶端作直线l2，两线交于点O，则O处为灯光位置．例13、如图，不透明的圆锥体DEC放在直线BP所在水平面上，且BP过底面圆的圆心，圆锥高为，底面半径为2m，某光源位于点A处，照射圆锥体在水平面上留下的影长BE＝4m．（1）求∠B的度数；（2）若∠ACP＝2∠B，求光源A距平面的高度．隐藏答案解：（1）设圆心为O，连DO，则DO⊥BP，在△BOD中，BO＝BE＋EO＝4＋2＝6（m），Welcome To Download欢迎您的下载，资料仅供参考！。