线性代数第三章向量与向量空间
线性代数第三章总结
第三章 几何空间一、 向量的运算1. 向量的数量积（1） 在仿射坐标系123{;,,}O e e e 中给定两个向量123(,,)x x x α=，123(y ,,)y y β=，则112323(,,)y x x x A y y αβ⎛⎫ ⎪⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，其中111213212223313233e e e e e e A e e e e e e e e e e e e ⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭. （2） 在直角坐标系{;,,}O i j k 中给定两个向量123(,,)x x x α=，123(y ,,)y y β=，则131233213(,,)i i i y x x x I y x y y αβ=⎛⎫ ⎪⋅== ⎪ ⎪⎝⎭∑ ∙ =0αβαβ⊥⇔⋅2. 向量的向量积在直角坐标系{;,,}O i j k 中给定两个向量123(,,)x x x α=，123(y ,,)y y β=，则123123i jk x x x y y y αβ⨯=. ∙ //=0αβαβ⇔⨯3. 向量的混合积在直角坐标系{;,,}O i j k 中给定两个向量123(,,)x x x α=，123(y ,,)y y β=，123(,,)z z z γ=则123123123(,,)x x x y y y z z z αβγ=. ∙ (,,)0αβγαβγ⇔=，，共面例：（1）设=αβγδ⨯⨯， =αγβδ⨯⨯，证明αδ-，βγ-共线.（2）设0αββγγα⨯+⨯+⨯=，证明αβγ，，共面.（3）证明()()βγααγβγ⋅-⋅⊥.证明：（1）因为()()αδβγ-⨯-=αβαγδβδγ⨯-⨯-⨯+⨯=αβγδαγ⨯-⨯-⨯+0βδ⨯=，所以αδ-，βγ-共线.(2)因为()αβγ=，，()αβγ⨯⋅=()βγγ-⨯⋅()γαγ-⨯⋅=()βγγ-，，()γαγ-，，0=，所以αβγ，，共面.（3） 因为(()βγα⋅())αγβγ-⋅⋅=()βγ⋅()αγ⋅()αγ-⋅()βγ⋅0=，所以()βγα⋅()αγβ-⋅γ⊥.二、 位置关系的判断1. 两个向量的共线；三个向量的共面.2. 两条直线异面，共面（相交、平行、重合）3. 两个平面相交、平行、重合4. 直线与平面相交、平行、直线在平面上.三、距离和垂线（在右手直角坐标系中讨论）1. 点到直线的距离，垂线方程垂线方程：设直线过已知点0000,,)P x y z （方向向量为0()X Y Z υ=，，，求过111(,,)P x y z 点直线的垂线方程。
同济大学线性代数教案第三章向量空间与线性方程组解的结构
线性代数教学教案第三章 向量组及其线性组合授课序号01,n a 组成的有序数组称为2n a ⎪⎪⎪⎭维向量写成),,n a个分量，其中T,…来表示,n a 是复数时，维复向量，当12,,,n a a a 是实数时，本书所讨论的向量都是实向量0⎪⎪⎪⎭或()0,0,,00=.2n a ⎪⎪⎪⎭称为向量2n a ⎪⎪⎪⎭的负向量，记为α. 向量的运算：由于向量可看成行矩阵或列矩阵，因此我们可用矩阵的运算来定义向量的运算，也就是：122,n n a a b ⎛⎫⎛⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭β，k ∈，则有1122n n a b a b a b +⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭β； （2）2n k ka ⎪⎪⎪⎭α；我们称这两种运算为向量的线性运算)1221122,,n n n n b ba a ab a b a b b ⎛⎫⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪⎝⎭；()111212212221212,,,n n n n n n n n a b a b a b a b a ba b b b b a a b a b a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪⎪⎭⎝⎭. 二、向量组及其线性组合：：由若干个维数相同的向量构成的集合，称为向量组． ：给定n 维向量组,,,n ααα，对于任意一组数,,,n k k k ，表达式+n n k k α,n α和一个,n k ，使得++n n k =βα，,,n α线性表示，或者说向量β是向量组,n α的一个线性组合量组12,,,n ααα（唯一）线性表分必要条件是+n n x =α有（唯一）解.三、向量组的等价：由向量组B 线性表示：,,m αα是m ,,s β是s 维向量组成的向量组. 中每一个向量,)s β均可由向量组,m α线性表,s β可由向量组:A 12,,,m ααα线性表示.A 与向量组可以相互线性表示，则称向量组A 与向量组2,,,m αα与向量组:B 2,,,s βββ. 令矩阵),m A α，),s β，则向量组B 可由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵方程=B向量组A 与向量组等价的充分必要条件是矩阵方程=BY A四、主要例题：1211222221122n n n n m m mn n ma x a x a x a x a xb +++++=中第()121,2,,i i i mi a ai n a ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭α，维列向量2m b ⎪⎪⎪⎭， n n x β+=α12122212n n m m mn a a a a a ⎫⎪⎪⎪⎪⎭，将矩阵A 与列向量组和行向量组对应2100010,,,001n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e e ，将任一向量2n a ⎪⎪⎪⎭由12,,n e e e 线性表示536⎫⎪⎪⎪-⎭及向量组123101,2,11⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭βββ，试问α能否由12,ββ123-⎫⎛⎫⎛⎫授课序号02,m α，如果存在一组不全为零的数,m k ，使得m m k +α，则称向量组,m α线性相关．线性无关：若当且仅当0m k ==时，才有112m m k k k ++=0ααα,m α线性无关.m 个n 维向量构成的向量组12,,,m ααα线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组1122m m k k k +++=0ααα有非零解；线性无关的充分必要条件是上述齐次线性方程组只有零解0m k k k ===(,m m α线性相关的充分必要条件是存在某一个向量(1j ≤α2线性相关的充分必要条件是它们的分量对应成比例是向量组A 的部分组线性无关，则其部分组,m α是m 个,m α线性无关，而向量组,,m αβ线性相关，则向量,m α线性表示，且表示式是唯一的如果向量组1,,s ααα可由向量组,t β线性表示，并且s >,s α线性如果向量组12,,,s ααα可由向量组2,,t β线性表示，并且向量组,s α线性无关，则2,,s α与向量组,t β均线性无关，并且这两个向量组等价，则s t =.2322,2⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪α，存在一组不全为零的数20,,,001n ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭e e ，对任意一组数12120001001n n n n k k k k k k k ⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭e ，0n k ==时，才有1122n n k k k +++=0e e e ，所以向量组1,,n e e e 线性无关证明：任一含有零向量的向量组必定线性相关.221,11⎫⎛⎫⎛⎫⎪ =⎪ ⎪ -⎭⎝α，判断向量组12,,αα授课序号03,r α满足条件：）向量组1,,r ααα线性无关；）对于A 中任意的向量β，向量组,,r αβ线性相关，则称向量组12,,r ααα为向量组的一个极大线性无关组，简称极大无关组向量组A 的任意一个极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩，记为等价的向量组有相同的秩二、矩阵秩的概念及求法：rB ，则RA B ,n α为列构作矩阵),,n α，对矩阵的阶梯数给出矩阵的秩，从而给出向量组1,,n ααα的秩),n β，,n α与向量组,n β有相同的线性相关性，从而可以根据向量组,n β的极大无关组给出向量组12,,,n ααα的极大无关组，并给出不属于极大无关组的向量由极大无关组线性表示的表示20,,,001n ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭e e 线性无关，所以该向量组的极大无关组就是它3145,1227⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭α，向量1α与2α的分量不对应成比例，。
线性代数课件 第三章——向量 3 向量组的秩、向量空间简介
, m
, m 线性无关； , m 线性表示.
ii) V中任意向量都可由 1 , 2 ,
§3 向量组的秩、向量空间简介
注.向量空间V的维数实际上就是向量组的秩.
dim L(1 , 2 , , m ) R{1 , 2 , , m }.
定理5：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r+1
, m 线性
, s )是 L(1 , 2 ,
, m ) 的子空间.
பைடு நூலகம்
§3 向量组的秩、向量空间简介
2.基变换与坐标变换
定义4. 向量空间V的一个极大线性无关组称为V的一 个基，基所含向量的个数称为V的维数，记作dimV. 规定：零向量空间没有基，维数定义为0. 判别.设 1 , 2 , , m是V中m个向量,则 1 , 2 , 是V的一个基的充要条件是 i) 1 , 2 ,
向量都线性相关.
推论：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r个
线性无关的向量组都是V的一个基.
§3 向量组的秩、向量空间简介
定义5. 若 1 , 2 , , m是向量空间V的一个基,则
V中任意向量 可唯一表示为
k1 k2 , m ) k m
k11 k2 2
第三章 向量
§1 n维向量的线性相关性 §2 线性相关性的结论、极大线性无关组 §3 向量组的秩、向量空间简介 §4 向量的内积
一、向量组的秩 二、向量空间简介
一、向量组的秩
定义1 向量组 1 , 2 , , m 的极大无关组所含向量
的个数，称为该向量组的秩，记作 R{1 , 2 , 规定：零向量组的秩为0.
4 (1,2, k ,6)T , 5 (1,1,2,4)T ， 求向量组1 , 2 , 3 , 4 , 5
线性代数教案-向量与向量空间
线性代数教学教案第3章 向量与向量空间授课序号01 教 学 基 本 指 标教学课题 第3章 第1节 维向量及其线性运算课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 维向量的概念、向量的线性运算的性质教学难点 向量的线性运算的性质 参考教材 同济版《线性代数》作业布置 课后习题大纲要求 理解维向量的概念 教 学 基 本 内 容一． 维向量的概念1．维向量：由个数组成的有序数组称为维向量.2．称为维行向量，称为维列向量. 二．维向量的线性运算1．定义：（1）分量全为0的向量称为零向量；（2）对于，称为的负向量； （3）对于，，当且仅当时，称与相等；（4）对于，，称为与的和；（5）对于，，称为与的差； （6）对于，为实数，称为的数乘，记为.2．向量的线性运算的性质：对任意的维向量和数，有：n n n n n n n a a a ,,,21 n ),,,(21n a a a n 12⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n a a a n n ()12T n αa ,a ,,a = ()12---Tn a ,a ,,a αT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =β),,2,1(n i b a i i ==αβT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =βT n n b a b a b a ),,,(2211+++ αβT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =β()1122---Tn n a b ,a b ,,a b αβT n a a a ),,,(21 =αk T n ka ka ka ),,,(21 ααk n γβα，，l k ,（1）;（2）;（3）;（4）;（5）;（6）;（7）；（8）.三．例题讲解例1． 某工厂两天的产量(单位:吨)按照产品顺序用向量表示,第一天为第二天为求两天各产品的产量和.αββα+=+)()(γβαγβα++=++αα=+00-αα=αα=⋅1αα)()(kl l k =βαβαk k k +=+)((k l )αk αl α+=+1(15,20,17,8),=T α2(16,22,18,9),=T α授课序号02 教 学 基 本 指 标教学课题 第3章 第2节 向量组的线性关系 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合教学重点 线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关的定义，向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法教学难点 有关线性相关、线性无关的证明 参考教材 同济版《线性代数》作业布置 课后习题大纲要求 1．理解向量的线性组合与线性表示。
线性代数第3章向量空间
表示, 又 m>n, 由表示不等式
r(Blm ) r( Aln ) n m 从而 B 必相关.
-26-
(6) “短的无关, 则长的也无关.等价地… ” P101推论3
无穷多种表示, 并求所有表示方法.
解 记 A [1,2 ,3 ] 只需讨论 Ax 解的情况.
具体解方程组过程略。
0 时,方程组无解, 不能由 A 表示. 0 且 3时, 方程组有唯一解, 可由 A 唯一表示.
-12-
3 时, 方程组有无穷多解, 可由 A 无穷多种表示.
1
1 2
,
2
3 4
是无关的.
1
3
n r( Amn ) r(Bln ) n
1 , 2 也是无关的.
2
4
r(Bln ) n
1
再如：1
2 0 0
,
0
2
101,
0
3
9 0 1
.
-27-
(7)含有n个向量的n元向量组线性相关（无关）
由它构成的n阶矩阵的行列式 | A | 0 (| A | 0) 例4 t 取何值时,下列向量组线性相关 ? P101推论2
(用矩阵的秩) r( A) n
把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性 无关，否则如果矩还阵是的转秩换小！于转向换量线的性个无数关就…线性相关。
-18-
例1
1
0
2
1 1,2 2,3 4,
1
5
7
问向量组 {1,2 ,3 } 和 {1,2 }的线性相关性?
线性代数—3.3 向量空间
一、向量空间的概念 二、向量空间的基和维数 三、基变换与过渡矩阵
一、向量空间的概念
例1 设 V 为平面上所有起点在定点 O 的向量的集合.
集合 V 具有如下性质: (1) 若 aV, bV, 则 a + bV;
B
a2 a
(2) 若 aV, kR, 则 kaV, 称 V 为平面向量空间.
a 可唯一地表示为 a k1a1 + L + krar
称 (k1, , kr) 为向量 a 在基 a1, , ar 下的坐标.
例4 验证 a1 (1,-1,0)T, a2 (0,1,3)T, a3 (2,1,8)T 为R3 的 一个基, 并求 b1 (5,0,12)T, b2 (9,-7,8)T, b3 (3,1,11)T 在这
O a1 A
uuur uuur a OA + OB k1a1 + k2a2
设 V 中两向量 a1, a2 线性无关, 即 a1, a2 不共线, 则
V {k1a1 + k2a2 | k1,k2 R} 称 V 为由向量组 a1, a2 生成的向量空间.
例2 设 n 元方程组 Ax 0 的解集为 S, 秩 R(A) r < n.
• L(A) 为向量空间V 的子空间的充要条件是 A V . • L(B) 为 L(A) 的子空间的充要条件是向量组 B 可由组 A 线性表示. • L(A) L(B) 的充要条件是向量组 A 与组 B 等价.
例3 由 a1 (1,1,0,0)T, a2 (1,0,1,1)T 所生成的空间记为V1, 而由 b1 (2,-1,3,3)T, b2 (0,1,-1,-1)T 所生成的空间记为V2.
(-1,-4,3), (13,8,-2), (1,1,1)
线性代数与空间解析几何 3-12.
4
一、几何向量的基本概念
向量： 既有大小又有方向的量. 向量表示： a 或 M1 M 2 以M1为起点， M2为终点的有向线段。 向量的模： 向量的大小. a 或 M 1 M 2
M2
M
1
0 单位向量： 模长为1的向量. a 或
零向量： 模长为0的向量. 0
M1 M 20
a 相等向量：大小相等且方向相同的向量. b 负向量：大小相等但方向相反的向量. a a a
0 量与数的乘积的规定， a || a || a
9
【例3.1 】
全为零的实数k、l、m使得 k l m 0
证明向量 、、 共面的充分必要条件是存在不
证明： 充分性
如何证明三个 向量共面呢？ 若有不全为0的实数k、l、m ，使得
k l m 0
k l m m
不妨设， m0 则
k l 是以 , 若 0, 0, 由向量加法的定义知， m m 为边的平行四边形的对角线， 因此、、共面。 若、、有一个为零， ，这三个向量共面是显然的。
2
本章主要研究以下几个问题：
1. 几何向量及其线性运算与分解； 2. n维向量及n维向量空间； 3. 向量组的线性相关与线性无关； 4. 向量的内积； 5. 几何向量的向量积与混合积； 6. 直线与平面.
3
第三章 向量与向量空间
第一节 几何向量 及其线性运算
几何向量的基本概念 几何向量的线性运算
第三章
向量与向量空间
1
在自然界中，常会遇到这样一类量，它们既有大小 又有方向。 例如：力、力矩、速度等，这类量称 为向量。
华中科技大学线性代数3-3
T T
T
1 0 ,1,1 , 2 1,1, 0 , 3 1, 2 ,1 .
T
(1 )求由基 1 , 2 , 3 到基
a1 1 a1 2 a1 n a a 22 a 2 n 21 C a n1 a n 2 a nn
1
其中
, 2 , , n 的过渡矩阵.
称为由基 1 , 2 , , n 到基
由
1
, 2 , , n 1 , 2 , , n C
a (2) 已知向量 ( a , b , c ) T 在 e 1 , e 2 , e 3 下的坐标为 X b , c 故向量 在 1 , 2 , 3 下的坐标为
1
Y C
1 1 1 X 0 1 1 0 0 1
( B AC )
可知C可逆，故有
( 1 , 2 , , n ) C
1
( 1 , 2 , , n ) ( BC
1
A)
其中C -1
称为由基
1 , 2 , , n
到基 1 , 2 , , n 的过渡矩阵.
定理: 设向量空间V的一组基 1 , 2 , , n 到另一组基 r
(a , b, c )
T
在 1 , 2 , 3 下的坐标 .
1 1 1 ( 1 , 2 , 3 ) ( e 1 , e 2 , e 3 ) 0 1 1 , 0 0 1
由
1 1 1 e 1 , e 2 , e 3 到 1 , 2 , 3 的过渡阵为 C 0 1 1 ; 0 0 1
线性代数中的向量空间
线性代数中的向量空间线性代数是数学中的一个重要分支，研究的是向量和线性方程组的性质。
在线性代数中，向量空间是一个基本的概念，它在许多数学和科学领域中都有重要的应用。
本文将介绍关于向量空间的定义、性质以及应用。
一、向量空间的定义在线性代数中，向量空间是指由一组向量构成的集合，其中包含了向量加法和标量乘法两种运算，并满足以下八个性质：1. 零向量存在性：向量空间中存在一个特殊的向量，被称为零向量，记为0，它满足对于任意向量v，有v + 0 = v。
2. 向量加法封闭性：对于任意向量v和w，它们的和v + w也属于向量空间。
3. 向量加法结合律：对于任意向量u、v和w，有(u + v) + w = u + (v + w)。
4. 向量加法交换律：对于任意向量u和v，有u + v = v + u。
5. 标量乘法封闭性：对于任意标量k和向量v，k * v也属于向量空间。
6. 标量乘法结合律：对于任意标量k和l以及向量v，有(k * l) * v = k * (l * v)。
7. 向量与标量加法的分配律：对于任意标量k和向量v、w，有k * (v + w) = k * v + k * w。
8. 向量与标量乘法的分配律：对于任意标量k和l以及向量v，有(k + l) * v = k * v + l * v。
满足以上八个性质的集合即可称为向量空间。
二、向量空间的性质在向量空间中，还有一些重要的性质：1. 零向量的唯一性：向量空间中的零向量是唯一的，即任意向量空间中的零向量都相等。
2. 负向量的存在性：对于任意向量v，在向量空间中存在一个向量-u，使得v + (-u) = 0。
这里的-u被称为v的负向量。
3. 数乘的零乘性：对于任意标量k和向量v，在向量空间中，有0 * v = 0，其中0表示标量的零。
4. 数乘的单位元性：对于任意向量v，在向量空间中，有1 * v = v，其中1表示标量的单位元。
三、向量空间的应用向量空间的概念和性质在数学和科学中有广泛的应用。
线性代数第三章(一二节向量与线性相关性)
证明
必要性 设向量组 A: a1 , a2 , ... , am 线
性相关, 则有 m 个不全为零的实数 k1 , k2 , ... , km 使 k1a1 + k2a2 + ... + kmam = 0 . 因 k1 , k2 , ... , km 不全为 0 , 不妨设 k1 0 , 于是便 有
（9） 若a1 , a2 , ... , an是n维向量组，则 a1 , a2 , ... , an线性相关的充要条件是其 构造的行列式值为0. 若a1 , a2 , ... , an是n维向量组，则
a1 , a2 , ... , an线性无关的充要条件是其
构造的行列式值非0. （10） 若a1 , a2 , ... , am是n维向量组，且 m>n,则 a1 , a2 , ... , am线性相关。 特别地，n+1个n维向量必线性相关。
第 三 章 向量组的线性相关性与n 维向量空间
第一节
1. 向量的定义 定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , ... , an 所组成的
数组称为 n 维向量,其中第 i 个数 ai 称为第i 个分量，n称为向量的维数.
n维向量
n 维向量可写成一行, 也可写成一列. 分别
称为行向量和列向量, 也就是行矩阵和列矩阵。
引例1：非齐次线性方程组（Ⅰ）有解<=>
存在一组数x1, x2, ... , xn, 满足
x1a1 + x2a2 + ... + xnan = b。 引例2：齐次线性方程组（Ⅱ）有非零解<=> 存在一组不全为零的数x1, x2, ... , xn, 满足 x1a1 + x2a2 + ... + xnan = 0。 从这两个引例中我们可以提炼出向量组两个
线性代数--第三章向量线性关系秩
β
k1 l
α1
k2 l
α2
kr l
αr
若有: =k11+k22+ …+krr=l11+l22+ …+lrr
则有: 所以:
(k1 l1)1+(k2 l2)2+ …+(krl1)r=0 k1 l1=k2 l2= …=krl1=0
(1, 0, 0, 1)的线性相关性.
解 设 k11+k22+k33=0 , 即 (k1k3, k1+k2, 0,k2+k3)=(0,0,0,0)
k1 k1
k3 k2
0 0
k2 k3 0
解得: k1=k2=k3=0. 所以1, 2, 3线性无关.
例3 讨论向量组 1T=(1,1,2), 2T=(0,1, 1), 3T= (2, 3, 3)的线性相关性.
解 设 k11+k22+k33=0 , 即 k1(1+2)+k2(2+3)+k3(3+1)=0
就是
(k1+k3)1+(k1+k2)2+(k2+k3)3=0
所以
k1 +k3 k1 +k2
0 0
k2 k3 0
解得: k1=k2=k3=0
所以向量组1, 2, 3线性无关.
定理3.1 若向量组有一个部分组线性相关, 则此向量 组线性相关.
前面加长向量组的概念中只加了一个分量, 而且加在
了最后一个分量. 也可以加多个分量, 分量也可以加在任
(完整)自考线性代数第三章向量空间习题
第三章 向量空间一、单项选择题1．设A ，B 分别为m ×n 和m ×k 矩阵，向量组（I ）是由A 的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由(A ,B ）的列向量构成的向量组，则必有( )A ．若(I ）线性无关，则（Ⅱ）线性无关B ．若（I)线性无关，则（Ⅱ）线性相关C ．若（Ⅱ)线性无关，则（I ）线性无关D ．若（Ⅱ)线性无关，则（I ）线性相关2．设4321,,,αααα是一个4维向量组,若已知4α可以表为321,,ααα的线性组合,且表示法惟一,则向量组4321,,,αααα的秩为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．设向量组4321,,,αααα线性相关,则向量组中（ )A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合4.设有向量组A ：α1，α2，α3，α4,其中α1,α2，α3线性无关，则( ）A 。
α1，α3线性无关 B.α1，α2，α3，α4线性无关C.α1，α2，α3，α4线性相关D.α2，α3，α4线性相关5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ）A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6.设α1,α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1,α2，α3,α4）。
如果|A ｜=2，则|—2A |=（）A.-32B.-4C 。
4 D.327。
设α1,α2,α3，α4 是三维实向量，则（ )A. α1，α2，α3，α4一定线性无关B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出C. α1，α2，α3，α4一定线性相关 D 。
α1，α2，α3一定线性无关8.向量组α1=（1，0，0)，α2=（1，1，0），α3=（1,1，1）的秩为（ ）A.1 B 。
线性代数中的向量空间理论
线性代数中的向量空间理论向量空间是线性代数中重要的概念之一，它以向量作为基本元素，以及定义在向量上的运算来构成一个数域上的线性空间。
向量空间理论从数学的角度解释了向量的性质和运算规律，为解决具有线性结构的问题提供了有效的数学工具。
本文将重点介绍向量空间的定义、基本性质和常见应用。
一、向量空间的定义向量空间V被定义为一个非空集合，其中定义了两种运算：向量的加法和数乘运算。
具体要求满足以下8个条件：1. 加法封闭性：对于V中的任意向量x和y，它们的和x+y仍然在V中。
2. 加法结合律：对于V中的任意向量x，y和z，有(x+y)+z=x+(y+z)。
3. 加法交换律：对于V中的任意向量x和y，有x+y=y+x。
4. 存在零向量：存在一个零向量0，对于V中的任意向量x，有x+0=x。
5. 存在逆向量：对于V中的任意向量x，存在一个逆向量-x，使得x+(-x)=0。
6. 数乘封闭性：对于V中的任意向量x和实数a，它们的数乘积ax 仍然在V中。
7. 数乘结合律：对于V中的任意向量x和y，以及实数a，有a(x+y)=ax+ay。
8. 数乘分配律：对于V中的任意向量x和实数a、b，有(a+b)x=ax+bx和(a*b)x=a(bx)。
二、向量空间的基本性质1. 零向量的唯一性：向量空间中的零向量是唯一的，任意向量与零向量的和等于自身。
2. 逆向量的唯一性：向量空间中的每个向量都存在唯一的逆向量。
3. 零乘性质：对于V中的任意向量x和实数a，有a0=0和(-a)x=-(ax)。
4. 向量加法单位：对于V中的任意向量x，有1x=x。
5. 数乘加法单位：对于V中的任意向量x和实数a，有(ax)+(-a)x=(a+(-a))x=0x=0。
三、向量空间的常见应用1. 几何向量的表示：向量空间为解决几何问题提供了数学工具，通过向量运算可以实现向量的平移、旋转、缩放等操作，并用向量表示线段、直线、平面等几何对象。
2. 线性方程组的解法：线性方程组的解可以通过向量空间的概念得到简洁而通用的表示方法，进而求解线性方程组的解或研究其性质。
线性代数-向量空间
同理可证 L(β1 β2 …，βr) L(α1, α2 , …,αs)
故
L(α1, α2 , …,αs)=L(β1 β2 …，βr)
k (ka1, ka2 ,, kan ) R n
故Rn,是一个向量空间。 例3.4.2 证明 （1）集合
V1 (0, a2 ,, an ) | ai R, i 2,3,, n
是一个向量空间；
（2）集合
V2 (1, a2 ,, an ) | ai R, i 2,3,, n
不是一个向量空间。 证 （1）显然集合V1非空，对任意
过渡矩阵P是可逆的。若不然，齐次 线性方程组PX=O有非零解，设其一个解为 α=(k1,k2, …,km)T，于是
k11 k2 2 km m
(1 ,2 ,,m)
(1 ,2 ,,m)P 0
这意味着β1 β2 …,βm线性相关。 前面我们已经指出，同一向量在不同
基底下的坐标一般是不同的，那么坐标之 间的关系如何呢？
设
x11 x2 2 x3 3
把α1,α2, α3代入，比较等式两端向量 的对应分量，可得线性方程组
x1 x2 x3 2
2x3 3
2x1 x2 5
解之，得
x1
9 2
,
x2 4,
x3
3 2
于是向量在α基α1,α2, α3下的坐标为
( 9 , 4, 3 )
2
2
3.4.3 基变换与坐标变换 我们知道，向量空间V的基不是唯一
线性代数简明教程(方小娟编 科学出版社)第三章、向量空间
1 2 1 0 1 = 2 − 1 − 0 1 3 1 1
定义3 向量组 α1,α2 ,⋯αm，如果该向量组对零向量 定义 只有平凡表示，也即对零向量的线性表示方法唯一， 只有平凡表示，也即对零向量的线性表示方法唯一， α1,α2 ,⋯αm 线性无关，否则，称其线性 则称向量组 线性无关，否则，称其线性 相关。 相关。 定义3 称为线性相关 线性相关的 定义 / 向量组 α1,α2 ,⋯αm 称为线性相关的，如果 存在一组不全为零的数k 存在一组不全为零的数 1,k2,…,km，使
是线性相关的， 是线性相关的，因为
α3 = 3α1 −α2
定理2 定理
线性无关， 设向量组 β1 , β2 ,⋯βt 线性无关，而向量组
线性相关， β1, β2 ,⋯, βt ,α 线性相关，则 α 能由向量组 β1 , β2 ,⋯, βt 线性表示，且表示式是唯一的。 线性表示，且表示式是唯一的。 线性相关， 证 由于β1 , β2 ,⋯, βt ,α 线性相关，就有不全为零的 数k1,k2,…, kt,k，使 ，
向量 称为 的数量乘积， 数乘， 的数量乘积 简称数乘 α 与k的数量乘积，简称数乘，记为 kα 。 称为零向量， 称为零向量，记为
(ka1,ka2,…,kan)T
(0,0 ⋯ 0)T 定义4 定义 分量全为零的向量
ϑ
= (0,0⋯ 0)T ϑ
α 与-1的数乘 (−1)α = (−a1 ,−a2 ,⋯,−an )T 定义5 定义 的数乘 的负向量， 称为 α 的负向量，记为 −α
即 =2ε1 − 5ε2 + 3ε3 + 0ε4 β
所以， 的线性组合， 所以，称 β 是ε1,ε2 ,ε3 ,ε4 的线性组合， 线性表示。 或 β 可以由 ε1,ε2 ,ε3 ,ε4 线性表示。
线性代数第三章 线性空间
组，通常称为矩阵 A 的列向量组；若对 A 按行进行
分块，即
A
1T
T 2
T m
其全体行向量构成一个含有 m 个 n 维行向量的向量
组，称为矩阵的行向量组．
并且，矩阵和含有有限个向量的有序向量组是一 一对应的．
定义5 设 ,1,2, ,s Rn， s 1． 如果存在数
k R，则
1）称向量 与 相等，记作 ，如果 与
对应的分量均相等，即 ai bi , i 1, 2, , n;
2）称向量
(a1 b1, a2 b2 , , an bn )T 为向量 与 的和，并记 ；
3）称向量
k (ka1, ka2 , , kan )T
a11 a2 2 an n ;
另外，零向量 0 是任何向量组的线性组合．
定义7 设 I :1,2 , ,s 和 II : 1, 2, , t 是两个向 量组． 如果向量组 I 中的每一个向量 i ( i 1, 2, , s )
均可以由向量组 II : 1, 2, , t 线性表出，则称向量 组 I 可以由向量组 II 线性表出．
k1, k2 , , ks R ，使得 k11 k22 kss ,
则称向量 是向量组 I :1,2, ,s 的一个线性组合， 或者说，向量 可以由向量组 I :1,2, ,s 线性表 出（或线性表示）．此时，k1, k2 , , ks 相应地被称 为组合系数或者表出系数．
在本书中，如果没有特别说明，我们涉及的向量 均指分量为实数的列向量，即列形式的实向量．
将所有 n 维实向量的全体记为 Rn，即
线性代数3a
线性代数
第3章 向量空间
3.2 向量的线性相关性
定理3.2.2 设
s 个 n 维向量
a1s a2 s , s , ans
a11 a12 a a22 21 1 , 2 , a n1 an 2
(1) 得
( 2)
特别注意( 2 )中未知量个数 s ，方程式个数 n , 向量方程式( 1 )有解和 线性方程组（ 2 ）有解是一回事，
因而有定理 3.2.1。
线性代数
第3章 向量空间
3.2 向量的线性相关性
例1 判断下列向量 能否由向量组 1 , 2 , 3 线性表示,若能,试 写出它的一种表达式,其中
行向量 列向量
n 维向量的第 i
个分量.
a1, a2 , , an
a1 a2 a1 , a2 , an
, an
T
线性代数
第3章
向量空间
3.1
n维向量
定义3.1.2
向量的分量都是零的向量称为零向量,记为
0 0,0,
1 3 5 5 ,1 1 1 3 1 ,
2 2 3 7 4 ,3 0 1 1 2 .
例2 设
1 1 5 2 1 1 , 3 , 3 , 2 3 4 0 1 t 1
,s s 2 线性相关的充分必要条件
为其中有一个向量可由其余向量线性表示. 推论1 向量组 1,
,s s 2 线性无关的充分必要条件
是其中每一个向量都不能由其余向量线性表示.
线性代数与向量空间
线性代数与向量空间线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量、向量组以及它们之间的线性关系和运算规律。
向量空间是线性代数的核心概念之一，在各个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍线性代数的基本概念和向量空间的特点。
一、向量的定义与性质1.1 向量的定义向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量通常用字母加箭头表示，如→a。
1.2 向量的性质（1）向量加法：向量与向量相加，按照平行四边形法则进行。
（2）向量数量乘法：向量乘以一个实数，得到一个与原向量长度相似但方向可能相反的向量。
二、向量空间的定义与性质2.1 向量空间的定义向量空间是由一组向量组成的集合，满足以下条件：（1）向量空间中的任意两个向量的加法仍然在向量空间中。
（2）向量空间中的向量与实数的乘积仍然在向量空间中。
（3）向量空间中存在一个零向量，使得任意向量与零向量相加得到自身。
（4）向量空间中的任意向量都有一个相反向量。
2.2 向量空间的性质（1）向量空间中的向量加法满足交换律和结合律。
（2）向量空间中的标量与向量进行运算满足结合律和分配律。
（3）向量空间中的零向量是唯一的。
（4）向量空间中的每个向量都有唯一的相反向量。
三、向量空间的子空间及其性质3.1 子空间的定义子空间是向量空间中的一个子集，本身也是一个向量空间，满足以下条件：（1）子空间中的任意两个向量的加法仍然在子空间中。
（2）子空间中的向量与实数的乘积仍然在子空间中。
（3）子空间包含零向量。
3.2 子空间的性质（1）子空间是向量空间的一个子集，其中的向量运算和标量运算仍然满足向量空间的性质。
（2）子空间的维度小于等于原向量空间的维度。
（3）子空间中的向量组也是线性相关或线性无关的。
四、向量空间的基与维度4.1 基的定义基是指向量空间中的一个向量组，它可以通过线性组合来表示向量空间中的任意向量。
4.2 维度的定义维度是指向量空间的基中向量的个数，记作dim(V)。
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线性代数练习题 第三章 向量与向量空间系 专业 班 姓名 学号 第一节 n 维向量 第二节 向量间的线性关系一．选择题1．n 维向量s ααα,,, 21)(01≠α线性相关的充分必要条件是 [ D ] （A ）对于任何一组不全为零的数组都有02211=+++s s k k k ααα （B ）s ααα,,, 21中任何)(s j j ≤个向量线性相关（C ）设),,,(s A ααα 21=，非齐次线性方程组B AX =有无穷多解 （D ）设),,,(s A ααα 21=，A 的行秩 ＜ s .2．若向量组γβα,,线性无关，向量组δβα,,线性相关，则 [ C ] （A ）α必可由δγβ,,线性表示 （B ）β必不可由δγα,,线性表示 （C ）δ必可由γβα,,线性表示 （D ）δ比不可由γβα,,线性表示二．填空题：1． 设TT T )0,4,3(,)1,1,0(,)0,1,1(321===ααα则T )1,0,1(21-=-αα T)2,1,0(23321=-+ααα2． 设)()()(αααααα+=++-321523，其中T ),,,(31521=α，T)10,5,1,10(2=αT ),,,(11143-=α，则(1,2,3,4)T α=3． 已知TT T k ),,,(,),,,(,),,,(84120011211321---===ααα线性相关，则=k 2三．计算题：1． 设向量()Tk 1,1,11+=α，T k ),,(1112+=α，T k ),,(1113+=α，Tk k ),,(21=β，试问当k 为何值时 （1）β可由321ααα,,线性表示，且表示式是唯一（2）β可由321ααα,,线性表示，且表示式不唯一 （3）β不能由321ααα,,线性表示(向量组的秩ppt)2112331211131*********100(3)1113110r r c c c r r k k k k k k kk k k k k k-++-++++=++==++++2． 设向量T ),,,(32011=α，T ),5,3,1,1(2=α，T a ),,,(12113+-=α，Ta ),,,(84214+=αT b ),,,(5311+=β，试问当b a ,为何值时，（1）β不能由4321αααα,,,线性表示（2）β有4321αααα,,,的唯一线性表达式并写出表达式。
314132124211111111112011210112123243012133518502252111111021001121011210010001020001000010r r a b a b r r a a r r r r a b a b r r a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++- ⎪⎪+-+⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪ ⎪- ⎪ ++- ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎪⎪(1) a= -1,b ≠0.12341234(,,,)2;(,,,,)3R R ααααααααβ==(2) a ≠-112341234(,,,)(,,,,)4R R ααααααααβ==2310100r r a +⎪+ ⎭ ⎝11a +线性代数练习题 第三章 向量与向量空间系 专业 班 姓名 学号 第三节 向 量 组 的 秩一．选择题：1．已知向量组4321αααα,,,线性无关，则下列向量组中线性无关的是 [ C ] （A ）14433221αααααααα++++,,, （B ）14433221αααααααα----,,,（C ）14433221αααααααα-+++,,, （D ）14433221αααααααα--++,,, 过渡矩阵满秩2．设向量β可由向量组m ααα,,, 21线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：121-m ααα,,, 线性表示，记向量组（Ⅱ）：βααα,,,,121-m ，则 [ B ] （A ）m α不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示 （B ）m α不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示 （C ）m α可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示 （D ）m α可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示112211112121(0)1m m m m m m m m m m mmk k k k k k k k k k k k βαααααβααα----=++++≠=-----3．设n 维向量组s ααα,,, 21的秩为3，则 [ C ] （A ）s ααα,,, 21中任意3个向量线性无关 （B ）s ααα,,, 21中无零向量（C ）s ααα,,, 21中任意4个向量线性相关 （D ）s ααα,,, 21中任意两个向量线性无关 4．设n 维向量组s ααα,,, 21的秩为r ，则 [ C ] （A ）若s r =，则任何n 维向量都可用s ααα,,, 21线性表示 （B ）若n s =，则任何n 维向量都可用s ααα,,, 21线性表示（C ）若n r =，则任何n 维向量都可用s ααα,,, 21线性表示 （D ）若n s >，则n r =二．填空题：1．已知向量组),,,(,),,,(,),,,(25400021121321--==-=αααt 的秩为2，则t = 32．已知向量组),,,(43211=α，),,,(54322=α，),,,(65433=α，),,,(76544=α，则该向量组的秩为 23． 向量组T a ),,(131=α，T b ),,(322=α，T ),,(1213=α，T),,(1324=α的秩为2，则a = 2 b = 5三．计算题：1．设T ),,,(51131=α，T ),,,(41122=α，T ),,,(31213=α，T ),,,(92254=α，Td ),,,(262=β（1）试求4321αααα,,,的极大无关组（2）d 为何值时，β可由4321αααα,,,的极大无关组线性表示，并写出表达式132131412323134235232152111221122600104111220121454390121101112211022012140101400104001040000600006r r r r r r r r r r r r r r r r d d d d ↔---+↔--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪−−−→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ------ ⎪ −−−→−−−→ ⎪ ⎪ --⎝⎭⎝⎭12100120101400104006r r d +⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎪-- ⎪−−−→⎪⎪-⎝⎭（1）123,.ααα线性无关组：（2）1236244d βααα==-+时，2．已知3阶矩阵A 有3维向量x 满足x A Ax x A 233-=，且向量组x A Ax x 2,,线性无关。
（1）记),,(x A Ax x P 2=，求3阶矩阵B ，使PB AP =； （2）求 | A |232322321(,,)(,,)3000(,,)(,,)103011000103.0110AP PB Ax A x A x x Ax A x B A x Ax A x Ax A x A x x Ax A x B A PBP B -===-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪-⎝⎭⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭===由可得，又由可得，从而线性代数练习题 第三章 向量与向量空间系 专业 班 姓名 学号 第四节 向 量 空 间 综 合 练 习一．选择题：1．设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 [ C ] （A ）133221,,αααααα-++ （B ）32132212,,ααααααα-+++（C ）1332213,32,2αααααα+++ （D ）321321321553,2232,ααααααααα-++-++ 2．设矩阵A n m ⨯的秩=)(A R n m <，E m 为m 阶单位矩阵，下列结论中正确的是 [ D ] （A ）A 的任意m 个列向量必线性无关 （B ）A 通过初等行变换，必可以化为（E m 0）的形式 （C ）A 的任意m 阶子式不等于零 （D ）非齐次线性方程组b Ax =一定有无穷多组解 二．填空题：1．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=403212221A ，三维列向量T a )1,1,(=α，已知αA 与α线性相关，则a = -1122212123,30413423=11a a A a a a a α-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇒⇒+⇒=-两个向量线性相关各分量成比例 2．从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011α，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=112α到基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111β，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212β的过渡矩阵为2312⎛⎫⎪--⎝⎭12121212(,)(,)(,,,)111110231023011201120112A A ββααααββ=→⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭即求，使得：作法：行最简形三．计算题：1．设TT T )8,6,0,2(,)1,1,3,3(,)1,1,1,1(321-=--==ααα，试用施密特正交化方法将向量组321,,a a a 标准正交化。
参考课本P107页例2．已知3R 的两个基为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111a ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1012a ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1013a 及 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1211b ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4322b ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3433b求由基321,,a a a 到基321,,b b b 的过渡矩阵P 。
2321312321231111231111231111231002340111110100101111143020020011111211112310023401001001001000110100r r r r r r r r r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫↔-⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪+--+- ⎪ ⎪--⎝⎭3100234010010110100111r ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭则234010101 P⎛⎫⎪=-⎪⎪--⎝⎭。