一道竞赛试题的解法探究

44 福建中学数学 2012年第3期

一道竞赛试题的解法探究

浙江省温州市第二十二中学（325000）

2011年全国高中数学联合竞赛第2题，试题简约，寓意深刻，考生可以从多个角度切高洪武 吴勇军

一试（A

卷）中22(1)1(1)y x t t x t t =−⎧⎪

⎨令=⇒−=≥⎪⎩

（＊2） 而直线入，很好地考查高中数学常见的一些思想方法以及学生对基本知识、基本技能的掌握情况．本文拟从四个角度出发，对该题目进行初步的剖析，以

期引发更多的思考．

题目 （2011年全国高中数学联合竞赛一试试题

（A (1)t y x =− 过定点（1，0）．当时，两曲线有公共点，则； 0y >1y >时，两曲线有公共点，x 直线(1t y 当0y <)=−应

绕着点(1，0)从逆时针方向旋转到的位置，与

曲线t 2L 卷）第2

题）函数()1

f x x =

−的值域是 ． 解法一三角换元法

令tan x θ=，（22θπ−<<，且π4

θπ

≠） （注：换元时保持变量的等价性）

则y tan 1cos θθ− =

11

sin cos )4

θθθ==π−−． 22θππ−<<∵，且4θπ≠， 3444

<，且0θπππ

∴−<−θ≠．

4<0θπ≤−

或0<)14θπ

−<，

12)4θ≤−π−

或11)

4θ>π−，

()f x ∴

的值域为((12

−∞−+∞∪，，)． 评析 此函数为分式型无理函数，解决此类问题

通常是化无理式为有理式，即努力将根式中的被开方数(式)化成完全平方数(式)，由221tan 1cos θθ+=联想到三角换元，思路由此打开．解法二 数形结合法

y =∵

，(y x ∴1)−=（＊1），

322t x L 3L 1(1)−=≥切．

相联立方程221t x (1)t y x =−⎧⎨−=⎩，

得(1)y x −−． 即2222(1)210y x y x y ，22210x −=−−+−=．

若直线1)(t y x =−x t ≥相切， )4(0y y 与2t −=21(

1)2y =−则2(21)222Δ=−=−−，．

∴直线(1)t y x =−绕着点(1，逆时针方向旋转过程中，0)从2

L 2

到L 的y ≤3．

综上得y ≤或即函数的值域为

1y >，

((1)−∞+∞∪，，

． 解法比较巧妙地函数值赋予“特殊身份”，想，将问题转化为我们熟悉的两类曲线有公共点问题．其转化基本思路为：函数

有意义评析 本将利用数形结合思方程有解曲线有公共点．

←←解法三 基本不等式法 （1） 若1x >，

()f x 1x >∵，20x x ∴+−>2x x ∴+>，，

2

1112x x ∴+>+−，f x ()1∴>（2）若．

，

x 1<

2012年第3期福建中学数学45

()

10

x

f x

x

⎧

≠

⎪⎪

==⎨

⎪

⎪−=

⎩，

，

当

．所以

01

x

<<，

1

2

x

x

+>，；

当，

()1

f x<−

x<

1

2

x

x

+≤−，

1

24

x

x

+−≤−，

12

2

−0

1

2

x

≤<

+−

，

x

1

2

2

11

1

2

x

x

∴≤+<

+−

，

且时，等号成立）．

（当仅当1

x=

−

1

≤<，

1

∴−<≤，

当

2

∴1

x<

时，()

2

f x≤−．

综上所述，函数的值域为(](1

2

−∞−+∞

∪

，，)．

评对于型函数研究往有两种思路，

一是努力将根号去掉（解法一），二是将所有问题纳

入根在将分母纳入根号内

部，

析根式，往

号内部去处理，本解法意

将无理分式函数问题转化为一个常见的分式型

函数问题．借助基本不等式和分类讨论思想可以方

便地将问题解决．

解法四导数法

1

22

(1)

()

1

x

f x

x

+

=

−

∵，

11

2

[(1)

x+

′

2

2

](1)[(1)](1)

()

(1)

x x x

f x

x

′′

−−+−

∴=

−

1

x

=≠)．

设，得，，得且

()0

f x′>1

x<−()0

f x′<1

x>−

1

x≠()

f x在(1]

−∞−

，是增函数，在

上(11)

−，上

是减函数，在上是减函数．

(1)

+∞

，

()(1)

f x f

≤−=

易得：当时，

1

x<

当1

x−

→，；

当

()

f x→−∞

，；

1

x+

→()

f x→+∞

当x→+∞()x→

，．

，函值域为

1

f

((1

2

综上数的)

−+∞

∪．

求函数的值域，关键在于研究函数的最

值，而函数的最值与函数的单调性密切相关，此函

数的图象性质我们是不熟悉的，故可借助导数工具

去研

从研究函数一般方法探究它的性

质；解

一道2010克罗地亚国家队试题的加权推广

福建省100）

2010年克罗地亚国家队第四轮选如下：设

−∞，，

评析

究．有了函数单调性的信息，再用极限的思想

去研究函数值在一些边界点的变化趋势，就可将函

数的草图画出，进而得出函数的值域．本解法意在

要求同学们学会用研究函数的一般方法去探究其他

陌生函数的性质．

本文从四个不同的角度对上述问题做了一个初

步剖析．解法四想法最自然，当直接面对一个看似“陌

生”的函数时，要学

法一、解法三都是化“无理”问题为“有理”问题，

体现了数学中重要的转化思想；解法二角度新颖，

从方程、曲线角度看待函数存在问题．这其中所涉

及到的思想方法都是高中阶段同学们应该认真领

会、掌握的内容，希望同学们在学习过程中做个有

心人，始终站在数学思想方法的高度去统领我们的

解题活动，惟有此，我们才能在短暂的时间里迅速

地抓住题目的本质，实现优质高效的解题．

吴赛瑛田富德

大田第一中学（366

2

a b

D

a b

+

<

+

∑

拔考试有一道．求使得恒成立的

a b c

+

∈R

，，