数学系常微分方程期末试卷B及答案
《常微分方程》期末试卷
《常微分方程》期末试卷(16)班级 学号 姓名得分 评卷人 一、填空题（每小题5分，本题共30分）1．方程x x y xy e sin d d =+的任一解的最大存在区间必定是 ． 2．方程04=+''y y 的基本解组是 ．3．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的________________条件是在区间I 上它们的朗斯基行列式0)(=x W ．4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件．5．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间．6．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．得分 评卷人 二、计算题（每小题8分，本题共40分）求下列方程的通解7. x y xy 2e 3d d =+ 8. 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x9．0e =-'+'x y y10．求方程x y y 5sin 5='-''的通解．11．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x ty y x t x 4d d d d得分 评卷人 三、证明题（每小题15分，本题共30分）12．设)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数．13．设)(x ϕ在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程y x xy sin )(d d ϕ= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞．《常微分方程》期末试卷参考答案一、填空题（每小题5分，本题共30分）1．),(∞+-∞2．x x 2cos ,2sin3．必要4．充分5．n6．必要二、计算题（每小题8分，本题共40分）7．解 齐次方程的通解为x C y 3e -= 令非齐次方程的特解为x x C y 3e )(-=代入原方程，确定出 C x C x +=5e 51)( 原方程的通解为x C y 3e -=+x 2e 518．解 由于xN xy y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为103023d d )(C y y x xy x y x =++⎰⎰即 C y y x x =++42242 。
数学系常微分方程期末试卷B及答案
试卷(B)试卷份数考试本科考试科目常微分第１页（共5页)年月日第2页（共 5 页)年月日第 3 页（共 5 页）年月日第4页（共５页)年月日12-13—２学期期末考试《常微分方程》B 参考答案及评分标准(数计学院 ）制卷 审核 一、填空题（每小题3分，本题共15分）1。
1±=y 2。
x x 2cos ,2sin3．xoy 平面4．充分必要 5．不能二、单项选择题(每小题3分,本题共15分)６．A 7．C 8。
C 9。
D 10。
Ｄ三、简答题（每小题６分,本题共30分）１１．解 分离变量得x y xyd e d e = （3分)等式两端积分得通积分C x y +=e e（６分）12.解 令u x y =,则xuxu x y d d d d +=,代入原方程,得 u u x u x u tan d d +=+,u xux tan d d = （2分)当0tan ≠u 时,分离变量，再积分，得C xxu u ln d tan d +=⎰⎰ （4分)C x u ln ln sin ln += (5分） 即通积分为：Cx xy=sin（6分）13.解 方程两端同乘以5-y ,得x y xyy +=--45d d （2分） 令 z y=-4,则xz x y y d d d d 45=--，代入上式,得 x z xz=--d d 41 (3分)通解为41e4+-=-x C z x原方程通解为 41e 44+-=--x C yx （6分）14。
解: 因为xNx y M ∂∂==∂∂2,所以原方程是全微分方程 （2分） 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x xy yx=-⎰⎰20d d 2 （4分）即 C y y x =-3231 (6分)15。
解： 因为方程组是二阶线性驻定方程组，且满足条件00≠=ac cb a ,故奇点为原点（０，0) 2分又由d ｅｔ(A —λＥ）＝0)(02=++-=--ac c a c b a λλλλ得 c a ==21λλ 4分所以,方程组的奇点(0，0)可分为以下类型：ａ,ｃ为实数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧>><<⎭⎬⎫=≠=⎪⎩⎪⎨⎧<⎩⎨⎧>><<>≠不稳定结点，稳定结点奇点为奇结点奇点为退化结点奇点为鞍点（不稳定）不稳定结点稳定结点奇点为结点,0,00,0,0,00,0,0,0,00c a c a b b c a ac c a c a ac c a 6分四、计算题（每小题10分,本题共20分）16．解：对应齐次方程的特征方程为052=-λλ （1分） 特征根为：特征根为01=λ，52=λ, (2分）齐次方程的通解为 xC C y 521e += （4分) 因为0=α是特征根。
常微分方程试题B答案
常微分方程模拟试题(B)参考答案 2012.7一、填空题（每小题3分，本题共30分）1．二 2． )()]()([1211x y x y x y C +- 3． ()0W t ≡或00()=0,W t t I ∈4．)(x NxNy M ϕ=∂∂-∂∂ 5.1y =± 6. n 7. 充分 8. 00(,)xx y y f x y dx =+⎰9.1,Re s a s a>- 10. ()+∞∞-, 二、计算题（每小题5分，本题共20分）11. 解： 齐次方程的通解为 xC y 3e-= (3分)令非齐次方程的特解为 xx C y 3e )(-=代入原方程，确定出 C x C x+=5e 51)( 原方程的通解为 xC y 3e-=+x2e51 （5分）12. 解： 对应的特征方程为：012=++λλ，解得i i 23,23212211--=+-=λλ （3分） 所以方程的通解为：)23sin 23cos(2121t c t c ex t +=- （5分）13.1=∂∂y M ，xN∂∂=1 , x N y M ∂∂=∂∂ 所以此方程是恰当方程. （3分）凑微分，0)(22=++-xdy ydx ydy dx x得C y xy x =-+2331 （5分） 14． 5,1,dy dt x y t dx dx -===-令则 1,(7)77dt tt dt dx dx t -=---原方程化为：变量分离 （3分）21772t x c t-=-+两边积分217(5)7.2(5)x y x c x y --+=-+-+代回变量（5分）三、计算题（每小题10分，本题共30分） 15．特征方程为 01411=--=-λλλE A ,即 0322=--λλ.特征根为 31=λ，12-=λ. （4分）31=λ对应特征向量应满足 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0031413111b a 可确定出⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111b a同样可算出12-=λ对应的特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2122b a所以，原方程组的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--t t t t C C y x 2e e 2e e 2331 （10分） . 16．解：(),dyP x y dx= （1） 这是一个变量分离方程，通解为(),P x dxy ce ⎰=这里c 是任意常数。
福师《常微分方程》期末试卷解析
福师《常微分方程》期末试卷解析一、选择题（共10题，每题2分，共20分）1. 答案：A解析：对常微分方程dy/dx = f(x)g(y)的分离变量法，可得：dy/g(y) = f(x)dx，再进行积分即可得到结果。
2. 答案：C解析：对常微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程，可以使用常数变易法求解。
将y = v(x)exp(-∫p(x)dx)代入方程，再进行积分，最后解出y。
3. 答案：B解析：常微分方程dy/dx = ky是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。
将dy/y = kdx，再进行积分，最后解出y。
4. 答案：D解析：常微分方程dy/dx = -y/x是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。
将dy/y = -dx/x，再进行积分，最后解出y。
5. 答案：A解析：常微分方程dy/dx = f(x)g(y)的分离变量法，可得：dy/g(y) = f(x)dx，再进行积分即可得到结果。
6. 答案：C解析：对常微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程，可以使用常数变易法求解。
将y = v(x)exp(-∫p(x)dx)代入方程，再进行积分，最后解出y。
7. 答案：B解析：常微分方程dy/dx = ky是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。
将dy/y = kdx，再进行积分，最后解出y。
8. 答案：D解析：常微分方程dy/dx = -y/x是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。
将dy/y = -dx/x，再进行积分，最后解出y。
9. 答案：A解析：常微分方程dy/dx = f(x)g(y)的分离变量法，可得：dy/g(y) = f(x)dx，再进行积分即可得到结果。
10. 答案：C解析：对常微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程，可以使用常数变易法求解。
将y = v(x)exp(-∫p(x)dx)代入方程，再进行积分，最后解出y。
常微分期末试题及答案
常微分期末试题及答案[正文开始]第一部分：选择题1. 若函数 f(x) = 3x^2 + 2x + c 在区间 [0, 1] 上是增函数，则实数 c 的取值范围是：A) c > 1/4B) c > -1/4C) c < 1/4D) c < -1/4答案：A) c > 1/4解析：当 f(x) 是增函数时，f'(x) > 0。
对于 f(x) = 3x^2 + 2x + c，求导得到 f'(x) = 6x + 2。
显然当 x > -1/3 时，f'(x) > 0，即 c > 1/4。
2. 解微分方程 dy/dx = x^2 + 1 的通解为：A) y = (1/3)x^3 + x + CB) y = (1/3)x^3 + CC) y = (1/3)x^2 + x + CD) y = (1/3)x^2 + C答案：A) y = (1/3)x^3 + x + C解析：对方程 dy/dx = x^2 + 1 进行积分，得到 y = (1/3)x^3 + x + C，其中 C 为积分常数。
3. 设三角函数f(x) = sin(2x + π/3)，则 f'(x) = ？A) 2cos(2x + π/3)B) 2cos(2x - π/3)C) 2cos(2x)D) 2cos(2x + π/6)答案：B) 2cos(2x - π/3)解析：根据链式法则，对sin(2x + π/3) 求导，得到 f'(x) = 2cos(2x +π/3) * 2 = 2cos(2x - π/3)。
4. 设 f(x) = e^x，g(x) = ln(x)，则 f(g(2)) = ？A) e^2B) e^3C) 2D) ln(2)答案：A) e^2解析：首先求 g(2) = ln(2)，然后将结果代入 f(x) = e^x 中计算，得到 f(g(2)) = f(ln(2)) = e^ln(2) = 2。
常微分方程参考答案B
广东商学院试题参考答案及评分标准2008-2009学 年 第二学 期课程名称 常微分方程 （B 卷）课程代码 108023 课程负责人 黄辉 共 3页 --------------------------------------------------------------------------------------------------------- --- ---------一、填空题（每空3分，共24分）。
1． n ； 2. 2．;12y=μ 3．⎰-x n ds s s f 01;))(,(ϕ 4．;2-=y z 5．;,x x e e - 6. ;3,1,0=x二、选择题 （每题3分 ，共15分）1. A2. C3. B4. A 5．C7．⎪⎩⎪⎨⎧++-==t y x dtdy y dt dx 5三、计算题（每题9分，共54分）。
1． 解：原方程是一阶线性微分方程，此时 22)(,2)(x xe x q x x p =-=-----------------2分则原方程的通解为：⎰⎰+⎰=-xdx xdx x e c dx e xe y 22]2[2--------5分 =2]2[x e c xdx +⎰--------------------------6分=2)(2x e c x +------------------------------9分2． 解：因为,1,122yx N y y M -=∂∂-=∂∂故方程是恰当方程-----2分 故 0)1(1sin 2=-++dx yx dx y dy y xdx ---------3分 即 0||ln cos 2=-++-y xdy ydx y d x d -------------5分 或 0)||ln cos (=++-yx y x d ------------------------6分于是通解为：C yx y x =++-||ln cos ------------------------9分 3． 解：令ty 1'=--------------------------------------------------------2分 则有233,111t t x t tx +=+=解得---------------3分 故 dtt t y t dt dy )23()(23⎰+=+=------------------6分=c t t ++2232-----------------------------7分 故原方程的通解为：⎪⎩⎪⎨⎧++=+=c t t y t t x 223223---------9分 4． 解：先求03222=--x dt dx dtx d 的解------------------------1分 其特征方程3,1,0322,12-==--λλλ-------------2分又1不是特征方程的单根，故特解形如t Ae x =~---4分 代入原方程得到41,4-==-A e Ae t t -----------------------6分 故原方程的通解为t t t e e c e c x 41231-+=-------------------9分 5． 032112)det(2=-=--+=-λλλλA E -------------2分得3,321-==λλ------------------3分 设,311v 对应的特征向量为=λ 由0,123,023112311≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+ααv v 得----------------------5分 取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=321,12321v v 同理取--------------6分 所以为基解矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--t t tt e e e e t 3333)32()23()(φ。
最新数学系常微分方程期末试卷B及答案
试卷（B）试卷份数考试本科考试科目常微分方程第1 页（共5页）年月日第 3 页（共 5 页）年月日年月日12-13-2学期期末考试《常微分方程》B 参考答案及评分标准（数计学院 ）制卷 审核 一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．1±=y 2．x x 2cos ,2sin3．xoy 平面4．充分必要 5．不能二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．A 7．C 8．C 9．D 10．D三、简答题（每小题6分，本题共30分）11．解 分离变量得x y xyd e d e = （3分）等式两端积分得通积分C xy+=e e （6分）12．解 令u x y =，则xuxu x y d d d d +=，代入原方程，得 u u x u x u tan d d +=+，u xux tan d d = （2分）当0tan ≠u 时，分离变量，再积分，得C xxu u ln d tan d +=⎰⎰ （4分）C x u ln ln sin ln += （5分） 即通积分为：Cx xy=sin（6分）13．解 方程两端同乘以5-y ，得x y xyy +=--45d d （2分）令 z y=-4，则xzx y y d d d d 45=--，代入上式，得 x z xz=--d d 41 （3分） 通解为41e4+-=-x C z x原方程通解为 41e 44+-=--x C yx （6分）14．解： 因为xNx y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程 （2分） 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x xy yx=-⎰⎰20d d 2 （4分）即 C y y x =-3231 （6分）15．解： 因为方程组是二阶线性驻定方程组，且满足条件00≠=ac cb a ，故奇点为原点（0，0） 2分又由det(A-λE)=0)(02=++-=--ac c a c b a λλλλ得 c a ==21λλ 4分所以，方程组的奇点（0，0）可分为以下类型：a ，c 为实数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧>><<⎭⎬⎫=≠=⎪⎩⎪⎨⎧<⎩⎨⎧>><<>≠不稳定结点，稳定结点奇点为奇结点奇点为退化结点奇点为鞍点（不稳定）不稳定结点稳定结点奇点为结点,0,00,0,0,00,0,0,0,00c a c a b b c a ac c a c a ac c a 6分四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．解：对应齐次方程的特征方程为052=-λλ （1分） 特征根为：特征根为01=λ，52=λ， （2分）齐次方程的通解为 xC C y 521e += （4分） 因为0=α是特征根。
常微分方程试卷及答案
2010-2011学年第二学期常微分方程考试AB 卷答案理学院年级信息与计算科学专业 填空题（每题4分，共20分）1.形如)()('x Q y x P y +=（)(),(x Q x P 连续）的方程是一阶线性微分 方程，它的通解为⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰+⎰-⎰=c dx dxx P e x Q dx x P e y )()()(.2.形如0y y '''-=的方程是3阶__齐次__(“齐次”还是”非齐次”)___常__系数的微分方程,它的特征方程为310λ-=.3.形如1111110n n nn n n n n d y d y dyx a x a x a y dx dx dx----++++=的方程为欧拉方程,可通过变换t x e =把它转化成常系数方程.4.2(1)0,y dx x dy ++=满足初始条件：x =0,y =1的特解11ln 1yx=++5．5.微分方程0000(,),(),:,dyf x y y x y R x x a y y b dx==-≤-≤满足的解存在且唯一的条件是: (,)f x y 在R 上连续且满足利普希茨条件一、下列微分方程的解（每题5分，共30分） 1．dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u ,则dx dy =dxdu-1……………………….3 dx du -1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c (5)2．()()053243=+++xdy ydx y xdy ydx x解：两边同乘以y x 2得：()()0532*******=+++ydy x dx y x ydy x dx y x (3)故方程的通解为：c y x y x=+5324 (5)3．2⎪⎭⎫⎝⎛-=dx dy y x解：令p dxdy=，则2p x y +=， 两边对x 求导，得dxdp pp 21+= pp dx dp 21-=，……………………….3 解之得()c p p x +-+=21ln 2，所以()c p p p y +-++=221ln 2， (4)且y=x+1也是方程的解，但不是奇解 (5)4.04)5(='''-x x解：特征方程0435=-λλ有三重根0=λ，42λ=，52λ=-............................3 故通解为54232221c t c t c e c e c x t t ++++=-. (5)5.4523x x x t ''''''--=+解：特征方程32450λλλ--=有根=1λ0,231,5λλ=-= 齐线性方程的通解为x=5123t t c e c e c t -++ (3)又因为=λ0是特征根，故可以取特解行如2x At Bt =+代入原方程解得A=1425，B=25- (4)故通解为x=5212325t t c e c e c t t -++- (5)6.2ln 0,xy y y '-=初值条件:y(1)=e解:原方程可化为ln dy y y dx x=………………………1 分离变量可得ln dy dxy y x=…………………………………………………..3两边积分可得ln y cx =…………………………………………………..4将初值代入上式求得方程的解:ln 2y x = (5)二、求下列方程（组）的通解（每题10分，共30分）1．求一曲线，使其任一点的切线在OY 轴上的截距等于该切线的斜率. 解：设(,)p x y 为所求曲线上的任一点，则在p 点的切线l 在Y 轴上的截距为：dyy xdx-……………………….3 由题意得dyy x x dx-=即11dy y dx x =- 也即ydx xdy dx -+=- 两边同除以2x ，得2ydx xdy dxx x-+=-………………….5 即()ln yd d x x =- (7)即ln y cx x x =+……………………….10 为方程的解。
常微分方程期末考试练习题及答案.
（ c>0） .
即： t 1
cy ，变量回代得：
x ln
c1 y +1 ( c1
c)
y
类型二： 形式： dy f ( a1x b1y c1 )
dx
a 2 x b2 c2
解法： 1. 当 c1=c2=0 时，
y
dy
f ( a1x b1y )
a1 f(
b1 x )
g( y)
dx
a2 x b2 y
y a2 b2 x
dx
分离变量得： dy dx ，两边同时积分，
y
得： y cex ，因而可设原方程的通解为： y c( x)ex ，则 dy dc( x) ex exc( x) ，
dx dx
将之入原方程，得：
dc( x) ex exc(x) c( x)ex sin x ，即： dc( x)
dx
dx
两边积分得： c(x) sin xe xdx ，而
a2 b2
a1x b1y c1 0
解方程组｛ a2x b2y c2 0 ，求交点 ( , ) , 令 x=X+α ， y Y ，则原方程化为： dX ( Y )
dY X
这是齐次方程。
例 5. 求解方程 dy 2x y 1 .
dx x 2 y 1
x1
解：｛ 2x y 1 0 得交点
x 2y 1 0
｛
y
M N ， (x, y) D .
yx
3. 解的形式： u c.
4. 解法： a. 朴素化简法：由 u M ，得 u( x, y) M ( x, y)dx ( y) ，
x
再由 u N ，得 ( y) y4 N (x, y)
常微分方程期末试题B答案
2005——2006学年第二学期 数学专业 常微分方程课程试卷（B ）一、填空题（每空2 分，共16分）。
1．李普希滋条件是初值问题存在唯一解的 充分条件．2. 一阶微分方程的一个特解的图像是 二维空间上的一条曲线． 3．线性齐次微分方程组Y A Y)(d d x x=的一个基本解组的个数不能多于n 个，其中R ∈x ，n R Y ∈．4．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关 ．5．方程2sin()y xy y ''=+的通解是6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 17．性齐次微分方程组的解组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0)(≠x W ． 8．方程540y y y '''++=的基本解组是x xe e4,--二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．两个不同的线性齐次微分方程组（ D ）的基本解组．(A) 一定有相同 (B) 可能有相同 (C) 一定有相似 (D) 没有相同10．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x ty y x tx43d d 2d d 的奇点)0,0(的类型是（ D ）．（A ）稳定焦点 （B ）不稳定焦点 （C ）鞍点 （D ）不稳定结点 11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y (C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程4d d +-=x y xy （ A ）奇解．(A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有三、计算题（每小题8分，共48分）。
数学系常微分方程期末试卷及答案
数学系常微分方程期末试卷及答案题目一考虑常微分方程：$$\\frac{{dy}}{{dx}} + 2xy = x^2$$1.求该常微分方程的通解。
2.求通过点(0,1)的特解。
3.求满足初值条件y(0)=2的特解。
解答：1.首先对方程进行整理得到：$$\\frac{{dy}}{{dx}} = x^2 - 2xy$$这是一个一阶线性非齐次常微分方程，我们可以使用常数变易法求其通解。
设通解为y=y(y)y(y)，代入原方程中，得到：$$u(x)\\frac{{dv}}{{dx}} + v(x)\\frac{{du}}{{dx}} +2xu(x)v(x) = x^2 - 2xu(x)v(x)$$化简得到：$$v(x)\\frac{{du}}{{dx}} = x^2$$将$v(x)\\frac{{du}}{{dx}}$作为整个等式的导数进行积分，得到：$$\\int v(x)\\frac{{du}}{{dx}}dx = \\int x^2dx$$对等式两边进行积分得到：$$\\int v(x)du = \\int x^2dx$$对右侧积分得到$\\frac{{1}}{{3}}x^3 + C_1$，对左侧进行积分得到：$$v(x)u + C_2 = \\frac{{1}}{{3}}x^3 + C_1$$其中，y1和y2为积分常数。
对方程两边整理得到：$$u(x)v(x) = \\frac{{1}}{{3}}x^3 + C$$其中y=y1−y2为常数。
由于y和y的乘积等于y，因此通解为：$$y = \\frac{{1}}{{3}}x^3u(x) + Cu(x)$$2.要求通过点(0,1)，即y(0)=1的特解。
将y=0和y=1代入通解中，得到：1=0+yy(0)由此得到y=1，特解为：$$y = \\frac{{1}}{{3}}x^3u(x) + u(x)$$3.要求满足初值条件y(0)=2的特解。
将y=0和y=2代入通解中，得到：2=0+yy(0)由此得到y=2，特解为：$$y = \\frac{{1}}{{3}}x^3u(x) + 2u(x)$$题目二已知常微分方程：$$\\frac{{dy}}{{dx}} = x^2y + 2x$$1.求该常微分方程的通解。
常微分期末考试题及答案
常微分期末考试题及答案**常微分期末考试题及答案**一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 微分方程 \( y' = 2x \) 的通解是（）A. \( y = x^2 + C \)B. \( y = 2x + C \)C. \( y = 2x^2 + C \)D. \( y = x^2 + 2C \)2. 微分方程 \( y'' + 4y = 0 \) 的特征方程是（）A. \( r^2 + 4 = 0 \)B. \( r^2 - 4 = 0 \)C. \( r^2 + 4r = 0 \)D. \( r^2 - 4r = 0 \)3. 微分方程 \( y' = \frac{y}{x} \) 的通解是（）A. \( y = Cx \)B. \( y = Cx^2 \)C. \( y = Cx^{-1} \)D. \( y = Cx^{-2} \)4. 微分方程 \( y' + 2y = 0 \) 的通解是（）A. \( y = Ce^{-2x} \)B. \( y = Ce^{2x} \)C. \( y = Cxe^{-2x} \)D. \( y = Cxe^{2x} \)5. 微分方程 \( y' = 3y \) 的通解是（）A. \( y = Ce^{3x} \)B. \( y = Ce^{-3x} \)C. \( y = 3Ce^{3x} \)D. \( y = 3Ce^{-3x} \)6. 微分方程 \( y'' - 5y' + 6y = 0 \) 的特征方程是（）A. \( r^2 - 5r + 6 = 0 \)B. \( r^2 + 5r + 6 = 0 \)C. \( r^2 - 5r - 6 = 0 \)D. \( r^2 + 5r - 6 = 0 \)7. 微分方程 \( y' = 2xy \) 的通解是（）A. \( y = Cxe^{x^2} \)B. \( y = Cxe^{-x^2} \)C. \( y = Cx^2e^{x^2} \)D. \( y = Cx^2e^{-x^2} \)8. 微分方程 \( y'' + y = 0 \) 的通解是（）A. \( y = C_1 \cos x + C_2 \sin x \)B. \( y = C_1 \sin x + C_2 \cos x \)C. \( y = C_1 \cosh x + C_2 \sinh x \)D. \( y = C_1 \sinh x + C_2 \cosh x \)9. 微分方程 \( y' = \frac{1}{y} \) 的通解是（）A. \( y = Cx + 1 \)B. \( y = Cx - 1 \)C. \( y = \frac{1}{Cx + 1} \)D. \( y = \frac{1}{Cx - 1} \)10. 微分方程 \( y'' + 4y' + 4y = 0 \) 的特征方程是（）A. \( r^2 + 4r + 4 = 0 \)B. \( r^2 - 4r + 4 = 0 \)C. \( r^2 + 4r - 4 = 0 \)D. \( r^2 - 4r - 4 = 0 \)**答案：**1. A2. A3. A4. A5. A6. A7. A8. A9. C10. A二、填空题（每题5分，共30分）1. 微分方程 \( y' = 3x^2 \) 的通解是 \( y = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \)。
国家开放大学电大本科《常微分方程》2023-2024期末试题及答案(试卷代号：1076)
1U .平面系统• 的奇点类型是三、计算题(每小题8分，本题共40分) 求下列方程的通解或通积分，11.术空匿可分离方程(I -，)工dy 的通积分. 12. 求一阶线性非齐次方程f + 2h.v=4,矿的通解- <Lr13. 求全傲分方程£ dr —（2》+ rs ，）dy =。
的通积分. I I.求恰当导数方程刀广+（>，'尸=0的通枳分.15.求可降阶的高阶方程v J <+ I =。
的通积分• 四、计算题（本题共15分） 16. 求下列常系数线性微分方程组的通解;dx万=五、证明题（木题共15分）17.若/（Q在（一。
，+8）上连续可微.且当〃 H0时fUf（uXl ），求证I 方程的任一解y = ^'（x ）均在（一 8, + 8）上存在.试题答案及评分标准：一、•单项选修跛（何小盹3分，本JH 共并分）I. B2, C 3. U国家开放大学电大本科《常微分方程》2023-2024期末试题及答案(试卷代号：1076)一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)1. 一阶没量可分离微分方程M(x)N(>)<Lr + F& )Q(w v)dy =0的积分因了是( 1&火=Mv)P(x)C 1〃 一 U)Q(y)2. 方程£ =/T 了 + I (A.有奇解y =士1 C.无奇解 3. 方程若过点的解的存在区何是(A. (― 8. +8〉B.C. <0,+8)D.L 三阶线性齐次微分方程的所有解构成一个( A”维 C.3雄(一 8.2〉(1.4- 8))线性空间.R2维D.4维"77 =一》5.方程组•' 的奇点(0.0)的类型是《).—=工A.中心B.佛点C.鞍点；D.结点二、填空题(每小题3分，木题共15分)6. 微分方程r (y )T 2yy f -r x =0是 阶微分方程・7. 方程毕'=石满足初伉解的存在且惟一性的区域是a.r 8. 二阶方.程此+ /&)/+£《工汕=0的等价方程组是 9. 二阶线性万程/ + y =0的基本解组是 -(di-广二. 填空勉（何小Sfi 3分.本SB共11分）6. 一7. 俩足y、。
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试卷（B ）
试卷份数 考试 本科 考试科目 常 微 分 方 程
第1 页（共5页）
年月日
第2页（共 5 页）
..
年月日
第3 页（共 5 页）
年月日
第4页（共 5 页）
年月日
12-13-2学期期末考试
《常微分方程》B 参考答案及评分标准
（数计学院 ）
制卷 审核 一、填空题（每小题3分，本题共15分）
1．1±=y 2．x x 2cos ,2sin
3．xoy 平面
4．充分必要 5．不能
二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
6．A 7．C 8．C 9．D 10．D
三、简答题（每小题6分，本题共30分）
11．解 分离变量得
x y x
y
d e d e = （3分）
等式两端积分得通积分
C x
y
+=e e （6分）
12．解 令
u x
y
=，则
x u x u x y d d d d +=，代入原方程，得 u u x u x u tan d d +=+，u x
u
x tan d d = （2分）
当0tan ≠u 时，分离变量，再积分，得
C x
x
u u ln d tan d +=⎰⎰ （4分） C x u ln ln sin ln += （5分） 即通积分为：
Cx x
y
=sin
（6分）
13．解 方程两端同乘以5
-y
，得
x y x
y
y
+=--45
d d （2分） 令 z y =-4，则x
z x y y d d d d 45=--，代入上式，得 x z x
z =--d d 41 （3分）
通解为
4
1e
4+
-=-x C z x
原方程通解为 4
1
e 44
+-=--x C y
x （6分）
14．解： 因为
x
N
x y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程 （2分） 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为
C y y x xy y
x
=-⎰⎰
20
d d 2 （4分）
即 C y y x =-
3
2
3
1 （6分）
15．解： 因为方程组是二阶线性驻定方程组，且满足条件
00≠=ac c
b a ，故奇点为原点（0，0） 2分
又由det(A-λE)=
0)(0
2=++-=--ac c a c b a λλλ
λ得 c a ==21λλ 4分
所以，方程组的奇点（0，0）可分为以下类型：
a ，c 为实数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧>><<⎭⎬
⎫=≠=⎪⎩
⎪⎨⎧<⎩⎨⎧>><<>≠不稳定结点，稳定结点奇点为奇结点奇点为退化结点奇点为鞍点（不稳定）不稳定结点稳定结点
奇点为结点,0,00,0,0,00,0,0,0,00c a c a b b c a ac c a c a ac c a 6分
四、计算题（每小题10分，本题共20分）
16．解：对应齐次方程的特征方程为052
=-λλ （1分） 特征根为：
特征根为01=λ，52=λ， （2分）
齐次方程的通解为 x
C C y 521e += （4分） 因为0=α是特征根。
所以，设非齐次方程的特解为
)()(2
1C Bx Ax x x y ++= （6分）
代入原方程，比较系数确定出
31=
A ，5
1
=B ，252=C
原方程的通解为
x x x C C y x 25
2
5131e 23521++++= （10分）
17．解： 其系数矩阵为：
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=3211A ， （2分）
特征多项式为：
5432
11)det(2+-=---=
-λλλ
λλE A ，
其特征根为：,221i ±=，λ， （4分）
当i +=2λ时，由方程组
01211=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----b a i i ， 可解得特征向量为：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+=i T 11 （6分） 由
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡++t t t ie t t t e i e t t t i sin cos sin sin cos cos 1122)2(， （8分）
可知方程组的基本解组为：
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡-t
t t e t t t e t
t sin cos sin sin cos cos 22，. （10分）
五、综合能力与创新能力测试题（每小题10分，本题共20分）
18．证明 由于)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是两个线性无关解，则它们的朗斯基行列式
..
a 0)
()()()()(2121≠''=x x x x x W ϕϕϕϕ （*） （5分） 假如它们有共同零点，那么存在一个点0x ，使得
)(01x ϕ=0)(02=ϕx
于是
0)()(0
0)()()()()(0
201020102010=''=''=x x x x x x x W ϕϕϕϕϕϕ
这与（*）式矛盾．
（10） 19．解:令y x y x M +=2),(,)(),(x f y x N =,由所给方程有积分因子x =μ知
,)
()
(x xN y xM ∂∂=∂∂ （4分）
即)()(x f x f x x +'=,因此函数)(x f 满足一阶线性方程
,1)
()(+-='x x f x f (6分)
求出其通解即得使所给方程有积分因子x =μ的函数)(x f 为
,2)(x
x C
x f +=其中C 为任意常数. (10分)。