宁夏银川二中、银川九中、唐徕回民中学2014届高三下学期三校联考数学理

银川市第二中学 2014年高三年级三校联合模拟考试理科数学试卷银川市第九中学 银川唐徕回民中学命题人 银川唐徕回民中学唐希明、沈学斌试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．i 为虚数单位，复数1+i i在复平面内对应的点到原点的距离为（ ） A ．21 B.22 C. 1D. 22. 已知集合A=｛1，2a｝，B=｛a ，b ｝，若A ∩B=｛21｝，则A ∪B 为（ ） A ．｛-1，21，1｝ B. ｛-1，21｝C ．｛1，21｝D. ｛21，1，b ｝3. 设随机变量x 服从正态分布N （3，7），若P （2+>a x ）=P(2-<a x )，则a =( )A.1B. 2C. 3D. 44. 已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，若2a =2，243a a +=16，则5a =( ) A. 32B. 16C. 8D. 4（7题图）5. 已知l ，m ，n 为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面， 下列命题中正确的是（ ）A. l ⊥m ，l ⊥n ，且α⊂n m ,，则l ⊥αB ．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则βα//C ．若α⊥m ，n m ⊥，则α//nD ．若n m //，α⊥n ，则α⊥m6. 若平面向量．．．．a ，b ，c 两两所成的角相等，且|a |=1，|b |=1， |c |=3，则|a +b +c |= A ．2B. 5C. 2或5D. 2或57. 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一 动点，则三棱锥P —BCD 的正视图与侧视图的面积之比为（ ） A ．1:1 B. 2:1 C. 2:3D. 3:28. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ） A ．10 B. -6 C. 3D. -15 9. 已知A （A x ，A y ）是圆心在坐标原点的单位圆上任意一 点，且射线OA 绕原点逆时针旋转300到OB 交单位圆于点B （B x ，B y ），则A x -B y 的最大值为（ ） A ．21B. 1C.23D. 210. 下列说法：（1）命题“R x ∈∃，使得32>x ”的否定是“R x ∈∀，使得32≤x ”（2）命题“函数()x f 在0x x =处有极值，则()00='x f ”的否命题是真命题（3）()x f 是（∞-，0）∪（0，∞+）上的奇函数，0>x 时的解析式是()xx f 2=，则0<x的解析式为()xx f --=2其中正确的说法的个数是（ ）（8题图）A ．0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个11. 已知()x x f x 2log 3)31(2-⋅=，实数c b a ,,满足()()()()c b a c f b f a f <<<<⋅⋅00，若实数0x 是函数()x f y =的一个零点，那么下列不等式中不可能．．．成立的是（ ） A ．0x a <B. 0x b >C. 0x c <D. 0x c >12. 已知A ，B ，P 是双曲线12222=-by a x 上不同的三点，且A ，B 的连线经过坐标原点，若直线PA ，PB 的斜率乘积32=⋅PB PA k k ，则该双曲线的离心率为（ ） A ．25 B.26C. 2D.315第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．如图，矩形OABC 内的阴影部分由曲线()x x f sin =及直线()],0(π∈=a a x 与x 轴围成的区域，向矩形OABC 内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为21，则=a _____. 14. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1-m S =-2，m S =0，1+m S =3，则m =___________. 15. 已知ω>0，函数())4sin(πω+=x x f 在（2π，π）内单调递减，则ω的取值范围是_______.16. 已知动圆M 过两定点A （1，2），B （-2，-2），则下列说法正确的是__________. （写出所有正确结论的序号） （1）动圆M 与x 轴一定有交点 （2）圆心M 一定在直线21-=x 上 （3）动圆M 的最小面积为π425 （4）直线2+-=x y 与动圆M 一定相交 （5）点（0，32）可能在动圆M 外三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本大题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为c b a ,,满足：22)(AC AB 2c b a +-=⋅，（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求)B 34sin(2cos 322--πC 的最大值，并求取得最大值时角B ，C 的大小.18．（本大题满分12分）某校学生会组织部分同学用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度，现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）.（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，则该人的幸福度为“很幸福”，求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“很幸福”的概率（用式子表示，不必计算结果）；（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任取3人，记X 表示抽到“很幸福”的人数，求X 的分布列及数学期望.19．（本大题满分12分）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△ABE 为等腰三角形，AE=BE=2，平面ABCD ⊥平面ABE ， （Ⅰ）求证：平面ADE ⊥平面BCE ； （Ⅱ）求二面角D —CE —A 的余弦值的大小.20．（本大题满分12分）已知椭圆C ：()012222>>=+b a by a x ，经过点P （1，23），离心率21=e ，直线l 的方程为x =4，（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过P 点），设直线AB 与l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM的斜率分别为1k ，2k ，3k ，问：是否存在常数λ，使得1k +2k =3k λ成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.21．（本大题满分12分）已知函数()⎩⎨⎧≥<+++-=1ln 123x xa x cbx x x x f ，当32=x 时，()x f 有极大值274，（Ⅰ）求实数c b ,的值；（Ⅱ）若存在∈0x [-1，2]，使得()730-≥a x f 成立，求实数a 的取值范围.请考生在22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

作答时用2B 铅笔在答题纸卡上把所选的题目对应的标号涂黑。

（10分）22. [平面几何证明选讲]已知，在△ABC 中，D 是AB 上一点，△ACD 的外接圆交BC 于E ，AB=2BE ， （Ⅰ）求证：BC=2BD ；（Ⅱ）若CD 平分∠ACB ，且AC=2，EC=1，求BD 的长.23. [极坐标与参数方程选讲]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ty tx 2（t 为参数），圆C 的极坐标方程为ρ=1，（Ⅰ）求直线l 与圆C 的公共点的个数； （Ⅱ）在平面直角坐标中，圆C 经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 2得到曲线c '，设M （),y x 为曲线c ' 上一点，求422y xy x ++的最大值，并求相应点M 的坐标.24. [不等式证明选讲]已知函数()|1|-=x x f ，（Ⅰ）解不等式()()≤-+-x f x f 112； （Ⅱ）若0<a ，求证：()()()a f x af ax f ≥-.机密★启用前银川市第二中学 2014年高三年级三校联合模拟考试理科数学试卷 答案及评分标准银川市第九中学 银川唐徕回民中学评分说明：1.本解答给出了一种或者几种解法供参考，如果考生的解法与本题解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则；2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分；3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数；4.只给整数分数，选择题不给中间分数．（13）π（14）5（15）⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,21 （16）①③④三、解答题：（17） （本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）由已知得abc c b a A bc ---=222cos 2，由余弦定理A abc c b a cos 222-+=得bc A bc 2cos 4-=∴21cos -=A ∵π<<A 0，∴32π=A ． …………………………6分 （Ⅱ）∵32π=A ，∴CB -=3π．30π<<C………………………… 分∵30π<<C ，∴3233πππ<+<C ． 故当23ππ=+C 时，)34sin(2cos 322B C--π取最大值23+．此时6π==C B ． …………………………12分（18）（本小题满分12分） 【解析】：（Ⅰ）众数：8.6； 中位数：8.75 ；…………………………2分（Ⅱ）设i A 表示所取3人中有i 个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A ，则140121)()()(3162121431631210=+=+=C C C C C A P A P A P ；…………………………6分（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3.6427)43()0(3===ξP ；6427)43(41)1(213===C P ξ； 64943)41()2(223===C P ξ；641)41()3(3===ξP…………………… 分所以ξ的分布列为：ξE 27279101230.7564646464=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………12分另解：ξ的可能取值为0，1，2，3.则1~(3,)4B ξ，3313()()()44kk k P k C ξ-==.所以ξE =75.0413=⨯． （19）（本小题满分12分） 【解析】（Ⅰ）∵四边形ABCD 是正方形∴AB AD ⊥又∵平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE =AB ，AD ⊂平面ABCD ∴AD ⊥平面ABE ，而BE ⊂平面ABE ∴AD ⊥BE 又∵AE=BE=2 AB=2 ∴222BE AE AB +=∴AE ⊥BE而AD ∩AE=A ， AD 、AE ⊂平面ADE∴⊥平面 而平面∴平面⊥ADE 平面BCE（Ⅱ）取AB 的中点O ，由于△ABC 是等腰三角形，且平面ABCD ⊥平面ABE ，如图建立直角坐标系,则)0,1,0(-A ，)2,1,0(-D ， )2,1,0(C ，)0,0,1(E ，)0,2,0(=DC ，)2,1,1(--=CE ， )0,1,1(=AE平面EDC 的法向量为)1,0,2(=n 平面EAC 的法向量为)1,1,1(-=m …………………… 分 ∴515,cos >=<→→n m……………………12分（20）（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）由点3(1,)2P 在椭圆上得，221914a b += ①11,22c e a ==又所以 ②由①②得2221,4,3c a b ===，故椭圆C 的方程为22143x y += ……………5分（Ⅱ）假设存在常数λ，使得123k k k λ+=.由题意可设,AB k AB 的斜率为则直线的方程为(1)y k x =- ③代入椭圆方程22143x y +=并整理得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++ ④ ……… 分 在方程③中，令4x =得，(4,3)M k ，从而2121213322,,11y y k k x x --==-- 33312412k k k -==--.又因为B F A 、、共线，则有BF AF k k k ==， 即有k x yx y =-=-112211所以=+21k k 12122211--+--x y x y =)1111(2311212211-+---+-x x x y x y =.232-k 1)(2212121++--+x x x x x x ⑤ 将④代入⑤得=+21k k .232-k 12134834)3(42348222222-=++-+--+k k kk k k k ，又213-=k k ， 所以=+21k k 32k故存在常数2=λ符合题意． ……………………………………12分（21）（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）当1x <时，'2()32f x x x b =-++则'2222()3()20333f b =-⨯+⨯+=，所以0b = ……………………………… 分 因为322224()()()33327f c =-++=，所以0c = ………………………………5分（Ⅱ）因为存在0[1,2]x ∈-，使得0()37f x a ≥-所以问题可转化为当[1,2]x ∈-时，max ()37f x a ≥-由（1）知，32,1()ln ,1x x x f x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩①当11x -≤<时，'22()323()3f x x x x x =-+=--令'()0f x =得0x =或23x =当x 变化时，'，变化情况如下表又2)1(=-f ，273=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，0)0(=f所以)(x f 在[)1,1-上的最大值为2 …………………………………… 分 ②当12x ≤≤时，)(x f =x a ln当0a ≤时，()0f x ≤，所以)(x f 的最大值为0当0>a 时，)(x f 在[1,2]上单调递增，所以)(x f 在[1,2]上的最大值为2ln a … 分 由此可知，当0a ≤时，)(x f 在[-1,2]上的最大值为2； 由max 0()237a f x a ≤⎧⎨=≥-⎩得0a ≤当0>a 时，若ln 22a ≤即ln 2a ≤时，)(x f 在区间[-1,2]上的最大值为2； 由max 20ln 2()237a f x a ⎧<≤⎪⎨⎪=≥-⎩得20ln 2a <≤ …………………………………… 分 若ln 22a >即2ln 2a >时，)(x f 在区间[-1,2]上的最大值为ln 2a由max 2ln 2()ln 237a f x a a ⎧>⎪⎨⎪=≥-⎩得27ln 23ln 2a <≤- 综上可知，a 的取值范围为7(,]3ln 2-∞-……………………………………12分22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲【解析】：（Ⅰ）连接DE ，∵四边形ACED 是圆的内接四边形，∴BDE BCA ∠=∠，又DBE CBA ∠=∠，∴DBE ∆∽CBA ∆，即有BE BDAB BC =， 又2AB BE =， ∴2BC BD = ………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）DBE ∆∽CBA ∆，知BE ED AB AC=， 又2AB BE =，∴2AC DE =， ∵2AC =，∴1DE =，而CD 是ACB ∠的平分线∴1DA =，设BD x =，根据割线定理得BD BA BE BC ⋅=⋅即()()()11111122x x x x ⎡⎤+=+++⎢⎥⎣⎦，解得1x =，即1BD = …………10分 23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程【解析】：（Ⅰ）直线l 的方程为0x y -= 圆C 的方程是221x y +=圆心到直线的距离为d ，等于圆半径，∴直线l 与圆C 的公共点个数为1； …………………………………5分（Ⅱ）圆C 的参数方程方程是()cos 02sin x y θθπθ=⎧≤<⎨=⎩∴曲线C '的参数方程是cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩∴22224+4coscos 2sin 4sin 4sin 2x xy y θθθθθ+=+⋅+=+ 中国校长网 中国校长网资源频道当4θ=或4θ=时，224+x xy y +取得最大值5 此时M 的坐标为或⎛ ⎝ ………………………………10分 24. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲【解析】：（Ⅰ）∵(1)(1)f x f x -+-2x x =-+.因此只须解不等式2x x -+2≤.当0x ≤时，原不式等价于22x x --≤，即0x =.当02x <<时，原不式等价于22≤，即02x <<.当2x ≥时，原不式等价于2+2x x -≤，即=2x .综上，原不等式的解集为{}|02x x ≤≤. ……………………………5分 （Ⅱ）∵()()f ax af x -11ax a x =---又0<a 时，111ax a x ax ax a ---=-+-+1ax ax a ≥--+1a =-()f a = ∴0<a 时，()()f ax af x -≥()f a . …………………………10分。