高等数学习题(六)：二重积分
高等数学-二重积分
高等数学-二重积分二重积分作为高等数学的一部分，是积分学的重要内容之一，也是微积分的一个重要分支。
它可以用来求解平面图形的面积、质心、转动惯量等问题，同时也是理解三重积分和曲线积分的基础。
一、二重积分的定义对于平面直角坐标系中一个有界区域D，若在D内存在一个连续函数f(x,y)，则在D 上的二重积分值记为：∬Df(x,y)dxdy其中，dxdy表示对于(x,y)在D上的每一个点，都有一个微小的面积dxdy。
通常情况下，积分区域D是一个闭合区域，即被有限多条曲线所包围的区域。
1、线性性若f(x,y)和g(x,y)在D上可积，则对于任意实数a和b，有：∬D[af(x,y)+bg(x,y)]dxdy=a∬Df(x,y)dxdy+b∬Dg(x,y)dxdy2、积分的可加性若D可表示成D1和D2的并集，且D1和D2没有交集，则有：4、积分与面积的关系对于常数函数f(x,y)=1，在D上的二重积分值就是D的面积S。
即有：∬D1dxdy=S1、利用基本公式对于二重积分中的f(x,y)，若其为一元函数，则参照一元函数积分的公式进行计算即可。
若其为二元函数，则按照二元函数积分的公式计算。
2、极坐标法当积分区域D具有极轴对称性或者其中的许多边界方程可以转化为极坐标方程时，可以使用极坐标公式来求解。
即有：∬Df(x,y)dxdy=∫θ1θ2dθ∫r1r2f(r,θ)rdr其中，r为极径，θ为极角。
3、换元法当积分区域D无法采用基本公式或者极坐标法求解时，可以采用换元法来简化计算。
具体而言，可以通过将坐标系进行转化，将D映射为一个较为简单的区域，从而进行二重积分的计算。
1、面积计算二重积分可以用来计算平面图形的面积。
对于平面图形D，可设其边界方程为：g1(x)=a, g2(x)=b, h1(y)=c, h2(y)=d则D的面积可以表示为：S=∬Ddxdy=∫a^b∫c^d1dydx2、质心计算x0=∬Dxdxdy/M, y0=∬Dy dxdy/M其中，M为D的面积，x0和y0分别称为D的一阶矩。
高等数学 二重积分习题课
y
1
D
1
dx
1 x 2e y2 dy
1
dy
y x 2e y2 dx
0
x
0
0
.
0
y x 1x
1 y 3 e y2 dy 1
03
6
1 y 2e y2 d( y 2 （) 令 y 2 u )
D
D1
D2
0
dx
1 x e x y dy
1
dx
1
x
e
x
y
dy
1
1 x
0
x 1
0 (e 2 x1 e 1 )dx
1
(e
e 2 x1 )dx
e e1
1
0
【例3】计算二重积分
D
y dxdy. x
其中D 是由圆周 x 2
y2
重积分的几何意义将所求立体的体积用二重积分来表示，再 利用极坐标计算即可。
解：令
Байду номын сангаас
2
x2
y2
x2
y2,
求得曲线
z
2 x2 y2
z x 2 y2
在xoy坐标面上的投影曲线方程为 x2 y2 1;
故立体在 xoy坐标面上投影区域为Dxy : x2 y2 1.
f (i ,
i ) i
2．几何意义：表示曲顶柱体的体积
V f ( x, y)d ( f ( x, y) 0)
D
顶 : z f ( x, y) 底 : D
高等数学《二重积分的计算》
D
y x , x 1 所围.
y
解 将 D 看作 y — 型区域 , 则 1
D={(x , y)| y x 1 ，0 y 1 } , y y x
xydxdy
1
0
dy
1 y
y2
sin
xy
d
x
o
1x
D
1
[
y cos
y2
y cos
y]dy
0
1 sin 2
y2
y
sin
y
cos
y
1
0
1
cos 1
d
2
dx
1
x 1 x
x2 y2
dy
D
2(x3
1
x)dx
1 4
x
4
1 2
x
2
2 1
9. 4
例 5 求 x2e y2dxdy ，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y2dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
D {(x, y) | 0 x y , 0 y 1} ,
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
D
a
1 ( x )
d dy 2( y) f ( x, y)dx.
c
1( y)
为计算方便,可选择积分次序,采用哪一种次序积分 通常取决于被积函数的结构.
必要时还可以交换积分次序.
例2 计算 y2 sin xydx dy , 其中 D 由 y 0,
0
1 1 y2
y2 x y 2x x2
例 8
高数第六章重积分课堂练习题及答案
r O
图3
D {(r, ) | 0 r r( ), 0 2}
f
(r cos , r sin )rdrd
2
0
d r( ) 0
f
(r cos , r sin )rdr
D
2o 极点在区域 D 的边界上，如图 8-10 所示.
O
r
图4
D {(r, ) | 0 r r( ), }
r( )
D
D
大小. 先判断 f (x, y) 和 g(x, y) 在 D 上的大小关系，再应用二重积分的比较性质比较两个二
重积分的大小.
解: 由 (x 1)2 ( y 1)2 2 ，可得
y
x y 1 (x2 y2 2x 3) 1 [(x 1)2 y2 ] 1 1
2
2
x
如图 8-22.
o
图 8-22
成的在第一卦限内的立体体积. R3 arctan K
y
3
z x2 y2 z2 1
y
O Dxy
y
x
x2 y2 1
O
x
o
x
图6
2. 求由曲面 z x2 2 y2 及 z 6 2x2 y2 所围成的立体的体积. 6 3. 求由曲面 z x2 y 2 及 z x 2 y 2 所围成的立体的体积
D
[思路] 利用二重积分的估值性质估计二重积分，先计算被积函数在积分区域上的最大、 最小值和积分区域的面积，应用估值性质来估计二重积分的值.
解: 因为在积分区域 D 上， 0 x 1,0 y 2 ，所以 0 xy 2, 1 x y 1 4
于是可得 0 xy(x y 1) 8 ，而 D 的面积 1 2 2 ，应用估值性质有
心流学院(心流数学)—高等数学考研真题训练—二重积分
性质 7 二重积分的对称性
(1)普通对称性：设积分区域D关于Y轴对称， 则
2D1 f x, y dxdy, f x, y f x, y , D f x, y dxdy f x, y f x, y 0,
(2)轮换对称性：若积分区域D关于y=x对称，则
( x y )dxdy d
3 4
D
3 4
2(sin cos )
0
(r cos r sin )rdr
1 (cos sin ) r d 3 0 4 3 8 4 (cos sin ) (sin cos ) (sin cos ) 2 d 3 4
f(x ,y ) d D
c
d
dy
2(y )
1(y )
f(x ,y ) dx .
f(x ,y ) dxdy D
f(r cos ,r sin )rdrd . D
一些公式：
2 2 4 2 0 sin xdx 1 2 , 4 sin xdx 2 ,
二重积分习题
二重积分的定义
定义: 设 f ( x , y ) 是定义在有界区域 D上的有界函数 ,
将区域 D 任意分成 n 个小区域 任取一点 若存在一个常数 I , 使
记作
则称 f ( x , y ) 可积 , 称 I 为 f ( x , y )在D上的二重积分.
积分和
积分表达式
x , y 称为积分变量
2 0
f sin x dx 2 f cos x dx;
0
0
xf sin x dx
多重积分例题
1. 计算二重积分∫∫Dxy，其中D是由x^2+y^2≤1和x+y≥0所围成的闭区域。
解：首先作出不等式组对应的平面区域，然后利用极坐标变换进行求解。
将x²+y²=1代入x+y=0得，x=±√3/2，y=±1/2。
因此，D由圆心在原点，半径为1的上半圆和直线x=-√3/2，y=1/2以及直线x=√3/2，y=-1/2所围成。
将(x,y)代入极坐标系中，得到D的极坐标方程为：θ∈[0,π/4]∪[π/2,π]，r²=1-sin²θ。
因此，二重积分的计算结果为：∫∫Dxy = ∫[0,π/4]dθ∫[0,1-sin²θ]r²dr + ∫[π/4,π/2]dθ∫[0,1-sin²θ]r²dr + ∫[π/2,π]dθ∫[0,1-sin²θ]r²dr= (1/2)(1-cos²θ)|_0^{π/4} + (1/2)(1-cos²θ)|_{\pi/4}^{\pi/2} + (1/2)(1-cos²θ)|_{\pi/2}^{\pi}= π/8 - 3/4。
2. 计算三重积分∫∫∫Ωzdxdydz，其中Ω是由x²+y²+z²≤1和x+y+z≥0所围成的闭区域。
解：首先作出不等式组对应的空间区域，然后利用柱面坐标变换进行求解。
将x²+y²+z²=1代入x+y+z=0得，x=y=z=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。
因此，Ω由球心在原点，半径为1的球体和点(-dfrac{\sqrt{3}}{3},-\dfrac{\sqrt{3}}{3},-\dfrac{\sqrt{3}}{3})所围成。
将(x,y,z)代入柱面坐标系中，得到Ω的柱面坐标方程为：r=1，θ∈[0,2π]，φ∈[0,π]。
因此，三重积分的计算结果为：∫∫∫Ωzdxdydz = ∫[0,2π]dφ∫[0,π]rdθ∫[0,1]r²sinφdz= (1/2)(r³sinφ)|_0^{π} |_0^{π} |_0^{1}= π/6。
二重积分习题及答案
在第一象限部分.
y
解: (1) 作辅助线 y x2 把与D 分成
1 D1
D1, D2 两部分, 则
1 o 1 x
I D1 dxdy D2 dxdy
D2
1
dx
1
1
x2 dy
1 dx
1
x2
dy
0
2 3
(2) 提示:
I D ( x2 y2 2xy 2) dxdy
y
作辅助线 y x 将D 分成 D1 , D2 两部分
1 求 x2e y2dxdy ，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y2dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
x2e y2dxdy
1
dy
y x2e y2 dx
00
D
e1 y2 y3dy e1 y2 y2dy2 1 (1 2).
1
yx
D1
D2
o
1x
2D2 (x y)dxdy 2D dxdy
2 ( 2 1)
3
2
说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
5 计算 ( x y )dxdy, D : x2 y2 1
D
分析 积分区域D关于x、y轴均对称, 被积函数
f ( x, y) x y 关于x,y均是偶函数，利用对称性
去掉绝对值符号.
解 采用直角坐标
1
( x y )dxdy 4 dx
1 x2 ( x y)dy 8
D
0
0
3
【注】在利用对称性计算二重积分时，要同时考虑被积
函数的奇偶性和积分区域的对称性，不能只注意积分区域
高数考研题库二重积分
高数考研题库二重积分高数考研题库二重积分二重积分是高等数学中的重要概念之一，也是考研数学中的重要知识点。
在考研数学中，二重积分的应用非常广泛，涉及到面积、质量、质心等诸多问题。
本文将从二重积分的基本概念、性质以及应用等方面进行探讨。
一、二重积分的基本概念二重积分是对二元函数在某个有界闭区域上的积分。
设有二元函数f(x,y)，定义在闭区域D上，D的边界为C。
则二重积分的计算公式为：∬D f(x,y)dxdy其中，dxdy表示对x和y的积分变量，D表示积分区域。
二重积分的计算需要先确定积分区域D，并将其分解为若干个小区域，然后对每个小区域进行积分，最后将各个小区域的积分结果相加即可得到最终的二重积分值。
二、二重积分的性质1. 线性性质：即对于任意常数a和b，有∬D (af(x,y) + bf(x,y))dxdy = a∬Df(x,y)dxdy + b∬D f(x,y)dxdy。
2. 区域可加性：即对于两个不相交的区域D1和D2，有∬(D1∪D2) f(x,y)dxdy = ∬D1 f(x,y)dxdy + ∬D2 f(x,y)dxdy。
3. 积分次序可交换：即对于可积的函数f(x,y)，有∬D f(x,y)dxdy = ∬D f(x,y)dydx。
4. 积分区域的变换：若将积分区域D通过某种变换映射到D'上，则有∬D'f(x',y')dxdy = ∬D f(x,y)dxdy。
三、二重积分的应用1. 计算面积：二重积分可以用来计算平面区域的面积。
设有闭区域D，其边界为C，函数f(x,y)在D上恒等于1，则二重积分∬D f(x,y)dxdy即为D的面积。
2. 计算质量：二重积分可以用来计算平面区域上均匀分布的物体的质量。
设有密度函数ρ(x,y)，表示在平面区域D上的每个点(x,y)处的质量密度，则平面区域D上的物体的总质量为∬D ρ(x,y)dxdy。
3. 计算质心：二重积分可以用来计算平面区域上均匀分布的物体的质心坐标。
二重积分的计算方法例题及解析
二重积分的计算方法例题及解析一、利用直角坐标计算二重积分1. 例题- 计算∬_D(x + y)dσ，其中D是由直线y = x，y = x^2所围成的闭区域。
2. 解析- （1）首先确定积分区域D的范围：- 联立方程<=ft{begin{array}{l}y = x y = x^2end{array}right.，- 解得<=ft{begin{array}{l}x = 0 y = 0end{array}right.和<=ft{begin{array}{l}x = 1 y = 1end{array}right.。
- 所以在x的范围是0≤slant x≤slant1，对于每一个x，y的范围是x^2≤slant y≤slant x。
- （2）然后将二重积分化为累次积分：- ∬_D(x + y)dσ=∫_0^1dx∫_x^2^x(x + y)dy。
- （3）先计算内层积分：- ∫_x^2^x(x + y)dy=∫_x^2^xxdy+∫_x^2^xydy。
- ∫_x^2^xxdy=x<=ft(y)<=ft.rve rt_x^2^x=x(x - x^2)=x^2-x^3。
- ∫_x^2^xydy=(1)/(2)y^2<=ft.rvert_x^2^x=(1)/(2)(x^2-x^4)。
- 所以∫_x^2^x(x + y)dy=x^2-x^3+(1)/(2)(x^2-x^4)=(3)/(2)x^2-x^3-(1)/(2)x^4。
- （4）再计算外层积分：- ∫_0^1((3)/(2)x^2-x^3-(1)/(2)x^4)dx=(3)/(2)×(1)/(3)x^3-(1)/(4)x^4-(1)/(2)×(1)/(5)x^5<=ft.rvert_0^1。
- =(1)/(2)-(1)/(4)-(1)/(10)=(10 - 5 - 2)/(20)=(3)/(20)。
6.第六章解答金榜图书武忠祥 209高等数学辅导讲义 练习题详解
0 −π
dθ
−θ 2a2 (1 − cos 2t) d t
0
4
∫ = 2a2
0 −π
4
⎜⎛ − θ ⎝
+
1 sin 2
2θ
⎟⎞d t ⎠
=
a
2
⎜⎜⎝⎛
π2 16
−
1 2
⎟⎟⎠⎞.
32.【解】区域 D 如图所示.
∫∫ 原式 = (x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3) d x d y D
∫∫ ∫ ∫ =
1
dx
x
x2 − y2 dy = π
1 x2dx
0
0
40
= 1. 12
∫a
(几何意义
a2 − x2 dx = π a2 )
0
4
∫∫ ∫∫ 18．【解】 原式 = [x2 + 2x +1+ 2 y 2 ]dσ = π + （x2 + 2 y 2 )dσ
x 2 + y 2 ≤1
x 2 + y 2 ≤1
∫∫ = π + 3
I2 = I4 = 0 ，而 I1 > 0 ， I3 < 0 ，故应选（A）.
11.【解】应选（B）.由变量对称性知 I1 = I3 = 0, 在 D2 上 y − x > 0, 则 I2 > 0,
在 D4 上 y − x < 0, 则 I4 < 0,
12.【解】应选（C）.
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ t dx
y
∫ ∫ ∫ ∫ 1
1
15.【解】 dx
xy
1
y
dy = dy
同济大学高等数学6.2二重积分的计算
A dxdy dd
y
D
D
3
a 2 cos 2
4
4
4 4 d
0
0
d
2 4 2a2 cos2 d 0
2a2 sin 2 4 2a2
0
o
x
5
7
4
4
三.二重积分的换元法
定理1
设（1）f x, yCD,
x
xu, v
（2）变换T： y yu, v
把 uv平面上的区
域 D 一对一的变为 D，
cos
2
d
cos f t an d o
Hale Waihona Puke 20xa
2ax x2
(3)
0
dx
x2 a
f
解:
D
:
x
2
a
0x y
a 2ax
x2
x, y dy
在极坐标下，将D分
为二部分表示：
4
2
0 2a cos
0
及
0
4
a sin cos2
于是
a
2ax x2
dx x2
f x, y dy
2
17 5 9 2 64
例3 计算
x 2e y2 dxdy
D
D :由 x 0, y 1, y x围成的区域
解:由于 ey2 的原函数不能用初等函数
表示，故不能先对y积分
y
1y
x2ey2 dxdy dy x2ey2 dx
D
00
1
D
1
y
ey2 dy
x2dx
1
1
y3ey2 dy
D
解:
高等数学 二重积分
例1 利用直角坐标计算⎰⎰=Ddxdy xy I 2，其中D 是由圆周422=+yx与y 轴所围成的右半闭区域．【提示】利用直角坐标计算二重积分的步骤1画出积分区域D 的草图，并求出D 的不同边界曲线的交点的坐标． 2选择适当的积分次序，写出D 中点的坐标y x ,应满足的不等式组．若先对y 后对x 积分(即把D 看作-X 型区域)，则先将区域D 投影到x 轴上得区间],[b a ，再过x 轴上b a ,之间任一点x 自下而上作平行于y 轴的直线，由该直线与区域D 的边界曲线的交点的纵坐标来确定y 的变化范围：)()(21x y y x y ≤≤．这样D 可用不等式组表示为)()(21x y y x y ≤≤， b x a ≤≤．若选择先对x 后对y 积分(即把D 看作-Y 型区域)，用类似的方法，将区域D 投影到y 轴上得y 的变化范围],[d c ，再过y 轴上d c ,之间任一点y 自左至右作平行于x 轴的直线穿过D ，由此确定x 的变化范围．3依据D 的不等式表示，得到⎰⎰⎰⎰=)()(21),(),(x y x y b aDdy y x f dxd y x f σ，或⎰⎰⎰⎰=)()(21),(),(y x y x d cDdx y x f dyd y x f σ，计算等式右端的二次定积分，可得积分值．解 积分区域如图所示．区域D 可以看成是-X 型区域2244xy x-≤≤--， 20≤≤x ，⎰⎰---=2244220x xdy xy dxI dx y x x x⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---24432231⎰-=202/32)4(32dx x x1564)4(152202/52=--=x ．D 还可以看成是-Y 型区域：240yx -≤≤，,22≤≤-y因此又得1564)4(212222402222=-==⎰⎰⎰---dy y y dx xy dyI y ．例2 计算⎰⎰=Ddxdy yxI 22，其中D 是由双曲线2=xy ，抛物线21x y +=及直线2=x 所围成的闭区域．解 积分区域如图所示，D 可以表示成212x y x +≤≤，,21≤≤x⎰⎰+=21/22221x xdy yx dxI42arctan 871221223π-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰dx x x x ． 若将D 看成是-Y 型区域，则21D D D =，其中22:1≤≤x yD ，21≤≤y ，21:2≤≤-x y D ，52≤≤y ．则 ⎰⎰⎰⎰-+=212/252212222yy dx yx dydx yx dyI ．相对于前一解法，可以看出第二种解法较麻烦． 例3 计算dxdy eDy⎰⎰2，D 是由x y =，1=y ，0=x 所围成的闭区域．【提示】将二重积分化为二次积分时， 如遇以下形式的积分⎰dx xx sin ，⎰dx x 2sin ，⎰dx x 2cos ，⎰-dx ex2，⎰dx e xy，⎰dx xln 1，则一定要将其放在后面积分．解 积分区域如图所示，若将D 看作-X 型区域（先y 后x 积分），会遇到积不出的dy ey⎰2，故考虑先对x 后对y 积分，将D 表示为:y x ≤≤0，10≤≤y ，于是)1(211010222-===⎰⎰⎰⎰⎰e dy yedx edydxdy eyy yDy．例4 计算⎰⎰Ddxdy yysin ，D 是由x y =和x y=2所围成的区域．解 积分区域如图所示，由于积分dy yy ⎰sin 不能用初等函数表示，故考虑先对x 后对y 积分．将D 表示为y x y≤≤2，10≤≤y ，则dx yy dydxdy yyy yD⎰⎰⎰⎰=2sin sin 101sin 1)1(sin 10-=-=⎰dy y y ．注 由例1至例4可见，在化二重积分为二次积分时，选择恰当的积分次序是非常重要的，这时既要考虑积分区域D 的形状，还要考虑被积函数的特点以及积分的难易程度．例5 改换下列二次积分的积分次序 1) ⎰⎰=y dx y x f dy I 010),(；2) ⎰⎰⎰⎰-+=2290312/010),(),(x x dy y x f dxdy y x f dxI ；3) ⎰⎰-=ax xax a dy y x f dxI 22202),( )0(>a ．【提示】 改换积分次序的步骤1由所给二次积分的上下限，写出表示积分域D 的不等式组；2依据不等式组画出积分域D 的草图；3写出新的二次积分．解 1）积分区域为10,0:≤≤≤≤y y x D ，如图所示将D 改写为10,1:≤≤≤≤x y x D ，则dy y x f dxIx⎰⎰=110),(．2）由所给积分的上下限知，区域D 可表示为21D D D =，其中⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤1020:21x x y D ， ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤3190:22x x y D 由1D ，2D 作出D 的图形，如图所示，按新的次序，将D 表示为21D D D =，其中⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤21092y :21y yx D ， ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤222191:22y y x D ．所以, dx y x f dydx y x f dyI y y y⎰⎰⎰⎰--+=2291222/12/1092),(),(．3) 积分区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤-ax axy x ax D 2022:2如图所示．将积分域D 分成1D ，2D ，及3D 三部分⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤≤a y ya a x ay D 02:2221，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤a y a a x a y D 222:22， ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤-+ay ax y a a D 02:223，所以⎰⎰--=2222/0),(y a a aya dx y x f dyI ⎰⎰⎰⎰-+++a ya a a a aya adx y x f dydx y x f dy2022/2222),(),(．例6 利用极坐标计算⎰⎰=Dydxdy I ，其中D 是由x y =与22xx y -=所围成的阴影部分的区域．【提示】利用极坐标计算二重积分的步骤1 作出积分区域D 的图形，将D 的边界曲线用极坐标方程表示．2 写出D 中点的极坐标r ，θ应满足的不等式．设l 是从极点出发的射线，令l 从极轴开始绕极点逆时针方向转动，确定射线l 首次与D 的边界相交时所对应的极角α，以及离开区域D 时与D 的边界的交点所对应的极角β，于是极角θ的变化范围是βθα≤≤.对应于[]βα,上的任一极角θ，从极点出发作射线穿过区域D ，确定该射线与D的边界曲线的第一个交点对应的极径)(1θϕ，再确定与D 的边界曲线的最后一个交点对应的极径)(2θϕ，于是)(1θϕ)(2θϕ≤≤r .这样，将D 表示为：)()(21θϕθϕ≤≤r ，βθα≤≤.3 写出二次积分⎰⎰⎰⎰=βαθϕθϕθθθθθθrdr r r f d rdrd r r f D)()(21)sin ,cos ()sin ,cos (,依次计算二次定积分可得积分值．解 积分区域如图所示，由于22xx y -=的极坐标方程为θcos 2=r ，所以D 可表示为θcos 20≤≤r ，24πθπ≤≤．61sin cos38sin 2/4/3cos 2022/4/===⎰⎰⎰ππθππθθθθθd dr r d I ．例7 计算⎰⎰+=Ddxdy y x I )(22，D 是由不等式组2242x y x x -≤≤- ，0≥x所确定的区域．解 积分区域如图所示．由于22xx y -=与24xy -=的极坐标方程分别为θcos 2=r 和2=r ，故D 可表示为20,2cos 2πθθ≤≤≤≤r ，所以⎰⎰⎰-==2/042cos 232/0)cos1(4πθπθθθd dr r d Iπππ45)221432(4=⋅⋅-=． 例8 利用极坐标计算积分⎰⎰-+=xxdy y x dxI 22/12210)(．解 由⎩⎨⎧≤≤≤≤10:2x xy x D ，作出其图形，如图所示．由于2x y =的极坐标方程为θθsec tan =r ，所以D 可表示为θθsec tan 0≤≤r ，40πθ≤≤，12sec tan 14/0sec tan 04/0-==⋅=⎰⎰⎰πθθπθθθθd rdr rd I ．例9 将极坐标下的二次积分⎰⎰⎰⎰+=θππθπθθθθθθcsc 02/4/sec 04/0)sin ,cos ()sin ,cos (rdr r r f d rdr r r f d I化为直角坐标下的二次积分．解 由所给积分的上下限知，区域D 可表示为21D D D =，其中⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤40sec 0:1πθθr D ， ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤24c s c 0:2πθπθr D ， 由于θsec =r ，θcsc =r 的直角坐标方程分别为1,1==y x ， 所以D 在直角坐标下可表示为：10,10≤≤≤≤y x ．故⎰⎰=1010),(dy y x f dxI ．例10 选择适当的坐标计算下列各题 1) ⎰⎰Dyd x σ2，D 由双曲线122=-yx 及直线1,0==y y 所围；2) ⎰⎰Dxyd yeσ，D 由曲线1=xy ，直线2,1,2===x x y 所围；3)⎰⎰Dd xy σarctan，D 是由圆周1,42222=+=+yxyx及直线x y y ==,0所围成的在第一象限内的区域；4)⎰⎰++Dd y xyσ2/322)1(，其中D 为：10,10≤≤≤≤y x ．解 1) 积分区域如图所示．根据积分区域的特点，选择直角坐标，先x 后y 积分⎰⎰⎰⎰++-=22112102y yDydx x dyyd x σ)124(152)1(32102/32-=+=⎰dy y y ．2) 积分区域如图9-16所示．选择直角坐标，根据被积函数的特点，先对x 后对y 积分，得⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21212/112/1dx yedydx yedyd yexyyxyDxyσ2421212/1221)()(e edy e edy e eyyy-=-+-=⎰⎰3) 积分区域如图所示．由积分区域以及被积函数的特点，选择极坐标计算2214/0643arctanπθθσπ=⋅=⎰⎰⎰⎰rdr d d xy D．4) 积分区域如图所示．由被积函数看，在极坐标下计算似乎要简单些，但从积分域的形状，以直角坐标为宜，在两者不可兼得的情况下，由积分域来决定．本题用直角坐标计算，注意积分次序的选择．⎰⎰⎰⎰++=++102/322102/322)1()1(dy y xydxd y xyDσ⎰⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=1012211dx yx⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=10222111dx xx[]1022)2ln()1ln(x x x x ++-++=3122ln++=．例11 计算⎰⎰-=Ddxdy xy I ||2，其中10,11:≤≤≤≤-y x D ．【提示】 当被积函数含有绝对值|),(|y x ϕ时，用曲线0),(=y x ϕ将积分区域D 划分为几个小区域，使得),(y x ϕ在每个小区域内恒正或恒负，于是在各个小区域上，|),(|y x ϕ的绝对值符号就可以去掉了．解 积分区域D 如图所示，曲线02=-x y 将区域D 划分成1D 与2D ．在区域1D 上02≥-xy ，在2D 上02≤-xy ，因此dxdy y xdxdy x y I D D ⎰⎰⎰⎰-+-=21)()(22dy y xdxdy x y dxx x⎰⎰⎰⎰---+-=112121122)()(151121)2121(1141142=++-=⎰⎰--dx x dx x x．例 12 计算⎰⎰+=Ddxdy y x I |)|||(，其中4:22≤+yxD ．【提示】 利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，有时可以大大简化重积分的计算过程，但特别要注意的是仅当积分区域的对称性和被积分函数的奇偶性两者兼得时才能运用这种方法．解 积分区域关于x 轴，y 轴均对称，被积函数||||y x +关于x ，y 均为偶函数，故⎰⎰+=1)(4D dxdy y x I (1D 为D 位于第一象限的部分)364)sin (cos 420202=+=⎰⎰πθθθdr r d .例13 计算⎰⎰+-+=Ddxdy y xx I )153(23，其中222:a yx D ≤+(0>a ).解 由二重积分的性质⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+=DDDDdxdy ydxdy dxdy x dxdy x I 5323,因为积分域222:a y x D ≤+为圆域，关于x 轴，y 轴及坐标原点均对称，所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰+==DDDdxdy y xdxdy y dxdy x )(2122224320421a dr r d a πθπ==⎰⎰，又因3x ，y 分别为x ,y 的奇函数，所以03=⎰⎰Ddxdy x ,0=⎰⎰Dydxdy .再由2a dxdy Dπ=⎰⎰, 得2443a a I ππ+=.例14 计算⎰⎰=Ddxdy y x f I ),(，其中⎩⎨⎧>+≤+--=1,01,1),(y x y x y x y x f ， ⎩⎨⎧≤≤≤≤1010:y x D ．解 积分区域D 如图所示，其中1:,1:21>+≤+y x D y x D⎰⎰⎰⎰+=21),(),(D D dxdy y x f dxdy y x f I⎰⎰--=1)1(D dxdy y x （在2D 上，0),(=y x f ）61)1(1010=--=⎰⎰-x dy y x dxab y )1ln(+=11ln++=a b ．。
二重积分练习题
二重积分练习题一、选择题1. 计算二重积分∬D(x^2+y^2)dA，其中D是圆x^2+y^2=1的内部区域。
A. πB. 2πC. 4πD. 8π2. 以下哪个选项是计算二重积分∬D(x^2-y^2)dA的正确方法？A. ∫∫(x^2-y^2)dxdyB. ∫∫(x^2-y^2)dAC. ∫∫(x^2+y^2)dxdyD. ∫∫(x^2+y^2)dA3. 如果D是正方形区域，其顶点为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)，计算∬D(x-y)dA的结果是多少？A. 0B. 1C. -1D. 2二、填空题1. 计算二重积分∬D(x^2+y^2)dA，其中D是单位圆盘，结果为________。
2. 计算二重积分∬D(x+y)dA，其中D是区域x^2+y^2≤4，结果为________。
3. 如果D是区域0≤x≤1，0≤y≤x^2，计算∬D(2x+y)dA的结果为________。
三、解答题1. 计算二重积分∬D(3x^2-2y^2)dA，其中D是由曲线y=x^2和直线y=x围成的区域。
2. 计算二重积分∬D(1/(x^2+y^2))dA，其中D是单位圆盘x^2+y^2≤1。
3. 计算二重积分∬D(xy)dA，其中D是区域由直线y=x，y=2x和x轴围成。
四、证明题1. 证明对于任意的正数a和b，二重积分∬D(x^2+y^2)dA，其中D是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的内部区域，其结果为πab。
2. 证明对于任意的正数a和b，二重积分∬D(1/√(x^2+y^2))dA，其中D是圆x^2+y^2≤a^2和x^2+y^2≤b^2的交集区域，其结果为1/2π*ln(b/a)。
五、应用题1. 一块矩形金属板的厚度为t，其面积为A，密度为ρ。
如果金属板的重心位于板的几何中心，求金属板的质量。
2. 一个圆环的内半径为a，外半径为b，圆环的密度为ρ。
如果圆环的重心位于圆环的几何中心，求圆环的质量。
二重积分的例题及解析
二重积分的例题及解析二重积分是微积分中的重要概念，用于求解平面上的面积、质量、质心等物理量。
下面将介绍一些常见的二重积分例题，并进行解析。
例题1：计算二重积分D (x+y) dA，其中D为由直线y=x和y=2x以及y=4所围成的区域。
解析：首先，我们需要确定积分的上下限。
由于D区域被直线y=x和y=2x以及y=4所围成，因此x的取值范围为2到4，而y的取值范围为x到4。
因此，我们可以将积分式写为：D (x+y) dA = ∫2^4 ∫x^4 (x+y) dy dx接下来，我们对y进行积分，得到：∫2^4 (xy + y^2/2) |x^4 dx对于这个积分式，我们先计算内层的积分：∫(xy + y^2/2) |x^4 = x(x^4) + (x^4)^2/2 - x(x^2/2) -(x^2/2)^2/2= x^5 + x^8/2 - x^3/2 - x^4/8接下来，我们对x进行积分，得到：∫2^4 (x^5 + x^8/2 - x^3/2 - x^4/8) dx= 1/6 x^6 + 1/16 x^9 - 1/8 x^4 - 1/32 x^5 |2^4= (1/6 * 4^6 + 1/16 * 4^9 - 1/8 * 4^4 - 1/32 * 4^5) - (1/6 * 2^6 + 1/16 * 2^9 - 1/8 * 2^4 - 1/32 * 2^5)= 138.75因此，二重积分D (x+y) dA的结果为138.75。
例题2：计算二重积分D (x^2 + y^2) dA，其中D为单位圆盘x^2 + y^2 ≤ 1。
解析：由于D为单位圆盘，即x^2 + y^2 ≤ 1，我们可以将积分式写为：D (x^2 + y^2) dA = D r^2 dA其中，r为点(x, y)到原点的距离，即r = √(x^2 + y^2)。
因此，我们可以将积分式转化为极坐标形式：D r^2 dA = D r^3 dr dθ由于D为单位圆盘，θ的取值范围为0到2π，r的取值范围为0到1。
二重积分部分练习题
题目部分，(卷面共有100题,405.0分,各大题标有题量和总分) 一、选择 (16小题,共53.0分) (2分)[1] (3分)[2]二重积分Dxydxdy ⎰⎰ (其中D ：0≤y ≤x 2,0≤x ≤1)的值为（A ）16 （B ）112 （C ）12 （D ）14答 ( ) (3分)[3]若区域D 为0≤y ≤x 2,|x |≤2,则2Dxy dxdy =⎰⎰=（A ）0； （B ）323 （C ）643（D ）256 答 ( )(3分)[4]设D 1是由ox 轴，oy 轴及直线x +y =1所圈成的有界闭域，f 是区域D ：|x |+|y |≤1上的连续函数，则二重积分22(,)Df x y dxdy =⎰⎰__________122(,)D f x y dxdy ⎰⎰（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）12答 ( ) (3分)[5]设f (x ,y )是连续函数，则二次积分11(,)x dx f x y dy -+⎰(A)112111(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---+⎰⎰⎰(B)1101(,)y dy f x y dx --⎰⎰(C)11111(,)(,)y dy f x y dx f x y dx ---+⎰⎰⎰(D)21(,)dy f x y dx -⎰⎰答 ( ) (3分)[6] 设函数f (x ,y )在区域D ：y 2≤－x ,y ≥x 2上连续，则二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰可化累次积分为(A)201(,)x dx f x y dy -⎰(B)21(,)x dx f x y dy -⎰⎰(C)21(,)y dy f x y dx -⎰⎰(D)210(,)y dy f x y dx ⎰答 ( )(3分)[7]设f (x ,y )为连续函数，则二次积分21102(,)y dy f x y dx ⎰⎰可交换积分次序为(A)1010(,)(,)dx f x y dy f x y dy +⎰(B)112102(,)(,)(,)dx f x y dy f x y dy f x y dy ++⎰⎰⎰(C)1(,)dx f x y dy ⎰(D)222cos 0sin (cos ,sin )d f r r rdr πθθθθθ⎰⎰答 ( ) (3分)[8]设f (x ,y )为连续函数，则积分212201(,)(,)x xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰可交换积分次序为 (A)12201(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰(B)2122001(,)(,)x xdy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰(C)120(,)y dy f x y dx -⎰(D)2120(,)xxdy f x y dx -⎰⎰答 ( ) (4分)[9]若区域D 为(x －1)2+y 2≤1,则二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰化成累次积分为(A)2cos 0(,)d F r dr πθθθ⎰⎰(B)2cos 0(,)d F r dr πθπθθ-⎰⎰(C)2cos 202(,)d F r dr πθπθθ-⎰⎰(D)2cos 202(,)d F r dr πθθθ⎰⎰其中F (r ,θ)=f (r cos θ,r sin θ)r .答 ( ) (3分)[10]若区域D 为x 2+y 2≤2x，则二重积分(Dx y +⎰⎰化成累次积分为(A)2cos 202(cos sin d πθπθθθ-+⎰⎰(B)2cos 30(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰(C)2cos 3202(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰(D)2cos 3222(cos sin )d r dr πθπθθθ-+⎰⎰答 ( ) (4分)[11]设777123[ln()],(),sin ()DDDI x y dxdy I x y dxdy I x y dxdy =+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中D 是由x =0,y =0,12x y +=,x +y =1所围成的区域，则I 1，I 2，I 3的大小顺序是 (A)I 1＜I 2＜I 3; (B)I 3＜I 2＜I 1; (C)I 1＜I 3＜I 2; (D)I 3＜I 1＜I 2.答 ( ) (5分)[12]设2211cos sin x y dxdyI x y +≤=++⎰⎰，则I 满足 (A)223I ≤≤ (B)23I ≤≤ (C)12D I ≤≤ (D)10I -≤≤答 ( ) (4分)[13]设12x y +=其中D 是由直线x =0,y =0,及x +y =1所围成的区域，则I 1，I 2，I 3的大小顺序为(A)I 3＜I 2＜I 1; (B)I 1＜I 2＜I 3; (C)I 1＜I 3＜I 2; (D)I 3＜I 1＜I 2.答 ( ) (3分)[14]设有界闭域D 1与D 2关于oy 轴对称，且D 1∩D 2=φ,f (x ,y )是定义在D 1∪D 2上的连续函数，则二重积分2(,)Df x y dxdy =⎰⎰(A)122(,)D f x y dxdy ⎰⎰(B)224(,)D f x y dxdy ⎰⎰(C)124(,)D f x y dxdy ⎰⎰(D)221(,)2D f x y dxdy ⎰⎰ 答 ( )(3分)[15]若区域D 为|x |≤1,|y |≤1,则cos()sin()xy Dxexy dxdy =⎰⎰(A) e; (B) e －1;(C) 0; (D)π.答 ( ) (4分)[16]设D ：x 2+y 2≤a 2(a ＞0),当a =___________时，222.Da x y dxdy π--=(A)1答 ( ) 二、填空 (6小题,共21.0分)(4分)[1]设函数f (x ,y )在有界闭区域D 上有界，把D 任意分成n 个小区域Δσi (i =1,2,…,n ),在每一个小区域Δσi 任意选取一点(ξi ,ηi ),如果极限 01lim(,)niiii f λξησ→=∆∑(其中入是Δσi (i =1,2,…,n )的最大直径)存在，则称此极限值为______________的二重积分。
二重积分练习题答案
8、 ∫∫ x − y dxdy ， D : x = 0, y = 0, x = 1, y = 1 y
D
1
解： 原式 = ∫∫ ( y − x)dxdy + ∫∫ ( x − y )dxdy
D1 D2
D1
D2
0
1
x
= ∫ dx
0
1
∫x ( y − x)dy + ∫ dx
1 0
1
∫0 ( x − y) 2 y
f ( x, y )dx
D
.
( -1,-1)
⎞ ⎛ 1 ⎜ - ,-1⎟ ⎝ 2 ⎠
1
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3、 D : x 2 + y 2 ≥ ax ， 2 + y 2 ≤ 2 ax ( a > 0) 将 ∫∫ f ( x, y ) dxdy 设 x
二重积分练习题
一、填空
x2 1、设 D : x = 2, y = x, xy = 1, ∫∫ 3 dxdy = y D
2 x x 2 x2 ∫∫ y3 dxdy = ∫1 dx ∫1x y 3 dy D
13 5
.
(2, 2)
(1,1)
1 (2, ) 2
2、设 D : y = x, y = 2 x, y = −1，将 ∫∫ f ( x, y )dxdy 化为累 次积分 =
D1 D2
0
1
x
= ∫ dθ
4 0
π
∫
sec θ
0
f (r cosθ , r sin θ )rdr f (r cosθ , r sin θ )rdr
二重积分习题总结
一、主要内容
定义
二
几何意义
重
积
性质
分
计算法
定义
n
D
f (x, y)d lim 0 i1
f (xi , yi )i
(与分法无关、点的无取关法）
性质 与定积分相类似的性质（线性性、对称性 对区域的可加性、比较性、估值、中值）
计算
利 用 直 角 坐 标 选 择 坐利 标用 极 坐 标化 二 次 积 分
1、计算二重积分
1、
D
y x2
所围；
y2
d,其 中D:1
3
1 ln 2
y
3, y x y2
12 2
2、 x(1 yf(x2 y2))d,其中D: y x3,
D
y 1, x 1所围； 2
5
2 计 y 算 x 2 d .其 D : 1 中 x 1 ,0 y 1 . D
利 用 变 量 代 换
对称性
1. D关于x轴对称（x轴上方部分为D1)
则 f(x ,y)d 2 D 1f(x ,y)d 当 f(x ,y)f(x , y)
D
0
当 f(x , y)f(x ,y)
2. D关于y轴对称（y轴右边部分为D1)
则 f(x ,y)d 2 D 1f(x ,y)d 当 f(x ,y)f( x ,y)
D
c 1(y)
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴
的直线与区域边界相交不多于两个交点.
（２）极坐标系下
D 1: , 1 () r 2 ().
f(rcos,rsin)rdrd
D1
d
2()f(rco,rs si)n rd . r
1()