高等数学习题(六)：二重积分

（13）求
( x y
D
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2
)d , 其中 D 为曲线 y x 2 , y 4 x 2 与直线 y 1 所围区域
（14）计算二重积分 平面区域。
ydxdy ，其中 D 是由直线 x 2, y 0, y 2 以及曲线 x
D
2 y y 2 所围成的
（15）计算二重积分
（10）求 I
( y )dxdy, 其中 D 由曲线 xy 1, 直线 y x, x 2 所围成
D
x
（11） 求
( x 1)dxdy, 其中 D 是由 y x, y x
D
3
所围成的区域
（12） 求
( x
D
2
y 2 )d , 其中 D 为曲线 ( x 2 y 2 ) 2 x 2 y 2 所围的平面区域
0
1
x
f ( x, y )dy
求解下列二重积分 （4）

1 2 1 4
dy 1 e dx 1 dy e dx
2 2 y
R 2
y
y x
1
y
y x
（5）

2 1
0
e y dy e x dx R e y dy
2 2 2
y
R
R2 y2
0
2
0
e x dx
2
（6） dx
（7） e
（8）
7 48
（9）0
（10） 4 ln 2 （14） 4
3 ； 2
（11）
7 ； 60
（16）
（12）

8
；
（13）
37 ； 112

2
1 e 1 （15） 2

2
ln 2


0 1
x x
sin
x
2y
dy
dy dx sin
2 x
4
2
x
2y
dy
（7） dx
x
0
e

y2 2
（8）
x
D
y
6
dxdy , D: 由 y = x4－x3 的上凸弧段部分与 x 轴所形成的曲边梯形
（9）
x
D
2
xy dxdy , D: y x 及 1 x2 + y2 2 y2
2a
a2 x2
a 2 0
a2 y2 a 2 2 ay
f ( x, y )dx a dy
2
1 3 2 y y
a
a2 y2
0
f ( x, y )dx
（2）
1
0
dx f ( x, y )dy dx
0 1
x2
3
3 x 2 0
f ( x, y )dy dy
e
D
y2
dxdy ，其中积分区域 D 是以点 (0, 0), (1,1), (0,1) 为顶点的三角形。
（16） I
1 x
D
1 xy dxdy ，其中 D ( x, y ) | x 2 y 2 1, x 0 2 2 y
答案
（1）


a
0
dx a 2 x 2 f ( x, y )dy dy
第六讲：二重积分
交换积分次序 （1）

1 0
a
0
dx a 2 x 2 f ( x, y )dy
2a x2 3 3 x 2 0
a2 x2
（2） （3）
dx f ( x, y )dy dx
0 1 0 1
f ( x, y )dy
2 x 2

dx
2 x 2
x
f ( x, y )dy dx
0
f ( x, y )dx
（3）
1

0
1
dx
y
2 x 2
x
f ( x, y )dy dx
0
1
2 x 2
x
f ( x, y )dy
=

dy
0
y
f ( x, y )dx

dy
1
2
2 y
2 y
f ( x, y )dx
1 2
（4）
1 2 1 3 4 （5） （6） 3 ( 2) ( e e2 ) ， (1 e R ) ； 2 4 8