3向量组的线性相关性-57页文档资料
4.3-向量组的线性相关性
β , β ,⋯, β
T 1 T 2
T n
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定义1 定义1 对于给定的一组m n维向量组成 个 的向量组 A: a1, a2 , ⋯, am, 对任何一组实数 c1, c2 , ⋯, cm, 向量
c1a1 + c2a2 +⋯+ cmam
的一个线性组合 线性组合. 称为向量组 A的一个线性组合
4个3维向量一定线性相关 维向量一定线性相关， 解：4个3维向量一定线性相关，故 线性相关． α1,α2 ,α3,α4线性相关．
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作业
习题4－ 习题 －3 1（2） （ ） 4（2） （ ） 6 8 9 （1），（ ） ），（3） ），（
23/23
T
讨论它的线性相关性． 讨论它的线性相关性．
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解 设 k1e + k2e2 +⋯+ knen = 0 1 即
(1)
T
( k1, k2 ,⋯, kn )
T
= ( 0,0,⋯,0)
于是必有 k1 = k2 =⋯= kn = 0. 全为零时， ) 即只有当 k1, k2 ,⋯ kn , 全为零时，(1)式才成立 线性无关. 所以向量组 e , e2 ,⋯, en 线性无关 1
c1, c2 , ⋯, cm 称为这个线性组合的系数 称为这个线性组合的系数.
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给定向量组 A： 1, a2 , ⋯, am 和向量 b， a 如果存在一组数
向量组的线性相关性
二、线性相关性的判定
定理4 向量组a1, a2, …, am 线性相关的充分 必要条件是它所构成的矩阵A=(a1, a2, …, am) 的 秩小于向量个数m；向量组线性无关的充分必要 条件是R(A)=m.
作业 P110 3（1），4，10，11（1）
说明 （1）向量组 A：a1, a2, …, am 线性无关
当且仅当k1=k2= … =km=0时， k1a1 + k2a2 + … + kmam =0 才成立.
一、线性相关性的概念
（2）若向量组只包含一个向量a： a线性相关 a=0 a线性无关 a≠0
（3）含两个向量的向量组：a1, a2 线性相关 a1, a2 的分量对应成比例 几何意义：两向量共线
从而向量组 b1, b2, b3 线性无关．
二、线性相关性的判定
例3 已知向量组 a1, a2, a3 线性无关，且 b1 = a1+a2， b2 = a2+a3， b3 = a3+a1，
试证明向量组 b1, b2, b3 线性无关．
证四 转化为矩阵的秩的问题．
1 0 1
已知
(b1
,
b2
,
b3
k1a1 k2a2 kmam 0.
一、线性相关性的概念
因k1, k2, …, km中至少有一个不为0，
不妨设 k1 0,则有
a1
k2 k1
a2
k3 k1
a3
第 3 章 向量组的线性相关性
第3章 向量组的线性相关性本章学习目标本章主要介绍n 维向量的概念；向量的线性组合与线性表示和向量组的线性相关性；向量组的秩、向量组的极大线性无关组及向量空间的概念，为进一步研究线性方程组的解奠定了非常重要的理论基础．通过本章的学习，重点掌握以下内容：z n 维向量的概念及基本运算，向量的线性组合与线性表示的基本概念 z 向量组的线性相关性，并会判断其线性相关性z 向量组的秩和向量组的极大线性无关组的概念，并会求其秩和极大线性无关组z 向量空间的概念及向量空间的维数和基的概念，会判断向量空间，并会求其维数和基3.1 n 维向量3.1.1 n 维向量的定义在空间解析几何中，三个有序数组x ，y ，z 与空间的一点P 一一对应，记为(,,)P x y z ，起点为坐标原点、终点为P 的向量JJJ GOP 称为向径，其坐标表示式为OP x y z =++JJJ Gi j k ，即 JJJ G OP ={,,x y z } （或JJJ GOP =(,,x y z )）， 其中,,i j k 分别为沿x 、y 和z 轴方向的单位向量．这样三维空间中的向量与三个实数之间就建立了一一对应的关系，下面将三维空间中的向量推广到n 维空间．定义1 由n 个数组成的有序数组12(,,,)"n a a a ，称为一个n 维向量，记为α，即α12(,,,)="n a a a ，其中i a 称为向量α的第i (1,2,,)="i n 个分量（或坐标）．分量全为实数的向量称为实向量，分量为复数的向量称为复向量（本章只讨论实向量）．n 维向量可以写成一行α12(,,,)="n a a a ，称为行向量，即1×n 行矩阵；也可以写成一列α=12⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠#n a aa ，称为列向量，即1×n 列矩阵．列向量通常用黑体小写字母,,,αβa b 等表示，行向量用其转置T T T T ,,,αβa b 等表示．若没有指明是行向量还是列向量时，则默认为是列向量（同维数的行、列向量看成是不同的向量）．n 维向量是解析几何中向量的推广，但当3>n 时，已没有直观的几何意义了，只是沿用几何上的术语．分量全为零的向量，称为零向量，记作0，即0T (0,0,,0)="．向量αT 12(,,,)="n a a a 的各分量的相反数所组成的向量，称为α的负向量，记为−α，即−αT 12(,,,)=−−−"n a a a ．设n 维向量αT 12(,,,)="n a a a ，βT 12(,,,)="n b b b ，若=i i a b (1,2,,)="i n ，则称向量α与β相等，记为α=β，即T 12(,,,)="n a a a T 12(,,,)"n b b b ，当且仅当(1,2,,)=="i i a b i n ．同维数的行向量或列向量所组成的集合称为（行或列）向量组． 例如，一个×m n 矩阵111212122212⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠""###"n n m m mn a a a a a a A a a a 的每一行12(,,,)(1,2,,)=""i i in a a a i m 都是一个n 维行向量，由A 的m 个n 维行向量T 12(,,,)(1,2,,)==""i i i in a a a i m α，组成的向量组T T T12,,,"m ααα称为矩阵A 的行向量组；A 的每一列12j j mj a a a ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠# (1,2,,)j n ="都是一个m 维列向量，由A 的n 个m 维列向量12(1,2,,)⎛⎞⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠"#j j j mj a a j n a α，组成的向量组12,,,"n ααα称为矩阵A 的列向量组．由分块矩阵的概念，可将A 表示为T 1T 212T (,,,)⎛⎞⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠"#n m A αααααα；反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵．例如，n 个m 维列向量组成的向量组12,,,"n ααα可以构成一个×m n 矩阵12(,,,)="n A ααα；m 个n 维行向量组成的向量组T T T 12,,,"m ααα也可以构成一个×m n 矩阵 T 1T 2T ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠#m B ααα， 由此可知，矩阵与向量组之间是一一对应的．3.1.2 n 维向量的线性运算因为n 维列向量是n ×1矩阵，n 维行向量是1×n 矩阵，所以矩阵的加法和数乘运算及运算规律，都适用于n 维向量．定义2 设n 维向量αT 12(,,,)="n a a a ，=βT 12(,,,)"n b b b ，k 为任意实数，则两向量的加法α+β及数与向量的乘法（数乘）k α分别定义为+=αβ11(+a b ,22,+a b ,"T )+n n a b ，=k α1(ka ,2ka ,,"T )n ka ．向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算，其运算规律如下： （1）++=αββα；（2）(+)+=+(+)αβγαβγ； （3）α+0=0+α=α； （4）α+()−α=0； （5）1⋅=αα；（6）()kl α=()k l α； （7）()+k l α=k α+l α；（8）()+=+k k k αβαβ．其中,,αβγ都是n 维向量，,k l ∈R ．例1 设向量T T (1,0,2,3),(2,1,2,0)==−−αβ，求满足23+−=0αβγ的向量γ． 解 由23+−=0αβγ解出γ，即1(2)3=+γαβT T 1[(1,0,2,3)2(2,1,2,0)]3=+−−T T 1[(1,0,2,3)(4,2,4,0)]3=+−−T 22(1,,,1)33=−−．3.2 向量组的线性相关性3.2.1 向量组的线性组合定义3 设有n 维向量12,,,,"m βααα，若存在一组数12,,,"m k k k ，使1122=+++"m m k k k βααα 或 1212(,,,)⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠"#m m k kk βααα，则称β为向量组12,,,"m ααα的线性组合，或称β可由向量组12,,,"m ααα线性表示（表出），12,,,"m k k k 称为此线性组合的组合系数．例2 设T 1(1,2,3)=α，T 2(2,3,1)=α，T 3(3,1,2)=α，T (0,4,2)=β，试问β能否由123,,ααα线性表示？若能，写出具体表示式．解 由 β=112233++k k k ααα，即 123012342312312⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠k k k ，由此得非齐次线性方程组123123123230,234,32 2.++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩k k k k k k k k k 因为方程组的系数行列式123231180312==−≠D ，由克拉默法则知，方程组存在唯一解，求其解为1231,1,1===−k k k ， 所以 β=123+−ααα，即β能由123,,ααα线性表示．例3 设(2,3,0),(0,1,2),(0,7,4)=−=−=−−αβγ．试问γ能否由α，β线性表示？解 由T T T 12+=k k αβγ，即 12200317024⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−+−=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠k k ，由此得非齐次线性方程组112220,37,2 4.k k k k =⎧⎪−−=−⎨⎪=−⎩由方程（1）得10=k ，由方程（3）得22=−k ，但10=k ，22=−k 不满足方程（2），即方程组无解，所以，γ不能表示成α，β的线性组合．由例2、3知，若将非齐次线性方程组A x =b 中的系数矩阵A 看成是由列向量组成的向量组，则方程组=A x 1212(,,,)⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠"#n n x xx αααb ，等价于向量形式1122+++="n n x x x αααb ，因此，讨论向量b 能否由向量组12,,,"n ααα线性表示，就等价于讨论非齐次线性方程组=A x b 是否有解，其中12(,,,)="n A ααα．3.2.2 向量组的线性相关与线性无关向量β可由向量组12,,,"m ααα线性表示，说明向量组12,,,,"m βααα中有一个向量能由其余向量线性表示，而向量组1231000,1,0001⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟===⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠e e e（1）（2）（3）中任一向量都不能由其他两个向量线性表示．一个向量组中有没有某个向量能由其余向量线性表示，是向量组的一种属性，称为向量组的线性相关性．定义4 设有n 维向量组12,,,"m ααα，若存在一组不全为零的数12,,,"m k k k ，使1122+++="m m k k k 0ααα， (3.2.1）则称向量组12,,,"m ααα线性相关，否则称此向量组线性无关．换言之，若12,,,"m ααα线性无关，则（3.2.1）式成立当且仅当120===="m k k k ．由此定义可知： （1）仅含一个零向量的向量组必线性相关．因为，对任何0k ≠，都有=k 00； （2）仅含一个非零向量α的向量组必线性无关．因为，要使=k 0α，必有0=k ；（3）任何包含零向量在内的向量组必线性相关．因为，若1=0α，便有12100⋅+⋅++⋅="m 0ααα，所以12,,,"m ααα线性相关．3.2.3 向量组线性相关的充分必要条件定理1 向量组12,,,"m ααα(2)m ≥线性相关的充分必要条件是：向量组12,,,"m ααα中至少有一个向量可由其余1−m 个向量线性表示．证明 充分性：设向量组12,,,"m ααα中有一个向量，不妨设m α可由其余1−m 个向量线性表示，即存在一组数121,,,−"m λλλ，使得=m α1λ1α2+λ2α1−++"m λ1−m α，或1λ1α2+λ2α1−++"m λ1−m α(1)+−=m α0，由于121,,,,1−−"m λλλ这m 个数不全为0（至少10−≠），所以12,,,"m ααα线性相关．必要性：设12,,,"m ααα线性相关，则存在一组不全为零的数12,,,"m k k k ，使得1122+++="m m k k k ααα0，因12,,,"m k k k 中至少有一个不为零，不妨设10≠k ，则有32123111⎛⎞⎛⎞⎛⎞=−+−++−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠"m m k k k k k k αααα， 即1α可由23,,,"m ααα线性表示．特别地，两个向量12,αα线性相关（即两向量平行）的充分必要条件是12,αα的对应分量成比例，即1=α2λα或2=α1μα(,)λμ∈R 中至少有一个成立，其几何意义为12,αα共线；三个向量线性相关的几何意义是它们共面．判断向量组T 12(,,,)(1,2,,)==""i i i ni a a a i m α的线性相关性可归结为齐次线性方程组1212(,,,)⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠"#m m x xx ααα1122+++="m m x x x ααα0， (3.2.2）即 =A 0x 是否有非零解．一般地，判断向量组12,,,"m ααα线性相关的基本方法和步骤为：（1）假设存在一组数12,,,"m x x x ，使1122+++="m m x x x 0ααα；（2）利用向量的线性运算和向量相等的定义，找出含未知数12,,,"m x x x 的齐次线性方程组；（3）判断齐次线性方程组有无非零解；（4）若齐次线性方程组有非零解，则12,,,"m ααα线性相关；若只有零解，则12,,,"m ααα线性无关．例4 讨论向量组1232133,2,2111⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟===⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠ααα的线性相关性．解法1 设有一组数123,,x x x ，使112233++=x x x 0ααα，即 123213032201110⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟++=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠x x x ，得齐次线性方程组123123123230,3220,0.x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪+−=⎩ (3.2.3) 由于方程（1）加方程（3）正好等于方程（2），所以（2）可以去掉，得同解（1） （2） （3）方程组123123230,0.x x x x x x ++=⎧⎨+−=⎩ 将（1）和（3）两个方程中的3x 移到方程的右边，得12312323,.+=−⎧⎨+=⎩x x x x x x 令31=x ，求出14=−x ，25=x ，故方程组的一组解为14=−x ，25=x ，31=x ． 从而12345−++=0ααα，所以123,,ααα线性相关． 解法2 设有一组数123,,x x x ，使112233++=x x x 0ααα，则有方程组(3.2.3)，因其系数行列式2132153223150111100−==−=−D ，所以方程组(3.2.3)有非零解，从而123,,ααα线性相关．例5 讨论n 维向量组12100010,,,001⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟===⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠"###n e e e的线性相关性，通常称12,,,"n e e e 为基本单位向量组．解 设有一组数12,,,"n k k k ，使1122+++="n n k k k 0e e e ，即 12100001000010⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟+++=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠"####n k k k ，得T 12(,,,)="n k k k 0，从而120===="n k k k ， 故12,,,e e e "n 线性无关．如果所讨论的向量组是行向量组，为了便于写出方程组，也可以写成列向量的形式．例6 讨论向量组（1） （3）123(2,1,0),(1,2,1),(0,1,2)===ααα的线性相关性．解 设有一组数123,,k k k ，使T T T112233++=k k k ααα0，即 123210012100120⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟++=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠k k k ，于是有 121232320,20,20.+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩k k k k k k k因为方程组的系数行列式21012140012=≠， 所以方程组只有零解，即1230===k k k ，从而123,,ααα线性无关．例7 设向量组12,,,"n ααα线性无关，讨论向量组112,=+βαα223,=+βαα,"111,−−=+=+n n n n n βααβαα的线性相关性．解 设有一组数12,,,"n x x x ，使1122+++="n n x x x 0βββ，即 1122231()()()++++++="n n x x x 0αααααα， 从而有111221()()()−++++++="n n n n x x x x x x 0ααα，由12,,,n "ααα线性无关，得齐次线性方程组11210,0,0,−+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩#n n n x x x x x x 将其系数行列式按第一行展开得110001110001(1)0110000011+==+−"""#####"n A ．当n 为奇数时，20=≠A ，因此T 12(,,,)="n x x x 0，故12,,,"n βββ线性无关；当n 为偶数时，0=A ，因此T 12(,,,)≠"n x x x 0，故12,,,"n βββ线性相关．例8 讨论下列向量组的线性相关性：（1）123123254,,011302⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟===⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠ααα；（2）123432534503,,,20130541⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟====⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠αααα．解 （1）设有数123,,x x x ，使112233++=x x x 0ααα，即有 1231230254001103020⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟++=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠x x x ，从而得齐次线性方程组1231230254001103020⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠x x x ，即1231232313230,2540,0,320.x x x x x x x x x x ++=⎧⎪−++=⎪⎨−+=⎪⎪+=⎩ 由前三个方程构成的方程组的系数行列式123123910254091019011011011−===≠−−−，齐次线性方程组只有零解，所以，向量组123,,ααα线性无关．（2）设有数1234,,,x x x x ，使11223344+++=x x x x 0αααα，即有 123432530450302013005410x x x x ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟+++=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠， 从而得齐次线性方程组123432530450302013005410x x x x ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠， 系数矩阵A 的行列式3113422332531240124024503052305232013201304732532505410022r r r r A r r r r ++−−−−−−−=−−−−−−−−+−−−−−3233243412401240124014015601560156270104730027270011200110011r r r r r r rr ×++−−−−−−=⎛⎞−−−−×−⎜⎟⎝⎠−−，该齐次线性方程组有非零解，所以，向量组1234,,,αααα线性相关．3.3 线性相关性的判别定理定理2 向量组12,,,"m ααα线性相关的充分必要条件是（(3.2.2)有非零解）它所构成的矩阵12(,,,)="m A ααα的秩小于向量个数m ；该向量组线性无关的充分必要条件是()=R A m ．推论1 n 个n 维向量线性无关的充分必要条件是它们所构成的方阵的行列式不等于零．推论2 m 个n 维向量组成的向量组，当维数n 小于向量个数m （即<n m ）时一定线性相关．证明 m 个n 维向量12,,,"m ααα构成的矩阵12(,,,)="m A ααα，由于()R A n ≤，当<n m 时，有()<R A n m ≤，故12,,,"m ααα线性相关．特别地，1n +个n 维向量必线性相关． 例9 讨论下列向量组的线性相关性： （1）123(1,3),(2,9),(0,1)ΤΤΤ===−ααα；（2）123123254,,011302⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟===⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠ααα． 解 （1）由于向量组所含向量的个数大于其维数，故123,,ααα线性相关；（2）将123,,ααα构成的矩阵施行初等行变换，有2342131433236123123123254091000601101101132067013r r r r r r r r r A +++−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎯⎯⎯→⎯⎯⎯⎯→⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠233431613123011001000r r r r r ↔×+⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎯⎯⎯⎯→⎜⎟⎜⎟⎝⎠，因为()3=R A ，等于向量个数，所以，向量组123,,ααα线性无关．定理3 （1）若12,,,"r ααα线性相关，则11,,,,,+""r r m αααα也线性相关； （2）线性无关的向量组的任何部分组必线性无关．证明 （1）因为12,,,"r ααα线性相关，所以存在一组不全为零的数12,,,"r k k k ，使1122+++="r r k k k 0ααα，从而1122100+++++++=""r r r m k k k 0ααααα，由于12,,,,0,,0""r k k k 这m 个数不全为零，故12,,,"m ααα线性相关．（2）留给读者自行证明．此定理（1）说明线性相关的向量组添加几个向量后所得的向量组仍线性相关（部分相关⇒整体相关）；（2）说明线性无关的向量组去掉几个向量后所得的向量组（若还有剩余的向量）仍线性无关（整体无关⇒部分无关）． 例10 讨论由向量(1,2,2,1)=α，(2,4,4,2)=β及(0,2,4,5)=γ所组成的向量组的线性相关性．解 显然，12=αβ，所以,αβ线性相关，由定理2（1）知，,,αβγ定理4 设12,,,"αααm 线性无关，而12,,,,"αααβm 线性相关，则β能由12,,,"αααm 线性表示，且表示式唯一．证明 因为12,,,,"αααβm 线性相关，所以存在一组不全为零的数1,,,m k k "1m k +，使111++++="m m m k k k 0ααβ，假设 10+=m k ，则12,,,"m k k k 不全为零，且有1122+++="m m k k k 0ααα，这与12,,,"αααm 线性无关矛盾，所以10+≠m k ，从而1212111+++=−−−−"m m m m m k k kk k k βααα，即β可由12,,,"m ααα线性表示．再证表示式的唯一性．设有两个表示式=β11+λα22++"λαm m λα及=β11+μα22++"μαm m μα， 两式相减，得11()−λμ1+α22()−λμ2++"α()−m m λμ=m 0α，因为12,,,"m ααα线性无关，所以0(1,2,,)−=="i i i m λμ，即 (1,2,,)=="i i i m λμ，从而证明了表示式的唯一性．定理5 设有两个向量组A ：12(,,,)(1,2,,)Τ==""j j j nj a a a j m α B ：12(,,,)(1,2,,)Τ==""n j p j p j p j a a a j m β其中12"n p p p 是自然数1,2,,"n 的某个确定的排列，则向量组A 与向量组B 的线性相关性相同．证明 向量组A 线性相关的充分必要条件是方程组1122+++="m m x x x 0ααα， 即 11121212221212000⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟+++=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠"####m m m n n nm a a a a a a x x x a a a (3.3.1)有非零解．向量组B 线性相关的充分必要条件是方程组1122+++="m m x x x 0βββ，即 11122212121212000⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟+++=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠"####n n n p p p m p p p m m p p p m a a a a a a x x x a a a(3.3.2)有非零解．由于12"n p p p 是自然数1,2,,"n 的某个确定的排列，方程组(3.3.1)和(3.3.2)只是其中方程的次序不同而已，所以这两个方程组是同解的．因而若向量组Α线性无关，则向量组B 也线性无关；若向量组A 线性相关，则向量组B 也线性相关．定理6 设有两个向量组Α：12(,,,)(1,2,,)Τ==""j j j rj a a a j m α；Β：12(1)(,,,,)(1,2,,)j j j rj r j a a a a j m Τ+==""β，即向量j α加上一个分量得到向量j β．若向量组A 线性无关，则向量组B 也线性无关；反之，若向量组B 线性相关，则向量组A 也线性相关．证明 设向量组B 线性相关，则存在一组不全为零的数12,,,m k k k "，使1122+++="m m k k k 0βββ，即111211212(1)1(1)2(1)000m m r r rm r r r m a a a k k k a a a a a a +++⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟+++=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠####"， 取其前r 个等式，有11121121200⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟+++=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠##"##m m r r rm a a a k k k a a a ， 即1122+++="m m k k k 0ααα，其中12,,,"m k k k 不全为零，从而证得向量组12,,,"m ααα线性相关．由定理6的证明过程知，j α添上k 个分量后得到向量j β，结论仍然成立．又由定理5可知，添上的k 个分量可放在任何位置上．所以，很容易由低维数的线性无关向量组，得到高维数的线性无关向量组．例如，由123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)===e e e 线性无关，可知向量组123(1,0,0,3,2,1,5),(0,1,0,1,2,1,3),(0,0,1,3,2,1,2)=−=−−=ααα也线性无关．3.4 向量组的秩3.4.1 向量组等价的概念定义5 设两个向量组Α：12,,",r ααα和Β：12,,,"s βββ．若向量组A 中的每个向量都可由向量组B 线性表示，则称向量组A 可由向量组B 线性表示；若向量组A 与向量组B 能相互线性表示，则称这两个向量组等价．设向量组A 可由向量组B 线性表示，即11112121212122221122,,.=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩""#"s s s s r r r sr s k k k k k k k k k αβββαβββαβββ (3.4.1) 由矩阵乘法，有1212(,,,)(1,2,,)⎛⎞⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠""#i i i s si k ki r k αβββ，于是(3.4.1)式可表示为1112121222121212(,,,)(,,,)⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠""""###"r r r s s s sr k k k kk k k k k αααβββ． (3.4.2)设矩阵12(,,,)r A ="ααα，12(,,,)s B ="βββ，()ij s r k K ×=，则可将(3.4.2)式写成矩阵形式A BK =， (3.4.3)可见向量组A 由向量组B 线性表示可简记为(3.4.3)所示的矩阵形式；反之若有(3.4.3)的矩阵形式，则可将矩阵A 的列向量看作是矩阵B 的列向量的线性表示．等价向量组具有下面三个性质：（1）自反性：向量组A 与自身等价；（2）对称性：若向量组A 与向量组B 等价，则向量组B 与向量组A 等价； （3）传递性：若向量组A 与向量组B 等价，向量组B 与向量组C 等价，则向量组A 与向量组C 等价．在数学中，把具有上述三个性质的关系称为等价关系．3.4.2 极大线性无关组与向量组的秩定义6 设向量组A 的一个部分组12,,,"r ααα满足 （1）12,,,"r ααα线性无关；（2）向量组A 中每一个向量均可由12,,,"r ααα线性表示，则称12,,,"r ααα是向量组A 的一个极大线性无关组，简称极大无关组；极大线性无关组所含向量的个数r 称为向量组A 的秩，向量组12,,,"m ααα的秩记为12(,,,)"m R ααα．由定义6可证明：（1）只含零向量的向量组没有极大线性无关组，规定它的秩为0； （2）任何非零向量组必存在极大无关组； （3）向量组的极大无关组与向量组本身等价；（4）线性无关向量组的极大无关组为其本身（线性无关向量组的秩等于它所含向量的个数）．例11 求向量组1232133,2,2111⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟===⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠ααα的一个极大无关组．解 由例4知123,,ααα线性相关，下面讨论其中任意两个向量13,αα的线性相关性．设有数12,k k ，使1123+=k k 0αα，即121212230,320,0.+=⎧⎪+=⎨⎪−=⎩k k k k k k 因为由前两个方程构成的齐次线性方程组的系数行列式23032≠， 故方程组有唯一解，即120==k k ，所以13,αα线性无关．同理可验证12,αα；23,αα也线性无关．可取13,αα作为原向量组的一个极大无关组，也可取12,αα或23,αα作为原向量组的极大无关组．一般来说，向量组的极大无关组不是唯一的，但可以证明每一个极大无关组所含向量的个数是唯一的．求向量组的极大无关组的意义之一在于：当用向量组表示方程组时，其极大无关组中的向量对应方程组中那些独立的方程，而独立的方程构成的方程组与原方程组同解．当一个向量组线性相关时，其对应的方程组中一定有某个方程是其余方程的线性组合，这个方程就是多余方程，此时称方程组（各个方程）是线性相关的；当方程组中没有多余方程，则称该方程组（各个方程）是线性无关（或线性独立）的．例12 由全体n 维向量构成的向量组记为nR ，求nR 的一个极大无关组及其秩．解 由本章例5知，n 维单位向量组T 1(1,0,,0)="e ，T 2(0,1,,0)="e ，…，T (0,0,,1)="n e 线性无关，由定理2的推论2知，n R 中的任意1+n 个向量（任意向量T 12(,,,)="n a a a α 1=a 1e 2+a 2++"e n a n e ）都线性相关．因此，向量组12,,,"n e e e 是n R 的一个极大线性无关组，且n R 的秩等于n ．显然，n R 的极大无关组很多，任意n 个线性无关的n 维向量构成的向量组都是n R 的极大无关组．定理7 若向量组A 的秩为r ，向量组B 的秩为s ，且向量组A 能由向量组B 线性表示，则r s ≤．证明 设向量组A 的极大线性无关组为0A ：12,,,"r ααα； 向量组B 的极大线性无关组为0B ：12,,,"s βββ．因为向量组0A 能由向量组A 线性表示（0A 与A 等价），向量组A 可由向量组B 线性表示（定理中条件），向量组B 能由向量组0B 线性表示（0B 与B 等价），故向量组0A 能由向量组0B 线性表示（传递性），即存在矩阵()×=ij s r K k ，使1112121222121212(,,,)(,,,)⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠""""###"r r r s s s sr k k k kk k k k k αααβββ，假设>r s ，则()<R K s r ≤，即方程组12⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠#r x xK x 0 有非零解．设它的一组非零解为1122,,,==="r r x x x λλλ， 则1122+++"r r λλλααα12(,,,)="r ααα12⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠#r λλλ12(,,,)="s K βββ12⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠#r λλλ12=(,,,)"s βββ=00，这与12,,,"r ααα线性无关矛盾，从而有r s ≤．推论 等价向量组的秩相等．证明 设向量组A 与向量组B 的秩分别为r 和s ，由于向量组A 和向量组B 等价，即这两个向量组可以互相线性表示，由定理7知r s ≤与s r ≤同时成立，所以=r s ．特别地，等价的线性无关向量组所含向量个数相等．由于一个向量组的不同极大无关组之间等价，因而它们所含向量个数均相等，由此也证明了一个向量组的秩是唯一的．3.4.3 向量组的秩与矩阵秩的关系 设×m n 矩阵111212122212⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠""###"n n m m mn a a a a a a A a a a ，称矩阵A 的n 个列向量所构成的向量组的秩为A 的列秩；A 的m 个行向量所构成的向量组的秩为A 的行秩．矩阵的秩与其行、列秩的关系有如下定理：定理8 矩阵A 的秩等于其行秩，也等于其列秩．证明 设12(,,,)="m A ααα，()=R A r ，并设r 阶子式0≠r D ，根据定理2，r D 所在的r 列线性无关；又由A 中所有1+r 阶子式均为零，则A 中任意1+r 个列向量线性相关．因此，r D 所在的r 列是A 的列向量组的一个极大无关组，所以列向量组的秩等于r ．类似可证矩阵A 的行向量组的秩也等于()R A ，即R (A )=A 的行向量组的秩=A 的列向量组的秩．以上证明给出了一种求向量组的极大无关组的方法：将所给的向量组按列（行）构成矩阵A ，若r D 是矩阵A 的一个最高阶非零子式，则r D 所在的r 列就是A 的列（行）向量组的一个极大无关组．3.4.4 初等变换求向量组的秩由定理8知，求一个向量组的秩，可以转化为求以这个向量组为行向量或列向量构成的矩阵的秩，而矩阵的秩很容易通过初等变换求得，因此也可以用初等变换求向量组的秩．将所讨论的n 维向量组12,,,"m ααα写成一个n 行m 列的矩阵，并对此矩阵施行初等行变换，化为行阶梯形矩阵，其非零行的行数就是向量组12,,,"m ααα的秩（即极大无关组所含向量的个数）．例13 求向量组T 1(1,4,1,0,2)=α，T 2(2,5,1,3,2)=−−α，T 3(1,2,5,6,2)=−α，T 4(0,2,2,1,0)=−α的秩．解 将向量按列构成矩阵A ，用初等行变换化其为行阶梯形矩阵：121012101210452203620120115203620001036103610000222002400000−−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=→→−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠A ， 显然，非零行数为3，知()3=R A ，故 1234(,,,)3=R αααα．求向量组的极大无关组时，如果所给的是行向量组，一般也按列排成矩阵再做初等行变换．例14 求向量组1(2,1,4,3)=α，2(1,1,6,6)=−−α，3(1,2,2,9)α=−−−，4(1,1,2,7)=−α，5(2,4,4,9)=α的一个极大无关组．解 将向量组按列排成矩阵A ，用初等行变换化A 为行阶梯形矩阵B ：T T T T T 12345(,,,,)=A ααααα123122111211214112142464846224231123697936979r r r ↔−−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟=⎯⎯⎯→⎜⎟⎜⎟−−−−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠2123231414212,522331121411214022200111005536000260334300013r r r r r r r r r r r −+−−−−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟⎯⎯⎯→⎯⎯⎯⎯→⎜⎟⎜⎟−−−−⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠⎝⎠3431211214011100001300000r r B −−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎯⎯⎯→=⎜⎟−⎜⎟⎝⎠， 由于B 的1,2,4列线性无关，故124,,ααα是向量组12345,,,,ααααα的一个极大无关组．如果要求将其余的向量用所求的极大无关组线性表示，需将矩阵化为行最简形矩阵，否则只需将矩阵化为行阶梯形矩阵．例15 设向量组1(1,1,1,3)Τ=α，2(1,3,5,1)Τ=−−α，3(3,2,1,2)Τ=−+a α，4(2,6,10,)Τ=−−a α，当a 取何值时，该向量组线性无关，并在此时将向量(4,1,6,10)Τ=α用这个向量组线性表示．解 将矩阵1234(,,,,)=A ααααα施行初等行变换，化其为行最简形矩阵1234(,,,,)=A ααααα113241326115110631210a a −−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟=⎜⎟−⎜⎟+⎝⎠ 2131413242343332(7)(9)11324021430010100021r r r r r r r r r r r r a r B a a −−−++÷−−−−−⎛⎞⎜⎟−−−−⎜⎟⎯⎯⎯⎯⎯→=⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠414241323212(2)243(2)100023401002(2)00101100012r a r r r r r r r r r r r a a a a a ÷−++−+÷−+⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎯⎯⎯⎯→≠⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠， 当2≠a 时，由矩阵B 可知，前4列线性无关，相应地1234,,,αααα线性无关，由最后的行最简形矩阵可知1234341222−−=+++−−a aa a ααααα． 例16 用矩阵的秩与向量组的秩的关系证明{}()min (),()R AB R A R B ≤．证明 设A ，B 分别为×m n 矩阵和×n s 矩阵，=AB C ，则C 是×m s 矩阵，先证()()R AB R A ≤．将A 和C 看成是列向量构成的矩阵，设 12(,,,)="n A ααα，12(,,,)="s C γγγ， 则1112121222121212(,,,)(,,,)⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠""""###"s s s n n n ns b b b b b b b b b γγγααα， 则C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示．由定理7得12(,,,)"s R γγγ≤12(,,,)"n R ααα，即 ()()R AB R A ≤，因T T T =C B A ，由上面的证明知T T ()()R C R B ≤，所以()()R AB R B ≤，故{}()min (),()R AB R A R B ≤．此题结论与定理7是同一个原理的不同表现形式，前者是矩阵形式，后者是向量组的形式，所以此题结论也可以看成是定理7的推论． 类似地，可证明两矩阵和的秩小于等于两矩阵秩的和，即()R A B +≤ ()()R A R B +． 3.5 向量空间为了研究线性方程组解的结构，本节介绍向量空间的概念．3.5.1 向量空间的概念定义7 设V 是非空的n 维向量集合，若集合V 对于向量的加法和数乘运算满足：（1）对任意的,∈V αβ，有+∈V αβ；（2）对任意的,V λ∈∈αR ，有∈V λα，则称集合V 为向量空间．定义中的（1）表示集合V 中向量对于加法运算封闭；（2）表示集合V 中向量对于数乘运算封闭．因而向量空间也可以表述为：对加法和数乘运算封闭的非空集合．例17 设有三维向量的全体{3==R α121233,,}x x x x x x ⎛⎞⎜⎟∈⎜⎟⎜⎟⎝⎠R以及三维向量集合1V {=α22330,}x x x x ⎛⎞⎜⎟=∈⎜⎟⎜⎟⎝⎠R ，2=V {α22331,}x x x x ⎛⎞⎜⎟=∈⎜⎟⎜⎟⎝⎠R ，其中3R 、1V 是向量空间，而2V 不是向量空间．因为，对任意的3,∈R αβ，∈λR ，有123⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠x x x α，=β123⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠y y y ，从而+αβ112233+⎛⎞⎜⎟=+⎜⎟⎜⎟+⎝⎠x y x y x y 3∈R ，λα=123⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠x x x λλλ3∈R ，又对任意的1,V ∈αβ，λ∈R ，有230⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠x x α，=β230⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠y y ，而22330⎛⎞⎜⎟+=+⎜⎟⎜⎟+⎝⎠x y x y αβ1∈V ，λα230⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠x x λλ1∈V ，但是对任意的2,∈V αβ，λ∈R ，有231⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠x x α，=β231⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠y y ，而+αβ22332⎛⎞⎜⎟=+⎜⎟⎜⎟+⎝⎠x y x y 2∈V ，=λα23⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠x x λλλ2∈V ，即3R 、1V 中的向量对于加法与数乘运算封闭，但2V 中的向量对于向量的加法和数乘运算不封闭．在解析几何中，向量空间3R 可形象地看作以坐标原点为起点的空间有向线段的全体；而向量空间1V 可形象地看作以坐标原点为起点，落在平面23x Ox 上的空间有向线段的全体．类似地，n 维向量全体所构成的集合n R 12{(,,,),1,2,,}n i a a a a i n ==∈=""αR 是一个向量空间，称为n 维向量空间．例18 设,αβ是n 维向量，集合{V λαμβλ==+x ，}μ∈R 是一个向量空间．因为零向量=000+∈V αβ，V 是非空集合；且对任意的12,V ∈x x ，k ∈R ，有 1=x 1+λα1μβ，2=x 2+λα2μβ， 从而 1212()+=+λλx x +α12()+∈V μμβ， 111()()=+∈k k k V λμαβx ， 称此向量空间为由向量,αβ生成的向量空间，记为(,)V αβ． 一般地，由向量组12,,,"m ααα生成的向量空间可表示为 12(,,,)="m V ααα1122{=+++"m m λλλαααα12,,,}m λλλ∈"R ．3.5.2 向量空间的基与维数 除零空间外，向量空间都含有无穷多个向量，而这无穷多个向量能否用有限个向量来表示是值得讨论的． 例如，在3R 中，取T T T 123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)===e e e ，对任意的1(,x =α T 323,)x x R ∈都可表示为1=x α1+e 2x 2+e 3x 3e ，此时称123,,e e e 为3R 的基．一般地，有定义8 设V 是向量空间，若向量组12,,,∈"r V ααα，满足（1）12,,,"r ααα线性无关；（2）V 中的任一向量都可由12,,,"r ααα线性表示，则称12,,,"r ααα为向量空间V 的一个基，r 称为V 的维数，记为dim =V r ，并称V 是r 维向量空间．只含一个零向量的集合{}0也是一个向量空间，称为零空间，零空间没有基，规定它的维数为0，所以也可称为0维向量空间．如果将向量空间看作一个向量组，那么向量空间V 的基就是它的一个极大无关组．V 的维数就是它的秩，从而向量空间V 的基不唯一，但其维数是唯一的．设V 是r 维向量空间，则V 中任意r 个线性无关的向量就是V 的一个基．例如，在n R 中，n 维基本单位向量组T T T 12(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1)===""""n e e e 是向量空间n R 的一个基．因为（1）12,,,"n e e e 线性无关；（2）任一向量T 12(,,,)=∈"n n x x x R α，有 T 12(,,,)=="n x x x α1x 1+e 2x 2++"e n x n e ，故dim =n R n ，即n R 是n 维向量空间．实际上，n R 中任意线性无关向量组12,,,"n ααα都是向量空间n R 的基．又例如，基本单位向量组T T 23(0,1,0),(0,0,1)==e e是向量空间1V 的一个基．因为（1）23,e e 线性无关；（2）对任意的向量1∈V α，有2230⎛⎞⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠x x x α2e 3+x 3e ，所以，1V 是二维向量空间．因此，通常定义的n 维向量与本节定义的n 维向量空间是两个完全不同的概念，前者是指向量的分量个数为n ；后者是指向量空间的基所含向量个数为n ．若将向量组12,,,"m ααα生成的向量空间12(,,,)"m V ααα也看成向量组，则它与向量组12,,,"m ααα等价，12,,,"m ααα的一个极大无关组12,,,"r ααα()r m ≤就是向量空间12(,,,)"m V ααα的一个基，从而12(,,,)"m V ααα是r 维向量空间，所以由12,,,"m ααα生成的向量空间还可简单地表示为=V 1122{=+++"r r λλλαααα12,,,}r λλλ∈"R ．例19 证明1234(1,1,1,1),(1,3,1,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)ΤΤΤΤ====αααα是4R 的一个基．证明 由定义8及定理2的推论1知，只要证明1234,,,αααα线性无关即可． 将1234,,,αααα写成矩阵1234(,,,)=A αααα，则111113003011101001==−≠A ， 由定理2的推论1知，1234,,,αααα线性无关，故1234,,,αααα是4R 的一个基． 本章小结本章重点讨论了向量组的线性表示、向量组的线性相关性、向量组的秩以及向量组的极大无关组等，除了掌握一些判定定理外，还要掌握一些常用方法和技巧．一、线性表示向量β能用向量组12,,,"m ααα线性表示⇔矩阵12(,,,)="m A ααα与矩阵12(,,,,)="m B αααβ的秩相等，而表示式唯一⇔12,,,"m ααα线性无关或()=R A m ．具体方法：用待定系数法将β设为向量组12,,,"m ααα的线性组合，列出方程组，解出待定系数，若无解，则不能线性表示．相关结论：1．零向量是任何一组向量的线性组合．2．向量组12,,,"m ααα中的任一向量(1)j j m α≤≤ 3．任何一个n 维向量T 12(,,,)="n a a a α都是n 维基本单位向量组 T 1(1,0,,0),="e T T 2(0,1,,0),,(0,0,,1)=="""n e e 的线性组合，且 T 12(,,,)="n a a a α1=a 1e 2+a 2++"e n a n e ． 二、判断向量组的线性相关性的主要方法有： 1．定义法：假设有数12,,,"m k k k ，使 1122+++="m m k k k 0ααα 成立，由向量相等，列出齐次线性方程组，判断其是否存在非零解．若存在非零解，则向量组线性相关，若不存在非零解，则向量组线性无关．2．反证法：此法是讨论向量组线性相关性的重要方法． 3．综合法：可以结合矩阵的秩进行讨论，特别是当向量的个数与维数相等时，可根据行列式的值进行判断；利用向量组的等价性进行讨论． 三、向量组的等价性 1．任一向量组和它的极大无关组等价． 2．向量组的任意两个极大无关组等价． 3．两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同．4．向量组12,,,"m ααα的任意两个极大无关组含向量的个数相同．四、求向量组的秩和极大无关组的基本方法：1．将向量组的秩，转化为矩阵的秩进行讨论：将向量组写成矩阵形式，对其施行初等行变换化为行阶梯形矩阵，其非零行的行数即为向量组的秩，非零行对应的向量便组成一个极大无关组；若将行阶梯形矩阵再施行初等行变换化为行最简形矩阵，就可将其他向量用极大无关组线性表出．2．利用等价向量组具有相同的秩进行讨论．习题31．设123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)ΤΤΤ===ααα，求12−αα及12332+−ααα． 2．设1233()2()5()−++=+αααααα，其中123(2,5,1,3),(10,1,5,10),(4,1,1,1)ΤΤΤ===−ααα，求α．3．举例说明下列各命题是错误的：（1）若向量组12,,,"m ααα是线性相关的，则1α可由2,,"m αα线性表示． （2）若有不全为零的数12,,,"m λλλ，使11221122+++++++""m m m m λλλλλλαααβββ=0，成立，则12,,,"m ααα线性相关，12,,,"m βββ亦线性相关．（3）若只有当12,,,"m λλλ全为零时，等式11221122+++++++=""m m m m λλλλλλ0αααβββ，才能成立，则12,,,"m ααα线性无关，12,,,"m βββ亦线性无关．（4）若12,,,"m ααα线性相关，12,,,"m βββ亦线性相关，则有不全为零的数12,,,"m λλλ，使1122+++="m m λλλ0ααα与1122+++="m m λλλ0βββ同时成立．4．设112223334441,,,=+=+=+=+βααβααβααβαα，证明向量组1234,,,ββββ线性相关．5．设1121212,,,==+=+++""r r βαβααβααα，且向量组12,,,"r ααα线性无关，证明向量组12,,,"r βββ线性无关．。
3.3向量组的线性相关性
推论3：当向量组中所含的向量个数大于向量的维数 时，此向组必线性相关。
例1：n维向量组
ε 1 1, 0 , , 0 , ε 2 0 ,1, , 0 , , ε n 0 , 0 , ,1
T T T
称为n维单位坐标向量组，讨论其线性相关性。 解：n维单位向量组构成的矩阵
T T T
线性相关。 2、定理4：若向量组 α 1 , α 2 , , α s , β 线性相关，而向量组 α 1 , α 2 , , α s 线性无关，则向量 β 可由 α 1 , α 2 , , α s 线性 表示，且表示法唯一 。 α 1 , α 2 , , α s , β 线性相关 故存在一组不全为零的数 k 1 , k 2 , , k s , k 有
x1 2 x 2 3 x 3 0 x 5x 6x 0 2 3 1
1 1
2 5
2 0 6
所以，齐次线性方程组有非零解，即 x1 , x 2 , x 3 不全为零。 故向量组线性相关。
二、线性相关性基本定理 1、定理1：向量组 α 1 , α 2 , , α s s 2 线性相关的充要条件 是向量组中至少有一个向量可由其余s-1个向 量线性表示。 必要性： 设 α 1 , α 2 , , α s线性相关，则存在s个不全为零的 数 k 1 , k 2 , , k s ，使得 k 1α 1 k 2 α 2 k s α s 0 成立 不妨设 k 1 0 ，于是 k 1α 1 k 2 α 2 k s α s
hs α s 0
h s，故表示法唯一
整理得 l1 h1 α 1 l 2 h 2 α 2 l s
3.向量组的线性相关性与线性方程组的解
3.向量组的线性相关性与线性方程组的解§3.1 线性方程组解的判定1.定理3.1:n 元线性方程组AX=b ，其中A=(a 12a 12a 1n a 21a 22a 2na m1a m2a mn),x=( x 1x 2??x n ) ,b=( b 1b 2??b m )(1)无解的充要条件是R(A)＜R(A,b)；(2)有惟一解的充要条件是R(A)=R(A,b)=n ，(3)有无穷多解的充要条件是R(A)=R(A,b)＜n.注：(1)R(A,b)先化为行阶梯形，判别。
有解时再化为行最简形求解。
(2)R(A)=m 时，AX=b 有解。
(3)R(A)=r 时，有n-r 个自由未知量，未必是后面n-r 个。
2.定理3.2:n 元线性方程组AX=0(1)有惟一解（只有零解）的充要条件是R(A)=n ； (2)有无穷多解(有非零解)充要条件是R(A)＜n .注：(1)m ＜n,AX=0必有非零解。
3.定理3.3:矩阵方程AX=B 有解的充要条件是R(A)=R(A,B) 求解线性方程组例1. {4x 1+2x 2?x 3=23x 1?x 2+2x 3 =1011x 1+3x 2 =8例2. {2x 1+x 2?x 3+x 4 =14x 1+2x 2?2x 3+x 4=22x 1+x 2 ?x 3?x 4 =1例3. 求解齐次线性方程组{3x 1+ 4x 2?5x 3+ 7x 4 =02x 1?3x 2+3x 3? 2x 4 =04x 1+11x 2?13x 3+16x 4=07x 1?2x 2+ x 3+ 3x 4 =0例4.写出一个以X=C 1(2?310)+C 2(?2401)为通解的齐次线性方程组。
例5（每年）.（1）λ取何值时，非齐次线性方程组{ λx 1+x 2+x 3=1x 1+λx 2+x 3=λx 1+x 2+λx 3=λ2（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并在有无穷多组解时求出通解.（2）非齐次线性方程组{x 1+x 2+2x 3=02x 1+x 2+ax 3=13x 1+2x 2+4x 3=b当a,b 取何值时，（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并求出通解.例5(12/13学年).设A=(λ110λ?1011λ), b=(a11),已知Ax=b 存在两个不同的解：(1)求λ,a;(2)求Ax=b 的通解。
3章3节 向量组的线性相关性
即：部份相关, 则全组相关； ?全组无关, 则部份无关。 ?
定理4 若向量组1 ,2 ,, s， 线性相关，而向量组
则向量 可由1 ,2 ,, s线性表示， 1 ,2 ,, s线性无关，
且表示法唯一。
无关组加一个后相关， 则后加者由原组表出法唯一。
定理5 设有两向量组 A:1 , 2 ,, s ; B:1 , 2 ,, t ;
定义1 给定向量组A : 1 , 2 ,, s , 如果存在不全为零的数
k1 , k2 ,, ks , 使k11 k22 ks s 0, 则称向量组
线性相关 ，否则称为线性无关 。
与上一节对应，本定义相当于零向量由一组向量线性表出
(线性组合)， 但这里要求k1 , k2 ,, ks不全为零。
§ 3.3 向量组的线性相关性
上一节分析了某向量与一组向量的线性组合关系，
以及线性组合的表示， 这一内容对应非齐次线性方程组
的有解判断以及求解的内容。为下一步学习向量之间的
相关性做好了理论准备，
本节将分析一组向量内各向量之间的线性相关性。 这一内容则对应齐次线性方程组的有解判断以及求解的
内容。
一、线性相关性概念
秩小于向量的个数s。
即为齐次线性方程组系数矩阵的秩小于未知数个数 ——有非零解。
推论1 s个n维列向量1 ,2 ,, s线性无关(线性相关)的
充要条件是: 矩阵A (1 ,2 , s )的秩(等于)小于向量的个数s。
齐次线性方程组系数矩阵的秩等于未知数个数 ——仅有零解；
推论2 n个n维列向量1 ,2 ,, s线性无关(线性相关)的
1 0 2 r r = 1 2 4 2 1 r3 r1 1 5 7
线性代数课件向量组的线性相关性
基变换公式推导及应用
• 基变换公式推导：设α1,α2,...,αn与β1,β2,...,βn是n维线性空间V的两组基，则由基的定义可知，存在一组不全为零的数 k1,k2,...,kn，使得
基变换公式推导及应用
β1=k1α1+k2α2+...+knαn β2=l1α1+l2α2+...+lnαn
基变换公式推导及应用
• ... • βn=m1α1+m2α2+...+mnαn • 将上述n个等式联立起来，即可得到基变换公式。 • 基变换公式的应用：基变换公式在向量空间的坐标变换、线性
方程组求解、矩阵对角化等问题中有着广泛的应用。通过基变 换公式，我们可以将问题在不同基下进行转化，从而简化问题 的求解过程。
05
线性方程组解的结构与性 质分析
证明过程
首先证明充分性，若 $R(A) < n$，则齐次线性方程组 $Ax = 0$ 有非零解，即存在不全为零的实数 $k_1, k_2, ldots, k_n$，使得 $k_1alpha_1 + k_2alpha_2 + ldots + k_nalpha_n = 0$，因此向量组线性相关。然后证明必要性， 若向量组线性相关，则存在不全为零的实数 $k_1, k_2, ldots, k_n$，使得 $k_1alpha_1 + k_2alpha_2 + ldots + k_nalpha_n = 0$，即齐次线性方程组 $Ax = 0$ 有非零解， 从而 $R(A) < n$。
求解方法举例
观察法
通过直接观察向量组中的向量是否共线或共 面来判断其线性相关性。例如，对于二维向 量组，若两个向量共线，则它们线性相关； 对于三维向量组，若三个向量共量组的秩来判断其线性相关性。 具体步骤包括构造矩阵、进行初等行变换、 计算秩等。例如，对于向量组 $alpha_1 = (1, 2, 3), alpha_2 = (4, 5, 6), alpha_3 = (7, 8, 9)$，可以构造矩阵 $A = (alpha_1, alpha_2, alpha_3)$，然后进行初等行变换得到最简形 式，从而计算出 $R(A)$ 并判断向量组的线性
§3.3 向量组的线性相关性
1 T 2 Qt s T s
16
设矩阵A经初等行变换变成 ，则B的每个行 B 向量都是A的行向量组的线性组合 ，即B的行向量 组能由A的行向量组线性表示 由初等变换可逆性 . 可知，A的行向量组能由 的行向量组线性表示， B 于是A的行向量组与B的行向量组等价 .
因此该向量组线性无关。
22
由向量组线性相关的定义不难得到： 1. 向量组只包含一个向量α时，其线性相 关的充要条件是α=0。 2. 向量组只包含两个向量α和β时，其线性 相关的充要条件是α与β对应的分量成比例。 3.任何一个包含零向量的向量组必线性相 关。
T m
T 2
T 1
T i
T m
向量组 , , …， 称为矩阵A的行向量组．
3
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm .
（ 1 , 2 ,, m ) 1 , 2 ,, t )Qtm （ （ 1 , 2 ,, t ) 1 , 2 ,, s ) Pst （ 故有（ 1 , 2 ,, m ) 1 , 2 ,, t ) Pst Qtm （ 1 , 2 ,, s ) Rsm （ 所以向量组 1 , 2 ,, m可由向量组 1 , 2 ,, s线性表示。
线性相关. 事实上，由于 3 21 2 故有一组不全为零的数2，1 ，-1 使得 21 2 (1) 3 0 又例如，向量组 1 1, 1, 1, 2 2, 3, 2, 3 0, 1, 2
3向量组的线性相关性
0 0 0 L 1
n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量．
回顾：线性方程组的表达式
1. 一般形式
2. 增广矩阵的形式
3
x1 x1
4x2 x3 x2 2x3
5 1
3 4 1 5
1
1
2 1
3. 向量方程的形式
4. 向量组线性组合的形式
3
1
4 1
1
2
x1 x2 x3
向量b 能由 向量组 A 线性表示
线性方程组 Ax = b 有解
R( A) R( A,b)
定义：设有向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl ， 若 向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向 量组 B 能由向量组 A 线性表示． 若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个向量 组等价．
矩阵方程组 AX = B 有解
R( A) R( A,b)
R( A) R( A, B) R(B) R( A)
R( A) R(B) R( A, B)
知识结构图
n维向量 向量组 向量组的线性组合 向量组的线性表示 向量组的等价
向量组与矩阵的对应
判定定理及必要条件 判定定理
回顾：向量组的线性组合
k11 k12 L
b1, b2 ,L
, bl
a1, a2 ,L
,
am
k21 M
k22 L M
km1 km2 L
k1l
k2l
M
kml ml
若 Cm×n = Am×l Bl×n ，即
c11
c21
c12 L c22 L
M M
cm1 cm2 L
向量组的线性相关性-精品文档
x1 3 x2 0 x1 3 x 2 2 2 得同解方程组： 5 5 x x2 x3 0 x 3 2 2 2 3 x1 2 c 取x2=c,得原方程组的解： (c为任意常数） x2 c 5 x 3 2 c
1 1 1 1 0 12 1 2 0 0 2 4 1 0 0 1 2 1 2, 0 0 1 2 1 2 0 0 2 4 1 0 0 0 0 0
x1 x 2 x 3 0 kx 1 2 x 2 x 3 0 2 x kx 0 2 1
0 1 1 k 1 2 0 0 3 k 1 1 0
解：
1 A k 2
1 2 k
2 ( k 1 ) k 6 k k 6 ( k 3 )( k 2 )
再如:
A x 0 ( r ( A ) n ) 解的全体是一个含无穷多个 n m n
-6-
维列向量的向量组.
定义
:1 ,2 , ,m 对于向量组 A , 表达式
k k k ( k R ) 1 1 2 2 m m i
称为向量组 A 的一个线性组合.又如果
因为 R (A ) R (A ) 2 4 , 故方程组有解 , 且是无穷个解， 程组
12 , x 1 x 2x 4 2x 12 . x 3 4
因此此方程组的全部解为
x 1 c1 c2 1 2 , x 2 c1 x 3 2c2 1 2 . x 4 c2 （其中， c 1， c 2 为任意常数）
向量组的线性相关性
3.2.1 向量组的线性相关与线性无关 定义3.2.1 设α1 , α2 , … , αm, β都是
数域p上的n维向量，如果存在数域p上的
数k1,k2, …,km，使得
个不全为零的数k1,k2, …,km，使得
k11 k2 2 km m 0
则称向量组α1,α2, …,αm是线性相关的. 如果向量组α1,α2, …,αm不是线性相关的,就 称为线性无关的.
由定义可知，当一个向量组中含有零 向量时，它一定是线性相关的. 当它全为 非零向量时，可能线性相关也可能线性无 关. 一个线性无关的向量组的特点是，它 只有系数全为零的线性组合才是零向量, 除此之外, 它不再有别的线性组合是零
k m1 m1
m1
rm (ki )ri i 1
1
.
2
B
m 1
0
于是有R(A)= R(A)≤m-1，即R(A)<m。
充分性，设R(A)<r=m，由定理2.5.4推
论2，存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,
使得
PAQ
Er O
O O
，
即
PA
Er O
O O
Q
1。
令
p11
P
不全为零的数 k1,k2 ,k3, k4使(3.2.2)成立， 故向量组α1,α2,α3 α4线性相关
例3.2.4设向量组α1，α2，α3，α4的线 性无关，证明：
(1)设向量组α1- α3，2α1-α2，2α3-α2线 性相关；
(2)设向量组α1- α2，α2-α3，α3+α1线性 无关。
线性方程组与向量的线性相关性
11 1
(3)1 1 1
1 1 1
方法一：
因此
(1)当
即
且
组有唯一解.
(2) 当
时，
时，方程
18
可见
故方程组此时有无限 多个解，且通解为
1 1 2 3 0 3 3 6 0 0 0 0
x x
1 2
1 2
c, c,
x 3 c ,
19
(3) 当
时，
可见 故方程组此时无解.
其一是当A为方阵时, 先根据系数行列式 A 0, 求得使
方程组有唯一解 的值，然后讨论；
其二是对矩阵(A,b)作初等行变换.
17
系数矩阵的行列式为
2 1 1 (A,b) 1 2 1
1 1 2 3
0 0 3 3 6 0 3 3 6
3 1 1 1
1
A 1 1 1 1 2 3 1 1 1
1 2
c, c,
0 0 0 0 x 3 c ,
22
1 1 1
r
(A,b)0 3
0 0 32 322
1 1 1 0 0 0 0 3 0 0 0 3
(3) 当
可见 时无解.
时，
故方程组此
23
二、齐次线性方程组解的研究
T是h系m数3.矩2 阵nA的元秩齐X等次0于线未性知方量程的组个AX数=n0，只即有R零(A解)的=n充；要有条非件
2 1 0
1 1 1
rr12r2r3 rr21rr33
1 0
rr12 132r20
13 00 00
30 013 00
313 31133
200 1011
0 0
0 0
000 010 1 1
第3章 3.3向量组的线性相关性
证明: (II )线性相关,故存在不全为0的数
k1 , k2 , , ks , k, 使得
k11 k22 kss k 0
现证k 0.若k 0,则k1, , ks不全为0，使得
k11 k22 kss 0,推出(I )线性相关，
这与(I )线性无关矛盾，故k 0,所以
性质1 向量组1,2, ,s(s 1)(I )线性相关
的充分必要条件是(I )中至少有一个向量可
由其余s 1个向量线性表出.
证明：必要性,1,2 , ,s ( I )线性相关,则
存在不全为零的数k1, k2 , .ks使得
k11 k22 kss 0,
必有一个ki 0,于是
i
k1 ki
1
由1,2 ,,s线性无关，得:
λ1 μ1 , λ2 μ2 , 唯一性得证.
, λs μs
23
性质3.设1,2 , ,（s I )的一部分线性相关， 则(I )线性相关. “部分相关,则整体相关”
证明：为简单起见，不妨设1,2 ,, at (t s)
线性相关,即存在不全为0的数k1, k2 ,, kt，使得
例如 : α1 (1,1，2),α2 (3, 3，6)线性相关，则
β1 (1,2), β2 (3,6)线性相关.
29
性质总结
性质1 向量组1,2, ,s(s 1)(I )线性相关
的充分必要条件是(I )中至少有一个向量可 由其余s 1个向量线性表出.
性质2 设向量组1,2 , ,s (I )线性无关， 1,2 , ,s， ( II )线性相关,则 可由
11
或者说 “个数大于维数必相关”
A
A 的列组是 4 个 3 维向量, 必相关.
3向量组的线性相关性
c
A~ B
A 经过有限次初等列变换变成 B
口诀：左行右列.
存在有限个初等矩阵P1, P2, …, Pl ，使 AP1 P2 …, Pl = B
存在 m 阶可逆矩阵 P，使得 AP = B
把 P 看成是 线性表示的
系数矩阵
矩阵 B 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价
3
1
,
线41性 ,表 2示1？
第八页，编辑于星期一：十九点 三十二分。
结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．
x1a1 x2a2
xmam a1, a2 ,
x1 a11 a12
, am
x2
a21
a22
xHale Waihona Puke an1 an2a1m x1
a2m
x2
第二页，编辑于星期一：十九点 三十二分。
定义：n 个有次序的数 a1, a2, …, an 所组成的数 组称为n 维向量，这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i 个分量．
✓行向量和列向量总被看作是两个不同的向 量．
✓所讨论的向量在没有指明是行向量还是列 向量时，都当作列向量．
x1 x1
4x2 x3 x2 2x3
5 1
3. 向量方程的形式
2. 增广矩阵的形式
3 4 1 5
1
1
2
1
4. 向量组线性组合的形式
3
1
4 1
1 2
x1 x2 x3
5 1
3 4 1 5
x1
1
x2
1
x3
2
1
方程组有解？
向量
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定义中两种形式分别称为行向量和列向量, 也可以分 别看成1n矩阵和n1矩阵, 向量可以按矩阵运算规律进行 相应运算, 于是列向量也可写成：=(a1, a2, …, an)T.
(1) [,][,];
(2 )[ ， ] [ ,] [,]
(3)[k,]k[,]
。 (4) [,]0 , 而且, 仅当=0时, [, ]=0.
利用这些性质还可以证明Schwarz不等式:
[,]2[,][,]
下面定义n维向量的长度和夹角 定义3.3 设n维向量=(a1, a2, …, an)T, 称非负实数
定义3.2 设有n维向量=(a1,a2,…,an)T, =(b1,b2,…,bn)T, 令
[, ]=a1b1+a2b2+…+anbn
称[, ]为向量与的内积.
内积是两个向量之间的一种运算, 其结果是一个实数. 内积也可以用矩阵运算表示, 当与都是列向量时, 有
[, ]=T=T
内积具有下列性质(其中, , 为n维向量, k为实数):
2
定义3.5 若[, ]=0, 则称向量与正交.
向量与的内积[, ]也可以表示成： [, ]＝|||| cos<, >
§2 向量组的线性相关性
若干个同维数的列向量(或行向量)组成的集合叫做向
量组. 如: m×n 矩阵A=(aij)对应n 个m 维列向量
a 11
a 1 2
a 1 n
1
例1 设T=(2,1,0,1), 1T=(1,1,0,0), 2T=(0,1,0,1), 3T=(1, 0, 0, 1), 问能否由向量组1, 2, 3线性表示.
解 设 =k11+k22+k33 , 即
(2,1,0,1)=(k1k3, k1+k2, 0,k2+k3) 于是有
kk11kk23
2 1
可见向量组1, 2, …, s线性无关的充分必要条件是: k11+k22+ …+kss=0
只有当k1,k2 , …,ks全为零时才成立. 例2 讨论向量组 1T=(1,1,0,0), 2T=(0,1,0,1), 3T=
(1, 0, 0, 1)的线性相关性.
解 设 k11+k22+k33=0 , 即 (k1k3, k1+k2, 0,k2+k3)=(0,0,0,0)
a a
21
m1
，
2
a a
22
m2
，
，
n
a 2n
a
mn
，
向量组1, 2, …, n称为A的列向量组.即A=(1, 2, …, n).
m×n 矩阵A=(aij)也对应m 个n 维行向量
1=(a11, a12, …, a1n),
2…=(a…21,
a…22,
…, …
a…2n),
m=(am1, am2, …, amn),
k1 k3 0
k1
k2
0
k2 k3Байду номын сангаас 0
解得: k1=k2=k3=0. 所以1, 2, 3线性无关.
例3 讨论向量组 1T=(1,1,2), 2T=(0,1, 1), 3T= (2, 3, 3) 的线性相关性.
解 设 k11+k22+k33=0 , 即 (k1+2k3, k1+k2+3k3, 2k1k2+3k3)=(0,0,0)
在解析几何中, 曾引进向量的数量积
x y=|x||y|cos
在三维直角坐标系中，有
(x1, x2, x3)(y1,y2,y3) x1y1x2y2x3y3
但n维向量没有3维向量那样直观的长度和夹角的概念, 我们可以按数量积的直角坐标计算公式来推广, 先定义n维 向量内积的概念, 反过来定义n维向量的长度和夹角.
1
向量组1, 2,…, m, 称为矩阵A的行向量组,
即A
2
m
.
反之, 由有限个向量组成的向量组也可构成一个矩阵.
线性方程组Ax=b也可以用向量表示成:
x11+x22+ …+xnn=
其中, 1, 2, …, n是矩阵A的列向量组, ＝b.
定义3.6 对向量和向量组: 1, 2, …, n, 若存在一组 数k1,k2 , …,kn, 使: =k11+k22+ …+knn, 则称向量可 由向量组1, 2, …, n线性表示, 也称向量是向量组1, 2, …, n的线性组合.
k2 k3 1
解得: k1=1, k2=2, k3=1. 即 =1223
所以向量可由向量组, 2, 3线性表示.表示式也可写成
1
(1，2，3 ) 2 即
1
1
1
0
0
0 1 0 -1
-1
2
0 0 1
1
2
1
=
-1
0
1
对列向量, =k11+k22+…+kss 可形式写成
k1+2k3 0 k1+k2 +3k3
如果两个向量维数相等且对应分量都相等称它们相等.
分量都是零的向量称为零向量, 记为0.
将向量的分量都改变符号得到的向量, 称为向量的 负向量, 记为-.
常用的向量运算是向量的加法和乘数两种运算, 统称 为向量的线性运算, 完全按矩阵运算处理, 所以满足:
(i)交换律：+=+ (ii) 结合律: (+)+=+(+) (iii) +0= (iv) +()=0 (ⅴ) 1= (ⅵ) 结合律：(kl)=k(l) (ⅶ) 数的分配律： (k+l)=k +l (ⅷ) 矩阵的分配律： k(+)=k +k . 所有n维列(行)向量的全体, 对其上所定义的加法和乘 数两种运算, 构成了一个n维线性空间, 或称向量空间.
k1
(1， 2，
,
s
)
k2 ks
对行向量, =k11+k22+…+kss 可形式写成
1
(k1， k 2，
,
k
s
)
2 s
定义3.7 若存在一组不全为零的数k1,k2 , …,ks, 使:
k11+k22+ …+kss=0 则称向量组1, 2, …, s线性相关, 否则称线性无关.
[,]a1 2a2 2an 2
为向量的长度(或范数), 记为||或‖‖. 当||=1时, 称为单位向量.
当≠0时, 1 是与同方向的单位向量. | |
由Schwarz不等式, 对任意非零向量和都有
[ , ] 1
定义3.4 对任意非零向量, , 称
,arc[ c, o ],s0,
为向量和的夹角. 可见, , [, ]=0, 于是有