高中数学必修4第一章第三章知识点经典题型

第三章三角恒等变换

★1、角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；

()

sin 2tan cos α

αα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛

⎫== ⎪⎝

⎭．

★2、函数的诱导公式：

()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．

口诀：函数名称不变，符号看象限．

()5sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭

．()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫

+=- ⎪⎝⎭．

口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．

★3、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶

()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷

()sin sin cos cos sin αβαβαβ

+=+；

⑸

()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⑹

()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=

-

★4、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴sin22sin cos ααα=．2

22)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒

⑵2222

cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-

⇒升幂公式

2sin 2cos 1,2

cos 2cos 12

2

α

αα

α=-=+

⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=

，21cos 2sin 2α

α-=

．

22tan tan 21tan α

αα=

-

★ 5. 把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数”

.tan )sin(sin cos 22a

b b a b a =

±+=±θθααα， 例题：

1．sin105°cos105°的值为( ) A.1

4 B ．－14 C.34

D ．－3

4

2．若sin2α＝14，π4<α<π

2，则cos α－sin α的值是( ) A.32 B ．－3

2 C.34

D ．－34

3．sin15°sin30°sin75°的值等于( ) A.14 B.34 C.18

D.38

4．在△ABC 中，∠A ＝15°，则 3sin A －cos(B ＋C )的值为( ) A. 2 B.22 C.32

D. 2

5．已知tan θ＝13，则cos 2

θ＋12sin2θ等于( ) A ．－65 B ．－45 C.45 D.65

答案 D

6．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等腰三角形或直角三角形 7．12

cos 12

sin 2

2

π

π

-的值 （ ）

A ．-2

1 B ．2

1 C ．2

3 D .-2

3

8．三角形ABC 中，若∠C >90°，则tan A ·tan B 与1的大小关系为( ) A ．tan A ·tan B >1 B. tan A ·tan B <1 C ．tan A ·tan B ＝1

D ．不能确定

9．函数f (x )＝sin2x-cos2x 的最小正周期是( ) A ．2

π B ．π C ．2π D .4π

1. 解析 原式＝12sin210°＝－12sin30°＝－14. 答案 B

2. 解析 (cos α－sin α)2

＝1－sin2α＝1－14＝34.

又π4<α<π2，

∴cos α

2.

答案 B

3.解析 sin15°sin30°sin75° = sin15°sin30°sin(90°-75°) ＝sin15°cos15°sin30° ＝12sin30°sin30°＝12×12×12＝18.

答案 C

4. 解析 在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝π， 3sin A －cos(B ＋C ) ＝3sin A ＋cos A ＝2(32sin A ＋1

2cos A )

＝2cos(60°－A )＝2cos45°＝ 2. 答案 A

5. 解析 原式＝cos 2θ＋sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2

θ＝65. 6. 解析 ∵sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B ，或∠A ＋∠B ＝π

2. 答案 D

7. 解析 原式=)12

sin -12

cos 2

2π

π

（-=-cos

6

π=-23 答案 D

8. 解析 在三角形ABC 中，∵∠C >90°，∴∠A ，∠B 分别都为锐角． 则有tan A >0，tan B >0，tan C <0. 又∵∠C ＝π－(∠A ＋∠B )，

∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B

1－tan A ·tan B <0，

易知1－tan A ·tan B >0， 即tan A ·tan B <1. 答案 B

9．解析 f (x )＝sin2x-cos2x=2sin(2x-4

π

) 答案 B