概率论与数理统计天津大学作业答案

概率论与数理统计复习题

填空题

1.设随机变量

X 的分布律为1{}(),1,2,3,42

k P X k A k ===，则A= 。 答案：

1615

2.设总体X 服从均匀分布(1,)U θθ-, θ为未知参数。12,,

,n X X X 为来自总体X

的一个简单随机样本，X 为样本均值，则θ的矩估计量为 。 答案：

12

X +

3.设X 服从参数为1的指数分布(1)e ，Y 服从二项分布(10,0.5)B ， 则

()

()

D Y D X = 。 答案：

4.设A,B,C 为三个随机事件，则“A,B,C 中只有两个发生”可表示为 。 答案：ABC ABC A BC ⋃⋃

5.某袋中有7个红球、3个白球，甲乙二人依次从袋中取一球，每人取后不放回， 则乙取到红球的概率为 。 答案：

6.设A,B,C 为三个随机事件，则“A,B,C 中只有一个发生”可表示为 。 答案：AB C ABC A BC ⋃⋃

7.某袋中有9个红球、3个白球，甲乙二人依次从袋中取一球，每人取后不放回，则乙取到白球的概率为 。

答案： 选择题

1、一批产品中有正品也有次品，从中随机抽取三件，设A ，B ，C 分别表示抽出的第一件、第二件、第三件是正品，下列事件不能描述“正品不多于两件”的是（ C ）。

16,,X 为来自总体则( A )

3、在假设检验中，0H 表示原假设，1H 表示对立假设，则犯第一类错误的情况为( C )

（A ）0H 真，接受0H （B ）0H 不真，接受0H （C ）0H 真，拒绝0H （D ）0H 不真，拒绝0H

4、设1234,,,X X X X 是来自均值为μ的总体的样本，其中μ未知，则下列估计量中不是μ 的无偏估计的是( B )。

设

X 服从参数为λ的Poisson 分布，即~()X P λ，则

()

()

E X D X =（ A ）。

(A) 1 (B) λ (C) 1

λ

(D) 0 6.设随机变量~(2,4),~(0,1),,X N Y N X Y 且相互独立，2Z X Y =+，则~Z （ B ）。

(A) N(6,8) (B) N(2,8) (C) N(0,6) (D) N(0,46) 简答题

设随机变量Z 在[

]

5,6-上服从均匀分布，

0,11,1Z X Z ≤-⎧=⎨>-⎩，1,11,1Z Y Z -≤⎧=⎨

>⎩， 写出(,)X Y 的联合分布律。 解：

4

{0,1}{1,1}{1}11

P X Y P Z Z P Z ==-=≤-≤=≤-=， {0,1}{1,1}0P X Y P Z Z ===≤->=，

2{1,1}{1,1}{11}11

P X Y P Z Z P Z ==-=>-≤=-<≤=， 5{1,1}{1,1}{1}11

P X Y P Z Z P Z ===>->=>=

即为

设某种元件的寿命X (单位：小时)服从指数分布，其概率密度为

1300

1,0()300

0,0x e x f x x -⎧>⎪

=⎨⎪≤⎩

。

（1）求元件寿命超过600小时的概率；

（2）若有3个这种元件在独立的工作，求其中至少有2个元件的寿命超过600

小时的概率。 解：

（1）2

300

6001{600}300x

P X e dx e -+∞

->==⎰

（2）至少有2个元件的寿命超过600小时的概率为 22222346

3()(1)()32C e e e e e ------+=-

一盒灯泡共12个，其中10个合格品，2个废品（点时不亮）。现从中任取一个使用，若取出的是废品，则废品不再放回，再取一个，直到取得合格品为止。求在取得合格品以前已取出的废品数X 的分布律、数学期望和方差。 解：

X 的所有可能取值为0，1，2. 故X 的分布律为

10{0}12P X ==

，2105{1}121133P X ==⋅=，21101{2}12111066

P X ==⋅⋅=， 即

所以22,,1133363

EX EX DX ===

设随机变量X 与Y 相互独立, 下表给出了二维随机变量(,)X Y 的联合分布律及X 和Y 的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表的空白处。（注意：必须有简单的计算依据，无依据扣分）

答案：

因为X 与Y 独立，所以..,1,2,1,2,3ij i j p p p i j ===。又,1ij i j

p =∑，故得如下表

格。

设总体X 具有密度函数

(1), 01

(;)0, x x f x θθθ⎧+<<=⎨⎩其它

，

其中θ是未知参数，1(,,)n X X ⋯ 是来自总体X 的样本。 求：（1）θ的矩估计量； （2）θ的极大似然估计量。 解：

（1）1

01

()(1)d 2

E X x x x θθθθ+=+=

+⎰ 令

12

X θθ+=+, 解得21ˆ.1X X θ

-=-

（2）11

()(,)(1)(,

,),n

n i n i L f x x x θθθθ===+∏

1

ln ()ln(1)ln n

i i L n x θθθ==++∑

1

d ln ()ln 0d 1n

i

i L n

x θθθ==++∑令

，

解得1

1.ln n

i

i n

x

θ==--

∑ 所以1

ˆ1.ln n

i

i n

X

θ

==--∑

设1234,,,X X X X 是来自总体X ～N (0,6)一个简单随机样本，若

221234(+2)(2)Y a X X b X X =+-服从2()n χ分布，求,,a b n 。（要有求解过程）。

解：12

12

2(0,30),

(0,1)30X X N N +

34

34

2(0,30),(0,1)30

X X N N -

且1234

2,2X X

X X +-相互独立， 22

2(2)χ+

1

2,30

n a b ∴===

甲厂和乙厂生产同样的产品，生产后集中到一起。已知甲厂生产的产品占60%，乙厂生产的产品占40%。两厂生产产品的次品率分别为1%和2%。现从这些产品中任取一件，求取到的恰好是次品的概率。 解：

设A ：任取一件恰好是次品 B ：甲厂生产, 则()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+=60%*1%+40%*2%=