1.1数域

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1.1实数,1.2数集.确界原理

例1 证明数集 S {2n | n N } 无上界, 有下界. 证取 L = 1, 则 x 2n S, x L, 故 S 有下界.
M R, 若 M 1, 取 x0 21 M;若 M 1,
取 x0 2[M ]1 [M ] 1 M , 因此 S 无上界.
数学分析研究的对象是实数集上定义的函数, 因此我们首先要掌握实数的基本概念与性质.
记号与术语
R : 实数集 R+ : 正实数集 R :负实数集 Q : 有理数集 Z : 整数集
N :自然数集(包含0)
N+ : 正整数集 : 任意 : 存在
一、实数的十进制小数表示
1. 任何一个实数都可以用十进制小数表示. 若 x R+ , 则 x a0 .a1a2 an ; x R , 则 x a0 .a1a2 an . 其中 a0 N, an {0, 1, 2, , 9}, n 1, 2,.
满足 x r y.
证明因为 x y,由命题存在非负整数 n 使得，
xn yn,显然 xn，yn 均为有理数，令
r

1
2
xn

yn ,
则 r 是有理数，且
x

xn

1 2

xn

yn
r

yn

y.
即 x y.
四、实数的四则运算
有理数集 Q 对加、减、乘、除（除数不为 0）是封闭的. 实数集 R 对加、减、乘、除（除数不为 0）亦是封闭的. 实数的四则运算与大小关系, 还满足:
(1) 若 S 不是有上界的数集, 则称 S 无上界, 即 M R, x0 S,使得 x0 M . (2) 若 S 不是有下界的数集, 则称 S 无下界, 即 L R, x0 S,使得 x0 L. (3) 若 S 不是有界的数集, 则称 S 无界集, 即 M 0, x0 S, 使得 | x0 | M .

exall[1]高等代数习题集

6.定理
如果不可约多项式 p(x) 是 f (x) 的 k 重因式（ k ≥ 1 ），那么它是 f '(x) 的 k −1重因式.
7.推论
(1) 如果不可约多项式 p(x) 是 f (x) 的 k 重因式（ k ≥ 1 ） , 那么 p(x) 是
f (x), f '(x), , f (k−1) (x) 的因式，但不是 f (k) (x) 的因式.
其中 c1, cs , p1, pr , q1, qr 全是实数， l1, , ls , k1, , kr 是正整数，并且
x2 + pi x + qi (i = 1, 2, , r) 在实数域上是不可约的.
§1.8 有理系数多项式
1．本原多项式的定义如果一个非零整系数多项式
g(x) = bn xn + bn−1xn−1 + + b0
d (x) ，且 d (x) 可以表示成 f (x), g(x) 的一个组合，即有 F[x] 中多项式 u(x), v(x) 使
d(x) = u(x) f (x) + v(x)g(x) .
4．互素定义
设 f (x), g(x) ∈ F[x]，若 ( f (x), g(x)) = 1，则称 f (x) 与 g(x) 互素.
设 f (x), g(x) 是整系数多项式，且 g(x) 是本原的. 如果 f (x) = g(x)h(x) ，其中 h(x)
是有理系数多项式，那么 h(x) 一定是整系数的.
■
5. 定理设
f (x) = an xn + an−1xn−1 + + a0
-6-
高等代数习题集

高等代数知识点总结

定义（集合的映射）设 A 、 B 为集合。如果存在法则 f ，使得 A 中任意元素 a 在法则 f 下对应 B 中唯一确定的元素（记做 f (a) ），则称 f 是 A 到 B 的一个映射，记为
f : A B, a f (a).
如果 f (a) b B ，则 b 称为 a 在 f 下的像， a 称为 b 在 f 下的原像。 A 的所有元素
称为矩阵的行（列）初等变换。
定义（齐次线性方程组）数域 K 上常数项都为零的线性方程组称为数域 K 上的齐次
线性方程组。这类方程组的一般形式是
a11x1 a12 x2 a1n xn 0, a12 x1 a22 x2 a2n xn 0, ...... am1x1 am2 x2 amn xn 0.
f (x) a0 (x 1 )(x 2 )......(x n ) 证明利用高等代数基本定理和命题 1.3，对 n 作数学归纳法。
2．高等代数基本定理的另一种表述方式
定义设 K 是一个数域， x 是一个未知量，则等式
a0 x n a1 x n1 ...... an1 x an 0
命题变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解；证明对变元个数作归纳。说明线性方程组的解的存在性与数域的变化无关（这不同于高次代数方程）。事实上，在（通过矩阵的初等变换）用消元法解线性方程组时，只进行加、减、乘、除的运算。如果
所给的是数域 K 上的线性方程组，那么做初等变换后仍为 K 上的线性方程组，所求出的解也都是数域 K 中的元素。因此，对 K 上线性方程组的全部讨论都可以限制在数域 K 中进行。
命题 n 次代数方程在复数域C内有且恰有 n 个根（可以重复）。
命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C上两个n次、m次多项式

数域与域的关系

数域与域的关系数域与域的关系数域和域都是数学中的基本概念，它们在代数、几何、拓扑等领域都有广泛应用。

虽然它们的定义和性质有所不同，但是它们之间存在着密切的联系。

本文将介绍数域和域的概念、性质以及它们之间的关系。

一、数域1. 定义数域是一个满足以下条件的集合：（1）包含至少两个元素0和1；（2）对于任意两个元素a、b，其加法和乘法都属于该集合；（3）对于任意一个元素a，其加法逆元素-b也属于该集合。

其中，加法逆元素指满足a + (-b) = 0的元素-b。

2. 例子常见的数域有有理数域Q、实数域R和复数域C。

其中，有理数是可以表示为两个整数之比的数字，实数包括所有实际存在的数字，而复数包括实部和虚部构成的数字。

3. 性质（1）对于任意两个元素a、b，在加法下构成一个阿贝尔群；（2）对于任意两个非零元素a、b，在乘法下构成一个阿贝尔群；（3）对于任意三个元素a、b、c，有乘法分配律和结合律。

二、域1. 定义域是一个满足以下条件的集合：（1）包含至少两个元素0和1；（2）对于任意两个元素a、b，其加法和乘法都属于该集合；（3）对于任意一个非零元素a，其乘法逆元素a^-1也属于该集合。

其中，乘法逆元素指满足a * a^-1 = 1的元素a^-1。

2. 例子常见的域有有理数域Q、实数域R和复数域C。

与数域不同的是，域还包括一些特殊的域，如有限域Fp和代数闭域。

与数域不同的是，每个非零元素都有一个乘法逆元素。

三、数域和域的关系数域是域的一种特殊情况，即不包括乘法逆元素这个条件。

因此，每个数域都是一个域，但不是每个域都是一个数域。

另外，对于任意一个有限域Fp，它都可以看作是一个数域。

因为在Fp 中，每个非零元素都有一个乘法逆元素。

数域的包含关系

数域的包含关系数域的包含关系是数学中一个重要的概念。

数域是数学中的一个基本概念，是指由一组数构成的集合，包含了加法、减法、乘法和除法等运算，并满足一定的性质。

在数域的研究中，数域之间的包含关系是一个重要的研究方向。

我们需要明确什么是数域。

数域是满足一定性质的数的集合。

在数学中，常见的数域有有理数域、实数域和复数域等。

有理数域是由整数和分数构成的数的集合，实数域是由有理数和无理数构成的数的集合，而复数域是由实数和虚数构成的数的集合。

在数域的包含关系中，有理数域是实数域的子集，实数域是复数域的子集。

这是因为实数域包含了有理数域中的所有数，并且还包含了无理数，而复数域则包含了实数域中的所有数，并且还包含了虚数。

因此，我们可以得出有理数域包含于实数域，实数域包含于复数域的结论。

除了这些常见的数域之外，还存在着其他的数域，如有限域和无限域等。

有限域是指元素个数有限的数域，而无限域则是指元素个数无限的数域。

有限域的研究在密码学和编码理论等领域有着重要的应用。

在数域的研究中，还存在着一些重要的结论和定理。

例如，代数基本定理指出，任何一个非常数的单项式方程都至少有一个复数解。

这个定理在复数域中是成立的，但在实数域和有理数域中却不一定成立。

这个定理的证明需要使用到复数域的性质，因此也说明了复数域包含了实数域和有理数域。

除了数域之间的包含关系，还存在着数域之间的扩张关系。

数域的扩张是指将一个数域中的元素扩展到另一个数域中。

例如，将有理数域中的元素扩展到实数域中，或者将实数域中的元素扩展到复数域中。

数域的扩张是数学中一个重要的概念，它在代数学和数论等领域有着广泛的应用。

数域的包含关系是数学中一个重要的研究方向。

不同的数域之间存在着包含关系和扩张关系，这些关系对于数学的发展和应用起着重要的作用。

通过对数域的包含关系的研究，我们可以更好地理解数学中的各种数的集合，为其他数学理论的研究提供基础。

行列式

第一个下标称为行标，表明该元素位于第 b1a22 a12b2 a11ib行；第二个 2 b 1a21 x1 x2 且下标称为列标，表明该元素位于第 j 列 .22 a12 a21 a11a22 a12 a21 a11a
+ -把由四个数排成两行两列 ,并定义为数 a11a22 a12a21 a11 a12 D a11a22 a12a21 ----- 运算符 a a a21 a22 11 12 的式子 D , 叫做二阶行列式 .
方程组（1）忆的 12 21 D 2 3 24 21 系数行列式 3
3 2 D 3 (4) 7 0, 称为 2 1 便于表示与记
3 D1 14 D (2) 因此， x1 12 14 2, D2 x 1 2 2016/3/19 2 D 1 1 1 D 7
i 1
如：求排列 45321 的逆序数 t . t1 = 3， t2 =3，t3 = 2，t4 = 1，t5 = 0 2016/3/19 所以 t = 95 .
第 1 章
行列式
Definition Example 1 1.4 已知逆序数为奇数的排列称为奇排列； 3□4□2□7 为一个7级排列，将数字1、5、6 填入 □，使其成为偶排列 . 逆序数为偶数的排列称为偶排列 . Solution : 将数字 1 、 5、 6 随意填入三个 □ 内，然后 (45321) 9 所以 45321 是奇排列，求此排列的逆序数. 1 2如果逆序数为偶数，该排列即为所求； … n 的逆序数为零，所以 1 2 … n 是偶排列 . Definition 1.5 将一个排列中某两个数的位置互换 , 而如果逆序数为奇数，由 Th 1.1 将三个数字中任两其余的数不动，得到另一个排列，这样的变换称为对换 . 个的位置对换，便得所求排列 . 将相邻两个数对换称为相邻对换 . (3145267) 4 求所以，该排列即为所求 . Theorem 1.1 对换改变排列的奇偶性 .

高等代数讲义 (PDF经典版)

第一学期第一次课第一章代数学的经典课题§1 若干准备知识1.1.1 代数系统的概念一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。

1.1.2 数域的定义定义（数域）设K 是某些复数所组成的集合。

如果K 中至少包含两个不同的复数，且K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K 内任意两个数a 、b （a 可以等于b ），必有b a K a b K K b ab ∈≠∈/0时，，且当，∈±为一个数域。

，则称K 例1.1 典型的数域举例：复数域C ；实数域R ；有理数域Q ；Gauss 数域：Q (i) = {i |∈Q }，其中i =b a +b a ,1−。

命题任意数域K 都包括有理数域Q 。

证明设K 为任意一个数域。

由定义可知，存在一个元素0≠∈a K a ，且。

于是K aaK a a ∈=∈−=10，。

进而Z ,∈∀m 0>K m ∈+……++=111。

最后，Z ，∈∀n m ,0>K n m ∈，K nmn m ∈−=−0。

这就证明了Q ⊆K 。

证毕。

1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念定义(集合的交、并、差) 设是集合，与S A B 的公共元素所组成的集合成为与A B 的交集，记作B A ∩；把和B 中的元素合并在一起组成的集合成为与A A B 的并集，记做B A ∪；从集合中去掉属于A B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B 的差集，记做。

A B A \定义（集合的映射）设、A B 为集合。

如果存在法则，使得中任意元素在法则下对应f A a f B 中唯一确定的元素（记做），则称是到)(a f f A B 的一个映射，记为).(,:a f a B A f a →如果B b a f ∈=)(，则称为在下的像，a 称为在下的原像。

的所有元素在下的像构成的b a f b f A f B 的子集称为A 在下的像，记做，即f )A (f {}A a f A f ∈a =|)()(。

§1.1 数域

§1.1 数域
一、数域的定义定义1 设 P , 若以下条件成立
(1) 0,1 P ; (2) a , b P , 有

a b P; a b P; a b P;
当 b 0 时，则 a运算封闭。
例4
G {a 2 | a }.
3
二、数域的性质
性质1 任意数域 P 必包含有理数域。
即，有理数域是最小数域。
推论1 数域 P 必包含无穷多个数。
性质2 和之间不存在其他的数域。
最小数域有无穷多数域
如 ( n )
实数域没有其他数域
复数域
作业：
1、判断下列数集是否为数域，并说明理由

则称 P 是一个数域。
例1 有理数域；实数域；复数域。例2 自然数集；整数集；偶数集 2 。例3 ( 2) {a b 2 | a, b }.
( 2) {a b 2 | a, b }.
( 2) {a b 2 | a, b }.
(1) ( 1) {a bi | a, b };
(2)G {n 2 | n }.
2、设 P , K 是数域，（1）试证：P K是一个数域；（2）举例说明 P K 不一定是数域；（3）试证：P K 是一个数域 P K 或 P K .

1.1 数域~1.2 矩阵和运算1(13秋季,林鹭)

展开和式
4
4
(1) a2i (2) 2i
i 1
i 1
22
(3) aij i1 j1
(4)
aij
1i j3
特殊矩阵及其元素表示_4
• 基础矩阵Eij
0

0
1
Eij

0

j列
i行 0 mn
1 k i且l j ekl 0 其他
A (aij )mn
m i 1
a E n
j1 ij ij
小结
✓ 数域的定义 ✓ 矩阵的概念
– 特殊矩阵
✓ 矩阵的相等、加法和数乘
下节
• 矩阵的乘法（难点、重点） • 矩阵的转置
• 作业 §1.1 Ex. 1, 2; §1.2 Ex. 1
补充: 用表示下列式子
(1) a1b2 a3b4 ... a b 2n1 2n2 (2) a1bn a2bn1 ... anb1 (3) a1b1 a1b2 a1b3 a2b2 a2b3 a3b3
• n阶方阵A： A的行数＝列数= n
矩阵的相等
• A = (aij)m×n，B = (bij)s×t 则A = B 必须同时满足如下两个条件
✓ m = s, n = t ✓ aij = bij i=1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n
特别提示具有不同行列数的零矩阵代表不同的矩阵。如 O2×3≠O1×6 ≠O3×2
第一章矩阵 Matrix
§1.1-1.2 目的要求
• 掌握数域的定义, 正确判断数域；
• 熟练掌握矩阵的定义、两矩阵的相等概念；

第1章_线性空间与线性变换

图1.2.1中直线 l ，平面是 R3 的两个线性子空间，而在图1.2.2中由于直线 m 和平面不含原点所以不能形成 R3 的子空间。
图1.2.1
图1.2.2
由于零子空间不含线性无关的向量，因此没有基，它的维数规定为零。而对于 V 的其它的子空间，由于它的线性无关的向量个数不可能比整个线性空间线性无关的向量个数多，所以子空间的维数比原空间的维数小，即
W { k11 k22 kmm,i V, ki P 1 i m}
容易验证，W 对 V 中定义的加法和数乘运算是封闭的，所以 W 是 V 的线性子空间.这个子空间称为由 V 中向量 S {1, 2 ,, m} 生成的线性子空间，记为
W L(1,2,,m ) Span{1,2,,m} (1.2.2)
（2） T(k ) kT( ) V , k P
称作V 的一个线性变换或线性算子。特别当 V W 时，称 T :Vn Vn 是 Vn 上的线性变换.
注:定义中两个条件可以用一个表达式来表示，即T 是线性变换的充要条件是：
T (k l ) kT() lT( )
例：两个特殊线性变换 (1) 如果对任意 V ，恒有 T() 0，则
例1.2.4
dim(V1 V2 ) 1
定义1.2.2 如果 V1 V2 中任一向量只能唯
一的表示成子空间 V1 的一个向量和子空间
V2 中的一个向量的和，则称 V1 V2 是 V1,V2
的直和，记为 V1 V2（或
）. •
V1 V2
定理1.2.5 两个子空间的和是直和的充分必要条件是：
V1 V2 L(0)
定义1.1.4 设 S {1, 2 ,, n} 是线性空间 Vn 的一个基（底），是 Vn 中的一个向量，而且

一元多项式

3x2 14x 15 x 3 3x 5
所以 r2 x就是 f x与 gx的最大公因式：
f x, gx x 3
定理 1.4.2
若dx 是 P[x] 的多项式 f x与 gx的最大公因式，那么在 P[x] 里可以求得多项式 ux与vx ，
二、教学目的
1．掌握一元多项式整除的概念及其性质。 2．熟练运用带余除法。
三、重点、难点
多项式的整除概念，带余除法定理
1.3.1 多项式的整除概念
设P是一个数域. P[x]是P上一元多项式.
定义1
设f x, gx P[x] ，如果存在 hx P[x] ，使得
f x gxhx，则称 gx整除 f x ，记为
3
虽然 a1,b1, a2,b2 Z，
不一定属于Z ，所以
不是数域.
a1aa不222 一33bb定122b2属, a于a2b221Z(3ab132b2)2
，因此 Z (
3)
定理1.1 任何数域都包含有理数域 Q. (有理数域是最小的数域).
定理1.2 若数域 P R，则P C. (实数域和复数域之间没有其它的数域).
则 (a1 a2) b1 b2 2 Q 2 ，
a1 b1 2 a2 b2 2
(a1a2 2b1b2 ) a1b2 a2b1 2 Q 2
显然，Q Q( 2) R.
再设 a2 b2 2 0, 即 a2,b2 不全为零，从
而 a2 b2 2 0 ， a1 b1 2 a1 b1 2 a2 b2 2 a2 b2 2 a2 b2 2 a2 b2 2
a 叫做 i 次项, i叫做 i 次项的系数.
注 2：在一个多项式中，可以任意添上或去掉一些系
数为零的项；若是某一个i次项的系数是1 ，那么这个系数可以省略不写。

高等代数1-数域讲解

ad bc a2 2b2
2 Q 2.
Q( 2)为数域．
Gauss数域
类似可证 Q(i) a bi a,b Q, i 1 是数域.
5/9
例2．设P是至少含两个数的数集，若P中任意两个数的差与商（除数≠0）仍属于P，则P为一个数域。
证：由题设任取 a,b P, 有
证明：设P为任意一个数域．由定义可知， 0 P， 1 P.
于是有 m Z , m 1 1 L 1 P
7/9
进而有
m,n Z , m P, n
m 0 m P.
n
n
而任意一个有理数可表成两个整数的商，
Q P.
8/9
练习判断数集 P1, P2 是否为数域？为什么? P1 {2n 1 | n Z }, P2 {n 2 | n Z } Z( 2).
0 a a P, a P (b 0), b
1 b P (b 0), b
a b P,
a b a (0 b) P,
b 0 时,
ab
a 1

P,
b 0 时, ab 0 P.
b
所以，P是一个数域．
6/9
二、数域的性质定理
任意数域P都包括有理数域Q．即，有理数域为最小数域．
一、数域的概念二、数域性质定理
1/9
一、数域
定义设P是由一些复数组成的集合，其中包括
0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域．常见数域：复数域C；实数域R；有理数域Q；（注意：自然数集N及整数集Z都不若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在P

数域_精品文档

数域简介在数学中，数域（Field）是一种满足特定性质的数集合，具有加法和乘法两种运算，并且满足运算的封闭性、结合律、交换律、单位元和逆元等性质。

数域是抽象代数中一个重要的概念，在代数学、几何学以及许多其他领域中都具有广泛的应用。

定义一个数域是一个非空集合F，配以两种代数运算：加法和乘法，满足以下性质：1.加法运算：对于F中的任意两个元素a和b，加法运算a+b也属于F。

2.加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)3.加法交换律：a+b=b+a4.存在加法单位元：存在一个元素$0 \\in F$，对于任意元素$a \\in F$，满足a+0=a。

5.存在加法逆元：对于任意元素$a \\in F$，存在一个元素$-a \\in F$，满足a+(−a)=0。

6.乘法运算：对于F中的任意两个元素a和b，乘法运算$a \\cdot b$也属于F。

7.乘法结合律：$(a \\cdot b) \\cdot c = a \\cdot (b \\cdot c)$8.乘法交换律：$a \\cdot b = b \\cdot a$9.存在乘法单位元：存在一个元素$1 \\in F, 1 \ eq 0$，对于任意元素$a \\in F$，满足$a \\cdot 1 = a$。

10.存在乘法逆元：对于任意非零元素$a \\in F$，存在一个元素$a^{-1}\\in F$，满足$a \\cdot a^{-1} = 1$。

11.分配律：对于所有$a, b, c \\in F$，满足$a \\cdot (b + c) = a \\cdot b+ a \\cdot c$。

示例有理数域有理数域是一个由有理数构成的数域，记作$\\mathbb{Q}$。

有理数是可以表示成两个整数之比的数，例如$\\frac{1}{2}$、$\\frac{3}{4}$等。

有理数域满足数域的所有定义，加法单位元为0，乘法单位元为1，并且每个有理数都有一个逆元。

2014线性代数课件-§1.1

i为行标，表明元素位于第i行， j为列标，表明元素位于第j列。
a11 【注】2阶行列式 a21
a12 表示一个代数式。 a22
行列式记忆方法：对角线法则
主对角线 (main diagonal) 副对角线 (minor diagonal)
a11
a21
a12 a22
= a11a22-a12a21
主对角线上两元素之积-副对角线上两元素之积。
a11 x1 a12 x2 b1 对于二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2 当 a11a22-a12a210时，方程组有唯一解：
a22b1 a12b2 a11b2 a21b1 x1 ， x2 a11a22 a12 a21 a11a22 a12 a21
如果某个集合S中任意两个元素a, b经过某种运算得到的结果仍属于S，就称S对这种运算封闭(closed)。数域F对加、减、乘、除(除数不为0)运算封闭。
例1 任意一个数域都包含有理数域作为子域。【证】设K为数域，则K至少包含元素0和1，从而 2=1+1K, 3=2+1K,…, n=(n-1)+1K， -n=0-nK，因此K包含全体整数，即ZK(Z为整数集)。又设a为有理数，则存在n, m(m0)Z，使 a=n/mK，因此QK。
综合上例结论 1、任意一个数域都包含整数集作为子集。 2、任意一个数域都包含有理数域作为子域。
【注】有理数域是最小数域，复数域是最大数域。
二、2阶、3阶行列式 1、2阶行列式用消元法解二元线性方程，其中系数都来自某数域F， a11 x1 a12 x2 b1 (1) a21 x1 a22 x2 b2 (2) (1)a22：a11a22x1+a12a22x2=b1a22 (2)a12：a12a21x1+a12a22x2=b2a12 两式相减消去x2，得 (a11a22-a12a21)x1=a22b1-a12b2 类似地，消去x1，得 (a11a22-a12a21)x2=a11b2-a21b1

1.1数域

证明：因P是数域且包含 2 3，故必包含
1
3- 2
3 - 2.
2 3 （ 2 3）（ 3 - 2）
又( 2 3) ( 3 2) P,即P包含 2 3与2 2.从而包含 2与 3.
§1.1 数域
二、数域的性质定理
任意数域P都包括有理数域Q．即，有理数域为最小数域．
证明：设P为任意一个数域．由定义可知， 0 P， 1 P.
§1.1 数域
数学归纳法
定理（第二数学归纳原理）设有一个与自然数n有关的命题 .如果
1 当n=1时命题成立; 2 假设命题对于一切小于k的自然数来说成立, 则
命题对于k也成立; 那么命题对于一切自然数n来说都成立.
§1.1 数域
附:
数环设P为非空数集，若 a,b P, a b P, a b P
则称P为一个数环．例如，整数集Z 就作成一个数环．
§1.1 数域
数学归纳法
定理（数学归纳法原理）设有一个与自然数n有关的命题，如果
1 当n=1时，命题成立; 2 假设n=k时命题成立，则n=k+1命题也成立 ;那么这个命题对于一切自然数n都成立.
x y (a c) (b d ) 2 Q( 2), x y (ac 2bd ) (ad bc) 2 Q( 2) 设 a b 2 0, 于是 a b 2 也不为0．
§1.1 数域
（否则，若 a b 2 0, 则 a b 2, 于是有 a 2 Q, b 或 a 0,b 0 a b 2 0. 矛盾）
§1.1 数域
数的运算
某个范围内的数的全体构成的集合称为数集。另外，在作代数问题时，不但要考虑一些数，而且往往要对这些数作加减乘除四种运算。因此所考虑的数集还必须满足条件：其中任两个数的和差积商仍在这个集合内。

高中数学中的数域与模运算

高中数学中的数域与模运算数域是数学中一个重要的概念，它是指集合上定义了加法、减法、乘法和除法运算的一种代数结构。

在高中数学中，我们经常会遇到各种数域，同时也会学习到与之相关的模运算。

一、数域的定义和性质数域是一个满足一定性质的集合，其中包含两个二元运算，分别是加法和乘法。

对于任意两个元素a和b，它们的和a+b和积ab也属于该数域。

同时，数域还需要满足一些基本性质，如封闭性、结合律、交换律、分配律等。

常见的数域包括有理数域、实数域和复数域。

有理数域是指可以表示为两个整数的比值的数，实数域则包括所有实数，而复数域则包括所有可以写成a+bi的数，其中a和b分别为实数。

二、模运算的定义和性质模运算是指在整数集合上进行的一种特殊的除法运算，它相对于普通的除法运算有一些独特的性质。

在模运算中，我们需要先规定一个正整数m，称为模数。

对于任意整数a和b，我们说a与b关于模m同余，记作a≡b(mod m)，当且仅当a和b除以m的余数相等。

模运算具有以下性质：1. 同余关系的传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。

2. 同余关系的对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。

3. 同余关系的反身性：a≡a(mod m)恒成立。

4. 同余关系的加法性质：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)。

5. 同余关系的乘法性质：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd(mod m)。

三、应用场景1. 同余关系的应用同余关系在数论中有广泛的应用。

例如在求证问题中，我们可以利用同余关系简化问题的复杂性。

同时，在密码学中，同余关系也可以用来实现数据的加密和解密。

2. 模运算的应用模运算在数学和计算机科学领域有着重要的应用。

它可以用来进行数字校验、编码和解码以及数据传输中的差错检测。

四、例题分析现在我们来看一个应用数域和模运算的例题：已知在数域Z<sub>6</sub>上定义了加法和乘法运算。

第一章多项式

第一章多项式§1 基本知识§1. 1 基本概念1、数域：由复数构成并含有数1,0的集合P 称为数域，如果P 关于数的加、减、乘、除（除数不为零）封闭。

2、多项式：形式表达式n n x a x a a ++10 （1.1）或01a x a x a n n ++ （1.2）其中n 是一个非负整数，n a a a ,,,10 全是数域P 中的数，（1.1）或（1.2）就称为系数在数域P 中的一元多项式，或简称为数域P 中的一元多项式。

（1.1）是多项式的升幂书写，（1.2）是降幂书写；i i x a 称为多项式的i 次项，i a 称为i 次项的系数；x 是一个文字。

3、零多项式：系数全部为零的多项式称为零多项式。

4、多项式的相等：设∑==ni i i x a x f 0)(∑==m i i i x b x g 0)(是数域P 上的两个一元多项式，如果当n m <时必有：01===+n m a a ，当m n <时必有：01===+m n b b 且 },min{,,1,0,n m i b a i i ==。

一个多项式可以任意去掉或添加一些系数为零的项。

5、多项式的次数：形为（1.1）或（1.2）的多项式中，若0≠n a ，则n n x a 称为多项式的最高次项或首项，n a 称为多项式的最高次项系数或首项系数，而非负整数n 就称为多项式的次数，零多项式没有次数。

6、多项式的和、差、积：设∑==ni i i x a x f 0)(∑==m i i i x b x g 0)(是数域P 上的两个一元多项式，不妨设n m ≤，且n m <时：01===+n m b b ，则∑=+n i i i i x b a)( ∑=-n i i i i x b a0)(∑+=n n k k k x c称为多项式)(x f 和)(x g 的和、差、积，并记为)()(x g x f +、)()(x g x f -、)()(x g x f ，其中n m k b a b a c k i i k i k j i j i k +===∑∑=-=+,,1,0,0 。

1.1数域

o:0.0797
t:0.1045
u:0.0249 v:0.0092 w:0.0149 x:0.0017 y:0.0199 z:0.0008
所谓集合就是指作为整体看的一堆东西，组成集合的东西称为这个集合的元素。所谓给出一个集合就是规定这个集合是由哪些元素组成的，因此给出一个集合的方式不外两种，一种是列举出它全部的元素，一种是给出这个集合的元素所具有的特征性质。
1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 10 1 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0
M={a|a具有的性质}
数学归纳法
定理1 （数学归纳法原理）
设有一个与自然数n有关的命题，如果 1.当n=1时，命题成立； 2.假设n=k时命题成立，则n=k+1命题也成立 ; 那么这个命题对于一切自然数n都成立。数学归纳法是以自然数的归纳公理作为它的理论基础的。因此，数学归纳法的适用范围仅限于与自然数有关的命题。
T
s
( 2) ( 4)
(8,5,9,3,4,3)
5
4
T T
s
(38,28,32,21,25,16 )
2.232, s (0.238,0.164,0.231,0.113,0.150,0.104)T
排名次序为{1，3， 2，5，4，6}
A B C D E F G H
1 2 3 4 5 6 7 8
(2)第二步中，对“假设n=k时结论正确”一句中的“假设”二字应该强调：这一步实质上是要证明命题的传递性，就是要得出这样一个结论，如果对于自然数k能使命题成立，就能保证对于它的后继数k+1也能使命题成立。事实上，在证明了n取第一个值N时命题成立之后，N作为这里的 k，当n=k时命题成立，就不是一个假设而是一个事实了。于是根据这一步，可递推得对于N+1命题成立。再以N+1作为这里的k，再次运用这一步，又可推得对于N+2命题也成立。这样递推下去，可知命题对于任意不小于N的自然数都成立。

举例说明数域的概念

举例说明数域的概念嘿，朋友们！今天咱来聊聊数域这个有意思的玩意儿。

你说啥是数域呢？咱打个比方哈，就好像一个大集体，里面的成员都得遵守一些特定的规则。

比如说整数吧，它们就像是一个很乖的小集体，加加减减都没问题，但要是一说到除法，就不一定每个结果都还是整数啦。

而数域呢，就是一个更厉害的集体啦！在这个集体里，不管是加法、减法、乘法还是除法，只要你能想到的运算，结果都还在这个集体里面哟！就像有理数，它就是一个数域。

你可以随便找两个有理数，加起来、减起来、乘起来、除起来，嘿，得到的还是有理数。

咱再想想生活中的例子，就好比一个家庭，大家都有共同的特点和规则。

数域也是这样，里面的数都有相似的性质和能做的事情。

比如说实数，这可是个大集体呀！它包含了有理数和无理数。

无理数听起来很神秘吧，像圆周率π就是无理数。

但它们和有理数一起在实数这个大集体里，都能愉快地进行各种运算呢。

那有没有不是数域的呢？当然有啦！就像有些小团体，规则没那么完善。

比如说整数集对于除法就不太友好，有时候除出来的结果就不在整数集里啦。

你想想，如果数学世界里没有数域这个概念，那得多混乱呀！就好像一个没有规矩的班级，大家都乱成一团。

但有了数域，就像有了明确的班规，大家都知道该怎么玩，怎么相处。

数域的概念可真是太重要啦！它让我们在数学的世界里能更清楚地知道哪些数可以一起愉快地玩耍，哪些不行。

这就像我们交朋友一样，得找到和自己合得来的，能一起开心做各种事情的。

所以呀，数域可不仅仅是一个抽象的概念，它就像我们生活中的各种小集体、小圈子，都有自己独特的规则和特点呢！现在你对数域是不是有了更清楚的认识啦？是不是觉得数学也挺有趣的呀！原创不易，请尊重原创，谢谢!。

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