二项式定理的高考常见题型及解题对策

二项式定理的高考常见题型及解题对策

浙江省温州22中学 高洪武 325000

二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式----二项式的乘方的展开式。二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。掌握好二项式定理既可对初中学习的多项式的变形起到很好的复习，深化作用，又可以为进一步学习概率统计作好必要的知识储备。所以有必要掌握好二项式定理的相关内容。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。

题型一：求二项展开式

1．“n b a )(+”型的展开式

例1．求4)13(x

x +

的展开式；

解：原式=4

)1

3(

x

x +=2

4

)13(x x + =

])3()3()3()3([144342243144042C C C C C x x x x x ++++ =)112548481(12

342++++x x x x x

=54112848122

++++x

x x x

小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。

2． “n b a )(-”型的展开式

例2．求4)13(x

x -

的展开式；

分析：解决此题，只需要把4)13(x

x -

改写成4)]1(3[x

x -+的形式然后按照二

项展开式的格式展开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。

3．二项式展开式的“逆用”

例3．计算c C C C n

n n

n n

n n 3)1( (279313)

2

1

-++-+-； 解：原式=

n

n n n n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3

33

22

11

-=-=-++-+-+-+

小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。

题型二：求二项展开式的特定项

1．求指定幂的系数或二项式系数

（1）求单一二项式指定幂的系数 例4．（03全国）9

2

)21(x x -展开式中9x 的系数是 ； 解：r r r r x x T C )21()(9291

-=-+=r r r r x x C )1()21(2189--=x r r

x C 3189)2

1(--

令,9318=-x 则3=r ，从而可以得到9

x 的系数为：

221)21(33

9-=-C ，∴填2

21- （2） 求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数

例5．（02全国）

7

2

)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ； 解：在展开式中，3

x 的来源有：

① 第一个因式中取出2x ，则第二个因式必出x ，其系数为

667

)2(-C

；

② 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3

x ，其系数为

4

4

7

)2(-C 3x ∴的系数应为：∴=-+-,1008)2()2(44

766

7C C 填1008。

（3） 求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数 例6．（04安徽改编）3)21

(-+

x

x 的展开式中，常数项是 ； 解：3

6323

)1(])1([)21(x

x x x x x -=-=-+ 上述式子展开后常数项只有一项

3

3

33

6

)1(x x C -，即20-

本小题主要考查把“三项式”的问题通过转化变型后，用二项式定理的知识解决，

考查了变型与转化的数学思想。

2． 求中间项

例7．（00京改编）求（103

)1

x

x -

的展开式的中间项；

解：,)1()(3

10101r r

r

r x

x T C -=

-+ ∴展开式的中间项为53

55

10)1()(x

x C -

即：6

5252x -。

当n 为奇数时，n

b a )(+的展开式的中间项是

2

12

121-+-n n n n

b

a

C

和

2

12

121+-+n n n n

b

a

C

；

当n 为偶数时，n

b a )(+的展开式的中间项是2

2

2n n n

n

b a C

。

3． 求有理项

例8．（00京改编）求103

)1

(x

x -

的展开式中有理项共有 项；

解：3

410103

1010

1)1()1()

(r r

r

r

r

r

r x

x

r T C C

-

-+-=-=

∴当9,6,3,0=r 时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。

① 当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式； ② 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么

这个代数式是无理式。 4． 求系数最大或最小项

（1） 特殊的系数最大或最小问题

例9．（00上海）在二项式11

)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ； 解：r

r r

r x T C )1(1111

1-=

-+ ∴要使项的系数最小，则r 必为奇数，且使C r

11为最大，由此得5=r ，从

而可知最小项的系数为

462)1(55

11

-=-C

（2） 一般的系数最大或最小问题 例10．求84)21(x

x +

展开式中系数最大的项；

解：记第r 项系数为r T ，设第k 项系数最大，则有

⎩⎨

⎧≥≥+-11k k

k k T T T T 又1

182.+--=r r r C T ，那么有

⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-+--+--+--k

k k k k k k k C C C C 2.2

.2.2

.8118228118 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

-≥⨯--⨯--≥--)!8(!!

82)!

9)!.(1(!82)!

10)!.(2(!8)!9)!.(1(!8K K K K K K K k