一个重要极限的证明策略

把指数函数与三角函数沟通起来的一个重要公式， 这里用于求极限方法新颖独特。 上述各种证法发挥了解题的灵感， 促进所学知 识融会贯通， 这是对问题进行多角度观察， 联想与 思考的结果， 在教学中重视探索一题多解无疑是有 益的。
参考文献 ：
[1] 吉林工学院数学教研室百度文库. 高等数学 [M]. 武汉： 华中理工大学， 1997 （4 ） . [2] 同济大学数学教研室 . 高等数学 [M]. 北京高等教育出版社， 2000 （1 ） . [3] 朱匀华. 微积分入门指导与思考方法[M]. 广东： 中山大学， 1987 （3 ） . [4] 格 · 列 · 伦兹， 等. 复变函数与运算微积初步[M]. 北京:人民教育 出版社， 1978 （5 ） .
2009 年 3 月 第 28 卷 第 2 期
保山师专学报
Journal of Baoshan Teachers′ College
Mar., 2009 Vol．28 No．2
一个重要极限的证明策略
汤茂林
（武汉商业服务学院 基础课部， 湖北 武汉
摘
430058 ）
要 ：极限理论是数学分析中研究函数的重要工具， 是学好高等数学的理论基础之一， 而函数极限lim sinx =1 是
· · 16
保 山 师 专 学 报
第 28 卷
即 lim sinx =1 x →0 x 简评 构图法的使用,为证明极限问题开辟了 一条新的途径,从而使抽象的极限问题直观化具体 化 , 简单化 , 而且还能打破学科的界限 , 沟通数学知 识的纵横联系,促进学生创造思维形式和发展。 证法 3 利用导数定义[2]P99- 100 函数 sinx ， 当 x→0 时的极限等于函数 sinx 在 x x=0 处的导数。 由 导 数 的 定 义 知 lim sinx =lim sinx- sin0 = x →0 x →0 x x- 0 （sinx ） ' ｜x=0=cos0=1 即 lim sinx =1 x →0 x 简评 在导数理论的学习中,我们需要学会正 确和灵活地运用导数定义来论证问题， 由此， 必需 吃透导数的定义， 从实质上理解它， 此法用来求极 限较为简单和巧妙。 证法 4 利用拉格朗日中值定理[2]P163 选取函数 （ ） =sinx， 则（ ） 在[0， f x f x x]上满足拉格 朗日中值定理的条件， 且 f（ ' x ） =cosx， 因而在 （0， ） x 内至少存在一点 ξ 使得 sinx- sin0 =cosξ， x- 0 即 sinx =cosξ （0<ξ<x ） x 从而有 lim sinx =lim cosξ=1 x →0 ξ→0 x 即 lim sinx =1 x →0 x 简评 拉格朗日中值定理在理论上有很重要 的价值,如利用导数的符号来判别函数的单调性的 方法就是根据这个定理得到的,此外还可以利用它 来证明一些不等式， 这里利用它来求极限有一定的 技巧。 证法 5 利用洛必达法则[3]P123- 124 等式左边极限是 0 型的未定式，由洛必达法 0 则得 lim sinx =lim cosx =lim cosx=cos0=1 1 x →0 x →0 x →0 x 即 lim sinx =1 x →0 x 简评 用洛必达法则求极限问题,并不是对所 有题目都优越于其他方法， 然而作为一种求极限的
x →0
sinx =1， 即函数 sinx 收敛于 1， 对于这个极限的证 x x 明， 大都是通过作单位圆， 构造三角形及圆扇形求 其面积， 再应用数列极限存在的准则 （夹逼准则 ） 给 予证明的。 本文探索重要极限lim sinx =1 证法的多 x →0 x 样性， 以期有助于复习巩固所学知识， 从而培养学 生的思维能力。 证法 1 利用三角函数表[1]P27 由三角函数表可算出下列结果
方法，在高等数学中是经常用到的，不能忽视， 况 型的不定式， 用洛必达法则 且， 对于某些 0 （ ∞ ） 0 ∞ 显得尤其简捷明快。 证法 6 利用泰勒公式[3]P134- 135 由展开式
3 5 n- 1 2n- 1 ） x +O sinx=x- x + x +…+（- 1 （x2n ） 3! 5! （2n- 1 ） ！ 其中 O （xn ） 表示当 x→0时， 它是一个较 xn 高价 （xn ）=0 的无穷小， 即lim O x →0 xn 所以 sinx=x+O （x2 ） 则有 +（2 ） （x2 ） ·O lim sinx =lim x O x =lim 1+x 2 x x x →0 x →0 x →0 x 2 （x ）=1+0=1 =1+lim x ·O x →0 x2 即 lim sinx =1 x →0 x 简评 泰勒公式是一个很重要的展开式， 它的 应用很广泛， 对于求某些不定式的极限问题， 应用 它比使用洛必达法则更为方便。
x
x x
x
证法 7
利用欧拉公式[4]P23
ix -ix 由欧拉公式 sinx= e -e 2i 2xi 2xi ix -ix 则有 sinx = e -e = e -1xi = 1 ·e -1 xi 2xi 2xi · 2xi x e e 2xi lim e -1 =1×1=1 于是 lim sinx =lim 1 · xi 2xi x →0 x →0 e x →0 x sin x =1 即 lim x →0 x 简评 欧拉公式经常用到 ,它是在复数领域中
B O x A
!
!
!
!
x sinx x
±π 9
±π 18
±π 36
± π 180 0.9999
… …
→0 →1
0.9798 0.9949 0.9987
lim BC =1 BC
x →0
C
图1 利用几何图形作单位圆
!
收稿日期 ：2009- 04- 11 作者简介 ：汤茂林 （1955-） ， 男， 湖北大冶人， 武汉商业服务学院， 副教授， 研究方向为数学教学与研究。
Proof of the limits of an important strategy
Tang
(Wuhan
Mao-lin
commercial Seruice College, Wuhan 430058,China)
Abstract: Limit theory in mathematical analysi s is an important tool for research function is to learn advanced mathematics, one of the theoretical basis, while the limit function is commonly used in advanced mathematics to an important limit. In this paper, the integrated use of different knowledge, give proof of comparison, with a view to help review the consolidation of the knowledge, thereby enhancing the quality of teaching Keywords: Trigonometric Table; Geometry; The definition of derivative; Carvedilol will rule Tatsu; Mean Value Theorem; Taylor formula; Euler formula 在高等数学教材中都讲述了一个重要极限lim
表1 三角函数表
从表看出 , 当 x 无限变小到 0 时 , 函数 sinx 趋 x 即 lim sinx =1 于 1， x →0 x 简评 鉴于该极限的特殊性,考察三角函数表, 其思路自然， 易于掌握的优点,值得效法. 证法 2 利用几何图形[1]P26 作一单位圆 (如图 1 所示)， 设 ∠AOB=x (弧度 ), 对于 A' A 轴作半经 OC， ∠AOC=x， 连接 BC， 则 AB =x， BC =2x， BC=2sinx 所 以 sinx = BC ， 当 x→0 时， x BC A' BC→BC ，从而lim sinx = x →0 x
x →0
x
高等数学中常用到的一个重要极限。综合运用不同知识， 给予证法比较， 以期有助于复习巩固所学知识， 从而提高 教学质量。
关键词 ：三角函数表； 几何图形； 导数定义； 洛必达法则； 中值定理； 泰勒公式； 欧拉公式 中图分类号 ：O13 文献标识码 ：A 文章编号 ：1008-6587 （2009 ）02-015-02