常微分方程第四章考试卷

常微分方程第四章测试试卷(3)

班级 姓名 学号 得分 一、 填空（20分）

1．——————称为n 阶齐线性微分方程。

2．1x )(t 非零为二阶齐线性方程''x 1a +)(t 2'a x +x t )(≡0的解，这里

()t a 1

和()t a 2于区间[]b a ,上连续，则()t x 2

是方程解的冲要条件是―

——————。

３．常系数非齐线性方程中，若()()t m m m m e b t b t b t b t f λ++++=--1110 ， 其中λ与i b 为实常数，那么方程有形如————的特解。

４．在n 阶常系数齐线性方程中，n a a a ,2,1 为常数，则它的特征方程为——————。

５．若方程()()022=++y x q dx dy

x p dx

y d 中满足————条件，则方程有形

如∑∞

==0

n n n x a y 的特解。

６．微分方程03'2'''4=++y y xy 的阶数为——。

７．设()01≠t x 是二阶齐线性方程()()0'''21=++x t a x t a x 的一个解,则方程的通解可表为________

８．解线性方程的常用方法有____、_____、_____、_____ ９．若())2,1,0(n i t x i =为齐线性方程的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为__________.

１０.若()),,2,1(n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组,()t x 为非齐线性方程的一个特解,则非齐线性方程的所有解可表___.

二． 计算（30分）

１． 求通解y

y y 2'1''2

+=

２． 求特解x x e xe y y y -=+-'2''，()()11'1==y y

３． 设二阶非齐线性方程的三个特解为

x x y x x y x y cos ,sin ,321+=+== 求其通解

４． 求解方程()()o y x y x xy =+++-2'12'' ()0≠x ５． 求方程2233'4'''''x xy y x y x =-+的通解 ６． 求方程0'''=--y xy y 的解、

三．设可导函数()x φ满足()()1sin 2cos 0+=+⎰x tdt t x x x

φφ，求()x φ 四．证明题（20分）

1.若函数()()()t x t x t x n ,,,21 为n 阶齐线性方程的n 个线性相关解，则它们的伏朗斯基行列式()0=t w

2．试证n 阶非齐线性方程存在且最多存在n+1个线性无关解。

常微分方程第四章测试试卷(3)参考答案 一．填空

１．()()()01111=++++---x t a dt dx

t a dt

x d t a dt x d n n n n n n ，其中()()n i t a i ,2,1 =在区间

上连续

２．[][]0,,'21121=+x x w a x x w

３．()t m m m m m k e B t B t B t B t B t x λ+++++=---∧

122110 ４．()n n n n a a a F ++++=--λλλλ111

５．()x p 和()x q 都能展成x 的幂级数，且收敛区间为R x < ６．３

７．()⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡⎰+=⎰-dt e x c c x x dt t a 121111

８．常数变易法，比较系数法，拉普拉斯变换法，幂级数解法。 ９、∑==n

i i i x c x 1 其中()n i c i ,,2,1 =为任意常数

１０、()t x x c x n

i i i +=∑=1

其中()n i c i ,,2,1 =为任意常数

二． 计算

１．解：方程不显含x

代入方程得；

解得y C P 121=+

,

,

dy

dP

P y P y =''='令,212y

P dy dP P +=

故方程的通解为

２．解：特征方程 特征根

对应齐线性方程的通解为 设原方程的特解为

原方程的一个特解为 故原方程的通解为

(),11'=y ()16/5221=-+∴e C C

,

11-±=∴y C P ,11-±=y C dx

dy

即

.

12211

C x y C C +±=-,

0122=+-r r ,

121==r r .

)(21x e x C C Y +=,)(2*x

e b ax x y +=,

]2)3([)(23*x

e bx x b a ax y +++='则,]2)46()6([)(23*x

e b x b a x b a ax y +++++=''代入原方程比较系数得

将)(,)(,*

**'''y y y ,

2

1,61-==b a ,

2

623*

x

x e x e x y -=.26)(2321

x x x e x e x e x C C y -++=,1)1(=y ,1)31(21=-+∴e C C ,]6)1()([3

221x e x x C C C y +-+=',31121+=+e C C ,6

51221+=+e C C 由

⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,121,61221e C e C