第41讲--基本(均值)不等式

第41讲 基本(均值)不等式

夯实基础 【p 87】

【学习目标】

1．了解基本(均值)不等式的证明过程．

2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

【基础检测】

1．若函数f(x)＝x ＋1

x －2

(x>2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )

A ．1＋ 2

B ．1＋ 3

C ．3

D ．4

2．若a>0，b>0，且1

4

a ＋4

b ＝1，则ab 的最大值为______________．

3．若a>0，则a ＋8

2a ＋1

的最小值为__________．

4．已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭

⎫y ＋1

y 的最小值为________．

【知识要点】

1．基本不等式ab ≤

a ＋b

2

(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0．

(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b ．

2．几个重要的不等式

(1)a 2＋b 2≥ __2ab__(a ，b ∈R )；

(2)b a ＋a

b ≥__2__(a ，b 同号)；

(3)ab ≤

⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；

(4)

⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．

3．算术平均数与几何平均数

设a ＞0，b>0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b

2

，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，

(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p(简记：积定和最小)．

(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2

4

(简记：和定积最大)．

典 例 剖 析

考点1 利用基本(均值)不等式求最值

例1(1)已知xy ＝1，且0

2，则x 2＋4y 2x －2y 的最小值为( )

A ．4 B.9

2

C ．2 2

D ．42

(2)已知a>0，b>0，且a 2＋b 2

2

＝1，则a 1＋b 2的最大值为________．

考点2 基本(均值)不等式与函数的综合问题

例2已知a>b ，二次三项式ax 2＋2x ＋b ≥0对于一切实数x 恒成立，又∃x 0∈R ，使ax 02

＋2x 0＋b ＝0，则a 2＋b 2

a －b

的最小值为__________．

例3已知x>0，y>0，且3x ＋y ＝4，求1x ＋1

y

的最小值．

考点3 基本(均值)不等式的实际应用

例4桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖

出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S平方米．

(1)试用x表示S；

(2)当x取何值时，才能使得S最大？并求出S的最大值．

方 法 总 结

1．a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，而a ＋b

2

≥ab 成立，则要求a >0，b >0.

2．利用基本不等式求最值，要注意使用条件：一正(各数为正)，二定(和或积为定值)，三相等(等号在允许取值范围内能取到)，要熟悉均值不等式的各种变形⎝⎛⎭⎫如y ＝ax 2＋bx ＋c x ＝ax ＋c x ＋b .

3．连续使用以上公式中的任一个或两个，取等号的条件要在同一条件下取得，方可取到最值．

走 进 高 考

(2017·天津)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1

ab

的最小值为________．

考 点 集 训 【p 231】

A 组题

1．下列函数中，最小值是2的是( )

A ．y ＝x ＋1

x

B ．y ＝sin x ＋1sin x ⎝⎛

⎭

⎫0

lg x (1

D ．y ＝x ＋2

x

－1

2．小王往返甲、乙两地的时速分别为a 和b (a

C.ab

2

3．设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭

⎫a ＋b 2，r ＝1

2(f (a )＋f (b ))，则下列关系式

中正确的是( )

A ．q ＝r ＜p

B ．q ＝r ＞p

C ．p ＝r ＜q

D ．p ＝r ＞q

4．已知x >1，y >1，且14ln x ，1

4

，ln y 成等比数列，则xy ( )

A ．有最大值e

B ．有最大值 e

C ．有最小值e

D ．有最小值 e

5．已知a 2＋2a ＋2x ≤4

x 2－x

＋1对于任意的x ∈()1，＋∞恒成立，则( )

A ．a 的最小值为－3

B ．a 的最小值为－4

C ．a 的最大值为2

D ．a 的最大值为4

6．若关于x 的方程9x ＋(4＋a )3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________．