第41讲--基本(均值)不等式

第41讲 基本(均值)不等式夯实基础 【p 87】【学习目标】1．了解基本(均值)不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．【基础检测】1．若函数f(x)＝x ＋1x －2(x>2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．42．若a>0，b>0，且14a ＋4b ＝1，则ab 的最大值为______________．3．若a>0，则a ＋82a ＋1的最小值为__________．4．已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫y ＋1y 的最小值为________．【知识要点】1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0．(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b ．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥ __2ab__(a ，b ∈R )；(2)b a ＋ab ≥__2__(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b>0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p(简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．典 例 剖 析考点1 利用基本(均值)不等式求最值例1(1)已知xy ＝1，且0<y<22，则x 2＋4y 2x －2y 的最小值为( )A ．4 B.92C ．2 2D ．42(2)已知a>0，b>0，且a 2＋b 22＝1，则a 1＋b 2的最大值为________．考点2 基本(均值)不等式与函数的综合问题例2已知a>b ，二次三项式ax 2＋2x ＋b ≥0对于一切实数x 恒成立，又∃x 0∈R ，使ax 02＋2x 0＋b ＝0，则a 2＋b 2a －b的最小值为__________．例3已知x>0，y>0，且3x ＋y ＝4，求1x ＋1y的最小值．考点3 基本(均值)不等式的实际应用例4桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S平方米．(1)试用x表示S；(2)当x取何值时，才能使得S最大？并求出S的最大值．方 法 总 结1．a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，而a ＋b2≥ab 成立，则要求a >0，b >0.2．利用基本不等式求最值，要注意使用条件：一正(各数为正)，二定(和或积为定值)，三相等(等号在允许取值范围内能取到)，要熟悉均值不等式的各种变形⎝⎛⎭⎫如y ＝ax 2＋bx ＋c x ＝ax ＋c x ＋b .3．连续使用以上公式中的任一个或两个，取等号的条件要在同一条件下取得，方可取到最值．走 进 高 考(2017·天津)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．考 点 集 训 【p 231】A 组题1．下列函数中，最小值是2的是( )A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝sin x ＋1sin x ⎝⎛⎭⎫0<x <π2 C ．y ＝lg x ＋1lg x (1<x <10)D ．y ＝x ＋2x－12．小王往返甲、乙两地的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a <v <ab B ．v ＝abC.ab <v <a ＋b 2 D ．v ＝a ＋b23．设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q4．已知x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e5．已知a 2＋2a ＋2x ≤4x 2－x＋1对于任意的x ∈()1，＋∞恒成立，则( )A ．a 的最小值为－3B ．a 的最小值为－4C ．a 的最大值为2D ．a 的最大值为46．若关于x 的方程9x ＋(4＋a )3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________．7．规定记号“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗xx的最小值为________．8．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时， 2x ＋1y －2z的最大值为 ________.9．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y的最小值．B 组题1．已知函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为( )A ．3B ．3＋22C ．4D ．82．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0，1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则2a ＋13b的最小值为( )A.323B.283C.143D.1633．设a >b >c >0，则2a 2＋1ab ＋1a （a －b ）－10ac ＋25c 2的最小值是( )A ．2B ．4C ．2 5D ．54．已知各项为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m ·a n＝22a 1，则1m ＋4n的最小值为________．5．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________． 6．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？第41讲 基本(均值)不等式夯实基础 【p 87】【学习目标】1．了解基本(均值)不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 【基础检测】1．若函数f(x)＝x ＋1x －2(x>2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．4【解析】当x>2时，x －2>0，f(x)＝(x －2)＋1x －2＋2≥2（x －2）×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x>2)，即x ＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，选C .【答案】C2．若a>0，b>0，且14a ＋4b ＝1，则ab 的最大值为________________________________________________________________________．【解析】由1＝14a ＋4b ≥2()ab 14，可得ab ≤116，当且仅当14a ＝4b ＝12，即a ＝4，b＝164时等号成立，因此ab 的最大值为116. 【答案】1163．若a>0，则a ＋82a ＋1的最小值为__________．【解析】由题意可知： a ＋82a ＋1＝a ＋12＋4a ＋12－12≥2⎝⎛⎭⎫a ＋12×4a ＋12－12＝72，当且仅当a ＋12＝4a ＋12，a ＝32时等号成立．综上可得：a ＋82a ＋1的最小值为72.【答案】724．已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫y ＋1y 的最小值为________． 【解析】z ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫y ＋1y ＝xy ＋1xy ＋y x ＋x y ＝xy ＋1xy ＋（x ＋y ）2－2xy xy ＝2xy＋xy －2，令t ＝xy ，则0<t ＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝14.由f(t)＝t ＋2t 在⎝⎛⎦⎤0，14上单调递减，故当t ＝14时f(t)＝t ＋2t 有最小值334，所以当x ＝y ＝12时，z 有最小值254.【答案】254【知识要点】1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b ． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥ __2ab__(a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab≥__2__(a ，b 同号)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b>0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0， (1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p(简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q24(简记：和定积最大)．典 例 剖 析 【p 87】考点1 利用基本(均值)不等式求最值例1(1)已知xy ＝1，且0<y<22，则x 2＋4y 2x －2y的最小值为( )A ．4 B.92C ．2 2D ．42【解析】xy ＝1且0<y<22，可知x>2，所以x －2y>0.x 2＋4y 2x －2y ＝()x －2y 2＋4xy x －2y＝x －2y＋4x －2y≥4，当且仅当x ＝3＋1，y ＝3－12 时等号成立．故选A.【答案】A(2)已知a>0，b>0，且a 2＋b 22＝1，则a 1＋b 2的最大值为________．【解析】因为a>0，所以a 1＋b 2＝ 2 a 2⎝⎛⎭⎫12＋b 22≤2⎣⎡⎦⎤a 2＋⎝⎛⎭⎫12＋b 222.又a 2＋⎝⎛⎭⎫12＋b 22＝⎝⎛⎭⎫a 2＋b 22＋12＝32，所以a 1＋b 2≤2⎝⎛⎭⎫12×32＝324，当且仅当a 2＝12＋b 22，即a ＝32，b ＝22时等号成立，即(a 1＋b 2)max ＝324.【答案】324考点2 基本(均值)不等式与函数的综合问题例2已知a>b ，二次三项式ax 2＋2x ＋b ≥0对于一切实数x 恒成立，又∃x 0∈R ，使ax 02＋2x 0＋b ＝0，则a 2＋b 2a －b的最小值为__________．【解析】不等式恒成立，则a >0且Δ＝4－4ab ≤0，即ab ≥1，又存在x 0∈R ，使ax 02＋2x 0＋b ＝0成立，可得Δ＝0，所以ab ＝1, a >1.可得a 2＋b 2a －b ＝a 2＋1a 2a －1a>0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2a －b 2＝a 4＋1a 4＋2a 2＋1a 2－2＝⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 22⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2－2＝⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2－22＋4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2－4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2－2. 令a 2＋1a 2＝t >2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4＋1a 3－a 2＝()t －22＋4()t －2＋4t －2＝()t －2＋4＋4t －2≥4＋4＝8. a 2＋b 2a －b的最小值为8＝2 2.故本题应填2 2. 【答案】2 2例3已知x>0，y>0，且3x ＋y ＝4，求1x ＋1y的最小值．【解析】解法一：(消元法)令t ＝1x ＋1y ＝1x ＋14－3x ＝4－2x x （4－3x ），得3tx 2－(4t ＋2)x ＋4＝0，①由①式有解：∴Δ＝(4t ＋2)2－4×4×3t ≥0， 即4t 2－8t ＋1≥0，∵t>0，∴t ≥8＋64－168＝1＋32.即1x ＋1y 的最小值为1＋32. 解法二：(“1”的代换)：1x ＋1y ＝（3x ＋y ）4⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝34＋14＋y 4x ＋3x 4y ≥1＋2y 4x ·3x 4y ＝1＋32. 【点评】可利用基本不等式求形如y ＝ax 2＋bx ＋cdx ＋e的值域，但在求解的过程中要注意运用基本不等式时，等号是否成立，若等号不成立，则可以利用函数的单调性求解．考点3 基本(均值)不等式的实际应用例4桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S 平方米．(1)试用x 表示S ；(2)当x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值．【解析】(1)由图形知，3a ＋6＝x ，∴a ＝x －63.则总面积S ＝⎝⎛⎭⎫1 800x －4·a ＋2a ⎝⎛⎭⎫1 800x －6＝a ⎝⎛⎭⎫5 400x －16＝x －63⎝⎛⎭⎫5 400x－16＝1 832－⎝⎛⎭⎫10 800x ＋16x 3，即S ＝1 832－⎝⎛⎭⎫10 800x ＋16x 3(x ＞6)．(2)由S ＝1 832－⎝⎛⎭⎫10 800x ＋16x 3，得S ≤1 832－2 10 800x ·16x3＝1 832－2×240＝1 352.当且仅当10 800x ＝16x3，即x ＝45时取等号．即当x 为45米时，S 最大，且S 最大值为1 352平方米．【点评】(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．方 法 总 结 【p 87】 1．a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，而a ＋b2≥ab 成立，则要求a >0，b >0.2．利用基本不等式求最值，要注意使用条件：一正(各数为正)，二定(和或积为定值)，三相等(等号在允许取值范围内能取到)，要熟悉均值不等式的各种变形⎝⎛⎭⎫如y ＝ax 2＋bx ＋c x ＝ax ＋c x ＋b .3．连续使用以上公式中的任一个或两个，取等号的条件要在同一条件下取得，方可取到最值．走 进 高 考 【p 87】(2017·天津)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．【解析】因为ab >0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab 的最小值是4. 【答案】4【命题立意】本题考查基本不等式的应用，意在考查考生的运算求解能力．考 点 集 训 【p 231】A 组题1．下列函数中，最小值是2的是( )A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝sin x ＋1sin x ⎝⎛⎭⎫0<x <π2C ．y ＝lg x ＋1lg x (1<x <10)D ．y ＝x ＋2x－1【解析】x <0时， x ＋1x <0，A 错； sin x ＝1时， y ＝sin x ＋1sin x ＝2才能成立，B 错；当x ＝10时， y ＝lg x ＋1lg x ＝2才能成立，C 错；y ＝x ＋2x －1＝x ＋1x ＋1x －1≥33x ·1x ·1x－1＝2，x ＝1x时取等号，D 正确．故选D.【答案】D2．小王往返甲、乙两地的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a <v <ab B ．v ＝abC.ab <v <a ＋b 2 D ．v ＝a ＋b2【解析】设甲、乙两地之间的距离为s .∵a <b ，∴v ＝2s s a ＋s b＝2ab a ＋b <2ab2ab ＝ab .又v －a ＝2aba ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a 2a ＋b＝0，∴v >a .【答案】A3．设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q【解析】∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12＝f (ab )＝p .故p＝r ＜q .选C.【答案】C4．已知x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e【解析】因为x >1，y >1，所以ln x >0，ln y >0.又14ln x ，14，ln y 成等比数列，所以14ln x ·ln y ＝⎝⎛⎭⎫142，即ln x ·ln y ＝14.由基本不等式，得14＝ln x ·ln y ≤（ln x ＋ln y ）24＝（ln xy ）24，当且仅当ln x ＝ln y ，即x＝y 时取等号，所以ln xy ≥1，得xy ≥e ，故选C.【答案】C5．已知a 2＋2a ＋2x ≤4x 2－x＋1对于任意的x ∈()1，＋∞恒成立，则( )A ．a 的最小值为－3B ．a 的最小值为－4C ．a 的最大值为2D ．a 的最大值为4【解析】因为x ∈()1，＋∞，所以x －1>0，x >0. 不等式a 2＋2a ＋2x ≤ 4x 2－x＋1可化为a 2＋2a ＋2≤x ⎝⎛⎭⎫4x 2－x ＋1 即a 2＋2a ＋2≤4x －1＋x －1＋1，因为4x －1＋x －1＋1≥24x －1()x －1＋1＝5，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x >14x －1＝x －1，即x ＝3时，上式取“＝”号．所以a 2＋2a ＋2≤5，解得－3≤a ≤1. 故选A.【答案】A6．若关于x 的方程9x ＋(4＋a )3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________．【解析】分离变量得－(4＋a )＝3x ＋43x ≥4，得a ≤－8.【答案】(－∞，－8]7．规定记号“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗xx的最小值为________．【解析】1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0， ∴k ＝1或k ＝－2(舍)，∴k ＝1.∴f (x )＝1⊗x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1x≥1＋2＝3，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立．∴f (x )的最小值为3. 【答案】1，38．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时， 2x ＋1y －2z的最大值为 ________.【解析】据已知不等式得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，故xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x 2－3xy ＋4y 2xy＝1x y ＋4y x －3，据均值不等式得xy z ＝1x y ＋4y x －3≤12x y ·4y x－3＝1，当且仅当x y ＝4yx ，即x ＝2y 时取得最大值，此时z ＝2y 2且2x ＋1y －2z ＝2y －22y2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1，当y ＝1时取得最大值1.【答案】19．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y的最小值．【解析】(1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎨⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. B 组题1．已知函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为( )A ．3B ．3＋2 2C ．4D ．8【解析】由已知可得定点A (－2，－1)⇒2m ＋n ＝1⇒1m ＋2n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋2n (2m ＋n )＝n m ＋4m n＋4≥2n m ×4mn ＋4＝8，故选D.【答案】D2．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0，1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则2a ＋13b的最小值为( )A.323B.283C.143D.163【解析】由已知得，3a ＋2b ＋0×c ＝2，即3a ＋2b ＝2，其中0<a <23，0<b <1.又2a ＋13b ＝3a ＋2b 2⎝⎛⎭⎫2a ＋13b ＝3＋13＋2b a ＋a 2b ≥103＋22b a ·a 2b ＝163，当且仅当2b a ＝a2b，即a ＝2b 时取“等号”．又3a ＋2b ＝2，即当a ＝12，b ＝14时，2a ＋13b 的最小值为163，故选D.【答案】D3．设a >b >c >0，则2a 2＋1ab ＋1a （a －b ）－10ac ＋25c 2的最小值是( )A ．2B ．4C ．2 5D ．5【解析】2a 2＋1ab ＋1a （a －b ）－10ac ＋25c 2＝(a －5c )2＋a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a （a －b ）＝(a －5c )2＋ab ＋1ab ＋a (a －b )＋1a （a －b ）≥0＋2＋2＝4，当且仅当a －5c ＝0，ab ＝1，a (a －b )＝1时，等号成立，即a ＝2，b ＝22，c ＝25时满足条件．【答案】B4．已知各项为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m ·a n＝22a 1，则1m ＋4n的最小值为________．【解析】设公比为q ，由a 7＝a 6＋2a 5⇒a 5q 2＝a 5q ＋2a 5⇒q 2－q －2＝0(q ＞0)⇒q ＝2.a m ·a n ＝22a 1⇒a 12m －1·a 12n －1＝8a 12⇒2m －1·2n －1＝8⇒m ＋n －2＝3⇒m ＋n ＝5， 则1m ＋4n ＝15⎝⎛⎭⎫1m ＋4n (m ＋n ) ＝15⎣⎡⎦⎤5＋⎝⎛⎭⎫n m ＋4m n ≥15(5＋24)＝95， 当且仅当n ＝2m ＝103时等号成立，即1m ＋4n 的最小值为95.【答案】955．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________．【解析】∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22，∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y ，即x 2＝2，y 2＝12时取等号)．又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6， ∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y ，即x 2＝6，y 2＝32时取等号)．综上可知4≤x 2＋4y 2≤12. 【答案】[4，12] 6．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？【解析】(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为 y x ＝12x ＋80 000x －200≥2 12x ·80 000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80 000x，即x ＝400时等号成立．故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元． (2)不获利．设该单位每月获利为S 元，则S ＝100x －y ＝100x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000 ＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为x ∈[400，600]，所以S ∈[－80 000，－40 000]．故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．。