(完整)高中数学椭圆常考题目解题方法及练习2018高三专题复习-解析几何专题
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高中数学椭圆常考题目解题方法及练习
2018高三专题复习-解析几何专题(2)
第一部分:复习运用的知识
(一)椭圆几何性质
椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数()a 2(大于21F F )的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点;两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2.
椭圆的几何性质:以()0122
22>>=+b a b
y a x 为例
1. 范围: 由标准方程可知,椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122
22≤≤b
y a x ,即
b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里(封闭曲线).该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题.
2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心。
3. 顶点(椭圆和它的对称轴的交点) 有四个:
()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、--
4. 长轴、短轴:
21A A 叫椭圆的长轴,a a A A ,221=是长半轴长; 21B B 叫椭圆的短轴,b b B B ,221=是短半轴长.
5. 离心率
(1)椭圆焦距与长轴的比a
c
e =
,()10,0<<∴>>e c a Θ (2)22F OB Rt ∆,2
22
22
22OF OB F B +=,即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形,并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率.
(3)椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定,与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时,c 越接近于a ,从而22c a b -=越小,椭圆越扁;当e 接近于0时,c 越
接近于0,从而22c a b -=越大,椭圆越接近圆。
6.通径(过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦),a
b 2
2.
7.设21F F 、为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,当21F F P 、、三点不在同一直线上时,21F F P 、、构成了一个三角形——焦点三角形. 依椭圆的定义知:
c F F a PF PF 2,22121==+. (二)运用的知识点及公式
1、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直:则121k k =-;两条直线垂直,则
直线所在的向量120v v =r r
g
2、韦达定理:若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ,则
1212,b c
x x x x a a
+=-=。
3、中点坐标公式:1212
,y 22
x x y y x ++==,其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ,的中点坐标。
4、弦长公式:若点1122(,)(,)A x y B x y ,在直线(0)y kx b k =+≠上,
则1122y kx b y kx b =+=+,,这是同点纵横坐标变换,是两大坐标变换技巧之一,
AB =或者
AB =
第二部分:椭圆常考题型解题方法典例
一、椭圆定义相关题目
例1、已知方程
1352
2-=-+-k
y k x 表示椭圆,求k 的取值范围. 解:由⎪⎩
⎪
⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53< ∴满足条件的k 的取值范围是53< 说明:本题易出现如下错解:由⎩⎨⎧<-<-,03, 05k k 得53< 出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件,当b a =时,并不表示椭圆. 例2、已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆,求α的取值范围. 解:方程可化为1cos 1sin 12 2=+α αy x . 因为焦点在y 轴上,所以0sin 1 cos 1>>- α α. 因此0sin >α且1tan -<α从而)43 ,2(ππα∈. 说明:(1)由椭圆的标准方程知 0sin 1>α,0cos 1 >-α,这是容易忽视的地方. (2)由焦点在y 轴上,知αcos 12-=a ,α sin 1 2=b . (3)求α的取值范围时,应注意题目中的条件πα<≤0. 例3、 以椭圆13 122 2=+y x 的焦点为焦点,过直线09=+-y x l :上一点M 作椭圆, 要使所作椭圆的长轴最短,点M 应在何处?并求出此时的椭圆方程. 分析:椭圆的焦点容易求出,按照椭圆的定义,本题实际上就是要在已知直线上找一点,使该点到直线同侧的两已知点(即两焦点)的距离之和最小,只须用点直线对称就可解决. 解:如图所示,焦点为()031,-F ,()032,F .F 的坐标为(-9,6),直线2FF 的 方程为032=-+y x . 解方程组⎩⎨⎧=+-=-+090 32y x y x 得交点M 的坐标为(-5,4). 所求椭圆的长轴:562221==+=FF MF MF a , ∴53=a ,又3=c , ∴() 3635322 222=-=-=c a b . 因此,所求椭圆的方程为136 452 2=+ y x . 二、椭圆与直线的位置关系及弦长相关题目 例4、 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=. (1)当m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为 5 10 2,求直线的方程. 解:(1)把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()142 2=++m x x , 即012522=-++m mx x .