(完整)高中数学椭圆常考题目解题方法及练习2018高三专题复习-解析几何专题

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高中数学椭圆常考题目解题方法及练习

2018高三专题复习-解析几何专题(2)

第一部分:复习运用的知识

(一)椭圆几何性质

椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数()a 2(大于21F F )的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点;两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2.

椭圆的几何性质:以()0122

22>>=+b a b

y a x 为例

1. 范围: 由标准方程可知,椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122

22≤≤b

y a x ,即

b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里(封闭曲线).该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题.

2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心。

3. 顶点(椭圆和它的对称轴的交点) 有四个:

()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、--

4. 长轴、短轴:

21A A 叫椭圆的长轴,a a A A ,221=是长半轴长; 21B B 叫椭圆的短轴,b b B B ,221=是短半轴长.

5. 离心率

(1)椭圆焦距与长轴的比a

c

e =

,()10,0<<∴>>e c a Θ (2)22F OB Rt ∆,2

22

22

22OF OB F B +=,即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形,并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率.

(3)椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定,与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时,c 越接近于a ,从而22c a b -=越小,椭圆越扁;当e 接近于0时,c 越

接近于0,从而22c a b -=越大,椭圆越接近圆。

6.通径(过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦),a

b 2

2.

7.设21F F 、为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,当21F F P 、、三点不在同一直线上时,21F F P 、、构成了一个三角形——焦点三角形. 依椭圆的定义知:

c F F a PF PF 2,22121==+. (二)运用的知识点及公式

1、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直:则121k k =-;两条直线垂直,则

直线所在的向量120v v =r r

g

2、韦达定理:若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ,则

1212,b c

x x x x a a

+=-=。

3、中点坐标公式:1212

,y 22

x x y y x ++==,其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ,的中点坐标。

4、弦长公式:若点1122(,)(,)A x y B x y ,在直线(0)y kx b k =+≠上,

则1122y kx b y kx b =+=+,,这是同点纵横坐标变换,是两大坐标变换技巧之一,

AB =或者

AB =

第二部分:椭圆常考题型解题方法典例

一、椭圆定义相关题目

例1、已知方程

1352

2-=-+-k

y k x 表示椭圆,求k 的取值范围. 解:由⎪⎩

⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<

∴满足条件的k 的取值范围是53<

说明:本题易出现如下错解:由⎩⎨⎧<-<-,03,

05k k 得53<

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件,当b a =时,并不表示椭圆.

例2、已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆,求α的取值范围.

解:方程可化为1cos 1sin 12

2=+α

αy x . 因为焦点在y 轴上,所以0sin 1

cos 1>>-

α

α. 因此0sin >α且1tan -<α从而)43

,2(ππα∈.

说明:(1)由椭圆的标准方程知

0sin 1>α,0cos 1

>-α,这是容易忽视的地方. (2)由焦点在y 轴上,知αcos 12-=a ,α

sin 1

2=b .

(3)求α的取值范围时,应注意题目中的条件πα<≤0.

例3、 以椭圆13

122

2=+y x 的焦点为焦点,过直线09=+-y x l :上一点M 作椭圆,

要使所作椭圆的长轴最短,点M 应在何处?并求出此时的椭圆方程.

分析:椭圆的焦点容易求出,按照椭圆的定义,本题实际上就是要在已知直线上找一点,使该点到直线同侧的两已知点(即两焦点)的距离之和最小,只须用点直线对称就可解决.

解:如图所示,焦点为()031,-F ,()032,F .F 的坐标为(-9,6),直线2FF 的

方程为032=-+y x .

解方程组⎩⎨⎧=+-=-+090

32y x y x 得交点M 的坐标为(-5,4).

所求椭圆的长轴:562221==+=FF MF MF a , ∴53=a ,又3=c ,

∴()

3635322

222=-=-=c a b .

因此,所求椭圆的方程为136

452

2=+

y x . 二、椭圆与直线的位置关系及弦长相关题目 例4、 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=. (1)当m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为

5

10

2,求直线的方程. 解:(1)把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得

()142

2=++m x x ,

即012522=-++m mx x .

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