苏汝铿量子力学讲义 第二章 波函数和Schroinger方程

• 要求: • 线性方程(态叠加原理的直接要求) • 系数也不含状态参数 • t与x,y,z均为变量=>只能是偏微分方程 • 解的唯一性=>两阶正规方程
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§2.3 薛定谔方程
➢ 量子力学
• 进入方程式,体现微观世界的特点(量子化) • ->0,过渡到牛顿方程
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§2.3 薛定谔方程
第二章 波函数和Schroinger方程
▪
质子在钯中的波函数
▪
http://www.imr.salford.ac.uk/groups/materials%20characterisation/hydrogen%20in%20palladium.s
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薛定谔 ERWIN SCHRODINGER
➢ 多粒子体系的推广
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§2.1 波函数的统计解释
▪ 动量几率分布函数 =>Fourier变换频谱 展开
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§2.1 波函数的统计解释
➢
可描写体系状态,
也可描写体系状态
是同一个态,不同自变量
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§2.1 波函数的统计解释
➢
代表在
出现单色平面波
态中,
的几率
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=>概率相干
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§2.2 态叠加原理
➢ 讨论 c)线性叠加 d)叠加次序并不重要
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§2.3 薛定谔方程
➢ 经典力学
• 牛顿方程特点: • 线性方程 • 二阶全微分方程,只有一个独立变量t • 唯一性 • 方程系数不含状态参数,有普适性
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§2.3 薛定谔方程
➢ 量子力学
➢ 因为有波函数统计解释,因此概率流守恒定律自动 包含在薛定谔方程中
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§2.3 薛定谔方程
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§2.3 薛定谔方程
➢ 为什么
而与t无关?
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§2.3 薛定谔方程
➢ 定态U=U(r), 不显含t
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§2.3 薛定谔方程
=> 几率流密度变不变?
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§2.1 波函数的统计解释
▪ 波函数的讨论
➢
的平方可积
➢ 除了个别孤立奇点外,波函数单值,有界,连续
➢ 不确定性:
i)
表示同一个态->归一化
ii)相角不确定性(常数相角)
➢ 经典,态确定性
量子:几率性=>可用以计算平均值
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§2.1 波函数的统计解释
▪ 波函数的讨论 ➢ 平面波
• 将势能为零的区间放大或者缩小一倍(分是 足够缓慢的变还是突变两种情况)时,波函数 和能级怎么变?
• 将势场曲线正题右移a,波函数和能级怎么变?
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§2.4 一维方势阱
➢ 一维方势阱
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§2.4 一维方势阱
➢ 一维方势阱
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§2.4 一维方势阱
➢ 一维方势阱
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§2.1 波函数的统计解释
➢ 处在
的粒子,动量无确定值
➢ 相当于晶体衍射
➢ 如若 则
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§2.1 波函数的统计解释
➢ 坐标表象和动量表象
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§2.2 态叠加原理
➢ 波叠加 经典 合成的波中有各种成分 相干性 量子 相干性 新特点
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§2.2 态叠加原理
新特点 • 可能性和概率 • 干涉项的概率性 • 是粒子运动状态概率波自身的干涉,不是不
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§2.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 一维方势阱
a)偶宇称 波函数为 cos(kx)
关键:用
在
连续以代替波函数
以及导数的连续.好处在于去掉波函数中常数的影响
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§2.4 一维方势阱
结论:无论Ua^2取何值,都有解(见下一页图)
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一维方势阱偶宇称能谱图
(1887-1961)
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§2.1 波函数的统计解释
▪ 波粒二象性的矛盾和解释 1. 波和粒子的关系
➢ 波由粒子组成,波是大量粒子运动的表现 与减少入射粒子流密度,让粒子近似地一 个个从粒子源射出后仍有波动性的实验不符
➢ 粒子由波组成,粒子=波包
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§2.1 波函数的统计解释
➢ 反例:i)自由粒子平 面波,占据整个空间 ii)色散
群速度:
相速度: 必有色散->粒子解体
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§2.1 波函数的统计解释
➢ 粒子性 颗粒性(V) 轨道(X)
➢ 波动性 物理量周期分布(V and X) 将”粒子分布”视为物理量 叠加性->干涉,衍射(V)
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§2.1 波函数的统计解释
▪ 波函数的统计解释
时间为t时刻,粒子出在 位置r的几率
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§2.3 薛定谔方程
➢ 本征值方程
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§2.3 薛定谔方程
➢ 边界条件的讨论:
• U连续,波函数及其一阶导数连续
• U不连续,波函数及其一阶导数连续
• U趋向无穷大 (一阶)波函数连续,一阶导数不 连续
• U趋向无穷大(二阶及以上)波函数不连续,一 阶导数亦不连续
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§2.4 一维方势阱
同粒子之间的干涉
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§2.2 态叠加原理
➢ 波叠加原理的表述 a)如果
是可能态
则
也是一个可能态
b)在 中,体系出现
的几率是
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§2.2 态叠加原理
➢ 讨论 a)
b)光子偏整态:Malus定律
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§2.2 态叠加原理
➢ 讨论
但任何时候观测到的都是一整个光子,
而不是
个光子
➢ 建立方程的启示 自由粒子
已知解=>方程式(不唯一)
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§2.3 薛定谔方程
➢ 已知解=>方程式(不唯一)
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§2.3 薛定谔方程
一般情况:
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§2.3 薛定谔方程
➢ 说明: a)波动力学的基本假定,表征量子体系特征的量h 进入了方程式,薛定谔方程在量子力学中的地位与 牛顿方程在经典力学中的地位相当 b)算符形式
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§2.3 薛定谔方程
➢ 力学量用算符表示 ➢ 两个惯例
1)只在直角坐标中适用,因为微商不协变 例:二维极坐标下的薛定谔方程
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§2.3 薛定谔方程
➢ 两个惯例 2)将H分成三部分: i)与坐标无关的动量二次式 ii)只依赖于坐标的函数 iii)
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§2.3 薛定谔方程
➢ 一维无限深势阱
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§2.4 一维方势阱
➢ 一维无限深势阱
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§2.4 一维方势阱
➢ 一维无限深势阱
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§2.4 一维方势阱
➢ 一维无限深势阱
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一维方势阱波函数图象
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一维方势阱波函数图象
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§2.4 一维方势阱
➢ 思考题: