实验设计与分析-误差分析

第三章误差分析与处理

任何试验总是不可避免地存在误差，为提高测量精度，必须尽可能消除或减小误差，因此有必要对多种误差的性质、出现规律、产生原因，发现与消除或减小它们的主要方法以及测量结果的评定等方面作研究。

误差的定义：绝对误差＝实测值－真值

相对误差＝绝对误差/真值≈绝对误差/实测值

误差的来源：测量装置误差（如标准量具、仪器、附件等）

环境误差（如温度、湿度、气压、振动、照明、重力场、电磁场等）

方法误差

人员误差

误差分类：系统误差

随机误差

粗大误差

§3-1.随机误差

同一测量值在等精度情况下的多次重复，有可能会得一系列不同的测量值，每个值均有一定的误差，且无规律（但有一定的统计规律），这样的误差称为随机误差。

产生原因：测量装置（精度、器件性能不稳定等）

环境方面（湿度、温度、电压、光照、磁场等）

人为因素：（素质、技能）

布情况，即：

2

2

1

()exp()

(2)

2

f

――标准差（均方根误差），越

小，精度就越高

的大小只说明在一定条件下，等精

度测量值的随机误差的概率分布情况。

经n次等精度测量后的均方差为:

2222

12

()/()/

n i

n n（3－1）

i

δ是第i次测量的误差。

i i

l L

δ=-

i

l是第i次测量值，

L是真值。

当真值为未知时，应该说上式不能求得标准差。在有限次测量情况下，可用残余误差

i

v

代替真值误差。

i i

v l x

=-, x是测量平均值,()/

i

x l n.

i

v是

i

l的残余误差。

我们将

i i

l L作一些变形替换，并令，

展开：

1

i n

n

l x x

L

l x

x

L

令

0x

x

L 为算术平均值的误差

i i

v l nx ＝0（当i

l x

n

代入时）

上式又为

1

1x

n

n

x

v

v (3－2)

所有项相加： i

i x v n 11x

i

i v n

n

其中：

i v ＝0 ，（/0i i i i v l nx l n l n

=-=-=∑∑∑∑）

1

x

i

n

即算术平均值的误差

将（3－2）式平方后相加

（

22

22i

i i

x

x

v v ）

22

2222

i

i x

x

i

i x v n

v v n （3－3）

将式

1

x

i

n

的 两边平方

2222

111(

)

(2

)x

i i

i j

i j n

n

当n 足够大时，

i j

认为趋于零，将

222

1x

i

n ，代入（3－3）式

22

21i

i i

v

n

由（3－1）式可知 22

i

n

2

22

i

n

v

2(

)

(1)

i v n （3－4）

式（3－4）称为Bessel 公式，由残余误差求得单次测量的标准差的估计值。

（根据我国《通用计量名词及定义》，对一列有限次n 个测量值，应视为测量总体的取样，所求得的标准差估计值用代号s 表示，以区别于总体标准差σ。这里对标准差估计值仍用σ，对实际测量时计算有限次测量值的标准差，则用代号s.）

不等精度测量时，其随机误差的表达方式是不一样的，一般采用加权处理的方法，应让可靠程度大的测量结果在最后结果中占的比重大一些，可靠程度低的比重小一些。在等精度测量中各个测得值认为同样可靠，并取所有测得值的算术平均值作为最后测量结果。

权值取法：重复次数多的，一般可靠程度高，则用次数来确定权的大小。

§3-2.系统误差

一．原因同上。

二．特点：在同一条件下，多次测量同一量值时，按一定规律变化的误差。

如：不变的系统误差：符号和大小固定不变的系统误差，如量块10mm ，实测为

10.001mm,则0.001始终存在，用它去作连续测量，误差将是线性变化。 又如周期变化：指针式仪表指针的回转中心与刻度量中心有偏值时，

sin l

e 。

三．系统误差的发现

1． 实验比对法

采用不同条件或不同的测量方法，可发现不变的系统误差。如量块用更高等级精度量具进行比对测量。 2． 残余误差观察法

若测量列：12,n l l l

系统误差：12,n l l l 不含系统误差的值：12,n l l l

则有 i

i

i l l l （i ＝1，2，

，n ）

其算术平均值： x

x x

这里：''

,111,i i i x l x l x l n n n

===∑∑∑

其残余误差：

i i v l x i i v l x ，将两式相减

()i i i

v v l x （3－5） （i i i v v l x l x '''-=--+），（

,i

i i l l l x

x x ''∆=-∆=-）