数学：曲线与方程教案新人教B版选修
人教版高中数学选修2—1《曲线与方程》教学设计
人教版高中数学选修2—1《曲线与方程》教学设计一、教学内容人教版选修2—1第二章第一节：曲线与方程二、教材分析曲线属于“形”的范畴，方程则属于“数”的范畴，它们通过直角坐标系而联系在一起，曲线的方程是曲线几何的一种代数表示，方程的曲线则是代数的一种几何表示。
在直角坐标系中，点可由它的坐标（x,y）来表示，而曲线是点的轨迹，所以曲线可用二元方程f(x,y)=0来表示。
“曲线和方程”这节教材，揭示了几何中的“形”与代数中的“数”的统一，为“依形判数”和“据数论形”的相互转化奠定了扎实的基础，曲线与方程的相互转化，是数学方法论上的一次飞跃。
由于曲线和方程的概念是解析几何中最基本的内容，因而学生用解析法研究几何图形的性质时，只有透彻理解曲线和方程的意义，才能算是寻得了解析几何学习的入门之径。
求曲线与方程的问题，也贯穿了这一章的始终，所以应该认识到，本节内容是解析几何的重点内容之一。
本节中提出的曲线与方程的概念，它既是对以前学过的函数及其图象、直线的方程、圆的方程等数学知识的深化，又是学习圆锥曲线的理论基础，它贯穿于研究圆锥曲线的全过程，根据曲线与方程的对应关系，通过研究方程来研究曲线的几何性质，是几何的研究实现了代数化。
数与形的有机结合，在本章中得到了充分体现。
解析几何的核心思想方法是“坐标法”，在直角坐标系中，根据曲线的特征建立曲线方程是研究的基础。
“曲线的方程既是我们研究的直接对象，更是研究曲线几何性质的桥梁。
而只有当曲线上点的集合与方程的解集之间具有一一对应关系时，才能通过研究方程得到曲线的性质，无论完备性和纯粹性得到破坏都不能由方程得到曲线的性质。
【课程标准】结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想。
【学习目标】1.通过感受曲线的方程和方程的曲线这一概念的生成过程，初步理解曲线的方程和方程的曲线的概念；2.理解曲线的方程和方程的曲线的概念和集合相等的关系，渗透数形结合思想和转化化归思想。
高中数学 2.1.1曲线与方程教案1 新人教版选修2-1-新人教版高二选修2-1数学教案
§2．1．1曲线与方程[学情分析]：学生在必修模块中已经学过直线与圆的方程，熟练掌握了直线的方程、圆的方程的常用形式，能解决直线与圆的有关问题，对解析几何的研究方法与思路有一定的了解，这些对本节学习有很大帮助。
[教学目标]：知识与技能1、了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，2、领会“曲线的方程〞与“方程的曲线〞的概念及其关系，并能作简单的判断与推理；过程与方法1.在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法；2.体会研究解析几何的基本思想和解决解析几何问题的方法.情感态度与价值观培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质，以及主动参与、勇于探索、敢于创新的精神[教学重点]：理解曲线与方程的有关概念与相互联系[教学难点]：定义中规定两个关系〔纯粹性和完备性〕[课前准备]：多媒体、实物投影仪[教学过程设计]：教学环节教学活动设计意图一．复习、引入1、问题： (1)求如下图的直线的方程,并说明曲线上的点与方程之间的关系；观察、思考，求得方程为xy=引导学生分析：〔1〕如果点00(,)M x y是这条直线上的任意一点，那么它到两坐标轴的距离相等，即00x y=，那么它的坐标00(,)x y是方程xy=的解。
〔2〕如果00(,)x y是方程xy=的解，即00x y=，那么以这个解为坐标的点到两坐标轴的距离相等，它一定在这条直线上。
通过学生已熟悉的两种曲线引入，有利于学生在已有知识基础上开展学习；提出新问题，创设情景，引发学习兴趣。
二．复习、引入(2) 仿照〔1〕说明：以(,)a b为圆心，以r为半径的圆与方程222()()x a y b r-+-=的关系王新敞引导学生在前一个例子的基础上类比归纳，得出结论，使他们理解几何中的“形〞与代数中的⑴ 设M(x o ,y o )是圆上任一点，那么它到圆心的距离等于半径，即2200()()x a y b r -+-=，即：222()()x a y b r -+-=，这就是说，(x o ,y o )是此方程的解；⑵ 如果(x o ,y o )是方程222()()x a y b r -+-=的解，那么可以推得2200()()x a y b r -+-=，即点M(x o ,y o )到圆心的距离等于半径 ，点M 在圆上。
人教版高中选修(B版)2-12.1曲线与方程教学设计
人教版高中选修(B版)2-12.1曲线与方程教学设计一、教学目标1.掌握平面直角坐标系上曲线的性质、方程及其图象；2.掌握有理函数的图象基本特征、分解和复合运算；3.学会应用曲线和方程解决实际问题。
二、教学重点1.平面直角坐标系上曲线的性质、方程及其图象；2.有理函数的图象基本特征；3.应用曲线和方程解决实际问题。
三、教学难点1.有理函数的分解；2.曲线和方程的应用解决实际问题。
四、教学方法1.归纳法；2.演示法；3.讲授法；4.问题解决法。
五、教学过程1.引入教学学生学习过程中，前面所有的过程都是基于函数的，该环节将让学生学习到复合函数和反函数的概念和性质，是教学中一个重要的环节。
让学生提前学习《复合函数与反函数》，掌握函数的基本概念、反函数和复合函数的概念和性质。
3.讲授第一部分复合函数1.函数的复合1.怎样理解函数的复合概念？2.复合函数的定义是什么？3.如何计算复合函数的值？2.复合函数的性质1.复合函数的性质有哪些？2.复合函数的求导法则是什么？第二部分反函数1.反函数的定义1.什么是反函数？2.反函数的图像特征有哪些？2.反函数的求法1.如何求反函数？2.如何判断一个函数是否存在反函数？4.练习为了检验学生是否掌握了之前学习的复合函数和反函数的概念和性质，让学生通过练习来加深印象。
第三部分曲线与方程1.平面直角坐标系1.什么是平面直角坐标系？2.坐标系中的点怎样表示？2.曲线的引入1.什么是曲线？2.不同曲线的基本特征有哪些？3.曲线方程1.曲线方程是什么？2.如何求出曲线的方程？6.练习本环节通过例题和练习的形式来巩固学生对曲线和方程的掌握程度。
六、教学资源1.课件、教科书；2.练习题、试卷。
七、教学评价1.观察学生的学习状态，及时调整教学进度；2.对学生提出问题，了解他们对学习情况的感受；3.常规测试，检测学生对所学知识的掌握程度。
最新人教版高中数学选修2-1第二章《曲线与方程》教学设计
教学设计2．1.1曲线与方程教学目标知识与技能1．了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；2．初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；3．学会根据已有的情景资料找规律，进而分析、判断、归纳结论；4．强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法．过程与方法1．通过直线方程的引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的认识；2．在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理地阐述自己的观点；3．能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识．情感、态度与价值观1．通过概念的引入，让学生感受从特殊到一般的认知规律；2．通过反例辨析和问题解决，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神．重点难点教学重点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；教学难点：利用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．教具准备三角板、多媒体教学设备．教学过程引入新课在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线．下面看一个具体的例子：问题1：画出方程x－y＝0表示的直线，同时思考直线上的点的坐标是否都是方程的解，另一方面以这个方程的解为坐标的点是否都在直线上？借助多媒体让学生从直观上深刻体会如下结论：1．直线上的点的坐标都是方程的解；2．以这个方程的解为坐标的点都在直线上．即直线上所有点的集合与方程的解的集合之间建立了一一对应关系．也即引导学生类比、推广并思考相关问题：类比：推广：即任意的曲线和二元方程是否都能建立这种对应关系呢？也即方程F(x，y)＝0的解与曲线C上的点的坐标具备怎样的关系就能用方程F(x，y)＝0表示曲线C，同时曲线C也表示着方程F(x，y)＝0？为什么要具备这些条件？以上问题就是本节课的内容：曲线与方程(板书课题)．探究新知在上面的讨论中，有的同学提到了应具备关系：“曲线上的点的坐标都是方程的解”；有的同学提到了应具备关系：“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”；还有的同学虽用了不同的提法，但意思不外乎这两个．现在的问题是：上述的两种提法一样吗？它们反映的是不是同一事实？有何区别？究竟用怎样的关系才能把问题推广中的曲线与方程的这种对应关系完整地表达出来？为了弄清这些问题，首先提出如下的问题：问题2：用下列方程表示如图所示的曲线C，对吗？为什么？请同学们思考：(1)x－y＝0；(2)x2－y2＝0；(3)|x|－y＝0.活动设计：学生独立思考，教师巡视指导．活动成果：方程(1)、(2)、(3)都不是曲线C的方程．第(1)题中曲线C上的点不全是方程x－y＝0的解；例如点A(－2，－2)、B(－3，－3)等不符合“曲线上点的坐标都是方程的解”这一结论．第(2)题中，尽管“曲线上点的坐标都是方程的解”，但是以方程x2－y2＝0的解为坐标的点却不全在曲线上；例如D(2，－2)、E(－3，3)等不符合“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论．第(3)题中既有以方程|x|－y＝0的解为坐标的点，如G(－3,3)、H(－2，2)等不在曲线上，又有曲线C上的点，如M(－3，－3)、N(－1，－1)等的坐标不是方程|x|－y＝0的解．事实上，(1)、(2)、(3)中各方程所表示的曲线应该是如图所示的3种情况．教师点评：以上我们观察分析了问题1、问题2，发现问题1完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程；而问题2不能完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程．如果我们把完整地用方程表示曲线和用曲线表示方程看成“曲线的方程”和“方程的曲线”的话，那么就可以给“曲线的方程”和“方程的曲线”下定义了．问题：在下“曲线的方程”和“方程的曲线”定义时，针对问题2中第(1)个问题“曲线上混有其坐标不是方程的解的点”应作何规定？学生思考活动：“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”．老师再提问：针对问题2中第(2)个问题“以方程的解为坐标的点不在曲线上”应作何规定？学生思考回答：“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”．这样，我们可以对“曲线的方程”和“方程的曲线”下这样的定义：一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f(x ，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．理解新知教师提出问题：大家熟知，曲线可以看作是由点组成的集合，记作C ；一个二元方程的解可以作为点的坐标，因此二元方程的解集也描述了一个点集，记作F.请大家思考：如何用集合C 和F 间的关系来表述“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系，进而重新表述“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义．启发学生得出：关系(1)指点集C 是点集F 的子集；关系(2)指点集F 是点集C 的子集．这样用集合相等的概念定义“曲线的方程”与“方程的曲线”为：.⎭⎬⎫⊆⊆C F F C )2()1( C=F总结说明：另外从充要条件的角度看，关系(1)或(2)仅是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，只有两者都满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性．运用新知1．初步应用、突出内涵1下列各小题中，如图所示的曲线C 的方程为所列方程，对吗？如果不对，是不符合关系(1)还是关系(2)?学生活动：思考．成果：(1)错．不符合定义中的关系(2)，即CF 但F C. (2)错．不符合定义中的关系(1)，即F C 但C F.(3)错．不符合定义中的关系(1)和(2)，即CF 且FC.2．变式训练解答下列问题，且说出各依据了“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的哪一个关系？(1)点A(3，－4)、B(－25，2)是否在方程x2＋y2＝25表示的圆上？(2)已知方程为x2＋y2＝25的圆过点C(7，m)，求m的值．学生回答：(1)依据关系(2)点A在圆上，依据关系(1)点B不在圆上．(2)依据关系(2)求得m＝±3 2.2证明：以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程是x2＋y2＝25.教师提出问题：请同学思考，证明应从何着手？学生活动：思考应从以下两方面：(1)圆上的点的坐标都满足方程：x2＋y2＝25；(2)以方程x2＋y2＝25的解为坐标的点都在圆上．教师点评：(1)中的“点”和(2)中的“解”指的都是有关集合中的全体元素，怎样解决全体问题？(学生思考片刻后)用“任意一个”代表“全体”是数学证明中常用的方法．(请同学们完成证明过程，同桌间交流，参照课本例1的证明步骤纠正错误，完善证题过程，加强证明题的严密性．)课堂小结本节课我们通过实例研究了“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义，在领会定义时，要牢记关系(1)、(2)两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，两者都满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性．曲线和方程之间一一对应的确立，进一步把“曲线”与“方程”统一了起来，在此基础上，我们就可以更多地用代数的方法研究几何问题．布置作业1．教材习题2.1A组第1题．2．思考题：如果两条曲线的方程F1(x，y)＝0和F2(x，y)＝0的交点为M(x0，y0)，求证：方程F1(x，y)＋λF2(x，y)＝0表示的曲线也经过点M.(λ为任意常数)设计说明这节课我们将直线引申到了一般的曲线，应用了特殊到一般，一般到特殊的方法，研究了曲线的方程和方程的曲线的定义．在领会定义时，要注意关系1、2缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，两者都满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具有充分性．曲线与方程一一对应关系的确立，进一步把曲线与方程统一了起来，通过数研究形，同时形也为数提供了直观背景．我们要有数形结合的意识．笛卡儿等人在解析几何中创立的用坐标表示点，用方程表示曲线，通过代数方法研究几何问题的思想方法意义重大．设计中注重了概念的形成过程，注重了学生的认识规律．备课资料近代数学本质上可以说是变量数学，而变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明．解析几何的真正发明者应归功于法国两位数学家笛卡儿(R.Descartes,1596～1650，哲学名言：“我思故我在”)和费马(P.DeFermat,1601～1665)．笛卡儿出生于法国都伦的拉哈耶，贵族家庭的后裔，父亲是个律师．他早年受教于拉福累歇的耶稣会学校.1612年赴巴黎从事研究，曾于1617年和1619年两次从军，离开军营后旅行于欧洲，他的学术研究是在军旅和旅行中作出的. 关于笛卡儿创立解析几何的灵感有几个传说：一个传说讲，笛卡儿终身保持着在耶稣会学校读书期间养成的“晨思”的习惯，他在一次“晨思”时，看见一只苍蝇正在天花板上爬，他突然想到，如果知道了苍蝇与相邻的两个墙壁的距离之间的关系，就能描述它的路线，这使他的头脑中产生了关于解析几何的最初闪念；另一个传说是，1619年冬天，笛卡儿随军队驻扎在多瑙河畔的一个村庄，在圣马丁节的前夕(11月10日)，他作了三个连贯的梦，笛卡儿后来说，正是这三个梦向他揭示了“一门奇特的科学”和“一项惊人的发现”，虽然他从未明说过这门奇特的科学和这项惊人的发现是什么，但这三个梦从此成为佳话，给解析几何的诞生蒙上了一层神秘的色彩．人们在苦心思索之后的睡梦中获得灵感与启示，不是不可能的事情，但事实上笛卡儿之所以能创立解析几何，主要是他艰苦探索、潜心思考、运用科学的方法，同时批判地继承前人的成就的结果．华罗庚论数形结合：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数缺形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，割裂分家万事非．切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离．随着学习的逐步深入，同学们可以进一步做到形与数的密切结合；体会到数学基础知识与实际应用的密切联系；体会到由于解析几何的创立可使函数概念的内涵更加丰富；并从中领略笛卡儿等数学家们的创新精神．(设计者：赵中华)。
高中数学2.1曲线与方程教案(1)(新人教B版选修2-1)
2.1曲线与方程（3课时）一、教学目标使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力．二、教学重难点：1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．(解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．) 2．难点：作相关点法求动点的轨迹方法．(解决办法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解．) 三、活动设计提问、讲解方法、演板、小测验．四、教学过程(一)复习引入大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，研究平面曲线的性质．(二)几种常见求轨迹方程的方法1．直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2 (a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．对(1)分析：动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P 的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0．解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．即x2+y2=4R2或x2+y2=0．故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0．对(2)分析：题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：设弦的中点为M(x，y)，连结OM，则OM⊥AM．∵kOM·kAM=-1，其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)．2．定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．直平分线l交半径OQ于点P(见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．分析：∵点P在AQ的垂直平分线上，∴|PQ|=|PA|．又P在半径OQ上．∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R．故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义写出P点的轨迹方程．解：连接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|．又P在半径OQ上．∴|PO|+|PQ|=2．由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆．3．相关点法若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y)的变动而变动，且x、y可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．例3 已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程．分析：P点运动的原因是B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点B的联系．解：设点P(x，y)，且设点B(x0，y0)∵BP∶PA=1∶2，且P为线段AB的内分点．4．待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲曲线方程．分析：因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方ax2-4b2x+a2b2=0∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0应有等根．∴△=1664-4a2b2=0，即a2=2b．(以下由学生完成)由弦长公式得：即a2b2=4b2-a2．(三)巩固练习用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果．练习题用一小黑板给出．1．△ABC一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边斜率的2．点P与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？3．求抛物线y2=2px(p＞0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程．答案：义法)由中点坐标公式得：(四)小结求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍．五、布置作业1．两定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹方程．2．动点P到点F1(1，0)的距离比它到F2(3，0)的距离少2，求P点的轨迹．3．已知圆x2+y2=4上有定点A(2，0)，过定点A作弦AB，并延长到点P，使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程．作业答案：1．以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x2+y2=42．∵|PF2|-|PF|=2，且|F1F2|∴P点只能在x轴上且x＜1，轨迹是一条射线六、板书设计课后反思：求轨迹方程一节难度较大，通过学习圆锥曲线前的学习，学生对求轨迹方程所遵循的五个基本步骤掌握的很好，在心理上战胜了困难，这一节课在原有的基础上难度有所加大，学生掌握的比预计的理想，说明学生的兴趣及信心非常重要，在平时教学过程中一定要注意培养学生的学习积极性。
人教B版高中数学选修(2-1)-2.1《曲线与方程(第1课时)》教学课件1
如果M(x0,y0)是圆上的点,那么它到圆心的距离一定等于半 径,即 (x0 a)2 ( y0 b)2 r ，
也就是 (x0 a)2 ( y0 b)2 r 2，这说明它的坐标(x0,y0) 是方程 (x a)2 ( y b)2 r2 的解;
反过来,如果(x0,y0)是方程 (x a)2 ( y b)2 r2 的解,即 (x0 a)2 ( y0 b)2 r 2 ,也就是 (x0 a)2 ( y0 b)2 r ，即 以这个解为坐标的点到点(a,b)的距离为r，它一定在以 C(a,b)为圆心,r为半径的圆上。
点坐标。
四、应用举例
例3：已知 C1：x2+y2+6x-16=0； C2:x2+y2-4x-5=0 求证：对于λ≠-1的实数，方程
x2+y2+6x-16+λ(x2+y2-4x-5)=0 是通过两个已知圆交点的圆的方程。
过两圆交点的圆系
一般地，对于两条曲线F(x,y)=0和 G(x,y)=0，则过两条曲线交点的曲 线系方程是
这条曲线C叫做这个方程F(x,y)=0的曲线。 F(x, y) 0
y
M (x, y)
O
三、概念形成
概念1.曲线与方程之间的对应关系
思考与讨论
下面两个命题正确吗？
（1）到两个坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y=x
（2）如图，MA和MB分别是动点M（x，y）与两个定点
A（-1,0），B（1,0）的连线，使∠AMB为直角的轨迹方程
(1+λ) x2+(1+λ)y2+(6-4λ)x-16-5λ=0，
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-1 2.1.1 曲线与方程的概念》
§曲线与方程授课教师：王爽●教学目标一知识教学点：使学生了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念，从而为求已知曲线的方程奠定理论基础．二能力训练点：在形成曲线和方程概念的过程中，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法．三学科渗透点：从形数结合中受到辩证唯物主义的思想教育．●教学重点“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．解决办法：通过例子，揭内涵；讨论归纳，得出定义；变换表达，强化理解；初步运用，巩固提高；给出推论，升华定义．●教学难点难点在于对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延．据此可用举反例的方法来突破难点，促使学生对概念表述的严密性进行探索，自然地得出定义．●教学过程Ⅰ知识引入：和学生共同探讨圆锥曲线的形成过程以及如何研究圆锥曲线的性质。
由此提出用代数方法即方程的思想研究曲线问题，引出曲线和方程的关系。
Ⅱ讲授新课1．曲线与方程关系举例：（由最简单，学生最熟悉的直线和圆作为引例来研究）师：我们知道，两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线的方程是－=0这就是说，如果点M（0,0）是这条直线上的任意一点，它到两坐标轴的距离一定相等，即0=0，那么它的坐标（0,0）是方程－=0的解；反过来，如果（0,0）是方程－=0的解，即0=0，那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上（如左图有）一、三象限的平分线上的点（0,0）−−→←−−0=0−−→←−−（0,0）是方程－=0的解引例2：以坐标原点为圆心，半径等于1的圆的方程22 = 1由学生解释2．曲线与方程概念一般地，在直角坐标系中，如果其曲线c上的点与一个二元方程f,=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线3．引用实例，加深认识下列各题中，图所示的曲线C 的方程为所列方程，对吗？如果不对，是不符合关系⑴还是关系⑵？ 曲线C 为△ABC 为中线AO,方程：X=0 曲线C 是过点（4，1）的反比例曲线图像4．例题讲解：例1 证明与两条坐标轴的距离之积是常数)0(>k k 的点的轨迹方程是k xy ±=。
人教版高中选修2-12.1曲线与方程教学设计
人教版高中选修2-12.1 曲线与方程教学设计教学目标本教学设计旨在帮助学生:•熟练掌握直线、圆和二次曲线的基本方程，以及它们的图像特征；•能够将具体的问题转化为曲线或方程的形式，从而应用所学知识解决实际问题；•提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
教学重难点•难点: 二次曲线的概念理解及其图像特征；•重点: 直线、圆和二次曲线的基本方程及其变形。
教学方法本教学设计将采用多种教学方法，包括讲授、演示、练习、合作探究等，从而帮助学生更深入地理解所学知识，提高其数学思维能力和解决实际问题的能力。
教学过程Step 1：导入活动 (5 minutes)•引入学习主题“曲线与方程”，激发学生对数学的兴趣和学习热情。
Step 2：学习新知 (70 minutes)2.1 知识点1：直线和圆的基本方程•讲解直线和圆的基本方程及其图像特征，帮助学生掌握它们的绘制方法和重要性。
2.2 知识点2：二次曲线的基本方程•讲解二次曲线的基本方程及其图像特征，帮助学生理解其形态和性质。
2.3 知识点3：二次曲线的变形及其应用•讲解二次曲线的变形及其应用，如两点式、标准式、一般式等，以及在实际问题中的应用。
Step 3：合作探究 (25 minutes)•分成小组，就所学内容开展互动讨论和探究，以此来加深对学习内容的理解和掌握。
Step 4：练习巩固 (30 minutes)•配置一些针对所学知识的小练习，以加强学生对所学知识的掌握和理解。
Step 5：课后反思 (10 minutes)•向学生介绍下一节课的主题和目标，同时鼓励学生思考这次课程中有哪些需要改进的地方，以此为标准来改善以后的课程设计。
教学评价•在本次课程中，教师可以通过课前小测验、小组讨论、课堂练习、以及学生的表现来进行教学评价。
结语以上就是本教学设计的主要内容，希望能够帮助学生掌握曲线与方程的基本概念，从而能够在日后的学习和生活中更好地应用所学知识。
数学人教B版选修2-1学案： 2.1 曲线与方程 含解析 精品
数学人教B 选修2-1第二章2.1 曲线与方程1．了解曲线与方程的对应关系．2．了解两条曲线交点的求法．3．了解用坐标法研究几何性质．4．掌握求曲线的方程和由方程研究曲线的性质．1．点的轨迹方程一般地，一条曲线可以看成________________的轨迹，所以曲线的方程又常称为____________的点的轨迹方程．【做一做1】到A (2，－3)和B (4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是( )A ．x －y －1＝0B ．x －y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝02．曲线的方程与方程的曲线的定义(1)在平面直角坐标系中，如果曲线C 与方程F (x ，y )＝0之间具有如下关系：①__________________________________；②__________________________________.那么，曲线C 叫做方程F (x ，y )＝0的曲线，方程F (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程．在曲线的方程的定义中，曲线上的点与方程的解之间的关系①和②缺一不可，而且两者是对曲线上的任意一点以及方程的任意一个实数解而言的．从集合的角度来看，设A 是曲线C 上的所有点组成的点集，B 是所有以方程F (x ，y )＝0的实数解为坐标的点组成的点集，则由关系①可知A ⊆B ，由关系②可知B ⊆A ；若同时具有关系①和②，就有A ＝B .(2)曲线C 用集合的特征性质描述法，可以描述为C ＝{M (x ，y )|F (x ，y )＝0}．【做一做2】下面各对方程中，表示相同曲线的一对方程是( )A ．y ＝x 与x ＝y 2B ．y ＝x 与x y＝1 C ．||y ＝||x 与x 2－y 2＝0D ．y ＝lg x 2与y ＝2lg x3．两曲线的交点已知两条曲线C 1：F (x ，y )＝0和C 2：G (x ，y )＝0，求这两条曲线的交点坐标，只要求方程组⎩⎪⎨⎪⎧F (x ，y )＝0G (x ，y )＝0的________就可以得到．曲线的交点问题需转化为二元方程组的求解问题，那么，解二元方程组的一切思路方法和相关知识，都是求两曲线交点的基本依据和方法．【做一做3】曲线y ＝x 2＋1和y ＝x ＋m 有两个不同的交点，则( )A ．m ∈RB ．m ∈⎝⎛⎭⎫0，34 C ．m ＝34D ．m ∈⎝⎛⎭⎫34，＋∞1．曲线与方程的定义的理解剖析：(1)定义中的第①条“曲线C 上的点的坐标都是方程F (x ，y )＝0的解”，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有点都符合这个条件而毫无例外(纯粹性)．(2)定义中的第②条“以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上”，阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)．(3)定义的实质是平面曲线的点集{M |p (M )}和方程F (x ，y )＝0的解集{(x ，y )|F (x ，y )＝0}之间的一一对应关系，由曲线和方程的这一对应关系，既可以通过方程研究曲线的性质，又可以由曲线求它的方程．2．曲线方程的求法剖析：求曲线的方程，一般有下面几个步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标；(2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M ︱p (M )}；(3)用坐标表示条件p (M )，列出方程F (x ，y )＝0；(4)化方程F (x ，y )＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明．另外，也可以根据情况省略步骤(2)，直接列出曲线方程．题型一 曲线与方程的概念【例1】若曲线C 上的点的坐标满足方程F (x ，y )＝0，则下列说法正确的是( )A ．曲线C 的方程是F (x ，y )＝0B ．方程F (x ，y )＝0的曲线是CC ．坐标不满足方程F (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上D ．坐标满足方程F (x ，y )＝0的点都在曲线C 上反思：(1)判定曲线与方程的对应关系有两种方法：等价转换和特值讨论．它们使用的依据是曲线的纯粹性和完备性．(2)处理“曲线与方程”的概念题，可采用直接法，也可采用特值法．题型二 曲线方程的求法【例2】已知△ABC ，A (－2,0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，求△ABC 的重心G 的轨迹方程．分析：在这个问题中，动点C 与点G 之间有关系，写出C 与G 之间的坐标关系，并用G 的坐标表示C 的坐标，然后代入C 的坐标所满足的关系式中，化简整理即得所求．【例3】长为3的线段AB 的端点A ，B 分别在x ，y 轴上移动，动点C (x ，y )满足AC ＝2CB ，求动点C 的轨迹方程．分析：A ，B 分别在x ，y 轴上移动，可设A(x 0,0)，B(0，y 0)，又动点C (x ，y )满足AC ＝2CB ，代入即可得方程．反思：求曲线的方程的关键是找到曲线上动点的运动规律，并利用坐标把这种规律翻译成代数方程．1方程x 2＋xy ＝x 表示的曲线是( )A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线2已知方程2x 2－xy ＋1＝0表示的图形为C ，则下列点不在C 上的为( )A ．⎝⎛⎭⎫12，3B ．(－3,5)C ．⎝⎛⎭⎫－2，－92D ．⎝⎛⎭⎫2，92 3在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP ·OA ＝4.则点P 的轨迹方程是____________．4点P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，则a ＝__________.5已知k ∈R ，则直线y ＝3x ＋k 与圆x 2＋y 2＝16无公共点时，k 的取值范围为__________．答案：基础知识·梳理1．动点依某种条件运动 满足某种条件【做一做1】C2．(1)①曲线C 上点的坐标都是方程F (x ，y )＝0的解 ②以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上【做一做2】C3．实数解【做一做3】D 已知条件可转化为联立后的方程组有两组不同的解，即方程x 2－x ＋1－m ＝0的判别式大于零，即(－1)2－4(1－m )＞0，解得m ＞34. 典型例题·领悟【例1】C 方法一：上述说法写成命题的形式为“若点M (x ，y )是曲线C 上的点，则点M 的坐标适合方程F (x ，y )＝0”．其逆否命题为：“若点M 的坐标不适合方程F (x ，y )＝0，则点M 不在曲线C 上”．故选C.方法二：本题亦可考虑特值法，作直线l ：y ＝1.考查l 与F (x ，y )＝y 2－1＝0的关系，知选项A ，B ，D 三种说法均不正确．故选C.【例2】解：设△ABC 的重心坐标为G (x ，y )，顶点C 的坐标为(x 1，y 1)，由重心坐标公式得⎩⎨⎧ x ＝－2＋0＋x 13，y ＝0－2＋y 13⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x ＋2，y 1＝3y ＋2，代入y 1＝3x 21－1，得3y ＋2＝3(3x ＋2)2－1.则有y ＝9x 2＋12x ＋3，故所求轨迹方程为y ＝9x 2＋12x ＋3.【例3】解：∵长为3的线段AB 的端点A ，B 分别在x ，y 轴上移动，故可设A (x 0,0)，B (0，y 0)．又动点C (x ，y )满足AC ＝2CB ，∴(x －x 0，y )＝2(0－x ，y 0－y )，即(x －x 0，y )＝(－2x ，2y 0－2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －x 0＝－2x y ＝2y 0－2y ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3x ，y 0＝32y .又∵|AB |＝3，即x 20＋y 20＝9，∴(3x )2＋⎝⎛⎭⎫32y 2＝9.整理得动点C 的轨迹方程为x 2＋y 24＝1. 随堂练习·巩固1．C x 2＋xy ＝x 因式分解得x (x ＋y )＝x ，即x (x ＋y －1)＝0，即x ＝0或x ＋y －1＝0.2．B3．x ＋2y ＝4 设P (x ，y )，由OP ·OA ＝4知x ＋2y ＝4.4．13 将点P 的坐标代入方程中即可求得a ＝13. 5．k ＞8或k ＜－8 无公共点时圆心到直线的距离大于半径，即|k |2＞4，∴k ＞8或k ＜－8.。
数学2.1.1《曲线与方程的概念》教案(4)(新人教B版选修2-1)
§2.5.2求曲线的方程●教学目标1．了解解析几何的基本思想；2．了解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点；3．初步掌握求曲线的方程的方法.●教学重点求曲线的方程●教学难点求曲线方程一般步骤的掌握.●教学过程Ⅰ.复习回顾：师：上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x,y）所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这一节，我们就来学习这一方法.Ⅱ.讲授新课1．解析几何与坐标法：我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫解析几何的学科.因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.2．平面解析几何研究的主要问题：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过方程，研究平面曲线的性质.说明：本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤.例2 设A、B两点的坐标是（－1，－1），（3，7），求线段AB的垂直平分线的方程.解：设M（x,y）是线段AB的垂直平分线上任意一点（图7—29），也就是点M属于集合－,)136(5 )7()24()7()3(11121212121211B M A M y y y y y x B M =∴+-=-+-=-+-=即点M 1在线段AB 的垂直平分线上.由（1）、（2）可知方程①是线段AB 的垂直平分线的方程.师：由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y ）表示曲线上任意一点M 的坐标；（2）写出适合条件P 的点M 的集合P ={M |P （M ）}；（3）用坐标表示条件P （M ），列出方程f (x,y )=0;（4）化方程f (x,y )=0为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略步骤（2），直接列出曲线方程.师：下面我们通过例子来进一步熟悉求曲线轨迹的一般步骤.例3 已知一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一点到点A （0，2）的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.解：如图所示，设点M （x,y ）是曲线上任意一点，MB ⊥x 轴，垂足是B （图7—31），那么点M 属于集合}.2|||| {=-=MB MA M P由距离公式，点M 适合的条件可表示为：2)2(22=--+y y x ①将①式移项后再两边平方，得x 2+(y －2)2=(y +2)2,化简得：281x y = 因为曲线在x 轴的上方，所以y ＞0,虽然原点O 的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程是281x y = (x ≠0) 。
《曲线与方程的概念》教案5(新人教B版选修2-1)
§2.5.1曲线与方程●教学目标1．了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义. 2．会判定一个点是否在已知曲线上. ●教学重点 曲线和方程的概念 ●教学难点 曲线和方程概念的理解 ●教学过程 Ⅰ.复习回顾师：在本章开始时，我们研究过直线的各种方程，讨论了直线和二元一次方程的关系.下面我们进一步研究一般曲线和方程的关系.Ⅱ.讲授新课1．曲线与方程关系举例：师：我们知道，两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线的方程是x －y =0.这就是说，如果点M （x 0,y 0）是这条直线上的任意一点，它到两坐标轴的距离一定相等，即x 0=y 0，那么它的坐标（x 0,y 0）是方程x －y=0的解；反过来，如果（x 0,y 0）是方程x －y =0的解，即x 0=y 0，那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上.（如左图）又如，以),(b a 为圆心、r 为半径的圆的方程是222)()(r b y a x =-+-。
这就00那么它到圆心的距离一定等于半径，即r b y a x =-+-2020)()(，也就是22020)()(r b y a x =-+-，这说明它的坐标),(00y x 是方程222)()(r b y a x =-+-的解；反过来，如果),(00y x 是方程222)()(r b y a x =-+-的解，即22020)()(r b y a x =-+-，也就是r b y a x =-+-2020)()(，即以这个解为坐标的点到点),(b a 的距离为r ，它一定在以为圆心),(b a 、r 为半径的圆上的点。
（如右图）.2．曲线与方程概念一般地，在直角坐标系中，如果其曲线c 上的点与一个二元方程f (x ,y )=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线3．点在曲线上的充要条件：如果曲线C 的方程是f （x ,y ）=0，那么点P 0=（x 0,y 0）.在曲线C 上的充要条件是f (x 0,y 0)=0. 4．例题讲解：例1 证明与两条坐标轴的距离之积是常数)0(>k k 的点的轨迹方程是k xy ±=。
【新人教B版】(新教材)2022版高中数学选择性必修第一册第二章平面解析几何4曲线与方程课件
2.4 曲线与方程
课标要求素养要求源自1.了解曲线上的点与方程的 课 解之间的一一对应关系. 1.数学抽象——能通过具体的实例理解“ 标 解 2.初步理解“曲线的方程” 曲线的方程”与“方程的曲线”的概念. 读 与“方程的曲线”的概念. 2.数学运算——能掌握求动点的轨迹方程
3.初步掌握根据已知条件求 的常见方法.
曲线方程的方法.
要点一 曲线的方程与方程的曲线
点的坐标
1. 如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”会出 现什么情况？你能举例说明吗？
要点二 动点的轨迹方程
直线
圆周
2. 求动点的轨迹方程与求其轨迹有何区别？ 提示 求动点的轨迹方程得出方程即可，而求动点的轨迹在得出方程后还要 指出方程的曲线是什么图形. 3. 求轨迹方程时，根据一个已知的平面图形建立的坐标系是唯一的吗？ 提示 不是唯一的，一般以得到的曲线方程最简单为标准.
ACD
探究点二 曲线的交点
解题感悟 结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方
程组的解，所以可以把求两曲线的交点坐标的问题转化为解方程组的问题， 把讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题.如果只涉及曲线的 一部分，那么常用到数形结合的方法．
2
探究点三 求动点的轨迹方程
探究点一 曲线的方程与方程的曲线的概念的理解及应用
例 D
A.
B.
C.
D.
B
解题感悟 曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹 性；以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称 为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方 程．
高中数学 2.1.1曲线与方程学案 新人教B版选修2—1
例1.已知两定点A，B的距离为6，动点M满足条件 求点M的轨迹方程
变式：已知点Ｍ与X轴的距离和它到点Ｆ（０,４）的距离相等，求点Ｍ的轨迹方程，并研究曲线的对称性。
例２：证明与两条坐标轴的距离的积是常数K（k＞0）的点的轨迹方程是xy=±k
当堂检测
1、“曲线C上点的坐标都是f (x, y)＝0的解”是“曲线C的方程是f (x, y)＝0”的( )
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2、设圆M的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝2，直线l的方程为x＋y－3＝0，点P的坐标为(2，1)，那么( )
A．点P在直线l上，但不在圆M上B．点P在圆M上，但不在直线l上
山东省文登第一中学高中数学2.1.1曲线与方程学案新人教B版选修2—1
授课类型：新授课
学习目标
1．通过自学课本，知道曲线的方程与方程的曲线的概念．
2．通过自学课本，知道曲线交点和方程组解的关系．
3.能够根据已知条件求曲线方程，并由方程来研究曲线。
课堂内容展示
自学指导
自学课本33至34页。解决以下问题：
A.曲线C的方程是F(x,y)=0; B.方程F(x,y)=0的曲线是C;
C.坐标满足方程F(x,y)=0的点在曲线C上;
D.坐标不满足方程F（x,y)=0的点不在曲线C上.
2.已知直线l：x+y－3=0及曲线C：(x－3)2+ (y－2)2=2则点M(2，1)（）
A在直线l上，但不在曲线C上；B在直线l上，也在曲线C上；
本节反思
反思一下本节课，你收获到了什么？
(1)过点A(3，0)且垂直于x轴的直线的方程为x=3;
高中数学 2.1 曲线与方程学案 新人教B版选修21
2.1 曲线与方程1．结合已学过的曲线与方程的实例，了解曲线与方程的对应关系．(了解)2．理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．(重点)3．通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程．(难点)[基础·初探]教材整理1 曲线的方程与方程的曲线阅读教材P33～P35，完成下列问题．在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；(2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．那么，曲线C叫做方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0叫做曲线C的方程．设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C 上”是不正确的，则下列命题正确的是( )A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B．曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0【解析】本题考查命题形式的等价转换，所给命题不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故选项A、C错，选项B显然错．【答案】 D教材整理2 求曲线方程的步骤阅读教材P36～P37，完成下列问题．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小组合作型](1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．【精彩点拨】曲线上点的坐标都是方程的解吗？以方程的解为坐标的点是否都在曲线上？【自主解答】(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0，反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上．因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x ＋y ＝0.1．分析此类问题要严格按照曲线的方程与方程的曲线的定义．2．定义中有两个条件，这两个条件必须同时满足，缺一不可．条件(1)保证了曲线上所有的点都适合条件f (x ，y )＝0；条件(2)保证了适合条件的所有点都在曲线上，前者是说这样的轨迹具有纯粹性，后者是说轨迹具有完备性．两个条件同时成立说明曲线上符合条件的点既不多也不少，才能保证曲线与方程间的相互转化．[再练一题]1．已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m 在此方程表示的曲线上，求实数m 的值．【解】 (1)因为12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，所以点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．(2)因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，所以x ＝m2，y ＝－m 适合方程x 2＋(y －1)2＝10， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10. 解得m ＝2或m ＝－185.故实数m 的值为2或－185.(1)2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0； (2)(x －2)2＋y 2－4＝0.【精彩点拨】 (1)在研究形如Ax 2＋By 2＋Cx ＋Dy ＋E ＝0的方程时常采用什么方法？ (2)由两个非负数的和为零，我们会想到什么？【自主解答】 (1)对方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0.∵2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.从而方程表示的图形是一个点(1，－1)． (2)由(x －2)2＋y 2－4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.因此，原方程表示两个点(2,2)和(2，－2)．1．判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有：配方法、因式分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式，然后根据方程、等式的性质作出准确判定．2．方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常借助分类讨论的思想．[再练一题]2．方程xy 2－x 2y ＝2x 所表示的曲线( )【导学号：15460021】A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于x －y ＝0对称【解析】 同时以－x 代替x ，以－y 代替y ，方程不变， 所以方程xy 2－x 2y ＝2x 所表示的曲线关于原点对称． 【答案】 C[探究共研型]探究1 【提示】 建立坐标系的基本原则： (1)让尽量多的点落在坐标轴上；(2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴．建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等．探究2 求曲线方程时，有些点的条件比较明显，也有些点的条件要通过变形或转化才能看清，有些点的运动依赖于另外的动点，请你归纳一下求曲线方程的常用方法？【提示】一般有三种方法：一直接法；二定义法；三相关点法，又称为代入法．在解题中，我们可以根据实际题目选择最合适的方法．求解曲线方程过程中，要特别注意题目内在的限制条件．(2016·德州高二检测)在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程．【精彩点拨】(1)如何建立坐标系？(2)根据题意列出怎样的等量关系？(3)化简出的方程是否为所求轨迹方程？【自主解答】取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)，设动点C为(x，y)．由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以(x＋a2＋y2)2＋(x－a2＋y2)2＝4a2，整理得x2＋y2＝a2.由于当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a.所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．1．求曲线方程的一般步骤(1)建系设点；(2)写几何点集；(3)翻译列式；(4)化简方程；(5)查漏排杂：即证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点．2．一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程．3．没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立适当的坐标系，由于建立的坐标系不同，同一曲线在坐标系的位置不同，其对应的方程也不同，因此要建立适当的坐标系．[再练一题]3．已知一曲线在x轴上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．【解】设曲线上任一点的坐标为M(x，y)，作MB⊥x轴，B为垂足，则点M属于集合P＝{M||MA|－|MB|＝2}．由距离公式，点M适合的条件可表示为x2＋y－2－y＝2.化简得x2＝8y.∵曲线在x轴上方，∴y>0.∴(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线．∴所求曲线的方程为x2＝8y(y≠0)．[构建·体系]1．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)( ) A．在直线l上，但不在曲线C上B．在直线l上，也在曲线C上C．不在直线l上，也不在曲线C上D．不在直线l上，但在曲线C上【解析】将M(2,1)代入直线l和曲线C的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M既在直线l上，又在曲线C上．【答案】 B2．在直角坐标系中，方程|x|·y＝1的曲线是( )【解析】当x＞0时，方程为xy＝1，∴y ＞0，故在第一象限有一支图象； 当x ＜0时，方程为－xy ＝1， ∴y ＞0，故在第二象限有一支图象． 【答案】 C3．如果方程ax 2＋by 2＝4的曲线过点A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，则a ＝________，b ＝________.【答案】 4 14．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM →·PN →＝4，则点P 的轨迹方程为________.【导学号：15460022】【解析】 设点P 的坐标为P (x ，y )，由PM →·PN →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝4，得x 2＋y 2＝8，则点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝8.【答案】 x 2＋y 2＝85．设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程． 【解】 法一 如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，连接CP ，则CP ⊥OQ .OC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接MP ，则|MP |＝12|OC |＝12，得方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14.由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.法二 如图所示，由垂径定理，知∠OPC ＝90°，所以动点P 在以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上．由圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.我还有这些不足：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0与x 轴的交点坐标是( ) A ．(4,0)和(－1,0) B ．(4,0)和(－2,0) C ．(4,0)和(1,0)D ．(4,0)和(2,0)【解析】 在曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0中，令y ＝0，则x 2－3x －4＝0，∴x ＝－1或x ＝4.∴交点坐标为(－1,0)和(4,0)． 【答案】 A2．方程(x 2－4)(y 2－4)＝0表示的图形是( ) A ．两条直线 B ．四条直线 C ．两个点D ．四个点【解析】 由(x 2－4)(y 2－4)＝0得(x ＋2)(x －2)(y ＋2)·(y －2)＝0，所以x ＋2＝0或x －2＝0或y ＋2＝0或y －2＝0，表示四条直线．【答案】 B3．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是( )A ．x ＋y ＝4B ．2x ＋y ＝4C ．x ＋2y ＝4D ．x ＋2y ＝1【解析】 由OP →＝(x ，y )，OA →＝(1,2)得OP →·OA →＝(x ，y )·(1,2)＝x ＋2y ＝4，则x ＋2y ＝4即为所求的轨迹方程，故选C.【答案】 C4．方程(2x －y ＋2)·x 2＋y 2－1＝0表示的曲线是( )【导学号：15460023】A ．一个点与一条直线B ．两个点C ．两条射线或一个圆D ．两个点或一条直线或一个圆 【解析】 原方程等价于x 2＋y 2－1＝0，即x 2＋y 2＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 2＋y 2－1≥0，故选C.【答案】 C5．已知方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a ＞0)所确定的两条曲线有两个交点，则a 的取值范围是( )A ．a ＞1B ．0＜a ＜1C ．0＜a ＜1或a ＞1D ．a ∈∅【答案】 A 二、填空题6．“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程”的________条件．【解析】 “方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程 ”⇒“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，反之不成立．【答案】 必要不充分7．方程x －3·(x ＋y ＋1)＝0表示的几何图形是________________．【解析】 由方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x －3≥0，或x －3＝0，即x ＋y ＋1＝0(x ≥3)或x ＝3. 【答案】 一条射线和一条直线8．(2016·广东省华南师大附中月考)已知定点F (1,0)，动点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，且PM →·PF →＝0，延长MP 到点N ，使得|PM →|＝|PN →|，则点N 的轨迹方程是________．【解析】 由于|PM →|＝|PN →|，则P 为MN 的中点．设N (x ，y )，则M (－x,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，由PM →·PF →＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－y 2＝0，所以(－x )·1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2＝0，则y 2＝4x ，即点N 的轨迹方程是y 2＝4x .【答案】 y 2＝4x 三、解答题9．如图211，圆O 1与圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|＝4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 分别为切点)，使得|PM |＝2|PN |，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．图211【解】 以O 1O 2的中点为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，得O 1(－2,0)，O 2(2,0)． 连接PO 1，O 1M ，PO 2，O 2N . 由已知|PM |＝2|PN |，得 |PM |2＝2|PN |2，又在Rt △PO 1M 中，|PM |2＝|PO 1|2－|MO 1|2， 在Rt △PO 2N 中，|PN |2＝|PO 2|2－|NO 2|2， 即得|PO 1|2－1＝2(|PO 2|2－1)．设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]， 化简得(x －6)2＋y 2＝33.因此所求动点P 的轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33.10．△ABC 的三边长分别为|AC |＝3，|BC |＝4，|AB |＝5，点P 是△ABC 内切圆上一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2的最小值与最大值．【解】因为|AB |2＝|AC |2＋|BC |2，所以∠ACB ＝90°.以C 为原点O ，CB ，CA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，由于|AC |＝3，|BC |＝4，得C (0,0)，A (0,3)，B (4,0)．设△ABC 内切圆的圆心为(r ，r )， 由△ABC 的面积＝12×3×4＝32r ＋2r ＋52r ，得r ＝1，于是内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y －1，由(x －1)2≤1⇒0≤x ≤2.设P (x ，y )，那么|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋(y －3)2＋(x －4)2＋y 2＋x 2＋y 2＝3(x 2＋y 2)－8x －6y ＋25＝3(2x ＋2y －1)－8x －6y ＋25＝22－2x ，所以当x ＝0时，|PA |2＋|PB |2＋|PC |2取最大值为22，当x ＝2时取最小值为18.[能力提升]1．到点A (0,0)，B (－3,4)的距离之和为5的轨迹方程是( )A ．y ＝－43x (－3≤x ≤0) B ．y ＝－43x (0≤x ≤4) C ．y ＝－43x (－3≤x ≤4) D ．y ＝－43x (0≤x ≤5) 【解析】 注意到|AB |＝5，则满足到点A (0,0)，B (－3,4)的距离之和为5的点必在线段AB 上，因此，方程为y ＝－43x (－3≤x ≤0)，故选A. 【答案】 A2．(2016·河南省实验中学月考)已知动点P 到定点(1,0)和定直线x ＝3的距离之和为4，则点P 的轨迹方程为( )【导学号：15460024】A ．y 2＝4xB ．y 2＝－12(x －4)C ．y 2＝4x (x ≥3)或y 2＝－12(x －4)(x <3)D ．y 2＝4x (x ≤3)或y 2＝－12(x －4)(x >3)【解析】 设P (x ，y )，由题意得x －2＋y 2＋|x －3|＝4.若x ≤3，则y 2＝4x ；若x >3，则y 2＝－12(x －4)，故选D.【答案】 D3．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于________．【解析】 设动点P (x ，y )，依题意|PA |＝2|PB |， ∴x ＋2＋y 2＝2x －2＋y 2， 化简得(x －2)2＋y 2＝4，方程表示半径为2的圆，因此图形的面积S ＝π·22＝4π.【答案】 4π4．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．【解】 法一 设点M 的坐标为(x ，y )，∵M 为线段AB 的中点，∴A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y )．∵l 1⊥l 2，且l 1，l 2过点P (2,4)，∴PA ⊥PB ，即k PA ·k PB ＝－1，而k PA ＝4－02－2x ＝21－x(x ≠1)， k PB ＝4－2y 2－0＝2－y 1， ∴21－x ·2－y 1＝－1(x ≠1)， 整理得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,4)，∴线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程x ＋2y －5＝0.综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.法二 设点M 的坐标为(x ，y )，则A ，B 两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y )，连接PM . ∵l 1⊥l 2，∴2|PM |＝|AB |.而|PM |＝x －2＋y －2， |AB |＝x 2＋y 2， ∴2x －2＋y －2＝4x 2＋4y 2， 化简得x ＋2y －5＝0，即为所求的点M 的轨迹方程.。
人教B版高中数学选修曲线与方程的概念教案(1)(1)
2.2.1双曲线的标准方程【教学目标】:1.知识与技能掌握双曲线的定义,标准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程.2.过程与方法教材通过具体实例类比椭圆的定义,引出双曲线的定义,通过类比推导出双曲线的标准方程.3.情感、态度与价值观通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,激发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力.【教学重点】: 双曲线的定义、标准方程及其简单应用【教学难点】: 双曲线标准方程的推导【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教具】：多媒体、实物投影仪【教学过程】:一.情境设置(1)复习提问：(由一位学生口答，教师利用多媒体投影)问题 1：椭圆的定义是什么？问题 2：椭圆的标准方程是怎样的？问题3：如果把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程又是怎样的呢？(2)探究新知:(1)演示：引导学生用《几何画板》作出双曲线的图象，并利用课件进行双曲线的模拟实验，思考以下问题。
(2)设问：①|MF1|与|MF2|哪个大？②点M到F1与F2两点的距离的差怎样表示？③||MF1|-|MF2||与|F1F2|有何关系？（请学生回答：应小于|F1F2| 且大于零，当常数等于|F1F2| 时，轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当常数大于|F1F2| 时，无轨迹）二.理论建构1.双曲线的定义引导学生概括出双曲线的定义：定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于<|F1F2|）的点轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
（投影）概念中几个关键词：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于21F F ” 2.双曲线的标准方程现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导（教师使用多媒体演示）（1）建系取过焦点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系。
人教版高中选修2-12.1曲线与方程课程设计 (2)
人教版高中选修2-12.1曲线与方程课程设计本课程设计主要针对高中数学选修2中第12章1节的内容，即曲线与方程。
本章内容对于数学必修课程的学习非常有帮助，因此在本次选修课程设计中亦十分重要。
本设计将针对曲线与方程的基本概念、学习方法、实际应用等方面进行探究和学习。
第一节：基本概念1.1 曲线与方程的概念本节将介绍曲线与方程的基本概念，旨在使学生对曲线与方程的概念有更加准确的理解。
同时，本节还将简要介绍一些基本符号及其运用。
1.1.1 曲线的概念曲线是二维平面内的一条线。
数学中的曲线可用一个或多个方程来描述。
1.1.2 方程的概念方程是表示数学对象之间的平等关系的等式。
在本课程中，我们将主要学习代数方程。
1.2 常见曲线类型本节将介绍常见的曲线类型，包括直线、抛物线、非线性函数等。
通过观察曲线的形状和方程式，学生可以更好地理解曲线与方程的关系。
1.2.1 直线直线是一条无限延伸的曲线，在平面直角坐标系中可用一般式或截距式来表示。
1.2.2 抛物线抛物线是一个二次函数图像，它可以在一定范围内表示各种曲线。
在平面直角坐标系中，抛物线可用标准式或一般式表示。
1.3 曲线与方程的关系在本节中，我们将讨论曲线与方程之间的关系。
通过学习曲线和方程之间的联系，学生可以更好地理解平面直角坐标系的形式化表示。
1.3.1 坐标系中的曲线在平面直角坐标系中，曲线是由其方程所确定的点的集合。
通过理解曲线与其方程之间的关系，学生可以更好地理解坐标系中的曲线形状。
1.3.2 曲线方程的求解求解一条曲线的方程可以帮助学生更好地理解曲线的特点。
在本节中，我们将学习如何求解一条曲线的方程。
1.3.3 曲线方程的应用在实际中，曲线方程有着广泛的应用领域。
在本节中，我们将通过一些实际例子介绍曲线方程的应用。
第二节：学习方法2.1 学习曲线与方程的方法本节将介绍学习曲线与方程的方法。
通过针对不同学生群体的学习需求，本节将展示一些有效的学习方法。
人教新课标版数学高二-人教B版选修1-1学案 曲线与方程
第二章 圆锥曲线与方程§2.1.1 曲线与方程（1）1．理解曲线的方程、方程的曲线；2．求曲线的方程．3436，找出疑惑之处）复习1：画出函数22y x = (12)x -≤≤的图象．复习2：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程．二、新课导学※ 学习探究探究任务一：到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程．问题：能否写成y x =，为什么？新知：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之间，如果具有以下两个关系：1.曲线C 上的点的坐标，都是 的解；2.以方程(,)0F x y =的解为坐标的点，都是 ____________ 的点，那么，方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线．注意：1︒ 如果……，那么……；2︒ “点”与“解”的两个关系，缺一不可；3︒ 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法；4︒ 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的．试试：1. 点(1,)P a 在曲线2250x xy y +-=上，则a =_____________ ．2. 曲线220x xy by +-=上有点(1,2)Q ，则b = ___________ ．新知：根据已知条件，求出表示曲线的方程．※ 典型例题例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数(0)k k >的点的轨迹方程式是xy k =±．变式：到x 轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是50y -=吗？例2设,A B 两点的坐标分别是(1,1)--，(3,7)，求线段AB 的垂直平分线的方程．变式：已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是(0,3)A ，(2,0)B -，(2,0)C ．中线AO （O 为原点）所在直线的方程是0x =吗？为什么？反思：BC 边的中线的方程是0x =吗？小结：求曲线的方程的步骤：①建立适当的坐标系，用(,)M x y 表示曲线上的任意一点的坐标；②写出适合条件P 的点M 的集合{|()}P M p M =；③用坐标表示条件P ，列出方程(,)0f x y =；④将方程(,)0f x y =化为最简形式；⑤说明以化简后方程的解为坐标的点都在曲线上.※ 动手试试练1．下列方程的曲线分别是什么？ (1) 2x y x = (2) 222x y x x-=- (3) log a x y a =练2．离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？三、总结提升※ 学习小结1．曲线的方程、方程的曲线；2．求曲线的方程的步骤：①建系，设点；②写出点的集合；③列出方程；④化简方程；⑤验证．※ 知识拓展求轨迹方程的常用方法有：直接法，定义法，待定系数法，参数法，相关点法（代入法），※ 当堂检测1.与曲线y x =相同的曲线方程是 （ ）．A ．2x y x= B ．y =C ．y =D ．2log 2x y =2.直角坐标系中，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满足OC =αOA +βOB ，其中α，β∈R ，α+β=， 则点C 的轨迹为 （ ）A ．射线B ．直线C ．圆D ．线段 3.(1,0)A ，(0,1)B ，线段AB 的方程是（ ）．A ．10x y -+=B ．10x y -+=(01)x ≤≤C ．10x y +-=D ．10x y -+=(01)x ≤≤4.已知方程222ax by +=的曲线经过点5(0,)3A 和点(1,1)B ，则a = ，b = ． 5.已知两定点(1,0)A -，(2,0)B ，动点p 满足12PA PB =，则点p 的轨迹方程是 ．1． 点(1,2)A -，(2,3)B -，(3,10)C 是否在方程 2210x xy y -++=表示的曲线上？为什么？2 求和点(0,0)O ，(,0)A c 距离的平方差为常数c 的点的轨迹方程．。
最新人教版高中数学选修2-1第二章《曲线与方程》教学设计
曲线与方程教材分析:曲线属于“形”的范畴，方程则属于“数”的范畴，它们通过直角坐标系而联系在一起，曲线的方程是曲线几何的一种代数表示，方程的曲线则是代数的一种几何表示。
在直角坐标系中，点可由它的坐标来表示，而曲线是点的轨迹，所以曲线可用含x、y的方程来表示。
“曲线和方程”这节教材，揭示了几何中的“形”与代数中的“数”的统一，为“依形判数”和“就数论形”的相互转化奠定了扎实的基础，对解析几何教学有着深远的影响，曲线与方程的相互转化，是数学方法论上的一次飞跃。
由于曲线和方程的概念是解析几何中最基本的内容，因而学生用解析法研究几何图形的性质时，只有透彻理解曲线和方程的意义，才能算是寻得了解析几何学习的入门之径。
求曲线与方程的问题，也贯穿了这一章的始终，所以应该认识到，本节内容是解析几何的重点内容之一。
本节中提出的曲线与方程的概念，它既是对以前学过的函数及其图象、直线的方程、圆的方程等数学知识的深化，又是学习圆锥曲线的理论基础，它贯穿于研究圆锥曲线的全过程，根据曲线与方程的对应关系，通过研究方程来研究曲线的几何性质，是几何的研究实现了代数化。
数与形的有机结合，在本章中得到了充分体现。
曲线与方程学情分析：新课标强调返璞归真，努力揭示数学概念、结论的发展背景，过程和本质，揭示人们探索真理的道路。
同时结合高二学生特点，本节课在学生学习了集合和直线的方程、圆的方程知识的基础上，使学生理解数学概念、结论产生的背景和逐步形成的过程，体会孕育在其中的思想，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。
为突破曲线的方程与方程的曲线定义的难点，选择学生认知结构中与新知最邻近“直线的方程”，“ 圆的方程”入手，以集合相等，辅助理解“曲线的方程”与“方程的曲线”，进一步强化了概念理解的深刻性。
无论是判断、证明，还是求解曲线的方程，都要紧扣曲线方程的概念，即始终以是否满足概念中的两条为准则。
曲线与方程课标分析"圆锥曲线与方程"是选修课程系列1选修1-1和系列2选修2-1中的内容,其中选修1-1是为希望在人文、社会科学等方面发展的学生设置的;选修2-1是为希望在理工、经济等方面发展的学生设置的。
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第二章圆锥曲线与方程
２．１曲线与方程
２．１．１曲线与方程２．１．２求曲线的轨迹方程
一、教学目标
（一）知识教学点
使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．
（二）能力训练点
通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力．（三）学科渗透点
通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础．
二、教材分析
１．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．
（解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．）２．难点：作相关点法求动点的轨迹方法．
（解决办法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解．）
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．三、教学过程
学生探究过程：
（一）复习引入
大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：
（１）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；
（２）通过方程，研究平面曲线的性质．
我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析．
（二）几种常见求轨迹方程的方法
１．直接法
由题设所给（或通过分析图形的几何性质而得出）的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．
例１（１）求和定圆x２+y２=k２的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；
（２）过点A（a，o）作圆O∶x２+y２=R２（a＞R＞o）的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．
对（１）分析：
动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=２R或|OP|=0．
解：设动点P（x，y），则有|OP|=２R或|OP|=0．
即x２+y２=４R２或x２+y２=0．
故所求动点P的轨迹方程为x２+y２=４R２或x２+y２=0．
对（２）分析：
题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：
设弦的中点为M（x，y），连结OM，
则OM⊥AM．
∵k OM·k AM=—１，
其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧（不含端点）．
２．定义法
利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．
直平分线l交半径OQ于点P（见图２—４５），当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．
分析：
∵点P在AQ的垂直平分线上，
∴|PQ|=|PA|．
又P在半径OQ上．
∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R．
故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义
写出P点的轨迹方程．
解：连接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|．
又P在半径OQ上．
∴|PO|+|PQ|=２．
由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆．
３．相关点法
若动点P（x，y）随已知曲线上的点Q（x0，y0）的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法（或代换法）．例３已知抛物线y２=x+１，定点A（３，１）、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=１∶２，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程．
分析：
P点运动的原因是B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点B的联系．解：设点P（x，y），且设点B（x0，y0）
∵BP∶PA=１∶２，且P为线段AB的内分点．
４．待定系数法
求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．
例４已知抛物线y２=４x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲
曲线方程．
分析：
因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方
ax２—４b２x+a２b２=0
∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax２—４b２x+a２b２=0应有等根．
∴△=１66４—４Q４b２=0，即a２=２b．
（以下由学生完成）
由弦长公式得：
即a２b２=４b２—a２．
（三）巩固练习
用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果．练习题用一小黑板给出．
１．△ABC一边的两个端点是B（0，6）和C（0，—6），另两边斜率的
２．点P与一定点F（２，0）的距离和它到一定直线x=8的距离的比是１∶２，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？
３．求抛物线y２=２px（p＞0）上各点与焦点连线的中点的轨迹方程．
答案：
义法）
由中点坐标公式得：
（四）、教学反思
求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍．
五、布置作业
１．两定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为２6，求点M的轨迹方程．
２．动点P到点F１（１，0）的距离比它到F２（３，0）的距离少２，求P点的轨迹．
３．已知圆x２+y２=４上有定点A（２，0），过定点A作弦AB，并延长到点P，使３|AB|=２|AB|，求动点P的轨迹方程．作业答案：
１．以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x２+y２=４
２．∵|PF２|—|PF|=２，且|F１F２|∴P点只能在x轴上且x＜１，轨迹是一条射线
六、板书设计。