AA第一讲 集合的概念及运算

第一讲集合的概念及运算考点解读【基础性考点知识突破】一、集合的含义及表示方法1．元素与集合的含义一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合．构成集合的元素除了常见的数、式、点等数学对象之外，还可以是其他任何对象．2．集合中元素的性质集合中元素的特征：确定性、互异性和无序性．(1)任何一个对象都能确定它是不是某一集合的元素，这是集合的最基本特征．(2)集合中的任何两个元素都是不同的对象，即在同一集合里不能重复出现相同元素．(3)在同一集合里，通常不考虑元素之间的顺序．3．集合的表示集合的表示有三种方法，分别是列举法、描述法和Venn图法．一般地，表示有限集合常用列举法；表示无限集合常用描述法；描述抽象集合常用Venn图法．正确认识一个集合的关键是理解集合中的元素特征．4．元素与集合的关系“属于”或“不属于”，记为“”或“∉”．二、集合与集合之间的关系1．集合与集合之间的关系(1)包含关系子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A，显然A⊆A，∅⊆A.(2)相等关系如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，反过来，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素，那么就说集合A等于集合B，记作A=B.对于两个集合A与B，如果A⊆B，同时B⊆A，那么集合A与集合B相等，记作A=B．(3)真子集关系对于两个集合A 与B ，若A ⊆B ，且A ≠B ，则集合A 是集合B 的真子集，记作A B 或B A .显然有下面的结论：①对于集合A 、B 、C ，如果A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；②对于集合A 、B 、C ，如果AB ，BC ，则A C ．(4)不包含关系 用表示2．空集不含任何元素的集合叫做空集，记作∅．空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集．3．有限集的子集、真子集的个数关于有限集的子集个数有下列结论：若有限集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集的个数有2n 个，即02C C C 2n n n n n ++⋅⋅⋅+=（个），非空子集的个数有（21n -）个；真子集的个数有（21n -）个；非空真子集的个数有（22n-）个，三、集合的交、并、补集的运算1．交集(1)定义：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A ∩B ，A ∩B ={x |x ∈A 且x ∈B }.(2)性质：A ∩A =A ；A ∩B =B ∩A (交换律)； A ∩∅=∅；(A ∩B )⊆A ；(A ∩B )⊆B ；若A ⊆B ，则A ∩B =A ．2．并集(1)定义：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A ∪B ，A ∪B ={x |x ∈A 或x ∈B }.(2)性质：A ∪A =A ；A ∪B =B ∪A (交换律)；A ∪∅=A ；A ⊆(A ∪B )；B ⊆(A ∪B )；若A ⊆B ，则A ∪B =B ．3．补集(1)定义：在研究某一集合问题的过程中，所有集合都是一个给定集合的子集，这个给定的集合就称为全集，记作U ．设A ⊆U ，由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 在集合U 中的补集，记作U A ð，即U A ð={x |x ∈U 且x ∉A }（如图）．(2)性质：A ∪(U A ð)=U ；A ∩(U A ð)=∅，U ð(U A ð)=A ，U ∅ð=U , U U ð=∅．4．集合运算中常用的结论(1)U ð(A ∩B )=(U A ð)∪(U B ð)，U ð(A ∪B )=(U A ð)∩(U B ð)(2)A ⊆B ⇔A ∩B =A ；A ⊆B ⇔A ∪B =B .【培优性方法技巧综合】1．在处理有关集合的问题时首先确定集合中的元素是点集还是数集，然后明确集合中的元素所满足的条件，理解并正确掌握集合的相关术语及符号表示是解决集合问题的关键．2．判断两集合间的关系①化简集合，从表达式中寻求两集合间的关系；②用列举法表示两集合，从元素中寻求关系．3．根据两集合的关系求参数的方法①若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性；②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到．【提示】①题目中若有条件B ⊆A ，则应分B =∅和B ≠∅两种情况进行讨论． ②已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn 图帮助分析．③两集合之间的关系与运算可以相互转化，即A B AB B A B B ⊆⇔=⇔=． 4．应当考虑空集的几种情况：在⊆A B ，AB ，=A B A ，=A B B ，都应当考虑到=∅A 时的情况．5．要注意表示集合的语言、文字、符号、图形的沟通与转化，对于某些集合运算的问题，文字描述较为抽象，可借助于Venn 图及坐标轴，利用几何图形的直观性，以“形”助“数”．同时加强与其他章节的渗透，在复习中要控制难度．考点分类精讲考点1 集合的概念1．集合概念的准确理解．2．集合的表示方法的准确把握与灵活运用．3．集合中元素的性质的灵活运用．【例1】集合{0,2,}A a =，2{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B =，则a 的值为A ．0B ．1C ．2D ．4点拨：解决集合的有关问题，首先要明确集合元素的构成形式；其次要注意集合元素性质（即元素的三性：确定性、互异性、无序性）的灵活运用，它既是解决有些题的切入点，也是问题解决之前的检验点．【例2】若集合2{|320}A x R ax x =∈-+=中只有一个元素，则a ＝( )A ．92B ．98C ．0D ．0或98 点拨：由于方程的不定性导致求解过程用了分类讨论思想．考点2 集合之间的关系1．集合间的相等、子集、真子集关系的确定．2．已知集合的包含关系，确定有关参数的取值范围．3．求有关集合的子集的个数．【例3】已知集合1{|,}6A x x a a Z ==+∈，1{|,}23b B x x b Z ==-∈，{|2c C x x == 1,}6c Z +∈，则A ，B ，C 之间的关系 A ．A =B C B ．A B =C C ．A B C D ．B C =A点拨：辨析集合之间的关系应该从集合中元素的特点入手，可将元素列举出来直观分析，也可从描述法中认识集合中元素具备的特性，定性分析，以上两种思想是解决此类问题的通法，应根据问题的具体情况合理选择．【例4】集合{,,,,}S a b c d e =，包含{,}a b 的S 的子集共有( ).A ．2个B ．3个C ．5个D ．8个点拨：解决集合的子集的个数的问题，应注意利用排列组合知识，特别是两个基本计数原理来分析解决问题．考点3 集合的运算1．进行具体集合的交、并、补运算．2．利用集合的运算性质解决问题．3．与集合运算有关的开放性问题．【例5】已知集合{||2|}A x x a =-≤，2{|540}B x x x =-+≥．若A B =∅，求实数a 的取值范围．点拨：解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式（或方程）时，要对参数进行分类讨论，分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．【例6】设全集I R =，已知集合2{|(3)0}M x x =+≤，2{|60}N x x x =+-=．(1)求()I M N ð；(2)记集合A ＝()I M N ð，已知集合{|15,}B x a x a a R =--∈≤≤，若 B A A =，求实数a 的取值范围．点拨：BA A =时，B =∅的情况． 考点4 集合的综合运用1．集合运算的逆向问题．2．集合与函数、方程、不等式的综合问题．3．集合的开放问题与实际应用问题．【例7】已知{|(1,0)(0,1),}P m m R ==+∈a a ，{|(1,1)(1,1),}Q n n R ==+-∈b b 是两个向量集合，则P Q =IA ．{(1,1)}B ．{(1,1)}-C ．{(1,0)}D ．{(0,1)}点拨：解答集合的运算类试题必须彻底弄清楚参与运算的集合的意义，即参与运算的集合是由哪些元素组成的，不然就会得出错误的答案，本题这样设计还不至于有多大问题，如果本题中集合Q 改为{|(1,1)(1,1),}Q m m R ==+-∈b b ，就可能出现得到的方程组是111m m m =-⎧⎨=+⎩，而这个方程组无解，就可能认为P Q =∅，这就是没有理解集合的意义所致，实际上本题中的集合P ，Q 都可以看做坐标平面上的点集，集合P 是直线1x =上的点的集合，集合Q 是直线2x y +=上的点的集合，所求的交集就是这两条直线的交点坐标．【例8】某试验班有21个学生参加数学竞赛，17个学生参加物理竞赛，10个学生参加化学竞赛，他们之间既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，问需要预订多少张火车票？点拨：解决有些集合问题，若充分利用Venn 图，可以使有些问题得到快速地解决．【例9】定义集合运算:{},,A B z z xy x A y B *==∈∈．设{}1,2A =，{}0,2B =，则集合A B *的所有元素之和为A ．0B ．2C ．3D ．6点拨：本题是属于创新型的概念理解题，准确地理解A B *是解决本题的关键所在，并且又考查了集合元素的互异性，因此要准确理解集合含义，明确题目所要解决的问题，才能使问题得以解决，从而培养学生分析问题、解决问题的能力． 本专题试题训练详见《试题精练》。