AA第一讲 集合的概念及运算

第一讲集合的概念及运算

考点解读

【基础性考点知识突破】

一、集合的含义及表示方法

1．元素与集合的含义

一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合．

构成集合的元素除了常见的数、式、点等数学对象之外，还可以是其他任何对象．2．集合中元素的性质

集合中元素的特征：确定性、互异性和无序性．

(1)任何一个对象都能确定它是不是某一集合的元素，这是集合的最基本特征．

(2)集合中的任何两个元素都是不同的对象，即在同一集合里不能重复出现相同元素．

(3)在同一集合里，通常不考虑元素之间的顺序．

3．集合的表示

集合的表示有三种方法，分别是列举法、描述法和Venn图法．一般地，表示有限集合常用列举法；表示无限集合常用描述法；描述抽象集合常用Venn图法．正确认识一个集合的关键是理解集合中的元素特征．

4．元素与集合的关系

“属于”或“不属于”，记为“”或“∉”．

二、集合与集合之间的关系

1．集合与集合之间的关系

(1)包含关系

子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A，显然A⊆A，∅⊆A.

(2)相等关系

如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，反过来，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素，那么就说集合A等于集合B，记作A=B.

对于两个集合A与B，如果A⊆B，同时B⊆A，那么集合A与集合B相等，记作A=B．

(3)真子集关系

对于两个集合A 与B ，若A ⊆B ，且A ≠B ，则集合A 是集合B 的真子集，记作A B 或B A .显然有下面的结论：

①对于集合A 、B 、C ，如果A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；

②对于集合A 、B 、C ，如果A

B ，B

C ，则A C ．

(4)不包含关系 用表示

2．空集

不含任何元素的集合叫做空集，记作∅．

空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集．

3．有限集的子集、真子集的个数

关于有限集的子集个数有下列结论：若有限集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集的

个数有2n 个，即02C C C 2n n n n n ++⋅⋅⋅+=（个），非空子集的个数有（21n -）个；真子集的个数有（21n -）个；非空真子集的个数有（22n

-）个，

三、集合的交、并、补集的运算

1．交集

(1)定义：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A ∩B ，A ∩B ={x |x ∈A 且x ∈B }.

(2)性质：A ∩A =A ；A ∩B =B ∩A (交换律)； A ∩∅=∅；(A ∩B )⊆A ；(A ∩B )⊆B ；

若A ⊆B ，则A ∩B =A ．

2．并集

(1)定义：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A ∪B ，A ∪B ={x |x ∈A 或x ∈B }.

(2)性质：A ∪A =A ；A ∪B =B ∪A (交换律)；

A ∪∅=A ；A ⊆(A ∪

B )；B ⊆(A ∪B )；

若A ⊆B ，则A ∪B =B ．

3．补集

(1)定义：在研究某一集合问题的过程中，所有集合都是一个给定集合的子集，这个给

定的集合就称为全集，记作U ．设A ⊆U ，由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 在集合U 中的补集，记作U A ð，即U A ð={x |x ∈U 且x ∉A }（如图）．

(2)性质：A ∪(U A ð)=U ；A ∩(U A ð)=∅，U ð(U A ð)=A ，U ∅ð=U , U U ð=∅．

4．集合运算中常用的结论

(1)U ð(A ∩B )=(U A ð)∪(U B ð)，U ð(A ∪B )=(U A ð)∩(U B ð)

(2)A ⊆B ⇔A ∩B =A ；A ⊆B ⇔A ∪B =B .

【培优性方法技巧综合】

1．在处理有关集合的问题时首先确定集合中的元素是点集还是数集，然后明确集合中的元素所满足的条件，理解并正确掌握集合的相关术语及符号表示是解决集合问题的关键．

2．判断两集合间的关系

①化简集合，从表达式中寻求两集合间的关系；

②用列举法表示两集合，从元素中寻求关系．

3．根据两集合的关系求参数的方法

①若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性；

②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到．

【提示】①题目中若有条件B ⊆A ，则应分B =∅和B ≠∅两种情况进行讨论． ②已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn 图帮助分析．

③两集合之间的关系与运算可以相互转化，即A B A

B B A B B ⊆⇔=⇔=． 4．应当考虑空集的几种情况：在⊆A B ，A

B ，=A B A ，=A B B ，都应当

考虑到=∅A 时的情况．

5．要注意表示集合的语言、文字、符号、图形的沟通与转化，对于某些集合运算的问题，文字描述较为抽象，可借助于Venn 图及坐标轴，利用几何图形的直观性，以“形”助

“数”．同时加强与其他章节的渗透，在复习中要控制难度．

考点分类精讲

考点1 集合的概念

1．集合概念的准确理解．

2．集合的表示方法的准确把握与灵活运用．

3．集合中元素的性质的灵活运用．

【例1】集合{0,2,}A a =，2{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B =，则a 的值为

A ．0

B ．1

C ．2

D ．4

点拨：解决集合的有关问题，首先要明确集合元素的构成形式；其次要注意集合元素性质（即元素的三性：确定性、互异性、无序性）的灵活运用，它既是解决有些题的切入点，也是问题解决之前的检验点．

【例2】若集合2{|320}A x R ax x =∈-+=中只有一个元素，则a ＝( )

A ．92

B ．98

C ．0

D ．0或98 点拨：由于方程的不定性导致求解过程用了分类讨论思想．

考点2 集合之间的关系

1．集合间的相等、子集、真子集关系的确定．

2．已知集合的包含关系，确定有关参数的取值范围．

3．求有关集合的子集的个数．

【例3】已知集合1{|,}6A x x a a Z ==+∈，1{|,}23b B x x b Z ==-∈，{|2

c C x x == 1,}6

c Z +∈，则A ，B ，C 之间的关系 A ．A =B C B ．A B =C C ．A B C D ．B C =A

点拨：辨析集合之间的关系应该从集合中元素的特点入手，可将元素列举出来直观分析，也可从描述法中认识集合中元素具备的特性，定性分析，以上两种思想是解决此类问题的通法，应根据问题的具体情况合理选择．

【例4】集合{,,,,}S a b c d e =，包含{,}a b 的S 的子集共有( ).

A ．2个

B ．3个

C ．5个

D ．8个

点拨：解决集合的子集的个数的问题，应注意利用排列组合知识，特别是两个基本计数