《计算方法》第三章 线性方程组的解法

) )
+0.72 +0.83
x3(k
+1)
=0.2x1(k
)
+0.2x2(k
)
+0.84
取迭代初值
x(0) 1
x(0) 2
x(0) 3
0
10
迭代结果如下表：
迭代次数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
x1 0
0.72 0.971 1.057 1.08535 1.095098 1.098338 1.099442 1.099811 1.099936 1.099979 1.099993 1.099998 1.099999
x(k1) Bx(k ) f
其中，B称为迭代矩阵。其计算精度可控，特别 适用于求解系数为大型稀疏矩阵(sparse matrices)的 方程组。
6
AX b
x(k1) Bx(k ) f 问题: (a) 如何建立迭代格式？ (b) 向量序列{ x(k) }是否收敛以及收敛条件?
7
2 例题分析:
B
f
Jacobi 迭代阵
x(k1) D1(L U )x(k) D1b
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§3.2 高斯-塞德尔迭代法 (AX=b)
注意到利用Jacobi迭代公式计算xi(k1) 时，已经计算好了
x ( k 1) 1
,
x ( k 1) 2
,
, x(k1) i 1
的值，而Jacobi迭代公式并不利用这些最新的近似值计算，
3
§3.0 引 言
分类： 线性方程组的解法可分为直接法和迭代法两种方法。
(a) 直接法： 对于给定的方程组，在没有舍入误差的假设下， 能在预定的运算次数内求得精确解。最基本的直接法是 Gauss消去法，重要的直接法全都受到Gauss消去法的启发。 计算代价高.
(b) 迭代法：基于一定的递推格式，产生逼近方程组精确解的 近似序列.收敛性是其为迭代法的前提，此外，存在收敛速 度与误差估计问题。简单实用, 诱人。
3.1Jacobi迭代法
(1)
其准确解为X*={1.1, 1.2, 1.3}。
建立与式(1)相等价的形式：
x1 0.1x2 0.2x3 0.72
x2
0.1x1
0.2 x3
0.83
(2)
x3 0.2x1 0.2x2 0.84
9
2 例题分析:
考虑解方程组
10x1 x2 2x3 7.2 x1 10x2 2x3 8.3 x1 x2 5x3 4.2
4
§3.1 雅可比Jacobi迭代法 (AX=b)
➢ 一、迭代法的基本思想 ➢ 二、例题分析 ➢ 三、 Jacobi迭代公式
5
§3.1 雅可比Jacobi迭代法 (AX=b)
迭代法的基本思想 与解f (x)=0 的不动点迭代相类似，将AX=b改写
为X=BX+f 的形式，建立雅可比方法的迭代格式：
1.3 1.3
11
§3.1 Jacobi迭代公式
设方程组 AX=b , 通过分离变量的过程建立
Jacobi迭代公式，即
n
aij x j bi , aii 0 (i 1, 2, , n)
i 1
xi
1 aii
(bi
n
aij x j )
j 1
(i 1, 2,
, n)
Hale Waihona Puke Baidu
ji
由此我们可以得到 Jacobi 迭代公式：
考虑解方程组
3.1Jacobi迭代法
10x1 x2 2x3 7.2 x1 10x2 2x3 8.3 (1) x1 x2 5x3 4.2
其准确解为X*={ 1.1, 1.2, 1.3 }。
8
2 例题分析:
考虑解方程组
10x1 x2 2x3 7.2 x1 10x2 2x3 8.3 x1 x2 5x3 4.2
计算方法
第三章 线性方程组的解法
计算方法课程组
华中科技大学数学与统计学院
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§3 线性方程组的解法
§3.0 引言 §3.1 雅可比（Jacobi）迭代法 §3.2 高斯—塞德尔迭代法 §3.3 超松驰迭代法 §3.4 迭代法的收敛性
§3.5 高斯消元法 §3.6 高斯列元素消去法 §3.7 三角分解法 §3.8 追赶法 §3.9 其它应用 §3.10 误差分析
1.1 1.1
x2 0
0.83 1.07 1.1571 1.18534 1.195099 1.198337 1.199442 1.199811 1.199936 1.199979 1.199993 1.199998 1.199999
1.2 1.2
x3 0
0.84 1.15 1.2482 1.28282 1.294138 1.298039 1.299335 1.299777 1.299924 1.299975 1.299991 1.299997 1.299999
建立与式(1)相等价的形式：
x1 0.1x2 0.2x3 0.72
x2
0.1x1
0.2 x3
0.83
x3
0.2 x1
0.2 x2
0.84
其准确解为X*={1.1, 1.2, 1.3}。
据此建立迭代公式：
x1(k x2(k
+1) +1)
=0.1x2(k =0.1x1(k
) )
+0.2x3(k +0.2x3(k
x1
1 a11
x2
1 a22
a12 x2 ... a1n xn b1 a21 x1 ... a2n xn b2
... ... ... ...
xn
1 ann
an1 x1 ... ann1 xn1 bn
写成矩阵形式：
A=
U
D
L
Ax b (D L U )x b
Dx (L U )x b x D1(L U )x D1b
x ( k 1) i
1 aii
(bi
n
aij xik )
j1
(i 1, 2,
, n)
ji
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➢ 雅可比迭代法的矩阵表示
a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a21 x1 ... ...
a22 ...
x2 ...
...
a2n
xn
b2
aii 0
an1 x1 an2 x2 ... ann xn bn
2
§3.0 引 言
重要性：解线性代数方程组的有效方法在计算数学和
科学计算中具有特殊的地位和作用。如弹性力学、电
路分析、热传导和振动、以及社会科学及定量分析商
业经济中的各种问题。
求解线性方程组 Ax的求b 解方法，其中
，A 。 Rnn x, b Rn
假设 A非奇异，则方程组有唯一解.
x* (x1*, x2*, , xn* )T