正余弦定理高考真题.doc
正弦余弦历年高考题附详细标准答案.docx
正余弦定理1.在AABC中，A>3是sinA>sin3地（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件r2、已知关于x地方程X2 -xcos A cosB + 2 sin2— = 0地两根之和等于两根之积地一半, 2则AA5C一定是（）（A）直角三角形（B）钝角三角形（C）等腰三角形（D）等边三角形.3、已知a,b,c分别是地三个内角A, B.C所对地边，若a=l,b=J^, A+C=2B,则sinC=.4、如图，在ZkABC 中，若b = 1, c = ZC = —,则a=.35、在MSC中，角A,B,C所对地边分别为a, b, c,若。
=很，人=2 , sinB + cosB =扼，则角A地大小为.6、在AABC 中，a,b,c分别为角A,B,C地对边，且4 sin2- cos 2 A =-2 2（1）求/A地度数（2）若a =也,b + c = 3,求人和c地值7,在中已知acosB=bcosA,试判断地形状.8、如图，在中，巳知a =后,b = 41, B=45。
求A、C及c.C'1、解：在AABC中，A> B >Z? v>2AsinA> 2Asin3 v>sinA> sin3,因此，选C .1「 i _ ms C2、【答案】由题意可知：cosAcosB = --2 sm--=从而2 2 22 cos A cos B = 1 + cos(A + 3) = 1 + cos A cos B - sin Asin Bcos Acos B + sin Asin B = 1, cos(A-B) = 1 又因为一兀 < A—B<i所以A-B = O,所以即C一定是等腰三角形选C3、【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中地应用.【思路点拨】由己知条件求出3、A地大小，求出C,从而求出sin C.【规范解答】由A+C=2B及A+3 + C = 180°得3 = 60。
-正弦定理和余弦定理高考题
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考点16 正弦定理和余弦定理一、选择题1.（2011·浙江高考文科·Ｔ5）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=（ ）(A)-12 (B)12(C)-1 (D)1 【思路点拨】用正弦定理统一到角的关系上,再用同角三角函数的平方关系即可解决. 【精讲精析】选D.由cos sin a A b B =可得2sin cos sin A A B =所以222sin cos cos sin cos 1A A B B B +=+=．二、填空题2.（2011·安徽高考理科·Ｔ14）已知ABC ∆ 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_______________.【思路点拨】设三角形一边的长为x ，可以用x 表示其他两边，再利用余弦定理建立方程求出x ，最后利用三角形面积公式求出ABC ∆的面积.【精讲精析】设三角形中间边长为x ，则另两边的长为x-4,x+4,那么所以解得）（,10,120cos )4(2)4(4222=---+=+x x x x x x .315120sin 61021=⨯⨯⨯=∆ ABC S 【答案】1533.（2011·福建卷理科·Ｔ14）如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC=23，点D 在BC 边上，∠ADC=45°，则AD 的长度等于______. 【思路点拨】结合图形，∆∠∠ABC 先在中，由余弦定理解出C 与B ，ABD ∆然后在中，由正弦定理解得AD.【精讲精析】在ABC ∆中，由余弦定理易得2223cos 22223AC BC AB C AC BC +-===⋅⋅⨯⨯30,30.C B ABD ∴∠=︒∴∠=︒∆在中，, 2.1sin sin 22AD AB AD AD B ADB =∴∴=∠由正弦定理得： 24.（2011·福建卷文科·Ｔ14）若△ABC 的面积为3，BC =2，C=︒60，则边AB 的长度等于_____________. 【思路点拨】3求得AC ，然后再用余弦定理求得AB . 【精讲精析】在ABC ∆中，由面积公式得11sin 2sin 6022S BC CA C AC =⋅⋅=⨯⋅⋅︒ 33,2,AC AC =再由余弦定理，得： 222221+2cos 2222242AB BC AC AC BC C -⋅⋅=+-⨯⨯⨯=＝，2AB ∴=. 【答案】25.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ16） 在ABC 中，60,3B AC ==2AB BC +的最大值为 .【思路点拨】利用三角函数知识，化简2AB BC +，统一角变量，然后求最大值. 【精讲精析】 令AB c =，BC a =，则由正弦定理得32,sin sin sin 3a c ACA C B====2sin ,2sin ,c C a A ∴==且120A C +=︒， 222sin 4sin AB BC c a C A ∴+=+=+2sin 4sin(120)C C =+︒-＝2sin C +314(sin )4sin 232C C C C +=+7+)C ϕ=(其中3tan )ϕ= ∴当90C ϕ+=︒时，2AB BC +取最大值为7.【答案】76.（2011·新课标全国文科·Ｔ15）△ABC 中，B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC 的面积为________. 【思路点拨】用余弦定理求得边BC 的值，由1sin 2ABC S AB BC B ∆⨯⨯＝求得三角形的面积. 【精讲精析】设,,AB c BC a AC b ===，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得21492525()2a a =+-⨯⨯-，解得3a =，11sin 35sin12022ABC S ac B ∆∴==⨯⨯⨯︒153= 【答案】15347.（2011·北京高考理科·T9）在ABC ∆中，若5,,tan 24b B A π=∠==，则sin A = ；a = . 【思路点拨】先利用切化弦和平方关系联立解出sinA ，再由正弦定理求出a. 【精讲精析】22sin sin tan 2,cos ,sin ()1,22A A A A A =∴=∴+= 25(0,),sin 5A A π∈∴=又.252=，所以10a =252108.（2011·北京高考文科·T9）在ABC ∆中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = . 【思路点拨】利用正弦定理求出a . 【精讲精析】由正弦定理得，1232a =，所以523a =. 【答案】523三、解答题2.（2011·安徽高考文科·Ｔ16）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角 A ，B ，C 所对的边长，3，212cos()0B C ++=，求cosB.【思路点拨】化简12cos()0B C ++=，求出sinA,cosA,再由正弦定理算出sinB,cosC,从而得到sinC,则h=bsinC.【精讲精析】由12cos()0B C ++=和B+C=π-A,得,23sin ,21cos ,0cos 21===-A A A再由正弦定理得，.22sin sin ==a Ab B由b<a ，知B<A,所以B 不是最大角，2π<B ，从而22sin 1cos 2=-=B B . 由上述结果知).2123(22)sin(sin +=+=B A C 设边BC 上的高为h,则有.213sin +==C b h 10.（2011·辽宁高考文科·Ｔ17）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，a Ab B A a 2cos sin sin 2=+．（1）求b a.（2）若c 2=b 23a 2，求B ． 【思路点拨】（1）依据正弦定理，先边化角，然后再角化边，即得．（2）先结合余弦定理和已知条件求出B cos 的表达式，再利用第（1）题的结论进行化简即得．【精讲精析】（1）由正弦定理得，A A B B A sin 2cos sin sin sin 22=+，即A A AB sin 2)cos (sin sin 22=+．故A B sin 2sin =，所以2=ab（2）由余弦定理和2223a b c +=，得caB 2)31(cos +=． 由（1）知222a b =，故22)32(a c +=．可得=B 2cos 21，又0cos >B ，故=B cos 22，所以B 45=︒．11.（2011·山东高考理科·Ｔ17）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A-2cosC 2c-a=cos B b. （Ⅰ）求sin sin CA的值； （Ⅱ）若cosB=14，b=2, 求△ABC 的面积S.【思路点拨】（Ⅰ）本题可由正弦定理直接转化已知式子，然后再由和角公式及诱导公式易知sin sin CA=2. （Ⅱ）使用余弦定理及第一问结论易知a 和c 的值，然后利用面积公式求解. 【精讲精析】（Ⅰ）在ABC ∆中，由cos 2cos 2cos A C c aB b--=及正弦定理可得 cos 2cos 2sin sin cos sin A C C AB B--=， 即cos sin 2cos sin 2sin cos sin cos -=-A B C B C B A B 则cos sin sin cos 2sin cos 2cos sin +=+A B A B C B C Bsin()2sin()A B C B +=+，而A B C π++=，则sin 2sin C A =，即sin 2sin CA=. 另解：在ABC ∆中，由cos 2cos 2cos A C c aB b--=可得 cos 2cos 2cos cos b A b C c B a B -=-由余弦定理可得22222222222222b c a a b c a c b a c b c a a c+-+-+-+--=-，整理可得2c a =，由正弦定理可得sin 2sin C cA a==. （Ⅱ）由2c a =及1cos ,24B b ==可得 22222242cos 44,c a ac B a a a a =+-=+-=则1a =，2c =，S 21115sin 121cos 22ac B B ==⨯⨯-=，即15S =12.（2011·山东高考文科·Ｔ17）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A-2cosC 2c-a=cos B b. （1）求sin sin CA的值. （2）若cos B =14，5b ABC 的周长为，求的长.【思路点拨】（1）本题可由正弦定理直接转化已知式子，然后再由和角公式及诱导公式易知sin sin CA=2. （2）由周长得出，a 和b 之间的关系b=5-3a ，再将b=5-3a 代入余弦定理求得a 和b. 【精讲精析】(1)由正弦定理得2sin ,a R A =2sin ,b R B =2sin ,c R C = 所以cos A-2cosC 2c-a =cos B b =2sin sin sin C AB-, 即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-, 即有sin()2sin()A B B C +=+,即sin 2sin C A =,所以sin sin CA=2. (2)由(1)知sin sin CA=2,所以有2c a =,即c=2a,又因为ABC ∆的周长为5,所以b=5-3a, 由余弦定理得：2222cos b c a ac B =+-， 即22221(53)(2)44a a a a -=+-⨯，解得a=1，a=5(舍去) 所以b=2.13.（2011·湖南高考理科·T17）和（2011·湖南高考文科·T17）相同 在中，ABC ∆角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，且满足csin A=acos C. （1）求角C 的大小. （2）求)4cos(sin 3π+-B A 的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小.【思路点拨】本题主要考查利用正弦定理消边，再考查三角恒等变形.突出考查边角的转化思想的使用.边角共存的关系中常考虑消去边或消去角，如果考虑消边，如果是边的一次函数常用正弦定理，如果是边的二次函数常用余弦定理，在考查余弦定理时兼顾考查凑配.如果考虑消角，那么是余弦就用余弦定理，而如果是正弦定理必须等次才能使用.【精讲精析】（1）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =因为0,A π<<所以sin 0.sin cos .cos 0,tan 1,4A C C C C C π>=≠==从而又所以则（2）由（1）知3.4B A π=-于是 3cos()3cos()43cos 2sin().63110,,,,46612623A B A A A A A A A A A ππππππππππ-+=--=+=+<<∴<+<+==从而当即时2sin()6A π+取得最大值2．3cos()4A B π-+的最大值为2，此时5,.312A B ππ==14.（2011·陕西高考理科·T18） 叙述并证明余弦定理．【思路点拨】本题是课本公式、定理、性质的推导，这是高考考查的常规方向和考点，引导考生回归课本，重视基础知识的学习和巩固．【精讲精析】余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边和它们夹角的余弦之积的两倍.即在△ABC 中，,,a b c 分别为角A ，B ，C 的对边，则有2222cos a b c bc A =+-， 2222cos b c a ca B =+-， 2222cos c a b ab C =+-.证法一 如图，22a BC =()()=--AC AB AC AB222AC AC AB AB =-•+222cos AC AC AB A AB =-•+222cos b bc A c =-+即2222cos a b c bc A =+- 同理可证2222cos b c a ca B =+-， 2222cos c a b ab C =+- 证法二 已知ABC ∆中，角,,A B C 所对边 分别为,,,a b c ，以A 为原点，AB 所在 直线为x 轴建立如图所示的直角坐标系，则(cos ,sin ),(,0)C b A b A B c ，∴222222222||(cos )(sin )cos 2cos sin a BC b A c b A b A bc A c b A ==-+=-++222cos b c bc A =+-，即2222cos a b c bc A =+- 同理可证2222cos b c a ca B =+-，2222cos c a b ab C =+-.15.（2011·天津高考文科·Ｔ16）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,23.B C b a（Ⅰ）求cos A 的值. （Ⅱ）cos(2)4+A π的值.【思路点拨】（Ⅰ）根据余弦定理求解.（Ⅱ）利用三角函数的两角和、倍角公式化简计算. 【精讲精析】（Ⅰ）由3,23,2BC b a c ba 可得所以22222233144cos .23332+-+-===⨯⨯a a a b c a A bc a a（Ⅱ）因为1cos ,(0,)3=∈A A π，所以222sin 1cos 3A A2742cos 22cos 1.sin 22sin cos .99A A A A A 故所以 72422872cos 2cos 2cos sin 2sin 444929218+⎛⎫⎛⎫+=-=-⨯-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A A πππ16.（2011·浙江高考理科·Ｔ18）在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a,b,c. 已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且214ac b =. (1)当5,14p b ==时，求,a c 的值. (2)若角B 为锐角，求p 的取值范围.【思路点拨】（1)把题目中的条件用正弦定理化为边的关系,可联立方程组解出a,c 的值.（２）角B 为锐角的充要条件为0cos 1B <<，从而得出p 的取值范围．本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力. 【精讲精析】由题意得a c pb +=,214ac b =(1) 当5,14p b ==时，54a c +=,14ac =解得114114=⎧⎧=⎪⎪⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩a c a c 或; (2)()2222222222222cos 23(0,1)222b p b b ac ac b a c b B p b ac ac--+--+-====-∈ ∴2322p <<,又由a c pb +=可得0,p >所以622<<p 关闭Word 文档返回原板块。
高考正弦定理和余弦定理练习题及答案
高考正弦定理和余弦定理练习题及答案一、选择题1. 已知△ABC中,a＝c＝2,A＝30°,则b＝A. 错误!B. 2错误!C. 3错误!D. 错误!＋1答案：B解析：∵a＝c＝2,∴A＝C＝30°,∴B＝120°.由余弦定理可得b＝2错误!.2. △ABC中,a＝错误!,b＝错误!,sin B＝错误!,则符合条件的三角形有A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个答案：B解析：∵a sin B＝错误!,∴a sin B<b＝错误!<a＝错误!,∴符合条件的三角形有2个．3．2010·天津卷在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a2－b2＝错误! bc,sin C＝2错误!sin B,则A＝A．30° B．60°C．120° D．150°答案：A解析：利用正弦定理,sin C＝2错误!sin B可化为c＝2错误!b.又∵a2－b2＝错误!bc,∴a2－b2＝错误!b×2错误!b＝6b2,即a2＝7b2,a＝错误!b.在△ABC中,cos A＝错误!＝错误!＝错误!,∴A＝30°.4．2010·湖南卷在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若∠C＝120°,c＝错误!a,则A．a>b B．a<bC．a＝b D．a与b的大小关系不能确定答案：A解析：由正弦定理,得错误!＝错误!,∴sin A＝错误!＝错误!>错误!.∴A>30°.∴B＝180°－120°－A<30°.∴a>b.5. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为A. 错误!B. 错误!C. 错误!D. 错误!答案：D解析：方法一：设三角形的底边长为a,则周长为5a,∴腰长为2a,由余弦定理知cosα＝错误!＝错误!.方法二：如图,过点A作AD⊥BC于点D,则AC＝2a,CD＝错误!,∴sin错误!＝错误!,∴cosα＝1－2sin2错误!＝1－2×错误!＝错误!.6. 2010·泉州模拟△ABC中,AB＝错误!,AC＝1,∠B＝30°,则△ABC的面积等于A. 错误!B. 错误!C. 错误!或错误!D. 错误!或错误!答案：D解析：∵错误!＝错误!,∴sin C＝错误!·sin30°＝错误!.∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时,A＝90°,S△ABC＝错误!×1×错误!＝错误!,当C＝120°时,A＝30°,S△ABC＝错误!×1×错误!sin30°＝错误!.即△ABC的面积为错误!或错误!.二、填空题7．在△ABC中,若b＝1,c＝错误!,∠C＝错误!,则a＝________.答案：1解析：由正弦定理错误!＝错误!,即错误!＝错误!,sin B＝错误!.又b<c,∴B＝错误!,∴A＝错误!.∴a＝1.8．2010·山东卷在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a＝错误!,b ＝2,sin B＋cos B＝错误!,则角A的大小为________．答案：错误!解析：∵sin B＋cos B＝错误!,∴sin B＋错误!＝1.又0<B<π,∴B＝错误!.由正弦定理,知错误!＝错误!,∴sin A＝错误!.又a<b,∴A<B,∴A＝错误!.9. 2010·课标全国卷在△ABC中,D为边BC上一点,BD＝错误!DC,∠ADB＝120°,AD＝2.若△ADC的面积为3－错误!,则∠BAC＝________.答案：60°解析：S△ADC＝错误!×2×DC×错误!＝3－错误!,解得DC＝2错误!－1,∴BD＝错误!－1,BC＝3错误!－1．在△ABD中,AB2＝4＋错误!－12－2×2×错误!－1×cos120°＝6,∴AB＝错误!.在△ACD中,AC2＝4＋2错误!－12－2×2×2错误!－1×cos60°＝24－12错误!,∴AC＝错误!错误!－1,则cos∠BAC＝错误!＝错误!＝错误!,∴∠BAC＝60°.三、解答题10. 如图,△OAB是等边三角形,∠AOC＝45°,OC＝错误!,A、B、C三点共线．1求sin∠BOC的值；2求线段BC的长．解：1∵△AOB是等边三角形,∠AOC＝45°,∴∠BOC＝45°＋60°,∴sin∠BOC＝sin45°＋60°＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝错误!.2在△OBC中,错误!＝错误!,∴BC＝sin∠BOC×错误!＝错误!×错误!＝1＋错误!.11. 2010·全国Ⅱ卷△ABC中,D为边BC上的一点,BD＝33,sin B＝错误!,cos ∠ADC＝错误!,求AD.解：由cos∠ADC＝错误!>0知B<错误!,由已知得cos B＝错误!,sin∠ADC＝错误!,从而sin∠BAD＝sin∠ADC－B＝sin∠ADC cos B－cos∠ADC sin B＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!.由正弦定理得错误!＝错误!,AD＝错误!＝错误!＝25.12. 2010·安徽卷设△ABC是锐角三角形,a,b,c分别是内角A,B,C所对边长,并且sin2A＝sin错误!sin错误!＋sin2B.1求角A的值；2若错误!·错误!＝12,a＝2错误!,求b,c其中b<c．解：1因为sin2A＝错误!错误!＋sin2B＝错误!cos2B－错误!sin2B＋sin2B＝错误!,所以sin A＝±错误!.又A为锐角,所以A＝错误!.2由错误!·错误!＝12,可得cb cos A＝12.①由1知A＝错误!,所以cb＝24.②由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cb cos A,将a＝2错误!及①代入,得c2＋b2＝52,③③＋②×2,得c＋b2＝100,所以c＋b＝10.因此c,b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的两个根．解此方程并由c>b知c＝6,b＝4.。
高考数学正弦余弦真题及答案一
B．直角三角形C．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形（2020•江苏）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a=3，c=2，B=45°．（1）求sinC 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ADC=-45，求tan ∠DAC的值．√【题型】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由题意及余弦定理求出b 边，再由正弦定理求出sinC 的值；（2）三角形的内角和为180°，cos ∠ADC=-45，可得∠ADC 为钝角，可得∠DAC 与∠ADC+∠C 互为补角，所以sin ∠DAC=sin （∠ADC+∠C ）展开可得sin ∠DAC 及cos ∠DAC ，进而求出tan ∠DAC的值．【解答】解：（1）因为a=3，c=2，B=45°．，由余弦定理可得：b=a 2+c 2−2accosB =9+2−2×3×2×22=5，由正弦定理可得c sinC =b sinB ，所以sinC=c b •sin45°=25•22=55，所以sinC=55；（2）因为cos ∠ADC=-45，所以sin ∠ADC=1−cos 2∠ADC =35，在三角形ADC 中，易知C 为锐角，由（1）可得cosC=1−sin2C=255，所以在三角形ADC 中，sin ∠DAC=sin （∠ADC+∠C ）=sin ∠ADCcos ∠C+cos ∠ADCsin ∠C=2525，因为∠DAC ∈(0，π2)，所以cos ∠DAC=1−sin2∠DAC=11525，所以tan ∠DAC=sin ∠DAC cos ∠DAC =211．√√√√√√√√√√√√√√√√√【点评】本题考查三角形的正弦定理及余弦定理的应用，及两角和的正弦公式的应用，属于中档题．（2022秋•鄠邑区期末）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,且满足c=2acosB ，则△ABC 的形状是（ ）A．6B．12D．无解B．7C．19D．19【题型】解三角形．【答案】A【分析】利用余弦定理代入，可得a=b,从而可得结论．【解答】解：∵c=2acosB，∴c=2a•a2+c2−b22ac，∴a2=b2，∴a=b,∴△ABC的形状是等腰三角形．故选：A．【点评】本题考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．（2023春•雁塔区校级期中）在△ABC中，已知b=63，c=6，C=30°，则a=（ ）√【题型】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】C【分析】由已知利用余弦定理可得a2-18a+72=0，解方程即可求解a的值．【解答】解：∵b=63，c=6，C=30°，∴由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，可得36=a2+108-2×a×63×32，整理可得：a2-18a+72=0，∴解得a=12，或6．故选：C．√√√【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题．（2023春•房山区期末）在△ABC中，已知a=2，b=3，C=60°，则c等于（ ）√【题型】解三角形．【答案】A【分析】利用余弦定理列出关系式，将a,b及cosC的值代入即可求出c的值．【解答】解：∵在△ABC中，a=2，b=3，C=60°，∴由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC=4+9-6=7，A．2B．2C．3A．23C．45D．38则c=7．故选：A．√【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．（2023春•青铜峡市校级期末）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若cosA=63，b=22，c=3，则a=（ ）√√√√【题型】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】D【分析】根据余弦定理求解即可．【解答】解：由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=3，得a=3．故选：D．√【点评】本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．（2023春•香洲区校级期末）已知△ABC的三边长分别为a,a+3，a+6，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值为（ ）【题型】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】B【分析】设角A，B，C所对的边分别为a,a+3，a+6，则C=2A，由正弦定理可得asinA=a+6sinC，化简得cosA=a+62a，再利用余弦定理可求出a的值，进而求出cosA即可．【解答】解：设角A，B，C所对的边分别为a,a+3，a+6，则A为最小角，C为最大角，∴C=2A，由正弦定理可得，asinA=a+6sinC=a+6sin2A，∴asin2A=（a+6）sinA，即2asinAcosA=（a+6）sinA，又∵A∈（0，π），∴sinA≠0，A．6-2B．4-23D．4+23B．60°C．135°D．150°∴cosA=a+62a=(a+3)2+(a+6)2−a22(a+3)(a+6)，解得a=12，∴cosA=a+62a=1824=34，即最小内角的余弦值为34．故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．（2023春•密山市校级期中）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b.c.若a=c=6+2，且A=75°，则边b=（ ）√√√√√√【题型】解三角形；逻辑推理．【答案】C【分析】根据两角和公式可得sinA，三角形内角和为180°，可得B，根据正弦定理，列出等式，直接求出b.【解答】解：根据两角和公式可得sinA=sin（30°+45°）=2+64，根据题意可知a=c,C=75°，三角形内角和为180°，可得B=30°，sinB=12，根据正弦定理bsinB=asinA，b12=2+62+64=4，所以b=2．故选：C．√√√√√√【点评】本题考查解三角形问题，正弦定理的应用，属基础题．（2023•雁塔区校级模拟）在△ABC中，若a2+c2-b2=-ac,则角B=（ ）【题型】解三角形．【答案】A【分析】由条件利用余弦定理求得cosB=-12，从而求得B的值．A．135°C．60°D．90°B．(1，3)C．（0，1）D．(3，+∞)【解答】解：△ABC中，∵a2+c2-b2=-ac,由余弦定理可得 cosB=a2+c2−b22ac=−ac2ac=-12，∴B=120°，故选：A．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．（2023•新干县校级一模）已知三角形的三边长分别为a、b、a2+ab+b2，则三角形的最大内角是（ ）√【题型】解三角形．【答案】B【分析】利用三角形中大边对大角可得，三角形的最大内角是a2+ab+b2所对的角，设为θ，由余弦定理求得cosθ 的值，可得θ的值．√【解答】解：∵三角形的三边长分别为a、b、a2+ab+b2中，a2+ab+b2为最大边，则三角形的最大内角是a2+ab+b2所对的角，设为θ．由余弦定理可得 cosθ=a2+b2−(a2+ab+b2)2ab=-12，∴θ=120°，故选：B．√√√【点评】本题主要考查余弦定理的应用，以及大边对大角，根据三角函数的值求角，属于中档题．（2023春•鼓楼区校级期中）已知锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,a2=b2+bc,则tanAtanB的取值范围为（ ）√√【题型】计算题；对应思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】A【分析】由余弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanA=tan2B=2tanB1−tan2B，进而得到tanAtanB=-2+21−tan2B，再求出B的范围，求解即可．【解答】解：∵a2=b2+bc,a2=c2+b2-2bccosA，∴c-2bcosA=b,∴sinC-2sinBcosA=sinB ，∴sin （A+B ）-2sinBcosA=sinB ，∴sinAcosB-sinBcosA=sinB ，∴sin （A-B ）=sinB ，∵A ，B ∈（0，π），∴A-B=B ，∴A=2B ，∴tanA=tan2B=2tanB1−tan 2B，即tanAtanB=2tan 2B1−tan 2B=-2+21−tan 2B，∵锐角△ABC ，∴V Y Y Y Y Y Y Y Y W Y Y Y Y Y Y Y Y X 0<2B <π20<B <π20<π−3B <π2，∴π6＜B ＜π4，∴13＜tan 2B ＜1，∴tanAtanB=-2+21−tan 2B＞1，∴tanAtanB 的取值范围为（1，+∞）．故选：A ．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，属于中档题．（2023•黄埔区校级模拟）在△ABC 中，a,b,c 分别为角A ，B ，C ，向量m =（2sinB ，2-cos2B ），n =（2sin 2（B 2+π4），-1）且m ⊥n （1）求角B 的大小；（2）若a=3，b=1，求c 的值．→→→→√【题型】计算题；解三角形；平面向量及应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据m ⊥n 即m •n =0得关于角B 的三角函数的方程，运用二倍角公式和诱导公式化简，即可求出角B ；（2）由a ＞b,得到A ＞B ，即B=π6，根据余弦定理可得一个关于c 的一元二次方程，解这个方程求解c值．→→→→【解答】解：（1）由于m ⊥n ，则m •n =0，即有2sinB•2sin 2（B 2+π4）-（2-cos2B ）=0，即2sinB•[1-cos2（B 2+π4）]-2+cos2B=0，即2sinB+2sin 2B-2+1-2sin 2B=0，→→→→解得sinB=12，由于0＜B ＜π，则B=π6或5π6；（2）由a ＞b,得到A ＞B ，即B=π6，由余弦定理得：b 2=a 2+c 2-2accosB ，代入得：1=3+c 2-23c •32，即c 2-3c+2=0，解得c=1或c=2．√√【点评】本题考查三角形中三角恒等变换、解三角形．方程思想在三角形问题中的应用极为广泛，根据已知条件可得方程、根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等都可以得到方程，解三角形问题的实质就是根据有关定理列方程求解未知元素．（2023春•雨山区校级期中）在△ABC 中，A =π3，b =2，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求（Ⅰ）B 的大小；（Ⅱ）△ABC 的面积．条件①：b 2+2ac =a 2+c 2；条件②：acosB=bsinA ．√√【题型】转化思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】（Ⅰ）B=π4；（Ⅱ）S △ABC =3+34．√【分析】选择条件①时：（Ⅰ）利用余弦定理求出cosB 和B 的值；（Ⅱ）由正弦定理求出a 的值，再利用三角形内角和定理求出sinC ，计算△ABC 的面积．选择条件②时：（Ⅰ）由正弦定理求出tanB 和B 的值；（Ⅱ）由正弦定理求出a 的值，再利用三角形内角和定理求出sinC ，计算△ABC 的面积．【解答】解：选择条件①：b 2+2ac=a 2+c 2，（Ⅰ）由b 2+2ac=a 2+c 2，得a 2+c 2-b 2=2ac,所以cosB=a 2+c 2−b 22ac=2ac 2ac =22；又B ∈（0，π），所以B=π4；（Ⅱ）由正弦定理知a sinA =bsinB，所以a=bsinAsinB =3；所以sinC=sin （A+B ）=sinAcosB+cosAsinB=32×22+12×22=6+24，√√√√√√√√√√√所以△ABC的面积为S△ABC=12absinC=12×3×2×6+24=3+34．选择条件②：acosB=bsinA．（Ⅰ）由正弦定理得asinA =b sinB，所以asinB=bsinA；又acosB=bsinA，所以sinB=cosB，所以tanB=1；又B∈（0，π），所以B=π4；（Ⅱ）由正弦定理知asinA =b sinB，所以a=bsinAsinB=3；所以sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=32×22+12×22=6+24，所以△ABC的面积为S△ABC=12absinC=12×3×2×6+24=3+34．√√√√√√√√√√√√√√√√【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．（2022秋•南通期中）在△ABC中，三边长是公差为2的等差数列，若△ABC是钝角三角形，则其最短边长可以为4（区间（2，6）之间的实数都可以）.（写出一个满足条件的值即可）【题型】计算题；转化思想；分析法；解三角形；逻辑推理．【答案】4（区间（2，6）之间的实数都可以）．【分析】设三边分别为x-2，x,x+2，求出最大边对角的余弦值，令其小于零，结合构成三角形的三边满足的条件，列出关于x的不等式组解出x的范围．【解答】解：由已知令△ABC的三边为：x-2，x,x+2，则应满足x＞2，且x-2+x＞x+2，解得x＞4①，因为△ABC是钝角三角形，故边长解得为x+2的边对角θ满足：cosθ=x 2+(x−2)2−(x+2)22x•(x−2)<0，结合①式解得4＜x＜8，故最短边2＜x-2＜6，故可取x=6，则最短边长为4．故答案为：4（区间（2，6）之间的实数都可以）．【点评】本题考查三角形的性质、余弦定理的应用，属于中档题．（2023•玉林三模）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且acosB+bsinA=c.（1）求角A的大小；（2）若a=2，△ABC的面积为2−12，求b+c的值．√√【题型】对应思想；综合法；解三角形．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用正弦定理和三角形内角和定理与三角恒等变换求得A 的值；（2）由三角形面积公式和余弦定理，即可求得b+c 的值．【解答】解：（1）△ABC 中，acosB+bsinA=c,由正弦定理得：sinAcosB+sinBsinA=sinC ，又sinC=sin （A+B ）=sinAcosB+cosAsinB ，∴sinBsinA=cosAsinB ，又sinB≠0，∴sinA=cosA ，又A ∈（0，π），∴tanA=1，A=π4；（2）由S △ABC =12bcsinA=24bc=2−12，解得bc=2-2；又a 2=b 2+c 2-2bccosA ，∴2=b 2+c 2-2bc=（b+c ）2-（2+2）bc,∴（b+c ）2=2+（2+2）bc=2+（2+2）（2-2）=4，∴b+c=2．√√√√√√√√【点评】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，是基础题．（2023春•杨浦区校级期末）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a,b,c,若a=4，b=6，c=9，则角C=π-arccos2948．【题型】对应思想；定义法；解三角形；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】利用余弦定理求出cosC ，再根据反余弦函数求出C 的值．【解答】解：△ABC 中，a=4，b=6，c=9，由余弦定理得cosC=42+62−922×4×6=-2948，有C ∈（0，π），所以C=π-arccos 2948．故答案为：π-arccos 2948．【点评】本题考查了余弦定理和反余弦函数的应用问题，是基础题．B．2π3C．π6D．5π6B．63C．22D．12（2023•青海模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a,b,c,若△ABC的面积是3(b2+c2−a2)4，则A=（ ）√【题型】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；解三角形；逻辑推理；数学运算．【答案】A【分析】直接利用三角形的面积公式和余弦定理建立方程，再利用三角函数的值求出A的值．【解答】解：已知△ABC的面积是3(b2+c2−a2)4，利用余弦定理b2+c2-a2=2bccosA，整理得：12bcsinA=3(b2+c2−a2)4=32bccosA，所以tanA=3，由于A∈（0，π）．则A=π3．故选：A．√√√√【点评】本题考查的知识要点：三角形的面积公式，余弦定理，三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．（2023春•鼓楼区校级期末）△ABC的面积为S，角A，B，C的对边分别是a,b,c,已知43S=(a+b)2−c2，则sinC的值是（ ）√√√【题型】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】A【分析】根据三角形的面积公式结合余弦定理化简求出C，即可得解．【解答】解：因为43S=(a+b)2−c2，又S=12absinC，所以23absinC−2ab=a2+b2−c2，所以3sinC−1=a2+b2−c22ab，又cosC=a2+b2−c22ab，所以3sinC−cosC=1，所以sin(C−π6)=12，√√√√A．3B．2D．3或7又C∈（0，π），则C−π6∈(−π6，5π6)，所以c−π6=π6，所以C=π3，则sinC=32．故选：A．√【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，考查了三角形的面积公式，属于基础题．（2023春•永昌县校级月考）在钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且AB=2，sinB=32，且S△ABC= 32，则AC=（ ）√√√√√【题型】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】C【分析】由题意利用三角形的面积公式可求BC=1，分类讨论，利用余弦定理即可求解AC的值．【解答】解：因为AB=2，sinB=32，且S△ABC=32=12AB•BC•sinB=12×2×BC×32，所以BC=1，因为BC＜AB，所以A为锐角，当C为钝角时，可得cosB=1−sin2B=12，所以由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB=22+12-2×2×1×12=3，可得AC=3，此时cosC=a2+b2−c22ab=1+3−42×1×3=0，又C∈（0，π），可得C=π2，不符合题意，故舍去，当B为钝角时，可得cosB=-1−sin2B=-12，所以由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB=22+12-2×2×1×（-12）=7，可得AC=7．故选：C．√√√√√√√√【点评】本题考查了三角形的面积公式以及余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．（2023春•江油市校级期中）在△ABC中，角A、B、C对的边分别为a、b、c.若a=1，b=3，c=13，则角C等于（ ）√A．90°C．60°D．45°A．5π6C．π3D．π6【题型】转化思想；转化法；解三角形；数学运算．【答案】B【分析】利用余弦定理求解即可．【解答】解：a=1，b=3，c=13，则cosC=a2+b2−c22ab=12+32−(13)22×1×3=−12，因为0°＜C＜180°，故C=120°．故选：B．√√【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．（2023春•尖山区校级月考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若（a+b+c）（c+b-a）=bc,则A=（ ）【题型】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】B【分析】由已知利用平方差公式整理可得b2+c2-a2=-bc,由余弦定理得cosA=-12，结合A∈（0，π），即可求解A的值．【解答】解：∵△ABC中，（a+b+c）（c+b-a）=bc,∴（b+c）2-a2=bc,整理得：b2+c2-a2=-bc,∴由余弦定理得：cosA=b2+c2−a22bc=−bc2bc=-12，又A∈（0，π），∴A=2π3．故选：B．【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，求得b2+c2-a2=-bc是关键，属于基础题．（2023春•安化县期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若ac=8，a+c=7，B=π3，则b=（ ）A．25C．4 $D．5 A．−22B．22D．1010√【题型】计算题；方程思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】B【分析】结合余弦定理与完全平方和公式，进行运算，得解．【解答】解：因为ac=8，a+c=7，B=π3，所以由余弦定理知，b2=a2+c2-2accosB=（a+c）2-2ac-2accosB=49-2×8-2×8×12=25，所以b=5．故选：B．【点评】本题考查解三角形，熟练掌握余弦定理是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．（2023春•房山区期末）已知平面直角坐标系中的3点A（2，2），B（6，0），C（0，0），则△ABC中最大角的余弦值等于（ ）√√√【题型】转化思想；转化法；解三角形；数学运算．【答案】C【分析】根据夹角公式算出△ABC每个内角的余弦值，然后分析可得结果．【解答】解：A（2，2），B（6，0），C（0，0），AB=(4，−2)，AC=(−2，−2)，cosA=cos〈AB，AC〉=AB⋅AC|AB||AC|=−4410=−1010；CB=(6，0)，CA=(2，2)，cosC=cos〈CB，CA〉=CB⋅CA|CB||CA|=126×22=22，BA=(−4，2)，BC=(−6，0)，cosB=cos〈BA，BC〉=BA⋅BC|BA||BC|=246×25=255；由A，B，C为三角形ABC的内角，则cosA＜0，cosB＞0，cosC＞0，于是A是钝角，B，C是锐角，最大角是A，余弦值为−1010．故选：C．→→→→→→→→√√→→→→→→→→√√→→→→→→→→√√√【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．A．3B．4D．6 A．-1C．1D．6（2023•郑州模拟）在△ABC中，满足9sin2A+6cosA=10，且AB=3，BC=26，则AC=（ ）√【题型】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】C【分析】由同角三角函数的平方关系化简9sin2A+6cosA=10求出cosA，再利用余弦定理即可求解AC．【解答】解：9sin2A+6cosA=9（1-cos2A）+6cosA=9-9cos2A+6cosA=10，即9cos2A-6cosA+1=（3cosA-1）2=0，解得cosA=13，由余弦定理可知cosA=AB2+AC2−BC22AB⋅AC=9+AC2−246AC=AC2−156AC，则AC2−156AC=13，整理得3AC2-6AC-45=（3AC-15）（AC+3）=0，解得AC=5或AC=-3（舍）．故选：C．【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础题．（2015•重庆）在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a6=（ ）【题型】等差数列与等比数列．【答案】B【分析】直接利用等差中项求解即可．【解答】解：在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a4=12（a2+a6）=12(4+a6)=2，解得a6=0．故选：B．【点评】本题考查等差数列的性质，等差中项个数的应用，考查计算能力．B．b≤0C．c=0D．a-2b+c=0（2017•上海）已知a、b、c为实常数，数列{x n}的通项x n=an2+bn+c,n∈N*，则“存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（ ）【题型】方程思想；等差数列与等比数列；简易逻辑．【答案】A【分析】由x100+k，x200+k，x300+k成等差数列，可得：2x200+k=x100+k+x300+k，代入化简即可得出．【解答】解：存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列，可得：2[a（200+k）2+b（200+k）+c]=a（100+k）2+b（100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c,化为：a=0．∴使得x100+k，x200+k，x300+k成等差数列的必要条件是a≥0．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．（2021•乙卷）记S n为数列{a n}的前n项和，b n为数列{S n}的前n项积，已知2S n+1b n=2．（1）证明：数列{b n}是等差数列；（2）求{a n}的通项公式．【题型】计算题；方程思想；综合法；定义法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算．【答案】（1）证明过程见解答；（2）a n=V Y Y YW YY Y X32，n=1−1n(n+1)，n≥2．【分析】（1）由题意当n=1时，b1=S1，代入已知等式可得b1的值，当n≥2时，将b nb n−1=S n，代入2S n +1b n=2，可得b n-b n-1=12，进一步得到数列{b n}是等差数列；（2）由a1=S1=b1=32，可得b n=n+22，代入已知等式可得S n=n+2n+1，当n≥2时，a n=S n-S n-1=-1n(n+1)，进一步得到数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）证明：当n=1时，b1=S1，由2b1+1b1=2，解得b1=32，B．a n=3n-10C．Sn=2n2-8n D．S n=12n2-2n 当n≥2时，b nb n−1=S n，代入2S n+1b n=2，消去S n，可得2 b n−1b n+1b n=2，所以b n-b n-1=12，所以{b n}是以32为首项，12为公差的等差数列．（2）由题意，得a1=S1=b1=32，由（1），可得b n=32+（n-1）×12=n+22，由2S n+1b n=2，可得S n=n+2n+1，当n≥2时，a n=S n-S n-1= n+2n+1-n+1n=-1n(n+1)，显然a1不满足该式，所以a n=V Y Y YW YY Y X32，n=1−1n(n+1)，n≥2．【点评】本题考查了等差数列的概念，性质和通项公式，考查了方程思想，是基础题．（2019•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4=0，a5=5，则（ ）【题型】计算题；方程思想；等差数列与等比数列．【答案】A【分析】根据题意，设等差数列{a n}的公差为d,则有V WX4a1+6d=0a1+4d=5，求出首项和公差，然后求出通项公式和前n项和即可．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d,由S4=0，a5=5，得V WX4a1+6d=0a1+4d=5，∴V WX a1=−3d=2，∴a n=2n-5，S n=n2−4n，故选：A．【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式，关键是求出等差数列的公差以及首项，属于基础题．（2016•新课标Ⅰ）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（ ）A．100B．99D．97 A．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件D．充要条件【题型】计算题；定义法；等差数列与等比数列．【答案】C【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和为27，S9=9(a1+a9)2=9×2a52=9a5．∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故选：C．【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．（2023•阿拉善盟一模）已知{a n}是等差数列，S n是{a n}的前n项和，则“对任意的n∈N*且n≠3，S n＞S3”是“a4＞a3”的（ ）【题型】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；简易逻辑；逻辑推理．【答案】B【分析】根据等差数列的性质，充分与必要条件的概念即可求解．【解答】解：由对任意的n∈N*且n≠3，S n＞S3，可得等差数列{a n}的前n项和的最小值为S3，∴等差数列{a n}仅有前三项为负项，且公差d＞0，∴可得a4＞a3，反过来，由a4＞a3，可得d＞0，但不能得到等差数列{a n}仅有前三项为负项，即不能得到等差数列{a n}的前n项和的最小值为S3，∴“对任意的n∈N*且n≠3，S n＞S3”是“a4＞a3”的充分不必要条件，故选：B．【点评】本题考查等差数列项的性质，充分与必要条件的概念，属基础题．A．若①有实根，②有实根，则③有实根C．若①无实根，②有实根，则③无实根D ．若①无实根，②无实根，则③无实根（2023•长宁区二模）设各项均为实数的等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，对于方程①2023x 2-S 2023x+T 2023=0，②x 2-a 1x+b 1=0，③x 2+a 2023x+b 2023=0．下列判断正确的是（ ）【题型】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【答案】B【分析】若①有实根，得到a21012−4b 1012≥0，设方程x 2-a 1x+b 1=0与方程x 2+a 2023x+b 2023=0的判别式分别为Δ1和Δ2023，得到Δ1+Δ2023≥0，结合举反例可以判断选项AB ；通过举反例可以判断选项CD ．【解答】解：若①有实根，由题意得：S22023−4×2023T 2023≥0，其中S 2023=2023(a 1+a 2023)2=2023a 1012，T 2023=2023(b 1+b 2023)2=2023b 1012，代入上式得a21012−4b 1012≥0，设方程x 2-a 1x+b 1=0与方程x 2+a 2023x+b 2023=0的判别式分别为Δ1和Δ2023，则Δ1+Δ2023=(a 21−4b 1)+(a 22023−4b 2023)=a 21+a 22023−4(b 1+b 2023)≥(a 1+a 2023)22−4(b 1+b 2023)等号成立的条件是a 1=a 2023．又Δ1+Δ2023≥(a 1+a 2023)22−4(b 1+b 2023)=(2a 1012)22−8b 1012=2(a21012−4b 1012)≥0，如果②有实根，则Δ1≥0，则Δ2023≥0或者Δ2023＜0，所以③有实根或者没有实根，如a 1=6，b 1=2，a 2023=4，b 2023=6，满足a 21012−4b 1012=52−4×4>0，Δ1=36-8＞0，但是Δ2023=16-24＜0，所以③没有实根，所以A 错误；如果②没实根，则Δ1＜0，则Δ2023≥0，所以③有实根，所以B 正确；若①无实根，则a21012−4b 1012<0，②有实根，则Δ1≥0，设a 1=3，b 1=2，a 2023=-3，b 2023=2，所以a 21012−4b 1012=(0)2−4×2<0，Δ1＞0，此时Δ2023=1＞0，则③有实根，所以C 错误；若①无实根，则a21012−4b 1012<0，②无实根，则Δ1＜0，设a 1=3，b 1=3，a 2023=-3，b 2023=2，所以a 21012−4b 1012=(0)2−4×52<0，Δ1＜0，此时Δ2023=1＞0，则③有实根，所以D错误．故选：B．【点评】本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n项和，解答本题的关键是排除法的灵活运用，要证明一个命题是假命题，证明比较困难，只需举一个反例即可．。
正余弦函数高考题集含答案
正、余弦定理高考练习题（1）1.（15北京理科）在中，，，，则．【答案】1试题分析：2.（15北京文科）在中，，，，则．【答案】试题分析：由正弦定理，得，即，所以，所以..3.（15年广东理科）设的内角，，的对边分别为，，，若，，则 【答案】．4.（15年广东文科）设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BABC △4a =5b =6c =sin 2sin AC=222sin 22sin cos 2sin sin 2A A A a b c a C C c bc+-==⋅2425361616256⨯+-=⋅=⨯⨯ABC ∆A B C a b c a =1sin 2B =6C =πb =1试题分析：由余弦定理得：，所以，即，解得：或，因为，所以，故选B ．5.(15年安徽理科) 在中，,点D 在边上，，求的长？6.（15年安徽文科）在中，，，，则。
【答案】2试题分析：由正弦定理可知：7.（15年福建理科）若锐角的面积为 ，且 ，则 等于________． 【答案】试题分析：由已知得的面积为，所以，，所以．由余弦定理得 ABC∆,6,4A AB AC π===BC AD BD =AD ABC ∆6=AB 75=∠A 45=∠B =AC45sin )]4575(180sin[ACAB =+-245sin 60sin 6=⇒=⇒AC AC ABC∆5,8AB AC ==BC 7ABC ∆1sin 20sin 2AB AC A A ⋅==sin 2A =(0,)2A π∈3A π=，．8.（15年福建文科）若中，，，，则_______．【答案】试题分析：由题意得．由正弦定理得，则，所以．10.（15年新课标2理科）∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 是∆ADC 面积的2倍。
(Ⅰ)求;(Ⅱ) 若=1，=求和的长.11.（15年新课标2文科）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分BAC ,BD =2DC .2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅=497BC =ABC∆AC =045A =075C =BC=0018060B A C =--=sin sin AC BCB A=sin sin AC ABC B=BC ==CB∠∠sin sin AD DC 22BDAC ∠（I ）求；（II ）若,求. 【答案】（I ）；.12.(15年陕西理科) 的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行． （I ）求； （II ）若，求的面积． 【答案】（I ）；（II ）．试题解析：（I ）因为，所以，由正弦定理，得 又，从而，由于，所以sin sin BC∠∠60BAC ∠=B ∠1230C ∆AB A B C a b c (),3m a b =()cos ,sin n =A B A a =2b =C ∆AB 3π2//m n sin 3cos 0a B b A sinAsinB 3sinBcos A 0sin 0B ≠tan 3A 0A π<<3A π=(II)解法一：由余弦定理，得而得，即因为，所以.故ABC 的面积为.13.（15年陕西文科）的内角所对的边分别为，向量与平行.(I)求； (II)若求的面积.【答案】(I) ；(II). 2222cos a b c bcA 7b 2,a 3πA =2742c c 2230c c 0c 3c ∆133bcsinA 22ABC ∆,,A B C ,,a b c (,3)m a =(cos ,sin )n A B =A 2a b ==ABC ∆3A π=试题解析：(I)因为，所以 由正弦定理，得， 又，从而，由于 所以(II)解法一：由余弦定理，得，而，，得，即因为，所以， 故面积为. 解法二：由正弦定理，得从而 //m n sin 3cos 0a B b A -=sin sin cos 0A B B A -=sin 0B≠tan A =0A π<<3A π=2222cos a b c bc A =+-2a b ==3A π=2742c c =+-2230c c --=0c >3c =ABC∆1sin 22bc A=2sin sin3Bπ=sin B =又由知，所以 故， 所以面积为14.（15年天津理科）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知的面积为 ， 则的值为 .【答案】题分析：因为，所以， 又，解方程组得，由余弦定理得，所以.15．（15年天津文科）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为, （I ）求a 和sin C 的值； （II ）求 的值. 【答案】（I ）a =8,；（II ）a b >A B >cos 7B =sin sin()sin()3C A B B π=+=+sin coscos sin33B B ππ=+=ABC ∆1sin 2ab C =ABC ∆,,A B C ,,a b c ABC ∆12,cos ,4b c A -==-a 80A π<<sin 4A ==1sin 2428ABC S bc A bc bc ∆===∴=224b c bc -=⎧⎨=⎩6,4b c ==2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭8a =12,cos ,4b c A -==-cos 26A π⎛⎫+⎪⎝⎭sin C =正、余弦定理高考题练习（2）一、选择题（每题5分）1.（2013·北京高考文科·Ｔ5）在△ABC 中，a=3,b=5,sinA=13,则sinB=( ) A.15 B.59D.1【解题指南】已知两边及一边的对角利用正弦定理求解。
正弦定理和余弦定理 高考数学真题详细解析 高考数学真题复习
4.6 正弦定理和余弦定理一、选择题1．在△ABC中，C＝60°，AB＝3，BC＝2，那么A等于( )．A．135° B．105° C．45° D．75°解析由正弦定理知BCsin A＝ABsin C，即2sin A＝3sin 60°，所以sin A＝22，又由题知，BC＜AB，∴A＝45°.答案 C2．已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为( )．A．60° B．90° C．120° D．150°解析由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得(a＋b)2－c2＝ab，∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2ab cos C，∴cos C＝－12，∴C＝120°.答案 C3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝λ，b＝3λ(λ>0)，A＝45°，则满足此条件的三角形个数是( )A．0 B．1C．2 D．无数个解析：直接根据正弦定理可得asin A＝bsin B，可得sin B＝b sin Aa＝3λsin 45°λ＝62>1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0.答案：A4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B 等于( )．A ．－12 B.12C ．－1D ．1 解析 根据正弦定理，由a cos A ＝b sin B ，得sin A cos A ＝sin 2B ，∴sin A cosA ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1.答案 D5. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）B. 2C. 12D. 12- 解析 2122cos 2222222=+-≥-+=b a c c ab c b a C ，故选C. 答案 C6．在△ABC 中，sin 2 A ≤sin 2 B ＋sin 2 C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，πC.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π 解析 由已知及正弦定理有a 2≤b 2＋c 2－bc ，而由余弦定理可知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，于是可得b 2＋c 2－2bc cos A ≤b 2＋c 2－bc ，可得cos A ≥12，注意到在△ABC 中，0＜A ＜π，故A ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π3. 答案 C7．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )．A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23解析 依题意得⎩⎨⎧ a ＋b 2－c 2＝4a 2＋b 2－c 2＝2ab cos 60°＝ab ，两式相减得ab ＝43，选A. 答案 A二、填空题8．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．解析 在△ABC 中，∵AB ＝AC ＝2，BC ＝23，∴cos C ＝32，∴sin C ＝12；在△ADC 中，由正弦定理得，AD sin C ＝AC sin ∠ADC ， ∴AD ＝2sin 45°×12＝ 2. 答案 2 9. 在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且3a ＝2c sin A ，角C ＝________.解析：根据正弦定理，asin A ＝csin C， 由3a ＝2c sin A ，得asin A ＝c32， ∴sin C ＝32，而角C 是锐角．∴角C ＝π3.答案：π310.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b=20acosA ，则sinA ∶sinB ∶sinC 为______．答案 6∶5∶411．若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值________．解析 (数形结合法)因为AB ＝2(定长)，可以令AB 所在的直线为x 轴，其中垂线为y 轴建立直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)，设C (x ，y )，由AC ＝2BC ， 得 x ＋2＋y 2＝ 2 x －2＋y 2，化简得(x －3)2＋y 2＝8，即C 在以(3,0)为圆心，22为半径的圆上运动，所以S △ABC ＝12·|AB |·|y C |＝|y C |≤22，故答案为2 2. 答案 2 212．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A＋tan C tan B的值是________． 解析 法一 取a ＝b ＝1，则cos C ＝13，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝43，∴c ＝233，在如图所示的等腰三角形ABC 中，可得tan A ＝tan B ＝2，又sin C ＝223，tan C ＝22，∴tan C tan A ＋tan C tan B＝4. 法二 由b a ＋a b ＝6cos C ，得a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－c 22ab， 即a 2＋b 2＝32c 2，∴tan C tan A ＋tan C tan B ＝tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A sin A ＋cos B sin B ＝ sin 2C cos C sin A sin B ＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝4. 答案 4三、解答题13．叙述并证明余弦定理．解析 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 法一 如图(1)，图(1) a 2＝BC →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →)＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2＝AC →2－2|AC →|·|AB →|cos A ＋AB →2＝b 2－2bc cos A ＋c 2，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .法二图(2)已知△ABC 中A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，如图(2)则C (b cos A ，b sin A )，B (c,0)，∴a 2＝|BC |2＝(b cos A －c )2＋(b sin A )2＝b 2cos 2A －2bc cos A ＋c 2＋b 2sin 2A＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .14．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，B ＝2π3，b ＝13，a ＋c ＝4，求a .解析：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3 ＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac .又∵a ＋c ＝4，b ＝13，∴ac ＝3.联立⎩⎨⎧ a ＋c ＝4，ac ＝3，解得a ＝1或a ＝3.15.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且（1）求角B 的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA ，求a ，c 的值.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b. (1)求sin C sin A的值； (2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长． 解析 (1)由正弦定理，设asin A ＝bsin B ＝csin C ＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B， 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B. 即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ，因此sin C sin A ＝2. (2)由sin C sin A ＝2得c ＝2a .由余弦定理及cos B＝1 4得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋4a2－4a2×14＝4a2.所以b＝2a.又a＋b＋c＝5.从而a＝1，因此b＝2.。
2024全国高考真题数学汇编：正弦定理与余弦定理
2024全国高考真题数学汇编正弦定理与余弦定理一、单选题1．（2024全国高考真题）在ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A B C D 二、解答题2．（2024天津高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，．(1)求a ；(2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -的值．3．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=(1)求B ；(2)若ABC 的面积为3c ．4．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =．(1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．5．（2024北京高考真题）在ABC 中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =．(1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．参考答案1．C【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，由正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin 2A C +=.故选：C.2．(1)4(3)5764【分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【详解】（1）设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯，解得2t =（负舍）；则4,6a c ==.（2）法一：因为B 为三角形内角，所以sin 16B =，再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin A =sin 4A =，法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因为()0,πA ∈，则sin 4A ==（3）法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB ∈，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（2）法一知sin B =因为a b <，则A B <，所以3cos 4A ==，则3sin 22sin cos 24A A A ===2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭()9157cos 2cos cos 2sin sin 216816864B A B A B A -=+=⨯+⨯=.法二：3sin 22sin cos 24A A A ===，则2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，因为B 为三角形内角，所以sin 16B ===，所以()9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A -=+=⨯=3．(1)π3B =(2)【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B =得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【详解】（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得222cos 2a b c C ab +-===因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而sin 2C =，又因为sin C B =，即1cos 2B =，注意到()0,πB ∈，所以π3B =.（2）由（1）可得π3B =，cos 2C =，()0,πC ∈，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ1sin sin sin 124622224A ⎛⎫⎛⎫==+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而,a b ===，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为21113sin 222228ABC S ab C c c ==⋅= ，由已知ABC的面积为32338c =所以c =4．(1)π6A =(2)2+【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A =进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长.【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A =可得1sin 122A A +=，即sin()1π3A +=，由于ππ4π(0,π)(,)333A A ∈⇒+，故ππ32A +=，解得π6A =方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A =，又22sin cos 1A A +=，消去sin A得到：224cos 30(2cos 0A A A -+=⇔=，解得cos 2A =，又(0,π)A ∈，故π6A =方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x =<<，则π()2sin (0π)3f x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，显然π6x =时，max ()2f x =，注意到π()sin 22sin(3f A A A A =+==+，max ()()f x f A =，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A =必定是极值点，即()0cos sin f A A A '==，即tan 3A =，又(0,π)A ∈，故π6A =方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A ==，由题意，sin 2a b A A ⋅==，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅==，则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔= ，此时,0a b =，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan 3A A A ⋅=⇔=，又(0,π)A ∈，故π6A =方法五：利用万能公式求解设tan 2A t =，根据万能公式，2222)sin 211t t A A t t-+==+++，整理可得，2222(2(20((2t t t -+==-，解得tan22A t ==22tan 13t A t ==-，又(0,π)A ∈，故π6A =（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=，又,(0,π)B C ∈，则sin sin 0B C ≠，进而cos B =π4B =，于是7ππ12C A B =--=，sin sin(π)sin()sin cos sin cos 4C A B A B A B B A =--=+=+=，由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C==，即2ππ7πsin sin sin 6412bc==，解得b c ==故ABC的周长为2+5．(1)2π3A =；(2)选择①无解；选择②和③△ABC【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利用正弦定理得3B π=，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出sin 14B =，再代入式子得3b =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin C ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到5c =，再利用正弦定理得到sin 14C =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin B ，最后利用三角形面积公式即可；【详解】（1）由题意得2sin cos cos B B B =，因为A 为钝角，则cos 0B ≠，则2sin 7B =，则7sin sin sin b a BA A ==，解得sin 2A =，因为A 为钝角，则2π3A =.（2）选择①7b =，则sin 7B ==2π3A =，则B 为锐角，则3B π=，此时πA B +=，不合题意，舍弃；选择②13cos 14B =，因为B为三角形内角，则sin B ，则代入2sin 7B =得2147⨯=，解得3b =，()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭131142⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭,则11sin 7322ABC S ab C ==⨯⨯选择③sin c A =2c ⨯=5c =，则由正弦定理得sin sin a c A C =5sin C，解得sin 14C =，因为C为三角形内角，则11cos 14C ==，则()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C ⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭111142⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭，则11sin 7522ABC S ac B ==⨯⨯=△。
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝π3，则A ＝( )A ．π6B ．56 πC ．π4D ．π4 或34 π答案：C解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×323＝22 ，又a <b ，∴A为锐角，∴A ＝π4.2．在△ABC 中，b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案：C解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220 ＝3 >1，∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝7 ，则角C ＝( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2答案：C解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－72×2×3 ＝12，又C 为△ABC 内角，∴C ＝π3 .4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．2答案：C解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴2cos A ＝1，cos A ＝12 ，∴sin A ＝1－cos 2A ＝32 ，∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×4×32＝3 . 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( )A.14 B ．6 C ．14 D ．6 答案：D解析：∵b sin A ＝3c sin B ，由正弦定理得ab ＝3bc ，∴a ＝3c ，又a ＝3，∴c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝9＋1－2×3×23＝6，∴b ＝6 .6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin A ＝1，又A 为△ABC 的内角，∴A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．7．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝( )A ．5B ．5C ．2D ．1 答案：B解析：∵S △ABC ＝12 AB ×BC ×sin B ＝22 sin B ＝12 ，∴sin B ＝22，若B ＝45°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 45°＝1＋2－2×2 ×22 ＝1，则AC ＝1，则AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不合题意；当B ＝135°时，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 135°＝1＋2＋2×2 ×22＝5，∴AC ＝5 .8．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502 mB ．503 mC ．252 mD ．2522m答案：A解析：由正弦定理得AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝50×22sin （180°－45°－105°） ＝502 .9．[2024·全国甲卷(理)]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，b 2＝94ac ，则sin A ＋sin C ＝( )A ．32 B ．2C ．72D ．32答案：C解析：∵b 2＝94 ac ，∴由正弦定理可得sin 2B ＝94sin A sin C ．∵B ＝60°，∴sin B ＝32 ，∴34 ＝94 sin A sin C ，∴sin A sin C ＝13.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，将b 2＝94 ac 代入整理得，a 2＋c 2＝134ac ，∴由正弦定理得sin 2A ＋sin 2C ＝134 sin A sin C ，则(sin A ＋sin C )2＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C ＝134 sin A sin C＋2sin A sin C ＝214 sin A sin C ＝214 ×13 ＝74 ，∴sin A ＋sin C ＝72 或－72(舍).故选C.二、填空题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，则B ＝________．答案：23π解析：由(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac 得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12 ，又B 为△ABC 的内角，∴B ＝23π.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝a cos B ，①则A ＝________；②若sin C ＝13，则cos (π＋B )＝________．答案：①90° ②－13解析：①∵c ＝a ·cos B ，∴c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，得a 2＝b 2＋c 2，∴∠A ＝90°；②∵cos B ＝cos (π－A －C )＝sin C ＝13 .∴cos (π＋B )＝－cos B ＝－sin C ＝－13 .12．[2023·全国甲卷(理)]在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6 ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD ＝________．答案：2 解析：方法一 由余弦定理得cos 60°＝AC 2＋4－62×2AC ，整理得AC 2－2AC －2＝0，得AC＝1＋3 .又S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，所以12 ×2AC sin 60°＝12 ×2AD sin 30°＋12 AC ×AD sin30°，所以AD ＝23AC AC ＋2 ＝23×（1＋3）3＋3＝2.方法二 由角平分线定理得BD AB ＝CD AC ，又BD ＋CD ＝6 ，所以BD ＝26AC ＋2，CD ＝6AC AC ＋2 .由角平分线长公式得AD 2＝AB ×AC －BD ×CD ＝2AC －12AC（AC ＋2）2 ，又由方法一知AC ＝1＋3 ，所以AD 2＝2＋23 －12×（1＋3）（3＋3）2＝2＋23 －(23 －2)＝4，所以AD ＝2.[能力提升]13．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝8，b <4，c ＝7，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，则下列结论正确的是( )A ．C ＝60°B ．△ABC 的面积为63 C ．b ＝2D ．△ABC 为锐角三角形 答案：AB解析：∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin (B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵在△ABC 中，sin A ≠0，∴cos C ＝12 ，∴C ＝60°，A 正确．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝64＋b 2－2×8b cos 60°，即b 2－8b ＋15＝0，解得b ＝3或b ＝5，又b <4，∴b ＝3，C 错误．∴△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×8×3×32 ＝63 ，B 正确．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝9＋49－642×3×7<0，∴A 为钝角，△ABC 为钝角三角形，D 错误． 14．[2023·全国甲卷(理)]已知四棱锥P ABCD 的底面是边长为4的正方形，PC ＝PD ＝3，∠PCA ＝45°，则△PBC 面积为( )A ．22B ．32C ．42D ．62 答案：C解析：如图，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取DC 的中点M ，AB 的中点N ，连接PM ，MN ，AO ，BO .由PC ＝PD ，得PM ⊥DC ，又PO ⊥DC ，PO ∩PM ＝P ，所以DC ⊥平面POM ，又OM ⊂平面POM ，所以DC ⊥OM .在正方形ABCD 中，DC ⊥NM ，所以M ，N ，O 三点共线，所以OA ＝OB ，所以Rt △P AO ≌Rt △PBO ，所以PB ＝P A .在△P AC 中，由余弦定理，得P A ＝PC 2＋AC 2－2PC ·AC cos 45° ＝17 ，所以PB ＝17 .在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PCB ＝PC 2＋BC 2－BP 22PC ·BC ＝13 ，所以sin ∠PCB ＝223 ，所以S △PBC ＝12 PC ·BCsin ∠PCB ＝42 ，故选C.15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB取得最小值时，BD ＝________．答案：3 －1解析：以D 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴，DC →的方向为x 轴的正方向，过点D 且垂直于DC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A 位于第一象限．由AD ＝2，∠ADB ＝120°，得A (1，3 ).因为CD ＝2BD ，所以设B (－x ，0)，x ＞0，则C (2x ，0).所以AC＝（2x －1）2＋（0－3）2＝4x 2－4x ＋4，AB ＝（－x －1）2＋（0－3）2＝x 2＋2x ＋4 ，所以⎝⎛⎭⎫AC AB 2＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4.令f (x )＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4，x ＞0，则f ′(x )＝（4x 2－4x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（x 2＋2x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）2＝（8x －4）（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（2x ＋2）（x 2＋2x ＋4）2＝12（x 2＋2x －2）（x 2＋2x ＋4）2 ．令x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1－3 (舍去)或x ＝3 －1.当0＜x ＜3 －1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，3 －1)上单调递减；当x ＞3 －1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(3 －1，＋∞)上单调递增．所以当x ＝3 －1时，f (x )取得最小值，即ACAB 取得最小值，此时BD ＝3 －1.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且6S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________．答案：125解析：由余弦定理得2ab cos C ＝a 2＋b 2－c 2，又6S ＝(a ＋b )2－c 2，所以6×12 ab sin C ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2ab cos C ＋2ab ，化简得3sin C ＝2cos C ＋2，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝1213 ，cos C ＝513 ，所以tan C ＝125.。
最新高考数学正弦定理和余弦定理经典试题解析
最新高考数学正弦定理和余弦定理经典试题解析1.(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中，cos C＝23，AC＝4，BC＝3，则cos B＝()A.19B．13C．12D．232. (2020·全国卷Ⅰ)如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，AC＝1，AB ＝AD＝3，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝________.3.(2020·全国卷Ⅱ)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin B sin C.(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．4.(2020·天津高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝22，b ＝5，c ＝13.(1)求角C 的大小；(2)求sin A 的值；(3)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值．5．(2020·北京高考)在△ABC 中，a ＋b ＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择(1)a 的值；(2)sin C 和△ABC 的面积．条件①：c ＝7，cos A ＝－17；条件②：cos A ＝18，cos B ＝916.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．参考答案1.答案 A解析 ∵在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9，∴AB ＝3，∴cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋9－162×3×3＝19.故选A.2.答案 －14解析 ∵AB ⊥AC ，AB ＝3，AC ＝1，由勾股定理得BC ＝AB 2＋AC 2＝2，同理得BD ＝6，∴BF ＝BD ＝ 6.在△ACE 中，AC ＝1，AE ＝AD ＝3，∠CAE＝30°，由余弦定理得CE 2＝AC 2＋AE 2－2AC ·AE cos30°＝1＋3－2×1×3×32＝1，∴CF ＝CE ＝1.在△BCF 中，BC ＝2，BF ＝6，CF ＝1，由余弦定理得cos ∠FCB ＝CF 2＋BC 2－BF 22CF ·BC ＝1＋4－62×1×2＝－14. 3.解 (1)∵sin 2A －sin 2B －sin 2C ＝sin B sin C ，由正弦定理可得BC 2－AC 2－AB 2＝AC ·AB ，∴AC 2＋AB 2－BC 2＝－AC ·AB ，∴cos A ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝－12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)解法一：由(1)可得BC 2＝AC 2＋AB 2＋AC ·AB ＝9，即(AC ＋AB )2－AC ·AB ＝9.∵AC ·AB ≤⎝⎛⎭⎪⎫AC ＋AB 22(当且仅当AC ＝AB 时取等号)， ∴9＝(AC ＋AB )2－AC ·AB≥(AC ＋AB )2－⎝⎛⎭⎪⎫AC ＋AB 22＝34(AC ＋AB )2， ∴AC ＋AB ≤23(当且仅当AC ＝AB ＝3时取等号)，∴△ABC 的周长L ＝AC ＋AB ＋BC ≤3＋23，∴△ABC 周长的最大值为3＋2 3.解法二：由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B ＝BC sin A ＝3sin 2π3＝23，∴AB ＝23sin C ，AC ＝23sin B .∵A ＝2π3，∴C ＝π3－B .∴AB ＋AC ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ＋23sin B ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos B －12sin B ＋23sin B ＝3cos B ＋3sin B ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3. 当B ＝π6时，AB ＋AC 取得最大值23，∴△ABC 周长的最大值为3＋2 3.4.解 (1)在△ABC 中，由a ＝22，b ＝5，c ＝13及余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝8＋25－132×22×5＝22， 又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π4.(2)在△ABC 中，由C ＝π4，a ＝22，c ＝13及正弦定理，可得sin A ＝a sin C c ＝22×2213＝21313. (3)由a ＜c 知角A 为锐角，由sin A ＝21313，可得cos A ＝1－sin 2A ＝31313，所以sin2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos2A ＝2cos 2A －1＝513，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin2A cos π4＋cos2A sin π4＝1213×22＋513×22＝17226.5.解 选择条件①：(1)∵c ＝7，cos A ＝－17，a ＋b ＝11，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝(11－a )2＋72－2(11－a )×7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，∴a ＝8.(2)∵cos A ＝－17，A ∈(0，π)，∴sin A ＝1－cos 2A ＝437.由正弦定理得a sin A ＝c sin C， ∴8437＝7sin C ，∴sin C ＝32. ∴△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×8×(11－8)×32＝6 3. 选择条件②：(1)∵cos A ＝18，cos B ＝916，A ，B ∈(0，π)，∴sin A ＝1－cos 2A ＝378，sin B ＝1－cos 2B ＝5716.由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即a 378＝11－a 5716，∴a ＝6. (2)sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋sin B cos A ＝378×916＋5716×18＝74，△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×6×(11－6)×74＝1574.。
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正余弦定理高中数学组卷一．选择题（共9小题）1．（2016•太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）A．B． C． D．2．（2016•潍坊模拟）在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2016•岳阳校级模拟）在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：14．（2016•大连一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形5．（2016•河西区一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则∠B=（）A．B．C．D．6．（2016•宝鸡一模）在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（）A．B．C．D．或7．（2016•岳阳二模）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a，则=（）A．2 B．2C．D．8．（2016•新余二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．角B的值为（）A．B．C．D．9．（2016•江西模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A=2B，则等于（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）10．（2016•上海二模）△ABC中，，BC=3，，则∠C=．11．（2016•丰台区一模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b=2asinB，则角A等于．12．（2016•焦作一模）在△ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于．13．（2016•潍坊一模）已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a•cosB+b•cosA=3c•cosC，则cosC=．14．（2016•抚顺一模）已知△ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC，则边AB的长为．15．（2016•长沙一模）△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于．16．（2016•湖南校级模拟）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则b=．三．解答题（共4小题）17．（2016•白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．18．（2016•安徽校级一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．19．（2016•平果县模拟）已知在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且（b ﹣2c）cosA=a﹣2acos2．（1）求角A的值；（2）若a=，则求b+c的取值范围．20．（2016•鹰潭一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosc=2a ﹣c（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求b的取值范围．正余弦定理高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2016•太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）A．B． C． D．【解答】解：∵在锐角△ABC中，sinA=，S△ABC=，∴bcsinA=bc=，∴bc=3，①又a=2，A是锐角，∴cosA==，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即（b+c）2=a2+2bc（1+cosA）=4+6（1+）=12，∴b+c=2②由①②得：，解得b=c=．故选A．2．（2016•潍坊模拟）在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：当sinA=sinB时，则有A=B，则△ABC为等腰三角形，故sinA=sinB是△ABC 为等腰三角形的充分条件，反之，当△ABC为等腰三角形时，不一定是A=B，若是A=C≠60时，则sinA≠sinB，故sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的不必要条件．故选A．3．（2016•岳阳校级模拟）在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：1【解答】解：在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=π所以∠A=，∠B=，∠C=．由正弦定理可知：a：b：c=sin∠A：sin∠B：sin∠C=sin：sin：sin=1：：2．故选：C．4．（2016•大连一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形【解答】解：根据正弦定理可知∵bcosB=acosA，∴sinBcosB=sinAcosA∴sin2A=sin2B∴A=B，或2A+2B=180°即A+B=90°，即有△ABC为等腰或直角三角形．故选C．5．（2016•河西区一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则∠B=（）A．B．C．D．【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：=，即c2﹣b2=ac﹣a2，∴a2+c2﹣b2=ac，∴cosB==，∵B为三角形的内角，∴B=．故选：C．6．（2016•宝鸡一模）在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（）A．B．C．D．或【解答】解：由正弦定理可得：sinA===∵a=＜b=∴∴∠A=，故选：B．7．（2016•岳阳二模）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a，则=（）A．2 B．2C．D．【解答】解：∵△ABC中，asinAsinB+bcos2A=a，∴根据正弦定理，得sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，可得sinB（sin2A+cos2A）=sinA，∵sin2A+cos2A=1，∴sinB=sinA，得b=，可得=．故选：C．8．（2016•新余二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．角B的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由条件及正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=﹣2sinAcosB．即sin（B+C）=﹣2sinAcosB．∵A+B+C=π，A＞0∴sin（B+C）=sinA，又sinA≠0，∴cosB=﹣，而B∈（0，π），∴B=．故选：C．9．（2016•江西模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A=2B，则等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵A+B+C=π，A=2B，∴===．再结合正弦定理得：．故选：D．二．填空题（共7小题）10．（2016•上海二模）△ABC中，，BC=3，，则∠C=．【解答】解：由，a=BC=3，c=，根据正弦定理=得：sinC==，又C为三角形的内角，且c＜a，∴0＜∠C＜，则∠C=．故答案为：11．（2016•丰台区一模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b=2asinB，则角A等于30°．【解答】解：利用正弦定理化简b=2asinB得：sinB=2sinAsinB，∵sinB≠0，∴sinA=，∵A为锐角，∴A=30°．故答案为：30°12．（2016•焦作一模）在△ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于4．【解答】解：∵a=8，B=60°，C=75°，即A=45°，∴由正弦定理，得：b===4．故答案为：413．（2016•潍坊一模）已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a•cosB+b•cosA=3c•cosC，则cosC=．【解答】解：∵a•cosB+b•cosA=3c•cosC，∴利用余弦定理可得：a×+b×=3c×，整理可得：a2+b2﹣c2=，∴由余弦定理可得：cosC===．故答案为：．14．（2016•抚顺一模）已知△ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC，则边AB的长为1．【解答】解：由题意及正弦定理，得：AB+BC+AC=+1．BC+AC=AB，两式相减，可得AB=1．故答案为：1．15．（2016•长沙一模）△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于1．【解答】解：设△ABC的三边分别为a，b，c，外接圆半径为R，由正弦定理得，∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵a+b+c=2（sinA+sinB+sinC），∴2RsinA+2RsinB+2RsinC=2（sinA+sinB+sinnC），∴R=1．故答案为：1．16．（2016•湖南校级模拟）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则b=2．【解答】解：B=π﹣A﹣C=，△ABC中，由正弦定理可得，∴b=2，故答案为：2．三．解答题（共4小题）17．（2016•白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．【解答】解：（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，∴由正弦定理化简已知等式得：=，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosC=﹣，∵C为三角形内角，∴C=；（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，∴ab≤，（当且仅当a=b时成立），∵S=absinC=ab≤，∴当a=b时，△ABC面积最大为，此时a=b=，则当a=b=时，△ABC的面积最大为．18．（2016•安徽校级一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵．∴由正弦定理，得，化简得cosA=，∴A=；（2）∵∠B=，∴C=π﹣A﹣B=，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC2﹣2AC•MCcos120°，即7=，解得b=2，∴△ABC的面积S=b2sinC==．19．（2016•平果县模拟）已知在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且（b ﹣2c）cosA=a﹣2acos2．（1）求角A的值；（2）若a=，则求b+c的取值范围．【解答】解：（1）在锐角△ABC中，根据（b﹣2c）cosA=a﹣2acos2=a﹣2a•，利用正弦定理可得（sinB﹣2sinC）cosA=sinA（﹣cosB），即sinBcosA+cosBsinA=2sinCcosA，即sin（B+A）=2sinCcosA，即sinC=2sinCcosA，∴cosA=，∴A=．（2）若a=，则由正弦定理可得==2，∴b+c=2（sinB+sinC）=2[sinB+sin（﹣B）]=3sinB+cosB=2sin（B+）．由于，求得＜B＜，∴＜B+＜．∴sin（B+）∈（，1]，∴b+c∈（3，2]．20．（2016•鹰潭一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosc=2a ﹣c（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求b的取值范围．【解答】解：（1）由正弦定理，得2sinBcosC=2sinA﹣sinC，﹣﹣﹣﹣（2分）在△ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，∴2cosBsinC=sinC，又∵C是三角形的内角，可得sinC＞0，∴2cosB=1，可得cosB=，∵B是三角形的内角，B∈（0，π），∴B=．﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）∵S△ABC==，B=∴，解之得ac=4，﹣﹣﹣﹣（8分）由余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac=4，（当且仅当a=c=2时，“=”成立）∴当且仅当a=c=2时，b的最小值为2．﹣﹣﹣﹣（12分）综上所述，边b的取值范围为[2，+∞）﹣﹣﹣﹣（13分）。
正余弦定理的高考真题
一．正弦定理1（07湖南）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若a=1，c=3，C=3π则A=（ ） 2（06湖北）在ABC ∆中，已知a=,30,4,3340==A b sinB=( ) 3（07北京）在ABC ∆中，若tanA=31，0150=∠C ，BC=1，则AB=（ ） 4（07重庆）在ABC ∆中，AB=3，0075,45=∠=∠C A ，则BC=（ ） A 3-3 B 2 C 2 D 3+35（06山东）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，已知A=3π，a=3，b=1，则c=（ ） A 1 B 2 C 3-1 D 36（05北京）在ABC ∆中，AC=3，0075,45=∠=∠C A ，则BC 的长为（ ） 7若ABC ∆的周长为7.5cm ，且sinA ：sinB ：sinC=4：5：6，则下列式子中成立的个数是（ ）① a ：b ：c=4：5：6 ②a ：b ：c=2：5：6 ③a=2,b=2.5c=3 ④A ：B ：C=4：5：6A 0B 1C 2D 38在ABC ∆中，A=600，13=a ，则=++++CB A c b a sin sin sin （ ） A 338 B 3392C 3326 D23 二．余弦定理1（06江苏）在ABC ∆中，已知BC=12，A=600，B=450，则AC=（ ）2（07重庆）在ABC ∆中，AB=1，BC=2，B=600，则AC=（ ）3（07湖南）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若a=1，b=7，c=3，则B=（ ）4（05上海）在ABC ∆中，若0120=∠A ，AB=5，BC=7，则AC=（ ）5（06辽宁）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，设向量m =（a+c ，b ）,n =(b-a ，c-a)若m//n ，则角C 的大小为（ ） A 6π B 3π C 2π D 32π 6（06全国）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若a,b,c 成等比数列，且c=2a ，则cosB=( ) A 41 B 43 C 42 D 32 7(06辽宁)已知等腰三角形ABC 的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值为（ ） A 23 B 3 C 815 D 715 8（06四川）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，则a 2=b(b+c)是A=2B 的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件9（07天津）在ABC ∆中，AB=2，AC=3，D 是边BC 的中点，则−→−∙−→−BCAD =（ ）10（07天津）在ABC ∆中，0120=∠BAC ，AB=2，AC=1，D 是BC 上一点，DC=2BD ，−→−∙−→−BCAD =（ ） 11（06全国理）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若A ，B ，C 成等差数列，则AB=1，BC=4，则边BC 上的中线AD 的长为（ ）三．正弦定理与余弦定理的综合应用1（06北京）在ABC ∆中，若sinA ：sinB ：sinC=5：7：8，则B ∠的大小是（ ） 2在ABC ∆中，sinA ：sinB ：sinC=3：2：4，则cosC 的值为（ ） A-41 B 41 C-32 D 32 3在ABC ∆中，C C B B A 222sin sin sin sin sin ++=，则∠A=（ ）A300 B 060 C 0120 D 01504（05江苏）在ABC ∆中，A=3π，BC=3，则ABC ∆的周长为（ ） A 3)3sin(34++πB B 3)6sin(34++πB C 3)3sin(6++πB D 3)6sin(6++πB5（05辽宁）若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边与最小边的比值为m ，则m 的范围是（ ）A （1，2）B （2，)∞+C [3，)∞+D （3，)∞+6锐角ABC ∆中，B=2A ，则ab 的取值范围是（ ） A （-2，2） B （0，2） C （2，2） D 3,2）7钝角三角形边长为a,a+1,a+2，其最大角不超过1200，则a 的取值范围是（ ） A （0，30 B[23，3） C （2，3] D[1，)25 8(07广东)已知三个顶点的直角坐标分别为A （3，4），B （0，0）C （c ，0）。
专题3.5 正弦定理和余弦定理(原卷版)
第三篇 三角函数与解三角形 专题3.5 正弦定理和余弦定理【考纲要求】掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 【命题趋势】正、余弦定理是解三角形的主要工具．高考中主要考查用其求三角形中的边和角及进行边、角之间的转化. 【核心素养】本讲的内容主要考查数学运算，直观想象的核心素养. 【素养清单•基础知识】 1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)． a ＝2R sin A b ＝2R sin B c ＝2R sin C ， sin A ＝a 2R sin B ＝b 2R sin C ＝c2R ，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ， a sin B ＝b sin A ， b sin C ＝c sin B ， a sin C ＝c sin A ， a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝2R2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 3．三角形的面积公式(1)S △ABC ＝12ah a (h a 为边a 上的高)；(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．4.在△ABC 中，已知a ，b 和A ，解三角形时解的情况【素养清单•常用结论】 1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sinA ＋B 2＝cosC 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 4．用余弦定理判断三角形的形状在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，当b 2＋c 2－a 2>0时，可知A 为锐角；当b 2＋c 2－a 2＝0时，可知A 为直角；当b 2＋c 2－a 2<0时，可知A 为钝角． 【真题体验】1.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】的内角的对边分别为.若，则的面积为_________．2.【2019年高考浙江卷】在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________．.3.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设．（1）求A ； （2）若，求sin C ．4.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．5.【2019年高考北京卷理数】在△ABC中，a=3，b−c=2，cos B=．（1）求b，c的值；（2）求sin（B–C）的值．6.【2019年高考天津卷理数】在中，内角所对的边分别为．已知，．（1）求的值；（2）求的值．7.【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a =3c ，b =，cos B =，求c 的值；（2）若，求的值．【考法拓展•题型解码】考法一 利用正、余弦定理解三角形 解题技巧：应用正弦、余弦定理的解题技巧(1)求边：利用公式a ＝b sin A sin B ，b ＝a sin B sin A ，c ＝a sin Csin A 或其他相应变形公式求解．(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A ＝a sin B b ，sin B ＝b sin A a ，sin C ＝c sin Aa或其他相应变形公式求解．(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．(4)利用式子的特点转化：如出现a 2＋b 2－c 2＝λab 形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．【例1】 (2018·浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝__________，c ＝__________.【例2】 (2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6. (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．考法二 利用正、余弦定理判断三角形的形状解题技巧：利用正、余弦定理判断三角形形状的两种思路(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论． 注意：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 【例3】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ． (1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．考法三 与三角形面积有关的问题解题技巧：与三角形面积有关问题的常见类型及解题策略(1)求三角形的面积．对于公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化． 【例4】 (1)(2018·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( ) A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6(2)(2018·北京卷)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝__________；ca的取值范围是__________．【例5】 (2016·浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知b ＋c ＝2a cos B ． (1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．【易错警示】易错点 判断三角形形状时容易漏解【典例】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若tan A ∶tan B ＝a 2∶b 2，试判断△ABC 的形状．【错解】：因为sin A cos A ∶sin Bcos B ＝a2∶b2＝sin2A ∶sin2B ，所以sin Acos B cos Asin B ＝sin2A sin2B ，整理得sin 2A ＝sin 2B ，所以A ＝B ，所以△ABC 为等腰三角形．【错因分析】：在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B 与2A ＝2B 是不等价的，我们知道，互为补角的两个角的正弦值也相等，因此，在求解过程中忽视了2A ＋2B ＝π这一特性，因而造成判断错误． 【正解】：因为sin A cos A ∶sin Bcos B ＝a 2∶b 2＝sin 2A ∶sin 2B ，所以sin A cos B cos A sin B ＝sin 2A sin 2B ，整理得sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．【跟踪训练】 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形【递进题组】1．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( ) A ．π12B ．π6C ．π4D ．π32．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若直线bx ＋y cos A ＋cos B ＝0与ax ＋y cos B ＋cos A ＝0平行，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰或者直角三角形3．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b sin C＋c sin B＝4a sin B sin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为__________．4．(2018·北京卷)在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B＝－1 7.(1)求∠A；(2)求AC边上的高．【考卷送检】一、选择题1．(2019·武汉中学期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝3，A＝30°，若B为锐角，则A∶B∶C＝()A．1∶1∶3 B．1∶2∶3C．1∶3∶2 D．1∶4∶12．在△ABC中，∠A＝45°，∠C＝105°，BC＝2，则边长AC＝()A．3－1 B．1C．2 D．3＋13．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A．32B．332C．3＋62D．3＋3944．在△ABC中，若AB＝2，AC2＋BC2＝8，则△ABC面积的最大值为() A． 2 B．2C． 3 D．35．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等腰非等边三角形 C ．等边三角形D ．钝角三角形6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B ．932C ．332D ．3 3二、填空题7．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列．若sin B ＝513，cos B ＝12ac ，则a ＋c 的值为________．8．(2017·浙江卷)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.9．(2019·开封一模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且B 为锐角，若sin A sin B ＝5c2b ，sin B ＝74，S △ABC ＝574，则b 的值为________． 三、解答题10．(2019·邢台质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且b ＝2a sin B ，tan A ＞0. (1)求角A 的大小；(2)若b ＝1，c ＝23，△ABC 的面积为S ，求a S .11．(2019·河南重点高中期中)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2A 2＝c －b2c .(1)判断△ABC 的形状并加以证明； (2)当c ＝1时，求△ABC 周长的最大值．12．已知在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ⊥AD ，AB ＝1，△ABC 的面积为12.(1)求sin ∠CAB 的值； (2)若∠ADC ＝π6，求CD 的长．13．(2019·重庆二中期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b 2＋c 2－a 2＝bc ，AB →·BC →＞0，a ＝32，则b ＋c 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫1，32 B ．⎝⎛⎭⎫32，32C ．⎝⎛⎭⎫12，32D ．⎝⎛⎦⎤12，32。
正弦定理与余弦定理各地高考练习题
一、选择题1.已知在△ ABC 中,sinA:sinB:sinC=3:2:4，那么cosC 的值为1_ 1 2 2A.- 4B. 4C.- 3D. _>2.在△ ABC中，a=入b=，隹入,A=45° ,则满足此条件的三角形的个数是A.0B.1C.2D.无数个3.在△ ABC中，bcosA=acosB,则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1和2x+1（x>1）,则最大角为A.150 °B.120°C.60°D.75°5.在4ABC中，出=1 , BC=2,（须+切）・（项+加）=5+2、5则边|4C|等于A-5 …而杼苕+增A. B .5-2 C. D.6.在△ ABC中，已知B=30° ,b=50，》，c=150,那么这个三角形是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.在△ ABC 中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC,则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8.正弦定理适应的范围是 A.RtA B.锐角△ C.钝角△ D.任意△9.已知△ ABC 中，a=10,B=60° ,C=45° ,贝U c=A.10+ 万B.10（Q-1）C.（而+1）D.10万10.在4ABC中，bsinAvav b,则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定11.三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程5x2-7 x-6=0的根，则三角形的另一边长为A.52B.2 L~C.16D.412.在4ABC 中，a2=b2+c2+bc,则A 等于A.60 °B.45°C.120D.30°= 7c=-13.在△ ABC中， 2 4，则△ ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形14.在△ ABC 中，a=2, A=30° ,C=45° ,则^ ABC 的面积S”BC等于18. 4ABC 中，sin 2A=sin 2B+sin 2C,则△ ABC 为19. 4ABC 中,A=60° ,b=1,这个三角形的面积为 』’3 ,则^AB C 外接圆的直径为15.已知三角形ABC 的三边A.cos 2BB.1-cos 2B16 .在△ ABC 中, A.充分不必要条件条件17 .在△ ABC 中, A.直角三角形C. + +11D ； ( +1)a 、b 、c 成等比数列，它们的对角分别是A 、B 、C,则 sinAsinC 等C.1+cos 2BD.1+sin 2BsinA > sinB 是 A > B 的 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要bCosA=acosB,贝U 三角形为 B.锐角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形26^3A.yB. 2届岳C.二D.-20.在△ ABC 中, ——k:C ，则k 为A.2RB.RC.4R-RD. 2(R 为△ ABC 外接圆半径)二、填空题1.在△ ABC 中, A=60° , C=45° , b=2,则此三角形的最小边长为2.在△ ABC 中, dbc口‘十/十白’3 .在△ ABC 中,a ： b ：c=(0+1):痴:2,则^ ABC 的最小角的度数为 4 .在△ ABC 中，已知 sinA : sinB : sinC=6 ： 5 ： 4,贝U secA=5 . 4ABC 中，匕1ns 2m 方，则三角形为6 .在△ ABC 中，角 A 、B 均为锐角且 cosA>sinB,则△ ABC 是7 .在△ ABC 中，若此三角形有一解，则 a 、b 、A 满足的条件为8 .已知在△ ABC 中，a=10,b=5v6,A=45° JU B= 9 .已知△ ABC 中，a=181,b=209,A=121° 14'，此三角形解.10.在△ ABC 中,a=1,b=1,C=120° 贝U c=.11.在△ ABC 中，若a2>b2+c2,则△ ABC 为；若a2=b2+c2,则△ ABC 为;若a2 v b2+c2且b2v a2+c2且c2< a2+b2,则^ ABC 为.12.在△ ABC 中，sinA=2cosBsinC,则三角形为.sn C 2 yr 外—=—6 +1)13.在△ ABC 中，BC=3, AB=2,且41 8 5 , A=.14.在△ ABC 中，B= V3,C=3,B=30° ,贝(J A=.15.在△ ABC 中，a+b=12,A=60° , B=45° ,贝U a=,b=.16.若2,3,x为三边组成一个锐角三角形，则x的范围为.17.在△ ABC 中，化简bcosC+ccosB=.18.钝角三角形的边长是三个连续自然数，则三边长为.三、解答题1.已知在^ ABC 中，c=10, A=45° , C=30° ,求a、b 和B.2.已知△ ABC的三边长a=3, b=4, c= 437 ,求三角形的最大内角.3.已知在△ ABC中，/ A=45° , a=2, c=^ ,解此三角形.4.在四边形ABCD中，BC=a, DC=2a,四个角A、B、C、D度数的比为3 ： 7 ： 4 ： 10,求AB.5.在△ ABC中，A最大，C最小，且A=2C, A+C=2B,求此三角形三边之比.7.在△ ABC中，最大角A为最小角C的2倍，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、c的值.8.如下图所示，半圆O的直径MN=2, OA=2, B为半圆上任意一点，以AB为一边作正三角形ABC,问B在什么位置时，四边形OACB面积最大？最大面积是多少？9.在△ ABC 中，若sinA : sinB : sinC=m : n ： l,且a+b+c=S,求a.10.根据所给条件，判断△ ABC的形状(1) acosA=bcosB值_ b _ 白oosA. 8s R oosC(2)11.△ABC中，a+b=10,而cosC是方程2x2—3x— 2=0的一个根，求^ ABC周长的最小值.12.在△ ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,A—C= 3 ,求sinB的值.13.已知△ ABC 中，a=1,b= J^,A=30°，求B、C 和c.14.在△ ABC中，c=242, tanA=3,tanB=2,试求a、b及此三角形的面积.15.已知S AABC=10，》,一个角为60° ,这个角的两边之比为5 : 2,求三角形内切圆的半径.* ”------ - 二二口，且7cosm =bcosA16.已知△ ABC中，a-\-b-c，试判断^ ABC的形状.l7tanC=-217.已知△ ABC的面积为1, tanB=2 ，求4ABC的各边长.18.求值：an cos2 800+ j5an20o<xK80c19.已知△ ABC勺面积S=底口 = = 2解此三角形.20.在△ ABC 中，a="G,b=2,c=^^+1 ,求A、B、C 及&.21.已知(a2+bc) x2+2 V* * + 1=0是关于x的二次方程，其中a、b、c是4ABC的三边，⑴若/ A为钝角，试判断方程根的情况.(2)若方程有两相等实根，求/ A的度数.22.在4ABC 中，(a2+b2) sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),判断△ ABC 的形状.元23.在△ ABC中，u = 2J"，a>b,C= 4 ,且有tanA • tanB=6,试求a、b以及此三角形的面积.24.已知：k是整数，钝角△ ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c二+ A = 7/ < 3(1)若方程组国+D有实数解，求k的值.向-7^ ，, N T 2 (2)对于(1)中的k值，若“且有关系式- 上，试求A、B、C的度数.试题本一地区：四川文科卷年份：2012分值：5.0 难度：31. 如图，正方形&C0的边长为1 ,延长至1T ,使= l ,连接因.即snZ.<^D=()4.在△山C 中，角凡及U 对应的边分别是 值力£.已知他门乂-3期（8+0-1 . （I ）求角X 的大小；（n ）若 MBC 的面积& =5邛，匕=5 ,求sm £sinC 的值.地区：浙江理科卷 年份：2013 分值：4.0 难度：3血NBA 财'=—5. △ABC 中，IZC = 90。
新高考数学正弦定理、余弦定理和面积公式专题测试题
5．在 中，已知 ， ， ，则角 为（）
A． B． C． D．
6．在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，则 （）
A． B． C． D．
7．已知锐角 的面积为 ， ，则角C的大小为（）
A．60°或120°B．120°C．60°D．30°
8．在△AB C中，若 ，则A=（）
A． 是 的充要条件
B． ， ，若 ，则这样的三角形有两个
C．若 ，则 为钝角三角形
D． 的面积公式为
19．钝角△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=7，b=5， ，则（）
A． B．
C． D．
20．在 中角 的对边分别为 ， ，则（）
A．
B． 的面积为 或
C． 是锐角三角形
D． 的外接圆面积是
当 时， ，
当 时， ，
所以 的面积为 或 ，故B正确；
当 时， ，此时 为钝角三角形，故C错误；
设 的外接圆半径为 ，由正弦定理可得 ，所以 ，所以外接圆面积为 ，故D正确.故选：BD.
21．ACD【详解】因为 ， ，所以角 是锐角，
， ， ，所以三角形是等边三角形.
故选：ACD
整理得：ac＝3，①
由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2accosB，即9＝a2+c2+ac＝（a+c）2﹣ac＝（a+c）2﹣3，
整理得：a+c＝2 ，②
联立①②，解得：a＝c ，则△ABC为等腰三角形，故选：C．
16．D【详解】解：因为 ，所以 ．
由 ，得 ．
由余弦定理 ，得 ，
得 ，即 ，所以 的周长为 ．故选：D
故选：AD.
高考数学 3.7 正弦定理和余弦定理练习
课时提升作业(二十二)正弦定理和余弦定理(25分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在△ABC 中,B=45°,C=60°,c=2,则最短边的长为( )A.263B. 6C.1D.3【解析】选A.因为B=45°,C=60°,所以A=180°-(B+C)=75°,B<C<A.故最短的边为b,由正弦定理,得b c sin B sin C =,所以b=2sin 4526.sin 603︒=︒g2.在△ABC 中,A=3π,BC=3,AB=6,则C=( )【解题提示】把用大写字母表示的边长改为小写字母,再用正弦定理求解.【解析】选C.BC=a=3,A B=c=6,由正弦定理,得sin C=csin A 2,a= 又a=3,c=6,所以a>c,即A>C,故C 为锐角,所以C=4π.【误区警示】本题容易由sin C=csin A a 得sin C=22,没有利用a>c 判断A>C,就得出C=4π或34π.从而导致增解.3.(2015·温州模拟)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若a2-b2=3bc,3则A=( )A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】选A.因为sin C=23sin B,所以由正弦定理得 c=23b, 因为a2-b2=3bc,所以a2=b2+3b ·23b=7b2,即a=7b,cos A=222222bc a 32bc 22b 23b 43+-===g因为0°<A<180°,所以A=30°. 【加固训练】(2014·唐山模拟)若△ABC 的内角A,B,C 满足6sin A=4sin B=3sin C,则cos B=( )【解析】选D.由6sin A=4sin B=3sin C,得sin A ∶sin B ∶sin C=2∶3∶4.设角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,则由正弦定理知a ∶b ∶c=2∶3∶4,令a=2k,b=3k,c=4k(k>0),则cos B=()2222222243k a c b 11.2ac 22k 4k 16+-+-==⨯⨯g4.(2015·海淀模拟)在△ABC 中,a=3,b=4,sin A=35,则sin C=( )A.1B.1或725C.1或-725D.1或59 【解题提示】先由正弦定理求sin B,再由内角和定理转化求sin C.【解析】选B.因为a b sin A sin B =,所以sin B=34bsin A 45a 35⨯==,因为b>a,所以B>A,故A 为锐角,B 为锐角或钝角,所以241sin A ,5-=当B 为锐角时231sin B ,5-=此时sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B =33445555⨯+⨯=1. 当B 为钝角时,cos B=231sin B ,5--=- 此时,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=33447().555525⨯-+⨯= 故选B.【误区警示】解答本题易误选A.出错的原因是求出sin B 的值后,没有根据a<b 讨论B 为钝角的情况.5.(2015·临沂模拟)在△ABC 中,若sin B ·sin C=cos2A2,且sin2B+sin2C=sin2A,则△ABC 是( )A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【解题提示】把每个等式化简变形,逐一进行判断.【解析】选D.因为sin Bsin C=cos2A 2=1cos A2+,所以2sin Bsin C=1+cos[π-(B+C)]=1-cos(B+C)=1-cos Bcos C+sin Bsin C,即cos Bcos C+sin Bsin C=1,所以cos(B-C)=1.因为B,C 是△ABC 的内角,所以B-C=0,即B=C,又因为sin2B +sin2C=sin2A,即b2+c2=a2.所以A=90°,故△ABC 为等腰直角三角形.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·大同模拟)△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知c=3,C=3π,a=2b,则b 的值为 .【解析】由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C,即32=(2b)2+b2-2·2b ·b ·cos 3π,解得3.答案: 3【加固训练】若A=60°,a=7,b=5,则c= .【解题提示】直接用余弦定理列出关于c 的方程求解.【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,所以49=25+c2-2×5×c ×cos 60°,即c2-5c-24=0,解得c=8(c=-3舍去).答案:87.(2015·中山模拟)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若acos A=bsin B,则sin 2A+cos 2B= .【解题提示】化边为角,把二倍角化为单角,利用整体代入的方法求值.【解析】由正弦定理,得sin Acos A=sin2B,sin 2A+cos 2B=2sin Acos A+2cos2B-1=2sin2B+2cos2B-1=2(sin2B+cos2B)-1=1.答案:1 8.已知以2,3,x 为边长的三角形不是钝角三角形,则x 的取值范围是 .【解题提示】由较大的边对的角都不是钝角,根据余弦定理列不等式组求解.【解析】因为2<3,所以只需2222222x 3,23x ,⎧+≥⎪⎨+≥⎪⎩即5≤x2≤13,又因为x>0,所以5≤x ≤13.答案:[ 5, 13]三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2014·安徽高考)设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a 的值. (2)求sin(A+4π)的值.【解题提示】根据三角函数的和角、倍角公式及正、余弦定理解答.【解析】(1)因为A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B,由正、余弦定理得a=2b ·222a cb 2ac +-,因为b=3,c=1,所以a2=12即3.(2)由余弦定理得cos A=222b c a 91121,2bc 63+-+-==-因为0<A<π,所以2221cos A 3-=故sin(A+4π)=sin Acos 4π+cos Asin 4π=46-10.(2015·大连模拟)在△ABC 中,a2+c2-b2=ac,(1)求角B 的大小.(2)求sin Asin C 的最大值.【解题提示】(1)由余弦定理求B 的大小.(2)利用内角和定理消元,转化成关于C 或A 的三角函数,然后求函数的最大值.【解析】(1)在△ABC 中,由已知和余弦定理, cos B=222a c b 1,2ac 2+-= 因为B ∈(0,π),所以B=3π.(2)在△ABC 中,sin C=sin(A+B)=sin(A+3π) =12sin A+cos A,所以sin Asin C=sin A(12sin A+cos A) =12=11cos2A (sin2A)222-+ =12sin(2A-6π)+14,因为0<2A<43π,所以-6π<2A-6π<76π,故当A=3π时,sin Asin C 有最大值34.【加固训练】(2015·天津模拟)已知锐角△ABC 中,角A,B,C 对应的边分别为a,b,c,tan A=(1)求A 的大小.(2)求cos B+cos C 的取值范围.【解析】(1)由余弦定理知b2+c2-a2=2bccos A,所以tan A=33sin A ,2cos A 2⇒= 因为A ∈(0,2π),所以A=3π.(2)因为△ABC 为锐角三角形且B+C=23π,所以6π<B=23π-C<2π,cos B+cos C=cos B+cos(23π-B)=cos B+cos 23πcos B+sin 23πsin B=12cos B+3sin B=sin(B+6π).因为3π<B+6π<23π,所以3<sin(B+6π)≤1,即cos B+cos C 的取值范围是(32,1].(20分钟 40分)1.(5分)(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b ,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=( )A.10 B .9 C.8 D.5【解析】选D.因为23cos2A+cos 2A=0,所以23cos2A+2cos2A-1=0,解得cos2A=125,因为△ABC为锐角三角形,所以cos A=15,sin A=265.由正弦定理a csin A sin C=得,6.sin C26=sin C=126,cos C=1935.又B=π-(A+C),所以sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=26191126506. 535535175⨯+⨯=由正弦定理a bsin A sin B=得,26506=,解得b=5.【一题多解】本题还可如下解答选D.因为23cos2A+cos 2A=0,所以23cos2A+2cos2A-1=0,即cos2A=1 25,因为△ABC为锐角三角形,所以cos A=1 5,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,即49=b2+36-125b,5b2-12b-65=0,解得b=5或b=-135(舍去),故b=5.2.(5分)(2015·合肥模拟)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且cos 2B+cos B+cos(A-C)=1,则()A.a,b,c成等差数列B.a,b,c成等比数列C.a,c,b成等差数列D.a,c,b成等比数列【解析】选B.由cos 2B+cos B+cos(A-C)=1变形得:cos B+cos(A-C)=1-cos 2B, 因为cos B=cos[π-(A+C)]=-cos(A+C),cos 2B=1-2sin2B,所以上式化简得:cos(A-C)-cos(A+C)=2sin2B,所以2sin Asin C=2sin2B,即sin Asin C=sin2B,由正弦定理a b c sin A sin B sin C ==得:ac=b2,则a,b,c 成等比数列.故选B.3.(5分)(2015·攀枝花模拟)已知函数f(x)=x3-3x,若△ABC 中,角C 是钝角,那么( )A.f(sin A)>f(cos B)B.f(sin A)<f(cos B)C.f(sin A)>f(sin B)D.f(sin A)<f(sin B)【解题提示】利用三角函数的单调性判断sin A 和cos B 的大小或sin A 与sin B 的大小,再利用函数f(x)的单调性进行判断.【解析】选A.因为f(x)=x3-3x,所以f ′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).故函数f(x)在区间(-1,1)上是减函数,又角C 是钝角,所以A+B<2π且A,B 都是锐角,所以0<A<2π-B<2π,所以sin A<sin(2π-B)=cos B,故f(sin A)>f(cos B),选A.4.(12分)(2015·哈尔滨模拟)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角A,B,C 的对边,且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.(1)求A 的大小.(2)若sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状.【解析】(1)由已知,根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,故cos A=-12,A=120°.(2)由(1)得sin2A=sin2B+sin2C+sin B sin C,变形得34=(sin B+sin C)2-sin Bsin C,又sin B+sin C=1,得sin Bsin C=14,上述两式联立得sin B=sin C=12,因为0°<B<90°,0°<C<90°,故B=C=30°,所以△ABC 是等腰的钝角三角形.【方法技巧】判断三角形的形状的思路与依据(1)思路:必须从研究三角形的边与边的关系,或角的关系入手,充分利用正弦定理与余弦定理进行转化,即化边为角或化角为边,使边角统一.(2)判断依据:①等腰三角形:a=b 或A=B.②直角三角形:b2+c2=a2或A=90°.③钝角三角形:a2>b2+c2,A>90°.④锐角三角形:若a 为最大边,且满足a2<b2+c2或A 为最大角,且A<90°.5.(13分)(能力挑战题)已知a,b,c 分别为△ABC 三个内角A,B,C 的对边, acos C+3asin C-b-c=0.(1)求A 的大小.(2)若△ABC 的面积S=3,b+c=4,求sin Bsin C 的值.【解题提示】(1)利用正弦定理及三角恒等变换求角A.(2)利用面积公式、余弦定理、正弦定理求解.【解析】(1)因为3asin C-b-c=0,所以由正弦定理,得3sin Asin C-sin B-sin C=0, 因为B=π-(A+C),所以33因为sin C ≠0,3sin A-cos A=1,即2sin(A-6π)=1,sin(A-6π)=12,因为A ∈(0,π),所以A-6π=6π,即A=3π.(2)因为S △=12bcsin A=3bc=3,所以bc=43,又因为b+c=4,所以a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=16-4=12,即3由正弦定理,得b c a 234,sin B sin C sin A sin 3====所以sin B=b 4,sin C=c 4,sin Bsin C=bc 1.1612=。
三角函正弦余弦定理大题
三角函数2018年：4.(本小题13分)(2018·北京高考文科·T16)已知函数f(x)=sin2x+sin x cos x.(1)求f(x)的最小正周期.(2)若f(x)在区间上的最大值为,求m的最小值.【命题意图】考查三角函数图象与性质,以及三角恒等变换,意在考查灵活运用公式与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,数形结合思想,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.【解析】(1)由已知,f(x)=(1-cos2x)+sin2x=sin2x-cos2x+=sin(2x-)+,所以f(x)的最小正周期为T==π.(2)方法一:显然m>-,若x∈,则2x∈,2x-∈,①若2m-<即m<,则f(x)在[-,m]上的最大值小于,不合题意.②若2m-≥即m≥,当2x-=即x=时,f(x)在[-,m]上取得最大值,符合题意,综上,m的最小值为.方法二:显然m>-,因为f(x)在[-,m]上的最大值为,所以y=sin(2x-)在[-,m]上的最大值为1,又因为当且仅当2x-=+2kπ,即x=+kπ(k∈Z)时,y=sin(2x-)=1.所以[-,m]∩{x|x=+kπ(k∈Z)}≠∅,令+kπ≥-(k∈Z)得k≥-,即k=0,1,2,…所以x=+0×π=∈[-,m],即m≥,所以m的最小值为.9.(本小题满分14分)(2018·江苏高考·T16)已知α,β为锐角,tanα=, cos(α+β)=-.(1)求cos2α的值.(2)求tan(α-β)的值.【解析】(1)因为tanα=,tanα=,所以sinα=cosα.因为sin 2α+cos 2α=1,所以cos 2α=,因此,cos2α=2cos 2α-1=-.(2)因为α,β为锐角,所以a +β∈(0,π).又因为cos(α+β)=-,所以sin(α+β)==,因此tan(α+β)=-2.因为tan α=,所以tan2α==-,因此,tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]==-.10.(2018·浙江高考T18)(本题满分14分)已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P .(Ⅰ)求sin(α+π)的值;(Ⅱ)若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值.【命题意图】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识,同时考查运算求解能力.【解析】(Ⅰ)由角α的终边过点P 得sin α=-,所以sin(α+π)=-sin α=.(Ⅱ)由角α的终边过点P得cos α=-,由sin(α+β)=得cos(α+β)=±.由β=(α+β)-α得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,所以cos β=-或cos β=.2017年4.(2017·北京高考文科·T16)已知函数f(x)=cos （2x-3π）-2sin x cos x. (1)f(x)的最小正周期.(2)求证:当x ∈44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，时,f(x)≥-12.【命题意图】本题主要考查三角恒等变换,意在培养学生的转化能力,计算能力.（16）（共13分）解：（Ⅰ）31π()2sin 2sin 2sin 22sin(2)223f x x x x x x x =+-==+. 所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==. （Ⅱ）因为ππ44x -≤≤， 所以ππ5π2636x -≤+≤.所以ππ1sin(2)sin()362x +≥-=-.所以当ππ[,]44x ∈-时，1()2f x ≥-.【规律方法】化为“三个一”:三角函数的最值、周期等问题通过利用辅助角公式把三角函数化为式子f (x )=A cos (ωx+φ)+B 或f (x )=A sin (ωx+φ)+B 的“三个一”的形式即一个式子,一个三角函数名称,最高次数是1,进而便于求最值、周期等.17.2017山东高考真题：ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .设()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-.（1）求A ；（22b c +=，求sin C .17.答案：略 解答：（1）由()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-得222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 结合正弦定理得222b c a bc +-=∴2221cos =22b c a A b c +-=⋅⋅又(0,)A π∈，∴=3A π.（22b c +=sin 2sin A B C +=,()sin 2sin A A C C ++=∴sin()2sin 23C C π++=,∴1cos 222C C -=∴sin()62C π-=又203C π<<∴662C πππ-<-< 又sin()06C π->∴062C ππ<-<∴cos 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴sin sin()66C C ππ=-+=sin cos cos sin 6666C C ππππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=. 2016年13.(2016·山东高考文科·T17)设f(x)=2sin (π-x)sin x-(sin x-cos x)2. (1)求f(x)的单调递增区间.(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移π3个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g π6⎛⎫⎪⎝⎭的值.【解题指南】经过三角恒等变换,结合辅助角公式求出f(x)=2sin π2x 3⎛⎫-⎪⎝⎭-1,下面的单调区间和图象变换都易解决.【解析】(1)f(x)=2(π-x)sin x-(sin x-cos x)2=22x-(1-2sin x cos x)=1-cos2x)+sin2x-1=sin2x-cos2-1=2sin π2x 3⎛⎫-⎪⎝⎭-1, 令2k π-π2≤2x-π3≤2k π+π2(k ∈Z ), 解得,k π-π12≤x ≤k π+5π12(k ∈Z ), 所以,f(x)的单调递增区间为π5k π,k ππ1212⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ).(2)由(1)知,f(x)=2sin π2x 3⎛⎫-⎪⎝⎭-1,经过变换后,g(x)=2sin x+-1,所以g π6⎛⎫ ⎪⎝⎭=2sin π6⎛⎫⎪⎝⎭-1=14.(2016·天津高考理科·T15)已知函数f(x)=4tan x sin πx 2⎛⎫- ⎪⎝⎭cos πx 3⎛⎫- ⎪⎝⎭-.(1)求f(x)的定义域与最小正周期. (2)讨论f(x)在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性. 【解题指南】(1)正切化弦,然后利用诱导公式、两角差的余弦公式、降幂公式以及辅助角公式把f(x)整理为y=A sin (ωx+ψ)+b 的形式.(2)令t=2x-π3,结合y=sin x 的单调性讨论.【解析】f=4tan x sin πx 2⎛⎫-⎪⎝⎭cos πx 3⎛⎫- ⎪⎝⎭-=4sin x 1cosx sinx 22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=sin2()1cos2x --=sin2x-cos2x =2sin π2x 3⎛⎫-⎪⎝⎭. (1)定义域πx x k π,k Z 2⎧⎫⎪⎪≠+∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭,T=2π2=π. (2)-π4≤x ≤π4,-5π6≤2x-π3≤π6,设t=2x-π3, 因为y=sin t 在t ∈5ππ,62⎡⎤--⎢⎥⎣⎦时单调递减,在t ∈ππ,26⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时单调递增.由-5π6≤2x-π3≤π6,解得-π4≤x ≤-π12,由-π2≤2x-π3≤π6,解得-π12≤x ≤π4, 所以函数f(x)在ππ,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,在ππ,412⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减.15.(2016·北京高考文科·T16)已知函数f(x)=2sin ωx cos ωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值.(2)求f(x)的单调递增区间.【解题指南】首先把f(x)化成正弦型函数的形式,求出ω.再用整体法求单调递增区间.【解析】(1)f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin π2ωx 4⎛⎫+ ⎪⎝⎭,最小正周期T=2π2ω=π,所以ω=1.(2)f(x)=2sinπ2x4⎛⎫+⎪⎝⎭,由-π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ,k∈Z得,-3π8+kπ≤x≤π8+kπ,k∈Z,所以单调递增区间为3ππkπ,kπ88⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦(k∈Z).正弦余弦定理高考真题7.(本小题13分)(2018·北京高考理科·T15)在△ABC中,a=7,b=8,cos B=-.(1)求∠A.(2)求AC边上的高.【命题意图】考查运用正弦定理、余弦定理解三角形,意在考查灵活运用公式与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.【解析】方法一:(1)由余弦定理,cos B===-,解得c=-5(舍),或c=3,所以cos A===,又因为0<A<π,所以A=.(2)设AC边上的高为h,则sin A=,所以h=c sin A=3×sin=,即AC边上的高为.方法二:(1)因为cos B=-<0得角B为钝角,由三角形内角和定理,角A为锐角,又sin2B+cos2B=1,所以sin B>0,sin B=,由正弦定理,=,即sin A=sin B=×=,又因为0<A<,所以A=.(2)设AC边上的高为h,则h=a sin C,由(1)及已知,sin C=sin(A+B)=sin A cos B+sin B cos A=×(-)+×=,所以h=a sin C=7×=,即AC边上的高为.8.(本小题满分13分)(2018·天津高考理科·T15)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b sin A=a cos.(Ⅰ)求角B的大小;(Ⅱ)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.【命题意图】本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.【解析】(Ⅰ)在△ABC中,由正弦定理=,可得b sin A=a sin B,又由b sin A=a cos,得a sin B=a cos,即sin B=cos,所以sin B=cos B+sin B,可得tan B=.又因为B∈(0,π),可得B=.(Ⅱ)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有b2=a2+c2-2ac cos B=7,故b=.由b sin A=a cos,可得sin A=.因为a<c,故cos A=.因此sin2A=2sin A cos A=,cos2A=2cos2A-1=.所以,sin(2A-B)=sin2A cos B-cos2A sin B=×-×=.9.(本小题满分13分)(2018·天津高考文科·T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b sin A=a cos.(Ⅰ)求角B的大小.(Ⅱ)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.【命题意图】本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.【解析】(Ⅰ)在△ABC中,由正弦定理=,可得b sin A=a sin B,又由b sin A=a cos,得a sin B=a cos,即sin B=cos,所以sin B=cos B+sin B,可得tan B=.又因为B∈(0,π),可得B=.(Ⅱ)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有b2=a2+c2-2ac cos B=7,故b=.由b sin A=a cos,可得sin A=.因为a<c,故cos A=.因此sin2A=2sin A cos A=,cos2A=2cos2A-1=.所以,sin(2A-B)=sin2A cos B-cos2A sin B=×-×=.三、解答题5.(2017·北京高考理科·T15)在△ABC中,∠A=60°,c=37 a.(1)求sin C的值.(2)若a=7,求△ABC的面积.【命题意图】本题主要考查解三角形的内容,意在培养学生的计算能力与分析图形的能力.【解析】(1)根据正弦定理sinA a =sinCc ,所以sin C=sinA c a =37×sin60°=37×2=14.(2)当a=7时,c=37a=3,因为sin C=14,c<a,所以cos 1314, 在△ABC 中,sin B=sin [π-(A+C)]=sin (A+C) =sin A ×cos C+cos A ×sin C=1314+12×,所以S △ABC =12ac ×sin B=12×7×3×7=6【答题模版】1.看到边角混合等式,想到利用正弦、余弦定理将“边、角相混合”的等式转化为“边和角的单一”形式. 2.看到边a ,b ,c 的平方关系想到余弦定理的变形形式.6.(2017·全国丙卷·理科·T174)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sin A=0,a=,b=2. (1)求c.(2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥AC,求△ABD 的面积.【命题意图】本题主要考查正弦定理和余弦定理,考查学生分析问题、解决问题的能力.【解析】(1)因为sin A+cos A=0,所以sin A=-cos A,所以tan A=-. 因为A ∈(0,π), 所以A=23. 由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A,代入a=22得c 2+2c-24=0, 解得c=-6(舍去)或c=4, 所以c=4. (2)由(1)知c=4.因为c 2=a 2+b 2-2ab cos C,所以16=28+4-2×2×2×cos C,所以cos C=7,所以sin C=7,所以tan 在Rt △CAD 中,tan C=ADAC,所以2AD ,即AD=.则S △ADC =12×2×由(1)知S △ABC =12·bc ·sin A=12×2×4×2所以S △ABD =S △ABC -S △ADC =27.(2017·全国甲卷理科·T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sin (A+C)=8sin 22B . (1)求cos B.(2)若a+c=6,△ABC 的面积为2,求b.【命题意图】考查三角恒等变换、三角形面积公式以及余弦定理,意在考查学生的化归思想方法和求解运算能力.【解析】(1)由题设及A+B+C=π得sin B=8sin 22B,故sin B=4(1-cos B), 上式两边平方,整理得17cos 2B-32cos B+15=0, 解得cos B=1(舍去),cos B=1517, (2)由cos B=1517得sin B=817,故S △ABC =12ac sin B=417ac, 又S△ABC =2,则ac=172,由余弦定理及a+c=6得b 2=a 2+c 2-2ac cos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2×172×15117⎛⎫+ ⎪⎝⎭=4,所以b=2. 【方法技巧】有关解三角形的问题(1)此题型为高考高频考点,命题大多放在解答题的第一题,主要利用三角形的内角和定理,正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题.(2)解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”,另外要注意a+c ,ac ,a 2+c 2三者的关系.8.(2017·全国乙卷理科·T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为23sin a A.(1)求sin B sin C.(2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC 的周长.【命题意图】本题主要考查三角函数及其变换,正弦定理,余弦定理等基础知识的综合应用.【解析】(1)因为△ABC 面积S=23sinAa且S=12bc sin A, 所以23sinA a=12bc sin A,所以a 2=32bc sin 2A, 由正弦定理得sin 2A=32sin B sin C sin 2A, 由sin A ≠0得sin B sin C=32.(2)由(1)得sin B sin C=23,又cos B cos C=16,因为A+B+C=π,所以cos A =cos ()B C π--=-cos ()B C +=sin B sin C -cos B cos C =12, 又因为A ∈()0,π,所以A=3π,sin A=cos A=12,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-bc=9 ①, 由正弦定理得b=sinA a ·sin B,c=sinAa ·sin C, 所以bc=22sin Aa ·sin B sin C=8 ②,由①②得b+c=所以a+b+c=3+即△ABC 的周长为3+【反思总结】在处理解三角形问题时,要注意抓住题目所给的条件,当题设中给定三角形的面积,可以使用面积公式建立等式,再将所有边的关系转化为角的关系,有时需将角的关系转化为边的关系;解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角,求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角,再有另外一个条件,求面积或周长的值”,这类问题通法思路是:全部转化为角的关系,建立函数关系式,如y=A sin (ωx+φ)+b,从而求出范围,或利用余弦定理以及基本不等式求范围;求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.9.(2017·天津高考理科·T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sin B=35.(1)求b 和sin A 的值.(2)求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【命题意图】本题考查正、余弦定理的应用及三角恒等变换.考查学生分析问题、解决问题的能力.【解析】(1)△ABC 中,a>b,sin B=35,所以cos B=45,由余弦定理得,b 2=a 2+c 2-2ac cos B=13,所以由正弦定理得,sin A=sinB a b=(2)由(1)知sin A=13,又a<c,cos A=13,sin2A=2sin A cos A=1213, cos2A=1-2sin 2A=-513,所以,sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=sin2A cos 4π+cos2A sin 4π=.【误区警示】在上述解题过程中,若忽略了大边对大角这一性质,就会出现角A 、角B 的余弦值为负值的情况,从而导致错误的结果.10.(2017·天津高考理科·T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a sin A=4b sin(a 2-b 2-c 2).(1)求cos A 的值. (2)求sin (2B-A)的值.【命题意图】本题考查正、余弦定理的应用及三角恒等变换.考查学生分析问题、解决问题的能力. 【解析】(1)由a sin A=4b sin B,及sinA a =sinBb ,得a=2b. 由ac=(a 2-b 2-c 2),及余弦定理,得cos A=2222b c abc+-=5ac=- (2)由(1)可得sinA=5,代入a sin A=4b sin B,得sin B=sinA4a b=5. 由(1)知,A 为钝角,所以cosB==5,于是sin2B=2sin B cos B=45, cos2B=1-2sin 2B=35,故sin (2B-A)=sin2B cos A-cos2B sin A=45×⎛⎝⎭-35×11.(2017·山东高考文科·T17)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=3,AB ·AC =-6,S △ABC =3,求A 和a.【命题意图】本题考查向量的数量积公式、三角形面积公式和余弦定理的应用,意在考查考生的转化与化归的能力和运算求解能力.【解析】因为AB ·AC =-6,所以bc cos A=-6,又S △ABC =3,所以bc sin A=6,因此tan A=-1,又0<A<π,所以A=34π,又b=3,所以c=2, 由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A,得a 2=9+8-2×3××(=29,所以.12.(2017·浙江高考·T14)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D 为AB 延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC 的面积是 ,cos ∠BDC= . 【命题意图】本题主要考查三角函数和正余弦定理的应用.【解析】因为△ABC 中,AB=AC=4,BC=2,所以由余弦定理得cos ∠ABC=2222AB BC AC AB BC +-⋅=222424242+-⨯⨯=14,则sin ∠DBC=sin ∠ABC=4,所以S △BDC =12BD ·BC sin ∠DBC=2,因为BD=BC=2,所以∠BDC=12∠ABC,则cos ∠4.答案:7.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知2cos C(a cos B+b cos A)=c. (1)求C.(2)若c=π3,△ABC 的面积为,求△ABC 的周长. 【解析】(1)2cos C(a cos B+b cos A)=c,由正弦定理得:2cos C(sin A ·cos B+sin B ·cos A)=sin C, 2cos C ·sin (A+B)=sin C. 因为A+B+C=π,A,B,C ∈(0,π), 所以sin (A+B)=sin C>0, 所以2cos C=1,cos C=12. 因为C ∈(0,π),所以C=π.3(2)由余弦定理得:c2=a2+b2-2ab·cos C,7=a2+b2-2ab·1,2(a+b)2-3ab=7,ab·sin C=ab=,S=12所以ab=6,所以(a+b)2-18=7,a+b=5,所以△ABC的周长为a+b+c=5+.8.(2016·浙江高考文科·T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a cos B.(1)证明:A=2B.(2)若cos B=2,求cos C的值.3【解题指南】(1)由正弦定理及两角和的正弦公式可得sinΒ=sin(Α-Β),再判断Α-Β的取值范围,进而可证Α=2Β;(2)由cos B的值可以求出A的三角函数值,又由C=π-(A+B)的关系求cos C的值.【解析】(1)由正弦定理得sin B+sin C=2sin A cos B,故2sin A cos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin A cos B+cos A sin B,于是,sin B=sin(A-B),又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以B=π-(A-B)或B=A-B,因此,A=π(舍去)或A=2B, 所以,A=2B.(2)由cos B=23,得sincos2B=2cos 2B-1=-19, 故cos A=-19,sin, cos C=-cos (A+B)=-cos A cos B+sin A sin B=2227. 9.(2016·山东高考理科·T16)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知2(tan A+tan B)=tanA tanBcosB cosA+. (1)证明:a+b=2c. (2)求cos C 的最小值.【解题指南】利用三角恒等变换与正、余弦定理求解. 【解析】(1)由题意得,2(sin A cos B+sin B cos A) =sin A+sin B,即2sin (A+B)=sin A+sin B,又A+B+C=π, 所以,sin A+sin B=2sin C,由正弦定理得a+b=2c. (2)由(1)知,c=a b2+,由余弦定理得, cos C=222222a b a b 2a b c 3a b 112ab 2ab8b a 42⎛⎫++- ⎪⎛⎫+-⎝⎭=+-≥ ⎪⎝=⎭. 所以cos C 的最小值为12.10.(2016·四川高考文科·T18)同(2016·四川高考理科·T17)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且cosA cosB cosCa b c+=. (1)证明:sin A sin B=sin C. (2)若b 2+c 2-a 2=65bc,求tan B.【解题指南】(1)利用正弦定理,将边角进行转化,结合诱导公式进行证明.(2)利用余弦定理解出cos A=35,再根据平方关系解出sin A,代入已知中,解出tan B 的值. 【解析】(1)由正弦定理cosA cosB cosCa b c+=,可知原式可以化解为cosA cosB cosCa b c+==1,因为A 和B 为三角形内角,所以sin A sin B ≠0, 则两边同时乘以sin A sin B,可得sin B cos A+sin A cos B=sin A sin B,由和角公式可知,sin B cos A+sin A cos B=sin (A+B)=sin (π-C)=sin C,原式得证.(2)由题b 2+c 2-a 2=65bc,根据余弦定理可知,cos A=222b c a 32bc 5+-=.因为A 为三角形内角,A ∈(0,π),sin A>0,则sin 45=,即cosA sinA =34,由(1)可知cosA cosB cosC a b c +==1,所以cosB 11sinB tanB 4==,所以tan B=4. 11.(2016·天津高考文科·T15)(本小题满分13分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c,已知a sin2sin A. (1)求B.(2)若cos A=13,求sin C 的值.【解题指南】(1)利用正弦定理实现边化角,化简得到cos B,结合B 的范围得出B. (2)利用三角形内角和为π,将所求角化为两已知角的和,再根据两角和的正弦公式求解.【解析】(1)在△ABC 中,由a bsinA sinB=可得a sin B=b sin A,又由a sin2b sin A得2a sin B ·cos B=b sin A,整理得cos B=,因为B 为△ABC 的内角,所以B=π6.(2)在△ABC 中,sin C=sin [π-(A+B)]=sin (A+B),由cos A=13得sin A=所以sin C=sin πA 6⎛⎫+⎪⎝⎭=A+12cos 2019江苏15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b =，cos B =23，求c 的值； 15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.解：（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3))323c c c c +-=⨯⨯，即213c =.所以c =（2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos 5B =.因此πsin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭2019天津15.（本小题满分13分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =. （Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 15.本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力，满分13分. （Ⅰ）解：在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =.又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =.由余弦定理可得222222416199cos 22423a a aa cb B a a +-+-===-⋅⋅.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭， 2019北京（15）（本小题13分）在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12-． （Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B –C ）的值．（15）（共13分）解：（Ⅰ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22213232b c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭.因为2b c =+，所以2221(2)3232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭. 解得5c =. 所以7b =. （Ⅱ）由1cos 2B =-得sin B =.由正弦定理得sin sin 14c C B b ==. 在ABC △中，∠B 是钝角， 所以∠C 为锐角.所以11cos 14C ==.所以sin()sin cos cos sin B C B C B C -=-=. 2019全国1卷17.ABC∆的内角,,A B C的对边分别为,,a b c.设()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-.（3）求A ；（4）若2b c +=，求sin C .17.答案：略 解答：（3）由()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-得222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 结合正弦定理得222b c a bc +-=∴2221cos =22b c a A b c +-=⋅⋅又(0,)A π∈，∴=3A π.（42b c +=sin 2sin A B C +=,()sin 2sin A A C C ++=sin()2sin 3C C π++=,1cos 2C C -=∴sin()6C π-=又203C π<<∴662C πππ-<-< 又sin()06C π->∴062C ππ<-<∴cos 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴sin sin()66C C ππ=-+=sin cos cos sin 6666C C ππππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=.。
必修5：三角函数专题：正余弦定理-全国卷一历年文理高考题,已分类)(可编辑修改word版)
正弦定理、余弦定理练习题思路：边化角，角化边，优先考虑边化角，优先考虑正弦定理。
步骤：1.将已知条件均化成边（角）；2.化简整理。
（利用辅助角公式，两角和公式正逆使用，约分通分， 两边平方，三角化两角等）。
3.利用已知角的余弦定理、面积公式，及已知的一边三个关系式，求其它边或三角形的周长。
正余弦定理基本知识点（精简）.三角形中的常见结论⑴ A B C , C=180°—(A+B).⑵sin( A + B ) = sin C ， cos( A + B ) = -cos C ， tan( A + B ) = - tan C ； sin A + B = cos C ， cos A + B = sin C ， tan A + B = cot C ；2 2 2 2 2 2（3）辅助角公式（4）两角和公式的正逆用（5）倍半角公式⑶ A > B ⇔ a > b ⇔ sin A > sin B ⇔ cos A < cos B .⑷三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.⑸三角形中最大角大于等于60 ，最小角小于等于60 .⑺ ABC 中，A,B,C 成等差数列的充要条件是 B = 60 .⑻ABC 为正三角形的充要条件是 A,B,C 成等差数列，且 a,b,c 成等比数列. ⑼三角形的四心：垂心—高交点 重心—中线交点外心—垂直平分线交点内心—角的平分线交点边化角，角化边相关：3. 在△ABC 中，b cos A =a cos B ，则三角形为 CA.直角三角形 B .锐角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形12.在△ABC 中，sin A =2cos B sin C ，则三角形为 等腰三角形. 17.在△ABC 中，化简 b cos C +c cos B =a . 12. 在△ABC 中，a 2=b 2+c 2+bc ，则 A 等于 C A.60°B .45° C.120 D.30°3 3 2 3 3题型一：边化角正余弦定理解答题（历年文理科高考题）(2016，理)（17）（本题满分为 12 分） △ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别别为 a ，b ，c ，已知 （I ） 求 C ；2 cos C (a cos B+b cos A ) = c .（II ） 若c = 7, ABC 的面积为，求 ABC 的周长．2012 文－ （ 17）（ 本小题满分 12 分） 已知 a ， b ， c 分别为 ∆ABC 三个内角 A , B , C 的对边，c = 3a sin C - c cos A(Ⅰ)求 A ；(Ⅱ)若a =2， ∆ABC 的面积为 ，求b ， c .2012-理 17、（ 本小题满分 12 分） 已知 a ， b ， c 分别为△ABC 的三个内角 A ， B ， C 的对边，a cos C + 3a sin C -b -c = 0 。
高考数学 正弦定理和余弦定理 专题
高考数学 正弦定理和余弦定理 专题一、选择题1．在△ABC 中，若∠A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C 的值为( )A.2633B.2393C.393D.1333解析：∵S △ABC ＝3，即12bc sin A ＝3，∴c ＝4.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13，∴a＝13， ∴a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝2133＝2393.答案：B2．在△ABC 中，已知∠B ＝45°，c ＝22，b ＝433，则∠A 等于( )A ．15°B ．75°C ．105°D ．75°或15°解析：根据正弦定理c sin C ＝b sin B ，sin C ＝c sin B b ＝22×22433＝32.∴C ＝60°或C ＝120°，因此A ＝75°或A ＝15°. 答案：D3．在△ABC 中，设命题p ：a sin B ＝b sin C ＝c sin A，命题q ：△ABC 是等边三角形，那么命题p是命题q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若△ABC 是等边三角形，则a sin B ＝b sin C ＝c sin A ；若a sin B ＝b sin C ＝csin A ，又a sin A ＝b sin B ＝csin C，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝bc ，b 2＝ac ，c 2＝ab ，即a ＝b ＝c .∴p 是q 的充要条件． 答案：C4．若钝角三角形三内角成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的范围是( )A．(1,2) B．(2，＋∞) C．＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝32cos C＋12sin C，∴3＋12sin C＝32cos C＋12sin C，即sin C＝cos C．又0°＜C＜180°，∴C＝45°，A＝180°－(B＋C)＝75°.解法二：设最大边长为a，最小边长为c，则ac＝3＋12，由a2＋c2－b22ac＝12，则b2＝a2＋c2－ac.cos C＝a2＋b2－c22ab＝2a2－ac2a a2＋c2－ac＝2·a2c2－ac2·aca2c2－ac＋1＝22.又0°＜C＜180°，∴C＝45°，则A＝180°－(B＋C)＝75°.1．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，a＝23，tanA＋B2＋tanC2＝4,2sin B cos C＝sin A，求A，B及b，c.解答：由tanA＋B2＋tanC2＝4得cotC2＋tanC2＝4，∴cosC2sinC2＋sinC2cosC2＝4，∴1sinC2cosC2＝4.∴sin C＝12，又C∈(0，π)，∴C＝π6，或C＝5π6，由2sin B cos C＝sin A得2sin B cos C＝sin(B＋C)，即sin(B－C)＝0，∴B＝C，B＝C＝π6，A＝π－(B＋C)＝2π3，由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C得b＝c＝asin Bsin A＝23×1232＝2.2．如下图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β.(1)证明sin α＋cos 2β＝0；(2)若AC＝3DC，求β的值．解答：(1)证明：∵AB＝AD，则∠ADB＝β，∴∠C＝β－α.又∠B＋∠C＝90°，即2β－α＝90°，则2β＝90°＋α，cos 2β＝－sin α，即cos 2β＋sin α＝0.①(2)在△ADC中，DCsin α＝ACsin β，即sin β＝3sin α.②①代入②整理得：23sin2β－sin β－3＝0.解得sin β＝32，或sin β＝－33舍去，又β为锐角，则β＝60°.。
正弦定理和余弦定理习题及答案
正弦定理和余弦定理测试题一、选择题：1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则 cos B＝() 22226 A．－3 B.3C．－3D.6 32．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若 a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°3．E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三平分点，则tan ∠ECF ＝()16233A. 27B. 3C.3D.4．△中，若－lg c ＝＝－lg 2且∈ 0，π，则△ABC4ABC lg a lgsin B B2的形状是 ()A．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形5．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，假如a、b、c 成等差数列，∠ B＝30°，△ ABC的面积为0.5，那么 b 为()A．1＋ 3B．3＋ 3 C.3＋ 3D．2＋ 3 36．已知锐角A是△ABC的一个内角，a、b、c是三角形中各内角的对应边，若 sin2－cos2＝1，则 ()A A2A．b＋c＝2a B ．b＋c<2a C．b＋c≤2a D．b＋c≥2a7、若ABC的内角A知足sin 2A 2，则 sin A cos A 3A.153 B．153C．5D．5338、假如A1 B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2 B2C2的三个内角的正弦值，则A．A1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形B．A1B1C1和A2 B2C2都是钝角三角形C．A1 B1C1是钝角三角形，A2 B2C2是锐角三角形D．A1B1C1是锐角三角形，A2 B2C 2是钝角三角形9、VABC的三内角A,B,C所对边的长分别为 a, b, c 设向量ur r ur rp (a c, b) , q (b a, c a) ,若 p // q ,则角C的大小为(A)(B)(C)(D)233 6210、已知等腰△ABC的腰为底的 2 倍，则顶角A的正切值是（）Ａ．3Ｂ． 3Ｃ．15Ｄ．15 28711、ABC的内角 A、B、C的对边分别为a、b、c，若 a、b、c 成等比数列，且 c2a ，则 cosBA ．1B．3C ．24 44D．2312、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, A=, a= 3 , b=1，3则 c=(A)1（B）2（C）3—1（D）3二、填空题：13 、在ABC中，若sin A:sin B :sin C5:7:8 ，则B的大小是___________.14、在 ABC中，已知a 3 3，＝，＝°，则＝.b 4 A30sinB415、在△ ABC中，已知 BC＝12，A＝60°， B＝45°，则 AC＝16、已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边 BC上的中线 AD的长为．三、解答题：11 17。
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高一（下）数学（必修五）第一章 解三角形正弦定理、余弦定理高考真题1、（06湖北卷）若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A +=．．53 D ．53-解：由sin2A ＝2sinAcosA >0，可知A 这锐角，所以sinA ＋cosA >0， 又25(sin cos )1sin 23A A A +=+=，故选A2、（06安徽卷）如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形解：111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由211211211sin cos sin()2sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ⎧==-⎪⎪⎪==-⎨⎪⎪==-⎪⎩，得212121222A A B B C C πππ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，那么，2222A B C π++=，所以222A B C ∆是钝角三角形。
故选D 。
3、（06辽宁卷）ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+,(,)q b a c a =--,若//p q ,则角C 的大小为(A)6π(B)3π (C)2π (D) 23π 【解析】222//()()()p q a c c a b b a b a c ab ⇒+-=-⇒+-=，利用余弦定理可得2cos 1C =，即1cos 23C C π=⇒=，故选择答案B 。
【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。
4、（06辽宁卷）已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（ ）Ａ．2Ｃ．8Ｄ．7解：依题意，结合图形可得tan 215A =，故222tan2tan 1tan 2AA A ===-，选D5、（06全国卷I ）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =A ．14B ．34CD解：ABC ∆中，a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则b =2a ，222cos 2a c b B ac +-==222242344a a a a +-=，选B. 6、06山东卷）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =3π,a =3,b =1，则c =(A) 1 （B ）2 （C ）3—1 （D ）3 解：由正弦定理得sinB ＝12，又a >b ，所以A >B ，故B ＝30︒，所以C ＝90︒，故c ＝2，选B7、（06四川卷）设,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边，则()2a b b c =+是2A B =的（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而充分条件 （D ）既不充分又不必要条件 解析：设,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边，若()2a b b c =+，则2sin sin (sin sin )A B B C =+，则1cos 21cos 2sin sin 22a BB C --=+，∴ 1(cos 2cos 2)sin sin 2B A BC -=，sin()sin()sin sin B A A B B C +-=， 又sin()sin A B C +=，∴ sin()sin A B B -=，∴ A B B -=，2A B =， 若△ABC 中，2A B =，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到()2a b b c =+，所以()2a b b c =+是2A B =的充要条件，选A.8、（06北京卷）在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是___________.解： sin :sin :sin 5:7:8A B C =⇔a :b :c ＝5:7:8设a ＝5k ，b ＝7k ，c ＝8k ，由余弦定理可解得B ∠的大小为3π.9、（06湖北卷）在∆ABC 中，已知433=a ，b ＝4，A ＝30°，则sinB＝ . 解：由正弦定理易得结论sinB10、（06江苏卷）在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝【思路点拨】本题主要考查解三角形的基本知识 【正确解答】由正弦定理得，sin 45sin 60AC BC=解得AC = 【解后反思】解三角形：已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理11、（06全国II ）已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为 ．解析: 由ABC ∆的三个内角A 、B 、C 成等差数列可得A+C=2B 而A+B+C=π可得3B π∠=AD 为边BC上的中线可知BD=2,由余弦定理定理可得AD = 本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。
12、（06上海春）在△ABC 中，已知5,8==AC BC ，三角形面积为12，则=C 2cos .解：由三角形面积公式，得1sin 20sin 122BC CA C C ⋅⋅==，即3sin 5C =．于是27cos 212sin 25C C =-=从而应填725．13、（06湖南卷）如图3,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.（1）证明 sin cos 20αβ+=; （2）若DC,求β的值.解：(1)．如图3，(2)2,sin sin(2)cos 2222πππαπββαββ=--=-∴=-=-，即sin cos 20αβ+=．（2）．在ABC ∆中，由正弦定理得,.sin sin sin()sin sin DC AC DC βααπβαβ=⇒=∴=-由(1)得sin cos 2αβ=-，2sin22sin ),βββ∴==-即2sin 0.sin sin ββββ-===解得．0,sin .23ππβββ<<∴=⇒= 14、（06江西卷）在锐角ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin A =， （1）求22tan sin 22B C A++的值； （2）若2a =，ABC S=△b 的值．解：（1）因为锐角△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，sin A =，所以cosA ＝13，则22222B Csin B C A A 2tan sin sin B C 222cos 21cos B C 11cos A 171cos A 1cos B C 21cosA 33＋＋＋＝＋＋－（＋）＋＝＋（－）＝＋＝＋（＋）－（2）ABC ABC 11S 2S bcsin A bc 223•因为＝，又＝＝，则bc ＝3。
将a ＝2，cosA ＝13，c ＝3b代入余弦定理：222a b c2bccos A ＝＋－中得42b 6b 90－＋＝解得b15、（06江西卷）如图，已知△ABC 是边长为M 、N 分别是边AB 、AC 上的点，线段过△ABC 的中心G ，设∠MGA ＝α（233ππα≤≤） （1） 试将△AGM 、△AGN 的面积（分别记为S 1与S 2）表示为α的函数 （2）求y ＝221211S S ＋的最大值与最小值 解：（1）因为G 是边长为1的正三角形ABC 的中心，所以 AG ＝23，∠MAG ＝6π， BDCαβA图C由正弦定理GM GAsinsin 66πππα＝（－－）得GM 6sin 6πα＝（＋）则S 1＝12GM •GA •sin α＝sin 12sin 6απα（＋），同理可求得S 2＝sin 12sin 6απα（－）（2） y ＝221211S S ＋＝222144sin sin sin 66ππααα〔（＋）＋（－）〕＝72（3＋cot 2α）， 因为233ππα≤≤，所以当α＝3π或α＝23π时，y 取得最大值y max ＝240 当α＝2π时，y 取得最小值y min ＝21616、（06全国卷I ）ABC ∆的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos2B CA ++ 取得最大值，并求出这个最大值。
.解: 由A+B+C=π, 得B+C 2 = π2 －A 2 , 所以有cos B+C 2 =sin A2 .cosA+2cos B+C 2 =cosA+2sin A 2 =1－2sin 2A 2 + 2sin A 2 =－2(sin A 2 － 12)2+ 32当sin A 2 = 12 , 即A=π3 时, cosA+2cos B+C 2取得最大值为3217、（06全国II ）在45,ABC B AC C ∆∠=︒==中，,求（1）?BC =(2)若点D AB 是的中点，求中线CD 的长度。
解：（1）由cos sin C C =sin sin(18045)sin )A C C C =--=+由正弦定理知sin sin AC BC A B =⋅==（2）sin 2sin AC AB C B =⋅=，112BD AB ==由余弦定理知CD == 18、（06四川卷）已知,,A B C 是三角形ABC ∆三内角， 向量()()1,3,cos ,sin m n A A =-=，且1m n ⋅= （Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若221sin 23cos sin BB B+=--，求tan B解：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。
（Ⅰ）∵1m n ⋅= ∴(()cos ,sin 1A A -⋅=cos 1A A -=12sin cos 12A A ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭,1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭∵50,666A A ππππ<<-<-<∴66A ππ-= ∴3A π=（Ⅱ）由题知2212sin cos 3cos sin B BB B+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --= ∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --=∴tan 2B =或tan 1B =-而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去 ∴tan 2B =∴()tan tan C A B π=-+⎡⎤⎣⎦()tan A B =-+tan tan 1tan tan A BA B +=--23123+=--853+= 19、（06天津卷）如图，在ABC ∆中，2AC =，1BC =，43cos =C ．（1）求AB 的值；（2）求()C A +2sin 的值.本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考察基本运算能力及分析解 决问题的能力.满分12分. （Ⅰ）解： 由余弦定理，2222..cos AB AC BC AC BC C =+-341221 2.4=+-⨯⨯⨯=那么， 2.AB =（Ⅱ）解：由3cos 4C =，且0,C π<<得27sin 1cos .C C =-=由正弦定理，,sin sin AB BCC A=解得sin 14sin BC C A AB ==。