正态总体的假设检验

(a) 原假设 H 0 : μ μ0 ， 备择假设 H1 : μ μ0
检验统计量： 拒绝域为：
U X μ0 σ0 n
W {U zα }
பைடு நூலகம்
（证明略）
(b) 原假设 H 0 : μ μ0 ， 备择假设 H1 : μ μ0
检验统计量： 拒绝域为：
U X μ0 σ0 n
W {U zα }
小时。现从一批这种元件中随机抽取25 件，测其
寿命，算得其平均寿命950小时，设该元件的寿命
X~N(μ,1002)，在显著性水平0.05下,确定这批元件
是否合格？
解: x 950 1000
原假设 H 0 : μ 1000， 备择假设 H1 : μ 1000
由σ2 =1002知，检验统计量为 U X μ0
解: 原假设 H 0 : σ 2 60， 备择假设 H1 : σ 2 60
检验统计量： χ 2 (n 1)S 2
σ2
拒绝域：
W
{
χ2
χ
2 1
α
(
n
1)，χ
2
χ
2
α
(n
1)
}
2
2
n=10 ，α=0.1，
χ2 1 α
(n 1)
χ
2 0.95
(9)
3.325
2
χ
2
α
(
n
1)
χ
2 0.05
(9)
W {U zα } {U 1.645}
u xy
σ12
σ
2 2
n1 n2
174.34 172.42 1.6717 5.352 6.112 50 50
1.645
因为 u W 所以拒绝H0， 认为该校经常参加体育锻炼的男生比不经常参 加体育锻炼的男生平均身高要高些.
四、两个正态总体方差的假设检验
n)
2
χ2
χ
2 α
(n)
χ2
χ
2 1α
(n)
推导（双边检验情形） ：
当H0为真时，
χ2
i
n 1
X i μ0 σ0
2
~
χ 2 (n)
此时，因为 1 n ( X i μ0 )2 是σ2的无偏估计量,
n i1
σ0
拒绝域应表现为 χ 2 n ( X i μ0 )2偏小或偏大，
i 1
σ0
P{拒n绝H0|H0为真}
有无显著降低？ (α 0.05)
解: x 0.088 0.095
原假设H 0 : μ 0.095， 备择假设H1 : μ 0.095
由σ2 =0.022知，检验统计量为 U X μ0
拒绝域： W {U zα }
σ0 / n
n=20，α=0.05， zα z0.05 1.645
W
{
χ2
χ
2 α
(n
1)
}
n=9 ，α=0.05，
χ
2 α
(n
1)
χ
2 0.05
(8)
15.507
W { χ 2 15.507}
χ2
(n 1)S 2 σ2
因为 χ 2 W
8 0.0072 0.0052 15.68
15.507
所以拒绝H0，
即在显著性水平α=0.05下，认为这批导线的标准差显 著地偏大.
统计中把拒绝域在某个区间的某一侧的检验称为单
边检验（这里是区间 （ zα，zα） 的某一侧）
这里由于使用的是服从正态分布的 U 统计量来 进行检验，也称为U 检验法（或正态检验法）。
U 检验法 (02已知)
类型
双边 检验
原假设 H0
0
单边 检验
0 0
备择假设 H1
0
> 0
< 0
检验统计量 U X μ0
W {U zα } {U 1.645}
u x μ0 0.088 0.095 1.5652 1.645 σ0 / n 0.02 / 20
因为 u W ， 所以接受H0，
在显著性水平0.05下，认为调整后机床加工轴 的椭圆度的均值无显著降低.
例3.某种电子元件，要求使用寿命不得低于1000
1．已知 μ1，μ2 时，总体方差的假设检验
F 检验法
类型 原假设 备择假设
H0
H1
检验统计量
双边
检验
σ12
σ
2 2
H1
拒绝域
双边 1 2
检验
单边 1 2
检验
1 2
1 2 1 > 2 1 < 2
T (X Y ) 11 n1 n2 Sw
S
2 w
(n1
1)S12
(n2
1)
S
2 2
n1 n2 2
T t（α n1 n2 2）
2
T t（α n1 n2 2）
T t（α n1 n2 2）
例6.测得两批小学生的身高（单位：厘米）为：
P{拒绝H0|H0为真} P ( X μ0 k μ μ0 )
P{| X μ0 | k } P{| U | k } α
σ0 n σ0 n
σ0 n
所以
k σ0
n zα/2，
即： P{| U | zα / 2 } α
由此知，拒绝域为： W {| U | zα / 2 }
统计中把拒绝域在某个区间的两侧的检验称为双边 检验（这里是区间（ zα / 2，zα / 2）的两侧） (2) μ的单边检验：
σ0 / n
拒绝域
U zα
2
U zα U zα
2．σ 2未知时，总体均值 μ 的假设检验 T 检验法 ( 2 未知)
类型
原假设 H0
备择假设 H1
检验统计量
拒绝域
双边 检验
0
0
单边 检验
0 0
> 0 < 0
T X μ0 S/ n
T t（α n 1）
2
T t（ α n 1）
因为 t W 所以接受H0，
在显著性水平0.05下，可以认为在这次考试 中全体考生的平均成绩为70分。
例2.一台机床加工轴的椭圆度 X 服从正态分布
N(0.095,0.022）（单位：mm)。机床经调整后随机取
20根测量其椭圆度，算得 x 0.088 mm 。已知总
体方差不变，问调整后机床加工轴的椭圆度的均值
检验统计量： T
11
n1 n2
X Y
(n1
1)S12
(n2
1)
S
2 2
n1 n2 2
拒绝域： W { T t（α n1 n2 2）}
2
n1 7， x 140.7143， s12 6.5714，
n2 6， y 138.5
s22 7.1
α=0.10
t（α n1 n2 2） t0.0（5 11） 1.7989
16.919
W { χ 2 3.325，χ 2 16.919}
2
s2 87.6823
χ2
(n
1)S σ2
2
9 87.6823 13.15235 60
因为 χ 2 W
所以接受H0，
即在显著性水平α=0.1下，认为方差与60无显著差异.
例5. 某种导线，要求其电阻的标准差不得超过
0.005欧姆，今在生产的一批导线中取样本9根，测
双边 检验
原假设 H0
1 2
单边 检验
1 2 1 2
备择假设 检验统计量 H1
1 2 1 > 2 1 < 2
U X Y
σ12
σ
2 2
n1 n2
拒绝域
U zα
2
U zα
U zα
2．σ12
，σ
2未知，但
2
σ12
σ
2 2
时，总体均值的假设
检验
T 检验法
类型 原假设 备择假设 检验统计量
H0
三、两个正态总体均值的假设检验
X1 , X 2 , , X n1
为取自总体
N
(
1
2 1
)
的样本,
Y1 ,Y2 , ,Yn2
为取自总体 N
(
2
2 2
)
的样本,
且两总体相互独立。
X , S12 ;
Y
,
S
2 2
分别表示两样本的样本均值与样本方差
1．已知
σ12
，σ
2 2
时，总体均值的假设检验
U 检验法
类型
第二节 正态总体的假设检验
一、单一正态总体均值μ的假设检验
二、单一正态总体方差σ2的假设检验 三、两个正态总体均值的假设检验 四、两个正态总体方差的假设检验
一、单一正态总体均值μ的假设检验
设总体X~N (, 2). X1 , X2 , … , Xn是取自X的样本，
样本均值 X样，本方差S2
1．已知
Sn
拒绝域： W { T t（α n 1）}
2
n=36， α=0.05，
tα / 2 (n 1) t0.025 (35) 2.0301
W { T tα / 2 (n 1)} {| T | 2.0301} t x μ0 66.5 70 1.4 2.0301
s n 15 / 36
σ2
σ
2 0
时，总体均值μ
的假设检验
(1) μ的双边检验：
原假设 H 0 : μ μ0 ， 备择假设 H1 : μ μ0 取检验统计量： U X μ0
σ0 n 则拒绝域为： W {| U | zα / 2 }
推导：
当H0为真时，U
X σ0
μ0 n
~N(0, 1)
此时，因为 X 是μ0的无偏估计量, | X μ0 不| 应太大.
n1 n2
n1 n2 2
140.7143 138.5 1.5251 1.7989 0.5563 2.6099
因为 t W 所以接受H0，
认为这两批学生的平均身高是相等的.
例7.某校从经常参加体育锻炼的男生中随机地选出
50名，测得平均身高174.34cm，从不经常参加体育 锻炼的男生中随机地选出50名，测得平均身高 172.42cm，统计资料表明两种男生的身高都服从正 态分布，其标准差分别为5.35cm和6.11cm，问该校 经常参加体育锻炼的男生是否比不经常参加体育锻 炼的男生平均身高要高些？ （α=0.05 ）
二、单一正态总体方差σ2的假设检验
1．已知 μ μ0 时，总体方差σ2的假设检验
χ2 检验法
类型 原假设 备择假设
H0
H1
检验统计量
双边
检验
σ2
σ
2 0
σ2
σ
2 0
单边
σ2
σ
2 0
σ2
σ
2 0
检验
σ2
σ
2 0
σ2
σ
2 0
χ2
n
i 1
Xi σ0
μ0
2
拒绝域
χ2
χ
2 1
α
(
n)
2
χ2
χ
2
α
(
(Xi μ)2
n
(Xi μ)2
P { i1
σ
2 0
χ
2 1
α 2
(
n)}
P{
i 1
σ
2 0
χ
2
α
(
n)}
α
2
所以拒绝域为： W
{
χ2
χ
2 1
α 2
(
n)
，χ
2
χ
2
α
(n)
}
2
2. μ未知时，总体方差σ2的假设检验 χ2 检验法
类型 原假设 备择假设
H0
H1
检验统计量
双边 检验
σ2
σ
2 0
σ2
第一批：140，138，143，142，144，137，141
第二批：135，140，142，136，138，140.
设这两个相互独立的总体都服从正态分布，且方差相同，
试判断这两批学生的平均身高是否相等（α=0.10 ）。
解: 原假设 H 0 : μ1 μ2 ， 备择假设 H1 : μ1 μ2 ，
T t（α n 1）
例1. 设某次考试的考生的成绩服从正态分布，从中随
机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标 准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为在 这次考试中全体考生的平均成绩为70分？
解： 原假设 H0 : μ 70， 备择假设 H1 : μ 70
检验统计量： T X μ0
拒绝域： W {U zα }
σ0 / n
n=25 ， α=0.05， zα z0.05 1.645
W {U zα } {U 1.645}
u x μ0 950 1000 2.5 1.645 σ0 / n 100/ 25
因为 u W 所以拒绝H0，
在显著性水平0.05下，认为这批元件不合格.
2
W {| T | t（α n1 n2 2）} {| T | 1.7989}
2
1 1 1 1 0.5563
n1 n2
76
(n1 1)s12 (n2 1)s22 6 6.5714 5 7.1 2.6099
n1 n2 2
11
t
x y
1 1 (n1 1)s12 (n2 1)s22
解: x 174.34，y 172.42， x y，
原假设 H 0 : μ1 μ2 ， 备择假设 H1 : μ1 μ2 ，
σ12 5.352 ，
σ
2 2
6.112 ，
检验统计量： 拒绝域：
U X Y
σ12
σ
2 2
n1 n2
W {U zα }
α 0.05， zα z0.05 1.645
σ
2 0
单边
σ2
σ
2 0
σ2
σ
2 0
检验
σ2
σ
2 0
σ2
σ
2 0
χ2
(n 1)S 2
σ
2 0
拒绝域
χ2
χ
2 1
α
(n
1)
2
χ2
χ
2
α
(
n
1)
2
χ2
χ
2 α
(n
1)
χ2
χ
2 1α
(n
1)
例4. 在生产线上随机地取10只电阻测得电阻值
（单位：欧姆）如下：114.2，91.9，107.5，89.1， 87.2，87.6，95.8 ，98.4，94.6，85.4 设电阻的电阻值总体服从正态分布，问在显著性 水平α=0.1下方差与60是否有显著差异？
得s=0.007欧姆.设总体服从正态分布，参数均未知，
问在显著性水平α=0.05下，能否认为这批导线的
标准差显著地偏大？
解: s2 0.0072 0.0052
原假设 H 0 : σ 2 0.0052，备择假设 H1 : σ 2 0.0052
检验统计量： χ 2 (n 1)S 2
σ2
拒绝域：