不等关系与基本不等式同步练习题
高中不等式的基本知识点和练习题(供参考)
不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔>(2)传递性：c a c b b a >⇒>>,(3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向可加)(4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘)(5)倒数法则：b a ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：2、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。
解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
3、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解2a b +≤1．若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号. 2．如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 变形： 有:a+b ≥ab 2；ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号. 3．如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值42S . 注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4.常用不等式有：（1(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a 、b 、c R ，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。
人教A版必修一基本不等式同步练习题(含答案及解析)
人教A 版必修一基本不等式同步练习题一 选择题1.已知a ＞b ＞0，全集为R ，集合M ＝，N ＝，P ＝，则M ，N ，P 满足（ ）A ．P ＝M ∩（∁R N ）B ．P ＝（∁R M ）∩NC ．P ＝M ∪ND ．P ＝M ∩N2.若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则（ ） A ．＜＜B ．＜＜ C ．＜＜D ．＜＜3.若x ＞0，y ＞0，且x+y ＝S ，xy ＝P ，则下列说法中正确的是（ ） A ．当且仅当x ＝y 时S 有最小值2B ．当且仅当x ＝y 时P 有最大值C ．当且仅当P 为定值时S 有最小值2D ．若S 为定值，当且仅当x ＝y 时P 有最大值4.设正实数x ，y ，z 满足x 2﹣3xy+4y 2﹣z ＝0．则当取得最大值时，的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．D ．35.已知m ，n ∈R ，m 2+n 2＝100，则mn 的最大值是（ ）A ．100B ．50C ．20D ．10 6.下列推导过程，正确的为（ ）A ．因为a 、b 为正实数，所以22a =•≥+a b b a a b bB ．因为x ∈R ，所以1112 +xC ．a ＜0，所以4424=•≥+a aa a D ．因为x 、y ∈R ，xy ＜0，所以2)()(2)()(x -=-•--≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=+x yy x x y yx x x y 7.已知a ＞0，b ＞0，若不等式恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．9 B ．12 C ．16 D ．10 8.若实数x ，y 满足2x+y ＝1，则x •y 的最大值为（ ） A ．1B ．C ．D ．9.若正实数a ，b 满足a+b ＝1，则下列选项中正确的是（ ） A ．ab 有最大值B ．+有最小值C ．+有最小值4D ．a 2+b 2有最小值10已知0＜x ＜4，则的最小值为（ ）A ．2 B ．3C ．4D ．8二 填空题11.函数f （x ）＝a x ﹣1﹣2（a ＞0，a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ﹣ny ﹣1＝0上，其中m ＞0，n ＞0，则+的最小值为 ．12.某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，当工厂和仓库之间的距离为 千米时，运费与仓储费之和最小，最小值为 万元．13.已知直角三角形ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且不等式恒成立，则实数m的最大值是．14.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里＝300步）里．15.已知a，b∈R+，且a+b++＝5，则a+b的取值范围是．16.已知x、y都为正数，且x+y＝4，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是．17.如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形的面积的最大值等于．18.一批物资随51辆汽车从某市以vkm/h的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于km，那么这批物资全部到达灾区，最少需要h．19.若正实数x，y满足2x+y+6＝xy，则xy的最小值是．20.若实数x，y满足x2+y2+xy＝1，则x+y的最大值是．三解答题21.已知a，b，c均为正实数，求证：若a+b+c＝3，则．22.已知a，b，c∈R，满足a＞b＞c．（1）求证：；（2）现推广：把的分子改为另一个大于1的正整数p，使对任意a＞b＞c恒成立，试写出一个p，并证明之．23.已知0＜x＜1，则x（4﹣3x）取得最大值时x的值为多少？24.已知，求函数的最大值．25.函数的最小值为多少？26.求下列函数的最值．（1）求函数的最小值；（2）若正数x，y满足x+3y＝5xy，求3x+4y的最小值．27.若x，y为正实数，且2x+8y﹣xy＝0，求x+y的最小值．28.若﹣4＜x＜1，求的最大值．29.若x＞0，求函数y＝x+的最小值，并求此时x的值．30.设0＜x＜，求函数y＝4x（3﹣2x）的最大值．31.已知x＞2，求x+的最小值．32.x＞0，y＞0且＝1，求x+y的最小值．33.已知x∈（0，+∞），求的最大值．34.某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m（m≥0）万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．（1）将2013年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2013年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？35.如图，徐州某居民小区要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）铺草坪，造价为80元/m2．（1）设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m），求出S关于x的函数关系式；（2）当AD长取何值时，总造价S最小，并求这个最小值．36.近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步．华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本R（x）万元，且R（x）＝，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．（1）求2021年的利润W（x）（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式，（利润＝销售额﹣成本）；（2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？37.已知p：1＜2x＜8；q：不等式x2﹣mx+4≥0恒成立，若￢p是￢q的必要条件，求实数m的取值范围．38.已知实数a＞0，b＞0，且a2+b2＝8，若a+b≤m恒成立．（1）求实数m的最小值；（2）若2|x﹣1|+|x|≥a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．39.已知正实数x，y满足等式2x+5y＝20．（1）求u＝xy的最大值；（2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围．40.已知a，b∈R，求证：ab≤（）2．41.（1）已知x＞1，求x+的最小值；（2）求的最大值．42.某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48m2，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？43.如图，将宽和长都分别为x，y（x＜y）的两个矩形部分重叠放在一起后形成的正十字形面积为．（注：正十字形指的是原来的两个矩形的顶点都在同一个圆上，且两矩形长所在的直线互相垂直的图形），（1）求y关于x的函数解析式；（2）当x，y取何值时，该正十字形的外接圆面积最小，并求出其最小值．人教A版必修一基本不等式同步练习题参考答案与解析1.分析:利用不等式的性质，判断得到，集合集合的交集、并集、补集的定义依次判断四个选项即可．解：因为a＞b＞0，所以，对于A，因为N＝，则，因为集合M＝，所以M∩（∁RN）＝＝P，故选项A正确；对于B，因为∁R M＝{x|x≤b或}，则（∁RM）∩N＝≠P，故选项B错误；对于C，因为M∪N＝{x|b＜x＜a}≠P，故选项C错误；对于D，M∩N＝≠P，故选项D错误．故选A．2.分析:根据基本不等式的性质，进行判断即可．解：∵a，b∈R+，且a≠b，∴a+b＞2，∴＜，而＝＞0，∴＜，故选B．3.分析:利用均值不等式及其变形进行解答．解：∵x，y∈R+，x+y＝S，xy＝P，∴S＝x+y≥2＝2①，当且仅当x＝y时取等号；∴如果P 是定值，那么当且仅当x＝y时S的值最小，故A、C错误；由①得，P≤＝，当且仅当x＝y时取等号；∴如果S是定值，那么当且仅当x＝y时P的值最大，故D正确，B错误．故选D．4.分析:依题意，当取得最大值时x＝2y，代入所求关系式f（y）＝+﹣，利用配方法即可求得其最大值．解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z＝0，∴z＝x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均为正实数，∴＝＝≤＝1（当且仅当x＝2y时取“＝”），∴＝1，此时，x＝2y．∴z＝x2﹣3xy+4y2＝（2y）2﹣3×2y×y+4y2＝2y2，∴+﹣＝+﹣＝﹣+1≤1，当且仅当y＝1时取得“＝”，满足题意．∴的最大值为1．故选B．5.分析:利用重要不等式的性质即可得出．解：由m2+n2＝100，可得：100≥2mn，解得mn≤50，当且仅当m＝n＝±5时取等号．则mn的最大值是50．故选B．6.分析:利用基本不等式求解最值的三个条件：一正、二定、三相等，对四个选项逐一分析判断即可．解：对于A，因为a、b为正实数，所以，故，当且仅当，即a＝b时取等号，故选项A正确；对于B，因为x2≥0，所以x2+1≥1，则，故选项B错误；对于C，当a＜0时，，故选项C错误；对于D，因为xy＜0，则，所以，当且仅当，即x＝﹣y时取等号，故选项D正确．故选AD．7.分析:由已知a＞0，b＞0，不等式恒成立，转化成新函数的最小值问题．解：由已知a＞0，b＞0，不等式恒成立，所以m≤（+）（a+4b）恒成立，转化成求y＝（+）（a+4b）的最小值，y＝（+）（a+4b）＝8++≥16，所以m≤16．故选C．8.分析:根据xy＝x（1﹣2x）＝﹣2（x﹣）2+≤，即可求出最大值．解：∵实数x，y满足2x+y＝1，∴y＝1﹣2x，∴xy＝x（1﹣2x）＝﹣2x2+x＝﹣2（x﹣）2+≤，当x＝，y＝时取等号，故选C．9.分析:由a+b＝1，根据逐一判断即可．解：∵a＞0，b＞0，且a+b＝1；∴；∴；∴ab有最大值，∴选项A正确；+，，∴的最小值不是，∴B错误；，∴有最小值4，∴C正确；a2+b2≥2ab，，∴a2+b2的最小值不是，∴D错误．故选AC．10.分析:可利用“1”的代换，根据x+（4﹣x）＝4配凑应用基本不等式．解：∵0＜x＜4，则＝[x+（4﹣x）]（）＝（10++）≥（10+2）＝4，当且仅当，即x＝1时取等号．故选C．11.分析:利用题意首先确定m，n的关系式，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果．解：由指数函数的性质可得 A（1，﹣1），点在直线上，则：m+n﹣1＝0，m+n＝1．则：，当且仅当时等号成立．综上可得：的最小值为．故答案为：．12.分析:先求出比例系数，再得出运费与仓储费之和，利用基本不等式可求最值．解：设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1＝k1x，y2＝.∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，∴k1＝5，k2＝20，∴运费与仓储费之和为5x+,∵5x+≥＝20，当且仅当5x＝，即x＝2时，运费与仓储费之和最小为20万元,故答案为：2，2013.分析:由题意可得m≤[（a+b+c）（++）]min，由柯西不等式可得其最小值，注意检验等号成立的条件，即可得到所求最大值．解：不等式恒成立，即为m≤[（a+b+c）（++）]min，由柯西不等式可得（a+b+c）（++）＝[（）2+（）2+（）2][（）2+（）2+（）2]≥（•+•+ ）2＝（1+1+）2＝6+4，当且仅当a＝b＝c，即a2+b2＝c2时，上式取得等号．则[（a+b+c）（++）]min＝6+4，所以m≤6+4，即m的最大值为6+4，故答案为：6+4．14.分析:由题意知，BE＝4里，AG＝2.5里，由△BEF∽△FGA，可知EF•FG＝10里，再利用均值不等式求出EF+FG的最小值，进而得解．解：由题意知，BE＝1200步＝4里，AG＝750步＝2.5里，因为△BEF∽△FGA，所以＝，所以EF•FG＝BE•AG＝4×2.5＝10里，所以EF+FG≥2＝2，当且仅当EF＝FG＝时，等号成立，而该小城的周长为4（EF+FG）≥8，所以该小城的周长的最小值为8里．故答案为：8．15.分析:a，b∈R+，且a+b++＝5，利用基本不等式的性质可得：5＝（a+b）≥（a+b），当且仅当a＝b＝2或时取等号．令a+b＝t，化为：（t﹣1）（t﹣4）≤0，解出即可得出．解：∵a，b∈R+，且a+b++＝5，则5＝（a+b）≥（a+b），当且仅当a＝b＝2或时取等号．令a+b＝t，化为：（t﹣1）（t﹣4）≤0，解得1≤t≤4．∴a+b的取值范围是[1，4]．故答案为：[1，4]．16.分析:利用基本不等式的结论求出，然后将不等式恒成立转化为，即可得到答案．解：因为x、y都为正数，且x+y＝4，所以，当且仅当时取等号，故，因为不等式恒成立，则，所以实数m的取值范围是．故答案为：．17.分析:根据题意，设直角三角形的直角边分别为a，b，由勾股定理可得a2+b2＝25，利用基本不等式的性质可得S＝ab≤（a2+b2）＝，即可得答案．解：根据题意，设直角三角形的直角边分别为a，b，由题意知斜边长等于5，则a2+b2＝25，则有S ＝ab≤（a2+b2）＝，当且仅当a＝b时等号成立，故这个直角三角形的面积的最大值等于；故答案为：．18.分析:由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了50个km+400km所用的时间，利用基本不等式，即可得出结论．解：设全部物资到达灾区所需时间为t小时，由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了50个km+400km所用的时间，因此，t＝＝+≥2＝10．当且仅当＝，即v＝80时取“＝”．故这些汽车以80km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少要10小时．故答案为：1019.分析:首先右边是xy的形式，左边是2x+y和常数的和的形式，考虑把左边也转化成xy的形式，使形式统一．可以猜想到应用基本不等式．转化后变成关于xy的不等式，可把xy看成整体换元后，求最小值．解：由条件利用基本不等式可得，令xy＝t2，即 t＝＞0，可得．即得到可解得．又注意到t＞0，故解为，所以xy≥18．故答案应为18．20.分析:利用基本不等式，根据xy≤把题设等式整理成关于x+y的不等式，求得其范围，则x+y的最大值可得．解：∵x2+y2+xy＝1,∴（x+y）2＝1+xy,∵xy≤,∴（x+y）2﹣1≤，整理求得﹣≤x+y≤,∴x+y的最大值是,故答案为：21.分析:利用基本不等式可得，同理，，三式相加即可得证．证明：∵a，b，c均为正实数，∴，当且仅当a+1＝2，即a＝1时取等号；同理，当且仅当b+1＝2，即b＝1时取等号；，当且仅当c+1＝2，即c＝1时取等号．以上三个不等式相加，可得．∴，当且仅当a＝b＝c＝1时取等号．22.分析:（1）由分析法，只可证明（a﹣c）（）＞0，再由基本不等式证明；（2）只需（a﹣c）（）＞0，左边＝2﹣p+≥4﹣p，即可求得p值．解:（1）证明：由a＞b＞c，得a﹣b＞0，b﹣c＞0，a﹣c＞0，要证，只要证（a ﹣c）（）＞0，左边＝[（a﹣b）+（b﹣c）]（）＝1+＞0，当且仅当a﹣b＝b﹣c，即a+c＝2b时等号成立；（2）解：要使，只需（a﹣c）（）＞0，左边＝[（a﹣b）+（b ﹣c）]（）＝2﹣p+≥4﹣p＞0，则p＜4，∵p∈N*，∴可取p＝2或3．取p＝2，问题转化为＞0．证明如下：要证＞0，只需证明（a﹣c）（）＞0，左边＝[（a﹣b）+（b﹣c）]（）＝≥＞0，当且仅当a﹣b＝b﹣c，即a+c＝2b时等号成立．23.分析:根据基本不等式即可求出．解：∵0＜x＜1，∴4﹣3x＞0，∴x（4﹣3x）＝•3x（4﹣3x）≤×（）2＝，当且仅当3x＝4﹣3x时，即x＝时取等号，故x（4﹣3x）取得最大值时x的值为．24.分析:先将函数解析式整理成基本不等式的形式，然后利用基本不等式求得函数的最大值和此时x的取值即可．解：∵∴5﹣4x＞0,∴＝﹣（5﹣4x+）+3≤﹣2+3＝1,当且＝1．∴函数的最大值仅当5﹣4x＝，即x＝1时，上式成立，故当x＝1时，ymax为1．25.分析:先利用换元法得到f（t）＝t++2，然后结合基本不等式可求．解：设x﹣1＝t（t＞0），则x＝t+1，∴f（t）＝＝t++2+2，当且仅当t＝时取等号，∴函数的最小值为2+2．26.分析:（1）将所求的式子进行化简变形，转化为乘积为定值的结构，然后利用基本不等式求解最值即可；（2）将已知的等式变形为，然后利用“1”的代换将所求式子进行变形，再利用基本不等式求解最值即可．解：（1）因为x＞1，则x﹣1＞0，所以函数＝＝≥＝，当且仅当，即x＝时取等号，所以函数的最小值为．（2）因为x+3y＝5xy，则，又x，y均为正数，所以3x+4y＝（3x+4y）＝≥＝5，当且仅当且，即时取等号，所以3x+4y的最小值为5．27.分析:把已知2x+8y﹣xy＝0，变形为，而x+y＝，展开再利用基本不等式的性质即可．解：由2x+8y﹣xy＝0，及x＞0，y＞0，得．∴x+y＝＝10+2＝18，当且仅当，，即x＝12，y＝6时取等号．∴x+y的最小值为18．故答案为18．28.分析:化简＝＝﹣[（1﹣x）+]，根据基本不等式即可求出．解：∵﹣4＜x＜1，∴1﹣x＞0,∴＝＝[（x﹣1）+]＝﹣[（1﹣x）+]≤﹣×2＝﹣1，当且仅当1﹣x＝时，即x＝0时取等号，故的最大值为﹣1．29.分析:由于x＞0，利用基本不等式可得y＝x+≥4，满足等号成立的条件，于是问题解决．解：∵x＞0，∴y＝x+≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时取“＝”．故y＝x+的最小值为4，当x＝2时，有最小值．30.分析:根据题意，由0＜x＜可得3﹣2x＞0，则可以将4x（3﹣2x）变形为2[2x（3﹣2x）]，再由基本不等式的性质可得2[2x（3﹣2x）]≤2（）2，即可得答案．解：∵0＜x＜，∴3﹣2x＞0，则y＝4x（3﹣2x）＝2[2x（3﹣2x）]≤2（）2＝，当且仅当2x＝3﹣2x，即x＝时等号成立，答：当0＜x＜时，函数y＝4x（3﹣2x）的最大值为．31.分析:直接利用基本不等式的应用求出结果．解：由于x＞2，所以x﹣2＞0；故+2+2≥6，当且仅当x＝4时，等号成立．故最小值为6．32.分析:利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：因为x＞0，y＞0，所以x+y＝（x+y）（）＝10++≥10+2＝16,当且仅当＝，即x＝4，y＝12时取等号，所以x+y的最小值为16．33.分析:先利用基本不等式求出的最小值，然后将所求函数转化为，即可得到答案．解：因为x∈（0，+∞），所以，当且仅当，即x＝时取等号，则＝，所以的最大值为．34.分析:（1）由题目中产品的年销售量x万件与年促销费用m万元的函数关系式为：，当m＝0时，x＝1，可得k的值，即得x关于m的解析式；又每件产品的销售价格为1.5倍的成本，可得利润y与促销费用之间的关系式；（2）对（1）利润函数解析式进行变形，进而利用基本不等式求最大值即可．解：（1）由题意知，当m＝0时，x＝1，∴1＝3﹣k，即k＝2，∴；每件产品的销售价格为1.5×（万元），∴利润函数y＝x[1.5×]﹣（8+16x+m）＝4+8x﹣m＝4+8（3﹣）﹣m＝﹣[+（m+1）]+29（m≥0）．（2）因为利润函数y＝﹣[+（m+1）]+29（m≥0），所以，当m≥0时，+（m+1）≥2＝＝21（万元）．所以，该厂家8，∴y≤﹣8+29＝21，当且仅当＝m+1，即m＝3（万元）时，ymax2013年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．35.分析:（1）设AD＝x，DQ＝y，由题意可得x2+4xy＝200，把y用含有x的代数式表示，即可求得总造价S关于x的函数关系式（2）把（1）中的函数解析式利用基本不等式求最值得答案．解：（1）设AD＝x，DQ＝y，则x2+4xy＝200，∴y＝，则S＝＝38000+（0）；（2）S＝38000+≥38000+2＝38000+2＝118000（0＜x ＜），当且仅当4000x2＝，即x＝时上式等号成立．故当AD的长为米时，总造价S有最小值118000元．36.分析:（1）根据2021年的利润等于年销售额减去固定成本和另投入成本，分段求出利润W（x）关于x的解析式即可．（2）根据（1）求出的利润W（x）的函数解析式，分别利用二次函数的性质和基本不等式求出每段上的最大值，取两者中较大的利润值，即为年企业最大利润．解：（1）由题意可知，2021年的利润等于年销售额减去固定成本和另投入成本，①当0＜x＜40时，W（x）＝0.7×1000x﹣（10x2+100x+1000）﹣250＝﹣10x2+600x﹣1250，②当x≥40时，W（x）＝0.7×1000x﹣（701x+﹣8450）﹣250＝﹣（x+）+8200，所以W（x）＝．（2）①当0＜x＜40时，W（x）＝﹣10x2+600x﹣1250，此时函数W（x）为开口向下的二次函数，所以当x＝30时，W（x）取得最大值，最大值为W（30）＝7750（万元），②当x≥40时，W（x）＝﹣（x+）+8200，因为x＞0，所以x+＝200，当且仅当x＝即x＝100时，等号成立．即当x＝100时，W（x）取得最大值﹣200+8200＝8000（万元），综上所述，当x＝100时，W（x）的值最大，最大值为8000（万元），故当2021年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8000万元．37.分析:由已知可求p：0＜x＜3，由￢p是￢q的必要条件可知p是q的充分条件，从而可得x2﹣mx+4≥0对于任意的x∈（0，3）恒成立，进而转化为m＝对于任意的x∈（0，3）恒成立，利用基本不等式可求解：∵1＜2x＜8,∴p：0＜x＜3,∵￢p是￢q的必要条件,∴p是q的充分条件即p⇒q,∵x2﹣mx+4≥0对于任意的x∈（0，3）恒成立，∴m＝对于任意的x∈（0，3）恒成立，∵＝4，当且仅当x＝即x＝2时等号成立.∴m≤438.分析:（1）根据基本不等式的性质即可求解m的最小值；（2）根据a+b≤m恒成立，由（1）可得a+b的最大值为m，取绝对值即可求解；解：（1）∵a2+b2≥2ab，∴2a2+2b2≥（a+b）2，∴（a+b）2≤16，∴（a+b）≤4，故m≥4；（2）由2|x﹣1|+|x|≥a+b恒成立，由（1）可得a+b的最大值为4,故只需2|x﹣1|+|x|≥4，即：当x≥1时，2（x﹣1）+x≥4，解得：x≥2；当0≤x＜1时，2（1﹣x）+x≥4，无解；当x＜0时，2（1﹣x）﹣x≥4，解得；x,故得实数x的取值范围是．39.分析:（1）由题意利用基本不等式求得u＝xy的最大值为10．（2）由题意利用基本不等式求得+的最小值为，可得 m2+4m≤，由此求得m的范围．解：（1）∵正实数x，y满足等式2x+5y＝20≥2，∴≤10，∴xy≤10，∴u＝xy的最大值为10．（2）∵＝1，∴+＝+＝1+++≥+2＝，当且仅当＝时，等号成立，故+的最小值为．∵不等式恒成立，∴m2+4m≤，求得﹣≤m≤，即m的范围为[﹣，]．40.分析:利用综合法，通过两数和的平方以及重要不等式即可得出．证明：∵a，b∈R，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，∵a2+b2≥2ab，∴（a+b）2≥4ab，∴ab≤（）2，当且仅当a＝b＞0时取等号．41.分析:（1）变形利用基本不等式的性质即可得出．（2）直接利用基本不等式的性质即可得出．解：（1）∵x＞1，∴x+＝x﹣1++1≥2+1＝3，当且仅当x＝2时取等号，因此x+的最小值为3．（2）由x（10﹣x）≥0，解得0≤x≤10．∴≤＝5，当且仅当x＝5时取等号．∴的最大值是5．42.分析:设底面的长为x，宽为y，则y＝，设房屋总造价为f（x），由题意可得：f（x）＝3600x++5800，再利用基本不等式即可得x＝8时，f（x）的值最小，故当房屋底面的长为8m，宽为6m时，这时的房屋总造价最低，最低总造价是63400元．解：如图所示，设底面的长为x，宽为，则xy＝48，∴y＝，设房屋总造价为f（x），由题意可得：f（x）＝3x•1200+3××800×2+5800＝3600x++5800≥+5800＝63400，当且仅当，即x＝8时，等号成立，故当房屋底面的长为8m，宽为6m 时，这时的房屋总造价最低，最低总造价是63400元．（2）43.分析:（1）根据几何图形的面积即可得到函数的解析式，并求出函数的定义域，即可得到答案．设正十字形的外接圆的直径为d，则，利用基本不等式可以求出d的最小值，进而求出外接圆面积的最小值．解：（1）由题意可得：，则，∵y＞x，∴，解得，∴y关于x的解析式为（0＜x＜）．（2）设正十字形的外接圆的直径为d，由图可知＝，当且仅当时，不等式等号成立，所以正十字形的外接圆直径d的最小值为，则半径的最小值为．所以正十字形的外接圆面积最小值为．此时．所以当时正十字形的外接圆面积最小，最小值为．。
第一章不等关系与基本不等式 (1)
D.ad与bc大小不定源自②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f(x)－f(y)|<|x－y|. 若对所有x，y∈[0，1]，|f(x)－f(y)|<k恒成立，则k的最小值为( ) A. C. B. D.
解析 先利用特值法确定范围，再结合函数的取值特性求解. 取y＝0，则|f(x)－f(0)|<|x－0|，即|f(x)|<x， 取y＝1则|f(x)－f(1)|<|x－1|， 即|f(x)|<(1－x).∴|f(x)|＋|f(x)|<x＋－x＝，∴|f(x)|<.不妨取f(x)≥0，则0≤f(x)<，0 ≤f(y)<，∴|f(x)－f(y)|<－0＝， 要使|f(x)－f(y)|<k恒成立，只需k≥. ∴k的最小值为. 答案 B 二、填空题 6.已知－2≤a≤3，－3<b<4，则a－|b|的取值范围为_____________________. 解析 ∵－3<b<4，∴0≤|b|<4，－4<－|b|≤0， 又－2≤a≤3，∴－6<a－|b|≤3. 答案 (－6，3] 7.x，y∈R，若|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，则x＋y的取值范围为________. 解析 利用绝对值的几何意义求解，注意等号成立的条件.由绝对值的几何意
解析 利用绝对值的几何意义分类讨论，根据解析式特征确定函数最小值点 进而求a. (1)当－1≤－，即a≤2时， f (x )＝ 易知函数f(x)在x＝－处取最小值，即1－＝3. 所以a＝－4. (2)当－1>－，即a>2时， f (x )＝ 易知函数f(x)在x＝－处取最小值，即－1＝3，故a＝8.综上a＝－4或8. 答案 D 3.如果存在实数x，使cos ±＝＋成立，那么实数x的集合是( ) A.{－1，1} C.{x|x>0，或x＝－1} 解析 由|cos ±|≤1，所以≤1. 又＝＋≥1. ∴＋＝1，当且仅当|x|＝1时成立，即x＝±1. 答案 A 4.正数a、b、c、d满足a＋d＝b＋c，|a－d|＜|b－c|，则( ) A.ad＝bc B.ad<bc B.{x|x<0，或x＝1} D.{x|x≤－1，或x≥1}
北京市清华大学附属中学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试(答案解析)
一、选择题1．两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列，则不等式2134m m a b+≥+恒成立时实数m 的取值范围是（ ）A ．[]4,3-B ．[]2,6-C ．[]6,2-D ．[]3,4- 2．下列结论中一定正确的是（ ）A ．若,0a b c <≠，则ac bc <B ．若33a b >，则a b >C ．若,0a b c >≠，则a b c c >D ．若a bc d >⎧⎨>⎩，则a c b d ->-3．若,,a b c ∈R ，且||1a ≤，||1b ≤，||1c ≤，则下列说法正确的是（ ）A ．322a ab bc ca +++≥B ．322a bab bc ca -+++≥C ．322a b cab bc ca --+++≥ D ．以上都不正确4．等差数列{a n }的前n 项和S n ，且4≤S 2≤6，15≤S 4≤21，则a 2的取值范围为（ ） A ．94788⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．233388⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ．93388⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．234788⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5．对任意x ∈R ,不等式22|sin ||sin |x x a a +-≥恒成立,则实数a 的取值范围是（ ）A ．01a ≤≤B ．11a -≤≤C ．12a -≤≤D ．22a -≤≤ 6．已知实数0a b >>，R c ∈，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．ac bc <B ．11b b a a +<+C ．11b ba a +>+ D ．ac bc ≥7．如果sin 2a =，1212b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.51log 3c =，那么( )A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．c a b >> 8．已知非零实数a ，b 满足||1a b >+，则下列不等关系不一定成立的是（ ） A ．221a b >+ B ．122a b +> C ．24a b > D ．1ab b >+9．已知()23f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．()()33f x f a a -≤+B ．()()5f x f a a -≤+C ．()()24f x f a a -≤+D ．()()()231f x f a a -≤+10．若,,a b c 为实数，则下列命题错误的是( )A ．若22ac bc >，则a b >B ．若0a b <<，则22a b <C ．若0a b >>，则11a b <D ．若0a b <<,0c d >>，则ac bd <11．若a ＞b ，c 为实数，下列不等式成立是（） A ．ac ＞bc B ．ac ＜bc C ． 22ac bc > D ． 22ac bc 12．实数,a b 满足0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）A ．1a b <B ．1133a b <C ．a b a b -<-D ．2a ab <二、填空题13．若0,0,0a b m n >>>>，则a b , b a , b m a m ++, a n b n++按由小到大的顺序排列为_______. 14．若关于实数x 的不等式|x ﹣5|+|x+3|＜a 无解，则实数a 的取值范围是___________． 15．已知不等式122a x y z -≥++，对满足2221x y z ++=的一切实数x y 、、z 都成立，则实数a 的取值范围为______16．如图，边长为(00)1a b a b ++>>,的正方形被剖分为9个矩形，这些矩形的面积如图所示，则3572468152S S S S S S S S S +++++的最小值是______.17．已知a b R ∈，，写出不等式a b a b a b +≤++-等号成立的所有条件_________ 18．对任意实数x ，若不等式|x ＋2|－|x －3|＞k 恒成立，则k 的取值范围是________ 19．已知()2|1|f x x =-，记1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，…，1()(())n n f x f f x +=，…，若对于任意的*n N ∈，0|()|2n f x ≤恒成立，则实数0x 的取值范围是_______．20．已知二次函数f （x ）=ax 2+2x+c （x ∈R ）的值域为[0，+∞），则11a c c a+++的最小值为_____． 三、解答题21．已知n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，22a =，()2*112n n n S a a n N ++=-∈. （1）证明：数列{}n a 是等差数列；（2）设()*2n n n a b n N =∈，数列{}n b 的前n 项和n T ， ①求证：2n T <； ②解关于n 的不等式：3332n n n T +>-. 22．已知函数()|4||1|f x x x =-+-，x ∈R .（1）解不等式：()5f x ≤；（2）记()f x 的最小值为M ，若实数,a b 满足22a b M +=，试证明：22112213a b +≥++. 23．设:p 实数x 满足22430x ax a -+<，:q 实数x 满足31x -<.（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若其中0a >且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.24．已知函数()3f x x x a =-++．（1）当2a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()5f x x ≤-的解集包含[]1,3，求实数a 的取值范围．25．已知函数()1144f x x x =-++，M 为不等式()2f x ≤的解集． （1）求M ；（2）证明：当a ，b M ∈时，a b -．26．已知函数()21,f x x m x m R =-+-∈（1）当1m =时，解不等式()2f x ； （2）若不等式()3f x x <-对任意[0,1]x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由题意利用等差数列的定义和性质求得13a b =+，再利用基本不等式求得112ab，根据题意，2412m m +，由此求得m 的范围．【详解】解：两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列， 13a b ∴=+，123ab ∴，112ab ∴，∴112ab ． ∴不等式2134m m a b ++恒成立，即234a b m m ab ++恒成立， 即214m m ab+恒成立． 2412m m ∴+，求得62m -，故选：C ．【点睛】本题主要考查等差数列的定义和性质，不等式的恒成立问题，基本不等式的应用，属于基础题．2．B解析：B【分析】通过反例可判断A 、C 、D 均错误，利用函数的单调性可证明B 正确.【详解】对于A ，取2,1,1a b c =-=-=-，则a b <，但ac bc >，故A 错误.对于C ，取2,1,1b a c =-=-=-，则a b >，但a b c c<，故C 错误. 对于B ，因为3y x =为R 上的增函数，故33a b >等价于a b >，故B 正确.对于D ，取1,2,1,100a b c d =-=-=-=-，满足a b c d>⎧⎨>⎩，但a c b d -<-，故D 错误. 故选：B.【点睛】本题考查不等式的性质，注意说明一个不等式不成立，只需要举出一个反例即可，另外证明一个不等式成立可用作差法或作商法，本题属于基础题. 3．A解析：A【分析】首先根据题意得到13ab bc ca -≤++≤，即可得到选项A 正确，再利用特值法排除选项B ，C ，即可得到答案.【详解】因为,,a b c ∈R ，且||1a ≤，||1b ≤，||1c ≤，所以当,,a b c 都为1或1-时，ab bc ca ++取得最大值3，设()()1,||1f x b c x bc x =+++≤，(1)()1(1)(1)f b c bc b c -=-+++=--，(1)()1(1)(1)f b c bc b c =+++=++，||1b ≤，||1c ≤，(1)0,(1)0f f ∴-≥≥，||1x ∴≤时，()0f x ≥，又||1a ≤，()()10f a b c a bc ∴=+++≥，1ab bc ca ++≥-即：13ab bc ca -≤++≤.对于选项A ，3122ab bc ca +++≥，122a ≤，显然不等式成立． 取1a =，1b =-，0c ，得到31(1)10022---+++≥ 显然不成立，故排除选项B. 取1a =-，0b =，1c =，得到310100(1)22---++-+≥ 显然不成立，故排除选项C.故选：A【点睛】本题主要考查根据条件判断不等式是否正确，特值法为解决本题的关键，属于简单题. 4．B解析：B【分析】首先设公差为d ，由题中的条件可得2426a d ≤-≤和21521222a d ≤+≤，利用待定系数法可得()()222112244a a d a d =-++，结合所求的范围及不等式的性质可得 2233388a ≤≤. 【详解】设公差为d ，由246S ≤≤，得1246a a ≤+≤，即2426a d ≤-≤；同理由41521S ≤≤可得21521222a d ≤+≤. 故可设()()22222a x a d y a d =-++，所以有()()2222a x y a y x d =++-，所以有221y x x y =⎧⎨+=⎩，解得14x y ==，即()()222112244a a d a d =-++， 因为 ()2131242a d ≤-≤，()2151212848a d ≤+≤. 所以()()22231133228448a d a d ≤-++≤，即2233388a ≤≤. 故选：B.本题主要考查不等式的性质及等差数列的运算，利用不等式求解范围时注意放缩的尺度，运算次数越少，范围越准确.5．B解析：B【分析】解法一:（换元法）设sin t x =,则原不等式可化为22||||t t a a +-≥.求函数()||||||f t t t t a =++-的最小值,从而不等式2||a a ≥可得11a -≤≤.解法二:（特殊值法）代入2a =, 1a =-,排除错误选项即可.【详解】解:解法一:（换元法）设sin t x =,则原不等式可化为22||||t t a a +-≥.令()||||||f t t t t a =++-,则min [()](0)||f t f a ==,从而解不等式2||a a ≥可得11a -≤≤.故选B .解法二:（特殊值法）当2a =时,因为2|sin ||sin 2|2sin 2|sin |2|sin |2x x x x x +-=-+≥+≥,当且仅当sin 0x =时,等号成立.此时2|sin ||sin 2|4x x +-≥不恒成立,所以2a =不合题意,可以排除C 、D .当1a =-时,因为2|sin ||sin 1|1sin 2|sin |1|sin |1x x x x x ++=++≥+≥,当且仅当sin 0x =时,等号成立.此时2|sin ||sin 1|1x x ++≥恒成立,所以1a =-符合题意,可以排除A.故选:B【点睛】本题考查绝对值不等式的参数问题,属于中档题,利用函数求最值的方法或者特殊值排除法都可以解题.6．C解析：C【分析】根据不等式性质和作差法判断大小依次判断每个选项得到答案.【详解】当0c ≥时，不等式不成立，A 错误；()()10111b b ab a ab b a b a a a a a a ++----==>+++，故B 错误C 正确； 当0c <时，不等式不成立，D 错误；故选：C .本题考查了不等式的性质，作差法判断大小，意在考查学生对于不等式知识的综合应用. 7．D解析：D【分析】由题意可知，3sin 2sin 4a π=>，12112b ⎛⎫==< ⎪⎝⎭，0.51log 13c =>，从而判断,,a b c 的大小关系即可.【详解】3224ππ<<∴3sin sin 2sin 42ππ<<1a << 110.523=> 0.50.511log log 132∴>=，即0.51log 13c => 121122b ⎛⎫==< ⎪⎝⎭∴b a c <<故选：D【点睛】本题考查比较大小，是比较综合的一道题，属于中档题.8．D解析：D【分析】||1a b >+两边平方，结合绝对值的性质，可判断选项A 成立；||11a b b >+>+，再由指数函数的单调性，可判断选项B 正确；由212||b b +≥，结合选项A ，判断选项C 正确； 令5,a =3b =，满足||1a b >+，1a b b>+不成立. 【详解】 ||1a b >+2222||11a b b b ⇔>++>+，A 一定成立；||11a b b >+≥+122a b +⇒>，B 一定成立；又212||b b +≥，故24||4a b b >≥，C 一定成立；令5,a =3b =，即可推得D 不一定成立.故选:D.本题考查不等式与不等关系，注意绝对值性质的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题.9．C解析：C【分析】先表示出()()f x f a -，利用绝对值三角不等式a b a b ±≤+即可求解.【详解】由()23f x x x =+，得()()()(3)f x f a x a x a -=-++，因为1x a -≤，所以()(3)323x a x a x a x a a -++≤++=-++，由绝对值三角不等式得232324x a a x a a a -++≤-++≤+，故()()24f x f a a -≤+一定成立. 故选C.【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的灵活应用，在求最值时要注意等号成立的条件，考查逻辑推理能力，属基础题.10．B解析：B【分析】由题意利用不等式的性质逐一考查所给的四个选项中的结论是否正确即可.其中正确的命题可以用不等式的性质进行证明，错误的命题给出反例即可.【详解】对于A ，若22ac bc >，则0c ≠，2222ac bc c c>，即a b >，故正确； 对于B ，根据不等式的性质，若0a b <<，不妨取2,1a b =-=-， 则22a b >，故题中结论错误；对于C ，若0a b >>，则a b ab ab>，即11a b <，故正确； 对于D ，若0a b <<,0c d >>，则0a b ->->，故ac bd ->-，ac bd <，故正确. 故选B.【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，属于中等题.11．D解析：D【分析】由已知条件，利用不等式的基本性质，直接求解，即可得到答案.【详解】由题意，,a b c >为实数，在A 中，当0c ≤时，ac bc >不定成立，所以不正确；在B 中，当0c ≥时，ac bc <不定成立，所以不正确；在C 中，当0c 时，22ac bc >不定成立，所以不正确；在D 中，因为2,0a b c >≥，所以22ac bc ≥成立，故选D.【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质的应用，其中解答中熟记不等式的基本性质，合理推理、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．C解析：C【解析】分析：根据题意，由不等式的性质依次分析选项，综合即可得答案．详解：根据题意，依次分析选项：对于A. 2,b 1a ==时，1a b>成立，故A 错误； 对于B 、2,b 1a ==时，有1133a b >成立，故B 错误；对于D 、2,b 1a ==，有2a ab >成立，故D 错误；故选：C ．点睛：本题考查不等式的性质，对于错误的结论举出反例即可．二、填空题13．【解析】解答：−==∵a>b>0m>0n>0∴<0∴−=∵a>b>0m>0n>0∴<0∴−<0∴−=∵a>b>0n>0∴−<0∴综上可知故答案为：点睛：比较大小的方法：作差法（作商法）中间量（比如0 解析：b b m a n a a a m b n b++<<<++ 【解析】解答：b a −b m a m ++==()()b a m a a m -+ ∵a >b >0，m >0，n >0，∴()() b a m a a m -+<0 ∴b b m a a m+<+b m a m ++−a n b n ++=()()()()()()b a b a b a m n a m b n +-+-+++ ∵a >b >0，m >0，n >0，∴()()()()()() b a b a b a m n a m b n +-+-+++<0 ∴b m a m ++−a n b n ++<0 ∴b m a n a m b n++<++ a n b n ++−a b =()()b a n b b n -+ ∵a >b >0，n >0， ∴a nb n ++−a b <0 ∴a n a b n b+<+ 综上可知，b b m a n a a a m b n b ++<<<++ 故答案为：b b m a n a a a m b n b++<<<++ 点睛：比较大小的方法：作差法（作商法），中间量（比如0或1），函数的单调性，数形结合等方法.14．（﹣∞8【解析】由于|x ﹣5|+|x+3|表示数轴上的x 对应点到5和﹣3对应点的距离之和其最小值为8再由关于实数x 的不等式|x ﹣5|+|x+3|＜a 无解可得a≤8故答案为（﹣∞8解析：（﹣∞，8]【解析】由于|x ﹣5|+|x+3|表示数轴上的x 对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8， 再由关于实数x 的不等式|x ﹣5|+|x+3|＜a 无解，可得a≤8，故答案为（﹣∞，8]．15．【解析】试题分析：不等式|a ﹣1|≥x+2y+2z 恒成立只要|a ﹣1|≥（x+2y+2z ）max 利用柯西不等式9=（12+22+22）•（x2+y2+z2）≥（1•x+2•y+2•z ）2求出x+2y解析：42a a ≥≤-或【解析】试题分析：不等式|a ﹣1|≥x+2y+2z 恒成立，只要|a ﹣1|≥（x+2y+2z ）max ，利用柯西不等式9=（12+22+22）•（x 2+y 2+z 2）≥（1•x+2•y+2•z ）2求出x+2y+2z 的最大值，再解关于a 的绝对值不等式即可．解：由柯西不等式9=（12+22+22）•（x 2+y 2+z 2）≥（1•x+2•y+2•z ）2即x+2y+2z≤3，当且仅当 即，，时，x+2y+2z 取得最大值3．∵不等式|a ﹣1|≥x+2y+2z ，对满足x 2+y 2+z 2=1的一切实数x ，y ，z 恒成立，只需|a ﹣1|≥3，解得a ﹣1≥3或a ﹣1≤﹣3，∴a≥4或∴a≤﹣2．即实数的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．故答案为a≥4或a≤﹣2．点评：本题考查柯西不等式的应用，考查运算能力和运用所学知识解决问题的能力． 16．2【分析】根据矩形的面积公式化简的表示然后分类讨论结合基本不等式比较法放缩法进行求解即可【详解】由图示可得：当时当且仅当时取得等号；当时即有成立由可得当且仅当时取得等号综上可得的最小值是2【点睛】关 解析：2【分析】 根据矩形的面积公式化简3572468152S S S S S S S S S +++++的表示，然后分类讨论，结合基本不等式、比较法、放缩法进行求解即可.【详解】 由图示可得：222235724681522211S S S b a b a S S S S S S b a a b ab a b ab +++=++=+++++++++， 当1a b ab +<+时，2221b a a b ab ++++2222222221111b a a b ab ab ab ab ab ++++>+=≥=++++， 当且仅当1a b ==时，取得等号；当1a b ab +≥+时，即有2221b a a b ab ++++222222a b a b a b a b a b+++≥+=+++成立， 由2222222222(1)(1)20a b a b a b a b a b a b a b+++--+-+--==≥+++， 可得3572468152S S S S S S S S S +++++2≥，当且仅当1a b ==时，取得等号， 综上可得，3572468152S S S S S S S S S +++++的最小值是2. 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据1a b ab ++，之间的大小关系，利用放缩法进行求解. 17．或【分析】根据将证等号成立条件转化为证等号成立条件求解【详解】因为所以要证的等号成立条件只需证的等号成立条件即的等号成立条件当时当时所以当且仅当即或时取等号故答案为：或【点睛】本题主要考查绝对值三角 解析：a b =或=-a b【分析】 根据0,0+≥++-≥a b a b a b ，将证a b a b a b +≤++-等号成立条件，转化为证()()22+≤++-a ba b a b 等号成立条件求解. 【详解】 因为0,0+≥++-≥a b a b a b ， 所以要证a b a b a b +≤++-的等号成立条件 ， 只需证()()22+≤++-a b a b a b 的等号成立条件 ， 即2222220++--≥a b a b ab 的等号成立条件 ，当22a b ≥时，()()()222222223230++--=--=-+≥a b a b ab a b ab a ba b ， 当22a b <时，()()()222222223230+---=--=-+≥a b a b ab b a ab b a a b ， 所以当且仅当22a b a b ⎧≥⎪⎨=⎪⎩，即a b =或=-a b 时，取等号， 故答案为：a b =或=-a b【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式等号成立的条件，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.18．【分析】令求出即可得出k 的取值范围【详解】设当时则即故答案为：【点睛】本题主要考查了求绝对值不等式中参数的范围属于中档题解析：(),5-∞-【分析】令()|2||3|f x x x =+--，求出min ()f x ，即可得出k 的取值范围.【详解】设5,3()|2||3|21,235,2x f x x x x x x ≥⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-≤-⎩当(2,3)x ∈-时，()(5,5)f x ∈-，则min ()5f x =-即5k <-故答案为：(),5-∞-【点睛】本题主要考查了求绝对值不等式中参数的范围，属于中档题.19．【解析】【分析】先由得再由的定义可知对于任意的时不等式均成立进而得解【详解】由对于任意的恒成立可知即解得下证即为所求当时…故答案为：【点睛】本题主要考查了解绝对值不等式及函数的表达式的应用属于中档题 解析：[0,2]【解析】【分析】先由()()1002f x f x =≤，得002x ≤≤，再由()()()1n n f x ff x +=的定义可知对于任意的*n N ∈，[]00,2x ∈时不等式均成立，进而得解.【详解】由对于任意的*n N ∈，()02n f x ≤恒成立，可知()()1002f x f x =≤，即0212x -≤，解得002x ≤≤.下证02x ≤≤即为所求.当[]00,2x ∈时，()[]100,2f x ∈， ()()()()[]201010210,2f x f f x f x ==-∈, ()()()()[]302020 210,2f x f f x f x ==-∈,…，()()()()[]01010 210,2n n n f x f f x f x --==-∈.故答案为：[]0,2.【点睛】本题主要考查了解绝对值不等式及函数的表达式的应用，属于中档题. 20．4【分析】先判断是正数且把所求的式子变形使用基本不等式求最小值【详解】由题意知则当且仅当时取等号∴的最小值为4【点睛】】本题考查函数的值域及基本不等式的应用属中档题解析：4【分析】先判断a c 、是正数，且1ac =，把所求的式子变形使用基本不等式求最小值．【详解】由题意知，044010a ac ac c =-=∴=＞，，，＞，则111111 2224a c a c a c c a c c a a c a c a +++=+++=+++≥+=+=（）（）， 当且仅当1a c ==时取等号． ∴11a c c a +++的最小值为4． 【点睛】】本题考查函数的值域及基本不等式的应用．属中档题.三、解答题21．（1）见解析；（2）①见解析；②{1，2}【分析】（1）运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；（2）①22n n n na nb ==，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式和不等式的性质，即可得证； ②原不等式化为2112n n +>，即221n n <+，运用二项式定理和不等式的性质，可得解集．【详解】（1）证明：n S 是正项数列{}n a 的求和，22a =，2112n n n S a a ++=-，可得21122222a S a a ==-=，则11a =，当2n 时，212n n n S a a -=-，又2112n n n S a a ++=-，两式相减可得22111222n n n n n n n a S S a a a a -++=-=--+，化为11()(1)0n n n n a a a a +++--=，由正项数列{}n a ，可得11n n a a +-=，可得数列{}n a 是首项和公差均为1的等差数列；（2）①证明：22n n n n a n b ==，前n 项和1232482n nn T =+++⋯+， 11123248162n n n T +=+++⋯+， 两式相减可得1111(1)11111221224822212n n n n n n n T ++-=+++⋯+-=--， 化为222n nn T +=-， 可得2n T <； ②3332n n n T +>-即2332322n n n n ++->-， 化为2112n n +>，即221n n <+， 22(11)11n n n n C n =+=+++⋯++，可得1n =时23<；2n =时，45；3n 不成立，故原不等式的解集为{1，2}．【点睛】本题考查数列的递推式的运用，考查等差数列的定义和通项公式，等比数列的求和公式，数列的错位相减法求和，化简运算能力和推理能力，属于中档题．22．（1）{}05x x ≤≤，（2）证明见解析【分析】（1）先将()f x 化成分段函数的形式，然后根据()5f x ≤，分别解不等式即可；（2）由（1）可知()f x 的最小值为3M =，从而可得223a b +=，再利用基本不等式证明即可【详解】 （1）解：25,4()413,1425,1x x f x x x x x x ->⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪-+<⎩因为()5f x ≤，所以2554x x -≤⎧⎨>⎩，或14x ≤≤，或2551x x -+≤⎧⎨<⎩所以45x <≤，或14x ≤≤，或01x ≤<，所以05x ≤≤，所以不等式的解集为{}05x x ≤≤（2）证明：因为()|4||1|(4)(1)3f x x x x x =-+-≥-+-=，当且仅当14x ≤≤时取等号，所以()f x 的最小值为3M =，所以223a b +=， 所以22222211111[(2)(1)]21216a b a b a b ⎛⎫+=++++⨯ ⎪++++⎝⎭ 22221212216b a a b ⎛⎫++=++⨯ ⎪++⎝⎭12263⎛≥+⨯= ⎝， 当且仅当22221221b a a b ++=++，即21a =，22b =时取等号 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方23．（1）{}|23x x <<（2）423a ≤≤ 【分析】 （1）解一元二次不等式求得p 中x 的取值范围，解绝对值不等式求得q 中x 的取值范围，根据p q ∧为真，即,p q 都为真命题，求得x 的取值范围.（2）解一元二次不等式求得p 中x 的取值范围，根据p ⌝是q ⌝的充分不必要条件列不等式组，解不等式组求得实数a 的取值范围.【详解】对于q ：由31x -<得131x -<-<，解24x <<（1）当1a =时，对于p ：()()243310x x x x -+=--<，解得13x <<，由于p q ∧为真，所以,p q 都为真命题，所以2413x x <<⎧⎨<<⎩解得23x <<，所以实数x 的取值范围是{}|23x x <<.（2）当0a >时，对于p ：()()224303x ax a x a x a =---+<，解得3a x a <<.由于p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的必要不充分条件，所以234a a ≤⎧⎨≥⎩，解得423a ≤≤.所以实数a 的取值范围是423a ≤≤. 【点睛】 本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查根据含有逻辑连接词命题真假性求参数的取值范围，考查根据充分、必要条件求参数的取值范围，属于中档题.24．（1）{}14x x x ≤≥或（2）[]3,1a ∈--【分析】（1）利用分类讨论法，求得不等式的解集．（2）（2）原命题等价于35x x a x -++≤-在[]1,3上恒成立，即22x a x --≤≤-+在[]1,3上恒成立，由此求得a 的范围．【详解】解：（1）当2a =-时，()3f x ≥， 323x x ∴-+-≥2523x x ≤⎧∴⎨-≥⎩或2313x <<⎧⎨≥⎩或3253x x ≥⎧⎨-≥⎩1x ∴≤或x ∈∅或4x ≥， 所以不等式的解集为{1x x ≤或4}x ≥．（2）()5f x x ≤-，35x x a x ∴-++≤-由于[]1,3x ∈，所以上式2x a ⇔+≤，所以22x a x --≤≤-+在区间[]1,3上恒成立，所以[]3,1a ∈--．【点睛】本题主要考查分类讨论法解绝对值不等式，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．25．（1）[]1,1M =-；（2）证明见解析.【分析】（1）根据绝对值定义化简函数，再解三个不等式组，最后求并集得结果；（2）利用分析法证明不等式【详解】 （1）()12,,411111,,4424412,4x x f x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-++=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩()12422x f x x ⎧≤-⎪≤∴⎨⎪-≤⎩或1144122x ⎧-<<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩或1422x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩ 114x ∴-≤≤-或1144x -<<或114x ≤≤ 所以不等式的解集为[]1,1M =-．（2）要证a b -，只需证a b -，即证()241ab a b -≥-，只需证22442ab a ab b --+≥，即2242a ab b ++≥， 即证()24a b ≥+，只需证2a b ≥+因为a ，b M ∈，所以2a b +≤，所以所证不等式成立．【点睛】本题考查含绝对值不等式解法、分析法证明不等式，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.26．（1）403x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）02m <<. 【分析】（1）分类讨论去绝对值后分区间解不等式，再求并集；（2）转化为||3|21|x m x x -<---对任意的[0x ∈，1]恒成立，后再构造函数，利用函数的单调性列不等式可得结果．【详解】（1）当1m =时，()|1||21|f x x x =-+-， 所以123,21(),1232,1x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=⎨⎪->⎪⎪⎩， ∴23212x x -<⎧⎪⎨<⎪⎩或2112x x <⎧⎪⎨⎪⎩或3221x x -<⎧⎨>⎩， 解得403x << 所以不等式()2f x 的解集为4{|0}3x x << （2）由题意()3f x x <-对任意的[0x ∈，1]恒成立，即||3|21|x m x x -<---对任意的[0x ∈，1]恒成立， 令12,02()321143,12x x g x x x x x ⎧+<⎪⎪=---=⎨⎪-⎪⎩， ()g x 在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递增，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减， ||y x m =-在(],m -∞上递减，在[),m +∞上递增，要使||3|21|x m x x -<---对任意的[0x ∈，1]恒成立，只需0021431m m ⎧-<+⎪⎨-<-⨯⎪⎩可得02m <<【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
(压轴题)高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试(含答案解析)(1)
一、选择题1．若关于x 的不等式13x x m -++>的解集为R ，则实数m 的取值范围是 A ．(,4)(2,)-∞-⋃+∞ B ．(,4)(1,)-∞-+∞C ．(4,2)-D ．[4,1]-2．若0a b <<，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．11a b< B ．22a b >C ．ln()0b a ->D ．22ac bc <3．若实数a ＞b ，则下列结论成立的是（ ） A ．a 2＞b 2B ．11a b＜C ．ln 2a ＞ln 2bD ．ax 2＞bx 24．若0a <b <，则下列不等式中成立的是（ ） A ．|a |>b -B ．1a b< C ．a b -<-D ．11a b< 5．如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则参数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞ 6．已知a b R ∈，，且a b >，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．22a b >B ．()lg a b 0->C ．a b 22--<D ．a 1b > 7．已知实数,a b ，且a b >，则以下不等式恒成立的是（ ） A ．33a b > B ．22a b >C ．1133a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11a b< 8．若，则下列结论不正确的是A ．B ．C ．D ．9．若0a b <<，则下列各式一定．．成立的是（ ） A ．a c b c +>+B ．22a b <C ．ac bc >D ．11a b> 10．已知,a b ∈R ，且2a bP +=，222a b Q +=P ，Q 的关系是（ ） A ．P Q ≥B ．P Q >C ．P Q ≤D ．P Q <11．若a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．22a b >B ．11a b< C ．a b >D ．a b e e >12．给出以下四个命题：（ ）①若a>b ，则 11a b<； ②若ac 2>bc 2，则a>b ； ③若a>|b|，则a>b ；④若a>b ，则a 2>b 2.其中正确的是( ) A ．②④B ．②③C ．①②D ．①③二、填空题13．不等式2log 5x a -<对任意[]4,16x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为____________. 14．若不等式21x a x a a -++≥-+对于任意实数x 恒成立，则满足条件的实数a 的取值范围______. 15．已知关于x 的不等式1+1ax ax ->在[2,5]有实数解，则实数a 的取值范围为________． 16．若关于x 的不等式215x a x x -+-≥-在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为________． 17．已知函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_______．18．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是_____ 19．若110a b>>有下列四个不等式①33a b <；②21log 3log 3a b ++>；b a b a -④3322a b ab +>.则下列组合中全部正确的为__________ 20．全集U =R ，且2{}0|6A x x x =-++≥，}0{|34B x x =-->，则()UA B =________．三、解答题21．设函数()2|1||2|f x x x =-+-. （1）求不等式()2f x >的解集；（2）若不等式()(1)f x a x +的解集非空，求实数a 的取值范围. 22．已知()|1||1|f x x x =-++，不等式()4f x <的解集为M . （1）求集合M ；（2）当,a b M ∈时，证明：2|||4|a b ab +<+. 23．已知正实数,x y 满足21x y += （1）解关于x 的不等式52()||2x y x y ++-≤； （2）证明：22114136x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 24．已知函数()36f x x =+，()3g x x =-．（Ⅰ）求不等式()()f x g x >的解集；（Ⅱ）若()3()f x g x a +≥对于任意x ∈R 恒成立，求实数a 的最大值． 25．选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x =-.（1）解不等式：()()124f x f x +++<；（2）已知2a >,求证：()(),2x R f ax af x ∀∈+>恒成立. 26．已知()|1||21|f x x x =+--. （1）求不等式()0f x >的解集；（2）若x ∈R ，不等式()23f x x a ≤+-恒成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】由于13x x m -++>表示数轴上的x 对应点到1和m -的距离之和，它的最小值等于1m +，由题意可得13m +>，解得2m >，或4m <-，故实数m 的取值范围是为()(),42,-∞-⋃+∞，故选A.2．B解析：B 【分析】取特殊值排除ACD 选项，由幂函数的单调性判断B 选项. 【详解】当2,1a b =-=-时，11112a b-=>=-；ln()ln10b a -==；则AC 错误； 当0c时，22ac bc =，则D 错误；因为函数2y x 在(,0)-∞上单调递减，0a b <<，所以22a b >故选：B 【点睛】本题主要考查了由所给条件判断不等式是否成立，属于中档题.3．C解析：C 【解析】特值法排除A,B,D,单调性判断C 【详解】 由题意，可知：对于A ：当a 、b 都是负数时，很明显a 2＜b 2，故选项A 不正确； 对于B ：当a 为正数，b 为负数时，则有11a b＞，故选项B 不正确； 对于C ：∵a ＞b ，∴2a ＞2b ＞0，∴ln 2a ＞ln 2b ，故选项C 正确； 对于D ：当x ＝0时，结果不成立，故选项D 不正确； 故选：C ． 【点评】本题主要考查不等式的性质应用，特殊值技巧的应用，指数函数、对数函数值大小的比较．本题属中档题．4．A解析：A 【解析】 【分析】对于A ，用不等式的性质可以论证，对于B ，C ，D ，列举反例，可以判断． 【详解】∵a ＜0，∴|a |＝﹣a ，∵a ＜b ＜0，∴﹣a ＞﹣b ＞0，∴|a |＞﹣b ，故结论A 成立； 取a ＝﹣2，b ＝﹣1，则 ∵21ab=＞，∴B 不正确；1==，∴∴C 不正确；112a =-，11b =-，∴11a b＞，∴D 不正确． 故选：A ． 【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是利用不等式的性质，对于不正确结论，列举反例．5．A解析：A 【分析】先求|x-3|+|x-4|的最小值是1，即得解. 【详解】由题得|x-3|+|x-4|＜a 有解，由绝对值三角不等式得|x-3|+|x-4|≥|x -3-x+4|=1， 所以|x-3|+|x-4|的最小值为1， 所以1＜a,即a ＞1. 故选A本题主要考查绝对值三角不等式求最值，考查不等式的有解问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．C解析：C 【分析】主要利用排除法求出结果． 【详解】 对于选项A ：当0a b >>时，不成立；对于选项B ：当10a b >>>时，()lg 0a b -<，所以不成立； 对于选项D ：当0a b >>时，不成立； 故选C ． 【点睛】本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，排除法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7．A解析：A 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性判断A ；令1a =，1b =-判断,B D ，根据指数函数的单调性判断C ．【详解】因为()3f x x =是增函数，所以由b a >可得33b a >，选项A 正确；当1a =，1b =-时，22a b >不成立，选项B 错误；因为1y ()3x =是减函数,由a b >可得11()()33a b<，选项C 错误，1a =，1b =-时，11a b<不成立，选项D 错误，故选A ． 【点睛】本题主要考查不等关系与不等式的性质，属于中档题．利用条件判断不等式是否成立主要从以下几个方面着手：（1）利用不等式的性质直接判断；（2）利用函数式的单调性判断；（3）利用特殊值判断.8．D解析：D 【分析】 不妨令 ，代入各个选项进行验证，找出符合条件的选项．【详解】由题，不妨令，可得a 2＜b 2，故A 正确； ，故B 正确；，故C 正确．故D 不正确．故选D ． 【点睛】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题9．D解析：D 【分析】运用不等式的可加性，可判断A ；由反比例函数的单调性，可判断D ；由0c ，可判断C ；由二次函数的单调性可判断B ． 【详解】对于A ，若0a b <<，则a c b c ++＜，故A 项错误； 对于D ，函数1y x ＝在0-∞（，）上单调递减，若0a b <<，则11a b>，故D 项正确； 对于C ，当0c时，ac bc =，即不等式ac bc >不成立，故C 项错误；对于B ，函数2y x 在0-∞（，）上单调递减，若0a b <<，则22a b ＞，故B 项错误， 故选D ． 【点睛】本题考查不等式的性质和运用，考查函数的单调性和反例法，考查推理、判断能力，属于基础题．10．C解析：C 【解析】分析：因为P 2﹣Q 2=﹣2()4a b -≤0，所以P 2≤Q 2，则P≤Q ， 详解：因为a ，b ∈R ，且P=2a b +，222a b +，所以P 2=2224a b ab ++，Q 2=222a b +，则P 2﹣Q 2=2224a b ab ++﹣222a b +=2224ab a b --=﹣2()4a b -≤0， 当且仅当a=b 时取等成立，所以P 2﹣Q 2≤0，即P 2≤Q 2，所以P≤Q ， 故选：C ．点睛：比较大小的常用方法 （1）作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差. （2）作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论.（3）函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系. （4）借助第三量比较法11．D解析：D 【解析】分析：根据不等式的性质，通过举例，可判定A 、B 、C 不正确，根据指数函数的性质，即可得到D 是正确的.详解：当1,2a b ==-时，满足a b >，此时2211,,a b a b a b<，所以A 、B 、C 不正确；因为函数x y e =是单调递增函数，又由a b >，所以a b e e >，故选D.点睛：本题主要考查了不等式的性质的应用和指数函数的单调性的应用，其中熟记不等式的基本性质和指数函数的单调性是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.12．B解析：B 【解析】分析：根据不等式的性质分别进行判断，注意结合特值法求解. 详解：①若110,a b a b>>>成立，①错误； ②22ac bc >，则a b >，②正确； ③若a b >成立，则a b >成立，③正确；④若0,1a b ==-，a b >成立，则 22a b >不成立，④错误， 正确的命题为②③，故选B.点睛：本题考查不等式的性质的应用，要求熟练掌握不等式性质成立的条件，同时注意运用特值法判断，属于简单题.二、填空题13．【分析】先去绝对值转化为再转化为求的最大值与最小值得到答案【详解】由得又由则则的最大值为的最小值为则故答案为：【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法对数函数的值域的求法还考查了将恒成立问题转化为求最值 解析：()1,7-【分析】先去绝对值，转化为22log 5log 5x a x -<<+，再转化为求2log ,[4,16]y x x =∈的最大值与最小值，得到答案. 【详解】由2log 5x a -<，得22log 5log 5x a x -<<+，又由2log ,[4,16]y x x =∈， 则[2,4]y ∈，则25log x -的最大值为1-，2log 5x +的最小值为7，则17a -<<. 故答案为：()1,7- 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，对数函数的值域的求法，还考查了将恒成立问题转化为求最值问题，转化与化归思想，属于中档题.14．【分析】首先若满足不等式恒成立即根据不等式利用含绝对值三角不等式求最小值最后解不等式求的取值范围【详解】当时等号成立若满足不等式对于任意实数x 恒成立即即或解得：或故答案为：【点睛】本题考查了不等式恒解析：(]2,2,5⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】首先若满足不等式恒成立，即()min12a x a x a -+≤-++，根据不等式222a ax a x a x a x x -++=-++++，利用含绝对值三角不等式求最小值，最后解不等式求a 的取值范围. 【详解】()32222222a a a a a x a x a x a x x x a x x a x ⎛⎫-++=-++++≥--+++=++ ⎪⎝⎭ 32a≥ ， 当2ax =-时，等号成立， ()min 322a x a x a ∴-++=， 若满足不等式21x a x a a -++≥-+对于任意实数x 恒成立，即312a a -+≤ ，即312a a ≥-或312a a ≤- ， 解得：25a ≥或2a ≤-. 故答案为：(]2,2,5⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查了不等式恒成立求参数的取值范围，意在考查绝对值的意义和绝对值三角不等式求最值，属于中档题型，含有两个绝对值的式子求最值时，参考公式a b a b a b -≤±≤+.15．【分析】根据题意分析可得原问题转化为在上能够成立设求出的最小值分析可得答案【详解】解：根据题意不等式在有实数解即在上能够成立又由则在上能够成立设则在区间上为减函数其最小值为若在上能够成立则；故的取值 解析：3(,)2a ∈+∞【分析】根据题意，分析可得原问题转化为11x a x +>-在[2，5]上能够成立，设1()1x f x x +=-，求出()f x 的最小值，分析可得答案．【详解】解：根据题意，不等式11ax a x ->+在[2，5]有实数解，即111x a x -⨯>+在[2，5]上能够成立，又由[2x ∈，5]，则11x a x +>-在[2，5]上能够成立， 设1()1x f x x +=-，则2()11f x x =+-，在区间[2，5]上为减函数，其最小值为()352f =，若11x a x +>-在[2，5]上能够成立，则32a >； 故a 的取值范围是3|2a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭； 故答案为：3,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查分式不等式的解法，关键是将分式不等式转化为整式不等式进行分析．16．【解析】原不等式转化为恒成立设的图像应在的上方右下图可得 解析：6a ≥【解析】原不等式转化为25-1x a x x -≥-- 恒成立，设()2,()51f x x a g x x x =-=---=62,1()4,1x x f x x -≥⎧⇒⎨<⎩的图像应在()g x 的上方，右下图可得(1)(1)6f g a ≥⇒≥ .17．【解析】试题分析：由题意得对任意总成立即对任意总成立而当且仅当时取=则实数的取值范围是考点：基本不等式求最值 解析：()2,π-+∞【解析】试题分析：由题意得()=()f x x a x π-<对任意0x <总成立，即a x xπ>+对任意0x <总成立，而2x xππ+≤-，当且仅当x π=-时取“=”，则实数的取值范围是()2,π-+∞考点：基本不等式求最值18．【详解】由得由整数有且仅有123知解得 解析：(5,7)【详解】 由|3|4x b -<得4433b b x -+<< 由整数有且仅有1，2，3知40134343b b -⎧≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩，解得57b <<19．①③【分析】由条件可知利用作差或是不等式的性质或是代特殊值判断不等式是否正确【详解】则正确故①正确；但不确定和的大小关系所以的正负不确定故②不正确；即故③正确；当时当时故④不正确；故答案为：①③【点解析：①③ 【分析】由条件可知0b a >>，利用作差，或是不等式的性质，或是代特殊值，判断不等式是否正确. 【详解】1100a b a b>>⇒<<，则33a b <正确，故①正确；()()()()()()33213333log 1log 211log 3log 3log 2log 1log 2log 1a b b a a b a b +++-+-=-=++++，()()33log 20,log 10a b +>+>，但不确定1b +和2a +的大小关系，所以()()33log 1log 2b a +-+的正负不确定，故②不正确；0ba >>，0>，(()22b a b a-=+---，20a=-=<<③正确；当1,2a b ==时，33220a b ab +-> 当2,3a b ==时，33220a b ab +-<，故④不正确；故答案为：①③ 【点睛】方法点睛：1.利用不等式的性质判断，把要判断的结论和不等式的性质联系起来考虑，先找到与结论相近的性质，再判断.2.作差（或作商）比较法，先作差（商），变形整理，判断符号（或与1比较），最后判断大小；3.特殊值验证的方法，运用赋值法排除选项.20．【分析】解不等式得集合根据交集和补集的定义写出【详解】解：全集或或即故答案为：【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题是基础题 解析：(,2)[1,)-∞--+∞【分析】解不等式得集合A 、B ，根据交集和补集的定义写出()UA B ．【详解】解：全集U =R ，22{|60}{|60}{|23}A x x x x x x x x =-++=--=-，{}||3|40{||3|4}{|7B x x x x x x =-->=->=>或1}x <-，{|21}AB x x =-<-，(){|2U A B x x =-∴<或1}x -,即(,2)[1,)()=UA B -∞--+∞.故答案为：(,2)[1,)-∞--+∞． 【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．三、解答题21．（1）2,(2,)3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭（2）1(,3),2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）直接分类去绝对值，即可求出()2f x >的解集；（2）去绝对值，得出()43,1,,12,34,2,x x f x x x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩，画出图象，由于直线(1)y a x =+过定点(1,0)-，结合图象即可得出不等式()(1)f x a x +的解集非空时，a 的取值范围..【详解】解：（1）原不等式等价于1,432x x <⎧⎨->⎩或12,2x x ≤≤⎧⎨>⎩或2,342,x x >⎧⎨->⎩解得不等式()2f x >的解集为2,(2,)3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.（2）()43,1,,12,34,2,x x f x x x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩画出图象，如图所示，其中(1,1)A ，(2,2)B ，直线(1)y a x =+过定点(1,0)-，且绕点(1,0)-旋转时， 由图可得若不等式1()2f x a x ⎛⎫+⎪⎝⎭的解集非空，则3a <-或AC a k ≥， 故实数a 的取值范围为1(,3),2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，考查数形结合思想和计算能力. 22．（1）(2,2)M =-；（2）证明见解析. 【分析】（1）分类讨论去绝对值，将函数化为分段函数，再利用()4f x <，即可求解； （2）利用作差法，证明224()(4)0a b ab +-+<，即可证明结论. 【详解】（1）21()1121121xx f x x x x x x -<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪>⎩， 所以()4f x <等价于124x x <-⎧⎨-<⎩或1124x -≤≤⎧⎨<⎩或124x x >⎧⎨<⎩， 21x -<<-或11x -≤≤或12x <<，22,(2,2)x M ∴-<<=-；（2）当,a b M ∈时，即22,22a b -<<-<<，2222224()(4)4416a b ab a b a b +-+=+-- 22(4)(4)0a b =--<，224()(4),2|||4|a b ab a b ab ∴+<+∴+<+.【点睛】本题考查绝对值不等式求解、不等式的证明，分类讨论去绝对值是解题的关键，利用作差法证明不等式，属于中档题. 23．（1）11102x ≤<；（2）证明见解析. 【分析】（1）用x 表示y 并求得x 的取值范围，结合绝对值不等式的解法求得原不等式的解集. （2）化简221141x y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭后利用基本不等式证得不等式成立. 【详解】 （1）21x y +=，且0,0x y >>，故112,02y x x =-<<. 11005222()5122(1)3131222x x x y x y x x x x ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪∴++-≤⇔⇔⎨⎨⎪⎪-+-≤-≤+⎪⎪⎩⎩10211231222x x x x ⎧<<⎪⎪⇔⎨⎪--≤-≤+⎪⎩，解得11102x ≤<.（2）21,x y +=且 0,0x y >>，2222221114141x y x y x y ⎛⎫--⎛⎫∴--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222(12)(12)(1)(1)(12)(1)2x x y y x y y xx y x y +-+-++⋅=⋅=⋅ 1222x y xyxy+++=⨯248844436(2)22xy x y x y =+=+≥+=+⎛⎫⎪⎝⎭. 当且仅当122x y ==时等号成立. 【点睛】解绝对值不等式，可利用公式法，如a b b a b ≤⇔-≤≤.证明不等式，可利用基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.24．（Ⅰ）93,,24⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（Ⅱ）15. 【分析】（1）两边平方，再利用一元二次不等式的解法即可求出不等式的解集；（2）转化为min (3633)x x a ++-≥对于任意x ∈R 恒成立，利用绝对值三角不等式求出min (3633)15x x ++-=，进而可得答案． 【详解】（Ⅰ）由()()f x g x >，得363x x +>-，平方得()()22363x x +>-，得2842270x x ++>，即()()29430x x ++>，解得92x <-或34x >-. 故不等式()()f x g x >的解集是93,,24⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （Ⅱ）若()()3f x g x a +≥恒成立，即3639x x a ++-≥恒成立. 只需min (3633)x x a ++-≥即可.而()3639363915x x x x ++-≥+--=，所以15a ≤ 故实数a 的最大值为15. 【点睛】不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在y g x 上方即可)；③ ()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立 25．（1）3522⎛⎫- ⎪⎝⎭，（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）利用绝对值定义，将不等式等价转化为三个不等式组，它们的并集为所求解（2）证明不等式恒成立问题，实质是求对应函数()()22y f ax af x ax a x =+=-+-最值问题，利用绝对值三角不等式易得函数最小值：y 2222ax a ax a ≥-+-=-，再根据2a >，易得()()2f ax af x +> 试题（1）解：(1)(2)4f x f x +++<，即14x x -+<， ①当0x ≤时，不等式为14x x --<，即32x >-， 302x ∴-<≤是不等式的解； ②当01x <≤时，不等式为14x x -+<，即14<恒成立，01x ∴<≤是不等式的解；③当1x >时，不等式为14x x -+<，即52x <， 512x ∴<<是不等式的解． 综上所述，不等式的解集为3522⎛⎫- ⎪⎝⎭，． （2）证明：2a >，()()22f ax af x ax a x ∴+=-+-22ax ax a =-+-22ax a ax =-+-≥22222ax a ax a -+-=->，()()2x R f ax af x ，∴∀∈+>恒成立．考点：绝对值定义，绝对值三角不等式【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． 26．（1）(0,2)；（2）[2,)+∞ 【分析】(1)把()|1||21|f x x x =+--分段表示，后解不等式（2）不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立，则max 23[()]a f x x -≥-，2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，求其最大值即可.【详解】解：(1)2,11()1213,1212,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩当1x <-时，由20x ->得2x >，即解集为∅，当112x ≤≤-时，由30x >得0x >，解集为1(0]2，，当12x >时，由20x ->得2x <，解集为1,22⎛⎫⎪⎝⎭，综上所述，()0f x >的解集为(0,2)(2)不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立，则max 23[()]a f x x -≥-，令2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，则max 1()12g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即2312a a -≥⇒≥ 所以实数a 的取值范围是[2,)+∞【点睛】考查含两个绝对值号的不等式解法以及不等式恒成立求参数的范围，中档题.。
新北师大版高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试卷(有答案解析)
一、选择题1．下列命题中正确的是（ ） A ．若ac bc >22，则a b >B ．若a b >，则11a b< C ．若a b >，c d >，则a c b d ->-D ．若a b >，c d <，则a b c d> 2．若不等式()()2||20x a b x x ---≤对任意实数x 恒成立，则a b +=（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．23．2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①1122a c a c +=+；②1122a c a c -=-；③1212c c a a <；④1212c a a c >.其中正确式子的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④4．如果sin 2a =，1212b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.51log 3c =，那么( ) A ．a b c >> B ．c b a >>C ．a c b >>D ．c a b >>5．不等式ax b ＞，()0b ≠的解集不可能是（ ） A ．∅B ．RC ．,b a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．,b a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭6．设0x >，则()2142f x x x=--的最大值为（ ） A ．242-B ．42C ．不存在D ．527．已知01a <<，01c b <<<，下列不等式成立的是（ ）A ．b cb ac a>++ B ．c c a b b a+>+ C ．log log b c a a < D ．b c a a >8．已知a b R ∈，，且a b >，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．22a b >B ．()lg a b 0->C ．a b 22--<D ．a 1b> 9．已知0a b >>，0c >，下列不等式中不．成立的是 A ．a c b c +>+B ．a c b c ->-C ．ac bc >D ．c ca b> 10．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋c >b －cB ．(a －b )c 2>0C ．a 3>b 3D ．a 2>b 211．对于任意实数,,,,a b c d 以下四个命题正确的是（ ） A ．若,,a b c d >>则a c b d +>+ B ．22a b ac bc >>若，则 C ．若,a b >则11a b< D ．若,,a b c d >>则ac bd >12．对于任意实数,,,,a b c d 以下四个命题正确的是 A ．,a b c d a c b d >>+>+若，则 B ．22a b ac bc >>若，则 C ．11,a b a b><若则D ．,a b c d ac bd >>>若，则二、填空题13．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______14．已知R a ∈，若关于x 的方程2210x x a a -+++=有实根，则a 的取值范围是__________．15．设函数|1||1|()2x x f x +--=，则使()f x ≥x 取值范围是______16．对任意实数x ，不等式|1|||1x x a a ++-≥-+恒成立，则实数a 的取值范围是___________.17．定义运算x ·y ,,1,,x x y m y x y ≤⎧=-⎨>⎩若·m=|m-1|,则m 的取值范围是_____.18．已知a R ∈，函数16()f x x a a x=+-+在区间[2,5]上的最大值为10，则a 的取值范围是______．19．已知|a ＋b|＜－c(a ，b ，c ∈R)，给出下列不等式： ①a ＜－b －c ；②a ＞－b ＋c ；③a ＜b －c ；④|a|＜|b|－c ； ⑤|a|＜－|b|－c.其中一定成立的不等式是________(填序号)． 20．若a ＞0，b ＞0，则lg 12a b +⎛⎫+⎪⎝⎭________12 [lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．(选填“≥”“≤”或“＝”)三、解答题21．已知函数()211f x x x =-++. （1）解不等式()4f x <；（2）若不等式()2f x log t >对任意x ∈R 恒成立，求实数t 的取值范围. 22．已知()|2||3|f x x x =-+-. （1）解关于x 的不等式()5f x ≤；（2）若2()1f x m m >+-恒成立，求实数m 的取值范围. 23．已知函数()()30f x x x a a =-++>. （1）若1a =，求不等式()6f x ≥的解集；（2）若()221f x a a ≥--恒成立，求实数a 的取值范围.24．已知函数()23,0f x x m x m m =--+>. （1）当1m =时，求不等式()1f x ≥的解集；（2）对于任意实数,x t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，求实数m 的取值范围. 25．已知函数()|21|||2g x x x =-+++. （1）解不等式()0g x ≤；（2）若存在实数x ，使得()||g x x a ≥--，求实数a 的取值范围. 26．已知函数()2f x x =-，()()2g x f x x =-． （1）求()g x 的最大值m ； （2）若0a >，0b >，且22m a b+=，求证：()()314f a f b +++≥．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】对于选项A ，由不等式性质得该选项正确；对于选项B ，11b aa b ab--=符号不能确定，所以该选项错误；通过举反例说明选项C 和选项D 错误. 【详解】对于选项A ，若ac bc >22，所以20c >，则a b >，所以该选项正确；对于选项B ，11b a a b ab--=符号不能确定，所以该选项错误； 对于选项C ，设1,0,1,3,2,3a b c d a c b d ===-=--=-=，所以a c b d -<-，所以该选项错误；对于选项D ，设0,1,2,1,0,1,a b a ba b c d c d c d==-=-=-==∴<，所以该选项错误； 故选：A 【点睛】本题主要考查不等式的性质，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．D解析：D 【分析】可采用分类讨论法，分别讨论22x x -与x a b --的正负，确定,a b 之间的关系即可求解. 【详解】当220x x -≥时，即[]02x ,∈时，||0x a b --≤恒成立，所以b a x b a -+≤≤+恒成立，所以2a b +≥且a b ≤； 当220x x -≤时，即(][),02,x ∈-∞+∞时，||0x a b --≥恒成立所以x a b ≥+或x a b ≤-恒成立，所以2a b +≤且a b ≥，综上，2a b += 故选：D 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，由含参数绝对值不等式求参数关系，分类讨论的数学思想，属于中档题3．C解析：C 【分析】根据题意,可知两个椭圆有公共点P .结合图象可知2121,a a c c >>,进而由椭圆的几何性质及不等式性质判断选项即可. 【详解】对于①,由图可知2121,a a c c >>,则2211a c a c +>+,所以①错误;对于②,由椭圆几何性质可知11PF a c =-,22PF a c =-,即1122a c a c -=-,所以②正确; 对于③,由②可知,1122a c a c -=-.所以1221a c a c +=+.两边同时平方可得()()221221a c a c +=+,展开得22221122221122a a c c a a c c ++=++移项变形可得22221112222122a c a c a c a c -+=-+根据椭圆的性质可知22222211122,a c b a c b -=-= 所以2211222122b a c b a c +=+ 因为12<b b所以1221a c a c >,两边同时除以12a a ,可得2121c c a a >,所以③正确. 对于④,由③可知1221a c a c >,所以④错误. 综上可知,正确的为②③ 故选:C 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质及应用,不等式性质比较大小,分析、解决实际问题的能力,属于中档题.4．D解析：D 【分析】由题意可知，3sin 2sin4a π=>，121122b ⎛⎫==< ⎪⎝⎭，0.51log 13c =>，从而判断,,a b c 的大小关系即可.【详解】3224ππ<<∴3sinsin 2sin 42ππ<<，即12a << 110.523=> 0.50.511log log 132∴>=，即0.51log 13c =>12112b ⎛⎫==< ⎪⎝⎭∴b a c <<故选：D 【点睛】本题考查比较大小，是比较综合的一道题，属于中档题.5．D解析：D 【解析】 【分析】当0a =，0b ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是∅；当0a =，0b ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是R ；当0a ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是（,b a +∞）；当0a ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是,b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【详解】当0a =，0b ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是∅； 当0a =，0b ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是R ； 当0a ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是（,ba+∞）； 当0a ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是（,b a-∞）. ∴不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集不可能是（,b a-∞-）. 故选：D 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解法，属于中档题．解题时要认真审题，仔细解答．6．D解析：D 【分析】化简得到()214222x xf x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，再利用均值不等式计算得到答案.【详解】()2211544422222x x f x x x x ⎛⎫=--=-++≤-= ⎪⎝⎭当21222x x x==即1x =时等号成立 故选：D 【点睛】本题考查了利用均值不等式求函数最值，意在考查学生对于均值不等式的灵活运用.7．A解析：A 【分析】由作差法可判断出A 、B 选项中不等式的正误；由对数换底公式以及对数函数的单调性可判断出C 选项中不等式的正误；利用指数函数的单调性可判断出D 选项中不等式的正误. 【详解】对于A 选项中的不等式，()()()a b c b cb ac a a b a c --=++++，01a <<，01c b <<<，()0a b c ∴->，0a b +>，0a c +>，b cb ac a∴>++，A 选项正确； 对于B 选项中的不等式，()()a cbc c a b b a b b a -+-=++，01a <<，01c b <<<， ()0a c b ∴-<，0a b +>，c c ab b a+∴<+，B 选项错误； 对于C 选项中的不等式，01c b <<<，ln ln 0c b ∴<<，110ln ln b c∴<<， 01a <<，ln 0a ∴<，ln ln ln ln a ab c∴>，即log log b c a a >，C 选项错误； 对于D 选项中的不等式，01a <<，∴函数x y a =是递减函数，又c b <，所以c b a a >，D 选项错误.故选A. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，常见的比较大小的方法有：（1）比较法；（2）中间值法；（3）函数单调性法；（4）不等式的性质.在比较大小时，可以结合不等式的结构选择合适的方法来比较，考查推理能力，属于中等题.8．C解析：C 【分析】主要利用排除法求出结果． 【详解】 对于选项A ：当0a b >>时，不成立；对于选项B ：当10a b >>>时，()lg 0a b -<，所以不成立； 对于选项D ：当0a b >>时，不成立； 故选C ． 【点睛】本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，排除法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9．D解析：D 【分析】本道题结合不等式的基本性质,加上减去或者乘以大于0的数,不等式依然成立. 【详解】A,B 选项,不等式左右两边同时加上或减去相同的数,不等号不改变方向,故正确;C 选项,不等式左右两边同时乘以一个大于0的数,不等号不改变方向,故正确,而D 选项,关系应该为c ca b<,故不正确.本道题考查了不等式的基本性质,关键抓住不等号成立满足的条件,难度中等.10．C解析：C 【解析】 【分析】由不等式性质及举反例逐个分析各个选项可判断正误。
(易错题精选)初中数学方程与不等式之不等式与不等式组基础测试题附答案解析(1)
（易错题精选）初中数学方程与不等式之不等式与不等式组基础测试题附答案解析(1)一、选择题1．a 的一半与b 的差是负数，用不等式表示为( )A ．102a b -< B ．102a b -≤ C ．()102a b -< D ．102a b -< 【答案】D【解析】【分析】列代数式表示a 的一半与b 的差，是负数即小于0． 【详解】解：根据题意得102a b -< 故选D ．【点睛】 本题考查了列不等式，首先要列出表示题中数量关系的代数式，再由不等关系列不等式．2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】 先解不等式，根据解集确定数轴的正确表示方法．【详解】解：不等式2x+1＞-3，移项，得2x ＞-1-3，合并，得2x ＞-4，化系数为1，得x ＞-2．【点睛】本题考查解一元一次不等式，注意不等式的性质的应用.3．若x 2+在实数范围内有意义，则x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+2≥0，再解不等式即可．【详解】2x +∴被开方数x+2为非负数，∴x+2≥0，解得：x≥-2.故答案选D.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件.4．关于x 的不等式组()02332x m x x ->⎧⎨-≥-⎩恰有五个整数解，那么m 的取值范围为（ ） A ．21m -≤<-B ．21m -<<C ．1m <-D ．2m ≥-【答案】A【解析】【分析】先求出不等式组的解集，然后结合有五个整数解，即可求出m 的取值范围．【详解】 解：()02332x m x x ->⎧⎨-≥-⎩解不等式①，得：x m >，解不等式②，得：3x ≤，∴不等式组的解集为：3m x <≤，∵不等式组恰有五个整数解，∴整数解分别为：3、2、1、0、1-；∴m 的取值范围为21m -≤<-；【点睛】本题考查了解不等式组，根据不等式组的整数解求参数的取值范围，解题的关键是正确求出不等式组的解集，从而求出m 的取值范围．5．若不等式组0,122x a x x -≥⎧⎨->-⎩有解，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞－1B ．a≥－1C ．a≤1D ．a ＜1【答案】D【解析】【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律：大小小大中间找，确定a 的取值范围是a ＜1．【详解】 解：0122x a x x -≥⎧⎨->-⎩①②， 由①得：x≥a ，由②得：x ＜1，∵不等式组有解，∴a ＜1，故选：D ．【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是正确解出两个不等式的解集，掌握确定不等式组解集的方法．6．若a b >，则下列不等式中，不成立的是（ ）A ．33a b ->-B ．33a b ->-C ．33a b > D ．22a b -+<-+ 【答案】A【解析】【分析】 根据不等式的性质进行判断即可.【详解】解：A 、根据不等式的性质3，不等式的两边乘以(-3)，可得-3a ＜-3b ，故A 不成立； B 、根据不等式的性质1，不等式的两边减去3，可得a-3＞b-3，故B 成立；C 、根据不等式的性质2，不等式的两边乘以13，可得33a b >，故C 成立；D 、根据不等式的性质3，不等式的两边乘以(-1)，可得-a ＜-b ，再根据不等式的性质1，不等式的两边加2，可得-a+2＜-b+2，故D 成立.故选：A.【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.7．若x y >，则下列各式正确的是（ ）A ．0x y -<B ．11x y -<-C ．34x y +>+D ．xm ym >【答案】B【解析】【分析】根据不等式的基本性质解答即可．【详解】由x ＞y 可得：x-y ＞0，1-x ＜1-y ，x+3＞y+3，故选：B ．【点睛】此题考查不等式的性质，熟练运用不等式的性质是解题的关键．8．不等式组21512x x ①②->⎧⎪⎨+≥⎪⎩中,不等式①和②的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】分析：根据解一元一次不等式组的一般步骤解答，并把解集表示在数轴上，再作判断即可. 详解：解不等式①，得：x 1<;解不等式②，得：x 3≥-；∴原不等式组的解集为：3x 1-≤<，将解集表示在数轴上为：故选C.点睛：掌握“解一元一次不等式组的解法和将不等式的解集表示在数轴上的方法”是解答本题的关键.9．若a b <，则下列变形错误的是（ ）A ．22a b <B ．22a b +<+C ．1122a b <D ．22a b -<- 【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质解答.【详解】∵a b <，∴22a b <，故A 正确；∵a b <，∴22a b +<+，故B 正确；∵a b <，∴1122a b <，故C 正确； ∵a b <，∴2-a>2-b ，故D 错误，故选：D.【点睛】此题考查不等式的性质，熟记性质定理并运用解题是关键.10．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到”结果是否“为一次程序操作．如果程序操作进行了三次才停止，那么x 的取值范围是（ ）A ．11x ≥B ．1123x ≤≤C ．1123x <≤D ．23x ≤【答案】C【解析】【分析】根据运算程序，前两次运算结果小于等于95，第三次运算结果大于95列出不等式组，然后求解即可．【详解】解依题意得：()()219522119522211195x x x ⎧+≤⎪⎪++≤⎨⎪⎡⎤+++>⎪⎣⎦⎩①②③ 解不等式①得，x≤47，解不等式②得，x≤23，解不等式③得，x ＞11，所以，x 的取值范围是11＜x≤23．故选：C ．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运输程序并列出不等式组是解题的关键．11．某商品进价为800元，出售时标价为1200元，后来商店准备打折出售，但要保持利润率不低于20%，则最多打( )折．A ．6折B ．7折C ．8折D ．9折【答案】C【解析】【分析】设打了x 折，用售价×折扣﹣进价得出利润，根据利润率不低于20%，列不等式求解．【详解】解：设打了x 折，由题意得，1200×0.1x ﹣800≥800×20%，解得：x≥8．答：至多打8折．故选：C【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，正确理解利润率的含义，理解利润＝进价×利润率，是解题的关键．12．若关于x 的不等式组0521x a x -⎧⎨-<⎩…的整数解只有3个，则a 的取值范围是( ) A ．6≤a ＜7B ．5≤a ＜6C ．4＜a ≤5D ．5＜a ≤6【答案】B【解析】【分析】根据解不等式可得，2＜x ≤a ，然后根据题意只有3个整数解，可得a 的范围.【详解】解不等式x ﹣a ≤0，得：x ≤a ，解不等式5﹣2x ＜1，得：x ＞2，则不等式组的解集为2＜x ≤a ．∵不等式组的整数解只有3个，∴5≤a ＜6．故选：B ．【点睛】本题主要考查不等式的解法，根据题意得出a 的取值范围是解题的关键.13．若不等式组236x x x m -<-⎧⎨<⎩无解，那么m 的取值范围是（ ） A ．m ＞2B ．m ＜2C ．m ≥2D ．m ≤2 【答案】D【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组解集的求法和不等式组无解的条件，即可得到m 的取值范围．【详解】解：236x x x m -<-⎧⎨<⎩②①由①得，x ＞2，由②得，x ＜m ，又因为不等式组无解，所以根据“大大小小解不了”原则，m ≤2．故选：D ．【点睛】此题考查解一元一次不等式组，解题关键在于掌握求不等式组的解集，要根据以下原则：同大取较大，同小较小，小大大小中间找，大大小小解不了．14．关于x 的不等式组1132x a x -⎧≤⎪⎨⎪-<⎩恰好只有四个整数解，则a 的取值范围是（ ）A ．3a <B ．23a <≤C ．23a ≤<D ．23a <<【答案】C【解析】【分析】 此题可先根据一元一次不等式组解出x 的取值范围，再根据不等式组1132x a x -⎧≤⎪⎨⎪-<⎩恰好只有四个整数解，求出实数a 的取值范围．【详解】 解：由不等式113x -≤，可得：x ≤4， 由不等式a ﹣x ＜2，可得：x ＞a ﹣2， 由以上可得不等式组的解集为：a ﹣2＜x ≤4， 因为不等式组1132x a x -⎧≤⎪⎨⎪-<⎩恰好只有四个整数解，所以可得：0≤a ﹣2＜1，解得：2≤a ＜3，故选C ．【点睛】本题考查了不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解.根据原不等式组恰有4个整数解列出关于a 的不等式是解答本题的关键．15．已知关于x 的不等式4x a 3+＞1的解都是不等式2x 13+＞0的解，则a 的范围是( ) A ．a 5=B ．a 5≥C ．a 5≤D ．a 5< 【答案】C【解析】【分析】先把a 看作常数求出两个不等式的解集，再根据同大取大列出不等式求解即可．【详解】 由413x a +>得,34a x ->， 由210,3x +> 得,1,2x >- ∵关于x 的不等式413x a +>的解都是不等式2103x +>的解， ∴3142a -≥-， 解得 5.a ≤即a 的取值范围是： 5.a ≤故选:C.【点睛】考查不等式的解析，掌握一元一次不等式的求法是解题的关键.16．如果不等式组26x x x m -+<-⎧⎨>⎩的解集为x ＞4，m 的取值范围为（ ） A ．m ＜4B ．m ≥4C ．m ≤4D ．无法确定 【答案】C【解析】【分析】表示出不等式组中第一个不等式的解集，根据不等式组的解集确定出m 的范围即可．【详解】解不等式﹣x+2＜x ﹣6得：x ＞4，由不等式组26x x x m -+<-⎧⎨>⎩的解集为x ＞4，得到m≤4， 故选：C ．【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．17．下列不等式变形正确的是（ ）A ．由a b >，得22a b -<-B ．由a b >，得22a b -<-C ．由a b >，得a b >D ．由a b >，得22a b > 【答案】B【解析】【分析】根据不等式的基本性质结合特殊值法逐项判断即可．【详解】解：A 、由a ＞b ，不等式两边同时减去2可得a-2＞b-2，故此选项错误；B 、由a ＞b ，不等式两边同时乘以-2可得-2a ＜-2b ，故此选项正确；C 、当a ＞b ＞0时，才有|a|＞|b|；当0＞a ＞b 时，有|a|＜|b|，故此选项错误；D 、由a ＞b ，得a 2＞b 2错误，例如：1＞-2，有12＜（-2）2，故此选项错误． 故选：B ．【点睛】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．18．如图，不等式组315215x x --⎧⎨-<⎩…的解集在数轴上表示为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据解一元一次不等式组的步骤：先解第一个不等式，再解第二个不等式，然后在数轴上表示出两个解集找公共部分即可.【详解】由题意可知：不等式组315215xx①②--⎧⎨-<⎩…，不等式①的解集为2x≥-，不等式②的解集为3x<，不等式组的解集为23x-≤<，在数轴上表示应为.故选C.【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，熟知和掌握不等式组解法的步骤和在数轴上表示解集是解题关键.19．若关于x的不等式x＜a恰有2个正整数解，则a的取值范围为（）A．2＜a≤3B．2≤a＜3 C．0＜a＜3 D．0＜a≤2【答案】A【解析】【分析】结合题意，可确定这两个正整数解应为1和2，至此即可求出a的取值范围【详解】由于x<a恰有2个正整数解，即为1和2，故2<a≤3故正确答案为A【点睛】此题考查了不等式的整数解，列出关于a的不等式是解题的关键20．下列命题中逆命题是真命题的是（）A．若a > 0，b > 0，则a·b > 0 B．对顶角相等C．内错角相等，两直线平行D．所有的直角都相等【答案】C【解析】【分析】先写出各命题的逆命题，再分别根据不等式的性质、对顶角、平行线的性质、角的概念逐项判断即可．【详解】A 、逆命题：若0a b ->，则0,0a b >>反例：2,1a b ==-时，2(1)0a b -=-->即此逆命题是假命题，此项不符题意B 、逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角相等的角不一定是对顶角即此逆命题是假命题，此项不符题意C 、逆命题：两直线平行，内错角相等此逆命题是真命题，此项符合题意D 、逆命题：相等的角都是直角此逆命题是假命题，此项不符题意故选：C ．【点睛】本题考查了不等式的性质、对顶角、平行线的性质、角的概念，熟记各性质与定义是解题关键．。
不等关系与不等式教案及练习
§3.1 不等式关系与不等式教学目的：1.在学生理解了一些不等式(组)生产的实际背景的前提下,学习不等式的相关内容;2.利用数轴回忆实数的基本理论,并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小,以及用实数理论来证明不等式的一些性质;3.通过回忆和复习学生所熟悉的等式性质类比得到不等式的一些基本性质;4.在理解不等式的一些基本性质的基础上,利用它们来证明一些简单的不等式;5.通过对富有实际意义问题的解决,激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度,同时去感受数学的应用性,体会数学的奥秘与数学的结构美,激发学生学习的兴趣. 教学重点：1.用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题;2.掌握不等式性质定理及推论,注意每个定理的条件;3.不等式的基本性质的应用.教学难点：1.用不等式(组)准确地表示出不等关系;2.差值比较法：作差→变形→判断差值的符号;3.不等式的基本性质的应用.教学过程：一、引入新课：在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存有着大量的不等关系.如两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边,等等.人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或很多于等来描绘某种客观事物在数量上存有的不等关系.在数学中,我们用不等式来表示不等关系.下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系.二、讲解新课：(一)用不等式表示不等关系引例1 限速40km/h 的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v 不超过40km/h,写成不等式就是:40v ≤引例2 某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应很多于%5.2,蛋白质的含量p 应很多于%3.2,写成不等式组就是——用不等式组来表示2.5%2.3%f p ≤⎧⎨≥⎩ 问题1: 设点A 与平面α的距离为d ,B 为平面α上的任意一点,则||d AB ≤.问题2: 某种杂志原以每本5.2元的价格销售,能够售出8万本.据市场调查,若单价每提升1.0元,销售量就可能相对应减少2000本.若把提价后杂志的定价设为x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解: 设杂志社的定价为x 元,则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯万元, 那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”能够表示为不等式2.5(80.2)200.1x x --⨯≥ 问题3: 某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种.按照生产的要求,600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍.怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢? 解: 假设截得500mm 的钢管x 根,截得600mm 的钢管y 根.根据题意,应有如下的不等关系:(1)截得两种钢管的总长度不超过4000mm;(2)截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍;(3)截得两种钢管的数量都不能为负.要同时满足上述的三个不等关系,能够用下面的不等式组来表示:5006004000;3;0;0.x y x y x y +≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩(二)不等式的基本性质1.判断两个实数大小的充要条件对于任意两个实数b a ,,在b a b a b a <=>,,三种关系中有且仅有一种成立.判断两个实数大小的充要条件是:0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a0<-⇔<b a b a由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就能够了．2.不等式的定义用不等号连接两个解析式所得的式子,叫做不等式.说明: (1)不等号的种类:≠≤≥<>,,,,.(2)解析式是指:代数式和超越式(包括指数式、对数式和三角式等).(3)不等式研究的范围是实数集R .3.同向不等式与异向不等式同向不等式:两个不等号方向相同的不等式;例如d c b a >>,,是同向不等式.异向不等式:两个不等号方向相反的不等式;例如d c b a <>,,是异向不等式.4.不等式的性质定理1：假设b a >,那么a b <,假设a b <,那么b a >.(对称性)即a b b a <⇔>证明: ∵b a >∴0>-b a由正数的相反数是负数,得0)(<--b a即0<-a b∴a b <(定理的后半部分略)点评：定理1即 a b b a <⇔>定理2：假设b a >且c b >,那么c a >.(传递性)即c a c b b a >⇒>>,证明：∵c b b a >>,∴0,0>->-c b b a根据两个正数的和仍是正数得0)()(>-+-c b b a 即0>-c a∴c a >点评：(1)根据定理l,定理2还能够表示为a c a b b c <⇒<<,;(2)不等式的传递性能够推广到n 个的情形.定理3：假设b a >,那么c b c a +>+.即c b c a b a +>+⇒>(加法性质)证明：∵b a >∴0>-b a∴0)()(>+-+c b c a 即c b c a +>+点评：(1)定理3的逆命题也成立;(2)利用定理3能够得出,假设c b a >+,那么b c a ->,也就是说,不等式中任何一项改变符号后,能够把它从—边移到另一边.推论：假设b a >且d c >,那么d b c a +>+(相加法则)即d b c a d c b a +>+⇒>>,证法一：d b c a d b c b d c c b c a b a +>+⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒> 证法二：⇒>-+-⇒⎭⎬⎫>-⇒>>-⇒>000d c b a d c d c b a b a d b c a +>+ 点评：这个推论能够推广到任意有限个同向不等式两边分别相加,即两个或者更多个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向.定理4：假设b a >且0>c ,那么bc ac >;假设b a >且0<c ,那么bc ac <.(乘法性质)证明：∵c b a bc ac )(-=-∵b a >∴0>-b a当0>c 时,0)(>-c b a 即bc ac >当0<c 时,0)(<-c b a 即bc ac <推论1: 假设0>>b a 且0>>d c ,那么bd ac >.(相乘法则)证明：,0a b c >> ac bc ∴> ①又,0,c d b >> ∴bc bd > ②由①、②可得ac bd >.说明： (1)所有的字母都表示正数，假设仅有,a b c d >>，就推不出ac bd > 的结论.(2)这个推论能够推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向.推论2: 若0,(1)n n a b a b n N n >>>∈>则且.说明：(1)推论2是推论1的特殊情形;(2)应强调学生注意N n ∈1n >且的条件,假设0>>b a ,那么n n b a >(N n ∈且1>n ).定理5: 若0>>b a ,则n n b a >(N n ∈且1>n ).(指数运算性质)点拨：遇到困难时,可从问题的反面入手,即所谓的“正难则反”.我们用反证法来证明定理5,因为反面有两种情形,=所以不能仅仅<就“归谬”了事,而必须实行“穷举”.证明：假定n a 不大于n b ,<或者n n b a =由推论2和定理1,<,有a b <; 当n n b a =时,显然有b a = 这些都同已知条件0a b >>矛盾>点评：反证法证题思路是:反设结论→找出矛盾→肯定结论. 定理6：若b a >且0>ab ,则11.a b <(倒数性质) 证明：aba b b a -=-11 0,>>ab b a 又 011,0<-=-<-∴ab a b b a a b ba 11<∴ 5.不等式的基本性质小结(1)a b b a <⇔>;a b b a <⇔>(定理1,对称性)(2)c a c b b a >⇒>>,(定理2,传递性)(3)c b c a b a +>+⇒>(定理3,加法单调性)(4)d b c a d c b a +>+⇒>>,(定理3推论,同向不等式相加)(5)d b c a d c b a ->-⇒<>,(异向不等式相减)(6)bc ac c b a >⇒>>0,.;bc ac c b a <⇒<>0,(定理4,乘法单调性)(7)bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(定理4推论1,同向不等式相乘) (8)d b c a d c b a >⇒<<>>0,0(异向不等式相除) (9)0,>>ab b a ba 11<⇒(倒数关系) (10))1,(0>∈>⇒>>n Z nb a b a n n 且(定理4推论2,平方法则) (11))1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且(开方法则)(**)ααααααb a b a b a b a <⇒<>>>⇒>>>0,0;0,0(**)0,0>>b a ,则1 ;1 ;1<⇔<=⇔=>⇔>ba b a b a b a b a b a三、讲解范例：(一)用不等式表示不等关系例1 如图,函数)(x f y =反映了某公司产品的销售收入y 万元与销售量x 吨的函数关系,)(x g y =反映了该公司产品的销售成本与销售量的函数关系,试问:(1)当销售量为多少时,该公司赢利(收入大于成本);(2)当销售量为多少时,该公司亏损(收入小于成本).解: 略例2 某用户计划购买单价分别为60元,70元的单片软件和盒装磁盘,使用资金不超过500元,根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒.问:软件数与磁盘数应满足什么条件? 解: 略例3 某厂使用两种零件B A ,,装配两种产品甲,乙,该厂的生产水平是月产量甲最多2500件,月产量乙最多1200件,而组装一件产品,甲需要4个A ,2个B ;乙需要6个A ,8个B .某个月,该厂能用的A 最多有14000个,B 最多有12000个.用不等式将甲,乙两种产品产量之间的关系表示出来.解: 略例4 若需要在长为4000mm 的圆钢上,截出长为698mm 和518mm 两种毛坯,问怎样写出满足上述条件所有不等关系的不等式组?解: 略(二)不等式的基本性质例1 已知0≠x ,比较22)1(+x 与124++x x 的大小.引伸: 在例中,假设没有0≠x 这个条件,那么两式的大小关系如何?结论: 例1是用作差比较法来比较两个实数的大小,其一般步骤是:作差——变形——判断符号.这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题,至于差本身是多少,在此无关紧要.例2 已知0,0>>>m b a ,试比较m a m b ++与a b 的大小. 解: 略例3 已知d c b a <<>>0,0,求证:d b c a > 证明: 略例4 已知y x >且0≠y ,比较y x 与1的大小. 解: 略思考题:1.设*,0,,a b n N >∈且b a ≠,比较()()n n a b a b ++与112()n n ab +++的大小.2.比较222c b a ++与ca bc ab ++的大小.3.已知y x ,均为正数,设yx N y x M +=+=4,11,试比较M 和N 的大小.例5 若31,51<-<-<+<b a b a ,求b a 23-的范围.解: 略类型题: 已知bx ax x f +=2)(,假设4)1(2,2)1(1≤≤≤-≤f f .求证:14)2(7≤≤f .分析: 利用(1)f -与(1)f 设法表示b a ,然后再代入(2)f 的表达式中,从而用(1)f - 与来表示(2)f , 最后使用已知条件确定(2)f 的取值范围.思考题:1.若R b a ∈,,求不等式b a b a 11,>>同时成立的条件.2.||||,0b a ab >>,比较a 1与b 1的大小.3.若0,0<<>>d c b a ,求证:db c a ->-ππααsin sin log log .4.设函数)(x f 的图象为一条开口向上的抛物线.已知y x ,均为不等正数, 0,0>>q p 且1=+q p ,求证:)()()(y qf x pf qy px f +<+四、课堂练习：1.在以下各题的横线处适当的不等号: (1)2)23(+ 626+; (2)2)23(- 2)16(-;; (4)当0.>>b a 时,a 21log b 21log . 2.选择题:(1)若01,0<<-<b a ,则有( )A. 2ab ab a >>B. a ab ab >>2C. 2ab a ab >>D. a ab ab >>2(2)2log 2log n m >成立当且仅当( )A ．1>>m n 或01>>>n mB ．01>>>n mC ．1>>m n 或01>>>m n 或01>>>n mD ．1>>n m3.比较大小：(1))7)(5(++x x 与2)6(+x (2)31log 21与21log 314.假设0>x ,比较2)1(-x 与2)1(+x 的大小.5.已知0≠a ,比较)12)(12(22+-++a a a a 与)1)(1(22+-++a a a a 的大小.6.已知142=+y x ,比较22y x +与201的大小.7.比较θsin 2与θ2sin 的大小(πθ20<<).8.设0>a 且1≠a ,0>t ,比较t a log 21与21log +t a 的大小.9.设0>a 且1≠a ,比较)1(log 3+a a 与)1(log 2+a a 的大小.10.假设0,>b a ,求证:a b a b >⇔>1。
二次不等式及基本不等式题集
一、不等关系与不等式1、不等式：①a 2+2>2a;②a 2+b 2≥2(a-b-1);③a 2+b 2≥ab 恒成立的个数是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）32、（2011·杭州高二检测）若d>0,d ≠1,m,n ∈N *,则1+d m+n 与d m +d n 的大小关系是（ ） （A ）1+d m+n >d m +d n （B ）1+d m+n <d m +d n （C ）1+d m+n ≥d m +d n （D ）不能确定3、（2011·日照高二检测）设实数a,b,c 满足b+c=6-4a+3a 2,c-b=4-4a+a 2,则a,b,c 的大小关系是_______.4、已知a 、b 为正实数,. 5、已知12-<a<0,A=1+a 2,B=1-a 2,C=1,1a +D=1,1a-试判断A 、B 、C 、D 的大小关系.6、（2011·临沂高二检测）已知函数f （x ）=x 3,x 1,x 2,x 3∈R,x 1+x 2＜0,x 2+x 3＜0,x 3+x 1＜0,那么f （x 1）+f （x 2）+f （x 3）的值（ ） （A ）一定大于0 （B ）一定小于0 （C ）等于0 （D ）正负都有可能7、若a ＜b ＜0,则下列结论中正确的是（ ） （A ）1111ab a b ＞和＞｜｜｜｜均不能成立（B ）1111a b a a b -＞和＞｜｜｜｜均不能成立 （C ）不等式221111a b a b a b a++-＞和（）＞（）均不能成立 （D ）不等式221111a b a b b a++＞和（）＞（）｜｜｜｜均不能成立 8、（2011·泰兴高二检测）已知三个不等式：①ab ＞0,② c d ,a b--＜③bc ＞ad,以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成______个正确命题.9、已知：-3＜a ＜b ＜1,-2＜c ＜-1. 求证：-16＜（a-b ）c 2＜0.10、若二次函数f(x)的图象关于y 轴对称且1≤f(1)≤2,3≤f(2)≤4,求f(3)的范围.11、已知a ＞b ＞c ＞0，求证：b b c.a b a c a c---＞＞ 二、一元二次不等式1.（2011·乐山高二检测）若关于x 的方程x 2+（a 2-1）x+a-2=0的一根比1小且另一根比1大，则a 的取值范围是（ ） （A ）-1＜a ＜1 （B ）a ＜-1或a ＞1 （C ）-2＜a ＜1 （D ）a ＜-2或a ＞12.（2011·合肥高一检测）若不等式f(x)=ax 2-x-c ＞0的解集是{x ｜-2＜x ＜1}，则函数y=f(-x)的图象是（ ）3.（2011·天水高二检测）若不等式组22x 4x 30x 6x 80⎧-+⎪⎨-+⎪⎩＜＜的解满足2x 2-9x+a＜0,则（ ）（A ）a ＞9 （B ）a=9 （C ）a ≤9 （D ）0＜a ≤9 4、方程x 2+（m-3）x+m=0的两根都是负数，则m 的取值范围为_______. 5、求下列函数的定义域： （1）y = （2）y=log 2（3x 2-2x-1）.6、（2011·日照高二检测）解关于x 的不等式：ax 2-2x+a ＜0.7、【※】设函数f(x)=mx 2-mx-6+m.（1）若对于m ∈［-2,2］，f(x)＜0恒成立，求实数x 的取值范围； （2）若对于x ∈［1,3］，f(x)<0恒成立，求实数m 的取值范围. 【解析】（1）设g(m)=mx 2-mx-6+m=(x 2-x+1)m-6,则g(m)是关于m 的一次函数，且一次项系数为x 2-x+1.2213x x 1(x )0,24-+=-+>∴g(m)在［-2，2］上递增，∴g(m)<0等价于g(2)=2(x 2-x+1)-6<0. ∴所求的x 的取值范围为-1<x<2. (2)方法一：∵f(x)=213m(x )m 6024-+-< 在x ∈［1,3］上恒成立，()()max m 0f x f 37m 60>⎧⎪∴⎨==-<⎪⎩或()()max m 0f x f 1m 60<⎧⎪⎨==-<⎪⎩或()m 0f x 60=⎧⎪⎨=-<⎪⎩解得6m .7<方法二：要使f(x)=m(x 2-x+1)-6<0在x ∈［1,3］上恒成立，则有26m x x 1<-+在x ∈［1，3］上恒成立. 而当x ∈［1,3］时，226666.13x x 19317(x )24=≥=-+-+-+6m .7∴<8、（2011·合肥高二检测）对任意a ∈［-1,1］，函数f(x)=x 2+(a-4)x+4-2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是（ ） (A)x<1或x>2 (B)1<x<2 (C)x<1或x>3 (D)1<x<39、若函数f(x)=log 2(x 2-2ax-a)的定义域为R ，则a 的取值范围为_______.基本不等式经典例题：理清和积倒数和与平方和四个关系 一、和与积的关系：解一元二次不等式1、若正数a,b 满足ab=a+b+3,则ab 和a+b 的取值范围. 二、和与倒数和的关系2、①已知a 、b>0，且1/a+1/b=2，求a+b 的取值范围 ②已知x 、y>0，且2/x+3/y=2，求xy 的取值范围 ③已知2m+n=1，其中mn>0，求1/m+2/n 的最小值。
初中数学方程与不等式之不等式与不等式组基础测试题含答案
初中数学方程与不等式之不等式与不等式组基础测试题含答案一、选择题1．把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由（1）得x ＞-1，由（2）得x≤1，所以-1＜x≤1．故选B ．2．若关于x ，y 的方程组3,25x y m x y m -=+⎧⎨+=⎩的解满足x ＞y ＞0，则m 的取值范围是( )． A ．m ＞2 B ．m ＞－3 C ．－3＜m ＜2 D ．m ＜3或m ＞2【答案】A【解析】【分析】先解方程组用含m 的代数式表示出x 、y 的值，再根据x ＞y ＞0列不等式组求解即可.【详解】解325x y m x y m -=+⎧⎨+=⎩，得 212x m y m =+⎧⎨=-⎩. ∵x ＞y ＞0，∴21220m m m +>-⎧⎨->⎩， 解之得m ＞2.故选A.【点睛】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，用含m 的代数式表示出x 、y 的值是解答本题的关键.3．若某人要完成2.1千米的路程，并要在18分钟内到达，已知他每分钟走90米，若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x 分钟，则列出的不等式为（ ）A ．21090(18)2100x x +-≥B ．90210(18)2100x x +-≤C ．21090(18) 2.1x x +-≤D ．21090(18) 2.1x x +->【答案】A【解析】 设至少要跑x 分钟，根据“18分钟走的路程≥2100米”可得不等式：210x+90（18–x ）≥2100，故选A ．4．不等式组30213x x +⎧⎨->⎩…的解集为（ ） A ．x ＞1B ．x≥3C ．x≥﹣3D ．x ＞2【答案】D【解析】【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【详解】 解：30213x x +>⎧⎨->⎩①②， 由①得，x ≥﹣3，由②得，x >2，故此不等式组的解集为：x>2．故选：D ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是分别解出各不等式的解集，利用数轴求出不等式组的解集，难度适中．5．不等式组1240x x >⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上可表示为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.【详解】 解：1240x x >⎧⎨-≤⎩①② ∵不等式①得：x ＞1，解不等式②得：x≤2，∴不等式组的解集为1＜x≤2，在数轴上表示为：，故选A.【点睛】 本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键.6．不等式26x -≥0的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】【分析】先求解出不等式的解集，再表示在数轴上【详解】解不等式：2x-6≥02x≥6x≥3 数轴上表示为：故选：B【点睛】本题考查不等式的求解，需要注意，若不等式两边同时乘除负数，则不等号需要变号7．若关于x 的不等式组21x x a <⎧⎨>-⎩无解，则a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤-B ．3a <-C ．3a >D ．3a ≥ 【答案】D【解析】【分析】利用不等式组取解集的方法：大大小小找不到即可得到a 的范围．【详解】∵关于x 的不等式组21x x a <⎧⎨>-⎩无解， ∴a-1≥2,∴a ≥3.故选:D.【点睛】考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．8．不等式组32110x x -<⎧⎨+≥⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】 32110 x x -<⎧⎨+≥⎩①② 解不等式①得，1x <，解不等式②得，1x ≥-所以，不等式组的解集为：-11x ≤<，在数轴上表示为：故选D.【点睛】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．9．如果不等式(2)25a x a ->-的解集是4x <，则不等式251a y ->的解集是（ ）．A ．52y < B ．25y < C ．52y > D ．25y > 【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质得出20a -<，2542a a -=-，解得32a =，则2a=3，再解不等式251a y ->即可．【详解】解：∵不等式（a-2）x ＞2a-5的解集是x ＜4，∴20a -<， ∴2542a a -=-， 解得32a =， ∴2a=3， ∴不等式2a-5y ＞1整理为351y ->， 解得：25y <． 故选：B ．【点睛】本题考查了含字母系数的不等式的解法，有一定难度，注意不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．10．下列不等式变形中，一定正确的是（ ）A ．若ac bc >，则a b >B ．若a b >，则22ac bc >C ．若22a b c c >，则a b > D ．若0a >，0b >，且11a b >，则a b > 【答案】C【解析】【分析】 根据不等式的基本性质分别进行判定即可得出答案．【详解】 A ．当c ＜0，不等号的方向改变．故此选项错误；B ．当c=0时，符号为等号，故此选项错误；C ．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，正确；D ．分母越大，分数值越小，故此选项错误．故选：C ．【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．11．已知x=2是不等式()()5320x ax a --+≤的解，且x=1不是这个不等式的解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ＞1B ．a≤2C ．1＜a≤2D ．1≤a≤2【答案】C【解析】∵x=2是不等式(x−5)(ax−3a+2)⩽0的解，∴(2−5)(2a −3a+2)⩽0，解得：a ⩽2，∵x=1不是这个不等式的解，∴(1−5)(a −3a+2)>0，解得：a>1，∴1<a ⩽2，故选C.12．a 的一半与b 的差是负数，用不等式表示为( )A ．102a b -< B ．102a b -≤ C ．()102a b -< D ．102a b -< 【答案】D【解析】【分析】列代数式表示a 的一半与b 的差，是负数即小于0． 【详解】 解：根据题意得102a b -< 故选D ．【点睛】 本题考查了列不等式，首先要列出表示题中数量关系的代数式，再由不等关系列不等式．13．若不等式组236x x x m -<-⎧⎨<⎩无解，那么m 的取值范围是（ ） A ．m ＞2B ．m ＜2C ．m ≥2D ．m ≤2【答案】D【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组解集的求法和不等式组无解的条件，即可得到m 的取值范围．【详解】解：236 x xx m-<-⎧⎨<⎩②①由①得，x＞2，由②得，x＜m，又因为不等式组无解，所以根据“大大小小解不了”原则，m≤2．故选：D．【点睛】此题考查解一元一次不等式组，解题关键在于掌握求不等式组的解集，要根据以下原则：同大取较大，同小较小，小大大小中间找，大大小小解不了．14．不等式组2131xx+≥-⎧⎨<⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】分别求出各不等式的解集，并在数轴上表示出来，找出符合条件的选项即可．【详解】解不等式2x+1≥﹣3得：x≥﹣2，不等式组的解集为﹣2≤x＜1，不等式组的解集在数轴上表示如图：故选：D．【点睛】本题考查了在数轴上表示一元一次不等式组的解集及解一元一次不等式组，熟知“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则是解答本题的关键．15．不等式组26020xx+>⎧⎨-≥⎩的解集在数轴上表示为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【详解】解：26020x x +>⎧⎨-≥⎩①②， 由①得：3x >-；由②得：2x ≤，∴不等式组的解集为32x -<≤，表示在数轴上，如图所示：故选：C ．【点睛】考核知识点：解不等式组.解不等式是关键.16．若整数a 使关于x 的分式方程111a x a x x ++=-+的解为负数，且使关于x 的不等式组1()022113x a x x ⎧-->⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩无解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．10 【答案】C【解析】【分析】解分式方程和不等式得出关于x 的值及x 的范围，根据分式方程的解不是增根且为负数和不等式组无解得出a 的范围，继而可得整数a 的所有取值，然后相加．【详解】解：解关于x 的分式方程111a x a x x ++=-+，得x ＝−2a+1， ∵x ≠±1，∴a ≠0，a≠1，∵关于x 的分式方程111a x a x x ++=-+的解为负数， ∴−2a+1＜0， ∴12a >， 解不等式1()02x a -->，得：x ＜a ， 解不等式2113x x +-≥，得：x≥4， ∵关于x 的不等式组1()022113x a x x ⎧-->⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩无解， ∴a ≤4，∴则所有满足条件的整数a 的值是：2、3、4，和为9，故选：C ．【点睛】本题主要考查分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的方法，并根据题意得到a 的范围是解题的关键．17．如果,0a b c ><，那么下列不等式成立的是（ ）A ．a c b +>B ．a c b c +>-C ．11ac bc ->-D ．()()11a c b c -<- 【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质即可求出答案．【详解】解：∵0c <，∴11c -<-，∵a b >，∴()()11a c b c -<-，故选：D ．【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于中等题型．18．下列不等式变形正确的是（ ）A ．由a b >，得22a b -<-B ．由a b >，得22a b -<-C ．由a b >，得a b >D ．由a b >，得22a b >【答案】B【解析】【分析】 根据不等式的基本性质结合特殊值法逐项判断即可．【详解】解：A 、由a ＞b ，不等式两边同时减去2可得a-2＞b-2，故此选项错误；B 、由a ＞b ，不等式两边同时乘以-2可得-2a ＜-2b ，故此选项正确；C 、当a ＞b ＞0时，才有|a|＞|b|；当0＞a ＞b 时，有|a|＜|b|，故此选项错误；D 、由a ＞b ，得a 2＞b 2错误，例如：1＞-2，有12＜（-2）2，故此选项错误．故选：B ．【点睛】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．19．若关于x 的不等式组324x a x a <+⎧⎨>-⎩无解，则a 的取值范围是（ ） A ．a≤﹣3B ．a ＜﹣3C ．a ＞3D ．a≥3【答案】A【解析】【分析】利用不等式组取解集的方法，根据不等式组无解求出a 的取值范围即可． 【详解】∵不等式组324x a x a <+⎧⎨>-⎩无解， ∴a ﹣4≥3a+2，解得：a≤﹣3，故选A ．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集，熟知一元一次不等式组的解集的确定方法“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”是解题的关键.20．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（ ）A ．6折B ．7折C ．8折D ．9折 【答案】B【解析】【详解】设可打x 折，则有1200×10x -800≥800×5%， 解得x≥7．即最多打7折．故选B ．【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时注意利润和折数，计算折数时注意要除以10．解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于5%，列不等式求解．。
基本不等式练习题带答案
06
基本不等式的扩展 知识
基本不等式的推广形式
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平方和与平方差形式：a²+b² ≥ 2ab 和 a²-b² ≥ 2ab
• 题目：已知 x > 0，y > 0，且 xy = 4，则下列结论正确的是 ( ) A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 答案： A
• A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 • C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 • 答案：A
基本不等式的应用：在数学、物 理、工程等领域有广泛的应用， 用于解决最优化问题、估计值域 和解决一些数学竞赛问题等。
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基本不等式的形式：常见的形式 有AM-GM不等式、CauchySchwarz不等式和Holder不等式 等。
基本不等式的证明方法：可以通 过代数、几何和概率统计等方法 证明基本不等式。
• 题目：若 a > b > c，且 a + b + c = 1，则下列结论正确的是 ( ) A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab 答案：B
• A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab • C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab
不等关系与不等式例题
例1：用不等式表示不等关系问题：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？点拨：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯ 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式2.5(80.2)200.1x x --⨯≥例2.已知－1＜a +b ＜3且2＜a －b ＜4，求2a +3b 的取值范围.点拨：∵a +b ，a －b 的范围已知， ∴要求2a +3b 的取值范围，只需将2a +3b 用已知量a +b ，a －b 表示出来. 可设2a +3b =x （a +b ）+y （a －b ），用待定系数法求出x 、y . 解析：设2a +3b =x （a +b ）+y （a －b ），∴⎩⎨⎧=-=+.32y x y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2125y x ，∴－25＜25（a +b ）＜215， －2＜－21（a －b ）＜－1. ∴－29＜25（a +b ）－21（a －b ）＜213， 即－29＜2a +3b ＜213. 错解：解此题常见错误是：－1＜a +b ＜3，① 2＜a －b ＜4. ② ①+②得1＜2a ＜7. ③ 由②得－4＜b －a ＜－2. ④ ①+④得－5＜2b ＜1，∴－215＜3b ＜23.⑤③+⑤得－213＜2a +3b ＜217. 例3. 比较a mb m ++与ab（其中0b a >>，0m >）的大小 【解题思路】作差整理,定符号 解析：()()()()()a m ab a m a b m m b a b m b b b m b b m ++-+--==+++， ∵0b a >>，0m >，∴()0()m b a b b m ->+，所以a m ab m b+>+．例 4.已知函数()f x 的定义域为{},0x x R x ∈≠且对定义域内的任意1x 、2x ，都有1212()()(),1()0,(2) 1.f x x f x f x x f x f ⋅=+>>=且当时 （1）求证：()f x 是偶函数；（2）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数； （3）解不等式2(21) 2.f x -<【解题思路】证明抽象函数的单调性通常是用单调性的定义结合比较法. 解析；（1）证明 因对定义域内的任意1x 、2x 都有121212()()(),,1f x x f x f x x x x ⋅=+==-令，则有()()(f x f x f -=+- ……2分 又令121,2(1)(1)x x f f ==--=得 再令121,(1)0,(1)0,x x f f ===-=得从而 于是有()(),()f x f x f x -=所以是偶函数． （2）设212121110()()()(.)x x x f x f x f x f x x <<-=-，则 221111()()()(),x x f x f x f f x x ⎡⎤=-+=-⎢⎥⎣⎦ 由于21210,1,x x x x ><>所以从而21()0xf x >， 故1212()()0()(),()(0,)f x f x f x f x f x -<<+∞，即所以在上是增函数． （3）由于(2)1,211(2)(2)(4),f f f f ==+=+=所以于是待解不等式可化为2(21)(4)f x f -<， 结合（1）（2）已证结论，可得上式等价于 2214x -<解得0x x x ⎧⎫⎪⎪<<≠⎨⎬⎪⎪⎩⎭且． 【名师指引】 作差法、作商法以及函数的单调性是比较大小的常用方法.运用不等式性质时应从结论出发, 寻找解题的切入点. 例5. 已知数列{}n a满足1n na a -=0na >。
课时作业13：不等关系与不等式
§1.4 不等关系与不等式课时精练1．若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 a －b >0⇒a >b ≥0⇒a >b ≥0⇒a 2>b 2， 但a 2－b 2>0⇏a －b >0，所以“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的充分不必要条件．2．已知非零实数a ，b 满足a <b ，则下列命题成立的是( )A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2b C.1ab 2<1a 2bD.b a <a b 答案 C解析 若a <b <0，则a 2>b 2，故A 不成立；若⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，a <b ，则a 2b <ab 2，故B 不成立； 若a ＝1，b ＝2，则b a ＝2，a b ＝12，b a >a b，故D 不成立，由不等式的性质知，C 正确． 3．如果x ＋y <0，且y >0，那么下列不等式成立的是( )A ．y 2>x 2>－xyB ．x 2>y 2>－xyC ．x 2<－xy <y 2D ．x 2>－xy >y 2答案 D解析 x 2－y 2＝(x －y )(x ＋y )，∵x ＋y <0且y >0，∴x <0，∴x －y <0，∴x 2－y 2>0，∴x 2>y 2，又xy ＋y 2＝y (x ＋y )，∵x ＋y <0，y >0，∴y (x ＋y )<0，∴y 2<－xy .又x2＋xy＝x(x＋y)>0，∴x2>－xy，综上，x2>－xy>y2.4．已知a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是() A．M<N B．M>NC．M＝N D．不确定答案 B解析M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，又a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0.∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0，∴M>N.5．(多选)已知c<b<a，且ac<0，那么下列不等式中，一定成立的是()A．ab>ac B．c(b－a)>0C．cb2<ab2D．ac(a－c)<0答案ABD解析由c<b<a且ac<0知a>0且c<0，b的正负不确定，由b>c且a>0知ba>ca，故A一定成立；∵b－a<0且c<0，∴c(b－a)>0，故B一定成立；当b＝0时，cb2＝ab2＝0，故C不一定成立；又a－c>0且ac<0，∴ac(a－c)<0，故D一定成立．6．(多选)有外表一样，重量不同的六个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，e，f，已知a ＋b＋c＝d＋e＋f，a＋b＋e>c＋d＋f，a＋b＋f<c＋d＋e，a＋e<b.则下列判断正确的有() A．b>c>f B．b>e>fC．c>e>f D．b>e>c答案ABD解析因为a＋b＋c＝d＋e＋f，a＋b＋e>c＋d＋f，所以e－c>c－e，所以e>c，又因为a＋b＋c＝d＋e＋f，a＋b＋f<c＋d＋e，所以c－f>f－c，所以c>f，所以e>c>f，所以C错误；又因为a＋e<b，所以a<b，e<b，所以b>e>c，b>e>f，b>c>f均成立，所以ABD正确.7．已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z－π，则M________N．(填“>”“<”或“＝”)答案>解析 M －N ＝x 2＋y 2＋z 2－2x －2y －2z ＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3≥π－3>0，故M >N .8．已知非零实数a ，b 满足a >b ，则下列结论正确的是________(填序号)．①1a <1b；②a 3>b 3；③2a >2b ；④ln a 2>ln b 2. 答案 ②③解析 当a >0，b <0时，1a >0>1b，故①不正确； 由函数y ＝x 3，y ＝2x 的单调性可知，②③正确；当a ＝1，b ＝－1时，ln a 2＝ln b 2＝ln 1＝0，故④不正确．9．近来鸡蛋价格起伏较大，每两周的价格均不相同，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a 元/斤、b 元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤鸡蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为更优惠)________．(在横线上填甲或乙即可)答案 乙解析 由题意得甲购买产品的平均单价为3a ＋3b 6＝a ＋b 2，乙购买产品的平均单价为2010a ＋10b＝2ab a ＋b，由条件得a ≠b . ∵a ＋b 2－2ab a ＋b ＝(a －b )22(a ＋b )>0， ∴a ＋b 2>2ab a ＋b， 即乙的购买方式更优惠．10．(2021·浙江宁海中学月考)已知等比数列{a 1，a 2，a 3，a 4}满足a 1∈(0,1)，a 2∈(1,2)，a 3∈(2,3)，则a 4的取值范围是________．答案 (22，9)解析 设等比数列{a 1，a 2，a 3，a 4}的公比为q ，由a 1∈(0,1)，a 2∈(1,2)，a 3∈(2,3)可知，0<a 1<1①，1<a 1q <2②，2<a 1q 2<3③，由③÷②可得1<q <3，③÷①可得q 2>2，即q >2或q <－2，②÷①可得q >1， 所以2<q <3，所以a 4＝a 3q ∈(22，9)．11．已知a ＋b >0，试比较a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小． 解 a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a2 ＝(a －b )·⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2. ∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0. ∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b. 12．(1)若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a ＋b b ≤c ＋d d； (2)已知c >a >b >0，求证：a c －a >b c －b. 证明 (1)∵bc ≥ad ，1bd >0，∴c d ≥a b， ∴c d ＋1≥a b ＋1，∴a ＋b b ≤c ＋d d. (2)∵c >a >b >0，∴c －a >0，c －b >0.∵a >b >0，∴1a <1b， 又∵c >0，∴c a <c b ，∴c －a a <c －b b， 又c －a >0，c －b >0，∴a c －a >b c －b.13．(多选)若0<a <1，b >c >1，则( )A.⎝⎛⎭⎫b c a >1B.c －a b －a >c b C ．c a －1<b a －1D ．log c a <log b a答案 AD解析 对于A ，∵b >c >1，∴b c>1.∵0<a <1，则⎝⎛⎭⎫b c a >⎝⎛⎭⎫b c 0＝1，故正确． 对于B ，若c －a b －a >c b，则bc －ab >bc －ac ，即a (c －b )>0，这与0<a <1，b >c >1矛盾，故错误． 对于C ，∵0<a <1，∴a －1<0.∵b >c >1，∴c a －1>b a －1，故错误．对于D ，∵0<a <1，b >c >1，∴log c a <log b a ，故正确．14．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(1)男学生人数多于女学生人数；(2)女学生人数多于教师人数；(3)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．②该小组人数的最小值为________．答案 ①6 ②12解析 设男学生人数为x ，女学生人数为y ，教师人数为z ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x >y ，y >z ，2z >x ，且x ，y ，z均为正整数．①当z ＝4时，8>x >y >4，∴x 的最大值为7，y 的最大值为6，故女学生人数的最大值为6.②x >y >z >x 2，当x ＝3时，条件不成立，当x ＝4时，条件不成立，当x ＝5时，5>y >z >52，此时z ＝3，y ＝4.∴该小组人数的最小值为12.15．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b ≤cB ．b ≤c <aC ．b <c <aD ．b <a <c答案 A解析 c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b ，又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，两式相减得2b ＝2＋2a 2即b ＝1＋a 2，∴b －a ＝a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0， ∴b >a ，∴a <b ≤c .16．观察以下运算：1×5＋3×6>1×6＋3×5，1×5＋3×6＋4×7>1×6＋3×5＋4×7>1×7＋3×6＋4×5.(1)若两组数a 1，a 2与b 1，b 2，且a 1≤a 2，b 1≤b 2，则a 1b 1＋a 2b 2≥a 1b 2＋a 2b 1是否成立，试证明．(2)若两组数a 1，a 2，a 3与b 1，b 2，b 3且a 1≤a 2≤a 3，b 1≤b 2≤b 3，对a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1，a 1b 2＋a 2b 1＋a 3b 3，a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3进行大小顺序(不需要说明理由)．解 (1)成立，证明如下：∵a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝a1(b1－b2)＋a2(b2－b1)＝(a1－a2)(b1－b2)，又a1≤a2，b1≤b2，∴(a1－a2)(b1－b2)≥0，即a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1.(2)a1b3＋a2b2＋a3b1≤a1b2＋a2b1＋a3b3≤a1b1＋a2b2＋a3b3.。
2022年高中数学第三章不等式1不等关系与不等式练习含解析新人教A版必修
课时训练15 不等关系与不等式一、不等式性质的直接应用与判断1.若1a <1b<0,则下列结论不正确的是( )A.a2<b2B.ab<b2C.b a +ab>2 D.ba<1答案:D解析:由1a <1b<0可知,b<a<0,所以ba<1不成立,故选D.2.(2015山东威海高二期中,1)已知a>b,则下列不等式中成立的是( )A.a2>b2B.1a <1bC.1a-b>1aD.a3>b3答案:D解析:A.虽然-1>-2,但(-1)2>(-2)2不成立;B.虽然3>-2,但是13<1-2不成立;C.虽然2>-3,但是12-(-3)>12不成立;D.∵a>b,∴a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)>0. (∵a2+ab+b2=(a+12b)2+34b2>0)成立.综上可知,只有D正确.故选D.3.已知下列说法:①若a<b<0,则a2>ab;②若a≥b,ac≥bc,则c≥0;③若a>b>0,c<0,则ca >cb;④若0<a<1,则log a(1+a)>log a(1+1a)其中正确的有 .答案:①③④解析:对于①,由a<b,a<0,可得a2>ab,故①正确;对于②,当a=b时,c可以为负数,故②错误;对于③,当a>b>0时,得0<1a < 1 b,又c<0,∴ca >cb,故③正确;对于④,当0<a<1时,1a >1,则1+a<1+1a,∴log a(1+a)>log a(1+1a),故④正确.二、利用不等式的性质比大小4.(2015山东威海高二期中,2)不等式:①a2+2>2a;②a2+b2≥2(a-b-1);③a2+b2≥ab恒成立的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案:D解析:①a2+2-2a=(a-1)2+1≥1,∴a2+2>2a,正确;②∵a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,∴a2+b2≥2(a-b-1),正确;③a2+b2-ab=(a-12b)2+34b2≥0,当且仅当a=b=0时取等号,正确.综上可得:①②③都恒成立.故选D.5.若A=a2+3ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是( )A.A≤BB.A≥BC.A<B 或A>BD.A>B答案:B 解析:∵A-B=a 2+3ab-4ab+b 2=a 2-ab+b 2=(a -b 2)2+34b 2≥0,∴A ≥B.6.(2015河南郑州高二期末,16)现有甲、乙两人相约爬山,若甲上山的速度为v 1,下山的速度为v 2(v 1≠v 2),乙上山和下山的速度都是v 1+v 22(甲、乙两人中途不停歇且下山时按原路返回),则甲、乙两人上下山所用的时间t 1,t 2的大小关系为 .答案:t 1>t 2解析:由题意知,甲用的时间t 1=S v 1+S v 2=S ·v 1+v 2v 1v 2,乙用的时间t 2=2×S v 1+v 22=4S v 1+v 2.∵t 1-t 2=S ·v 1+v 2v 1v 2−4S v 1+v 2=S (v 1+v 2v 1v 2-4v 1+v 2)=S (v 1-v 2)2v 1v 2(v 1+v 2)>0.∴t 1>t 2.7.已知a ,b ,x ,y 均为正实数,且1a >1b ,x>y ,试判断x x +a 与y y +b的大小关系.解:因为x x +a −y y +b =bx -ay (x +a )(y +b ),又1a >1b且a>0,b>0,所以b>a>0.又x>y>0,所以bx>ay ,即bx-ay>0.又x+a>0,y+b>0,所以bx -ay (x +a )(y +b )>0,即x x +a >y y +b.三、利用不等式的性质求代数式范围8.设x ,y 为实数,满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9,则x 3y 4的最大值是 .答案:27解析:∵4≤x 2y ≤9,∴16≤x 4y 2≤81.①∵3≤xy 2≤8,∴18≤1x y 2≤13.②由①②可得2≤x 4y 2·1x y 2≤27,即2≤x 3y 4≤27.∴x 3y 4的最大值为27.9.已知1<a<2,3<b<4,求下列各式的取值范围:(1)2a+b ;(2)a-b ;(3)ab .解:(1)因为1<a<2,所以2<2a<4.又3<b<4,所以5<2a+b<8.(2)因为3<b<4,所以-4<-b<-3.又1<a<2,所以-3<a-b<-1.(3)因为3<b<4,所以14<1b <13.又1<a<2,所以14<ab <23.四、利用不等式的性质证明10.已知a>b>0,c<d<0.求证:3√ad <3√bc .思路分析:解答本题可先比较a d 与b c 的大小,进而判断3√a d <3√bc .证明:∵c<d<0,∴-c>-d>0.∴0<-1c <-1d .又a>b>0,∴-ad >-bc>0.∴3√-a d>3√-b c,即-3√a d>-3√b c.两边同乘以-1,得3√a d<3√b c.(建议用时:30分钟) 1.若a,b∈R,且a>b,则( )A.a2>b2B.ba<1C.lg(a-b)>0D.(12)a<(12)b答案:D解析:∵a>b,无法保证a2>b2,ba<1和lg(a-b)>0,∴排除A与B,C,故选D.2.如果a<b<0,那么下列不等式成立的是( )A.1 a <1bB.ab<b2C.-ab<-a2D.-1a <-1b答案:D解析:当a=-2,b=-1时,检验得A,B,C错误,故D正确.3.若a>b>c,则下列不等式成立的是( )A.1 a-c >1b-cB.1a-c<1b-cC.ac>bcD.ac<bc 答案:B解析:∵a>b>c,∴a-c>b-c>0.∴1 a-c <1 b-c.故选B.4.下列结论正确的是( )A.若a>b>0,a>c,则a2>bcB.若a>b>c,则ac > b cC.若a>b,n∈N*,则a n>b nD.a>b>0,则ln a<ln b答案:A解析:对于B,当c<0时,不成立,对于C,当a=1,b=-2,n=2时,a n>b n不成立.对于D,由对数函数性质得不正确,故选A.5.若α,β满足-π2<α<β<π2,则2α-β的取值范围是( )A.-π<2α-β<0B.-π<2α-β<πC.-3π2<2α-β<π2D.0<2α-β<π答案:C解析:∵-π2<α<π2,∴-π<2α<π.又-π2<β<π2,∴-π2<-β<π2.∴-3π2<2α-β<3π2.又α-β<0,α<π2,∴2α-β<π2.故-3π2<2α-β<π2.6.若实数a≠b,则a2-ab ba-b2(填不等号).答案:>解析:(a2-ab)-(ba-b2)=a2-ab-ba+b2=(a-b)2,∵a≠b,∴(a-b)2>0.∴a2-ab>ba-b2.7.已知2b<a<-b,则ab的取值范围为 .答案:-1<ab<2解析:∵2b<a<-b,∴2b<-b.∴b<0.∴-b b <ab<2bb,即-1<ab<2.8.若m<n,p<q且(p-m)(p-n)<0,(q-m)(q-n)<0,则m,n,p,q从小到大顺序是 . 答案:m<p<q<n解析:∵(p-m)(p-n)<0,∴{p-m>0,p-n<0或{p-m<0,p-n>0.又m<n,∴m<p<n.同理m<q<n,又p<q,∴m<p<q<n.9.甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食(同一品种),两次粮食的价格不同,两位采购员的购粮方式也不同.其中,甲每次购买1 000 kg,乙每次购粮用去1 000元钱,谁的购粮方式更合算?解:设两次价格分别为a元、b元,则甲的平均价格为m=a+b2元,乙的平均价格为n=20001000a+1000b=2aba+b,∴m-n=a +b 2−2ab a +b =(a -b )22(a +b )>0.∴乙更合算.10.已知函数f (x )=ax 2-c ,-4≤f (1)≤-1,-1≤f (2)≤5,求f (3)的取值范围.解:因为f (x )=ax 2-c ,所以{f (1)=a -c ,f (2)=4a -c .即{a -c =f (1),4a -c =f (2),解得{a =13[f (2)-f (1)],c =13f (2)-43f (1),所以f (3)=9a-c=83f (2)-53f (1).又因为-4≤f (1)≤-1,-1≤f (2)≤5,所以53≤-53f (1)≤203,-83≤83f (2)≤403,所以-1≤83f (2)-53f (1)≤20,即-1≤f (3)≤20.。
基本不等式练习题及答案
基本不等式练习题及答案1.函数y＝x＋x/(x>0)的值域是什么？正确答案：B．(0，＋∞)解析：当x>0时，x/x=1，所以函数可以简化为y=2x。
因为x>0，所以函数的值域为(0，＋∞)。
2.下列不等式中正确的个数是多少？正确答案：C．1解析：只有第一组不等式a^2+1>2a成立，其他两个不等式都不成立。
3.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为多少？正确答案：B．1解析：将a＋2b－2＝0变形得到2b=2－a，所以b=1－a/2.因为a>0，所以1－a/2<1，所以b<1.所以ab的最大值为a(1－a/2)=a－a^2/2，当a=1时取得最大值为1/2.4.若函数f(x)＝x＋1/(x－2)在x＝a处取最小值，则a等于多少？正确答案：C．3解析：f(x)可以写成x+1/(x－2)=x－2+3+1/(x－2)，所以f(x)的最小值在x=3时取得，此时f(3)=3+1=4.5.已知t＞0，则函数y＝(t^2－4t＋1)/t的最小值为多少？正确答案：1解析：将分子t^2－4t＋1写成(t－2)^2－3，所以y=(t－2)^2/t－3/t。
因为t>0，所以y的最小值为3/t－(t－2)^2/t，当t=2时取得最小值1.某单位要建造一间背面靠墙的矩形小房，地面面积为12平方米，房子侧面的长度x不得超过5米。
房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，墙高为3米，不计房屋背面的费用。
求侧面的长度为多少时，总造价最低。
去年，XXX年产量为10万件，每件产品的销售价格为100元，固定成本为80元。
今年起，工厂投入100万元科技成本，每年递增100万元科技成本，预计产量每年递增1万件。
每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)=80.若水晶产品的销售价格不变，求第n次投入后的年利润f(n)。
(使用)不等关系与不等式
不等关系与不等式
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思考
在数学中，我们怎样来表示这些不等 关系？
1、今天的天气预报说：明天早晨最低 温度为7℃，明天白天的最高温度为 13℃； 7℃≤t≤13℃
2、三角形ABC的两边之和大于第三边； a+b>c或……
＋6.
练习 1.比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．
解: ∵ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
(a 2 2a 15) (a 2 2a 8) 7 ∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) <0
∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
3、a是一个非负实数.
a≥0
4、右图是限速40km/h的路
标，指示司机在前方路段行 驶时，应使汽车的速度v不 超过40km/h ，写成不等式 是: v≤40
40
5、某品牌酸奶的质量检 查规定，酸奶中脂肪的 含量f应不少于2.5%，蛋 白质的含量p应不少于 2.3%，用不等式可以表 示为：( B )
9
（3）点A在点B的左侧.
20:41
知识探究：比较实数大小的基本原理 思考1：如果两个实数的差是正数，那么这 两个实数的大小关系如何？反之成立吗？如 何用数学语言描述这个原理？
a零，那么这两 个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何 用数学语言描述这个原理？
小 结
2.判断两个实数大小的依据是： a b ab 0 a b ab 0 a b ab 0
课后作业
• 书74页 • 练习1、2 • 书75页 • 习题A组 4、5 • 习题B组 1
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a 6Ｂ．Ｃ． Ｄ．６.已知 - 2 ≤ x < 3,-17 < y ≤ -11, 则 的取值范围是（）Ａ． -⎛ 3 2 ⎤ ⎛3 ⎤ ⎛ 1 ⎤ ⎛3,- ⎥ Ｂ． - ,0 Ｃ． - ,0 Ｄ． - ,0 ⎪ ⎦⎦Ａ． a - c > b - dＢ． a不等关系与基本不等式同步练习题（一）（时间：120 分钟 满分：150 分）A.基础卷一、选择题（5×8=40 分）1．函数 y = x +1( x > 2) 的最小值为(x - 2)A. 2B ． 3C ． 4D ． 3 22．不等式 x (1 - 3x) > 0 的解集是（）11 11A ． (-∞, )B ． (-∞,0)(0, )C ． ( ,+∞)D ． (0, )33 333．已知 a 、b ∈ R, 且 ab > 0 ，则下列不等式不正确的是( )A ． a + b > a - bB ． a + b < a + bC ． 2 ab ≤ a + bD ．b a+ ≥ 2a b4．已知无穷数列 {n}是各项均为正数的等差数列，则有（ ）Ａ． a 4 ≤ a6a a５．已知 a < 0,-1 < b < 0 ，则 a, ab, ab 2 的大小关系是（）Ａ． a > ab > ab 2Ｂ． ab 2 > ab > a Ｃ． ab > a > ab 2Ｄ． ab > ab 2 > ax 2y - 1⎫⎝ 4 9⎦ ⎝ 4 ⎥⎝ 2 ⎥⎝ 4 ⎭７．若ab + 1 a + b< 1, 则 a 与 b 中必（ ）Ａ．一个大于１，一个小于１Ｂ．两个都大于１Ｃ．两个都小于１Ｄ．两个的积小于１8．已知 a > b , c > d , 则（ ）b >Ｃ． c - b > d - a Ｄ． ac > bddc9．若 a 、b 、c 、d 均为实数，使不等式 a > > 0和ad < bc 都成立的一组值 (a, b , c, d )Ａ． (- 3,3)Ｂ． (- ∞,3)Ｃ． (- ∞,-3> Ｂ． a 2 > b 21 3二、填空题（5×4=20 分）cb d是．（只要写出适合条件的一组值即可）10．若不等式 x - 5 + x + 3 > t 恒成立，则实数 t 的取值范围是 ．11．当 x > 0 时， y = x +4x 2的最小值为 ．12．不等式1 < 2 - x ≤ 7 的解集是．三、解答题（10×3=30 分）13．设 x ∈ R ，比较1与1 - x 的大小．x + 114．设 - 2 < a < 7, 1 < b < 2 ，求 a + b , a - b ,ab的范围．15．设 f ( x ) = x 2 - x + 1，实数 a 满足 x - a < 1 ．求证： f ( x ) - f (a) < 2( a + 1)B.提高卷一、选择题（5×4=20 分）1．若不等式 x + 1 - x - 2 > a 在x ∈ R 上有解，则实数 a 的取值范围是（）]2．若 a < b < 0 ，则下列不等关系中不能成立的是（）Ｄ． (- ∞,-3)Ａ． 1 1 1 1 Ｃ． a > b Ｄ． >a b a - b a3．设 a 、b 为正实数，且 a ≠ b ， n ∈ N * ，则 ab n + a n b - a n +1 - b n +1 的值的符号（）Ａ．恒为正Ｂ．与 a 、b 大小有关Ｃ．恒为负Ｄ．与 n 是奇数或偶数有关４．三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,其中一条侧棱长为 1,另两条侧棱长的和为 4,则此三棱锥体积的最大值为()A. 2 1 1B.C.D.3 2 6二、填空题（5×2=10 分）５．若 a > 0, b > 0, c > 0, 且 a + b + c = 1 ，则 1 = x - 2 + + 2 ≥ 2 + 2 = 4 ,x (1 - 3x) > 0 等价于 ⎨ 解得不等式的解集为 (-∞,0) (0, ) .a1 1+ +1 - a 1 - b 1 - c的最小值是 ．６．不等式 x - 5 - 2x + 3 < 1的解集是．三、解答题（14+16=30 分）７．设 f ( x ) = ax 2 + bx ，且1 ≤ f (-1) ≤ 2, 2 ≤ f (1) ≤ 4 ，求 f (-2) 的取值范围．８．某单位建造一间地面面积为 12 m 2 的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为每平方米1200 元，房屋侧面的造价为每平方米 800 元，屋顶的造价为 5800 元．如果墙高为 3 米，且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少元？同步练习题答案详解A.基础卷一、选择题：1.Ｃ2.Ｂ3.Ｂ4.Ａ5.D6.Ｂ7.Ａ8.C答案提示：１．因为 x - 2 > 0 ,所以 y = x +当且仅当 x = 3 时,等号成立.1 1x - 2 x - 2２．不等式 ⎧x(1 - 3x) > 0 ⎧x(1 - 3x) < 0 或 ⎨ ， ⎩ x > 0 ⎩ x < 01 3３．由于 ab > 0 ，对于 A, a + b = a + b > a - b ，则 A 正确；对于 B, a + b = a + b ,则 B 不正确.４．因为数列 {n}是各项均为正数的等差数列，所以 a 2 = (6a + a 428 ) 2 ≥ a a （当且仅当 4 8公差为０时取等号），所以aa4 ≤6a a6 ．8５．因为 - 1 < b < 0 ⇒ b 2 < 1 ⇒ 0 > ab 2 > a 且 ab > 0 ，所以 ab > ab 2 > a ．0 ≤ < , 所以 - < ≤ 0 ．x2 即 x = 2 时取“＝”号，所以，当 x = 2 时， y当 x = 0 时， = 1 - x ；= 0 ，所以 - (1 - x) =< 0 ，所以 < 1 - x ；> 0 ，所以 > 1 - x ．６．因为 0 ≤ x 2 < 9, - 18 < y - 1 ≤ -12 ， 12 ≤ -( y - 1) < 18,1 1 1< ≤ ， 18 - ( y - 1) 12x 2 3 3 x 2- ( y - 1) 4 4 y - 1７．两边平方，整理得 (a 2 - 1)(b 2 - 1) < 0, 所以 a 与 b 中必有一个大于１，一个小于１．８．因为 a > b 所以 - b > -a ．又因为 c > d ，所以 c - b > d - a ．二、填空题：9. (2,1,-3,-2)10. (-∞,8)11. ３12. {3 < x ≤ 9或 - 5 ≤ x < 1}答案提示：９． 只需保证 a, b , c, d 的值满足 a, b 同号， c, d 同号且满足其他条件即可．10．由绝对值的几何意义可知 y = x - 5 + x + 3 的最小值为８，所以实数 t 的取值范围是(-∞,8) ．11． y = x + 4 x x 4 x x 4= + + ≥ 3 ⋅ 3 ⋅ ⋅ = 3 ，x 2 2 2 x 2 2 2 x 2当且仅当 x 4= 2 x min = 3 ．12．由已知有1 < x - 2 ≤ 7 或 - 7 ≤ x - 2 < -1 ，解得 3 < x ≤ 9或 - 5 ≤ x < 1三、解答题：1 x2 13.解：因为，所以，x + 11 + xx 2 11 + x x + 1当1 + x < 0 即 x < -1 时，当1 + x > 0 即 x > -1 时， x 211 + x x + 1x 2 11 + x x + 114.解：由同向不等式相加得： - 1 < a + b < 9 ．因为 1 < b < 2 ，所以- 2 < -b < -1，同理得 - 4 < a - b < 6 ．<<1，当0≤a<7时,0≤<7;<<1，所以0<-<2，，又a<b<0，所以即1由1<b<2得112bab当-2<a<0时，0<-a<2，又11a2b b 所以-2<ab<0．综上，-2<ab<7．15.证明：因为所以f(x)=x2-x+1f(x)-f(a)=x2-x-a2+a=x-a x+a-1<x+a-1=(x-a)+2a-1≤x-a+2a-1<1+2a+1=2(a+1)所以f(x)-f(a)<2(a+1)B.提高卷一、选择题：1.B2.Ｄ3.Ｃ4.A答案提示：1.由绝对值的几何意义可知x∈R时，f(x)=x+1-x-2的取值范围为[-3,3]，故a要小于f(x)的最大值３．2.因为a<b<0，所以ab>0，由倒数法则有11>，Ａ正确；因为a<b<0，所以a>b a b和a2>b2均成立．对于Ｄ，因为11b b-=a-b a a(a-b)a(a-b)<0，1<，所以Ｄ不成立．a-b a３．ab n+a n b-a n+1-b n+1＝b n(a-b)+a n(b-a)=-(a-b)(a n-b n)．因为a、b为正实数，且a≠b，所以由乘方原理知a-b与a n-b n同号，(1 a 1 b 1 c) 23 3 3所以 ab na nb a n1b n 1 的值的符号恒为负．4．设其中一条侧棱长为 x ,则另一条侧棱长为 4x ,1 11 x 4 x 22Vx (4x) 1( )2 ,当且仅当 x 2 时, V 有最大值 ．3 26 2 33二、填空题：5.926.xx 7或x13答案提示：5. 因为 a0,b 0,c 0,且 a b c 1 ，所以 1 1 1 1 1 1 3 931 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 13，当且仅当1 a 1 b 1 c,即 ab c6. 原不等式等价于下列不等式组1 3时，上式取“＝”号．①x 5(x 5) (2x 3) 1或3x 5②2或 (x 5) (2x 3) 13x ③ 2(x 5) (2x 3) 1分别解①，②，③，再求并集得不等式的解集为 x x 7或x13三、解答题：7.解：设 f( 2)mf ( 1) nf(1)，则 4a 2b m (a b) n(ab) ，m n 4 m 3 即 4a 2b (m n)a(m n)b ，于是，得 ，解得，m n 2n 1所以 f( 2) 3 f( 1)f(1)．⋅ 0 = 3600( x + 16A ．Ｍ： ⎨⎧x> 1 Ｎ： ⎨ 1 Ｂ．Ｍ： ⎨ 1 Ｎ： ⎨ 1 3．在区间 ⎢ ,2⎥上,函数 f ( x ) = x 2 + bx + c (b , c ∈ R ) 与 g ( x) = 同的最小值,那么 f (x) 在区间 ⎢ ,2⎥ 上的最大值为( 2因为1 ≤ f (-1) ≤ 2, 2 ≤ f (1) ≤ 4 ，所以 5 ≤ 3 f (-1) + f (1) ≤ 10 ，故 5 ≤ f (-2) ≤ 10 ．8.解：设房屋正面长为 xm ，则房屋侧面的长为得12 xm ；设房屋的总造价为 y 元，根据题意y = 3x ⋅1200 + 3 ⋅ 12 57600⋅ 8 0 0 2 + 5 8 0 = 3600 x + + 5800x x16) + 5800 ≥ 3600 ⨯ 2 x ⋅ + 5800x x= 28800 + 5800 = 34600(元）当且仅当 x =16 ，即 x = 4 时，等号成立．x因此，当房屋正面的长为 4 m 时，房屋的总造价最低，最低总造价是 34600 元．备选题：１．不等式 a + b < a + b ( a 、 b ∈ R ) 中等号成立的充要条件是（）A ． a 、b 中至少有一个为 0B ． ab ≥ 0Ｃ． ab ≤ 0Ｄ． a 、b 中仅有一个为 02．下列命题中，使命题 M 是命题 N 成立的充要条件的一组命题是（）⎧x + x > 3 ⎧x > 1 ⎧x + x > 31 2 2 ⎩x 2 > 2 ⎩x 1 x 2 > 2 ⎩x 2 > 2 ⎩( x 1 - 1)( x 2 - 2) > 0Ｃ．Ｍ： a > b , c > d ,Ｎ： ac > bd Ｄ．Ｍ： a - b = a + b ，Ｎ： ab = 0A. ⎡ 1 ⎤ ⎣ 2 ⎦⎡ 1 ⎤ ⎣ ⎦13 5B.4C.8D.4 4)x 2 + x + 1 x在同一点取得相４．当点 ( x , y) 在直线 x + 3 y - 2 = 0 上移动时， 3 x + 27 y + 1 的最小值是()５．设 a > 0, b > 0 ,且不等式 1 + +≥ 0 恒成立,则实数 k 的最小值等于()mx + ny = -1 上,其中 mn > 0 ,则 3”2．由于 ⎨⎧x > 1 ⇔⎨ 1 ⇔ ⎨ 1 ⎩( x - 1)( x - 2) > 0 = x + + 1, x ∈ ⎢ ,2⎥ ,当 x = 1 时, g ( x) 取最小值 3,A.5B.1+ 2 2C.6D.71 kab a + bA. 0B. 4C.- 4 D. - 2６．已知 a > b > 0 ,则 a 2 + 16b (a - b )的最小值是 .７．一批救灾物资随 17 列火车以每小时V 千米的速度匀速直达 400 千米外的灾区为了安全起见,两辆火车的间距不得小于 (V20) 2 千米,问这批物资全部运达灾区最少需 小时.８ ． 已 知 函 数 y = log ( x - 2) + 1, (a > 0, a ≠ 1) 的 图 象 恒 过 定 点 A, 若 点 A 在 直 线a1 + 的最大值为.m n９．规定记号“ ⊗ 表示一种运算，即 a ⊗ b = ab - a - b (a, b 为正实数），若正数 x, y 满足x ⊗ y = 3 ，则 xy 的取值范围是.备选题答案：1．B ２.B ３．Ｂ ４．Ｄ ５．Ｃ6．167.８8． -16９． xy ≥ 9答案提示：１． a + b = a + b ⇔ a 2 + 2 a b + b 2 = a 2 + 2 ab + b 2 ⇔ ab = ab ⇔ ab ≥ 0 ．⎧x - 1 > 0 1 ⎩x 2 > 2 ⎩x 2 - 2 > 0 ⎧x + x > 3 21 2，所以Ｂ正确．３． g ( x ) =x 2 + x + 1 1 ⎡ 1 ⎤ x x ⎣ 2 ⎦所以 f ( x ) = ( x - 1) 2 + 3, 故当 x = 2 时, f ( x ) 的最大值为 4.４． 因为 x + 3 y - 2 = 0 ,所以 3x + 27 y + 1 ≥ 2 3x ⋅ 33 y + 1 = 2 3x +3 y + 1 = 7 ,当且仅当 x = 3 y = 1 时,等号成立.1 1 k５．由 + + a b a + b≥ 0 得 k ≥ - (a + b ) 2 (a + b ) 2 b a ，而 = + + 2 ≥ 4 ，所以ab ab a b- ≤ -4 ，因此只需 k ≥ -4 ，即实数 k 的最小值等于 - 4 .1 = 400 + 16V ≥2 400 16V = 8, 20所以 + 最大值为 -16.(a + b ) 2 ab6．因为 b + (a - b ) ≥ 2 b (a - b ) ,所以 b (a - b ) ≤ 1 1(b + a - b ) 2 = a 2 .4 4所以 a 2 + 16 16 64 ≥ a 2 + = a 2 +b (a - b ) a 2a 2 4≥ 16 .7.因为 t = V400 + 16 ⋅ ( ) 2 ⋅V V 400 V 400当且仅当 400 16V =V 400即 V = 100 时等号成立.８．函数图象恒过定点 (3,1) ,所以 3m + n + 1 = 0 .因为 mn > 0 ,所以 m < 0, n < 0 ,3 1 31 3m 3n+ = ( + )(-3m - n) = -10 - - ≤ -10 - 6 = -16 , m n m n n m3 1m n９． 由题意,得 xy - x - y = 3 ,所以 xy = x + y + 3 ≥ 2 xy + 3 ,即xy - 2 xy - 3 ≥ 0, 则 xy ≥ 3, xy ≤ -1 (舍),所以 xy ≥ 9 .。