数学建模 装箱问题概述
数学建模之锁具装箱问题
P181 锁具装箱1.某厂生产一种弹子锁具，每个锁具有n个槽，每个槽的高度从{1，2，3，4}这4个数（单位略）中任取一个，限制至少有一个相邻的槽高之差等于3，且至少有3个不同的槽高，每个槽的高度取遍这4个数且满足上面这两个限制时生产出一批锁（例如，当n等于3时，3个槽高为1，4，2的锁符合要求，而3个槽高为1，4，4的锁不满足要求）。
求一批锁的把数。
解：取不同的n的值，通过matlab编程，求出对应的锁的把数（1）当n=3时：源程序：s=0;n=3;for j1=1:n+1for j2=1:n+1for j3=1:n+1a1=j1;a2=j2;a3=j3;amax=max([a1,a2,a3]');amin=min([a1,a2,a3]');numbers=(amax-a1)*(a1-amin)+(amax-a2)*(a2-amin)+(amax-a3)*(a3-amin);neighbors=max([abs(a1-a2),abs(a2-a3)]');if numbers>0.5if neighbors==3s=s+1;endendendendends输出结果：s =8所以当每个锁具有3个槽时，满足要求的这批锁的把数为8把。
（2）当n=4时：源程序：s=0;n=3;for j1=1:n+1for j2=1:n+1for j3=1:n+1for j4=1:n+1a1=j1;a2=j2;a3=j3;a4=j4;amax=max([a1,a2,a3,a4]');amin=min([a1,a2,a3,a4]');numbers=(amax-a1)*(a1-amin)+(amax-a2)*(a2-amin)+(amax-a3)*(a3-amin)+( amax-a4)*(a4-amin);neighbors=max([abs(a1-a2),abs(a2-a3),abs(a3-a4)]');if numbers>0.5if neighbors==3s=s+1;endendendendendends输出结果：s =64所以当每个锁具有4个槽时，满足要求的这批锁的把数为64把。
最新1.3装箱问题与背包问题
装箱问题的LINGO软件求解
例1 已知30个物品,其中6个长0.51m，6个长 0.27m，6个长0.26m，余下12个长0.23m， 箱子长为1m，问最少需多少个箱子才能把30 个物品全部装进箱子。
见lingo程序
装箱问题的近似求解算法
NF（Next Fit－下次适应）算法：按照物 体给定的顺序装箱：把物品wi放到它第 一个能放进去的箱子中。Bj是具有最大 下标的使用过的箱子，若wi的长度不大 于Bj的剩余长度，则把wi放入Bj，否则 把wi放入一个新的箱子Bj+1，且Bj在以 后的装箱中不再使用。
多机调度问题要求给出一种作业调度方案，使所给的n个 作业在尽可能短的时间内由m台机器加工处理完成。
[分析]这个问题可以看成装箱问题，也是NP完全问题。对 于这一类问题，用贪婪选择策略有时可以设计出较好的近似 算法。采用最长处理时间作业优先的贪婪选择策略可以设计 出解多处理器调度问题的较好的近似算法。按此策略，当 n≤m时，我们只要将机器i的[0,ti]时间区间分配给作业i即 可。
适应算法的特点是当处理当前物品，如果有已经打 开的箱子中能够放下这个物品，则不打开新的箱子。
在线算法：如果一个近似装箱算法在执行过程中， 每当一个物品到达时，就立刻决定把该物品放入哪 个箱子中，而不管后序物品如何，这种算法就被称 为在线算法。下次适应算法、首次适应算法等都是 在线算法，其时间复杂度都为O(n) 。
FFD算法： { 输入箱子的容积； 输入物品种数n； 按体积从大到小顺序，输入各物品的体积； 预置已用箱子链为空； 预置已用箱子计数器box_count为0； for (i=0;i<n;i ++ ) { 从已用的第一只箱子 开始顺序寻找能放入物品i 的箱子j；
数学建模过程(讨论问题-锁具装箱问题)
§1.4.2 模型假设
一、意义： 假设是简化实际问题的必须手段。 假设能缩小问题的涉及范围，使问题的条件更加明确且条
理更加清晰。
做假设的过程中，能进一步辨清问题的主次方面。 二、作用： 1、简化问题，有利于辨识并列出与问题的研究目标更紧密 的相关因素及其关系。 2、使模型更加严谨。拟建立的数学模型常被认为是对实际问 题的近似刻划，这种数学形式应该符合数学的要求，不能显示 出任何逻辑破绽。
2. 原则:
1）深入理解问题的含义和背景。 2）确立解决该问题的最高层目标。 3）从最高层目标出发顺藤摸瓜，即揭示影响最高目
标的各个子层。
4）坚持抓主要因素和主要关系的原则 二、符号设定 符号设定是与问题分析过程相伴完成的同时也与建立模型
过程结伴而行。任何一个建模过程中，最高目标层的符号都
是相对独立地首先设定的。
199
201
锁具装箱问题
某厂生产一种弹子锁，每个锁具的钥匙有5个槽，每个槽高度从{1，2，3，4，5，6} （单位略）中任取一个数，由于工艺及其它原因，制造锁具时对5个槽的高度还有两个限 制：至少有3个不同的数；相邻两个槽的高度之差不能为5。满足以上条件制造出来的所 有互不相同的锁具称为一批。 从顾客的利益出发，自然希望在每批锁具中“一把钥匙开一把锁”。但是在当前的工艺 条件下，对于同一批锁是否能够互开，有以下试验结果：若二者相对应的5个槽的高度中 有4个相同，另一个槽的高度差1，则可能互开；在其它情形下不可能互开。
二、模型求解 模型求解必须在明确认识模型的数学归类的基础上进行.
1）结论为归纳型或猜想型的模型，用论证的方式给出求解过 程。 2）表达式或表达式组类型的模型，用相应的数学算法计算出 问题的结论。这类模型中的大多数都有很大的运算量，运算结 构也较复杂，或者现有数学方法不可能给出其精确解，于是， 不借助于计算机，求解工作一般无法完成。
第三章 装箱问题
§1
装箱问题的描述
Go back
BP 的应用举例： 的应用举例：
1.44 × 7 = 10.08 > 10
1、下料问题 轧钢厂生产的线材一般为同一长度 而用 、 轧钢厂生产的线材一般为同一长度, 户所需的线材则可能具有各种不同的尺寸, 户所需的线材则可能具有各种不同的尺寸 如何根据用 户提出的要求，用最少的线材截出所需的定货； 户提出的要求，用最少的线材截出所需的定货； 4、生产流水线的平衡问题 给定流水节拍 C , 如何设置 、 2、 二维 BP 玻璃厂生产出长宽一定的大的平板玻璃, 、 最少的工作站，（按一定的紧前约束）沿着流水线将任 ，（按一定的紧前约束 最少的工作站玻璃厂生产出长宽一定的大的平板玻璃 ，（按一定的紧前约束） 但用户所需玻璃的长宽可能有许多差异， 但用户所需玻璃的长宽可能有许多差异，如何根据用 务分配到各工作站上 . 称为带附加优先约束的 BP . 户提出的要求，用最少的平板玻璃截出所需的定货; 户提出的要求，用最少的平板玻璃截出所需的定货 3、计算机的存贮问题 如要把大小不同的共 10 MB 的 、 BP 是容量限制的工厂选址问题的特例之一 是容量限制的工厂选址问题的特例之一. 文件拷贝到磁盘中去， 文件拷贝到磁盘中去，而每张磁盘的容量为 1. 44 MB , 已知每个文件的字节数不超过 1.44 MB , 而且一个文件 不能分成几部分存贮， 不能分成几部分存贮，如何用最少的磁盘张数完成 .
是最优解的一个下界 .
第三章 装箱问题
Proof : 仅考虑对 I1,I2,I3中物品的装箱 . Q I1 U I 2 中物品的长度大于C/2 ,
C C-a Note: w 可能小于零 C/2 a
∴
1.3装箱问题与背包问题
其在工业生产及日常生活中有广泛的用途， 其应用在实际生活中无处不在，货物装运， 服装裁剪，以及我们计算机科学中的存储分 配、共享资源调度、文件存储都是装箱问题 在实际应用中的体现。所以具有重要的研究 价值。
【问题】 装箱问题
问题描述：装箱问题可简述如下：设有编 号为1、…、n的n种物品，体积分别为v1、 v2、…、vn。将这n种物品装到容量都为V的若 干箱子里(更一般的装箱问题还可以要求容量 不是相同的)。约定这n种物品的体积均不超过 V，即对于1≤i ≤ n，有0＜vi≤V。不同的装箱方 案所需要的箱子数目可能不同。装箱问题要求 使装尽这n种物品的箱子数要少。
按本例所给数值，取j=0时，因就是前述普通贪婪 算法，已经得到100的结果；取j=1时，共有8种方 案，当用29或23先装入时，可得到54+29+23+1=107 的更好结果；取j=2时，共有28种方案，其中有能 将背包完全装满的结果（43+23+29+14+1=110）。 故知此问题当取k≥2时就可得到最优解。
xij =1表示物品j装入箱 子i ，反之表示物品j未
放入箱子i
若考察将n种物品的集合分划成n个或小于n个 物品的所有子集，最优解就可以找到。但所有 可能划分的总数太大。对适当大的n，找出所 有可能的划分要花费的时间是无法承受的。为 此，对装箱问题采用非常简单的近似算法，即 贪婪法。该算法依次将物品放到它第一个能放 进去的箱子中，该算法虽不能保证找到最优解， 但还是能找到非常好的解。
FFD算法： { 输入箱子的容积； 输入物品种数n； 按体积从大到小顺序，输入各物品的体积； 预置已用箱子链为空； 预置已用箱子计数器box_count为0； for (i=0;i<n;i ++ ) { 从已用的第一只箱子 开始顺序寻找能放入物品i 的箱子j；
三维装箱问题算法
三维装箱问题算法一、问题概述三维装箱问题是一种经典的优化问题，涉及到在有限的空间内放置多个物体，以满足一定的约束条件并最大化空间利用率。
在这个问题中，我们考虑一个三维盒子，其中可以放置一定数量的物体，每个物体都有一定的体积，我们需要找到一种放置方式，使得盒子的剩余空间最小。
二、算法介绍为了解决三维装箱问题，我们可以使用多种算法，其中一种常用的算法是遗传算法。
遗传算法是一种基于生物进化原理的优化算法，通过模拟自然选择和遗传机制来寻找问题的最优解。
具体步骤如下：1. 初始化：随机生成一组装箱方案，作为种群。
2. 评估：对每个装箱方案进行评估，计算剩余空间的大小。
3. 选择：根据每个装箱方案的剩余空间大小，选择出适应度较高的方案作为父代。
4. 交叉：对父代进行交叉操作，生成新的子代。
5. 变异：对子代进行变异操作，以增加种群的多样性。
6. 终止条件：当满足终止条件（如达到最大迭代次数或找到满足要求的解）时，停止算法，输出当前最优解。
三、算法实现下面是一个简单的遗传算法实现示例，使用Python语言编写：```pythonimport numpy as np# 定义适应度函数def fitness(solution):remaining_space = np.prod(solution) -np.prod(np.delete(solution, axis=0))return remaining_space# 初始化种群population = np.random.randint(low=1, high=10, size=(pop_size, 3)) # 迭代进化for generation in range(max_generations):# 评估种群中每个装箱方案的适应度fitness_values = np.apply_along_axis(fitness, axis=1,arr=population)# 选择适应度较高的方案作为父代parents = np.argmax(fitness_values, axis=0)# 进行交叉和变异操作offspring = crossover(population, parents)population = offspring + np.random.randint(low=-1, high=1, size=offspring.shape, dtype=np.int32)# 输出当前最优解和最优解的适应度值if generation % print_freq == 0:best_solution = np.argmin(fitness_values)best_fitness = fitness_values[best_solution]print(f"Generation {generation}: Best solution:{best_solution}, Best fitness: {best_fitness}")# 判断是否达到终止条件，如果是则输出最终结果if best_fitness <= optimal_fitness:break```以上代码实现了一个简单的遗传算法，通过交叉和变异操作生成新的种群，并在每一代选择适应度较高的方案作为父代进行繁殖，最终得到最优解。
数学建模之锁具装箱
锁具装箱摘要（第06组）本文针对锁具如何装箱问题，建立了模型，并对其进行了分析和评价。
首先根据排列组合知识，用Matlab编程列举出所有符合条件的锁具，得到一批锁具的个数为5880，可装58箱。
就如何装箱及销售问题，本文根据如何对每一批锁具进行装箱和标记才能是消费者的满意度最高的模型，再具体分析实际销售情况，建立了按槽高进行序贯销售的模型。
即先把槽高和为偶数的锁具按字典序列排序装箱，之后装槽高和为奇数的锁具，并对每一个锁具进行编号，计算锁具“安全”距离的极小值为2562，即42.7箱，得到序贯销售时团体顾客最大购买量为42箱时不会出现互开现象。
顾客抱怨互开程度可用所购的一箱或二箱锁具中平均有多少对可能互开来衡量。
本文运用计算机模拟，得到平均一箱中可以互开的个数为2.33，平均两箱中可以互开的个数为9.41。
关键词：排列组合，数学模型，互开，奇偶，概率一、问题重述某厂生产一种弹子锁具，该锁具的锁匙共有5个槽，每个槽可取6种不同的高度,分别以1-6的整数表示。
在生产中要求每把锁匙的5个槽至少具有3种不同的高度且相邻两槽的高差不能是5。
满足上述条件的互不相同的锁具称为一批。
由于工艺条件的限制，当两把锁匙对应的5个槽的高度有4个相同，另一个槽的高差为1时,两锁具可能互开,否则不能互开。
在锁具出厂时，工厂对锁具按批进行随意装箱，每60付装1箱。
当遇到购买量较大时团体顾客时(买几箱到几十箱)，由于装箱的随意性，容易引起他们对锁具互开现象的抱怨，现要求解决以下几个问题：（1）每批锁具有多少个,可装多少箱；（2）为售销部门提供一种方案，包括如何装箱，如何给箱子以标记，出售时如何利用这些标记，从而使团体顾客不再或减少抱怨；（3）当团体顾客的购买量不超过多少箱时，可以保证一定不会出现互开的情形；（4）按原来的随意装箱方法，如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的程度，并对购买一、二箱者给出具体结果。
二、问题假设（1）随机装箱对锁具来说是等可能概率。
装箱问题和排序问题
NP-难问题按照其可逼近性分类
精品课件
多项式时间近似方案（Polynomial Time Approximation Scheme ,PTAS),
0,存在多项式时A间 ，算 使法 A得 (I)(1)op(tI) 算法的计算复杂定性的 是 对n的 固多项式。
譬如 O(n1/ )
渐近多项式时间近似方案
原来的物件尺 行下 寸 。面 仍证 A然 (I)明 可 op(Jt)(1)op(It)从 , 而引理成立
.
精品课件
Step3. 再通过将每组每个尺 物寸 件缩小到该组最件 小的 物尺寸， 从而构造一个新的J实 ',显例然opt(J)' opt(（ I) ？.） 注意到关，于J'的一个装箱方案给 J的出一个装箱方案，实 除例 了 J的最大的 Q个物件之(外 ?)。 因此，opt(J) opt(J)' Q opt(I)Q.(?)
证明：（ 1）考虑下述划分问题
( partition problem )：
给定 n 个非负数 a 1 , a 2 ,..., a n，否可将其可划分为两
部分，
使得每部分之和恰好为
1
2
i
a i .已知该判定问题是
NP - 难的。
（ 2）上述问题的回答是
YES 当且仅当 n 个物件可放入
容量为
1 2
i
案使得所用的箱子数目最少？
通俗地说，把 a 1 , a 2 ,..., a n ( 0 ,1 ] 组数，
分成最少的
使得每组数的和不超过1。
在工业中有许多应用，譬如a i 在下料问题中，箱子 代表标准木料的长度，而 表示实际问题中需
要裁截成的木料长度。当然，需要的标准料越少
数学建模之锁具装箱
锁具装箱摘要（第06组）本文针对锁具如何装箱问题，建立了模型，并对其进行了分析和评价。
首先根据排列组合知识，用Matlab编程列举出所有符合条件的锁具，得到一批锁具的个数为5880，可装58箱。
就如何装箱及销售问题，本文根据如何对每一批锁具进行装箱和标记才能是消费者的满意度最高的模型，再具体分析实际销售情况，建立了按槽高进行序贯销售的模型。
即先把槽高和为偶数的锁具按字典序列排序装箱，之后装槽高和为奇数的锁具，并对每一个锁具进行编号，计算锁具“安全”距离的极小值为2562，即42.7箱，得到序贯销售时团体顾客最大购买量为42箱时不会出现互开现象。
顾客抱怨互开程度可用所购的一箱或二箱锁具中平均有多少对可能互开来衡量。
本文运用计算机模拟，得到平均一箱中可以互开的个数为2.33，平均两箱中可以互开的个数为9.41。
关键词：排列组合，数学模型，互开，奇偶，概率一、问题重述某厂生产一种弹子锁具，该锁具的锁匙共有5个槽，每个槽可取6种不同的高度,分别以1-6的整数表示。
在生产中要求每把锁匙的5个槽至少具有3种不同的高度且相邻两槽的高差不能是5。
满足上述条件的互不相同的锁具称为一批。
由于工艺条件的限制，当两把锁匙对应的5个槽的高度有4个相同，另一个槽的高差为1时,两锁具可能互开,否则不能互开。
在锁具出厂时，工厂对锁具按批进行随意装箱，每60付装1箱。
当遇到购买量较大时团体顾客时(买几箱到几十箱)，由于装箱的随意性，容易引起他们对锁具互开现象的抱怨，现要求解决以下几个问题：（1）每批锁具有多少个,可装多少箱；（2）为售销部门提供一种方案，包括如何装箱，如何给箱子以标记，出售时如何利用这些标记，从而使团体顾客不再或减少抱怨；（3）当团体顾客的购买量不超过多少箱时，可以保证一定不会出现互开的情形；（4）按原来的随意装箱方法，如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的程度，并对购买一、二箱者给出具体结果。
二、问题假设（1）随机装箱对锁具来说是等可能概率。
fitting boxes题解
fitting boxes题解fitting boxes，又称装箱问题，是计算机图形学、优化问题以及算法领域中的一个经典问题。
在计算机图形学中，装箱问题主要用于二维空间中的几何体生成；在优化问题中，装箱问题旨在找到一种最优的装箱方案，以达到空间利用率的最大化或最小化；在算法领域，装箱问题则是许多算法设计的基石。
【背景介绍】装箱问题来源于实际生活中的物流、仓储等领域。
在一个有限的容器中，如何将不同尺寸的物体合理地装进去，成为一个具有重要实际意义的问题。
在计算机图形学中，装箱问题可以帮助生成更加自然、真实的场景；在物流领域，装箱问题可以提高运输效率，降低成本。
【装箱算法介绍】针对装箱问题，有许多经典的算法可以解决。
以下简要介绍几种常见的装箱算法。
【3.1 暴力解法】暴力解法是最简单的装箱算法，其主要思想是将所有物品按照大小顺序排列，然后依次放入容器中。
这种算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为物品数量。
暴力解法在物品数量较少时效率较低，但在物品数量较多时，由于物品可以互相填充，空间利用率会有所提高。
【3.2 最大矩形算法】最大矩形算法的主要思想是在容器中寻找一个最大的矩形区域，将所有物品放入该区域。
该算法的时间复杂度为O(nlogn)，其中n为物品数量。
与暴力解法相比，最大矩形算法在物品数量较多时具有较高的效率。
【3.3 最长边优先算法】最长边优先算法的主要思想是将物品按照最长边长度排序，然后依次放入容器中。
该算法的时间复杂度为O(nlogn)，但在某些情况下可能会导致空间利用率较低。
【3.4 改进算法】针对上述算法存在的问题，可以对其进行一定的改进。
例如，在最长边优先算法的基础上，可以通过动态规划或贪心算法进一步优化，提高空间利用率。
【4.算法实现与代码展示】本文以Python为例，展示一种简单的最长边优先算法实现。
```pythondef fit_boxes(boxes, container_size):# 对物品按最长边长度排序boxes.sort(key=lambda x: x[1])# 初始化容器container = [0] * (container_size + 1)# 遍历物品，填充容器for box in boxes:# 找到可放置物品的最小高度for i in range(container_size, box[1] + 1):if container[i] == 0:# 放置物品后，更新容器状态container[i] = box[0]break# 计算空间利用率utilization = sum(box[0] for box in boxes if container[box[1]] == box[0]) / (container_size * container[container_size])return utilization# 示例boxes = [(10, 5), (15, 10), (20, 15)]container_size = 40utilization = fit_boxes(boxes, container_size)print("空间利用率：", utilization)```【5.总结与拓展】装箱问题是计算机科学领域中的一个经典问题，具有广泛的应用。
物流装箱问题数学建模
物流装箱问题数学建模
物流装箱问题是指将一批物品放置到有限的几个箱子中，使得每个箱子的利用率最高且所使用的箱子数量最少。
这是一个经典的数学优化问题，可以通过以下步骤进行建模：
1. 定义变量：假设有 n 个物品需要装箱，第 i 个物品的体积为 vi，第 j 个箱子的容积为 cj，定义决策变量 xi,j 表示将第 i 个物品放入第 j 个箱子中（取值为0或1）。
2. 约束条件：每个物品只能被放入一个箱子中，即∑j xi,j = 1，同时每个箱子的容积不能超过其限制，即∑i vi xi,j ≤ cj。
3. 目标函数：目标是最小化使用的箱子数量，因此可以定义目标函数为∑j ∑i xi,j。
4. 模型求解：该问题可以转化为混合整数线性规划问题，可以使用商业软件（如Gurobi、CPLEX等）求解，也可以使用启发式算法（如遗传算法、模拟退火等）进行求解。
需要注意的是，该问题存在多项式时间内可解的算法，但是在实际应用中，由于数据规模较大，通常需要使用近似算法或者启发式算法进行求解。
物流装箱问题数学建模
物流装箱问题数学建模
物流装箱问题是指在物流运输过程中，如何合理地将货物装箱以最大限度地利用装载空间，并确保货物的安全和稳定。
这是一个复杂的问题，需要综合考虑货物的形状、尺寸、重量、数量以及运输工具的限制等因素。
数学建模可以帮助我们在物流装箱问题中找到最优的解决方案。
首先，我们可以将货物的形状和尺寸抽象为几何体，如长方体、圆柱体等。
然后，通过数学方法计算每个货物的体积，并根据运输工具的限制，确定每个装箱的容量。
接下来，我们可以将问题转化为一个优化问题，即如何在有限的容量内，最大化装载的货物总体积。
在数学建模过程中，我们可以利用线性规划、整数规划、动态规划等方法来求解最优解。
通过确定目标函数和约束条件，我们可以使用数学模型来找到最佳的装箱方案。
同时，我们还可以考虑一些实际问题，如货物的稳定性、避免堆叠过高、减少装卸时间等因素，来综合评估每个装箱方案的可行性。
此外，随着科技的发展，人工智能和机器学习等技术也可以应用于物流装箱问题的数学建模中。
通过对大量历史数据的分析和学习，我们可以提前预测不同类型货物的运输需求，并自动优化装箱方案，提高装箱效率和节省运输成本。
总之，物流装箱问题数学建模是一个复杂且具有挑战性的问题。
通过运用数学方法和相关技术，我们可以找到最优解决方案，提高装箱效率，减少物流成本，提升物流运输的整体效益。
长三角高校数学建模竞赛快递包裹装箱优化问题
长三角高校数学建模竞赛快递包裹装箱优化问题随着电子商务的迅速发展，快递行业成为中国物流行业中的重要组成部分。
快递包裹的及时送达和安全运输是快递企业必须面对的重要挑战之一。
针对如何在有限的空间中最大化地装载包裹，优化装箱方案已成为快递企业的一项重要课题。
本文将重点讨论长三角高校数学建模竞赛中的快递包裹装箱优化问题。
快递包裹装箱问题涉及到如何在有限的空间中合理地摆放不同尺寸和重量的包裹，以便最大化地利用空间并保证包裹的安全运输。
在实际应用中，我们可以将快递箱视为一个三维的容器，而包裹则是不同形状和大小的物体。
装箱优化问题可以归结为如何在给定的容器和包裹条件下，找到最优的摆放方案，使得总体积最小化或者总重量最小化。
对于快递包裹装箱优化问题，我们可以采用数学建模的方法来解决。
首先，我们需要确定一个合适的目标函数，它可以衡量不同装箱方案的优劣。
对于总体积最小化的问题，我们可以将目标函数定义为所有包裹体积的和。
对于总重量最小化的问题，我们可以将目标函数定义为所有包裹重量的和。
在确定目标函数之后，我们可以建立一个数学模型来描述这个优化问题。
在数学模型中，我们需要定义相关的变量和约束条件。
变量可以表示每个包裹的位置和方向，而约束条件则可以限制包裹之间的相互位置以及与容器的边界的关系。
例如，我们可以定义一个二维数组来表示容器的布局，其中每个元素表示一个位置，0表示空位置，1表示有包裹。
我们还可以引入一些约束条件来控制包裹的位置和方向，例如，每个包裹的底部必须在一个平面上，不能旋转等。
在实际应用中，我们可以采用启发式算法来求解这个优化问题。
启发式算法是一种基于经验和直觉的求解方法，它可以在合理的时间内找到一个较好的解。
常见的启发式算法包括遗传算法、模拟退火算法和禁忌搜索算法等。
这些算法都可以通过不断地调整包裹的位置和方向来搜索最优解。
快递包裹装箱优化问题是一个复杂而实际的问题，它涉及到多个变量和约束条件。
通过数学建模和启发式算法，我们可以找到一个较好的装箱方案，以最大化地利用空间并保证包裹的安全运输。
集装箱问题数学建模
集装箱问题数学建模
集装箱问题是一个经典的组合优化问题，目的是在给定一组箱子和一组承载它们的集装箱船舶的情况下，找到一种最佳的装载方案，以最大化船舶的装载量。
为了建立数学模型，我们需要定义以下变量和约束条件：
1. 变量：
- x(i,j): 集装箱i在船舶j中的装载数量，其中i=1,2,...,n，
j=1,2,...,m
2. 目标函数：
- 最大化船舶的总装载量，可以表示为 sum( x(i,j)*v(i) )
3. 约束条件：
- 每个集装箱只能被装载到一个船舶中，即 sum( x(i,j) ) <= 1，对所有i=1,2,...,n
- 每艘船舶的装载量不能超过其承载能力，即
sum( x(i,j)*w(i) ) <= c(j)，对所有j=1,2,...,m
其中，v(i)表示第i个集装箱的体积，w(i)表示第i个集装箱的
重量，c(j)表示第j艘船舶的承载能力。
以上模型可以使用整数规划方法求解，也可以使用启发式算法（如遗传算法、蚁群算法等）进行近似解求解。
如果问题还有其他特定的约束条件（如集装箱之间的相对位置
关系、船舶的航行能力等），还需要根据实际情况进行调整和加入相应的约束条件。
数学建模：两辆平板车的装货问题
问题一：两辆平板车的装货问题有7种规格的包装箱要装到两辆平板车上去，包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（w，以千克计）是不同的。
如下表所示给出了每种包装箱的厚度、重量及数量。
每辆平板车有10.2m长的地方可用来装包装箱（像面包片那样）,载重量为40吨。
由于当地货运的限制，对C5、C6、C7类的包装箱的总数有一个特殊的限制，这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm，试把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。
解：假设包装箱的宽和高完全一样，假设为使浪费的空间最小，每辆车可以随意选择货型进行装车，假设两辆车相互独立。
x为装入i车的Cj型号包装箱的数量，则可得到线性规划如下：设ij目标函数：max f=max{0.487(x11+x21)+0.52(x12+x22)+0.61(x13+x23)+0.72(x14+x24)+0.487(x15+x25)+0.52(x16+x26)+0.64(x17+x27)}约束条件：0.487x11+0.52x12+0.61x13+0.72x14+0.487x15+0.52x16+0.64x17≤10.20.487x21+0.52x22+0.61x23+0.72x24+0.487x25+0.52x26+0.64x27≤10.20.487(x15+x25) +0.52(x16+x26)+0.64(x17+x27) ≤3.0272x11+3x12+x13+0.5x14+4x15+2x16+x17≤402x21+3x22+x23+0.5x24+4x25+2x26+x27≤40x11+x21≤8x12+x22≤7x13+x23≤9x14+x24≤6x15+x25≤6x16+x26≤4x17+x27≤8x11，x12，x13，x14，x15，x16，x17，x21，x22，x23，x24，x25，x26，x27≥0 利用LINGO数学软件包求解该线性规划，具体如下：model:max=0.487*(x11+x21)+0.52*(x12+x22)+0.613*(x13+x23)+0.72*(x14+x24)+0.487*( x15+x25)+0.52*(x16+x26)+0.64*(x17+x27);0.487*x11+0.52*x12+0.613*x13+0.72*x14+0.487*x15+0.52*x16+0.64*x17<10.2;0.487*x21+0.52*x22+0.613*x23+0.72*x24+0.487*x25+0.52*x26+0.64*x27<10.2;0.487*(x15+x25)+0.52*(x16+x26)+0.64*(x17+x27)<3.027;2*x11+3*x12+x13+0.5*x14+4*x15+2*x16+x17<40;2*x21+3*x22+x23+0.5*x24+4*x25+2*x26+x27<40;x11+x12<8;x12+x22<7;x13+x23<9;x14+x24<6;x15+x25<6;x16+x26<4;x17+x27<4;得出结果如下：Global optimal solution found.Objective value: 20.40000 Total solver iterations: 10Variable Value Reduced CostX11 8.000000 0.000000X21 0.000000 0.000000X12 0.000000 0.000000X22 7.000000 0.000000X13 9.000000 0.000000X23 0.000000 0.000000X14 0.4444444 0.000000X24 5.555556 0.000000X15 0.000000 0.000000X25 0.000000 0.000000X16 0.8980769 0.000000X26 0.000000 0.000000X17 0.000000 0.000000X27 4.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 20.40000 1.0000002 0.000000 1.0000003 0.000000 1.0000004 0.000000 0.0000005 12.98162 0.0000006 12.22222 0.0000007 0.000000 0.0000008 0.000000 0.0000009 0.000000 0.00000010 0.000000 0.00000011 6.000000 0.00000012 3.101923 0.00000013 0.000000 0.000000有上述结果可知：第一辆车装载情况如下：第一辆车：10.2—8*0.487—9*0.613—1*0.72=0.067（m）第二辆车：10.2—7*0.5 2—5*0.72—4*0.64=0.0.4 （m）。
fitting boxes题解
fitting boxes题解装箱问题作为计算机图形学、优化领域的一个重要问题，广泛应用于物流、仓储、制造业等领域。
在现实生活中，我们从购物装箱到航空货运，都无法避免地要面临装箱问题。
本文将介绍装箱问题的背景、算法概述，以及常见的装箱算法，旨在帮助读者更好地理解装箱问题及解决方法。
装箱问题的基本目标是在有限的容器空间内，尽可能多地装入物品。
为了实现这一目标，我们需要在物品之间留出尽可能少的空隙。
在实际应用中，装箱问题可以分为两类：一是已知物品大小和容器尺寸的装箱问题，二是未知物品大小和容器尺寸的装箱问题。
为了解决装箱问题，研究者们提出了许多算法。
在这里，我们主要介绍四种常见的装箱算法：最大矩形算法、最小面算法、最大面算法和最小包围矩形算法。
3.1 最大矩形算法最大矩形算法的基本思想是在容器中寻找一个最大的矩形区域，用以容纳物品。
该算法首先将物品按照大小进行排序，然后依次将最大矩形区域的边界与物品的边界进行比较，将可以放入矩形的物品放入，并更新矩形边界。
3.2 最小面算法最小面算法的基本思想是在容器中寻找一个最小的平面，使得物品可以紧密排列在该平面上。
算法首先计算物品的平均尺寸，然后将物品按照大小进行排序，接着依次将最小面与物品进行比较，将可以放入最小面的物品放入，并更新最小面。
3.3 最大面算法与最小面算法相反，最大面算法是在容器中寻找一个最大的平面，使得物品可以紧密排列在该平面上。
算法过程与最小面算法类似，但需要注意的是，在计算最大面时，要考虑到物品之间的空隙。
3.4 最小包围矩形算法最小包围矩形算法的基本思想是首先计算物品的最小包围矩形，然后将容器分割成若干个子区域，再将物品放入子区域中。
算法过程较为复杂，但可以有效提高装箱效率。
在实际应用中，不同的装箱算法具有各自的优缺点。
最大矩形算法和最小面算法较为简单，但容易出现过紧的情况，导致空间利用率不高；而最大面算法和最小包围矩形算法则可以有效提高空间利用率，但计算复杂度较高。
数学建模 - 第八章 装箱问题
而且存在 zopt ( I ) 任意大的实例 I ，使
17 z FF ( I ) ( zopt
17 . 10
第八章 装箱问题
物品
Example 2 Solution :
I : C = 10
J1
J2
J3
J4
J5
J6
wj
6
7
4
有最小标号的箱子 .
计算复杂性为 O(nlogn).
但精度比NF
算法更高
§3
装箱问题的近似算法
Theorem 3.4 Theorem 3.5 对任意实例 I ，
zFF ( I ) 7 . zopt ( I ) 4
7 17 1 4 10 20
17 z FF ( I ) zopt ( I ) 1 10
4
J4
2
J5
8
J6
3
wj
首先，将 J1 放入 B1; 由于 J2 在 B1 中放不下, 所
J1 J2 J3 J4 J5 J6
以关闭 B1 , 将 J2 放入 B2 ,
J3 在 B2 中放不下(不考虑
B1 是否能装), 所以关闭 B2
将 J3 放入 B3，…
J1 J2
J4 J3 B3 J5 J6 B5
n w 易证 zopt (I ) N 1 z ( I ) 2 N NF w Ck 显然，由 k z ( I ) 得 i i 1
i 1 opt
zNF ( I ) z 2 N 2 k ,( N 反证 如果 NF ( I ) 则 对任意 k 2 ) 得 i R= 2,…, 2 NF 1, zopt ( I ) N 1 由于起用第 2i 个箱子是因为第 2i -1 个箱子放不下第2i
装箱设计问题
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期： 2011 年 07 月 16 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：摘要题目要求及有关数据我们可以把平板车装包装箱问题看成线性规划的问题进行处理，首先我们把求浪费空间最小转化为求装包装箱空间最大的问题，同时我们取每种包装箱的数量为变量，然后我们根据每一种包装箱的厚度列出每一辆车的装货时占用的空间，我们先把两辆车看成一个整体，求出两辆车占用的空间之和，然后再把这个整体分成两部分，也就是求每一辆车上所装包装箱的种类和数量。
这样我们就可以以占用两辆车的空间之和作为目标函数MAX S。
根据题意装在每一辆车上的包装箱总厚度不能超过平板车的长度；装在每一辆车上的总重量不能超过每一辆平板车的最大载重量；还有对第5、6、7类包装箱占用的空间不能超过题目中的要求；同时，装在两辆车上的同类包装箱的总件数不能超过题目给的件数，并且变量要取正整数。
在这些约束条件之下对目标函数进行求解，我们使用LINGO软件进行编程求解，最后得到装包装箱的总的最大空间为2039.9cm，即浪费的最小空间为0.1cm。
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设有许多具有同样结构和负荷的箱子 B1，B2，… 其数量足够供所达到目的之用 . 每个箱子的负荷（可为 长度、重量 etc.）为 C ,今有 n 个负荷为 wj，0 < wj < C j = 1，2，…，n 的物品 J1，J2，…，Jn 需要装入箱内. 装箱问题：
是指寻找一种方法，使得能以最小数量的箱子数将 J1，J2，…，Jn 全部装入箱内.
§1 装箱问题的描述
Go back
BP 的应用举例：
1 .4 4 7 1 0 .0 8 1 0
1、下料问题 轧钢厂生产的线材一般为同一长度, 而用
户所需的线材则可能具有各种不同的尺寸, 如何根据用
户4、提生出产的流要水求线，的用平最衡少问的题线材给截定出流所水需节的拍定C货, 如；何设置 2最、少二的维工作BP站，玻（璃厂按生一产定出的长紧宽前一约定束的）大沿的着平流板水玻线璃将,任
它不能与 I1 中的物品共用箱子, 但可能与 I2 中的
物品共用箱子，由于放 I2 中物品的 I 2 个箱子的剩余
总长度为 C I2 C wj jI2
在最好的情形下，C 被 I3 中的物品全部充满，故剩
下总长度
w
wj
jI3
C
将另外至少与
Iw 2 C
中个的附物品加如的何？箱子
.
§2 装箱问题的最优解值下界
Go back
问 L(a) ？ L1 未必！ 如 (w ja, j1:n)
Corollary 3.1 记 L 2 m a x L ( a )0 a C 2 ,a 为 整 数
则 L2 是装箱问题的最优解的一个下界，且 L2 L1 .
Proof : L2 为最优解的下界是显然的 .
(若证明 L(0) L1 ，则可得 L2 L1 )
n
w
i
Theorem 3.1
BP 最优值的一个下界为 L 1
i1
C
.
a 表示不小于 a 的最小整数.
Theorem 3.2
设 a 是任意满足 0 a C 2的整数,对 BP 的任一实例 I ,
记 I1物 品 jw jC a, I2物 品 jC a w j C 2,
I3物 品 jC 2w ja,
装箱问题的其他一些提法：
1、在装箱时，不仅考虑长度，同时考虑重量或面积、 体积 etc . 即二维、三维、…装箱问题；
2、对每个箱子的负荷限制不是常数 C ; 而是 Ci, i1: n.
3、物品J1，J2，…，Jn 的负荷事先并不知道，来货是 随到随装；即 在线（On-Line）装箱问题；
4、由于场地的限制，在同一时间只能允许一定数量的 箱子停留现场可供使用, etc .
n
i1
C((BBPP)) s.t. wjxij Cyi i1: n (1)
j1
n
xij 1
j 1: n (2)
i1
y i 0 0 y i o r 1 1 , ,0 x i j x i 0 j o 1 r 1 i ,j i , j 1 : 1 n : . n .
§2 装箱问题的最优解值下界
则装箱问题的整数线性规划模型为：
(BP )
n
min z yi
n
i1
s.t. wjxij Cyi i1: n (1)
j1
i1
y i 0 o r 1 ,x i j 0 o r 1i ,j 1 :n .
第八章 装箱问题
上述装箱问题是这类问题最最早优被目标研可究如的何，提也？是提 法上最简单的问题，称为一维装箱问题 . 但 BPNPC.
但务用 分户配所到各需工玻作璃站的上长宽. 称可为能带有附许加多优差先异约，束如的何根BP据. 用
户提出的要求，用最少的平板玻璃截出所需的定货;
3、计B算P 机是的容存量贮限问制题的工如厂要选把址大问小题不的同特的例共之一10.MB 的
文件拷贝到磁盘中去，而每张磁盘的容量为 1. 44 MB ,
已知每个文件的字节数不超过 1.44 MB , 而且一个文件
L(0)0I2
max0,(jn1wj
I2
C) C
当L I(2 a aL ) 2 = m I01a L x 时(0 I2 )，0 ,L m IL 1 1a 1 x I0 2 ,, (I j 2 I3 U w mIja3 x(是I2I所C 2 , 有L j 1I2 物w j品)L)C 1 .
组合优化理论
Combinatorial Optimization Theory
第八章 装箱问题
第八章 装箱问题
§1 装箱问题的描述 §2 装箱问题的最优解值下界 §3 装箱问题的近似算法
第八章 装箱问题
装箱问题（Bin Packing）是一个经典的组合优化 问题，有着广泛的应用，在日常生活中也屡见不鲜 .
则
L(a)I1I2m ax 0, (j I3w j(I2Cj I2w j))C
是最优解的一个下界 .
第八章 装箱问题
C
Proof : 仅考虑对 I1,I2,I3中物品No的te:装w 箱可能. 小C-于a 零
Q I1UI2 中物品的长度大于C/2 ,
C/2
又是 Q最优I每这L 3 (中解就个a )每的 需物I 个一要品1 物个需II1品2 下单 长界独m I 2度a 放.个x 至入箱0 ,少一 子(为j个 I.3w 箱aj, 子(，I2C aj I2w jI)1)C I2 I3
§1 装箱问题的描述
由于 wi < C，所以 BP 的最优解的箱子数不超过 n .
设约的束物条品y件i总（负 1 01荷）箱不否表子超则示B过：i 被一C使；旦用箱i子1:Bni ;被使用，放入 Bi
约束条xi件j （ 1 0 2）物否表品 则示J：j 放每入个箱物子品Bi 恰中好放i,入j 一1:个n 箱. 子中 .
不能分成几部分存贮，如何用最少的磁盘张数完成 .
第八章 装箱问题
§2 装箱问题的最优解值下界
改进显简由然单于的BP穷x ii是举 1 搜N,P索x -ijC法 问0 ，题( 减i， 少所j) 搜,以n 索y 求i工 解w C 作i考,量虑i,.j一如 1 是::尽分n可支.能
定是界它法的；一二个是最启优发mi解式n （. z近 似nz o py）ti 算i 1C法w i .