第四章 气体动理论
气体动理论
第十三章 气体动理论本章从理想气体的微观组成出发，假以统计性假设，推出理想气体的压强和温度公式，揭示了压强和温度的本质；提出了理想气体内能的概念，介绍了理想气体能量按自由度均分原理；阐述了理想气体的麦克斯韦速率分布率。
这称为气体动理论。
气体动理论的产生和发展凝聚了众多物理学家的智慧和心血。
早在1678年，胡克就提出了气体压强是由大量气体分子与器壁碰撞的结果的观点。
之后，在1738年，伯努利根据这一观点推导出压强公式，并且解释了玻意耳定律。
1744年，俄国的罗蒙诺索夫提出了热是分子运动表现的观点。
在19世纪中叶，气体动理论经克劳修斯、麦克斯韦和玻耳兹曼的努力而有了重大发展。
1858年，克劳修斯提出气体分子平均自由程的概念并导出相关公式。
1860年，麦克斯韦指出，气体分子的频繁碰撞并未使它们的速度趋于一致，而是达到稳定的分布，导出了平衡态气体分子的速率分布和速度分布。
之后，麦克斯韦又建立了输运过程的数学理论。
1868年，玻耳兹曼在麦克斯韦气体分子速率分布律中又引进重力场。
第一节理想气体状态方程一、状态参量1．状态参量概念如何描述系统的冷热变化规律，这就需要一些物理量。
假设气体的质量为 m ，其宏观状态一般可以用气体的压强p 、体积V 和温度T 三个物理量来描述。
如果在热力学过程中伴随着化学反应，还需要物质的量、摩尔质量 、物质各组分的质量等物理量来描述。
如果热力学系统处于磁场中，还需要电场强度E 、电极化矢量P 、磁场强度H 和磁化强度M 等物理量来描述。
选择几个描写系统状态的参量，称为状态参量。
2．状态参量分类按照不同的划分标准，状态参量可作如下划分：（1）按状态参量描写系统的性质划分可分为：V P E P H M几何参量：描述系统的空间广延性。
如体积 。
力学参量：描述系统的强度。
如压强 。
化学参量：描述系统的化学组分。
如各组分的质量，物质的量。
电磁参量：描述系统的电磁性质。
如电场强度 ，电极化强度 ，磁场强度 ，磁化强度 。
第四章气体动理论总结
第四章⽓体动理论总结第四章⽓体动理论单个分⼦的运动具有⽆序性布朗运动⼤量分⼦的运动具有规律性伽尔顿板热平衡定律(热⼒学第零定律)实验表明：若 A 与C 热平衡 B 与C 热平衡则 A 与B 热平衡意义：互为热平衡的物体必然存在⼀个相同的特征--- 它们的温度相同定义温度：处于同⼀热平衡态下的热⼒学系统所具有的共同的宏观性质,称为温度。
⼀切处于同⼀热平衡态的系统有相同的温度。
理想⽓体状态⽅程: 形式1:mol M PV =RT =νRTM形式2:222111T V p T V p ＝形式3: nkT P =n ----分⼦数密度(单位体积中的分⼦数) k = R/NA = 1.38*10 –23 J/K----玻⽿兹曼常数在通常的压强与温度下,各种实际⽓体都服从理想⽓体状态⽅程。
§4-2 ⽓体动理论的压强公式VNV N n ==d d 1）分⼦按位置的分布是均匀的2）分⼦各⽅向运动概率均等、速度各种平均值相等kj i iz iy ix iv v v v ++=分⼦运动速度单个分⼦碰撞器壁的作⽤⼒是不连续的、偶然的、不均匀的。
从总的效果上来看，⼀个持续的平均作⽤⼒。
2213212()323p nmvp n mv n ω===v----摩尔数R--普适⽓体恒量描述⽓体状态三个物理量： P,V T 压强公式122ω=mv理想⽓体的压强公式揭⽰了宏观量与微观量统计平均值之间的关系,说明压强具有统计意义；压强公式指出:有两个途径可以增加压强 1)增加分⼦数密度n 即增加碰壁的个数2)增加分⼦运动的平均平动能即增加每次碰壁的强度思考题：对于⼀定量的⽓体来说，当温度不变时，⽓体的压强随体积的减⼩⽽增⼤（玻意⽿定律）；当体积不变时，压强随温度的升⾼⽽增⼤（查理定律）。
从宏观来看，这两种变化同样使压强增⼤，从微观（分⼦运动）来看，它们有什么区别？对⼀定量的⽓体，在温度不变时，体积减⼩使单位体积内的分⼦数增多，则单位时间内与器壁碰撞的分⼦数增多，器壁所受的平均冲⼒增⼤，因⽽压强增⼤。
大学物理气体动理论
气体分子之间的相互作用力产生的势能， 由于气体分子之间的距离非常大，因此气 体分子的势能通常可以忽略不计。
分子动理论的基本假设
分子之间无相互作用力
气体分子之间不存在相互作用的力，它们之间只 存在微弱的范德华力。
分子运动速度服从麦克斯韦分布
气体分子的运动速度服从麦克斯韦分布，即它们 的速度大小和方向都是随机的。
分子碰撞的统计规律
分子碰撞的随机性
01
气体分子之间的碰撞是随机的，碰撞事件的发生和结果都是随
机的。
分子碰撞频率
02
单位时间内分子之间的碰撞次数与分子数密度、分子平均速度
和分子碰撞截面有关。
碰撞结果的统计规律
03
碰撞后分子的速度方向和大小的变化遵循一定的统计规律，可
以用概率密度函数来描述。
热现象的统计解释
大学物理气体动理论
• 引言 • 气体动理论的基本概念 • 气体动理论的基本定律 • 气体动理论的统计解释 • 气体动理论的应用 • 结论
01Biblioteka 引言主题简介气体动理论
气体动理论是通过微观角度研究气体 运动状态和变化的学科。它以分子运 动论为基础，探究气体分子运动的规 律和特性。
分子模型
气体动理论中，将气体分子视为弹性 小球，相互之间以及与器壁之间发生 弹性碰撞。通过建立分子模型，可以 更好地理解气体分子的运动特性。
对未来研究的展望
随着科学技术的发展，气体动理 论仍有很大的发展空间和应用前
景。
未来研究可以进一步探索气体分 子间的相互作用和气体在极端条 件下的行为，例如高温、高压或
低温等。
气体动理论与其他领域的交叉研 究也将成为未来的一个重要方向， 例如与计算机模拟、量子力学和
气体动理论
1atm = 76 cmHg =1.013×105Pa
2. 体积： 分子活动的空间 （并非分子大小的总和） 3. 温度： 物体冷热程度的量度
（反映分子热运动剧烈程度的量）
热力学温标： T= t +273.15 K
3
概念
平衡态： 一个孤立系统，宏观状态参量都不随时间 变化的状态。 （热动平衡）
宏观上各量均不变，而微观上分子热运动永不停息。
平衡过程： 在过程进行的每一时刻，系统都无限的 接近平衡态。 （准静态过程）
1 2 1 2
4
说明
(1) 平衡（准静态）过程是一个无摩擦 的、无限缓慢进行的理想化过程； (2) 除一些进行得极快的过程（如 爆炸过程）外，大多数情况下 都可以把实际过程看成是准静 态过程； (3) 准静态过程在状态图上可用一 条曲线表示, 如图： 图中每一个点代表一个平衡态， 一条曲线代表一个平衡过程。
15
§9-5 麦克斯韦速率分布律
一、速率分布
ห้องสมุดไป่ตู้
宏观上足够小 ——不计偏差，此区间内粒子速率均为 微观上足够大 ——区间内仍包含大量分子
速率 v1 ～ v2 ΔN1 ΔN1/N v2 ～ v3 ΔN2 ΔN2/N
… …
vi ～ vi +Δv ΔNi ΔNi/N
… …
分子数按速率 的分布 分子数比率 按速率的分布
结论 (1) 统计规律是大量偶然事件的总体所遵从的规律 (2) 统计规律和涨落现象是分不开的。
11
§9-4 理想气体的压强公式
一、理想气体的模型
宏观模型： 在任何情况下严格符合气体三个实验定律。
大学物理课后答案第四章
第四章 气体动理论一、基本要求1．理解平衡态的概念。
2．了解气体分子热运动图像和理想气体分子的微观模型，能从宏观和统计意义上理解压强、温度、内能等概念。
3．初步掌握气体动理论的研究方法，了解系统的宏观性质是微观运动的统计表现。
4．理解麦克斯韦速率分布律、速率分布函数和速率分布曲线的物理意义，理解气体分子运动的最概然速率、平均速率、方均根速率的意义，了解玻尔兹曼能量分布律。
5．理解能量按自由度均分定理及内能的概念，会用能量均分定理计算理想气体的内能。
6．了解气体分子平均碰撞频率及平均自由程的意义及其简单的计算。
二、基本内容1. 平衡态在不受外界影响的条件下，一个系统的宏观性质不随时间改变的状态。
2. 理想气体状态方程在平衡态下，理想气体各参量之间满足关系式pV vRT =或 n k T p =式中v 为气体摩尔数，R 为摩尔气体常量 118.31R J mol K --=⋅⋅，k 为玻尔兹曼常量 2311.3810k J K --=⨯⋅3. 理想气体压强的微观公式21233t p nm n ε==v4. 温度及其微观统计意义温度是决定一个系统能否与其它系统处于热平衡的宏观性质，在微观统计上32t kT ε=5. 能量均分定理在平衡态下，分子热运动的每个自由度的平均动能都相等，且等于2kT 。
以i 表示分子热运动的总自由度，则一个分子的总平均动能为2t i kT ε=6. 速率分布函数()dNf Nd =v v麦克斯韦速率分布函数232/22()4()2m kT m f e kTππ-=v v v7. 三种速率最概然速率p =≈v 平均速率==≈v 方均根速率==≈8. 玻尔兹曼分布律平衡态下某状态区间（粒子能量为ε）的粒子数正比于kT e /ε-。
重力场中粒子数密度按高度的分布（温度均匀）：kT m gh e n n /0-=9. 范德瓦尔斯方程采用相互作用的刚性球分子模型，对于1mol 气体RT b V V ap m m=-+))((2 10. 气体分子的平均自由程λ==11. 输运过程 内摩擦dS dz du df z 0)(η-=， 1133mn ηλρλ==v v 热传导dSdt dz dT dQ z 0)(κ-= 13v c κρλ=v 扩散dSdt dz d D dM z 0)(ρ-= 13D λ=v三、习题选解4-1 一根铜棒的两端分别与冰水混合物和沸水接触，经过足够长的时间后，系统也可以达到一个宏观性质不随时间变化的状态。
第四章 气体动理论
§4-1
分子动理论的基本观点
一、物质微观结构的物理图象 1、物质是由大量的微观粒子——原子或分子组 成的； 2、分子在作永不停息的无规则运动； 3、分子之间有相互作用力。 综上所述，一切宏观物体（不论它是气体、 液体、还是固体）都是由大量的原子或分子组 成的；所有分子都在不停的、无规则运动中； 分子之间有相互作用力。这就是关于物质微观 结构的三个基本观点。
(s t )
C2 引力： f1 t , C2、t均 0 r 斥力： f C 1 , C 、s均 0 2 1 s r t:4 ~ 7 s : 9 ~ 13
2、图线
（f—r图线）
三、分子间的势能曲线（Ep—r图线）
1、分子间的势能： dE p fdr
C1 C2 E p fdr ( s t )dr r r C1 C2 s 1 t 1 ( s 1)r (t 1)r
N pV RT NA
p nkT
温度 T 的物理意义
1 2 3 平 m v kT 2 2
1） 温度是分子平均平动动能的量度 平 T （反映热运动的剧烈程度）.
2）温度是大量分子的集体表现，个别分子无意义.
3）在同一温度下，各种气体分子平均平动动能均 相等。 注意 热运动与宏观运动的区别：温度所反 映的是分子的无规则运动，它和物体的整 体运动无关，物体的整体运动是其中所有 分子的一种有规则运动的表现.
由于热力学方法的局限性，我们对平衡态下系统内 部的情况不了解，从而对温度和理想 气体的理解 也很肤浅，对气体的压强更是一无所知，因此，为 了全面了解平衡态下的基本热学信息，我们必须用 分子物理学的方法从微观本质上加以认识。
• 气体动理论是统计物理学的基础； • 气体动理论是从微观的观点来研究气体的热学 性质； • 解释气体的温度、压强、热容、内能等的微观 本质； • 建立统计的概念。
第四章气体动理论
r
d
d →0
分子可看成质点
2 除碰撞的瞬间外，分子间及分子与器壁间无作用力 除碰撞的瞬间外， * 高度变化不大，分子受的重力忽略不计 高度变化不大，
f →0
3 分子间及分子与器壁间的碰撞为完全弹性碰撞 理想气体的无引力的弹性质点模型： 理想气体的无引力的弹性质点模型：
例2]
氧气的温度是300K，求（1）氧分子的 ε t ;（2）氧分子的方均 ， 氧气的温度是 ） （ ） 根速率;（ ） 根速率 （3）以此方均根速率运动的氧分子的动量 v 2 ;（4）设 （ ） m 在边长为0.1m的立方容器中 以 2 的立方容器中,以 在边长为 的立方容器中 v 运动的一个氧分子在两个相对 的器壁之间往返作弹性碰撞,试求器壁所受到的平均作用力 器壁 的器壁之间往返作弹性碰撞 试求器壁所受到的平均作用力;(5)器壁 试求器壁所受到的平均作用力 的单位面积上所受一个氧分子的平均作用力是多少,( 需要有多少 的单位面积上所受一个氧分子的平均作用力是多少 6)需要有多少 个以方均根速率运动的分子才能在器壁上产生1个大气压的压强 个以方均根速率运动的分子才能在器壁上产生 个大气压的压强,(7) 个大气压的压强 将上面所求的分子数与同一大小的容器中的氧气在300K和1个 大 和 个 将上面所求的分子数与同一大小的容器中的氧气在 气压下实际所含的分子数作一比较. 气压下实际所含的分子数作一比较
9
2. 压强公式的推导
ur vi
N个同类分子组成的 个同类分子组成的 气体，分子质量为m 气体，分子质量为
10
dI p 气体的压强： 气体的压强： = dAdt
v p = nm 3 2 p = nε t 3
气体动理论
2 x
2 y
2 z
1 2
3
二、理想气体的压强公式
对压强的统计解释
气体的压强是由大量分子 在和器壁碰撞中不断给器 壁以力的作用所引起的， 压强是气体分子给容器壁 冲量的统计平均量。
例: 雨点对伞的持续作用。
压强公式的推导：
单位时间内分子a作用在A面上的作用力:
l3 l2 z
y
v a vx A
Fa 2mvx vx 2l
§1 气体的微观图像
一、原子（atom)
“假如在一次浩劫中所有的科学知识都被摧毁， 只剩下一句话留给后代，什么语句可用最少的 词包含最多的信息?我相信，这是原子假说，即 万物由原子(微小粒子)组成.”——费曼
道尔顿确立 了原子概念
原子是化学元素的基本单元
现代的仪器已可以观察和测量原子的大小 以及它们在物体中的排列情况, 例如 X 光 分析仪,电子显微镜, 扫描隧道显微镜等.
引言
气体动理论是从气体分子热运动的观点出发， 运用统计方法研究大量气体分子的宏观性质和统 计规律的科学，它是统计物理学最基本的内容。 本章将根据气体分子模型，研究气体的压强与温 度等宏观性质和分子速率分布规律与能量分布规 律等统计规律，从微观角度揭示这些性质和规律 的本质，同时穿插介绍这些理论的一些应用.
2 x
2 y
2 z
v y
o
vv x
2
2 x
2 y
2 z
v z
12
2 1x
12y
12z
22
2 2x
22y
2 2z
……
N112 N112x N112y N112z N222 N222x N222y N222z
……
第四章气体动理论
第四章 气体动理论2-4-1选择题：1、处于平衡状态的一瓶氦气和一瓶氮气的分子数密度相同，分子的平均平动动能也相同，都处于平衡态。
以下说法正确的是：（A ）它们的温度、压强均不相同。
（B ）它们的温度相同，但氦气压强大于氮气压强。
（C ）它们的温度、压强都相同。
(D) 它们的温度相同，但氦气压强小于氮气压强。
2、三个容器A 、B 、C 中装有同种理想气体，其分子数密度n 相同，方均根速率之比4:2:1::222=C B A v v v ，则其压强之比C B A p p p ::为：(A) 1 : 2 : 4 (B) 1 : 4 : 8 (C) 1 : 4 : 16 (D) 4 : 2 : 13、一定量的理想气体贮于某一容器中，温度为T ，气体分子的质量为m . 根据理想气体的分子模型和统计假设，分子速度在x 方向的分量平方的平均值为: (A) 2xv =m kT 3 (B) 2x v = m kT331 (C) 2xv = m kT 3 (D) 2x v = m kT4、关于温度的意义，有下列几种说法：(1) 气体的温度是分子热运动平均平动动能的量度.(2) 气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义.(3) 温度的高低反映物质内部分子热运动剧烈程度的不同.(4) 从微观上看，气体的温度表示每个气体分子的冷热程度.上述说法中正确的是（A ） (1)、(2)、(4) （B ） (1)、(2)、(3)（C ） (2)、(3)、(4) (D) (1)、(3)、(4)5、两容器内分别盛有氢气和氦气，若它们的温度和质量分别相等，则：(A) 两种气体分子的平均平动动能相等.(B) 两种气体分子的平均动能相等.(C) 两种气体分子的方均根速率相等.(D) 两种气体的内能相等.6、一容器内装有N 1个单原子理想气体分子和N 2个刚性双原子理想气体分子，当该系统处在温度为T 的平衡态时，其内能为(A)⎪⎭⎫ ⎝⎛++kT kT N N 2523)(21 (B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛++kT kT N N 2523)(2121(C)kT N kT N 252321+ (D) kT N kT N 232521+7、有一截面均匀的封闭圆筒，中间被一光滑的活塞分割成两边，如果其中的一边装有0.1kg 某一温度的氢气，为了使活塞停留在圆筒的正中央则另一边应装入同一温度的氧气质量为：（A ） kg 161 (B) 0.8 kg (C ) 1.6 kg (D) 3.2 kg8、若室内生火炉以后，温度从15°C 升高到27°C ，而室内的气压不变，则此时室内的分子数减少了：(A) 0.5% (B) 4% (C) 9% (D) 21%9、有容积不同的A 、B 两个容器，A 中装有单原子分子理想气体，B 中装有双原子分子理想气体。
第四章气动理论(1)
(1)单一性 (p，T 处处相等)； 平衡态的特点 (2)物态的稳定性—— 与时间无关； (3)自发过程的终点； (4)热动平衡(有别于力平衡).
§3-1 气体动理论的基本概念
四 气体的压强、体积、温度(宏观量)
（1）宏观可测量p取决于微观量n、 k 的统计平均值！ （2）增大p的方法有二：增大n；增大 k ！
（3）理想气体压强公式只适用于平衡态！
大学物理
三、理想气体温度公式（牢记）
理想气体压强公式
2 p ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ k 3
理想气体状态方程
k
p nkT
3 kT 2
统计意义：温度是 气体分子平均平动 动能大小的量度！
两个方程
1、R-------气体状态方程。
m PV RT M
2、K-------气体状态方程。
P nkT
（1）m:理想气体实际质量。 （2）M气体分子摩尔质量。 （3）R普适气体常量。 （1）n理想气体分子数密度。 （2）k波尔兹曼常量。
大学物理
§8-2
理想气体的压强和温度
两个假设
（一） 个体假设（力学性质假设；或理想气体分子微观模型）： 1 气体分子的大小比分子之间的距离小得多，可忽略其大小而视为质点， 其运动遵循牛顿运动定律。 2 除碰撞瞬间，气体分子之间以及分子与容器器壁之间的相互作用力可 忽略不计，所受重力也可忽略不计。 3 气体分子之间的碰撞以及分子与器壁之间的碰撞是完全弹性碰撞。 （二） 集体假设（统计性假设）： 1 平衡态气体每个分子的运动速度各不相同，且通过碰撞不断发生变化。 2 平衡态气体分子的位置处在容器空间内任一点机会（概率）是一样的。 即，分子按空间位置的分布是均匀的。 3 平衡态气体分子的速度指向任何方向的机会（概率）是一样的。即， 分子速度按方向的分布是均匀的。(推导压强公式）
气体动理论
0
a vd v Nv0
2 v0
v0
a dv 1 N
2N a 3v0
八 热学
1 N N Nf ( v ) d v a d v av0 2 3 1.5 v0 1 .5 v 0
2 v0 2 v0
a 2 v vf ( v ) d v v dv Nv0 0 0
T ( K)，t ( o C)
平衡态
t T 273.15
若某种气体处于热平衡、力学平衡与化学平衡之中， 就说它处在热力学平衡状态。
八 热学
与外界没有能量交换，内部没有能量转换，
也没有外场作用。 气体分子的热运动和相互碰撞永不停息，
在宏观上表现为热动平衡状态——
密度均匀、温度均匀、压强均匀。
M mol N A m
M 代入 pV RT M mol
分子数密度
M Nm
N R p T V NA
N n V
p nkT
R 玻尔兹曼常量 k 1.38 10 23 J/K NA
八 热学 2 理想气体的压强公式和温度公式 分子热运动的统计规律 分子热运动具有无序性与统计性。 气体处在平衡状态时，在容器中密度处处 均匀，因此—— 沿各个方向运动的分子数目相等，分子速 度在各个方向的分量的各种平均值也相等。
8 RT M mol RT 1.60 M mol
八 热学 2）方均根速率2 Nhomakorabeav
0
2
v v 2 f ( v) d v
v
2
3k T m
3RT RT 1.73 M mol M mol
八 热学
3）最概然速率 v p
第4章气体动理论
00:30
kT B. v v v m0
2 x 2 y 2 z
3kT C. v v v m0
2 x 2 y 2 z
2 2 D. v x v2 v y z 0
投票人数:0
5. 关于温度的意义，有下列几种说法： 00:30 (1)气体的温度是分子平均平动动能的量度； (2)气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具 有统计意义； (3)温度的高低反映物质内部分子运动剧烈程度的不同; (4)从微观上看，气体的温度表示每个气体分子的冷热 程度。 上述说法中正确的是（ ）。 A. B. C. D. （1）（2）（4） （1）（2）（3） （2）（3）（4） （1）（3）（4）
投票人数:0
23. 麦克斯韦速率分布曲线如图4-4所示，图中Ａ，Ｂ
两部分面积相等，则由图可知（ ）。 00:30
A O B
f (v )
A. v0 为最概然速率
B. v0 为平均速率
C. v0 为方均根速率
D. 速率大于和小于 v0 的 分子数各占一半
v0 图4-4
v
投票人数:0
24. 一定量的理想气体，在容积不变的条件下，当温
H2 O2
）。
00:30
D. 无法判断
图4-1
投票人数:0
2. 一密闭容器中储有4 kg氢气和4 kg氦气，它们处于 平衡状态。那么，氢气和氦气的体积比和压强比分别 为（ A. B. C. D. ）。 2:1，1:1 2:1，2:1 1:1，1:1 1:1，2:1 00:30
投票人数:0
3. 在没有外力场作用下，分子质量为m0的大量气体分 子处于热动平衡态时，下列各式中成立的是（ ）。
气体动理论
理想气体的状态方程：
M pV RT M mol
M 令： M mol
pV RT
R 8.31J / (mol K )
——普适气体常数
T不变
玻意耳定律 PV=constant 盖—吕萨克定律 V/T=constant 查理定律 P/T=constant
dN ( h ) N
dN （h） /N
在身高h附近dh高度间隔内的人数占总人数的比率为：
dN （h）N f (h)dh
（ f h） dN （h） / Ndh
则
称为分布函数
表征在身高 h附近单位高度间隔内的人数占总人数的比率。
f (h)dh 1
称为归一化条件
f(h)对h所画出的曲线称为分布曲线 那么身高在 h--h+dh 间的人数占总 人数的比率为：
§6-3
1.微观模型
理想气体的压强公式
一、理想气体的微观模型和统计假设
（1）气体分子的大小与气体分子间的距离相比可以忽略，即气 体分子可当作质点，不占体积； （2）气体分子的运动服从经典力学规律，分子之间以及分子与 器壁之间的碰撞均为完全弹性碰撞； （3）分子之间除碰撞瞬间外，不计相互作用力；
2.平衡态气体分子的统计性假设
(2)统计性 从大量分子的整体的角度看，存在一定的统计规 律（大量偶然性从整体上所体现出来的必然性 ），即 统计性。
3、统计方法
统计方法的特点：用大量分子的平均性质的了 解代替个别分子的真实性质。 注意：起伏现象
3、分布函数和平均值 偶然事件：大量出现不可预测的事件。多次重复观察 同样的事件，可获得该偶然事件的分布， 从而得到其统计规律。 例1：统计某城市中的商店按职工数的分布情况。
第四章气体动理论
第四章气体动理论4.1 关于理想气体的基本假设是什么?【答】理想气体是气体分子运动论和热学所研究的，由大量做无规则热运动的分子组成的最简单的系统，它是客观实际存在的许多真实气体的理想化的物理模型。
关于理想气体的基本假设如下：(1)气体的密度很小，因而气体分子问的平均距离比，分子本身的几何线度大很多’(2)气体分子之间的相互作用力随分子间距离的增大，而急剧地减小，当分子问的距离超过分子本身的几何线度很。
多时，分子间的相互作用力变得非常小，以至于可以忽略不-计；(3)气体分子是完全弹性的刚性球，因此，气体分子之间的相互碰撞以及气体分子与容器壁的碰撞都是完全的弹-性碰撞；(4)气体分子之间的相互碰撞很少，即在绝大部分时间内，气体分子都是自由运动的。
也就是说，气体分子的运动轨道是由许多直线段组成的不规则的折线，各直线线段的长度比分子本身的几何线度大很多；(5)气体分子的运动速度很大，因此单位时间内气体分子之间的相互碰撞次数很多，在标准状态下，一般气体分子的运动速度为500米／秒左右，一个分子在1秒内所经历的碰撞次数为大约810次。
上述五条即是关于理想气体的基本假设，做了这样的基本假设后，气体的许多主要性质被突出了，例如，理想气体服从状态方程： PV=nRT这就为我们研究气体各状态参量——压强P、体积V和温度T之间的关系提供了方便。
做了上述基本假定之后，这样的理想气体虽然并不真实存在，它只是客观存在的真实气体的理想模型，但它与一般状态下的气体，例如，氢气、氨气和氧气等非常接近。
实际上，在压强不太高，温度不特别低的情况下，很多种真实气体都可以用理想气体来近似。
换句话说，由于对理想气体的基本假设是抓住了问题的本质，忽略了次要因素，因此，理想气体具有很好的普遍性和适用性，成为气体分子运动论和热学的典型的研究对象。
4.2 什么是动力学规律性?什么是统计规律性?【答】动力学规律性是从经典力学、经典电磁场理论以及其他物理学科的研究中总结出来的。
气体动理论 章节总结
气体动理论 章节总结第四章 气体动理论1.平衡态 在没有外界影响的条件下，系统的宏观物理性质不随时间变化的状态。
2.热力学第零定律系统A和系统B分别与系统C处于热平衡，那么当系统A和系统B接触时，它们也必定处于热平衡。
3.理想气体的状态方程RT M m pV =式中，普适气体常量8.31J /(mol K)R ∙=玻耳兹曼常量231.3810J /Kk -=⨯NkT pV =或4.理想气体的压强公式k n p ε32=压强是单位时间单位面积所受大量分子的平均冲量。
5.理想气体的温度公式kT k 23=ε 温度是分子的平均平动动能的统计平均值，反映了系统内大量分子无规则运动的剧烈程度。
6.自由度确定物体位置的独立坐标数目。
单原子分子 3 0 3双原子分子 3 2 5多原子分子 3 3 6t r i 分子自由度平动转动总刚性气体分子的自由度7.能量均分定理温度为T的平衡态下，气体分子每个自由度的平均能量都相等，而且等于kT 21根据能量均分定理，如果一个气体分子的自由度是 ,则它的平均能量就是i kT i 2=ε理想气体的内能为8.理想气体的内能mol μRT i E 2μ=9.麦克斯韦速率分布律速率分布函数NdvdN v f =)(物理意义：速率在v 附近的单位速率区间的分子数占分子总数的百分比麦克斯韦速率分布函数222/32)2(4)(v e kT m v f kT mv -=ππ三种统计速率最概然速率M RT M RT m kT v p 41.122≈==平均速率M RT M RT m kT v 60.188≈==ππ方均根速率M RTM RTm kT v v 73.1332rms ≈===。
第4章气体动理论
小球每次落入哪个狭槽是不
完全相同的，这表明在一次
实验中小球落入哪个狭槽中 是偶然的。 尽管一个小球落入哪个槽中 是偶然的，但大量小球的分 布规律则是确定的，即遵从
统计分布规律。
7
统计规律：当小球数N 足够大时小球的分布具有统计规律。
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
子，如果分子有 t 个平动自由度，r 个转动自由度，则气体分 子的平均动能为
1 i ( t r ) kT kT 2 2
单原子分子
双原子分子
多原子分子
3 kT 2
5 kT 2
6 kT 2
27
★ 理想气体的内能 实际气体的内能 气体分子热运动的各种形式的动能和势能的总和。 平动动能 分子动能 转动动能 振动动能 分子振动势能
i i
于1，称为概率的归一化条件。
6
小球在伽尔顿板中的分布规律
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
单位： 8.31J · mol-1 · K-1
4
★ 统计规律
一定条件下，大量偶然随机事件的整体具有确定的规律
性，这种规律称为统计规律。
对单个分子运用力学规律，对大量分子求统计平均值， 从而建立大量分子微观量的统计平均值与系统宏观量之 间的关系。这种关系就是所要寻求的统计规律。
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4-1 20个质点的速率分布如下解：⑴07165.31v Nv Nv ii i ==∑= ⑵012299.31v N v N v i N i i ==∑= ⑶03v v p = 4-2 容积为10L 的容器中由1mol CO 2气体，其方均根速率为1440Km/h ，求CO 2气体的压强。
解：分子总数为A N ,摩尔质量为M ，则分子数密度为AN V,分子质量为A M N ，因此由气体压强公式得222111333A A N M M p nmv v v V N V=== 代入数字求得52.3510p =⨯Pa4-3 体积为310-m 3，压强为51.01310⨯Pa 的气体，所有分子的平均平动动能的总和是多少？解：分子的平均平动动能为21322mv kT = 容器中分子数N nV =，又由压强公式P nkT =，可得容器中所有分子的平均平动动能总和为2133152222Nmv nV kT PV ===J 4-4 求压强为51.01310⨯Pa 、质量为3210-⨯Kg 、容积为31.5410-⨯m 3的氧气的分子平均平动动能。
解：由23p nw =可得312p w n=而Amol Amol MN M MN n V M V== 所以 213 6.22102mol AM Vp w MN -==⨯J4-6 一篮球充气后，其中有氮气8.5g ，温度为17℃，在空气中以65km/h 做高速飞行。
求：(1) 一个氮分子（设为刚性分子）的热运动平均平动动能、平均转动动能和平均总动能； (2) 球内氮气的内能； (3) 球内氮气的轨道动能。
4—6解：⑴J kT k 211000.623-⨯==ε 转ε= J kT 211000.422-⨯= J kT 201000.125-⨯==总ε. ⑵J kT iM M E mol 31083.12⨯=⋅=. ⑶J mv E k 39.1212==. 4-7 质量为50.0g ，温度为18.0℃的氦气装在容积为10.0L 的封闭容器内，容器以200v =m/s 的速率做匀速直线运动，若容器突然停止，定向运动的动能全部转化为分子热运动的动能，试问平衡后氦气的温度和压强将增大多少？（王彬第二版206页8题）解：3222232311141020013.310222 6.0210A E mv v N μ--⨯===⨯⨯=⨯⨯J 23232213.310 6.4233 1.3810E T k --⨯⨯∆===⨯⨯K325350108.2110 6.420.66 1.0131041010MR p T V μ---⨯⨯⨯∆=∆=⨯=⨯⨯⨯⨯Pa 4—8解：⑴kT 21 在平衡态下分子运动的能量平均分配给每一个自由度的能量为kT 21. ⑵在平衡态下，分子平均动能为kT 23.⑶在平衡态下，自由度为i 的分子平均总能量为kT i2.⑷自由质量为M ，摩尔质量为mol M ，自由度为i 的分子组成的系统的内能为RT iM M mol 2⋅ ⑸1摩尔自由度为i 的分子组成的系统的内能为RT i2. ⑹1摩尔自由度为3的分子组成的系统的内能为23RT,或者说热力学系统内1摩尔分子的平均平动动能之和为23RT.4-9 假定太阳是由氢原子组成的理想气体恒星，且密度是均匀的，压强为141.3510p =⨯Pa ，已知氢原子质量271.6710m -=⨯kg ，太阳质量301.9910M =⨯kg ，太阳半径为86.9610R =⨯m ，试估算太阳内部的温度。
解：太阳密度为343M MV R ρπ==则氢原子的数密度n 为343Mn mm R ρπ==由p nkT =可估得太阳的温度为374 1.16103P pmR T nk Mkπ===⨯K4-10 一容器被中间的隔板分成相等的两半，一半装有氦气，温度为250K ；另一半装有氧气，温度为310K 。
二者压强相等。
求去掉隔板两种气体混合后的温度。
解：设氦气和氧气摩尔数分别为1v 和2v ，混合前后的温度分别为1T 和2T ，混合后温度为T 。
因混和前二者压强相等、体积相等，所以有1v RT 22v RT =内能11122235,22E v RT E v RT == 混合前后内能不变，有1211223522E E E v RT v RT =+=+所以11221235222843522v T v T T v v +==+K 4-11 烟粒悬浮在空气中受空气分子的无规则碰撞而作布朗运动的情况可用普通显微镜观察，它和空气处于同一个平衡态。
一颗烟粒的质量为161.610-⨯Kg,求在300K 时它悬浮在空气中的方均根速率。
此烟粒如果是在300K 的氢气中悬浮，它的方均根速率与在空气中的相比会有什么不同。
解：方均根速率为38.810-=⨯m/s4-12 容器中储有氧气，其压强为p ＝0.1 MPa(即1atm)温度为27℃，求(1)单位体积中的分子n ；(2)氧分子的质量m ；(3)气体密度ρ；(4)分子间的平均距离e ；(5)平均速率v ；(6)方均根速率2v ；(7)分子的平均动能ε． 4—12解：⑴3241045.2-⨯==m kT Pn ⑵Kg M m mol 26231032.51002.6-⨯=⨯= ⑶313.0m kg RT PM mol ==ρ ⑷m n e 931042.71-⨯= ⑸s m M RTv mol58.4468==π ⑹s m M RTv mol87.48232==⑺201004.125-⨯==kT k ε4-13 容积1V =m 3的容器内混有251 1.010N =⨯个氧气分子和252 4.010N =⨯个氮气分子，混合气体的压强是52.7610⨯Pa 。
求：(1)分子的平均平动动能；（2）混合气体的温度。
解：（1）534.14102K E pV ==⨯J 21128.2810K KE E N N N ω===⨯+J （2）24003T kω==K 4-14 将1Kg 氦气和M Kg 氢气混合，平衡后混合气体的内能是62.4510⨯J ，氦分子平均动能是21610-⨯J ，求氢气质量M 。
解：32w kT =所以22903w T k ==K 539.04102He molME RT M ==⨯J而 261.5510H He E E E =-=⨯J 又252H molME RT M == 所以20.51H M =Kg4-15 某些恒星的温度达到108K 的数量级，在此温度下原子已不存在，只有质子存在，试求：（1）质子的平均动能是多少电子伏特？（2）质子的方均根速率多大？解：⑴ev kT k 9.1223==ε ⑵ s m M RTv mol621058.13⨯==4-16 (1) 火星的质量为地球质量的0.108倍，半径为地球半径的0.531倍，火星表面的逃逸速度多大？以表面温度240K 计，火星表面CO 2和H 2分子的方均根速率多大？以此说明火星表面有CO 2而无H 2（实际上，火星表面大气中96％是CO 2）。
(2) 木星的质量为地球的318倍，半径为地球的11.2倍，木星表面的逃逸速度多大？以表面温度130K 计，木星表面的H 2分子的方均根速率多大？以此说明木星表面有H 2（实际上，木星表面大气中78％的质量是H 2,其余的是He,其上盖有冰云，木星内部为液态甚至固态氢）。
4-16 解：（1）由机械能守恒RGMv R GMmmv 20212==-得 sm v s m M RTv s m v R R M M v mol/1073.1/1069.33/1005.5*322213⨯=⨯==⨯==∴同理地火地地火火（2） 略4-17 一瓶气体由N个分子组成。
试证不论分子速率分布函数的形式如何，总有v ≥解：由2()0v v -≥可得22222()20v v v vv v v v -=-+=-≥v ≥4-18 设有N 个粒子的系统，其速率分布如题4-13图所示。
求 (1)分布函数)(v f 的表达式； (2)a 与0v 之间的关系；(3)速度在1.50v 到2.00v 之间的粒子数; (4)粒子的平均速率;(5)0.50v 到10v 区间内粒子平均速率。
4-18解：（1）从图上可得分布函数表达式)()2()()0(/)(0000=≤≤=≤≤=v Nf v v v a v Nf v v v av v Nf)2(0)2(/)0(/{)(00000v v v v v Na v v Nv av v f ≥≤≤≤≤=f(v)满足归一化条件，但这里纵坐标是Nf(v)而不是f(v),故曲线下的总面积为N ， （2）由归一化条件可得2003200v Na N a d v N dv v av N v v v =⇒=+⎰⎰（3）可通过面积计算N v v a N 31)5.12(00=-=∆ （4）N 个粒子的平均速率：题4-18图020020911)(1)(00v avdv v av dv v vNf Ndv v vf v v v v v =+===⎰⎰⎰⎰∞（5）N av v v a a N v v av N dv Nv av N NN vdN N NN vdNv v v v v v v v v 4183)5.0)(5.0(2115.0247115.0000100215.00215.0115.000000==-+=∴====⎰⎰⎰区间内的粒子数到区间内粒子平均速率：到4-19试求氢气在300K 时分子速率在10p v -m/s 与10p v +m/s 之间的分子数所占百分比。
解：当300T =K 时，氢气的最概然速率为：1579p v ===m/s 根据麦克斯韦分布率，在v v v -+∆区间内的分子数占分子总数的比率为23/224()2mv kTN m e v N kTππ-∆=∆ 按题意，()10,(10)1020p p p v v v v v =-∆=+--=m/s 。
而10P v，所以可取P v v ≈=，代入可得1201.05%PN N v -∆=⨯= 4—20 解:速率为v 的分子的平均动能为221mv E k =,则mvdv dE k =， 麦克斯韦速率分布率可改写为:kk k kTE k kTmv kTmv dE E f dE eE kT mvdve mv kT dv v e RTmdv v f N dN k )()1(2)21()1(2)2(4)(23221223222322=====---ππππ即分子按平均动能分布率,其中分布函数:kT Ek k k e E KTE f -=23)1(2)(π 参考最概然速率的定义,令()0=k k dE E df 由上式可得最概然动能kT E kp 21=因mkTv p 2=则kp p E kT mv 2212==4-21 解:(1) 3172331033.33001038.11038.1--⨯=⨯⨯⨯==m kT p n (2) m nd 5.71033.3109212117202=⨯⨯⨯⨯==-ππ4-22 设电子管温度为300K ，如果要管内分子的平均自由程大于10cm 时，则应将它抽到多大压强？设分子的有效直径d ＝3×10-8cm 。