《电动力学》第29讲§5.4波导管、谐振腔
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《电动力学》第29讲§5.4波导管、谐振腔
比为σ/εω，在良导体情形此值>>1，因而k2的实部可以忽 略
k 2 i
k i i
2
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13
四、趋肤效应和穿透深度
E E0e zei( zt )
2
波幅降至原值1/e的传播距离称为穿透深度δ。由上式
1 2
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14
五、导体表面上的反射 反射系数R定义为反射能流与入射能流值比。由上式得
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33
§4.4 谐振腔、波导管
三、谐振腔
腔内电磁波的电场和磁场任一直角分量都满足亥
姆霍兹方程。设 u(x,y,z) 为 E 或 H 的任一直角分
量，有
2u k 2u 0
用分离变量法，令
u(x, y, z) X (x)Y ( y)Z(z)
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34
解 设两导体板与y轴垂直。边界 条件为在两导体平面上，
Ex Ez 0 H y 0
若沿z轴传播的平面电磁波的电 场沿y轴方向偏振，则此平面波 满足导体上的边界条件，因此 可以在导体板之间传播。
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29
§4.4 谐振腔、波导管
二、理想导体边界条件
例 证明两平行无穷大导体平面之间可以传播一种偏振 的TEM电磁波。
36
§4.4 谐振腔、波导管
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22
§4.4 谐振腔、波导管
二、理想导体边界条件 在第二节中我们阐明在一定频率的电磁波情形，两不同介
质（包括导体）界面上的边值关系可以归结为
n n
(E2 (H2
E1) 0 H1) α
nn((DB22
D1) B1)
k 2 i
k i i
2
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13
四、趋肤效应和穿透深度
E E0e zei( zt )
2
波幅降至原值1/e的传播距离称为穿透深度δ。由上式
1 2
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14
五、导体表面上的反射 反射系数R定义为反射能流与入射能流值比。由上式得
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33
§4.4 谐振腔、波导管
三、谐振腔
腔内电磁波的电场和磁场任一直角分量都满足亥
姆霍兹方程。设 u(x,y,z) 为 E 或 H 的任一直角分
量，有
2u k 2u 0
用分离变量法，令
u(x, y, z) X (x)Y ( y)Z(z)
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34
解 设两导体板与y轴垂直。边界 条件为在两导体平面上，
Ex Ez 0 H y 0
若沿z轴传播的平面电磁波的电 场沿y轴方向偏振，则此平面波 满足导体上的边界条件，因此 可以在导体板之间传播。
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29
§4.4 谐振腔、波导管
二、理想导体边界条件
例 证明两平行无穷大导体平面之间可以传播一种偏振 的TEM电磁波。
36
§4.4 谐振腔、波导管
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22
§4.4 谐振腔、波导管
二、理想导体边界条件 在第二节中我们阐明在一定频率的电磁波情形，两不同介
质（包括导体）界面上的边值关系可以归结为
n n
(E2 (H2
E1) 0 H1) α
nn((DB22
D1) B1)
电动力学课件 4.4 谐振腔
k B 0
B
k E
2．有界空间中的电磁波
金属一般为良导体，电磁波几乎全部被反射。因此，若空间中 的良导体构成电磁波存在的边界，金属边界制约管内电磁波的存 在形式。在这种情况下， Helmholtz方程的解不再是平面波解而 受到导体界面边界条件的束缚。
3
二．理想导体边界条件
实际导体虽然不是理想导体，但是象银或铜等金属导体，对无线 电波来说，透入其内而损耗的电磁能量一般很小，接近于理想导体。 在一定频率的电磁波情形，两不同介质（包括导体）界面上的 边值关系可以归结为
E z A 3 s in k x x s in k y y c o11 sk z z
表明 A1、 A2、 A3中只有两个是独立的
3．谐振波型
（ 1）电场强度
E x , t E x e i t
E x E y E z m L1
m n A1 cos x sin y sin L1 L2 m n A2 sin x cos y sin L1 L2 m n A3 sin x sin y cos L1 L2 n p A1 A2 A3 0 L2 L3
0
C3 0
C
z
O
因此
E x A1 co s k x x sin k y y sin k z z
A1 C 1 D 2 D 3
L3
B
Ex
D
（ 2）考虑 x L 1 E x 有 x L1 0 x
sin k x L 1 0
L2
A
k x A1 sin k x x sin k y y sin k z z
光学谐振腔
1
谐振腔是在微波频率下工作的谐振元件，它是一个任意形状的 由导电壁包围的，并能在其中形成电磁振荡的介质区域，它具 有储存电磁能及选择一定频率信号的特性. 根据不同用途，微波谐振腔的种类是多种多样的：矩形腔、圆 柱形腔、球形腔。
《光学谐振腔理论》PPT课件
规定：光线出射方向在腔轴线的上方时， 为正；反之，为负。
当凹面镜向着腔内时，R取正值；
当凸面镜向着腔内时，R取负值。
精选ppt
18
2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
用一个二阶方阵描述入射光线和出射光线的坐标变换。该 矩阵称为光学系统对光线的变换矩阵T。
r2
2
A
C
B D
r1
1
近轴光线通过焦距为f的薄透镜的变换矩阵
r2 2
r1
1 f
r1 1
r2
2
1
1
f
0
1
r1
1
1
2
r1
r2
P1 P2
精选ppt
22
2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
精选ppt
23
2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
精选ppt
24
2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
2）光线在谐振腔中往返一周变换矩阵
y
sin
p
l
z e im ,n, pt
k k xex k ye y kzez ,k x m / a,k y n / b,kz p / l
m,n,p c / k
c
m / a 2 n / b2 p / l 2
精选ppt
6
2.1
光学谐振腔概论
相邻两个模式波矢之间的间距
精选ppt
8
2.1 光学谐振腔概论
谐振腔内只能存在满足以下条件的光场：经腔内往返一周再回 到原来位置时，与初始出发波同相（即相差是2的整数倍—— 相长干涉
q
q 2cLq
c 2L
2 2L q2L q q
q
电动力学 第四章 电磁波的传播
将式(c)代入式(b)得：
E(x) (ey E0eikx) E0eikx ey E0 ey eikx ikE0eikx ey ex 0
0
E(x) ex 0 （d）
式(d)表示：电场与波传播方向垂直！
总结有
E(x) ey E0 eikx
超高频SHF[微波] 3~30GHz
10~1cm SDTV, 通信,雷达
极高频EHF[微波] 30~300GHz 10~1mm
通信, 雷达
光频 [光波]
1~50THz
300~0.006m 光纤通信
中波调幅广播（AM）：550KHz~1650KHz 短波调幅广播（AM）：2MHz~30MHz 调频广播（FM）：88MHz~108MHz 电视频道（ TV）：50MHz~100MHz ; 0MHz~220MHz
E)
t
B 0
E
B
t
E
自由
（1）
在无电荷和电流(J =0,ρ = 0）空间，或均匀
介质空间，麦氏方程组变为
B
E
t
B 0
E
B
t
E 0
（2）
对方程
E
B
两边取旋度有
t
E B
（a）
将式(a)代入上节
2
E
第四章2-波导和空腔(矩、圆形波导、谐振腔)
xa
H0z (x, y) 0
y
y0
H0z (x, y) 0
y
yb
H0z (s) H0z (x, y) X (x)Y ( y)
Hz H0 cos kxx cos ky y expikzz
m
n
kx
, a
ky b ,
m, n
0, 1, 2, ...
TE波 边界条件：电磁场切向分量连续
z
s
zˆ
z
s
对偶性Es
1 2
kz2
s
Ez z
is
Hz
Hs
1 2 kz2
s
H z z
is
Ez
用纵向分量表示横向场
可区分TE和TM波
s
zˆ
z
Ez x
Hx
i ky 2 kz2
E0 sin kx x cos ky y exp ikz z
H y
i kx
2
k
2 z
E0 cos kx x sin ky y exp ikz z
其中kz
2
Ez x
i
H z y
TM波，H z 0
Ey
2
1
k
2 z
ikz
Ez y
i
H z x
电动力学-第四章PPT课件
二、导体内的电磁波
1．基本方程（导体内部）
E
B
H
J
t
D
t
D 0
B 0
E iH H (i
E 0 H 0
)E
引入复介电场数
i
i i [ i ] 编辑 版p ppit
H i E
12
§4.3 有导体存在时电磁波的传播
2．导体中的平面波解
c2 1
00
22BE(())(())(())22BEtt((22))
0 0
2、时谐电磁波（单色、定态电磁波）
以一定频率作正弦振荡的波称为时谐电磁波（单色电磁波）。
B E((xxtt))B E((xx))eeiitt
2Ek2E 0 2Bk2B0
2 E
பைடு நூலகம்
k
2E
0
E 0
B
i
E
编辑版pppt
这样，反射和折射波就被变为部分偏振光（各
个方向上 E大小不完全相同）。
（2）布儒斯特定律：若
则反 射 波
，
2
即反E射∥波只0有 分量；若自然E光 入射，则反射波为完全线偏
振波。
三、全反射(略)
编辑版pppt
9
§4.3 有导体存在时电磁波的传播
由于导体内有自由电荷存在，在电磁 波的电场作用下，自由电荷运动形成传导 电流，而传导电流要产生焦耳热，使电磁 波能量有损耗。由此可见，在导体内部的 电磁场（波）是一种衰减波，在传播过程 中，电磁能量转化为热量。
3．导E 体i内磁H 场 与电H 场 的i 关 系 E k E i E
对良导体 H ( i )n ˆ E ( 1 2 i)n ˆ E e i 4 n ˆ E
电动力学4-4谐振腔分解
，
电磁场的任一直角分量 u(x, y, z) 满足: 2u k 2u 0
在边界上满足
Et
0, Hn
0, En n
0
令u X (x)Y ( y)Z (z)
2 X YZ 2Y XZ 2Z XY k 2 XYZ 0
x 2
y 2
z 2
1 2 X 1 2Y 1 2Z k 2 0 X x2 Y y 2 Z z 2
L1
L2
L3
mnp
2
k
2
( m )2 ( n )2 ( p )2
L1
L2
L3
讨论:①谐振腔内存在不同模式的谐振波模,对应不同的
(m,n,p), 为驻波.只有当激励信号频率 时m，np 谐振腔
才处于谐振态。
② m,n,p中只能有一个为零,若有两个为零,则 E 0
③ 对每一组值，有两个独立偏振波型.
TEM电磁波.
解:设导体板在xoz平面.法线沿y轴.根据导体表面边界条件:
Et 0, Hn 0 即：Ex Ez 0, H y 0
y
H
E
z
x
因此沿z方向传播,电场沿y方向偏振的电磁波可以传播.而另 一种偏振即 平行于导体面的偏振不能存在.
三、矩形截面谐振腔 z
L3 y
L1
x
L2
谐振腔壁分别为:x 0,L1.y 0,L2.z 0,L3.
④若 L1 L2 L3 .最低振荡频率的波模为(1,1,0)
f1,1,0
2
1
1 1. L12 L22
1,1,0
2
1 L12
1 L22
1,1,0与L1, L2同量级
该波型为（1，1，0）型，
Ex Ey 0, Ez A3 sin L1 x sin L2 y
电磁场的任一直角分量 u(x, y, z) 满足: 2u k 2u 0
在边界上满足
Et
0, Hn
0, En n
0
令u X (x)Y ( y)Z (z)
2 X YZ 2Y XZ 2Z XY k 2 XYZ 0
x 2
y 2
z 2
1 2 X 1 2Y 1 2Z k 2 0 X x2 Y y 2 Z z 2
L1
L2
L3
mnp
2
k
2
( m )2 ( n )2 ( p )2
L1
L2
L3
讨论:①谐振腔内存在不同模式的谐振波模,对应不同的
(m,n,p), 为驻波.只有当激励信号频率 时m，np 谐振腔
才处于谐振态。
② m,n,p中只能有一个为零,若有两个为零,则 E 0
③ 对每一组值，有两个独立偏振波型.
TEM电磁波.
解:设导体板在xoz平面.法线沿y轴.根据导体表面边界条件:
Et 0, Hn 0 即：Ex Ez 0, H y 0
y
H
E
z
x
因此沿z方向传播,电场沿y方向偏振的电磁波可以传播.而另 一种偏振即 平行于导体面的偏振不能存在.
三、矩形截面谐振腔 z
L3 y
L1
x
L2
谐振腔壁分别为:x 0,L1.y 0,L2.z 0,L3.
④若 L1 L2 L3 .最低振荡频率的波模为(1,1,0)
f1,1,0
2
1
1 1. L12 L22
1,1,0
2
1 L12
1 L22
1,1,0与L1, L2同量级
该波型为（1，1，0）型，
Ex Ey 0, Ez A3 sin L1 x sin L2 y
电动力学ppt课件
a)
b)
B与 E E B
E, B, k
同相位；
E构 B成 右E手 k螺 E旋关0系
c) E v，振幅比为波速（因为
B E,
B,
k k
相互垂直且
B
k
E
）。
12
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（5）波形图
假定在某一时刻（ t t0），取 E, B 的实部。
k
13
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（2）波长与周期 波长 2
k
周期 T 1 2 f
波长定义：两相位差为 2
两等相面相位差：k(Rs Rs
的等相面间的距离。
) 2 Rs Rs
2
k
波长、波 k k 2
v f
速、频率
v
2
间的关系 T 1 2 v
f
T
（3）横波特性(TEM波） k E k B 0
第四章
电磁波的传播
1
本章重点：
1、电磁场波动方程、亥姆霍兹方程和平面电磁波 2、反射和折射定律的导出、振幅的位相关系、偏振 3、导体内的电磁波特性、良导体条件、趋肤效应 4、了解谐振腔和波导管中电磁波的运动形式
本章难点：
1、振幅的位相关系 2、导体内电磁波的运动 3、波导管中电磁波解的过程
2
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9
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2．平面电磁波的传播特性 平面波：波前或等
相面为平面，且波
（1）解为平面波
设
S
面ES上为x相,t与位kE垂k0直eix的kx平k面tR。s 在
沿等相面法线方向
传播。
x
电动力学_16谐振腔与波导管
Ez
(x,
y,
z)
A3
sin
kx x sin
ky
yeikz z
A3 D1D2
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x a
y
b
kx
m
a
ky
n
b
m, n 0,1,2,...
不能同时为零
E 0 k x A1 k y A2 ik z A3 0
其余两个常数 Ai 由激发源功率确定 。
4．
x
x0 0
[C1kx sin kx x D1kx cos kx x][...] x 0 0
同理 y 0 Ex y0 0
C3 0
D1 0
z 0 Ex z0 0
C2 0
Ex A1 cos k x x sin k y y sin k z z A1 C1D2 D3
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其中
E(x,
y)
满足亥姆霍兹方程
2 ( x 2
2 y 2
)E(x,
y) (k 2
kz 2 )E(x, y)
0
令 u(x, y) 代表电场强读任意一个直角坐标分量，它
也必然满足上述方程。令：u(x, y) X (x)Y ( y) 则有
d2X dx2
kx2X
0
d 2Y dy2
k y 2Y
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（3）分离变量法求解
u(x, y, z) X (x)Y ( y)Z (z)
2 X YZ 2Y XZ 2 Z XY k 2 XYZ 0
x 2
y 2
z 2
1 2 X 1 2Y 1 2Z k 2 0 X x 2 Y y 2 Z z 2
电磁场理论课件 4-5 波导管
Ex x
x0
0
z
Ex x
Akx C sin kx y ei(kzzt) 0
A
Ex A1 cos kx x sin ky yei(kzzt)
=
0
ax
相似地: Ey A2 sin kx x cos ky yei(kzzt)
x 0, Ez 0 B 0
y 0, Ez 0 D 0
2
2
2
E Ex Ey
TM11 : Ez A3 sin kx x sin k y yei(kz zt)
Hz 0
Ey Ex 0 kx A1 k y A2 0
x y
k x A1 k y A2 ik z A3 0
Ez 0 kx A1 k y A2 0
在波导管的横截面上，场是谐变的。其分布情况直接取 决于m和n这两个常数的值。不同的m和n的组合对应不同的场 结构。我们称之为不同的波型或模式，一组（m,n）的值组成 一个模式，TM波记为TMmn，TE波记为TEmn。在实际问题 中，我们总是选定一个模式来传递电磁波的。
c.10 c.01
1 ; a 1 ; b
c.11
1 2 1 2 ; a b
其中，对于TE10 波（又称为主波），通常对于矩形 波导总是取a>b，于是 fc,10 给出矩形波导中的最小 截止频率。凡是频率比截止频率 fc,10 小的电磁波不 能在波导内传输。和 fc,10 对应的波长为
复习
1. 理想导体边界条件 Et 0
En 0 n
2．谐振腔内的波型 E x,t E x ei t
E
x
E
y
E
z
A1
cos
m
L1
A2
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17
1、有界空间中的电磁波 2、理想导体边界条件 3、谐振腔 4、高频电磁能量的传输 5、矩形波导中的电磁波 6、截止频率 7、TE10波的电磁场和管壁电流
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§4.4 谐振腔、波导管
一、有界空间中的电磁波 第一节研究了在无界空间中，电磁波最基本的存在形式为
R
E
2
1
E
1
20
20
2
1
2
1 2
1
20
由上式可见，电导率愈高，则反射系数愈接近于1。
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15
1、只要电磁波频率不太高，一般金属导体都可以看作良 导体。良导体内部没有自由电荷分布，电荷只能分布于导 体表面上。
2、导体中电磁波的表示式为
E ( x, t )
E e e αx i( βxt ) 0
波矢量k的实部β描述波的传播的相位关系，虚部α描述波 幅的衰减。β称为相位常数，α称为衰减常数。
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16
3、对于高频电磁波，电磁场以及和它相互作用的高频电 流仅集中于表面很薄一层内，这种现象称为趋肤效应。
4、对于微波或无线电波，反射系数接近于1，只有很小一 部分电磁能量透入导体内部而被吸收掉，绝大部分能量被 反射出去。因此，在微波或无线电波情形下，往往可以把 金属近似地看作理想导体，其反射系数接近于1。
平面电磁波，这种波的电场和磁场都作横向振荡，称这种 类型的波为横电磁(TEM)波。 在有导体存在的电磁波情形中，由于电磁波与导体的相互 作用，电磁波主要是在导体以外的空间或绝缘介质内传播， 只有很小部分的电磁能量才能透人导体浅表层内。
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19
§4.4 谐振腔、波导管
一、有界空间中的电磁波
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11
三、平面波从介质入射到导体表面
由
kx
x
ix
k
(0) x
ky y i y 0
x 0
y 0， y 0
x k x(0) k (0) sin 0
沿
z方 向 z衰ez 减 ）ez
（即
分界面指向导体内部，波
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12
三、平面波从介质入射到导体表面 对于良导体情形，这些公式还可以简化。k2的虚部与实部之
献，它引起能量耗散。
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8
二、 导体内的电磁波
在一定频率下，对应与绝缘介质的亥姆霍兹方程，在
导体内部有方程，当解满足条件 ▽∙E = 0 时代表导体中可
能存在的电磁波。
rr
2E k 2E 0
(gEr 0) k
uv B
i
r E
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9
二、 导体内的电磁波 方程形式上也有平面波解
E ( x, t )
E ei(kxt ) 0
k为复数，因此k是一个复矢量，即它的分量一般为复数。
k β iα
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10
二、 导体内的电磁波 导体中电磁波的表示式为
E ( x, t )
E e e αx i( βxt ) 0
由此式可见，波矢量k的实部β描述波的传播的相位关 系，虚部α描述波幅的衰减。β称为相位常数，α称为衰减 常数。
比为σ/εω，在良导体情形此值>>1，因而k2的实部可以忽 略
k 2 i
k i i
2
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13
四、趋肤效应和穿透深度
E E0e zei( zt )
2
波幅降至原值1/e的传播距离称为穿透深度δ。由上式
1 2
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14
五、导体表面上的反射 反射系数R定义为反射能流与入射能流值比。由上式得
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复电容率的物理意义 H i( i )E
右边两项分别代表位移电流和传导电流。传导电流与电场
同相位，它的耗散功率密度为1/2 Re（J*∙E）= σE02/2。位 移电流与电场有90°相位差，它不消耗功率。相应地，在 所定义的复电容率中，实数部分ε代表位移电流的贡献， 它不引起电磁波功率的耗散，而虚数部分是传导电流的贡
由于电荷外流，每一体元内的电荷密度减小。ρ的变化率
由电荷守恒定律确定:
gJ =
t
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2
一．导体内的自由电荷分布
解此方程得
gJ =
t
t
(t) 0e
由上式，电荷密度随时间指数衰减，
衰减的特征时间τ
(ρ值由ρ0减小到ρ0/e 的时间)为
山东大学物理学院 宗福建
在理想导体（电导率 ，反射系数 R 1 ）这
一极限情形下，电磁波几乎全部被导体反射，进入导体的 穿透深度趋于零。对于良导体，即便有电磁波透入，其能 量也很小，而且只限于表层内。因此，导体表面自然构成 电磁波存在的边界。这种情况常见于高频（微波）技术中 的波导和谐振腔，后者是电磁振荡源，前者为传输这类电 磁波能量的通道。
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二、 导体内的电磁波
导体内部 ρ = 0，J = σE，麦氏方程组为
r E r H
r
B
r J
t
r D
r
t
Dr B
0 0
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二、 导体内的电磁波 对一定频率ω的电磁波，可令D = εE，B = μH，则有
D E B H
时谐（定态）
r
r
r E i H H (ri
《电动力学》第21讲
第四章 电磁波的传播（4）
§4.4 波导管、谐振腔
教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学物理学院
2014年11月28日
一．导体内的自由电荷分布
当导体某处有电荷密度ρ出现时，就有电流从该处向外流
出。从物理上看这是很明显的。因为假如某区域有电荷积 聚的话，电荷之间相互排斥，必然引起向外发散的电流。
Er 0 H 0
)
r E
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二、 导体内的电磁波
把这组方程和绝缘介质的方程组比较，差别仅在于第
二式右边多了一项σE，这项是有传导电流引起的。如果形
式上引入导体的“复电容率”
i
H iE
与绝缘介质的相应方程形式上完全一致。因此只要把
绝缘介质中电磁波解所含的ε换作ε' ，即得导体内的电磁 波解。
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一．导体内的自由电荷分布 良导体条件: 只要电磁波的频率满足ω<<τ−1 = σ/ε，就可
以认为ρ（t）= 0。 对于一般金属导体，τ的数量级为10−17s。 只要电磁波频率不太高，一般金属导体都可以看作良导 体。 良导体内部没有自由电荷分布，电荷只能分布于导体表 面上。
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