求向量组的秩与极大无关组(修改整理)

求向量组的秩与最大无关组

一、对于具体给出的向量组，求秩与最大无关组

1、求向量组的秩（即矩阵的秩）的方法：为阶梯形矩阵

【定理】矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.(三秩相等)

①把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A；

②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B；

③阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩．

【例1】求下列向量组a１=(1, 2, 3, 4)，a2 =( 2, 3, 4, 5)，a3 =(3, 4, 5, 6)的秩. 解1：以a１,a２,a３为列向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求.

因为阶梯形矩阵的列秩为2，所以向量组的秩为2．

解2：以a１,a２,a３为行向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为

阶梯形矩阵后可求.

因为阶梯形矩阵的行秩为2，所以向量组的秩为2．

2、求向量组的最大线性无关组的方法

方法1 逐个选录法

给定一个非零向量组A：α1, α2,…, αn

①设α1≠ 0，则α1线性相关，保留α1

②加入α2，若α2与α1线性相关，去掉α2；若α2与α1线性无关，保留α1，α2；

③依次进行下去，最后求出的向量组就是所求的最大无关组

【例2】求向量组：()()()1231,2,12,3,14,1,1,,,T T T

ααα=-=-=-的最大无关组 解：因为a 1非零，故保留a 1

取a 2，因为a 1与a 2线性无关，故保留a 1，a 2 取a 3，易得a 3=2a 1+a 2，故a 1，a 2 ，a 3线性相关。 所以最大无关组为a 1，a 2 方法2 初等变换法

【定理】 矩阵A 经初等行变换化为B ，则B 的列向量组与A 对应的列向量组有相同的线性相关性. 证明从略,下面通过例子验证结论成立.

向量组：α1=(1,2,3)T

, α2=(-1,2,0)T

, α3=(1,6,6)T

由上可得，求向量组的最大线性无关组的方法： （1）列向量行变换

①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A ； ②对矩阵A 进行初等行变换化为阶梯形矩阵B ；

③A 中的与B 的每阶梯首列对应的向量组，即为最大无关组．

【例3】求向量组 ：α1=(2,1,3,-1)T

, α2=(3,-1,2,0)T

, α3=(1,3,4,-2)T

, α4=(4,-3,1,1)T

的秩和一个最大无关组, 并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。

解 以α1,α2,α3,α4为列构造矩阵A , 并实施初等行变换化为行阶梯形矩阵求其秩：

()⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--

⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭123423141-13-3113305-510,,,324105-51010210-11-2A αααα---⎛⎫ ⎪

⎪→ ⎪ ⎪

⎝⎭

1133011200000000 知r (A )=2, 故向量组的最大无关组含2个向量

而两个非零行的非零首元分别在第1, 2列, 故α1,α2为向量组的一个最大无关组

事实上，()⎛⎫ ⎪

⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭1211010000αα-， 知r (α1,α2)=2, 故α1,α2 线性无关 为把α3,α4用α1,α2线性表示, 把A 变成行最简形矩阵 10

2

-101-1200000

000⎛⎫ ⎪

⎪

→= ⎪

⎪

⎝⎭A B

记矩阵B=(β1, β2, β3, β4),因为初等行变换保持了列向量间的线性表出性，因此向量α1,α2,α3,α4与向量β1, β2, β3, β4之间有相同的线性关系。

()312412210101

212,2000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪==+-=-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

ββββββ而

因此α3=2α1-α2, α4=-α1+2α2

【例4】求下列向量组的一个最大无关组，其中：

()11,2,0,3α=-()22,5,3,6α=--()30,1,3,0,α=()42,1,4,7α=--()55,8,1,2.α=-

解：以给定向量为列向量作成矩阵A ，用初等行变换将A 化为阶梯形矩阵B

再利用初等行变换，将B 再化成行最简形矩阵C .

用最大线性无关组表示其它向量的方法为： ①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A ； ②对矩阵A 进行初等行变换化为阶梯形矩阵B ； ③把阶梯形B 进行初等行变换化为行最简形矩阵C ；

④根据行最简形矩阵列向量的分量，用最大无关组表示其它向量．

【例5】 求向量组，，，的秩和一个最大无关组.

解：

(1) 当且时，，故向量组的秩为3，且是一个最大无关组；

(2) 当时，，故向量组的秩为3，且是一个最大无关组；

初等矩阵A, B, C 初等变换行作为 求秩无关 B 中见 线性无关 C 做陪

(3) 当时，若，则，此时向量组的秩为2，且是一个最大无关组.若，则，此时向量组的秩为3，且是一个最大无关组.

（2）行向量列变换

同理, 也可以用向量组中各向量为行向量组成矩阵（即列向量的转置矩阵）, 通过做初等列变换来求向量组的最大无关组。

【例6】求向量组，，，，的一个最大无关组.

解：以给定向量为行向量作成矩阵A，用初等列变换将A化为行最简形:

（行向量列变换）

由于的第1，2，4个行向量构成的向量组线性无关，故是向量组的一个最大无关组.

方法3 线性相关法（了解）

若非零向量组A：α1, α2,…, αn线性无关，则A的最大无关组就是α1, α2,…, αn

若非零向量组A线性相关，则A中必有最大无关组

二、对于抽象的向量组，求秩与最大无关组常利用一些有关的结论，如：

1、若向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表示，则(Ⅰ)的秩不超过(Ⅱ)的秩

2、等价向量组有相同的秩

3、秩为的向量组中任意个线性无关的向量都是该向量组的最大无关组

【例7】设向量组的秩为.又设

，，

求向量组的秩.