求向量组的秩与极大无关组(修改整理)
求向量组的秩与极大无关组(修改整理)
求向量组的秩与最大无关组一、对于具体给出的向量组，求秩与最大无关组1、求向量组的秩（即矩阵的秩）的方法：为阶梯形矩阵【定理】矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.(三秩相等)①把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A；②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B；③阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩．【例1】求下列向量组a１=(1, 2, 3, 4)，a2 =( 2, 3, 4, 5)，a3 =(3, 4, 5, 6)的秩. 解1：以a１,a２,a３为列向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求.因为阶梯形矩阵的列秩为2，所以向量组的秩为2．解2：以a１,a２,a３为行向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求.因为阶梯形矩阵的行秩为2，所以向量组的秩为2．2、求向量组的最大线性无关组的方法方法1 逐个选录法给定一个非零向量组A：α1, α2,…, αn①设α1≠ 0，则α1线性相关，保留α1②加入α2，若α2与α1线性相关，去掉α2；若α2与α1线性无关，保留α1，α2；③依次进行下去，最后求出的向量组就是所求的最大无关组【例2】求向量组：()()()1231,2,12,3,14,1,1,,,T T Tααα=-=-=-的最大无关组 解：因为a 1非零，故保留a 1取a 2，因为a 1与a 2线性无关，故保留a 1，a 2 取a 3，易得a 3=2a 1+a 2，故a 1，a 2 ，a 3线性相关。
所以最大无关组为a 1，a 2 方法2 初等变换法【定理】 矩阵A 经初等行变换化为B ，则B 的列向量组与A 对应的列向量组有相同的线性相关性. 证明从略,下面通过例子验证结论成立.向量组：α1=(1,2,3)T, α2=(-1,2,0)T, α3=(1,6,6)T由上可得，求向量组的最大线性无关组的方法： （1）列向量行变换①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A ； ②对矩阵A 进行初等行变换化为阶梯形矩阵B ；③A 中的与B 的每阶梯首列对应的向量组，即为最大无关组．【例3】求向量组 ：α1=(2,1,3,-1)T, α2=(3,-1,2,0)T, α3=(1,3,4,-2)T, α4=(4,-3,1,1)T的秩和一个最大无关组, 并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。
线性代数 第3.4节 向量组的极大线性无关组(修改)
, s 线性无关 r (1 , 2 , , s 线性相关 r (1 , 2 ,
, s ) s , s ) s
（3）如果向量组 1 , 2 , 线性表示，则
, s 可以由向量组 1 , 2 , , s ) r ( 1 , 2 , , t )
定义4：
矩阵的行向量组的秩，就称为矩阵的行秩; 矩阵的列向量组的秩，就称为矩阵的列秩。
1 0 例2：讨论矩阵 A 0 0
（1） 矩阵A的行秩为3
矩阵A的行向量组是
1 2 0 0
3 1 1 4 0 5 0 0
的行秩和列秩
1 2 3 4
(1,1, 3,1) (0, 2, 1, 4) (0, 0, 0, 5) (0, 0, 0, 0)
1 2
向量组的等价关系具有以下三个性质：
（1）自反性：一个向量组与其自身等价； （2）对称性：若向量组 A 与 B 等价，则 B 和 A 等价； （3）传递性：A 与 B 等价, B 与 C 等价，则 A 与 C 等价。
定理1： 设 1 , 2 , (1) 向量组 1 , 2 , (2) s t 则向量组
, s )
2 4 2 1 2 1 , 2 , 3 的 例如： 向量组 1 3 5 4 1 4 1
秩为2。
注：
（1）零向量组的秩为0。 （2）向量组 1 , 2 , 向量组 1 , 2 ,
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4 1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
1求下列向量组的秩与一个极大线性无关组
习题4.31.求下列向量组的秩与一个极大线性无关组： (1)[]12,1,3,1T α=-, []23,1,2,0Tα=-，[]31,3,4,2T α=-,[]44,3,1,1Tα=-．(2)[]11,1,1,1T α=, []21,1,1,1Tα=--， []31,1,1,1Tα=--,[]41,1,1,1Tα=---．(3)[]11,1,2,4T α=-, []20,3,1,2T α=，[]33,0,7,14Tα=,[]41,1,2,0T α=-,[]52,1,5,6Tα=．分析 向量组的秩等于该向量组构成的矩阵的秩, 所以求向量组的秩可以转化为求矩阵的秩. 先把向量构成矩阵通过矩阵的初等行变换成阶梯形, 通过阶梯形便可得到矩阵的秩, 它也就是该向量组的秩, 而阶梯形的阶梯头所在的列对应的向量便构成该向量组的一个极大线性无关组.解 (1) []123423141133113301123241000010210000αααα--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦, 所以该向量组的秩为2, 且1α, 2α为它的一个极大线性无关组.(2) []123411111111111101011111001111110001αααα--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=−−→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦, 所以该向量组的秩为4, 且1α,2α,3α,4α为它的一个极大线性无关组.(3) []1234510312103121301101101217250001042140600000ααααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 所以该向量组的秩为3, 且1α,2α,4α为它的一个极大线性无关组.2.计算下列向量组的秩，并判断该向量组是否线性相关. (1)[]11,1,2,3,4T α=-，[]23,7,8,9,13Tα=-，[]31,3,0,3,3T α=----,[]41,9,6,3,6Tα=-.(2)[]11,3,2,1T β=--, []22,1,5,3T β=-，[]34,3,7,1Tβ=-, []41,11,8,3Tβ=---,[]52,12,30,6Tβ=-．解 (1) []123413111311173901122806000039330000413360000αααα--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦所以该向量组的秩为2, 小于向量的个数4, 所以线性相关.(2)[]123451241212412313111201548257830001111313600000βββββ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥=−−→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦所以该向量组的秩为3, 小于向量的个数5, 所以线性相关.3.设[]11,2,1T α=-, []22,4,T αλ=, []31,,1Tαλ=.(1) λ取何值时1α,2α,3α线性相关? λ取何值时1α,2α,3α线性无关? 为什么? (2)λ取何值时3α能经1α,2α线性表示? 且写出表达式.解 (1)[]1231211212402211002αααλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦当2λ≠且2λ≠-时, 矩阵的秩为3与向量个数相同, 所以此时该向量组线性无关.当2λ=或2λ=-时, 矩阵的秩为2小于向量个数, 所以此时向量组线性相关. (1) 当2λ=时, 秩([]12αα)=秩([]123ααα)=2, 此时3α能经1α,2α线性表示.表达式的系数为方程组[]123X ααα=的解, 而此时该方程组的解为120,1.2x x =⎧⎪⎨=⎪⎩所以表达式为3α=212α. 当2λ=-时, 秩([]12αα)=1, 秩([]123ααα)=2, 两者不相等, 所以不能线性表示.当2λ≠且2λ≠-时, 秩([]12αα)=2, 秩([]123ααα)=3, 两者不相等,所以不能线性表示.4.下述结论不正确的是( )，且说明理由．(A) 秩为4的４×５矩阵的行向量组必线性无关. (B) 可逆矩阵的行向量组和列向量组均线性无关. (C) 秩为r(r<n)的m ×n 矩阵的列向量组必线性相关. (D) 凡行向量组线性无关的矩阵必为可逆矩阵.解 (A) 正确. 如果行向量组线性相关则行向量组的秩必小于行向量的个数4, 即矩阵的行秩小于4, 而矩阵的行秩等于矩阵的秩, 因此矩阵的秩小于4, 这与矩阵的秩为4矛盾! 所以行向量组必线性无关.(B) 正确. 可逆矩阵必为满秩矩阵, 即n n ⨯的可逆矩阵的秩为n , 而矩阵的秩等于行秩和列秩, 所以矩阵的行秩=列秩=n , 因此行向量组的秩和所含向量个数相同, 据此可知该行向量组必线性无关; 同理列向量组也必线性无关.(C) 正确. 列向量组含有n 个向量, 又由于列向量组的秩(即列秩)等于矩阵的秩r , 而r<n , 即列向量组的秩小于向量组所含向量的个数, 据此列向量组必线性相关.(D) 设111001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 易知该矩阵的行向量组线性无关, 但是它不是方阵, 所以不是可逆矩阵. 所以该选项不正确.综上所述应选D.。
线性代数 3-6 第3章6讲-极大线性无关组和秩(2)
0 0
1 0
1 0
1 4
0
B
4
(3) 将其余向量用该极大无关组线性表示.
0 0 0 0
0
化为梯形阵后每个阶梯选一个向量得一个极大无关组：1,2,5 ；
(3) 把矩阵B继续作初等行变换：
1 0 3 2 1 1 0 3 2 1 1 0 3 1 0
B 0 1 1 1
0
0
1
1
1
0 0
1
1
1
0
0 0 0 4 4 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1
所以向量组1，
，
2
， n 与向量组e1，e2，
，en等价.
5
本讲内容
01 极大线性无关组和向量组的秩 02 向量组的秩和矩阵的秩的关系
二、向量组的秩和矩阵的秩的关系
定理3.7 设A是一个m n矩阵，则A 的秩等于A 的行秩，也等于A 的列秩.
记1，
，
2
， n
是A
的列向量组 (m
维)，1，2，
，m是A
的行向量组 (n
维)，
则
r( A)
r
(1，
，
2
，n )
r
(1，
，
2
，m ).
7
二、向量组的秩和矩阵的秩的关系
例3 求向量组的秩与极大无关组：
1 (1,1, 4)T ,2 (1, 0, 4)T ,3 (1, 2, 4)T ,4 (1,3, 4)T .
1 1 1 1 1 1 1 1
解
A 1,2,3,4 1 0 2 3 0 1 1 2
b11
b1s
AB (1, 2,, s )=(1,2,, Nhomakorabean
3.3 向量组的极大无关组与秩
矩阵 C的列向量组能由 A的列向量组线性表示，
因此r ( C ) r ( A). 又因为 C T B T AT ,由上段证明知 r ( C T ) r ( B T ), 25 即r ( C ) r ( B).
练习
1.求下列向量组的秩:
T T (1) 1 (2, 1, 1) , 2 (5, 4, 2, ) , 3 (3, 6, 0) T T ( 3 , 1 , 0 , 2 ) ( 1 , 1 , 2 , 1 ) (2) 1 , , 2 3 (1, 3, 4, 4) T .
20
得
1 1 3 2 , 2 1 2 .
1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1
1 0 1 2 2 3 1 1 2 2 , 0 0 0 0 0 0
2 0 1 1 而 ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 3 1 3 1
9
定理3.10
若向量组A可由向量组B线性表示，则
r(A) ≤ r(B)。 推论 若向量组A与向量组B等价，则 r(A) = r(B)。
10
回顾
α1 α2
αm
矩阵A既对应一个行向量组,又对应一 个列向量组: 其中 i ( a i 1 , a i 2 , , a in ), i 1, , m a1 j 1 a2 j 2 j 1, 2, , n
28
23
则r 1 1 , 2 2 , , n n r t r ( A) r ( B) r ( A B) r ( A) r ( B)
r i 1 , i 2 , ir , j 1 , j 2 , jt
极大无关组与向量组的秩
提示: 极大无关组不唯一，但是所含向量的个数都相等
线性代数
16
例3 设矩阵 2 1 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 3 6 9 7 2 4 4 9
求矩阵A的列向量组的一个极大 无关组， 并把不属于极大无关组 的列向量用极大 无关组线性表示 .
0 1 0
即得
a 3 a1 a 2 , a5 4a1 3a 2 3a4
线性代数
20
练习：义1 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合V 非空， 且集合V对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称 集合 V 为向量空间．
说明 1．集合V 对于加法及数乘两种运算封闭指
知R(a1 , a2 , a4 ) 3，故a1 , a2 , a4线性无关
要把a3 , a5用a1 , a2 , a4线性表示，必须将 A再变 成行最简形矩阵.
线性代数
19
A
初等行变换
~
1 0 0 0
4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0
验证a1 , a 2 , a 3 , 是R 3的一个基，并把 b1 , b2用这个基 线性表示.
线性代数
27
解 要证a1 , a2 , a3是R 的一个基，只要证 a1 , a2 , a3 线性无关，即只要证 A ~ E.
设
即 x11 (b1 , b2 ) (a1 , a 2 , a 3 ) x 21 x 31 记作B AX .
k1 k n 0时, 才有 k1 1 k 2 2 k n n 0 成立 .
线性代数
8
2. 对于任一向量组, 不是线性无关就是 线性相关 .
4[1].3向量组的秩和极大线性无关组
![4[1].3向量组的秩和极大线性无关组](https://img.taocdn.com/s3/m/6e3036264b35eefdc8d333e1.png)
引子: 线性相关组中含有线性无关的部分向量组. 一、等价向量组
定义（等价）： 定义（等价）：
如果向量组 α 1 , α 2 ,..., α t中的每个向量都可以由 向量组
β 1 , β 2 ,..., β s 线性表出，则称向量组 {α 1 , α 2 ,..., α t }可以由向量组 { β 1 , β 2 ,..., β s }线性表出。
0 2 2 1 1 1 2 5 0 2 1 3 1 1 3 3
～
1 0 0 0
5 1 1 0 9 = ( β1 , β 2 , β 3 , β 4 , β 5 ) 0 0 1 −2 0 0 0 0 0 2 0
2 1 0 1 0 1 = 2 + 1 ; 0 0 0 0 0 0
14
三、 思考题
1、求下列向量组的秩，并求其最大线性无关组： 求下列向量组的秩，并求其最大线性无关组：
α1 = (1,0, 3,1),α 2 = ( −1, 3,0, −1),α 3 = (2,1,7, 2), α 4 = (4, 2,14,0).
2、一个向量组的秩是否确定？其极大无关组是 一个向量组的秩是否确定？ 否唯一？ 否唯一？
13
推论9(结论要记住) 推论9(结论要记住) 9(结论要记住 设 C m × n = A m × s B s × n ，则 R ( C ) ≤ R ( A ), R ( C ) ≤ R ( B ). 证 设矩阵 C和A用其列向量表示为
C = (c1 ,L, c n ), A = (a1 ,L, a s ).
1 0 A= 1 0 0 2 2 1 1 1 2 5 0 2 1 3 1 1 3 3
3-2 向量组的秩和最大无关组
充分性: 若 R( A, B ) R( A) r , 则 a1,…, ar 为(A, B)的一 个最大无关组, 当然向量组 B 可由 a1,…, ar 线性表示, 从而向量组 B 可由向量组 A 线性表示.
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定理3 向量组 B 可由向量组 A 线性表示的充要条件是
向量组的秩 设 A 为一向量组, A 中线性无关向量组所含向量个 数的最大值 r, 称为向量组 A 的秩, 记为 R(A).
规定{0}的秩为 0. 提示: 当 s n 时, n 维向量组 a1,…, as 线性相关. 这是因为 R ( a 1 , , a s ) n s
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§3.2 向量组的秩和最大无关组
一、向量组的秩和最大无关组 二、等价向量组
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一、向量组的秩和最大无关组
设 A 为一 n 维向量组( A {0}), A 中任一线性无关 向量组所含向量个数不多于 n 个. A 中线性无关向量组所含向量个数存在最大值: 存在正整数 r, 使得 A 中有 r 个向量线性无关, 而 A 中任意多于 r 个向量(若存在的话)线性相关.
T T T T T 若 x 满足 (A A)x 0, 则有 x (A A)x 0, (Ax) (Ax) 0, T
从而 Ax 0. 综上可知 Ax 0 与 (A A)x 0 同解, 设其解集为 S,
T
x 为 n 元未知量, 则有
R( A A) R( A) n - R(S )
证明向量组 a1, a2 与向量组 b1, b2, b3 等价. 证明 记 A (a1, a2), B (b1, b2, b3),
向量组的极大无关组与秩的定义
复习
向量组的等价
1.定义1: 设有两个 n 维向量组 (I ) : 1,2 ,,r (II ) : 1, 2 ,, s
若向量组（I ）中每个向量都可由向量组（II）线性
表示，则称向量组（I ）可由向量组（II）线性表示；
若向量组（I ）与向量组（II）可以互相线性表示，
则称向量组（I ）与向量组（II）等价。
向量组的极大无关组 定义1：设 向量组T 的部分向量组1,2 ,,r 满足
(i) 1,2,,r线性无关 (ii) T 中向量均可由1,2,,r线性表示。
或T 中任一向量. ,1,2 ,,r线性相关。 则称1,2 ,,r是向量组T 的一个极大线性
无关组，简称极大无关组。
极大无关组的含义有两层：1无关性; 2.极大性。
as1
a12 a22
as2
a1s 1 a2s 2
ass s
a11
K
a21
as1
a12 a22
as2
a1s a2s
ass
证明: 若r(K) s，则1, 2 ,, s线性无关。
r(K) s K可逆 1,2,,s可由1, 2,, s表示 1,2,,s与1, 2,, s等价。
1
2
C
s
12
s
O
O
.
r
O
r r(A) r(C) s.
推论1：若向量组1,2 ,,r可由向量组 1, 2 ,, s 线
性表示，且r >s,则向量组1,2,,r线性相关。
推论2：任意两个线性无关的等价向量组所含向量的个 数相等。
定理2：一个向量组的任意两个极大无关组所含向量的 个数相等。
若向量组(I )线性无关，且可由向量组(II )线性表
向量组的极大无关组与秩的求法
4
2 3 5 0 0 0 0
4时，r( A) 3 4, 1,2 ,3,4线性相关。
r(1,2 ,3 ) 3,1,2,3是一个极大无关组。
但，行摆行变换不行！
反例： 1 (1,0,0),2 (1,1,0),3 (1,1,0).
A
12
1 1
3
1
0 1 1
0 0
0 0
BT sn
AT ms
=CT
,
r(C) r(CT ) r(BT AT ) r(BT ) r(B).
r( Ams Bsn ) minr(A), r(B)
设有n两个维向量组1,2,,s与 1, 2 ,, s , 若
1,2 ,,s线性无关且
1
2
a11
a21
a12
a22
a1s 1
,
1 1
B
2
,C
2
.
am1
am2
ams
s
m
1
a11 a12 a1s 1
2
C
AB
a21
a22
a2s
2
m
a m1
am2
ams
s
r(C) r(1,2,,m ) r(1, 2,, s ) r(B).
Ams Bsn=C, r(C) r(AB) r(A).
r1 r3
1 1
1 1 1
0 0
0 0
r2r 1
1 1
1 0 1
0
0
0
0 1 0 0 0 0
r3r2
1 0
0 1
0 0
r1 r3
1 0
0 1
0
向量组的秩的求法
2. A
行初等变换
阶梯形矩阵 T
行初等变换
行简化阶梯形r (T ) T的非零行数
T0中r个坐标单位向量对应的 原向量 构成的向量组即为极大 无关组
例4 求向量组
(1, 1, 0, 0), T 3 (0, 1, 1, 1),
1 1 0 1 2 r 2 r1 0 1 1 2 4 ~ 0 1 1 2 4 0 1 1 1 1
3
1 1 r 3 ( 1 ) r 2 r4 r2 0 1 ~ 0 0 0 0 1 1 r4 r3 0 1 ~ 0 0 0 0
0 1 2 1 2 4 0 3 5 0 0 0
故向量组 1 , 2 , 3 , 4 , 5的秩为3.
又 1 , 2 , 4 是U的列向量组的一个最大 线性 无关组, 所以 1 , 2 , 4 也是A的列向量组的一个最大
线性无关组.
5
求向量组的秩及极大无关组的方法步骤求向量组的秩及极大无关组的方法步骤分量为列构成阶梯形矩阵的非零行数行简化阶梯形矩阵行初等变换行初等变换无关组构成的向量组即为极大原向量个坐标单位向量对应的行变换作初等无关组线性的列向量组的一个最大线性无关组的列向量组的一个最大也是所以
求向量组的秩及极大无关组的方法（步骤）
记作
0 1 2 1 2 4 0 0 0 0 3 5 0 1 2 1 2 4 0 3 5 0 0 0
1 2 3 4 5 U .
4
1 1 A ( 1 2 3 4 5) 0 1 0 0 0 0 A的列秩 r ( A) 3,
大学线性代数：向量组的秩
10
例：设 α1 = ( 2,1, 2, 2, −4), α 2 = (1,1, −1, 0, 2), α 3 = (0,1, 2,1, −1),
α 4 = ( −1, −1, −1, −1,1), α 5 = (1, 2,1,1,1).
求秩和一个极大线性无关组。
解：转置后排列为矩阵得 ⎛ 2 1 0 ⎜ ⎜ 1 1 1 ⎜ 2 −1 2 ⎜ ⎜ 2 0 1 ⎜ −4 2 −1 ⎝ ⎛1 ⎜ r3 ↔ r5 ⎜0 r2 ↔ r4 ⎯⎯⎯ →⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝ −1 1 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎟ ⎜ −1 2 ⎟ ⎜ 2 1 0 r1 ↔ r2 → ⎜ 2 −1 2 −1 1 ⎟ ⎯⎯⎯ ⎟ ⎜ −1 1 ⎟ ⎜ 2 0 1 ⎜ −4 2 −1 1 1⎟ ⎠ ⎝ 1 1 −1 2 ⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 1 −1 0 0 ⎟ r − 2 r ⎜ 0 3 2 r4 + r1 →⎜0 2 1 −1 3 ⎟ ⎯⎯⎯ ⎟ ⎜ −1 −2 1 −3 ⎟ ⎜0 ⎜0 −2 2 0 0 ⎟ ⎠ ⎝ −1 2 ⎞ ⎛1 1 r5 + 2 r4 ⎟ 4 − r3 ⎜ −1 1 ⎟ r r3 − r2 ⎜ 0 −1 r2 − 2 r1 → ⎜ 0 −2 −1 1 ⎟ ⎯⎯⎯ ⎟ ⎜ −1 1 ⎟ ⎜0 1 ⎜0 2 1 1⎟ ⎠ ⎝ 1 1 −1 2 ⎞ ⎛ 1 1 ⎟ ⎜ 1 −1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 3 −1 3 ⎟ → ⎜ 0 0 ⎟ ⎜ 0 −3 1 −3 ⎟ ⎜ 0 0 ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎠ ⎝0 0 1 −1 2 ⎞ ⎟ − 2 1 −3 ⎟ 2 0 0⎟ ⎟ −1 0 0 ⎟ 1 −1 3 ⎟ ⎠ 1 −1 2 ⎞ ⎟ −1 0 0 ⎟ 3 −1 3 ⎟ ⎟ 0 0 0⎟ 0 0 0⎟ ⎠
求向量组的秩与极大无关组(修改整理)
求向量组的秩与极大无关组(修改
整理)
求向量组的秩：
向量组的秩是指该组向量从线性无关到线性相关所需要的最小基数。
这个基数也可以称作向量组的维数或秩。
如果一个向量组包含n个向量，那么它的秩可以用n减去线性相关的向量对的数量来衡量，若n个向量中有k个向量对线性相关，则秩为n-k。
极大无关组：
极大无关组是指在某一向量组中，选取部分向量组成的子集，使得所有向量在此子集中不存在线性相关的情况，而这部分向量的总数却不能减少的一种集合。
因此，极大无关组就是指该向量组中不存在线性相关的子集，但它的数量最多、最大的一组向量组。
4.3 向量组的极大无关组与向量组的秩
1 1 2 一次行 B = 2 A= ① r r ③ kr ② k r i j i m m
则显然有
1, 2 ,, m 1 , 2 ,, m
行秩(A)=行秩(B)。
所以，初等行变换不改变矩阵的行秩与列秩。 类似有： 定理2.12 初等列变换不改变矩阵的行秩与列秩。
定理4 初等列变换不改变矩阵的行秩与列秩。 定理5 初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。 定理6
① 将向量组以列向量构成矩阵
② 对矩阵A 施以初等行变换化为行最简形矩阵;
A = (1, 2 ,, s ) ;
行
A = (1, 2 ,, s ) B = ( 1, 2 ,, s )
③ 所得矩阵的列向量组中基本单位向量对应 位置的向量即为所求 极大无关组，即
1, 2 ,, s 的极大无关组对应
2 n ) 则称向量组 1, 2 ,, m 为矩阵A的行向量组；
则称向量组 1, 2 ,, n 为矩阵A的列向量组。
1．矩阵的行秩与列秩 定义2 矩阵A的行向量组的秩，称为A的行 秩，记为行秩A); 矩阵A的列向量组的秩，称为A的列秩，记 为列秩A)。 例如，矩阵
r ( A) = 2 ,
推论3 向量组中任两个极大无关组等价。 【由等价的传递性】 推论4 向量组的极大线性无关组所含向量的 个数唯一。 【上节定理5？】 【称这个唯一的数为向量组的秩】
【称这个唯一的数为向量组的秩】 3. 向量组的秩 （1）秩的概念 定义2 向量组 1, 2 ,, s 的极大无关组 所含向量的个数称为该向量组的秩, 记为
1 0 1 1 A= 0 1 3 2
行秩A)＝2， 列秩A)＝2
向量组的极大无关组与向量组的秩
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27
Hale Waihona Puke 下一页*§4 向量组的极大无关组与向量组的秩 在第十一章中我们意已讲过了矩阵的概念。它于本节说讲的向量组的极大无关 组及向量组的秩有什么联系呢？我们先引入其概念。 定义1 设有向量组T，如果 (i) 在T中有r个向量 (ii) T中任意r+1个向量（若有的话）都线性相关。 那么称 a1 , a2 ,, ar 是向量组T的一个极大无关组。 例1 设向量组 1 (1,1), 2 (3,5), 3 (1,3) 1 ( 2 1 ), 所以 1 , 2 , 3 线性相关，既有 3 因 1 , 2 线性无关，而
证 设向量T:
1 (a11 , a 21 ,, a m1 )' 2 (a12 , a 22 ,, a m 2 )'
n (a1n , a 2 n ,, a mn )'
是矩阵A的列向量组。由定义知，向量组 a1 , a2 ,, an 若线性相关，即存在不全
k11 k 2 2 k r r
11 2 2 r r
0 (k1 1 )1 (k 2 2 ) 2 (k r r ) r
a1 , a2 ,, ar 线性无关，
则必有 即
k1 1 k 2 2 k r r 0
即
所以
4 1 3
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31
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同理可求得
5 1 2 3
□
一个向量由它所在的向量组中的极大无关组线性表示,其线性表达式是否唯 一呢?我们有下面的命题. 证 设 a1 , a2 ,, ar 是向量组T中的一个极大无关组, 是向量组T中任意 一个向量。 若 且又有 那么 因 命题12.12 一个向量由它所在向量组中极大无关组线性表示,其表达式唯一.
线性代数 3-5 第3章5讲-极大线性无关组和秩(1)
解
(1)
1，
2，
3
1，2，3
1
1
1
1
1
1 40
1 1 1 1 1 1 1
1 1 11
2
0
1，
2，3
1，
2，3
1
1
1
1，
2，
3
1 2
1 2
1 1 1
0
1
2
1
2
0
1
2 9
极大线性无关组和向量组的秩(1)
1 1 2 3 已知向量1，2，3分别可由1，2，3线性表示，即 2 1 2 3
由线性相关性的性质3.6推论得 r2 r；1
反过来，因为1,2 , ,m可由1, 2 , , s线性表示， 即1,2 , ,m的极大无关组可由1, 2 , , s的极大无关组线性表示，
由线性相关性的性质3.6推论得 r1 r2.
, s ) r2.
推论
设向量组1, 2 ,
,
s
线性无关，且可由向量组1，
6
极大线性无关组和向量组的秩(1)
定理3.6 等价的向量组有相同的秩.
证 设向量组1,2 , ,m与1, 2 , , s等价，记r(，1 ，2 ，m ) r，1 r(1, 2, 因为1, 2 , , s可由1,2 , ,m线性表示， 即1, 2 , , s的极大无关组可由1,2 , ,m的极大无关组线性表示，
线性代数（慕课版）
第三章 向量与向量空间
第五讲 极大线性无关组和秩(1)
主讲教师 |
本讲内容
01 极大线性无关组和向量组的秩(1)
极大线性无关组和向量组的秩(1)
向量组的极大无关组
定义3.6
3-2 向量组的秩和最大无关组
例3 设 ξ1,…, ξn−r [r = R(A)]为 n 元齐次线性方程组 … − 为 Ax = 0 的一个基础解系 S 为方程组 Ax = 0 的解集 的一个基础解系 基础解系, 解集, 则有
S = {x = k1ξ1 +⋯+ kn−rξn−r | k1,⋯ kn−r ∈R} ,
等价. 证明向量组 a1, a2 与向量组 b1, b2, b3 等价 证明 记 A = (a1, a2), B = (b1, b2, b3),
1 3 2 1 3 1 3 2 1 3 r ( A, B ) = −1 1 0 1 −1 0 2 1 1 1 → 1 1 1 0 2 0 0 0 0 0
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1 3 2 1 3 例2 设 a1 = −1 , a2 = 1 , b1 = 0 , b2 = 1 , b3 = −1 1 1 1 0 2
定理4 定理 初等行变换保持矩阵的列向量组的线性关系 线性关系. 初等行变换保持矩阵的列向量组的线性关系 • 行最简形矩阵的秩等于它的列向量组的秩 行最简形矩阵的秩等于它的列向量组的秩. 定理5 定理 矩阵的秩等于它的(行 列向量组的秩 列向量组的秩. 矩阵的秩等于它的 行)列向量组的秩 证明 由定理 知, 矩阵的列向量组的秩等于它的行最 由定理4 简形的列向量组的秩, 从而等于它的行最简形的秩. 简形的列向量组的秩 从而等于它的行最简形的秩 而 矩阵的秩等于它的行最简形的秩. 因此, 矩阵的秩等于它的行最简形的秩 因此 矩阵的秩等于 它的列向量组的秩. 它的列向量组的秩 考虑转置即知, 矩阵的秩等于它的行向量组的秩. 考虑转置即知 矩阵的秩等于它的行向量组的秩
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求向量组的秩与最大无关组
一、对于具体给出的向量组，求秩与最大无关组
1、求向量组的秩（即矩阵的秩）的方法：为阶梯形矩阵
【定理】矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.(三秩相等)
①把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A；
②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B；
③阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩．
【例1】求下列向量组a１=(1, 2, 3, 4)，a2 =( 2, 3, 4, 5)，a3 =(3, 4, 5, 6)的秩. 解1：以a１,a２,a３为列向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求.
因为阶梯形矩阵的列秩为2，所以向量组的秩为2．
解2：以a１,a２,a３为行向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为
阶梯形矩阵后可求.
因为阶梯形矩阵的行秩为2，所以向量组的秩为2．
2、求向量组的最大线性无关组的方法
方法1 逐个选录法
给定一个非零向量组A：α1, α2,…, αn
①设α1≠ 0，则α1线性相关，保留α1
②加入α2，若α2与α1线性相关，去掉α2；若α2与α1线性无关，保留α1，α2；
③依次进行下去，最后求出的向量组就是所求的最大无关组
【例2】求向量组：()()()1231,2,12,3,14,1,1,,,T T T
ααα=-=-=-的最大无关组 解：因为a 1非零，故保留a 1
取a 2，因为a 1与a 2线性无关，故保留a 1，a 2 取a 3，易得a 3=2a 1+a 2，故a 1，a 2 ，a 3线性相关。
所以最大无关组为a 1，a 2 方法2 初等变换法
【定理】 矩阵A 经初等行变换化为B ，则B 的列向量组与A 对应的列向量组有相同的线性相关性. 证明从略,下面通过例子验证结论成立.
向量组：α1=(1,2,3)T
, α2=(-1,2,0)T
, α3=(1,6,6)T
由上可得，求向量组的最大线性无关组的方法： （1）列向量行变换
①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A ； ②对矩阵A 进行初等行变换化为阶梯形矩阵B ；
③A 中的与B 的每阶梯首列对应的向量组，即为最大无关组．
【例3】求向量组 ：α1=(2,1,3,-1)T
, α2=(3,-1,2,0)T
, α3=(1,3,4,-2)T
, α4=(4,-3,1,1)T
的秩和一个最大无关组, 并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。
解 以α1,α2,α3,α4为列构造矩阵A , 并实施初等行变换化为行阶梯形矩阵求其秩：
()⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--
⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭123423141-13-3113305-510,,,324105-51010210-11-2A αααα---⎛⎫ ⎪
⎪→ ⎪ ⎪
⎝⎭
1133011200000000 知r (A )=2, 故向量组的最大无关组含2个向量
而两个非零行的非零首元分别在第1, 2列, 故α1,α2为向量组的一个最大无关组
事实上，()⎛⎫ ⎪
⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭1211010000αα-， 知r (α1,α2)=2, 故α1,α2 线性无关 为把α3,α4用α1,α2线性表示, 把A 变成行最简形矩阵 10
2
-101-1200000
000⎛⎫ ⎪
⎪
→= ⎪
⎪
⎝⎭A B
记矩阵B=(β1, β2, β3, β4),因为初等行变换保持了列向量间的线性表出性，因此向量α1,α2,α3,α4与向量β1, β2, β3, β4之间有相同的线性关系。
()312412210101
212,2000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪==+-=-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
ββββββ而
因此α3=2α1-α2, α4=-α1+2α2
【例4】求下列向量组的一个最大无关组，其中：
()11,2,0,3α=-()22,5,3,6α=--()30,1,3,0,α=()42,1,4,7α=--()55,8,1,2.α=-
解：以给定向量为列向量作成矩阵A ，用初等行变换将A 化为阶梯形矩阵B
再利用初等行变换，将B 再化成行最简形矩阵C .
用最大线性无关组表示其它向量的方法为： ①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A ； ②对矩阵A 进行初等行变换化为阶梯形矩阵B ； ③把阶梯形B 进行初等行变换化为行最简形矩阵C ；
④根据行最简形矩阵列向量的分量，用最大无关组表示其它向量．
【例5】 求向量组，，，的秩和一个最大无关组.
解：
(1) 当且时，，故向量组的秩为3，且是一个最大无关组；
(2) 当时，，故向量组的秩为3，且是一个最大无关组；
初等矩阵A, B, C 初等变换行作为 求秩无关 B 中见 线性无关 C 做陪
(3) 当时，若，则，此时向量组的秩为2，且是一个最大无关组.若，则，此时向量组的秩为3，且是一个最大无关组.
（2）行向量列变换
同理, 也可以用向量组中各向量为行向量组成矩阵（即列向量的转置矩阵）, 通过做初等列变换来求向量组的最大无关组。
【例6】求向量组，，，，的一个最大无关组.
解：以给定向量为行向量作成矩阵A，用初等列变换将A化为行最简形:
（行向量列变换）
由于的第1，2，4个行向量构成的向量组线性无关，故是向量组的一个最大无关组.
方法3 线性相关法（了解）
若非零向量组A：α1, α2,…, αn线性无关，则A的最大无关组就是α1, α2,…, αn
若非零向量组A线性相关，则A中必有最大无关组
二、对于抽象的向量组，求秩与最大无关组常利用一些有关的结论，如：
1、若向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表示，则(Ⅰ)的秩不超过(Ⅱ)的秩
2、等价向量组有相同的秩
3、秩为的向量组中任意个线性无关的向量都是该向量组的最大无关组
【例7】设向量组的秩为.又设
，，
求向量组的秩.
解法1：由于，
且，
所以，
故向量组与等价，从而的秩为.
解法2：将看做列向量，则有
，其中
可求得 0，即可逆，从而可由线性表示，
由已知可由线性表示，故这两个向量组等价，即它们有相同的秩.
【例7】设向量组(Ⅰ)：和向量组(Ⅱ)：的秩分别为和，而向量组(Ⅲ)：
的秩为.证明：.
证：若和中至少有一个为零，显然有，结论成立.
若和都不为零，不妨设向量组(Ⅰ)的最大无关组为，向量组(Ⅱ)的最大无关组为，由于向量组可以由它的最大无关组线性表示，所以向量组(Ⅲ)可以由，
线性表示，
故：的秩。